圆锥曲线经典中点弦问题
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中点弦问题专题练习
一．选择题（共8小题）
1．已知椭圆，以及椭圆一点P（4，2），则以P为中点的弦所在直线的斜率为（）A．B．C．2D．﹣2
2．已知A（1，2）为椭圆一点，则以A为中点的椭圆的弦所在的直线方程为（）
A．x+2y+4=0 B．x+2y﹣4=0 C．2x+y+4=0 D．2x+y﹣4=0
3．AB是椭圆（a＞b＞0）的任意一条与x轴不垂直的弦，O是椭圆的中心，e为椭圆的离心率，M为AB的中点，则K AB?K OM的值为（）
A．e﹣1 B．1﹣e C．
e2﹣1 D．
1﹣e2
4．椭圆4x2+9y2=144有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为（）
A．3x+2y﹣12=0 B．2x+3y﹣12=0 C．4x+9y﹣144=0 D．9x+4y﹣144=0
5．若椭圆的弦中点（4，2），则此弦所在直线的斜率是（）
A．2B．﹣2 C．D．
6．已知椭圆的一条弦所在直线方程是x﹣y+3=0，弦的中点坐标是（﹣2，1），则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．
7．直线y=x+1被椭圆x2+2y2=4所截得的弦的中点坐标是（）
A．（）B．（﹣，）C．（，﹣）D．（﹣，）
8．以椭圆一点M（1，1）为中点的弦所在的直线方程为（）
A．4x﹣3y﹣3=0 B．x﹣4y+3=0 C．4x+y﹣5=0 D．x+4y﹣5=0
二．填空题（共9小题）
9．过椭圆一点M（2，0）引椭圆的动弦AB，则弦AB的中点N的轨迹方程是_________ ．
10．已知点（1，1）是椭圆某条弦的中点，则此弦所在的直线方程为：_________ ．
11．椭圆4x2+9y2=144有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的斜率为_________ ，直线方程为_________ ．
12．椭圆4x2+9y2=144有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为_________ ．
13．过椭圆=1一定点（1，0）作弦，则弦中点的轨迹方程为_________ ．
14．设AB是椭圆的不垂直于对称轴的弦，M为AB的中点，O为坐标原点，则k AB?k OM= _________ ．
15．以椭圆的点M（1，1）为中点的弦所在直线方程为_________ ．
16．在椭圆+=1以点P（﹣2，1）为中点的弦所在的直线方程为_________ ．
17．直线y=x+2被椭圆x2+2y2=4截得的线段的中点坐标是_________ ．
三．解答题（共13小题）
18．求以坐标轴为对称轴，一焦点为且截直线y=3x﹣2所得弦的中点的横坐标为的椭圆方程．19．已知M（4，2）是直线l被椭圆x2+4y2=36所截的弦AB的中点，其直线l的方程．
20．已知一直线与椭圆4x2+9y2=36相交于A、B两点，弦AB的中点坐标为M（1，1），求直线AB的方程．21．已知椭圆，求以点P（2，﹣1）为中点的弦AB所在的直线方程．
22．已知椭圆与双曲线2x2﹣2y2=1共焦点，且过（）
（1）求椭圆的标准方程．
（2）求斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程．
23．直线l：x﹣2y﹣4=0与椭圆x2+my2=16相交于A、B两点，弦AB的中点为P（2，﹣1）．（1）求m的值；（2）设椭圆的中心为O，求△AOB的面积．
24．AB是椭圆中不平行于对称轴的一条弦，M是AB的中点，O是椭圆的中心，求证：k AB?k OM为定值．
25．已知椭圆C：+=1和点P（1，2），直线l经过点P并与椭圆C交于A、B两点，求当l的倾斜角变化时，弦中点的轨迹方程．
26．已知椭圆．
（1）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；
（2）过A（2，1）的直线l与椭圆相交，求l被截得的弦的中点轨迹方程；
（3）过点P（）且被P点平分的弦所在的直线方程．
27．已知椭圆．
（1）求过点且被点P平分的弦所在直线的方程；
（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；
（3）过点A（2，1）引直线与椭圆交于B、C两点，求截得的弦BC中点的轨迹方程．
28．已知某椭圆的焦点是F1（﹣4，0）、F2（4，0），过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且
|F1B|+|F2B|=10，椭圆上不同的两点A（x1，y1）、C（x2，y2）满足条件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列．（Ⅰ）求该椭圆的方程；
（Ⅱ）求弦AC中点的横坐标．
29．（2010?永春县一模）过椭圆一点M（1，1）的弦AB．
（1）若点M恰为弦AB的中点，求直线AB的方程；
（2）求过点M的弦的中点的轨迹方程．
30．已知椭圆C方程为，直线与椭圆C交于A、B两点，点，（1）求弦AB中点M的轨迹方程；
（2）设直线PA、PB斜率分别为k1、k2，求证：k1+k2为定值．
2014年1月panpan781104的高中数学组卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．已知椭圆，以及椭圆一点P（4，2），则以P为中点的弦所在直线的斜率为（）A．B．C．2D．﹣2
考点：椭圆的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：利用中点坐标公式、斜率计算公式、“点差法”即可得出．
解答：
解：设以点P为中点的弦所在直线与椭圆相交于点A（x1，y1），B（x2，y2），斜率为k．
则，，两式相减得，又x1+x2=8，y1+y2=4，，
代入得，解得k=．
故选A．
点评：熟练掌握中点坐标公式、斜率计算公式、“点差法”是解题的关键．
2．已知A（1，2）为椭圆一点，则以A为中点的椭圆的弦所在的直线方程为（）
A．x+2y+4=0 B．x+2y﹣4=0 C．2x+y+4=0 D．2x+y﹣4=0
考点：直线的一般式方程．
专题：计算题．
分析：首先根据题意设出直线的方程，再联立直线与椭圆的方程，然后结合题意与跟与系数的关系得到答案．解答：解：设直线的方程为y﹣2=k（x﹣1），
联立直线与椭圆的方程代入可得：（4+k2）x2+2k（2﹣k）x+k2﹣4k﹣12=0
因为A为椭圆的弦的中点，
所以，解得k=﹣2，
所以直线的方程为2x+y﹣4=0．
故选D．
点评：解决此类问题的关键是熟练掌握直线与椭圆的位置关系的判定，以及掌握弦中点与中点弦问题．
3．AB是椭圆（a＞b＞0）的任意一条与x轴不垂直的弦，O是椭圆的中心，e为椭圆的离心率，M为AB的中点，则K AB?K OM的值为（）
A．e﹣1 B．1﹣e C．
e2﹣1 D．
1﹣e2
考点：椭圆的简单性质．
专题：综合题．
分析：
设出弦AB所在的直线方程，与椭圆方程联立消去y，根据韦达定理求得x1+x2，的表达式，根据直线方程求得y1+y2的表达式，进而根据点M为AB的中点，表示出M的横坐标和纵坐标，求得直线OM的斜率，进而代入k AB?k OM中求得结果．
解答：解：设直线为：y=kx+c
联立椭圆和直线消去y得
b2x2+a2（kx+c）2﹣a2b2=0，即（b2+k2a2）x2+2a2kcx+a2（c2﹣b2）=0
所以：x1+x2=﹣
所以，M点的横坐标为：M x=（x1+x2）=﹣
又：y1=kx1+c
y2=kx2+c
所以y1+y2=k（x1+x2）+2c=
所以，点M的纵坐标M y=（y1+y2）=
所以：Kom===﹣
所以：
k AB?k OM=k×（﹣）=﹣=e2﹣1
点评：本题主要考查了椭圆的应用．涉及弦长问题，利用弦长公式及韦达定理求解，涉及弦的中点及中点弦问题，
利用差分法较为简便．
4．椭圆4x2+9y2=144有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为（）
A．3x+2y﹣12=0 B．2x+3y﹣12=0 C．4x+9y﹣144=0 D．9x+4y﹣144=0
考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
利用平方差法：设弦的端点为A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程，两式作差，利用中点坐标公式及斜率公式可求得直线斜率，再用点斜式即可求得直线方程．
解答：
解：设弦的端点为A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=6，y1+y2=4，
把A、B坐标代入椭圆方程得，，，
两式相减得，4（﹣）+9（﹣y22）=0，即4（x1+x2）（x1﹣x2）+9（y1+y2）（y1﹣y2）=0，所以=﹣=﹣=﹣，即k AB=﹣，
所以这弦所在直线方程为：y﹣2=﹣（x﹣3），即2x+3y﹣12=0．
故选B．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、直线方程的求解，涉及弦中点问题常运用平方差法，应熟练掌握．5．若椭圆的弦中点（4，2），则此弦所在直线的斜率是（）
A．2B．﹣2 C．D．
考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
设此弦所在直线与椭圆相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）．利用中点坐标公式和“点差法”即可得出．
解答：
解：设此弦所在直线与椭圆相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）．
则，，两式相减得=0．∵，，．
代入上式可得，解得k AB=．
故选D．
点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、中点坐标公式和“点差法”等基础知识与基本技能方法，属于中档
题．
6．已知椭圆的一条弦所在直线方程是x﹣y+3=0，弦的中点坐标是（﹣2，1），则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．
考点：椭圆的简单性质．
专题：计算题．
分析：设出以M为中点的弦的两个端点的坐标，代入椭圆的方程相减，把中点公式代入，可得弦的斜率与a，b 的关系式，从而求得椭圆的离心率．
解答：
解：显然M（﹣2，1）在椭圆，设直线与椭圆的交点A（x1，y1），B（x2，y2），
则+=1，+=1，相减得：=0，
整理得：k=﹣=1，
又弦的中点坐标是（﹣2，1），
∴，
∴，
则椭圆的离心率是e===．
故选B．
点评：本题考查椭圆的标准方程和简单性质，中点公式及斜率公式的应用，以及直线方程，属于基础题．本题解题中直接利用点差法巧妙用上了中点坐标公式与弦的斜率，方法极为巧妙，此方法即为通常所说的点差法，研究弦中点问题时经常采用此方法
7．直线y=x+1被椭圆x2+2y2=4所截得的弦的中点坐标是（）
A．（）B．（﹣，）C．（，﹣）D．（﹣，）
考点：直线与圆锥曲线的关系．
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
将直线y=x+1代入椭圆x2+2y2=4中，利用韦达定理及中点坐标公式，即可求得结论．
解答：
解：将直线y=x+1代入椭圆x2+2y2=4中，得x2+2（x+1）2=4
∴3x2+4x﹣2=0