【最新整理】2019高中数学人教A版选修4-1创新应用教学案：第二讲四弦切角的性质-含答案

【最新整理】2019高中数学人教A版选修4-1创新应用教学案：第二讲四弦切角的性质-含答案

[对应学生用书P28]

弦切角定理

(1)文字语言叙述：

弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．

(2)图形语言叙述：

如图，AB与⊙O切于A点，则∠BAC＝∠D.

[说明] 弦切角的度数等于它所夹弧度数的一半，圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，圆心角的度数等于它所对弧的度数．

[对应学生用书P29]

[例1]

弧＝，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证

明：AC BD

(1)∠ACE＝∠BCD；

(2)BC2＝BE·CD.

[思路点拨] 利用弦切角定理．

[证明] (1)因为＝，AC BD

所以∠BCD＝∠A BC.

又因为EC与圆相切于点C，

故∠ACE＝∠ABC，

所以∠ACE＝∠BCD.

(2)因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，

所以△BDC∽△ECB.

故＝，

即BC2＝BE·CD.

利用弦切角定理进行计算、证明，要特别注意弦切角所夹弧所对的圆周角，有时与圆的直径所对的圆周角结合运用，同时要注意根据题目的需要可添加辅助线构成所需要的弦切角．

1．如图，AB为⊙O的直径，直线EF切⊙O于C，若∠BAC＝56°，则∠ECA＝________.

解析：连接BC，

∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.

∴∠B＝90°－∠BAC＝90°－56°＝34°.

又∵EF与⊙O相切于点C，由弦切角定理，有∠ECA＝∠B＝34°.

答案：34°

2.如图，AB是⊙O的弦，CD是经过⊙O上的点M的

切线，求证：

(1)如果AB∥CD，那么AM＝MB；

(2)如果AM＝BM，那么AB∥CD.

证明：(1)∵CD切⊙O于M点，

∴∠DMB＝∠A，∠CMA＝∠B.

∵AB∥CD，∴∠CMA＝∠A.

∴∠A＝∠B，故AM＝MB.

(2)∵AM＝BM，∴∠A＝∠B.

∵CD切⊙O于M点，∠CMA＝∠B，

∴∠CMA＝∠A.∴AB∥CD.

3．如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切