中考数学第一轮复习教案——数与式
第一章 数与式
第1课时 实数的基本概念
一、知识要点 1、实数分类
①0?????
正实数：实数负实数：
②????????
整数：有理数实数分数：
无理数：无限不循环小数： 2、数轴、相反数、绝对值、倒数
①只有 的两个数互为相反数；若a 与b 互为相反数，则 . ②数轴：规定
了 、 、
的直线；数轴上的点与 一一对应. ③绝对值：
（ⅰ）代数意义：(0)(0)(0)
a a a a >??
==?
?
（ⅱ）几何意义： . ④倒数：如果a 与b 互为倒数，则 ；特别注意： .
3、平方根、算术平方根、立方根
①正数a 的平方根为 ，0的平方根是 ；
②正数a 的平方根中正的那个平方根叫做a 的算术平方根，0的算术平方根是0； ③任意一个数r 的立方根记为 . 二、典例精析
例1、（1）3-的倒数是 ；
（2）32-的绝对值是 ； （3）若1x =，2y =，且0xy >，则
x y += .
点评：实数的基本概念要准确理解，其中绝对值属于难点，当重点突破. 例2、把下列各数填到相应的集合中：
13
3827 3.140.1010010001π--、、、、、、
..22sin 30tan 4530.321 3.27
??---、、、、、. 整数集合
{ }； 分数集合
{ }；
无理数集合{ }.
点评：对于实数的认识主要是理解无理数的意义，即对无限不循环小数的理解. 例3、已知实数a b 、在数轴上对应的点的位置如图所示，化简2
()a b a b -++.
b a 0
点评：数轴作为重要的数学工具，它让数形有机结合，正确认识数轴上的点与实数的一一对应关系.
例4、若2
1(5)0m n -+-=，求m n 、的值.
点评：绝对值、偶次幂以及偶次方根
C A O B
1- 1 0 a 的非负性，认识需要全面而且准确.
三、中考链接 1、(2009梅州)1
2
-的倒数为（ ） A ．
12
B ．2
C ．2-
D ．1-
2、(2009抚顺)2-的相反数是（ ）
A ．2
B ．12-
C ．2-
D ．1
2
3、（2009枣庄）实数a ，b 在数轴上的对应点如图所示，则下列不等式中错误．．的是（ ）
A ．0ab >
B ．0a b +<
C ．1a
b <
D ．0a b -<
4、（2009包头）27的立方根是（ ） A ．3 B ．3- C ．9 D ．9-
5、（2009郴州）－5的绝对值是（ ）
A ．5
B ．5
C ．15
D ．15
6、（2009中山）4的算术平方根是
（ ）
A ．2±
B ．2
C ．2±
D ．2 7．（2009肇庆）实数2-，0.3，
17
，2，π-中，无理数的个数是（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
四、优化练习
1、（2009南昌）写出一个大于1且小于
4的无理数： .
2、（陕西省）零上13℃记作+13℃，零下2℃可记作（ ）
A ．2
B ．2-
C ．2℃
D ．-2℃ 3、(2009潍坊)一个自然数的算术平方根为a ，则和这个自然数相邻的下一个自然数是（ ）
A ．1a +
B ．2
1a + C ．21a + D ．1a +
4、（2009恩施市）若3a =，则a 的值是（ ）
A ．3-
B ．3
C ．
1
3
D ．3± 5、（2009长沙）已知实数a 在数轴上的
位置如图所示，则化简2|1|a a -+的结果为（ ）
A ．1
B ．1-
C ．12a -
D ．21a -
6、（2009烟台）如图，数轴上A B ，两点表示的数分别为1-和3，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 所表示的数为（ ） A ．23--
B ．13--
C ．23-+
D ．13+
7、（四川省资阳市）如图，在数轴上表
示到原点的距离为3个单位的点有（ ） A ．D 点
B ．A 点
C ．A 点和
D 点
D ．B 点
a
b
和C 点
8、（梅州）下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A ．2和
21 B ．-2和－2
1 C ． -2和|-2| D ．2和
2
1
第2课时 科学记数法及实数大小的比较
一、知识要点
1、科学记数法、近似数和有效数字 ① 科学记数法是指将一个数表示成为 的形式，其中1≤10a <，
n 为整数；
② 对于一个近似数，从左边第一个不为0的数开始到最末一个数为止，都是这个近似数的有效数字. 2、实数大小的比较
①在数轴上表示两个数的点，右边的点表示的数比左边的点表示的数 ； ②正数大于 ，负数小于零；两个正数，绝对值大的数较大，两个负数，绝对值大的反而 ； ③设a b 、为任意两个实数，
若0a b ->，则 ； 若0a b -=，则 ； 若0a b -<，则 . 3、零指数、负整指数的运算 ①0
1a =( )； ②1
p p a
a
-=
( ). 二、典例精析
例1、①新建的北京奥运会体育场——“鸟巢”能容纳91000位观众，将91000用科学记数法表示为（ ） A ．3
9110? B ．2
91010? C ．49.110?
D ．3
9.110?
②2009年初甲型H1N1流感在墨西哥暴发并在全球蔓延，我们应通过注意个人卫生加强防范．研究表明，甲型H1N1流感球形病毒细胞的直径约为0.00000156 m ，用科学记数法表示这个数是
A ．0.156×10－
5 B ．0.156×105
C ．1.56×10－
6 D ．1.56×106 点评：科学记数法通常用于将较大（或较小）的数表示成相对简洁的形式，其中指数的确定是有规律可循的.
例2、（2009 年佛山市）黄金分割比是
51
0.618033982
-=…，将这个分割比用四舍五入法精确到0.001为 ．
例3、2008年我州旅游收入达52644.85万元，比2007年增长了40.7%．用科学记数法表示2008年我州的旅游收入是 ______ _ _元（保留三个有效数字）．
点评：较大（较小）的数取近似值时通常要与科学记数法结合考虑，而取近似值时需遵守精确度或有效数字的要求.
例
4、计算 ：
01)2008(260cos π-++- .
点评：零指数、负整指数的运算是一个重要的考点.
例5、比较大小：
①312- 14 ②32 25
.
点评：实数大小的比较，除了基本的比较原则外，常见的方法还有作差法、平方法等.
三、中考链接
1、(2009咸宁)温家宝总理在2009年政府工作报告中提出，今后三年内各级政府拟投入医疗卫生领域的资金将达到8500亿元人民币，用科学记数表表示“8500亿”为（ ） A ．10
8510? B ．10
8.510?
C ．118.510?
D ．12
0.8510?
2、（2009常德）为了响应中央号召，今年我市加大财政支农力度，全市农业支出累计达到234 760 000元，其中234 760 000元用科学记数法可表示为（ ）（保留三位有效数字）． A ．2.34×108元 B ．2.35×108元
C ．2.35×109 元
D ．2.34×109元
3、（2009荆州）1在－1，1，0，－2四个实数中，最大的是（ ）
A ．－1
B ．1
C ．0
D ．－2
4、（09长春）下列四个数中，小于0的是（ ）
A ．2-
B ．0
C ．1
D ．3
5、（2008巴中）下列各式正确的是（ ） A ．33--= B ．3
2
6-=-
C ．(3)3--=
D ．0
(π2)0-=
四、优化练习
1、（2009衡阳）已知空气的单位体积质量为3
10
24.1－?克/厘米3
，3
10
24.1－?用小数表示为（ ）
A ．0.000124
B ．0.0124
C ．－0.00124
D ．0.00124
2、（2009凉山州）长度单位1纳米
910-=米，目前发现一种新型病毒直径为
25100纳米，用科学记数法表示该病毒直径是（ ） A ．6
25.110-?米 B ．4
0.25110
-?米
C ．5
2.5110?米 D ．5
2.5110-?米 3、(2009河北)比较大小：－6 －8．
（填“＜”、“=”或“＞”）
4、实数a b ，在数轴上对应点的位置如图所示，则a b ．（填“＞”、“＜”或“＝”）
b
a
5、0)12(3---＝ ．
6、计算：3
120092-0??
+= ???
.
7、(2009湖州)已知一粒大米的质量约为0.000021千克，这个数用科学记数法表示为（ ） A ．4
0.2110-?
B ．4
2.110
-? C ．5
2.110-?
D ．6
2110-?
8、（2009湘西自治州）截止到2008年底，湘西州在校小学生中的少数民族学生数约为21.2万人，约占全州小学生总数
的80%，则全州的小学生总数大致为 万．
（保留小数点后一位）
第3课时 实数的运算
一、知识要点 1、运算律
①加法交换律： ； ②加法结合律： ； ③乘法交换律： ； ④乘法结合律： ； ⑤分配律： . 2、实数的运算
包括加、减、乘、除、乘方、开方；运算顺序为先 ，再 ，最后算 ，有括号的先算括号里面的.
二、典例精析
例1、①2(3)-的值是（ ） A ．9 B.－9 C ．6 D ．－6 ②2
3-的值是（ ）
A ．6
B ．－6
C ．9
D ．－9
点评：乘方运算是要重点突破的. 例2、下列运算正确的是（ ） A 、39±= B 、
33-=-
C 、39-=-
D 、932
=-
例3、（2009年孝感）若m n n m -=-,
且4m =,3n =,则2
()m n += ．
例4、计算：
① 10
2(12)cos 60-+--?
②10
3(tan 60)13(3.14)π-?--+-． ③12
-
+9-sin ()30π3++0
°． 点评：实数的运算中，除了掌握基本的运算律、运算法则之外，涉及一些特殊形式的运算如特殊三角函数值等需要熟练掌握.
例5、若()2
2340a b c -+-+-=，则
=+-c b a ．
三、中考链接
1、(08宁夏)下列各式运算正确的是
（ ）
A ．1
122-=- B. 326=
C. 2
3
6
222
?= D.
326(2)2=
2、（2008江西）计算(－2)2－(－2) 3的结果是( )
A .－4
B .2
C .4
D .12 3、（2009淄博）如果2
()13
?-=，则
“
”内应填的实数是（ ） A ．
32
B ．
23 C ．23- D ．32
- 3、(2009成都)计算2×(1
2
－
)的结果是( )
A .1-
B . l
C .2-
D .2
4、（09宜昌）如果0ab <，那么下列判断正确的是( )． A ．00a b <<， B ．00a b >>， C ．a ≥0，b ≤0
D ．00a b ><，或00a b <>，
5、（2009泰安）下列各式，运算结果为负数的是( )
A ．)3()2(----
B .)3()2(-?-
C .2
)
2(-- D .3
)3(--
6、(2008年湘潭) 如图，数轴上A 、B 两点所表示的两数的（ ） A . 和为正数 B . 和为负数 C . 积为正数 D . 积为负数 四、优化练习
1、3
(1)-等于（ ） A ．－1 B ．1 C ．－3 D ．3
2、比1小2的数是（ ）
A ．1-
B ．2-
C ．3-
D ．1
3、(2009本溪)如果a 与1互为相反数，
则|2|a +等于（ ） A ．2 B ．2- C ．1 D ．1-
4、（2009宜宾）在数轴上的点A 、B 位置如图所示，则线段AB 的长度为（ ）
第 4 题 图-52
O
B A
A .3-
B .5
C .6 D
.7 5、一种商品原价120元，按八折（即原
价的80%）出售，则现售价应为 元．
6、①计算：3(2)?-= ； ②计算：2)5(0
+-= ； ③计算：21222
1
-+--= 7、计算：
①1
2
1(2)2(3)3-??
-+?-+ ???
．
②12
-
+9-sin ()30π3++0
°．
③1
01|32|20093tan 303-??
-+--+ ???
°.
④0
12|32|(2π)+-+-．
⑤101()(20093)4sin 302
---+o－2
-
第4课时 整式概念及加减运算
一、知识要点 1、代数式
①像3(1)2s a x t
-+、等式子都是代数式，单个一个数或字母也是 .
②一般地，用 代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系，计算得出结果，叫做代数式的值. 2、整式的分类
比较（通过举例进行） ①单项式的次
数： ；
②多项式的次数： . 3、同类项：所含 相同，且 也相同的项叫做同类项.
4、合并同类项：只把系
数 ，所含字母及字母的指数不变.
5、整式的加减运算：实际就是 .
6、幂的运算性质(k l m n 、、、均为整数) ①同底数幂的乘法：
k l a a ?= ；
②幂的乘方：()m n
a = ； ③积的乘方：()m a
b = ； ④同底数幂的除法：m
n
a a ÷= . 二、典例精析
例1、代数式322x b x
m n mn p π
-+-、、、
、中，单项式有（ ）
A .1个
B .2个
C .3个
D .4个
点评：对于整式概念的理解，包括系列概念的理解，其中最为重要的就是单项式与多项式.
例2、（2009年烟台市）若5
23m x
y +与
3n x y 的和是单项式，则m n = ．
点评：需要准确理解同类项与合并同
?????????????
??单项式整式有理式多项式代数式分式
无理式
A B O -3
类项的本质.
例3、（2008乌鲁木齐）若0a >且
2x a =，3y a =，则x y a -的值为（ ）
A ．1-
B ．1
C ．
23
D ．
32 点评：幂运算的难点在于逆向变形运用. 例4、代数式2
346x x -+的值为9，则
24
63
x x -+的值为 .
点评：求代数式的值，在目前主要是采用直接代入和整体代入两种方式.
例5、如图，房间地面的图案是用大小相同的黑、白正方形镶嵌而成，图中，第1个黑色L 形由3个正方形组成，第2个黑色L 形由7个正方形组成，……那么第6个黑色L 形的正方形个数是（ ） A .22 B .23 C .24 D .25
三、中考链接
1、（2008咸宁）化简()m n m n +--的结果为（ ）
A ．2m
B ．2m -
C ．2n
D ．2n - 2、（2008龙岩）下列计算正确的是（ ）
A ．3232a a a =+
B ．4
28a a a =÷
C ．623
·
a a a = D ．6
2
3)(a a = 3、(2008宁波)下列运算正确的是（ ） A ．3
3
6
x x x +=
B ．2
3
236x x x =
C ．33
(2)6x x = D ．2
(2)2x x x x +÷=
4、（2008嘉兴）若23a b =，则
a
b
= ． 5、下列运算正确的是（ ）
A ．3
3
6
a a a +=
B ．2()2a b a b +=+
C ．2
2()
ab ab --=
D ．6
2
4
a a a ÷= 四、优化练习
1、（2008
芜
湖
）
若
23(2)0m n -++=，则2m n +的值为
（ ）
A ．4-
B ．1-
C ．0
D ．4
2、（2008嘉兴）下列运算正确的是（ ）
A ．235
a a a =
B ．2
2
()ab ab =
C ．32
9()a a =
D ．6
3
2
a a a ÷=
3、 (2009济宁)下列运算中，正确的是
A .39±=
B .()a a 236
=
C .a a a 623=?
D .3
62
-=-
4、(2008双柏县)下列运算正确的是
（ ）
A ．5510x x x +=
B ．5510
·x x x =
C ．55
10
()x x = D ．20210x x x ÷=
5、（2009太原）已知一个多项式与
239x x +的和等于2341x x +-，则这个
多项式是（ ）
A ．51x --
B ．51x +
C ．131x --
D ．131x +
6、（2008宜昌）2008年6月1日北京奥运圣火在宜昌传递，圣火传递路线分为两段，其中在市区的传递路程为700（a －1）米，三峡坝区的传递路程为（881a ＋2309）米.设圣火在宜昌的传递总路程为x 米.
（1）用含a 的代数式表示s ； （2）已知a=11，求s 的值.
7、（2008泰州）让我们轻松一下，做一个数字游戏：
第一步：取一个自然数n 1=5 ，计算n 12+1得a 1；
第二步：算出a 1的各位数字之和得n 2，计算n 22+1得a 2；
第三步：算出a 2的各位数字之和得n 3，再计算n 23＋1得a 3；
…………
依此类推，则a 2008=_____________．
第5课时 整式的乘除运算
一、知识要点
1、整式的乘法（各举一例）
①单项式乘以单项式： ②单项式乘以多项式： ③多项式乘以多项式： 2、整式的除法（各举一例）
①单项式除以单项式： ②多项式除以单项式： 3、乘法公式：
①平方差公式： ②完全平方公式： 二、典例精析 例1、计算：
①()()2
121x x ++-= ．
②31
(2)(1)4
a a -?-= ．
点评：熟练掌握整式的乘法运算.
例2、先化简，再求值：
3(2)(2)()a b a b ab ab -++÷-；其中
21a b ==-，
点评：准确熟练地进行整式的运算，是准确求值的前提；合理的化简对于求值而言往往可以起到事半功倍的效果.
例3、（2009内江市）在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ）
A ．
2
222)(b ab a b a ++=+ B ．2
2
2
2)(b ab a b a +-=- C ．))((22
b a b a b a -+=- D ．2
2
2))(2(b ab a b a b a -+=-+
点评：用图形的方式解释公式，既直观，又蕴含重要的数学思想.
例4、（2009北京）已知2514x x -=，求()()()212111x x x ---++的值.
例5、先化简式子，再选取一个合适的x 的值，求出此时代数式的值。
22212
(
)224
x x x x x +-÷
--- 点评：整式除法的处理方式, 从一定程度上看就是分式的约分.
三、中考链接
1、（2009深圳）计算：()
=÷52
3
y y .
2、(2009宁夏)已知：32
a b +=
，1ab =，化简(2)(2)a b --的结果
是 ．
3、（2008遵义）计算：
2(2)a a -÷= ．
4、(2008东莞)下列式子中是完全平方式的是（ ）
A ．2
2
b ab a ++
B ．222
++a a
C ．2
2
2b b a +- D ．122
++a a 5、（2009威海）先化简，再求值：
22()()(2)3a b a b a b a ++-+-，其中2332a b =--=-，．
四、优化练习
1、下列运算正确的是( ) A ．23
5
()x x = B ．224
347x x x += C ．9
3
6
()()x x x -÷-= D ．2
3
2
(1)x x x x x x --+=--- 2、（2009嘉兴）化简：
a a
b b
a b b 图甲 图乙
)8(2
1
)2)(2(b a b b a b a ---+．
3、计算：①()()()2
312x x x +--- ②()()()()x y x y x y x y -++-++
4、先化简，再求值：
22(3)(2)1x x x x x -+-+，其中3x =
5、（2009长沙）先化简，再求值：
22()()()2a b a b a b a +-++-，其中
1
33
a b ==-，．
6、先化简，再求值：
(2)(2)(2)a a a a -+--，其中1a =-．
第6课时 因式分解
一、知识要点 1、定义：将一个多项式化成几个整式的 的形式，叫做把这个多项式进行因式分解。
2、因式分解的方法（各举一例） ①提取公因式
法： ； ②公式法： ； ③分组分解法： . 3、一般步骤：“一提”“二套”“三分组”；分解因式要分解彻底. 二、典例精析 例1、下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ）
A ．()a x y ax ay +=+
B ．2
44(4)4x x x x -+=-+
C ．2
1055(21)x x x x -=-
D ．2
163(4)(4)3x x x x x -+=+-+
点评：因式分解就是整式乘法的逆向运用，而且是整个多项式，而不是部分. 例2、分解因式： ①33
824a b ab c -
②2
36a ab a -+
③6(2)(2)a a a -+-
④23
2(1)6(1)x y x -+-
点评：公因式不仅仅可以是单项式，还可以是多项式，需准确理解.
例3、分解因式：
①2
9x -= ； ②34a a -= ；
③2
44x x -+-= ；
④3
2
44y y y -+= . 点评：运用公式法分解因式，需要准确理解公式的特征. 例4、分解因式： ①2
66m n mn m +-- ②2
2
x ax ay y ++- ③22
12a b ab --+
点评：分组分解法应该遵循的原则是将有公因式或可运用公式的分在一组，另该方法有时需要进行多次尝试方能成功.
例5、下列各式能分解因式的个数有（ ）
①2
2
39x xy y -+，②2
2
2x y xy --，
③22
2a b ab ---，④2
2
16x y --，
⑤229a b -+，⑥2
21424
x xy y -+
A ．5个
B .4个
C .3个
D .2个
点评：本组式子主要是加强对公式的理解.
三、中考链接
1、（2009重庆）把多项式a ax ax 22
--分解因式，下列结果正确的是 （ ） A .)1)(2(+-x x a B . )1)(2(-+x x a
C .2
)1(-x a
D . )1)(2(+-ax ax
2、（2009北京）把3
2
2
2x x y xy -+分解因式，结果正确的是（ ） A .()()x x y x y +- B .()
222x x xy y -+
C .()2
x x y + D .()2
x x y -
3、（2009枣庄）若3m n +=，则
222426m mn n ++-的值为（ ）
A ．12
B ．6
C ．3
D ．0
4、（眉山）下列因式分解错误的是( ) A ．2
2
()()x y x y x y -=+- B ．2
2
69(3)x x x ++=+ C ．2()x xy x x y +=+
D ．222
()x y x y +=+
5、（2009杭州）在实数范围内分解因式：44
-x = _____________．
四、优化练习
1、若 (19x -31)(13x -17)-(13x -17)(11x -23)可因式分解成()(8)ax b x c ++，其中a 、b 、c 均为整数，则a +b +c =？
A ．-12
B ．-32
C ．38
D ．72 2、分解因式：=-ay ax . 3、（2009株洲）分解因式：
3+2x x= .
4、(2009年内江)分解因式：
_____________223=---x x x .
5、（2009安徽）因式分解：
2221a b b ---= ． 6、（2009威海）分解因式：
2(3)(3)x x +-+=
．
7、已知：31x =+，31y =-，求下列各式的值.
（1）2
2
2x xy y ++； （2）2
2
x y -．
8、在三个整式2
2
2
22x xy y xy x
++，，中，请你任意选出两个进行加（或减）运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解.
第7课时 分式(一)
一、知识要点 1．分式的概念：
一个整式f 除以一个非零的整式g ，所得的商叫做分式。g 中必须含有________。
2.分式值为0?分母≠0，分子=0； 分式有意义?分母≠0； 分式无意义?分母=0。 3．分式基本性质： (1)
b a =bm am ， (2) b a =b m a m
÷÷（m ≠____）。
4.分式的符号法则：
根据分式的性质，分子、分母、分式本
身的符号，改变其中任意两个，分式的值不改变。 即
符
号
法
则
：
-
b a
=-
()a -=+()a -=+()
a
。 5.约分:不改变分式的值，约去分式的分子和分母的______，这种变形叫约分。 6.通分: 不改变分式的值，将异分母的分式化成______叫做分式的通分。
二、考点分析
例1：（2009·广西梧州）在函数
2
1
-=
x y 中，自变量x 的取值范围是（ ）
A ．2-≠x
B ．2≠x
C ．x ≤2
D ．x ≥2
变式题（2009·肇庆）若分式
3
3
x x -+的值为零，则x 的值是（ ）
A ．3
B ．3-
C ．3±
D ．0
点评：弄清分式的概念,知道分式有意义和分式的值为零的条件,这是解决这类问题的关键.
例2：下列运算中,错误的是( ) A
．
(0)a ac
c b bc
=≠ B ．1a b
a b
--=-+
C
．
0.50.151
0.20.323a a a b a b
++=
-- D ．
x y y x
x y y x
--=++
点评：熟练掌握分式的基本性质和符号法则,这是解决分式问题的基础.
例3：(2008·益阳)
在下列三个不为零的式子
24,x -22,x x -244x x -+中,任意选两
个你喜欢的式子组成一个分式是_____________,把这个分
式化简所得的结果是_______________.
点评：这是一个开放性问题,解决这类问题可以从多角度考虑.
三、中考链接
1．（2009·福州）若分式
2
1
x -有意义，则x 的取值范围是（ ）
A ．x ≠1
B ．x >1
C ． x =1
D ．x <1
2．（2009·荆门）计算2
2()ab a b
-的结果是
（ ）
A ．a
B ．b
C ．1
D ．－b
3．（2009·吉林）化简2244xy y
x x --+的结果是 （ ） A ．
2x x + B ．2x x - C ．2y x + D ．2
y x -
4．(2009·温州)某单位全体员工在植树节义务植树240棵．原计划每小时植树a 棵。实际每小时植树的棵数是原计划的
1．2倍，那么实际比原计划提前了 _______小时完成任务(用含a 的代数式表示)．
四、优化训练
1.（2009·清远）当x = 时，分式
1
2
x -无意义．
2. (2009·义乌)化简22a a
a +的结果是 ___
3.（2009·天津市）若分式22
2
21
x x x x --++的值
为0，则x 的值等于 ．
4.(2009·内江市)已知25350x x --=，
则221
52525
x x x x ----＝__________．
5. （2009·淄博市）化简22
2a b a ab
-+的结果
为（ ）
A ．b a -
B ．
a b
a
-
C ．
a b
a
+ D ．b -
6. （2009·深圳市）化简
6
29
62
-+-x x x 的结
果
是（ ）
A ．2
3+x
B ．2
92+x
C ．2
9
2-x D ．23-x
7． (2009·河北)已知 a = 2，
1-=b ，
求2221a b a ab --+÷1a 的值．
8.（2009·烟台市）设0a b >>，
2260a b ab +-=，求
a b
b a
+-的值．
9．观察下列等式:
111111,,1222323=-=-??111
,3434
=-?将以上三个等式两边分别相加得: 11111111112233422334++=-+-+-???
3
4
= (1) 猜想并写出
1
_________.(1)
n n =+
(2) 直接写出下列各式的计算结果:
1111..._______;12233420092010
++++=????
1111..._______;122334(1)
n n ++++=????+
(3)探究并计算:
1111
(24466820082010)
++++
????
第8课时 分式(二)
一、知识要点
1．同分母分式相加减：分母_______，分
子________，最后还要________。 即
________a b
c c
±=。 2．异分母分式相加减：先_______，然后分母________，分子_________，最后仍要________。
即
______a c ad bc
b d bd
±±==
3．分式的乘除法：
b a ·d
c =bd
ac
，
b a ÷n m =b a ·m n =bm an
。 分式的乘法实质上就是：分子与分母分
别相乘，然后约分。 4.分式的乘方: ()________n a
b
= 5．混合运算：先算乘方，再算乘除，最后进行加减运算，遇有括号先算括号里面的。
注意：（1）如果分子、分母是多项式，在运算中要进行多项式的因式分解。 （2）分式运算的结果要化成最简分式。
二、考点分析
例1：（2009·烟台市）学完分式运算后，老师出了一道题“化简：
23224
x x
x x +-+
+-” 小明的做法是：
原式2
2
(3)(2)2
44
x x x x x +--=
--- 22
624x x x x +---=-228
4
x x -=-； 小亮的做法是：
原式=(3)(2)(2)x x x +-+-
=262x x x +-+-24x =-
小芳的做法是： 原式32
2(2)(2)
x x x x x +-=
-++- 3131
1222
x x x x x ++-=
-==+++ 其中正确的是（ ）
A ．小明
B ．小亮
C ．小芳
D ．没有正确的
点评：进行分式的加减运算要化成同分母的形式,分子相减时要注意符号的变化.
例2：
（1）化简：x
x x x x 2)242(2
-÷+-+
（2）化简:
35
(2)482y y y y -÷+---
点评：注意运算顺序,分子、分母是多项式时能分解因式的要分解因式。
例3：（2009·黑龙江大兴安岭）先化
简：???
? ??++÷--a b ab a ab a b a 22222，当1-=b 时，请你为a 任选一个适当的数代入求
值．
提示：选择a 的数值时要使运算尽量简便，同时要考虑原式有意义。
三、中考链接 1.化简：
1_________a b a b b a ++=--
2. （2009·威海）化简
11y x x y ????-÷- ? ?????
的结果是（ ） A ．y x
-
B ． x y -
C ． x
y
D ．
y
x
3．(2009·陕西省)化简b
a a
a b a -?-)(2的
结
果是( )
A ．b a -
B ．b a +
C ．
b a -1 D ．b
a +1
4.（2009·株洲市）先化简，再求值：
233
93
x x x ++
--，其中1x =-．
四、优化训练
1.（2009·衢州）化简：
2111
x x
x x -+=++ ． 2．（2009·新疆乌鲁木齐市）化简：
224442
x x x
x x ++-=-- ．
3.（2009·佳木斯）计算
2
1111a a a ??+÷ ?--??
=
4.(2009·黄冈市)化简
a a a a a a 2422-???
? ??+--的结果是（
） A ．－4 B ．4
C ．2a
D ．－2a
5.（2009·长沙）分式11
1(1)
a a a +++的计算结果是（ ）
A ．
11a + B ．1a a + C ．1a D ．1a a
+
6．（2009·山西省）化简：
22
22
42
x x x x +---
7.（2009·青岛市）化简：
2211
x x x x
+-÷；
第9课时 二次根式(一)
一、知识要点
1．二次根式：我们把形如a （_____）
的式子叫做二次根式。 2．最简二次根式：符合条件
（1）被开方式中不含________，（?2）?
被开方式中不含_________，符合以上两个条件的二次根式叫最简二次根式。 3．同类二次根式：化成_______式后，?被开方式相同的二次根式叫做同类二次根。
4．二次根式的性质 ⑴
a 0； ⑵
()
=2
a
（a ≥0）
⑶ =2a =_____()_____(
)
??
?
⑶ =ab （0,0≥≥b a ）；
⑷
=b
a
（0,0>≥b a ）. 二、考点分析
例1：(2009·株洲市)若使二次根式
2x -在实数范围内有意义．．．
，则x 的取值范围是( )
A ．2x ≥
B ．2x >
C ．2x <
D ．2x ≤
点评：知道二次根式有意义条件,是解决这类问题的关键.
例2：(2009·株洲市)估计1
832
?+的运算结果应在( )
A ．1到2之间
B ．2到3之间
C ．3到4之间
D ．4到5之间
点评：先要把运算式化简,再去估计运算
结果的范围.
例3：（2008·荆州）下列根式中属最简二次根式的是（ ） A.21a + B.
1
2
C.8
D.27
点评：判断一个二次根式是否是最简二次
根式一定要抓住最简二次根式的两个条件,以免误判.
例4：已知ABC 的三边,,a b c 满足
2|12|102422a b c a b ++--=+--,
试确定三角形的形状。 提示：把式子通过配方变成
22(5)(41)|12|0a b c -+--+--=
的形式.
三、中考链接
1．(2009·湘潭市)函数3y x =
-中，
自变量x 的取值范围是（ ） A ．3x > B ．3x ≥
C ．0x ≥
D ．3x ≤ 2．（2008·芜湖）估计
1
32202
?
+的运算结果应在（ ）
A ．6到7之间
B ．7到8之间
C ．8到9之间
D ．9到10之间
3．（2009·海淀）下列根式中能与3合并的二次根式为（ ） A ．
3
2
B ．24
C ．12
D ．18
4．（2009·芜湖）已知
|1|80a b ++-=，
则a b -= ． 四、优化训练
1．（2009·永州市）函数42y x =
-的
自变量x 的取值范围是 2.(2008
·
安
徽
)
化
简
:
2(4)_______-=
3.(2009
·
怀
化)若
()2
2340a b c -+-+-=， 则=+-c b a ． 4.（2009·玉林）计算()
2
3的结果是
（ ）
A ．9
B ．9-
C ．3
D ．3- 5．（2009·贺州）下列根式中不是最简二次根式的是（ ）．
A ．2
B ．6
C ．8
D ．10 6.（2009·莆田）若2
(3)3a a -=-，则a 与3的大小关系是( )
A ．3a <
B ．3a ≤
C ．3a >
D ．3a ≥
7.（2009·荆门）若11x x ---=(x ＋y)2
，则x －y 的值为( )
A.－1
B.1
C.2
D.3
8. (2009·邵阳)阅读下列材料，然后回答问题。 在进行二次根式去处时，我们有时会碰上如
3
5，32，
1
32
+一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
35＝5535553＝??；（一） 3
2
＝363332＝??（二） 132+＝）
）（（）
－（1313132-+? ＝
131
31322
2---＝）（）
（ （三） 以上这种化简的步骤叫做分母有理化。
1
32
+还可以用以下方法化简： 132+=2
2
31313131
--++（）＝31313131
+--+（）(）＝＝（四）
(1)请用不同的方法化简
3
52
+。
(完整版)第1讲数与式中考第一轮复习教案(含答案)(可编辑修改word版)
数学辅导教案 知识点梳理 【实数】 1.实数的有关概念及分类： ①实数的分类 ②数轴:规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴,实数与数轴上的点一一对应； ③相反数：如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数； ④倒数:如果两个数的乘积为 1，那么这两个数互为倒数； ?a(a ≥ 0) ⑤绝对值：一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值；去绝对值：a =?-a(a < 0) ? 绝对值的几何意义：在数轴上，a -b 表示 a 对应的点到 b 对应的点的距离。 ⑥非负数：a2，a,a 2.科学计数法和近似数：①科学计数法：a ?10n,1 ≤a < 10 ;②近似数：与实际接近的数称为近似数。 精确度：一个近似数的精确度可用四舍五入法表述，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。 3.实数的大小比较：数轴法，绝对值法。 实数的运算：实数的运算顺序，运算律。 【整式】 1、代数式：由数、表示数的字母和运算符号组成的数学表达式称为代数式。单独一个数或者一个字母也称代数式。 ①列代数式；②求代数式的值。 2、整式：单项式和多项式统称为整式 ①单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，单独一个数或一个字母也叫单项式。 单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 ②多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式。在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，次数最高的项的次数就是这个多项式的次数。 ③同类项:多项式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。所有的常数项也看做同类项。把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。
华师大版数与式教案
中考数学复习一数与式 复习重点、难点 教学重点：实数的有关概念与实数的运算；代数式概念运算以及简单应用，代数式的恒等变形及化简求值。 教学过程： 知识点回顾： （一）实数 1. 实数的有关概念 [知识要点] （1）实数分类 实数还可以分为：正实数、零、负实数；有理数还可以分为：正有理数、零、负有理数。解题中需考虑数的取值范围时，常常用到这种分类方法。特别要注意0是自然数。 （2）数轴 数轴的三要素：原点、正方向和单位长度。实数与数轴上的点是一一对应的，这种一
一对应关系是数学中把数和形结合起来的重要基础。在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 （3）绝对值 绝对值的代数意义：||()()()a a a a a a =>=-
[知识要点] （1）实数的加、减、乘、除、乘方、开方运算，整数指数幂的运算。 （2）有理数的运算法则在实数范围仍然适用；实数的运算律、运算顺序。 （3）加法及乘法的运算律可用于实数运算的巧算。 （4）近似数的精确度、有效数字、科学记数法的形式为a a n ?≤<10110（其中，||n 为整数）。 （5）实数大小的比较：两个实数比较大小，正数大于零和一切负数；两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数较小。常用方法：①数轴图示法。②作差法。③平方法等。 （二）代数式 1. 代数式概念、运算以及简单应用 [知识要点] （1）代数式的分类 （2）各类代数式的概念
中考总复习数与式教案
中考总复习教案 第一章 数与式 第一课时 实数 教学目的 1．理解有理数的意义，了解无理数等概念． 2．能用数轴上的点表示有理数，掌握相反数的性质，会求实数的绝对值． 3．会用科学记数法表示数． 4．会比较实数的大小，会利用绝对值知识解决简单化简问题． 5．掌握有理数的运算法则，并能灵活的运用． 教学重点与难点 重点：数轴、绝对值等概念及其运用，有理数的运算． 难点：利用绝对值知识解决简单化简问题，实数的大小比较． 教学方法：用例习题串知识（复习时要注意知识综合性的复习）． 教学过程 （一）知识梳理 1．???????????比较大小念平方根、算术平方根概绝对值相反数数轴实数的分类实数 2．????????????????科学记数法 运算律乘方、开方乘、除法加、减法法则实数的运算 （二）例习题讲解与练习 例1 在3.14，1-5，0， 2π，30°，7 22，38-，0.2020020002…（数字2后面“0”的个数逐次多一个）这八个数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ （考查的知识点：有理数、实数等概念． 考查层次：易） （最基本的知识，由学生口答，师生共同归纳、小结） 【归纳】：（1）整数与分数统称为有理数（强调数字0的特点）； 无限不循环小数是无理数．注意：常见的无理数有三类①π，… ②3，5，… ， （38-不是无理数） ③0.1010010001…（数字1后面“0”的个数逐次多一个）． （2）一个无理数加、减、乘、除一个有理数（0除外）仍是无理数（ 2 π是无理数）． 注：此题可以以其它形式出现，如练习题中2或12题等 例2 （1）已知2与21互为相反数，求a 的值； （2）若x 、y 是实数，且满足(2)23y x +-0，求()2的值． （考查的知识点：相反数的性质、二次根式的性质、非负数等概念． 考查层次：易） （这是基础知识，由学生解答，老师总结） 【总结】：（1）对于一个具体的数，要会求它的相反数（倒数、绝对值、平方根与算术平方根），对于一个代数式，也要会求它的相反数．解答是要注意从概念中蕴涵的数学关系入手：a 、b 互为相反数?0；a 、b 互为倒数?a ·1． （2）非负数概念：
XX年中考数学数与式总复习教案【DOC范文整理】
XX年中考数学数与式总复习教案 数与式 课时1 .实数的有关概念 【考点链接】 一、有理数的意义 .数轴的三要素为、和.数轴上的点与构成一一对应. .实数的相反数为 _________ .若，互为相反数，则=. .非零实数的倒数为 _______ .若，互为倒数，则=. .绝对值 在数轴上表示一个数的点离开的距离叫做这个数的绝对值。即一个正数的绝对值等于它；o的绝对值是；负数的 绝对值是它的。 a 即I a | =0 -a .科学记数法：把一个数表示成的形式，其中1<< 10 的数，n是整数. .一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.这时，从 左边个不是的数起，到止，所有的数字都叫做这个数的
有效数字. 二、实数的分类 .按定义分类 正整数 整数零自然数 有理数负整数 正分数 分数有限小数或无限循环小数 实数负分数 正无理数 无理数无限不循环小数 负无理数 .按正负分类 正整数 正有理数 正实数正分数 正无理数 实数零 负整数 负有理数 负实数负分数 负无理数
【河北三年中考试题】 .的倒数是 A. B. c. D. .若互为相反数，贝U. 若、n互为倒数，则的值为. .据中国科学院统计，到今年5月，我国已经成为世界 第四风力发电大国，年发电量约为1XX000千瓦.1XX000用 科学记数法表示为. .的相反数是. .如图7,矩形ABcD的顶点A, B在数轴上，cD=6,点A对应的数为，则点B所对应的数为. 课时2.实数的运算与大小比较 【考点链接】 一、实数的运算 .实数的运算种类有：加法、减法、乘法、除法、、六 种，其中减法转化为运算，除法、乘方都转化为运算。 数的乘方，其中叫做，n叫做. 实数运算先算，再算，最后算；如果有括号，先算 里面的，同一级运算按照从到的顺序依次进行 二、实数的大小比较 .数轴上两个点表示的数，的点表示的数总比的点表示的数大. .正数0,负数0,正数负数；两个负数比较大小，绝
(完整版)中考总复习《数与式》教案
中考总复习教案 第一章 数与式 《数与式》是初中数学的基础知识，是中考命题的重要内容之一，年年考查，北京近三年来在新课标中考试题中“数与式”部分的权重：35%左右，分量之中，不容忽视！ 一、本章知识要点与课时安排（大致安排五课时左右） （一） 实数（一课时） （二） 整式与因式分解（一至两课时） （三） 分式与二次根式（两课时） （四） 数式规律的探索（可以揉到前面几讲中去讲，也可以单设一课时） 说明：您可以根据自己学生的学习程度，合理安排复习内容。 二、课时教案 第一课时 实数 教学目的 1．理解有理数的意义，了解无理数等概念． 2．能用数轴上的点表示有理数，掌握相反数的性质，会求实数的绝对值． 3．会用科学记数法表示数． 4．会比较实数的大小，会利用绝对值知识解决简单化简问题． 5．掌握有理数的运算法则，并能灵活的运用． 教学重点与难点 重点：数轴、绝对值等概念及其运用，有理数的运算． 难点：利用绝对值知识解决简单化简问题，实数的大小比较． 教学方法：用例习题串知识（复习时要注意知识综合性的复习）． 教学过程 （一）知识梳理 1．?? ?? ???? ? ??比较大小念 平方根、算术平方根概绝对值相反数数轴实数的分类 实数 2．????????????????科学记数法 运算律乘方、开方乘、除法加、减法法则实数的运算 （二）例习题讲解与练习 例1 在3.14，1-5，0， 2π，cos30°，7 22 ，38-，0.2020020002…（数字2后面“0”的个数逐次多一个）这八个数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ （考查的知识点：有理数、实数等概念． 考查层次：易） （最基本的知识，由学生口答，师生共同归纳、小结） 【归纳】：（1）整数与分数统称为有理数（强调数字0的特点）； 无限不循环小数是无理数．注意：常见的无理数有三类①π，… ②3，5，… ， （38 -
数与式教案
个性化辅导教案 学科数学学生年级授课时间 2014 年月日授课教师陈老师 上课内容第一讲数与式总第次课 教学目标①正确理解数与式的概念。②理解概念熟练运用公式 解题。③提升学生综合解决问题的能力。 教学重点概念的梳理教学难点知识的综合运用 知识要点一，实数及其运算 整数 有理数：有限小数 定义理解：分数：无限循环小数 无理数：无限不循环小数 分析：开尽方的是有理数 带根号的：把被开方数进行化简：不能开尽方的是无理数 形式上辨别：所有的分数都是有理数 无限小数：无限循环小数是有理数 无限不循环小数是无理数 归纳： ①通过图形分析，理解有理数的意义，能用数轴上的点表述有理数。理解实数与数轴上的点的一 一对应关系，借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数和绝对值（绝对值符号内不含字母），能比较有理数的大小，知道 a 的含义（a表示有理数）。 1，数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。原点、正方向、单位长度为数轴的三要素。 2，绝对值：实数在数轴上对应的点到原点的距离，叫做这个数的绝对值。 a （a＞0） ｜a｜＝0 （a＝0） －a （a＜0） 3，相反数：只有符号不同，而绝对值相等的两个数称为相反数。 互为相反数的两个数的和为零。 4，近似数、有效数字：按照某种要求采用四舍五入得到与原来的数接近的数叫做近似数； 从左边第一个不是零的数字起到精确到的数位止的所有数字，为有效数字。 5，科学记数法：把一个数表示成：N＝a×10n（1≤｜a｜＜10） ②有理数的运算，理解乘方的意义，掌握有理数的加，减，乘，除，乘方运算和简单混合运算并理解有理数的算律，能运用有理数的运算律化简有理数的运算，会用计算器进行近似计算，能用有理数估计一个无理数的大致范围，了解近似数的概念。 ③了解平方根，算术平方根与立方根的概念，会用根号表示平方根，算术平方根与立方根，理解开方与乘方是互为逆运算的，会用平方运算或立方运算求一些数的平方根或立方根。
中考数学第一轮复习教案——数与式
第一章 数与式 第1课时 实数的基本概念 一、知识要点 1、实数分类 ①0????? 正实数：实数负实数： ②???????? 整数：有理数实数分数： 无理数：无限不循环小数： 2、数轴、相反数、绝对值、倒数 ①只有 的两个数互为相反数；若a 与b 互为相反数，则 . ②数轴：规定了 、 、 的直线；数轴上的点与 一一对应. ③绝对值： （ⅰ）代数意义：(0)(0)(0) a a a a >?? ==? ?，则 x y += . 点评：实数的基本概念要准确理解，其中绝对值属于难点，当重点突破. 例2、把下列各数填到相应的集合中： 13 3.140.1010010001π--、、、 ..22sin 30tan 4530.321 3.27 ??---、、、、、. 整数集合{ }； 分数集合{ }； 无理数集合{ }. 点评：对于实数的认识主要是理解无理数的意义，即对无限不循环小数的理解. 例3、已知实数a b 、在数轴上对应的点的 位置如图所示，化简a b - 点评：数轴作为重要的数学工具，它 让数形有机结合，正确认识数轴上的点与实数的一一对应关系. 例 4、若2 15)0m -+=，求m n 、的值. 点评：绝对值、偶次幂以及偶次方根的非负性，认识需要全面而且准确. 三、中考链接
中考总复习《数与式》教案
中考总复习教案 第一章数与式 《数与式》是初中数学的基础知识，是中考命题的重要内容之一，年年考查，北京近三年来在新课标中考试题中“数与式”部分的权重：35%左右，分量之中，不容忽视！ 一、本章知识要点与课时安排（大致安排五课时左右） （一）实数（一课时） （二）整式与因式分解（一至两课时） （三）分式与二次根式（两课时） （四）数式规律的探索（可以揉到前面几讲中去讲，也可以单设一课时） 说明：您可以根据自己学生的学习程度，合理安排复习内容。 二、课时教案 第一课时实数 教学目的 1．理解有理数的意义，了解无理数等概念． 2．能用数轴上的点表示有理数，掌握相反数的性质，会求实数的绝对值． 3．会用科学记数法表示数． 4．会比较实数的大小，会利用绝对值知识解决简单化简问题． 5．掌握有理数的运算法则，并能灵活的运用． 教学重点与难点 重点：数轴、绝对值等概念及其运用，有理数的运算． 难点：利用绝对值知识解决简单化简问题，实数的大小比较． 教学方法：用例习题串知识（复习时要注意知识综合性的复习）． 教学过程 （一）知识梳理
1．?? ?? ???? ? ??比较大小念 平方根、算术平方根概绝对值相反数数轴实数的分类 实数2．????????????????科学记数法 运算律乘方、开方乘、除法加、减法法则实数的运算 （二）例习题讲解与练习 例1在3.14，1-5，0， 2π，cos30°，7 22 ，38-，0.2020020002…（数字2后面“0”的个数逐次多一个）这八个数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ （考查的知识点：有理数、实数等概念．考查层次：易） （最基本的知识，由学生口答，师生共同归纳、小结） 【归纳】：（1）整数与分数统称为有理数（强调数字0的特点）； 无限不循环小数是无理数．注意：常见的无理数有三类①π，…②3，5，…，（38-不是无理数）③0.1010010001…（数字1后面“0”的个数逐次多一个）． （2）一个无理数加、减、乘、除一个有理数（0除外）仍是无理数（2 π 是无理数）． 注：此题可以以其它形式出现，如练习题中2或12题等 例2（1）已知a -2与2a+1互为相反数，求a 的值； （2）若x 、y 是实数，且满足(x -2)2+3y x +-=0，求(x+y)2的值． （考查的知识点：相反数的性质、二次根式的性质、非负数等概念．考查层次：易） （这是基础知识，由学生解答，老师总结） 【总结】：（1）对于一个具体的数，要会求它的相反数（倒数、绝对值、平方根与算术平方根），对于一个代数式，也要会求它的相反数．解答是要注意从概念中蕴涵的数学关系入手：a 、b 互为相反数?a+b=0；a 、b 互为倒数?a ·b=1． （2）非负数概念： 例3（1）若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为-3，则A 与B 两点间的距离可表示为________________． （2）实数a 、b 在数轴上分别对应的点的位置如图所示，请比较a ，-b ，a-b ，a+b 的大小（用“<”号连接）___________________． （3）①化简=-π5_________；②347-=__________； ③估计 215-与0.5的大小关系是2 1 5-0.5（填“>”、“=”、“<”）． （答案：（1）3x +；（2）a+b
1.数与式教案
第一讲 数与式 在初中，我们已学习了实数，知道字母可以表示数，用代数式也可以表示数，我们把实数和代数式简称为数与式．代数式中有整式（多项式、单项式）、分式、根式．它们具有实数的属性，可以进行运算．在多项式的乘法运算中，我们学习了乘法公式（平方差公式与完全平方公式），并且知道乘法公式可以使多项式的运算简便．由于在高中学习中还会遇到更复杂的多项式乘法运算，因此本节中将拓展乘法公式的内容，补充三个数和的完全平方公式、立方和、立方差公式．在根式的运算中，我们已学过被开方数是实数的根式运算，而在高中数学学习中，经常会接触到被开方数是字母的情形，但在初中却没有涉及，因此本节中要补充．基于同样的原因，还要补充“繁分式”等有关内容． 一、乘法公式 【公式1】平方差公式：2 2 ()()a b a b a b -=+- 【公式2】完全平方公式：2 2 2 ()2a b a ab b ±=±+ 【公式3】完全立方公式：3 3 2 2 3 ()33a b a a b ab b ±=±+± 【公式4】ca bc ab c b a c b a 222)(22 2 2 +++++=++（完全平方公式） 证明：2 2 2 2 )(2)(])[()(c c b a b a c b a c b a ++++=++=++ ca bc ab c b a c bc ac b ab a 222222222222++++++++++=. ∴等式成立 【例1】计算：2 2 )3 12(+-x x 解：原式=22 ]31)2([+-+x x 222222432111 ()()()2(22() 33381 . 339 x x x x x x x =++++?+??=-+-+ 说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列． 【公式5】3 3 2 2 ))((b a b ab a b a +=+-+(立方和公式) 证明: 3 332222322))((b a b ab b a ab b a a b ab a b a +=+-++-=+-+. 【公式6】3 322))((b a b ab a b a -=++-(立方差公式) 证明：2 2 2 2 3 3 3 3 ()()[()][()()]()a b a ab b a b a a b b a b a b -++=+---+-=+-=-. 【例2】计算： （1）)416)(4(2 m m m +-+ （2）)4 1 101251)(2151(22n mn m n m ++- （3）)164)(2)(2(24++-+a a a a （4）2 2222))(2(y xy x y xy x +-++ 解：（1）原式=3 33644m m +=+. （2）原式=3 333811251)21()51(n m n m -= -. （3）原式=644)()44)(4(6 3322242-=-=++-a a a a a . （4）原式=2 2 2 222 2 )])([()()(y xy x y x y xy x y x +-+=+-+ 6 33 62332)(y y x x y x ++=+=. 说明：在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构． 【例3】已知2 310x x -+=，求33 1 x x + 的值．
初中-数学-综合版-数与式-教案
课题：第一章有理数复习（两课时） 【复习目标】：复习整理有理数有关概念和有理数的运算法则，运算律以及近似计算等有关知识； 【复习重点】：有理数概念和有理数的运算； 【复习难点】：对有理数的运算法则的理解； 【导学指导】： 一、知识回顾 （一）正负数有理数的分类： _____________统称整数，试举例说明。 _____________统称分数，试举例说明。 ____________统称有理数。 （二）数轴规定了、、的直线，叫数轴 (三)、相反数的概念 像2和-2、-5和5、2.5和-2.5这样，只有不同的两个数叫做互为相反数； 0的相反数是。一般地：若a为任一有理数，则a的相反数为-a 相反数的相关性质： 1、相反数的几何意义：
表示互为相反数的两个点（除0外）分别在原点O的两边，并且到原点的距离相等。 2、互为相反数的两个数，和为0。 (四)、绝对值 一般地，数轴上表示数a的点与原点的叫做数a的绝对值，记作∣a∣； 一个正数的绝对值是； 一个负数的绝对值是它的； 0的绝对值是 . 任一个有理数a的绝对值用式子表示就是： （1）当a是正数（即a>0）时，∣a∣= ； （2）当a是负数（即a<0）时，∣a∣= ； （3）当a=0时，∣a∣= ； 【课堂练习】 1.把下列各数填在相应额大括号内： 1，－0.1，-789，25，0，-20，-3.14，-590，87 正整数集｛…｝；正有理数集｛…｝；负有理数集｛…｝； 负整数集｛…｝；自然数集｛…｝；正分数集｛…｝； 负分数集｛…｝；
2．如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（） 3．在数轴上画出表示下列各数的点，并按从大到小的顺序排 列，用“>”号连接起来。 4，-|-2|，-4.5，1，0 4.下列语句中正确的是（） Ａ.数轴上的点只能表示整数 Ｂ.数轴上的点只能表示分数 Ｃ.数轴上的点只能表示有理数 Ｄ.所有有理数都可以用数轴上的点表示出来 5. -5的相反数是；-（-8）的相反数是；- [+（-6）]= 0的相反数是； a的相反数是； 6. 若a和b是互为相反数，则a+b= 。 7．如果－x＝－6，那么x＝______；－x＝9，那么x＝_____ 8． |-8|= ； -|-5|= ；绝对值等于4的 数是_______。 9．如果3 a，则______ > 3= -a - 3= a，______ 10.有理数中，最大的负整数是，最小的正整数是 ,最 大的非正数是。 【要点归纳】： 【拓展训练】：
九年级数学专题复习《数与式》教学设计
九年级数学专题复习教学设计《数与式》 ——万安中学成冬琴 【学习目标】 1.正确理解实数的有关概念，能用数轴上的点表示实数； 2.借助数轴理解相反数、绝对值的意义，掌握求实数相反数、绝对值和倒数的方法； 3.掌握科学计数法表示一个数，能按问题的要求对结果取近似值. 【重点难点】 实数的有关概念 【学习过程】 一、自主学习 考点一 实数的有关概念 1．数轴 规定了____、______、_____的直线，叫做数轴．____和数轴上的点是一一对应的． 2．相反数 (1)实数a 的相反数为____；(2)a 与b 互为相反数?______________； (3)相反数的几何意义：在数轴上，表示相反数的两个点位于原点的两侧，且到原点的距离__________ 3．倒数 (1)实数a 的倒数是______，其中a____0；(2)a 和b 互为倒数?___________ 4．绝对值 在数轴上表示一个数的点离开_____的距离叫做这个数的绝对值．即一个正数的绝对值等于它_____，0的绝对值是___，负数的绝对值是它的__________. 即|a|＝???? ? a a ＞ 00 a ＝ － a a ＜ 考点二 实数的分类
考点三 平方根、算术平方根、立方根 1．若________(a ≥0)，则x 叫做a 的平方根，记作______；正数a 的_________叫做算术平方根，记作______ 2．平方根有以下性质 (1)正数有两个平方根，它们_____________；(2)0的平方根是____；(3)_________没有平方根． 3．如果x 3＝a ，那么x 叫做a 的立方根，记作________ 考点四 科学记数法、近似数、有效数字 1．科学记数法 把一个数N 表示成____________(__≤|a|＜____，n 是整数)的形式叫科学记数法． 2．近似数与有效数字 一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，这时从__边第一个不为0的数字起，到______数字为止，所有的数字都叫做这个近似数的有效数字． 二、合作交流 例1.下列运算正确的是（ ） A ．33--= B ．3 )3 1(1-=- C 3=± D 3=- 例 ） A ． C ． D 例3.实数a b ，在数轴上对应点的位置如图所示， 则必有（ ） A ．0a b +> B ．0a b -< C ．0ab > D ．0a b < 例4.有一个运算程序，可以使： a ⊕ b = n (n 为常数)时，得 （a +1）⊕b = n +2， a ⊕（b +1）= n -3 现在已知1⊕2 = 4，那么2013⊕2014 = ． 0 a 0
[初中数学]数与式教案1 人教版
第一章 数与式 第1课 实数 复习教学目标： 1、理解现实世界中具有相反意义的量的含义，会借助数轴理解实数的相反数和绝对值的意义， 会求实数的相反数和绝对值，并会比较实数的大小。 2、了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根和立方根。 3、了解无理数与实数的概念，知道实数与数轴上的点的一一对应的关系，会用一个有理数估 计一个无理数的大致范围，了解近似数与有效数字的概念，会用计算器进行近似计算。 4、结合具体问题渗透化归思想，分类讨论的数学思想方法。 复习教学过程设计： Ⅰ [唤醒] 一、填空： 1、-1.5的相反数是 、倒数是 、绝对值是 、1－ 2 的绝对值是 。 2、倒数等于本身的数是 ，绝对值等于本身的数是 。算术平方根等于本身 的数是 ，立方根等于本身的数是 。 3、2-1= ，-2-2= ，(-1 2 )-2= ,(3.14-∏ )0= 4、在227 ,∏,-8 ,3 (-64) ,sin600,tan450中，无理数共有 个。 5、用科学记数法表示：-3700000= ,0.000312= 用科学记数法表示的数3.4×105 中有 个有效数字，它精确到 位。 6、点A 在数轴上表示实数2，在数轴上到A 点的距离是3的点表示的数是 。 7、3 260 精确到0.1 的近似值为 ，误差小于1的近似值为 。 8、比较下列各位数的大小：-23 -3 4 ,0 -1, tan300 sin600 二、判断： 1、不带根号的数都是有理数。（ ） 2、无理数都是无限小数。（ ） 3、2 3 2 是分数，也是有理数。（ ）4、3-2没有平方根。（ ） 5、若3 x =x ，则x 的值是0和1。（ ）6、a 2的算术平方根是a 。（ ） 三、选择： 1、和数轴上的点一一对应的数是（ ） A 、整数 B 、有理数 C 、无理数 D 、实数 2、已知：xy ＜ 0，且|x|=3 ，|y|=1,则x+y 的值等于（ ） A 、2或－2 B 、4或－4 C 、4或2 D 、4或－4或2或－2 3、如果一个数的平方根与立方根相同，这个数为（ ） A 、0 B 、1 C 、0或1 D 、0或+1或-1 Ⅱ[尝试]
专题一 数与式教案
课题：数与式 一、 教学目标： 1、 理解实数与整式的概念； 2、 熟练掌握实数与整式的运算； 3、 掌握乘法公式的运用及变形。 二、 教学重点、难点： 重点：实数与整式的运算 难点：乘法公式的变形 三、 教学过程： 1、 课堂引入：（15—20分钟） T ：各位同学，大家好!我是你们的数学老师，简单的做一下自我介绍，我姓董，是一个比较随和的人，课下我们可以随意开玩笑，但是课上的时候我们必须要规规矩矩、认真听讲，因为我们接下来面临着中考。既然说到中考我们就来聊一聊，中考还剩多少天？ S ：32天 T ：数学具体考试时间？ S ：6月15日上午8：30—10：30 T ：先了解一下大家平时数学的学习情况，失分点或难点在哪里？ S ：函数，圆…… T:针对中考数学点题班，我做了一个PPT ，是关于中考数学试卷分析、中考数学一般考什么？和点题班课程设计的，接下来我们一起来看一下。（按照PPT 讲解，主要分析中考题型和考试内容） T ：我们第一讲的内容是数与式，接下来我们来看看实数与整式在中考当中的题型及考察点： 一般情况下，选择题2—4道（考察实数的运算，比较大小、倒数相反数绝对值、科学计数法、整式的运算） 填空题1—3道（考察实数或整式运算，科学计数法） 一道计算题（考察实数的运算或整式的运算） 2、 做课前检测试卷（20—30分钟） （1）做课前检测试卷 （2）请第一位做好的同学在白板上书写最后一题大题解题步骤 （3）按照出错率由高到低依次讲解（老师讲解） 3、复习重难点：（60分钟） （1）实数的运算 牢记3个公式： ①01(0)a a =≠ ②1(0,)p p a a p a -= ≠是正整数 ③()()(0)() m m m a m a a a m ??-=≠?-??为偶数为奇数（奇负偶正）
数与式的运算
第1节数与式的运算 （第1课时总第1导学案）【学习目标】 1．掌握绝对值的代数和几何意义，会解绝对值等式。 2．掌握几个乘法公式，并会运用 【教学过程】 ：正数的绝对值是它的_______，负数的绝对值是它的_________，零的绝对值仍是______．即 _________________ 2．绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到______的距离．3．两个数的差的绝对值的几何意义：b a-表示在数轴上，数a和数b之间的_______． 4．（1）立方和公式2233 ()() a b a ab b a b +-+=+； （2）立方差公式2233 ()() a b a ab b a b -++=-； （3）三数和平方公式2222 ()2() a b c a b c ab bc ac ++=+++++； （4）两数和立方公式33223 ()33 a b a a b ab b +=+++； （5）两数差立方公式33223 ()33 a b a a b ab b -=-+-． 1．解不等式：13 x x -+-＞4． 2．计算：22 (1)(1)(1)(1) x x x x x x +--+++． 3．已知4 a b c ++=，4 ab bc ac ++=，求222 a b c ++的值．
|2x－13|＞5 ，b为何实数，22248 a b a b +--+的值恒为_____________ 1．评价： 2．小结：绝对值的代数和几何意义,记住几个乘法公式 1．填空： （1）若5 = x，则x=_________；若4 - = x，则x=_________. （2）如果5 = +b a，且1 - = a，则b＝________；若2 1= -c，则c＝________. 2．填空： （1）22 1111 () 9423 a b b a -=+（）； （2）(4m+22 )164( m m =++)； (3 )2222 (2)4( a b c a b c +-=+++)． 3．若2 1 2 x mx k ++是一个完全平方式，则k等于_________________ 【预习指导】 1.分母（子）有理化:把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化． 2.
数与式教案
《数与式》 考点1有理数、实数的概念及分类 1.0既不是正数也不是负数。 2.一般说来，凡开方开不尽的数是无理数，但要注意，用根号形式表示的数并不都是无理数（如4），也不是所有的无理数都可以写成根号的形式（如π）． 3.实数和数轴上的点是___________对应的，每一个实数都可以用数轴上的________来表示，反过来，数轴上的点都表示一个________． 1、 把下列各数填入相应的集合内： 5 1.0...010010001.0,,8,32,138,4,15,5.73&&π-,21--，8-，3 π，?30sin ，4- 有理数集{}， 无理数集{} 2、 实数c b a ,,在数轴上对应点的位置如图2所示，下列式子中正确的有（） ①0>+c b ②c a b a +>+③ac bc >④ac ab > A .1个B .2个C .3个D .4个 3、 ①数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是______数轴上表示1和－3的两点之间的距离是________． ②数轴上表示x 和－1的两点A 和B 之间的距离是_______，如果|AB |＝2，那么____________=x 考点2倒数、相反数、绝对值，平方根与算术平方根，立方根 【知识要点】 1、 一个数a ，它的相反数是______，即若b a ,互为相反数，则0=+b a ；反之也成立．0的相反数是 ________． 2、 若0≠a ，它的倒数是______．即若b a ,互为倒数，则1=ab ；反之也成立。正数的倒数为______， 负数的倒数为______，0没有倒数。 3、 一个正实数的绝对值是____________；一个负实数的绝对值是____________；0的绝对值是 __________．即? ??<≥=)0____()0____(||x x x （1） 一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点与______的距离． （2） 绝对值的化简，应先判断绝对值符号内的数或式的值是正、负或0，然后再根据定义把绝对值符号 去掉． （3） 已知)0(||≥=a a x ，求x 时，要注意a x ±= 4.若)0(2 ≥=a a x ，则x 叫a 做的_________，记作______；正数有_______个平方根，它们互为_______，0的平方根为_______，负数没有平方根。正数a 的__________叫做算术平方根，0的算术平方根是____．当0≥a 时，a 的算术平方根记作__________． 5.非负数是指__________，常见的非负数有（1）绝对值0___||a ；（2）实数的平方0___2a ；（3）算术平方根)0(0___≥a a ．非负数满足任何非负数的和仍未非负数，如果几个非负数的和为0，则这几个? 2 图2 ??
初中-数学-综合版-数与式- 教案
第二章 整式加减检测试卷（满分100分） 班级___________姓名_____________分数_____________ 一、填空题（每小题4分，共32分） 1、“的平方与2的差”用代数式表示为___________。 2、单项式25 12R π-的系数是___________ ，次数是______________。 3、多项式2532+-x x 是________次_________项式,常数项是 ___________。 4、若m y x 35和219y x n +-是同类项，则m=_________,n=___________。 5、如果3-y +2)42(-x =0，那么y x -2=____________。 6、如果代数式的值是3，则代数式 的值是___________。 7、与多项式22357b ab a --的和是22743b ab a +-的多项式是 ______________。 8、飞机的无风飞行航速为a 千米/时，风速为20千米/时.则飞机 顺风飞行4小时的行程是__________千米；飞机逆风飞行3小时 的行程是__________千米。 二、选择题（每小题4分，共24分） 9、在下列代数式：中，单项式有（ ） A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个 10、下列各项式中，是二次三项式的是 （ ） A 、22b a + B 、7++y x C 、25y x -- D 、2223x x y x -+- x y x 2+542++y x x y x abc ab 3,,0,32,4,3---
11、下面计算正确的是（ ） Ａ．3－=3 Ｂ．3＋2=5 Ｃ．3＋=3 Ｄ．－0.25＋=0 12、化简的结果为（ ） A ． B ． C ． D ． 13、三个连续奇数的第一个是n,则三个连续奇数的和是 （ ） A 、n 3 B 、33+n C 、63+n D 、43+n 14．两个四次多项式的和的次数是（ ） Ａ．八次 Ｂ．四次 Ｃ．不低于四次 Ｄ．不高 于四次 三、解答题 15、化简下列各式。（每小题7分，共14分） （1） （2） )5(3)8(2222xy y x y x xy ++--+-； 16、先化简，再求值.（每小题10分，共20分） （1），其中； 2x 2x 2a 3a 5a x x ab 4 1ba ()m n m n +--2m 2m -2n 2n -2228[42(25)]m m m m m ----2223(421)2(31)a a a a a +----+12 a =-
九年级数学专题复习《数与式》教学设计
九年级数学专题复习教学设计《数与式》——万安中学成冬琴【学习目标】 1.正确理解实数的有关概念，能用数轴上的点表示实数； 2.借助数轴理解相反数、绝对值的意义，掌握求实数相反数、 绝对值和倒数的方法； 3.掌握科学计数法表示一个数，能按问题的要求对结果取近似值 . 【重点难点】 实数的有关概念 【学习过程】 一、自主学习考点一实数的有关概念 1．数轴 规定了 _ 、 ____ 、__ 的直线，叫做数轴．和数轴上的点是一一对应的． 2．相反数 (1) 实数 a的相反数为 __________________ ；(2)a 与b互为相反数 ? __________________ ； (3) 相反数的几何意义：在数轴上，表示相反数的两个点位于原点的两侧，且到原点的距离 3．倒数 (1) 实数 a 的倒数是 _，其中 a _ 0；(2)a 和 b 互为倒 数 ? 4．绝对值 在数轴上表示一个数的点离开的距离叫做这个数的绝对值．即 一个正数的绝对值等于它，0 的绝对值是 ___，负数的绝对值是 它的 ________. a a> 0
即 |a| ＝ 0 a＝ 0 － a a<0 考点二实数的分类 考点三平方根、算术平方根、立方根 1．若 _____ （a≥0），则 x 叫做 a 的平方根，记作；正数a 的 _______ 叫做算术平方根，记作_ 2．平方根有以下性质 （1）正数有两个平方根，它们 ___ ；（2）0 的平方根是； （3） ____ 没有平方根． 3．如果 x3＝a，那么 x 叫做 a 的立方根，记作 考点四科学记数法、近似数、有效数字 1．科学记数法 把一个数 N表示成_______ （__≤|a| < _，n 是整数）的形式 叫科学记数法． 2．近似数与有效数字一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，这时从__边第一个不为 0 的数字起，到 __________________________ 数字为止，所有的数字都 叫做这个近似数的有效数字． 二、合作交流例 1. 下列运算正确的是（） A． 3 3 B ．（1）1 3 C．9 3 D．327 3 3 例 2. 2 的相反数是（） A． 2 B ． 2 C ．2D ． 2 22 例 3. 实数a，b 在数轴上对应点的位置如图所示， b 1 0 a 1 0 则必有（） A．a b 0 B ．a b 0 C ．ab 0 D．a 0
数与式复习课教案
初三年级数学复习课教案 备课人 时间：______年_____月_____日 课时序 第一讲：实数的概念 考点1 实数的概念及分类 考点2 实数的有关概念 考点【1】、数轴：数轴的三要素是：原点单位长度正方向， 数轴上的点与实数 是一一对应的. 考点【2】、相反数：若a 、b 互为相反数，则a+b=0. 考点【3】、倒数：若a 、b 互为倒数，则ab=1。 例1.已知a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，e 是非0实数， 则2（a+b ）+2 1cd-2e 0=-1.5 考点【4】、●绝对值： ① 数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值 ② 绝对值的性质： ∣a ∣≥0; a （a ≥ 0） ∣a ∣= -a （ a ＜0） ③ 它是一个非负数数，常见的非负数形式为： 绝对值 ∣a ∣、二次根式、平方2a ●非负数的性质是： 若几个非负数的和为0则每一个非负数都为零 。 例2.若2 m +(n-3)2=0,则m n =-8 。
3 109 - 例3.若3-a =3-a,则a 的取值范围是a ≦3 考点【5】、平方根：正数a 的平方根有两个，它们是 它们互为相反数；其中a 叫做a 的算术平方根。 立方根：实数a 的立方根有1个，表示为3a 。 例4.81的算术平方根的平方根是±， 38的立方根是32。 例5.下列说法正确的是 （ D ） A. （-2）2的平方根是2 B. -2是-4的平方根 C. 8的立方根是±2 D. 2是（-2）2的算术平方根 考点【6】、常见的无理数： ① 字母型：如π、2 π、2π +1等； ② 构造性：如1.010010001…（每两个1之间依次多一个0） ③ 根式型：如2 、35 、47等，都是开方开不尽方的 数； ④ 三角函数型：如sin10°、cos30°、tan60°等。 例6.实数7 22、sin30°、2+1、2π、1.020020002…、0.1010010001有理数的个数为3个 考点3 科学记数法、近似数 ●精确度：一般地，一个近似数精确到哪一位，就说这个近似数精到了哪一位. 例7. 0.13451，精确到十分位为0.1，精确到千分位是0.135； 例8.近似数0.730，1.05×103 分别精确到了千分位 千位 . ●科学记数法：把一个数N 写成a ×10n （其中1≤∣a ∣<10）的形式， 当∣N ∣＞1时，n 为正整数，n 等于 原数的整数位数减1； 当∣N ∣＜1时，n 为负整数，n 的绝对值等于 原数中左起第一 个非0前面0的个数（含小数点前的0） 例9. 0.0000012=1.2×106 -，-4511000=-4.511×106。 例10. 1纳米=0.000000001米=1 x 米， 例题归类 类型之一 实数的概念及分类 命题角度： 1．有理数与无理数的概念 2．实数的分类