三角函数的图像与性质
1.三角函数中的值域及最值问题
a .正弦(余弦、正切)型函数在给定区间上的最值问题
(1)(经典题,5分)函数f (x )=sin ????2x -π4在区间????0,π
2上的最小值为( ) A .-1
B .-
22
C.22
D .0
答案:B
解析:∵x ∈????0,π2,∴-π4≤2x -π4≤3π
4,∴函数f (x )=sin ????2x -π4在区间????0,π2上先增后减.∵f (0)=sin ????-π4=-22, f ????π2=sin ????3π4=2
2, f (0) 2 ,故选B. 变式思考: (经典题,5分)函数f (x )=-sin ????2x -π4在区间????0,7π 24上的值域为________. 答案:? ?? ? - 32, 22 解析:∵x ∈????0,7π24,∴-π4≤2x -π4≤π 3,∴函数y =sin ????2x -π4在区间????0,7π24上单调递增,∴函数f (x )=-sin ????2x -π4在区间????0,7π24上单调递减.∵f (0)=-sin ????-π4=2 2,f ????7π24=-sin π3=-32,∴函数f (x )=-sin ????2x -π4在区间????0,7π24上的值域为??? ?-32,2 2 . (2)(经典题,5分)函数y =tan ????π2-x ??-π4≤x ≤ ??π 4且x ≠0的值域是( ) A .[-1,1] B .(-∞,-1]∪[1,+∞) C .(-∞,1) D .[-1,+∞) 答案:B 解析:∵y =tan ????π2-x =1tan x ,且定义域关于原点对称,∴该函数为奇函数.当0 tan x ≤ -1,∴函数y =tan (π 2-x )????-π4≤x ≤π4且x ≠0的值域是(-∞,-1]∪[1,+∞).故选B. b .利用换元法解决最值问题 (3)(2017全国Ⅱ,5分)函数f (x )=sin 2x +3cos x -34(x ∈[0,π 2])的最大值是________. 答案:1 解析: f (x )=sin 2x +3cos x -34=1-cos 2x +3cos x -34=-cos 2x +3cos x + 1 4,设t = cos x ,∵x ∈????0,π2,∴cos x ∈[0,1],则t ∈[0,1],∴f (t )=-t 2+3t +14=-????t -322+1,t ∈[0,1],∴当t = 32时,函数f (t )取得最大值1.故当cos x =32,即x =π 6 时,函数f (x )取得最大值1. (4)(2018河北张家口月考,5分)已知f (x )=sin x +cos x +2sin x cos x ,若?t ∈R ,x ∈R ,a sin t +3a +1≥f (x )恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A .[0,+∞) B.?? ? ?22,+∞ C.?? ? ?24,+∞ D .[2,+∞) 答案:B 解析:令m =sin x +cos x =2sin ????x +π 4,则|m |≤2,2sin x cos x =m 2-1,∴sin x +cos x +2sin x cos x =m +m 2-1,设g (m )=m 2+m -1,|m |≤2,则g (m )=m 2+m -1=(m +12)2-5 4,∴ 函数g (m )在????-2,-12内单调递减,在????-1 2,2内单调递增,且g (-2)=1-2,g (2)=1+2,∴g (m )max =1+ 2.∵?t ∈R ,x ∈R ,a sin t +3a +1≥f (x )恒成立,∴a sin t +3a +1≥1+ 2.又∵-1≤sin t ≤1,∴3+sin t >0,∴a ≥23+sin t 恒成立,∴a ≥? ????23+sin t max .∵当sin t = -1时,23+sin t 取得最大值22,∴a ≥22.故选B. c .利用化一法解决最值问题 (5)(2017全国Ⅱ,5分)函数f (x )=2cos x +sin x 的最大值为________. 答案:5 解析:f (x )=2cos x +sin x =5?? ? ?255cos x +55sin x =5sin(x +φ),其中tan φ= 2.∵-1≤sin(x +φ)≤1,∴-5≤5sin(x +φ)≤5,∴函数f (x )=2cos x +sin x 的最大值为 5. (6)(2018四川联考,5分)函数f (x )=2sin 2????x +π4+2sin(π 4-x )cos ????π4-x 在区间????π2,3π4上的最小值是( ) A .1-2 B .0 C .1 D .2 答案:A 解析: f (x )=2sin 2????x +π4+2sin(π4-x )cos(π 4-x )=1-cos ????2x +π2+sin ????π2-2x =sin2x +cos2x +1=2sin ? ???2x +π 4+1. 当π2≤x ≤3π4时,5π4≤2x +π4≤7π4,所以函数f (x )在区间????π2,3π4上先减后增,当2x +π4=3π 2时, f (x )取得最小值,最小值为1- 2. d .利用正、余弦函数的有界性解决三角函数的最值问题 (7)(2018山东期末,5分)函数y =2+cos x 2-cos x 的最大值为( ) A .1 B .2 C .3 D .不存在 答案:C 解析:(法一)将原式变形得y (2-cos x )=2+cos x ,即(y +1)cos x =2y -2,当y =-1时, 等式不成立,∴y ≠-1,∴cos x =2y -2y +1.∵|cos x |≤1,∴??????2y -2y +1≤1,即|2y -2|≤|y +1|,即 4y 2-8y +4≤y 2+2y +1,解得1 3≤y ≤3,∴函数y =2+cos x 2-cos x 的最大值为3,故选C. (法二)y =2+cos x 2-cos x =-2+cos x +42-cos x =-1+4 2-cos x .∵-1≤cos x ≤1,∴1≤2-cos x ≤3,∴ 43≤42-cos x ≤4,即1 3≤y ≤3,∴函数y =2+cos x 2-cos x 的最大值为3,故选C. e .与值域有关的参数问题 (8)(2018安徽模拟,5分)若函数y =2sin ωx (ω>0)在[-π3,π 4]上的最小值是-2,但最大值 不是2,则ω的取值范围是________. 答案:???? 32,2 解析:当x ∈????-π3,π4时,∵ω>0,∴ωx ∈??-ωπ3, ??ωπ4,且-ωπ3<0<ωπ 4.∵函数y =2sin ωx (ω>0)在????-π3,π 4上的最小值是-2,但最大值不是2,∴根据函数y =2sin x 的图像,如图所示, 可得? ??- 3π2<-ωπ3≤-π2,0<ωπ4<π 2 ,解得3 2≤ω<2,∴ω的取值范围是????32,2. 2.三角函数的周期性、对称性、奇偶性 (9)(经典题,5分)下列函数中,最小正周期为π的奇函数是( ) A .y =sin ????2x +π2 B .y =cos ????2x +π 2 C .y =sin2x +cos2x D .y =sin x +cos x 答案:B 解析:选项A 中,y =sin ????2x +π2=cos2x ,函数的最小正周期为T =2π 2 =π,但函数为偶 函数,故A 不满足条件;选项B 中,y =cos ????2x +π2=-sin2x ,函数的最小正周期为T =2π2=π,且函数为奇函数,故B 满足条件;选项C 中,y =sin2x +cos2x =2sin ????2x +π 4,函数的最小正周期为T =2π 2=π,但函数不具有奇偶性,故C 不满足条件;选项D 中,y =sin x +cos x =2sin ????x +π 4,函数的最小正周期为T =2π,且函数不具有奇偶性,故D 不满足条件.故选B. 变式思考: (Ⅰ)(经典题,5分)函数y =??? ?sin ????x +π3+1 2 的最小正周期为_____; (Ⅱ)(2019改编,10分)(ⅰ)函数f (x )=2sin2x ·1-tan 2x 1+tan 2x 的最小正周期为_____; (ⅱ)函数f (x )=sin x +2sin 2x 1+2sin x 为________(填“奇函数”或“偶函数”或“非奇非偶函数”). 答案:(Ⅰ)2π (Ⅱ)(ⅰ)π (ⅱ)非奇非偶函数 解析:(Ⅰ)画出函数y =??? ?sin ????x +π3+1 2 的图像,如图所示,则函数的最小正周期为T =2π. (Ⅱ)(ⅰ)函数f (x )的定义域为???? ??x |x ≠π 2+k π,k ∈Z , f (x ) =2sin2x ·1-tan 2x 1+tan 2x = 2sin2x ·cos2x =sin4x ,画出函数图像,如图所示,由图可知函数的最小正周期为T =π. (ⅱ)易知1+2sin x ≠0,则sin x ≠-12,∴x ≠-π6+2k π(k ∈Z )且x ≠7π 6+2k π(k ∈Z ).∵函数 f (x )的定义域不关于原点对称,∴函数f (x )为非奇非偶函数. (10)(2018江苏,5分)已知函数y =sin(2x +φ)????-π2<φ<π2的图像关于直线x =π 3对称,则φ的值是________. 答案:-π 6 解析:因为函数y =sin(2x +φ)????-π2<φ<π2的图像关于直线x =π3对称,所以2π3+φ=k π+π2(k ∈Z ),所以φ=k π-π6(k ∈Z ).因为-π2<φ<π2,所以-π2 3 .因为k ∈Z ,所以k = 0,即φ的值是-π 6 . (11)(经典题,5分)如果函数y =sin2x +a cos2x 的图像关于直线x =-π 8对称,那么a =( ) A.2 B .-2 C .1 D .-1 答案:D 解析:(法一)∵函数y =f (x )=sin2x +a cos2x 的图像关于直线x =-π 8对称,∴f (0)=f ????-π4,即0+a =sin ????-π2+a cos(-π 2 ),即a =-1.故选D. (法二)∵y =sin2x +a cos2x =1+a 2sin(2x +φ),tan φ=a ,∴该三角函数的最小正周期T=π, T 4=π4,∴函数在x =-π8+π 4处的函数值为0,∴sin2????-π8+π4+a cos2????-π8+π4=0,解得a =-1.故选D. (法三)y =sin2x +a cos2x =1+a 2sin(2x +φ),tan φ=a .∵函数y =sin2x +a cos2x 的图像关 于直线x =-π8对称,∴当x =-π8 时,y =sin2x +a cos2x 取得最大值或最小值,∴sin ????2×????-π8+ a cos ????2×????-π8=1+a 2或sin ????2×????-π8+a cos ??? ?2×????-π8=-1+a 2,解得a =-1.故选D. 3.三角函数的单调性 a .已知函数解析式求函数的单调区间 (12)(2018江西期中,6分)已知函数f (x )=2sin ????2x +π 6-4cos 2x +2,求函数f (x )的单调递减区间. 答案:????π3+k π,5π 6+k π, k ∈Z 解: f (x )=2sin ????2x +π 6-4cos 2x +2 =2? ?? ? sin2x · 32+cos2x ·12-2cos2x =3sin2x -cos2x =2sin ? ???2x -π 6.(3分) 令π2+2k π≤2x -π6≤3π 2+2k π,k ∈Z , 解得x ∈??? ?π3+k π,5π 6+k π, k ∈Z , 故f (x )的单调递减区间为????π 3+k π,5π6+k π, k ∈Z .(6分) 变式思考: (Ⅰ)(经典题,5分)函数y =sin ????π4-2x 的单调递减区间为__ __. 答案:? ???k π-π8,k π+3π 8,k ∈Z 解析:∵y =sin ????π4-2x =-sin ????2x -π4,∴y =sin ????π 4-2x 的单调递减区间为函数y =sin ????2x -π4的单调递增区间.令2k π-π2≤2x -π4≤2k π+π2,k ∈Z ,得k π-π8≤x ≤k π+3π 8,k ∈Z ,∴函数y =sin ????π4-2x 的单调递减区间为[k π-π8,k π+3π 8 ],k ∈Z . (Ⅱ)(2018江苏模拟,5分)设f (x )=sin 2x -3cos x cos ????x +π2,则f (x )在????0,π 2上的单调增区间为_______. 答案:??? ?0,π 3 解析:∵f (x )=sin 2x -3cos x cos ????x +π2=sin 2x +3sin x cos x =12(1-cos2x )+3 2sin2x =sin(2x -π6)+12.令2k π-π2≤2x -π6≤2k π+π2,k ∈Z ,得k π-π6≤x ≤k π+π 3,k ∈Z .当k =0时, -π6≤x ≤π3.又∵x ∈????0,π2,∴0≤x ≤π 3 ,即函数f (x )在????0,π2上的单调递增区间为????0,π3. b .已知函数的单调区间求参数 (13)(2018北京海淀模拟,5分)已知ω>0,函数f (x )=sin(ωx +π 3)在????π2,π上单调递减,则ω的取值范围是( ) A.???? 13,56 B.????13,76 C.???? 14,56 D.???? 14,76 答案:B 解析:根据题意知函数f (x )=sin ????ωx +π3的最小正周期T ≥2????π-π2=π,∴T =2π ω≥π,∴0<ω≤2.由2k π+π2≤ωx +π3≤2k π+3π2,k ∈Z ,得2k π+π6≤ωx ≤2k π+7π6,k ∈Z ,∴2k π ω+ π6ω≤x ≤2k πω+7π6ω,k ∈Z ,∴f (x )=sin ????ωx + π3的单调递减区间为[2k πω+π6ω,2k πω+7π 6ω],k ∈Z . ∵函数f (x )在???? π2,π上单调递减,∴??? 2k πω+π6ω≤π 2 ,2k πω+7π6ω≥π, k ∈Z ,∴4k +13≤ω≤2k +7 6 ,k ∈Z .又 ∵0<ω≤2,∴k =0,∴13≤ω≤7 6,故选B. (14)(2018福建期中,5分)将函数y =sin2x +cos2x 的图像向左平移φ????0<φ<π 2个单位长度后得到f (x )的图像,若f (x )在? ???π,5π 4上单调递减,则φ的取值范围为( ) A.????π8,3π8 B.????π4,π2 C.????π8,3π8 D.????π4,π 2 答案:C 解析:y =sin2x +cos2x =2sin ? ???2x +π 4. 将函数y =sin2x +cos2x 的图像向左平移φ(0<φ<π 2)个单位长度后得到f (x )的图像,则 f (x )=2sin ????2(x +φ)+π4=2sin(2x +2φ+π 4). 由2k π+π2≤2x +2φ+π4≤2k π+3π 2,k ∈Z , 得k π+π8-φ≤x ≤k π+5π 8-φ,k ∈Z . 若f (x )在? ???π,5π 4上单调递减, 则???k π+5π8-φ≥5π4,k π+π8-φ≤π,解得???φ≤k π-5π 8, φ≥k π-7π8, 即k π-7π8≤φ≤k π-5π 8,k ∈Z . 又∵0<φ<π2,∴k =1,∴π8≤φ≤3π 8, 即φ的取值范围为???? π8,3π8.故选C. (15)(2019改编,5分)函数f (x )=2cos ????2x -π3在区间????0,a 3和????2a ,7π 6上单调递增,则实数a 的取值范围是( ) A.???? π3,π2 B.???? π6,π2 C.???? π6,π3 D.???? π4,3π8 答案:A 解析:∵函数y =cos x 的单调递增区间为[-π+2k π,2k π],k ∈Z ,∴令-π+2k π≤2x - π3≤2k π,k ∈Z ,得-π3+k π≤x ≤π6+k π,k ∈Z ,∴当k =0时,-π3≤x ≤π6;当k =1时,2π3≤x ≤7π6. ∵-π3<0<π 6 ,∴要使函数f (x )=2cos ????2x -π3在区间????0,a 3和????2a ,7π6上单调递增,需使???0 6, 2π3≤2a <7π6, 解得π3≤a ≤π2 ,故选A. 4.三角函数的性质的综合应用 (16)(经典题,5分)已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)(A ,ω,φ均为正的常数)的最小正周期为π,当x =2π 3 时,函数f (x )取得最小值,则下列结论正确的是( ) A .f (2) B .f (0) C .f (-2) D .f (2) 答案:A 解析:依题意得22T ωω π = =π∴=,.又∵A >0,且当x =2π 3时,函数f (x )取得最小值, ∴2π3×2+φ=3π2+2k π,k ∈Z ,∴φ=π6+2k π,k ∈Z .又∵φ>0,∴可取φ=π 6,∴函数f (x )的解析式为f (x )=A sin ????2x +π6,∴f (2)=A sin ????4+π6,f (0)=A sin π 6=A sin ????-7π6, f (-2)=A sin ????-4+π6.∵π<4+π6<3π2,∴f (2)<0.∵-7π6<-4+π6<-π,且函数y =A sin x 在(-7π 6,-π)上为减函数,∴0=A sin(-π) 6,即0 (17)(经典题,5分)设函数f (x )=A sin(ωx +φ)(A ,ω,φ是常数,A >0,ω>0),若f (x )在区间????π6,π2上具有单调性,且f ????π2=f ????2π3=-f ??? ?π 6,则f (x )的最小正周期为______. 答案:π 解析:设函数f (x )的最小正周期为T ,∵f (x )在区间????π6,π2上具有单调性,∴π2-π6=π3≤T 2, 即T ≥2π3.∵f ????π2=-f ????π6,∴函数f (x )图像的一个对称中心为????π3,0.∵f ????π2=f ????2π3,且2π3-π2=π6<π3,∴函数f (x )图像的一条对称轴方程为x =12(2π3+π2)=7π12.∵(2k +1)4T =7π12-π3=π 4,k ∈N ,∴T =π2k +1 ,k ∈N ,又∵T ≥2π3,∴令k =0,得T =π,∴函数f (x )的最小正周期为π. (18)(2016全国Ⅰ,5分)已知函数f (x )=sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|≤π2),x =-π 4为f (x )的零点, x =π 4 为y =f (x )图像的对称轴,且f (x )在????π18,5π36上单调,则ω的最大值为( ) A .11 B .9 C .7 D .5 答案:B 解析:(法一)设函数f (x )的最小正周期为T .∵x =-π4为f (x )的零点,x =π 4为y =f (x )图像的 对称轴,∴ (2k +1)T 4=π4-????-π4=π2,k ∈N ,即(2k +1)π2ω=π 2 ,k ∈N ,解得ω=2k + 1(k ∈N ).∵f (x )在????π18,5π36上单调,∴5π36-π18=π12≤T 2,即2π2ω≥π 12,解得0<ω≤12.当ω=11时,∵x =-π4为f (x )的零点,∴-11π4+φ=k π,k ∈Z ,解得φ=11π4+k π,k ∈Z .又∵|φ|≤π 2, ∴φ=-π4,∴f (x )=sin ????11x -π4.∵π18×11-π4<π2<5π36×11-π4,∴此时f (x )在????π18,5π36上不单调,不满足题意;当ω=9时,∵x =-π4为f (x )的零点,∴-9π4+φ=k π,k ∈Z ,解得φ=9π 4+k π, k ∈Z .又∵|φ|≤π2,∴φ=π4,∴f (x )=sin ????9x +π4.∵π2<π18×9+π4<5π36×9+π4=3π 2 ,∴此时f (x )在??? ?π18,5π36上单调,满足题意,∴ω的最大值为9,故选B. (法二)依题意,有???ω·????-π 4+φ=m π,ω·π4+φ=n π+π2,(m ,n ∈Z )解得???? ?ω=2(n -m )+1,φ=2(m +n )+14π.(m ,n ∈Z ) 又|φ|≤π2,∴m +n =0或m +n =-1.∵f (x )在????π18,5π36上单调,∴5π36-π18=π12≤T 2, 即2π2ω≥π 12,解得0<ω≤12.当m +n =0时,有?????ω=4n +1,φ=π4,(n ∈Z )取n =2,则ω=9, f (x )=sin ????9x +π4,当x ∈????π18,5π36时,9x +π4∈???? 3π4,3π2,函数f (x )单调,符合题意;当m +n =-1时,有 ? ????ω=4n +3,φ=-π4,(n ∈Z )取n =2,则ω=11, f (x )=sin ????11x -π4,当x ∈????π18,5π36时,11x -π 4∈???? 13π36,23π18,函数f (x )不单调,不符合题意.综上,ω的最大值为9.故选B. 随堂普查练16 1.(2018山东临沂期末,12分)已知x ∈????-π6,5π 6. (Ⅰ)求函数y =sin x 的值域; (Ⅱ)求函数y =-3cos 2x -4sin x +4的最大值和最小值. 答案: (Ⅰ)??? ?-1 2,1 (Ⅱ)函数的最大值为154,最小值为-1 3 解:(Ⅰ)当x ∈????-π6,5π6时,函数y =sin x 在????-π6,π2上单调递增,在????π2,5π 6上单调递减.(2分) ∵当x =-π6时,y =sin ????-π6=-12;当x =5π6时,y =sin 5π6=1 2, ∴函数的最小值为-1 2 .(4分) ∵当x =π 2时,函数取得最大值1,(5分) ∴函数的值域为??? ?-1 2,1.(6分) (Ⅱ)y =-3cos 2x -4sin x +4=3sin 2x -3-4sin x +4=3sin 2x -4sin x +1.(7分) 设t =sin x ,由(Ⅰ)知t ∈????-1 2,1, ∴ f (t )=3t 2-4t +1=3 ????t -232 -13,t ∈??? ?-12,1,(9分) ∴当t =23时,函数取得最小值-1 3.(10分) ∵23-????-12>1-23 , ∴当t =-12时,函数取得最大值15 4,(11分) ∴函数的最大值为154,最小值为-1 3.(12分) 2.(2016全国Ⅱ,5分)函数f (x )=cos2x +6cos ???? π2-x 的最大值为( ) A .4 B .5 C .6 D .7 答案:B 解析:f (x )=cos2x +6cos ????π2-x =1-2sin 2 x +6sin x ,设sin x =t ,则-1≤t ≤1,则g (t )= 1-2t 2+6t =-2????t -322+112,-1≤t ≤1.∵二次函数g (t )=-2????t -322+11 2图像的对称轴为 t =32,∴函数在[-1,1]上单调递增,∴当t =1,即x =π 2+2k π,k ∈Z 时,函数取得最大值5.故选B. 3.(经典题,5分)函数y =sin x -cos x +sin x cos x ,x ∈[0,π]的值域为________. 答案:[-1,1] 解析:令t =sin x -cos x =2sin ????x -π4,则(sin x -cos x )2=t 2,∴sin x cos x =1-t 2 2.∵x ∈[0,π],∴x -π4∈????-π4,3π4,∴-22≤sin ????x -π4≤1,∴-1≤t ≤2,∴g (t )=t + 1-t 22,t ∈[-1, 2],即g (t )=-t 22+t +12=-1 2(t -1)2+1,t ∈[-1,2],∴函数g (t )在[-1,1]上单调递增, 在[1,2]上单调递减.又∵g (1)=1,g (-1)=-1,g (2)=-1 2+2>-1,∴函数g (t )的值 域为[-1,1]. 4.(经典题,5分)若函数f (x )=4sin x +a cos x 的最大值为5,则常数a =______. 答案:±3 解析:∵f (x )=16+a 2sin(x +φ),其中tan φ=a 4,∴函数f (x )的最大值为16+a 2, ∴16+a 2=5,解得a =±3. 5.(2019改编,5分)已知函数f (x )=a sin x cos x -sin 2x +12的一条对称轴为x =π 6, 则函数 f (x )的最小值为______. 答案:-1 解析:∵函数f (x )=a sin x cos x -sin 2x +12的一条对称轴为x =π6,∴f (0)=f ????π3,即1 2= a sin π3cos π3-sin 2π3+12,即0=34a -34,解得a =3,∴f (x )=3sin x cos x -sin 2x +12= 32sin2x +1 2cos2x =sin ????2x +π6,∴函数f (x )的最小值为-1. 6.(2018山东月考,5分)对于函数f (x )=sin x +1 sin x (0 A .有最大值而无最小值 B .有最小值而无最大值 C .既有最小值也有最大值 D .既无最大值也无最小值 答案:B 解析:f (x )=sin x +1sin x =1+1 sin x (0 ∴f (x )=1+1 sin x (0 7.(2018湖南一模,5分)已知函数f (x )=2sin ωx 在区间????-π3,π 4上的最小值为-2,则ω的取值范围是( ) A.? ???-∞,-9 2∪[)6,+∞ B. ????-∞,-92∪????3 2,+∞ C. (]-∞,-2∪[)6,+∞ D. (]-∞,-2∪??? ?3 2,+∞ 答案:D 解析:当ω>0时,-π3ω≤ωx ≤π4ω.∵-π3ω<0<π 4ω,∴要使函数f (x )=2sin ωx 在区间????-π3,π4上的最小值为-2,则-π3ω≤-π2或π4ω≥32π,解得ω≥3 2;当ω<0时, f (x )=2sin ωx = -2sin(-ωx ),且π3ω≤-ωx ≤-π4ω.∵π3ω<0<-π 4 ω,∴要使函数f (x )=-2sin(-ωx )在区间 ????-π3,π4上的最小值为-2,则-π4ω≥π2或π3ω≤-32 π,解得ω≤-2.综上,ω的取值范围为 (-∞,-2]∪????3 2,+∞.故选D. 8.(2018哈尔滨模拟,5分)设a =sin 8π11,b =cos 3π11,c =tan 3π 11,则( ) A .a <b <c B .b <a <c C .b <c <a D .a <c <b 答案:B 解析:a =sin 8π11=sin 3π11=sin 6π22,b =cos 3π11=cos ????π2-5π22=sin 5π 22.∵函数y =sin x 在????0,π2上单调递增,且sin x <1,∴b tan π 4=1,∴b 9.(2017全国Ⅲ,5分)设函数f (x )=cos ????x +π 3,则下列结论错误的是( ) A .f (x )的一个周期为-2π B .y =f (x )的图像关于直线x =8π 3对称 C .f (x +π)的一个零点为x =π 6 D .f (x )在???? π2,π单调递减 答案:D 解析:(法一)函数f (x )=cos ????x +π 3的周期为2k π,k ∈Z 且k ≠0,当k =-1时,函数的周期为-2π,A 正确;将x =8π 3代入函数解析式,得f (x )=cos ????8π3+π3=cos3π=-1,为函数 f (x )的最小值,∴函数y =f (x )的图像关于直线x =8π 3对称,B 正确; f (x +π)=cos ????x +π+π3=-cos ????x +π3,将x =π6代入该函数解析式,得f ????π6+π=-cos(π6+π3)=-cos π2=0,即x =π 6是函数f (x +π)的一个零点,C 正确;当π2 3,∴此时函数f (x )不是单调 函数,D 错误. (法二)画出函数f (x )=cos ??? ?x +π 3的图像,如图所示. 由图可知,选项A ,B 正确; f (x +π)的图像由f (x )的图像向左平移π个单位长度得到,由图知f (x )的一个零点为7π6,所以f (x +π)对应的零点为π 6,选项C 正确; f (x )在????π2,π上先单调递减后单调递增,D 选项错误.故选D. 10.(2018江苏模拟,5分)若函数f (x )=2sin(2x +φ)(0<φ<π 2)的图像过点(0,3),则函数 f (x )在[0,π]上的单调减区间是______. 答案:???? π12,7π12 解析:∵函数f (x )=2sin(2x +φ)的图像过点(0,3),∴2sin φ=3,∴φ=π 3+2k π或φ= 2π3+2k π,k ∈Z .∵ 0<φ<π2,∴φ=π3,故f (x )=2sin ????2x +π3.令π2+2k π≤2x +π3≤3π 2+2k π,k ∈Z ,∴k π+π12≤x ≤k π+7π 12,k ∈Z ,∴f (x )的单调减区间为????k π+π12,k π+7π12,k ∈Z .又0≤x ≤π,∴令k =0,得π12≤x ≤7π12.故f (x )=2sin ????2x +π3在[0,π]上的单调减区间为[π12,7π 12]. 11.(经典题,5分)已知函数f (x )=2sin ωx 在区间????-π4,π 4上单调,且在该区间上的最小值为-2,则ω的值为______. 答案:±2 解析:(法一)∵函数f (x )=2sin ωx 在区间????-π4,π 4上单调,且在该区间上的最小值为-2,∴函数f (x )在x =-π4或x =π4处取得最小值-2.又∵f (x )=2sin ωx ∈[-2,2],∴x =-π4或x =π 4是 函数f (x )=2sin ωx 的图像的一条对称轴.易知函数f (x )=2sin ωx 为奇函数,∴函数f (x )=2sin ωx 的图像关于原点对称,即原点是函数f (x )=2sin ωx 的图像的一个对称中心,∴T =4???? π4-0=π.又∵T =2π |ω| ,∴ω=±2. (法二)当ω>0时,由已知条件可知函数f (x )在区间[-π4,π 4 ]上单调递增,如图所示, ∴f (-π4)=2sin(-ωπ4)=-2,∴sin(-ωπ4)=-1,∴-ωπ4=-π 2+2k π(k ∈Z ),∴ω=2- 8k (k ∈Z ).∵函数f (x )在区间????-π4,π4上单调递增,∴T 2≥π4-(-π4)=π2.又∵T =2π|ω|=2π ω,∴0<ω≤2,∴ω=2.同理,当ω<0时,可求得ω=-2.综上可知,ω的值为±2. 12.(2019改编,5分)函数g (x )=sin ????12x -π12在区间[0,a π 9]与[]2a π,4π上均单调递增,则实数a 的取值范围为_______. 答案:???? 1912,2 解析:当0≤x ≤a π9时,-π12≤12x -π12≤a π18-π 12,a >0.∵函数y =sin x 在????-π12,π2上单调递增,∴a π18-π12≤π2,∴0 12,∵函数y = sin x 在????3π2,2π上单调递增,∴3π2≤a π-π12<2π-π12,解得19 12 ≤a <2.综上,a 的取值范围是??? ?1912,2. 13.(2019改编,12分)已知函数f (x )=2a ·sin ????x -π 4+a +b . (Ⅰ)当a =1时,求函数f (x )的单调递减区间; (Ⅱ)当a <0时, f (x )在[0,π]上的值域为[2,3],求a ,b 的值. 答案:(Ⅰ)??? ?3π 4+2k π,7π4+2k π,k ∈Z (Ⅱ)a =1-2,b =3 解:(Ⅰ)当a =1时, f (x )=2sin ????x -π4+1+b ,令π2+2k π≤x -π4≤3π 2+2k π,k ∈Z ,解得3π4+2k π≤x ≤7π 4 +2k π,k ∈Z ,(3分) ∴函数f (x )的单调递减区间为??3π4+ ? ?2k π,7π 4+2k π,k ∈Z .(5分) (Ⅱ)当x ∈[0,π]时,x -π 4∈??? ?-π4,3π4,函数y =sin ????x -π4先增后减,(7分) 当x -π4=-π4时,sin ????x -π4=-22;当x -π4=3π4时,sin ????x -π4=22,∴-22≤ sin ??? ?x -π 4≤1,(8分) 又∵a <0,∴f (x )=2a ·sin ????x -π4+a +b 的最大值为-2 2·2a +a +b =b ,最小值为 2a +a +b =(2+1)a +b .(9分) 又∵当a <0时,f (x )在[0,π]上的值域为[2,3], ∴???b =3,(2+1)a +b =2,解得???b =3,a =1-2, ∴a ,b 的值分别为1-2,3.(12分) 14.(2018四川绵阳中学月考,5分)已知f (x )=A cos(ωx +φ)????A >0,ω>0,0<φ≤π 2是定义域为R 的奇函数,且当x =3时,f (x )取得最小值-3,当ω取得最小正数时,f (1)+f (2)+f (3) +…+f (2017)的值为( ) A.32 B .-32 C .1 D .-1 答案:B 解析:∵函数f (x )是定义域为R 的奇函数,∴φ=π2+k π,k ∈Z .又∵0<φ≤π2,∴φ=π 2, ∴f (x )=A cos ????ωx +π 2=-A sin ωx .∵当x =3时, f (x )取得最小值-3,∴A =3,且3ω=2k π+ π2,k ∈Z ,∴ω=π6+2k π3,k ∈Z ,∴ω的最小正数为π6,∴f (x )=-3sin π 6x ,∴函数f (x )的最小正周期T =2π π6=12.∵2017=168×12+1,∴f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2017)=168×(f (1)+f (2)+ f (3)+…+f (12))+f (1).∵函数f (x )的图像关于点(6,0)对称,∴f (6-x )+f (6+x )=0, ∴f (1)+f (2)+f (3)+…+f (11)+f (12)=0,又∵f (1)=-3sin π6=-3 2 ,∴f (1)+f (2)+f (3)+…+ f (2017)=f (1)=-3 2 .故选B. 课后提分练16 三角函数的图像与性质 A 组(巩固提升) 1.(经典题,5分)设a =sin33°,b =cos55°,c =tan35°,则( ) A .a >b >c B .b >c >a C .c >b >a D .c >a >b 答案:C 解析:a =sin33°,b =cos55°=cos(90°-35°)=sin35°.∵函数y =sin x 在[0°,90°]上单调递增,∴sin35°>sin33°,即b >a .∵c =tan35°= sin35°cos35°,0 cos35° >sin35°,即c >b ,∴c >b >a .故选C. 2.(经典题,5分)已知函数f (x )=A cos(ωx +φ)(A >0,ω>0,φ∈R ),则“f (x )是奇函数”是“φ=π 2 ”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 答案:B 解析:当f (x )为奇函数时,φ=k π+π2,k ∈Z ,∴“f (x )是奇函数”不是“φ=π 2”的充分条 件;当φ=π 2时,f (x )=A cos ????ωx +π2=-A sin ωx ,该函数为奇函数,∴“f (x )是奇函数”是 “φ=π2”的必要条件.综上所述,“f (x )是奇函数”是“φ=π 2 ”的必要不充分条件.故选B. 3.(2018全国四省联考,5分)设函数f (x )=sin ? ???2x +π 4,则下列结论错误的是( ) A .f (x )的一个周期为2π B .f (x )的图像关于直线x =π 8对称 C .f (x )的一个零点为x =-π 8 D .f (x )在区间??? ?0,π 4上单调递减 答案:D 解析:函数f (x )的最小正周期T =2π 2=π,则函数f (x )的周期T ′=k π(k 为非零整数).取 k =2,可得函数f (x )的一个周期为2π,选项A 正确;函数f (x )的图像的对称轴满足2x +π 4= k π+π2(k ∈Z ),解得x =k π2+π8(k ∈Z ).取k =0,可得f (x )的图像关于直线x =π 8对称,选项B 正 确;函数f (x )的零点满足2x +π4=k π(k ∈Z ),即x =k π2-π 8(k ∈Z ).取k =0,可得f (x )的一个零 点为x =-π8,选项C 正确;令π2+2k π≤2x +π4≤3π2+2k π,k ∈Z ,则π8+k π≤x ≤5π 8+k π,k ∈Z , ∴函数f (x )的单调递减区间为????π8+k π,5π8+k π,k ∈Z .令k =0,得函数f (x )在区间????0,π 4上不单调,选项D 错误. 4.(2019改编,5分)已知x 0=π 3是函数f (x )=cos(2x +φ)的一个极大值点,则函数f (x )的一 个单调递减区间是( ) A.????π6,2π3 B.???? π3,5π6 C.???? π2,π D.???? 2π3,π 答案:B 解析:∵x 0=π3是函数f (x )=cos(2x +φ)的一个极大值点,且f (x )的最小正周期为T =2π2=π, ∴f (x )的单调递减区间为??π3+k π,π3+ ??π2+k π,k ∈Z ,即??? ?π3+k π,5π 6+k π,k ∈Z ,故选B. 5.(经典题,5分)如果函数f (x )=2sin ????ωx +π4(||ω<3)的图像关于点????π 4,0成中心对称,那么函数f (x )的最小正周期是( ) A.π 2 B.2π 3 C .π D .2π 答案:D 解析:∵函数f (x )=2sin ????ωx +π4的图像关于点????π4,0成中心对称,∴2sin(π4ω+π 4)=0, ∴π4ω+π 4=k π,k ∈Z ,∴ω=-1+4k ,k ∈Z .又∵|ω|<3,∴令k =0,得ω=-1,∴函数f (x )的最小正周期是T = 2π |ω| =2π,故选D. 6.(2018全国Ⅱ,5分)若f (x )=cos x -sin x 在[-a ,a ]上是减函数,则a 的最大值是( ) A.π4 B.π 2 C.3π4 D .π 答案:A 解析:(法一)f (x )=c o s x -s in x =2?? ? ?22cos x -22sin x =2????cos π4cos x -sin π4sin x = cos ????x +π4,令2k π≤x +π4≤2k π+π,k ∈Z ,解得2k π-π4≤x ≤2k π+3π 4,k ∈Z ,所以函数f (x )的单调递减区间为[2k π-π4,2k π+3π4],k ∈Z .由已知可得[-a ,a ]?????-π4,3π4,所以-π 4≤ -a <0,即0 4 .答案为A. (法二)同方法一可得f (x )=2cos ????x +π4,所以直线x =-π 4为函数f (x )图像的一条对称轴,画出函数图像如图: