信号与系统课程设计报告分析
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课程设计任务书
摘要
本文研究的是傅里叶变换的对称性和时移特性，傅里叶变换的性质有：对称性、线性（叠加性）、奇偶虚实性、尺度变换特性、时移特性、频移特性、微分特性、积分特性、卷积特性（时域和频域）；从信号与系统的角度出发,给出了激励信号的具体模型；应用Matlab软件进行仿真，将研究的信号转化成具体的函数形式，在Matlab得到最终变换结果。使用傅里叶变换的方法、卷积的求解方法以及函数的微分等方法研究题目。
关键词: 傅里叶变换;对称性;时移特性;Matlab
目录
1、Matlab介绍................................................................................... 错误!未定义书签。
2.利用Matlab实现信号的频域分析—傅里叶变换的对称性与时移特性设计 (5)
2.1.傅里叶变换的定义及其相关性质 (5)
2.2.傅里叶变换的对称性验证编程设计及实现 (7)
2.3.傅里叶变换的时移特性验证编程设计及实现 (10)
3.总结 (13)
4.参考文献 (13)
1 、Matlab介绍
MATLAB作为一种功能强大的工程软件，其重要功能包括数值处理、程序设计、可视化显示、图形用户界面和与外部软件的融合应用等方面。
MATLAB软件由美国Math Works公司于1984年推出，经过不断的发展和完善，如今己成为覆盖多个学科的国际公认的最优秀的数值计算仿真软件。MATLAB具备强大的数值计算能力，许多复杂的计算问题只需短短几行代码就可在MATLAB中实现。作为一个跨平台的软件，MATLAB已推出Unix、Windows、Linux和Mac等十多种操作系统下的版本，大大方便了在不同操作系统平台下的研究工作。
MATLAB软件具有很强的开放性和适应性。在保持内核不变的情况下，MATLAB可以针对不同的应用学科推出相应的工具箱(toolbox)，目前己经推出了
图象处理工具箱、信号处理工具箱、小波工具箱、神经网络工具箱以及通信工具箱等多个学科的专用工具箱，极大地方便了不同学科的研究工作。国内已有越来越多的科研和技术人员认识到 MATLAB 的强大作用，并在不同的领域内使用MATLAB 来快速实现科研构想和提高工作效率。
MATLAB 提供了20类图像处理函数,涵盖了图像处理的包括近期研究成果在内的几乎所有的技术方法,是学习和研究图像处理的人员难得的宝贵资料和加工工具箱。这些函数按其功能可分为:图像显示;图像文件I/O;图像算术运算;几何变换;图像登记;像素值与统计;图像分析;图像增强;线性滤波;线性二元滤波设计;图像去模糊;图像变换;邻域与块处理;灰度与二值图像的形态学运算;结构元素创建与处理;基于边缘的处理;色彩映射表操作;色彩空间变换;图像类型与类型转换。
2、利用Matlab 实现信号的频域分析—傅里叶变换的对称性时移特性的设计
2.1 傅里叶变换的定义及其相关性质
<1> 用周期信号的傅里叶级数通过极限的方法导出的非周期信号频谱称为傅
里叶变换。 傅里叶正变换为:
dt t f w F e
jwt
-+∞
∞
-?=)()(
傅里叶逆变换为:
dw w F t f e jwt
?+∞∞
-=)(π21)(
式中)(w F 是)(t f 的频谱函数，它一般是复函数，可以写作
φ(w))()(j e w F w F =。其中)
(w F 是
)(w F 的模，它表示信号
中各频率分量的相对大小。φ(w)
是
)(w F 的相位函数，它表示信号中各频率分
量之间的相位关系。
<2> 傅立叶变换的频移性质
若
)()(w F t f ?，则)0
()(0
ωωω-??F t
j e
t f
结论：将信号
)(t f 乘以因子t j e 0ω，对应于将频谱函数沿轴ω右移0ω；将信号
)(t f 乘以因子t j e 0ω，对应于将频谱函数沿轴ω右移0ω。
<3> 傅立叶变换的尺度变换性质
若
)()(ωF t f ?，则对于任意实常数a ，则有
)(1)(a
F a at f ω
?
结论：信号时域波形的压缩，对应其频谱图形的扩展；而时域波形的扩展对应其频谱图形的压缩，且两域内展缩的倍数一致。
<4> 傅立叶变换的对称特性
若
)()(ωF t f ?，则)(2)(ωπ-??f t F
<5> 傅立叶变换的时域卷积特性
若
)(*)()(1
1
t f t f t f = )()(ωF t f ? )()(1
1
ωF t f ?
则)()()(1
1ωωωF F F ?=
上式表明：如果函数)(t f 的频谱为)(ωF ，函数)(1t f 的频谱为)(1
ωF ，
且
)(*)()(1
1
t f t f t f =，那么)()()(1
1
ωωωF F F ?=
2.2 傅里叶变换的对称性验证编程设计及实现
傅里叶变换的对称性： 若
)()(ωF t f ?，则)(2)(ωπ-??f t F
上式表明：如果函数
)(t f 的频谱为)(ωF ，那么时间函数)(t F 的频谱函数是
)(2ωπ-?f 。
举例证明：（1）利用matlab 画出信号
)()(2
t g t f ?=π及其幅度谱；
（2）利用matlab 画出信号)()(1
t Sa t f =及其幅度谱；
并由实验结果验证傅立叶变换的对称特性。
分析：
)]1(u )1(u [)()(2
--+?=?=t t t g t f ππ，设
)()(ωF t f ?，可知)(2)(ωπωSa F ?=；由傅立叶变换的对称特
性知:
)(2)(2)(2)(2
ωππωππ-??=-???=g f t Sa t F ，
由门函数是偶函数以及傅立叶逆变换的线性性质，得：
)()()(2)()(2
1
1
ωπωπ
g F t Sa t F t f ?=?==
说明：在matlab 中sinc(t)= t
t t c ππ)
sin()(sin =，
所以)(sin sin )(π
t
c t t t Sa ==。
对称性验证编码如下：
N=3001;t=linspace(-15,15,N); f=pi*[heaviside(t+1)-heaviside(t-1)]; dt=30/(N-1); M=500; w=linspace(-5*pi,5*pi,M); F=f*exp(-j*t'*w)*dt; subplot(2,2,1),plot(t,f); axis([-2,2,-1,4]); xlabel('t');ylabel('f(t)');
subplot(2,2,2), plot(w,real(F));
axis([-20,20,-3,7]);
xlabel('w');ylabel('F(w)=F[f(t)]');
f1=sinc(t/pi);
F1=f1*exp(-j*t'*w)*dt;
subplot(2,2,3),plot(t,f1);
xlabel('t');ylabel('f1(t)=F(t)/2*pi'); subplot(2,2,4),plot(w,real(F1)); axis([-2,2,-1,4]);
xlabel('w');
ylabel('F1(w)=F[f1(t)]=f(w)');
程序运行结果如下：
图 1
2.3 傅里叶变换的时移特性验证编程设计及实现
傅立叶变换的时移性质：
若，则
[
]
00
)(0
)()()(t j t j e F e
F t t f ωω?ωωω±±=?±
结论: )(t f 延时（或超前）0t 后，其对应的幅度谱保持不变，但相位谱中一切频
率分量的相位均滞后（或超前）0t ω。
举例证明： （1）用matlab 画)(u 2
1
)(2t e t f t
?=-及频谱（幅度谱
及相位谱) 程序代码如下：
N=256;t=linspace(-2,2,N); f=1/2*exp(-2*t).*heaviside(t); dt=4/(N-1); M=401;
w=linspace(-2*pi,2*pi,M); F=f*exp(-j*t'*w)*dt; F1=abs(F);P1=angle(F); subplot(3,1,1); plot(t,f);grid on xlabel('t');ylabel('f(t)'); title('f(t)') subplot(3,1,2); plot(w,F1);grid on
xlabel('w');ylabel('abs(F(w))'); subplot(3,1,3); plot(w,P1);grid on
xlabel('w');ylabel('angle(F(w))')
（2） 用matlab 画)5.0(1-=t f f 及频谱（幅度谱及相位谱）。
程序代码如下： N=256;
t=linspace(-2,2,N);
f=1/2*exp(-2*t).*heaviside(t);
f1=1/2*exp(-2*(t-0.5)).*heaviside(t-0.5); f(t-0.3) dt=4/(N-1); M=401;
w=linspace(-2*pi,2*pi,M);
F=f*exp(-j*t'*w)*dt;
F1=f1*exp(-j*t'*w)*dt;
subplot(3,1,1);
plot(t,f,t,f1,'r'),grid on
xlabel('t');ylabel('f'),
title('f(t),f(t-0.5)')
subplot(3,1,2);
plot(w,abs(F),w,abs(F1),'r'),grid on
xlabel('w');
ylabel(' f(t)和f(t-0.5)幅度谱');
subplot(3,1,3);
plot(w,angle(F),w,angle(F1),'r'),grid on
xlabel('w');
ylabel(' f(t)和f(t-0.5)相位谱')
程序运行结果如下所示：
)(t f及其频谱图2
图3
3. 总结
通过本次综合实践让我们在学习“信号与系统”课程的同时，掌握MATLAB 的应用，对MATLAB 语言在中的推广应用起到促进作用。从而将便多的时间留于对信号与系统的基本分析方法和应用的理解与思考学会应用MATLAB的数值计算功能，将学生从繁琐的数学运算中解脱出来，从而将便多的时间留于对信号与系统的基本分析方法和应用的理解与思考。让我们将课程中的重点、难点及部分课后练习用MATLAB 进行形象、直观的可视化计算机模拟与仿真实现，从而加深对信号与系统基本原理、方法及应用的理解，以培养学生主动获取知识和独立解决问题的能力，为学习后继专业课打下坚实的基础。
4. 参考文献
[1]郑君里.应启行.杨为理.信号与系统引论[M].北京:高等教育出版社,2009.
[2]罗永生.信号与线性系统分析[M].长沙:国防科技大学出版社,1996.
[3]吴大正.信号与系统[M].北京:高等教育出版社,2000.