概率习题答案3

第三章多维随机变量及其分布 3.1 二维随机变量及其分布

习题1

设(X,Y)的分布律为

X\Y 1 2 3

1 1/6 1/9 1/18

2 1/3a1/9

求a.

分析：

dsfsd1f6d54654646

解答：

由分布律性质∑i?jPij=1, 可知

1/6+1/9+1/18+1/3+a+1/9=1,

解得

a=2/9.

习题2(1)

2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，试用F(x,y)表示：

(1)P{a

解答：

P{a

习题2(2)

2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，试用F(x,y)表示：

(2)P{0

解答：

P{0

习题2(3)

2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，试用F(x,y)表示：

(3)P{X>a,Y≤b}.

解答：

P{X>a,Y≤b}=F(+∞,b)-F(a,b).

习题3(1)

3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表：

试求：

(1)P{12

解答：

P{12

P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3}

=P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3}

=14+0+0=14.

习题3(2)

3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表：

试求：

(2)P{1≤X≤2,3≤Y≤4};

解答：

P{1≤X≤2,3≤Y≤4}

=P{X=1,Y=3}+P{X=1,Y=4}+P{X=2,Y=3}+P{X=2,Y=4}

=0+116+0+14=516.

习题3(3)

3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表：

试求：

(3)F(2,3).

解答：

F(2,3)=P(1,1)+P(1,2)+P(1,3)+P(2,1)+P(2,2)+P(2,3)

=14+0+0+116+14+0=916.

习题4

设X,Y为随机变量，且

P{X≥0,Y≥0}=37,P{X≥0}=P{Y≥0}=47,

求P{max{X,Y}≥0}.

解答：

P{max{X,Y}≥0}=P{X,Y至少一个大于等于0}

=P{X≥0}+P{Y≥0}-P{X≥0,Y≥0}

=47+47-37=57.

习题5

(X,Y)只取下列数值中的值：

(0,0),(-1,1),(-1,13),(2,0)

且相应概率依次为16,13,112,512, 请列出(X,Y)的概率分布表，并写出关于Y的边缘分布.

解答：

(1)因为所给的一组概率实数显然均大于零，且有16+13+112+512=1, 故所给的一组实数必是某二维随机变量(X,Y)的联合概率分布. 因(X,Y)只取上述四组可能值，故事件：

{X=-1,Y=0}, {X=0,Y=13,

{X=0,Y=1},{X=2,Y=13,{X=2,Y=1}

均为不可能事件，其概率必为零. 因而得到下表：

Y 01/31

pk 7/121/121/3

习题6

设随机向量(X,Y)服从二维正态分布N(0,0,102,102,0), 其概率密度为f(x,y)=1200πex2+y2200,

求P{X≤Y}.

解答：

由于P{X≤Y}+P{X>Y}=1，且由正态分布图形的对称性，知P{X≤Y}=P{X>Y},

故P{X≤Y}=12.

习题7

设随机变量(X,Y)的概率密度为

f(x,y)={k(6-x-y),0

(1)确定常数k; (2)求P{X<1,Y<3};

(3)求P{X<1.5}; (4)求P{X+Y≤4}.

解答：

如图所示

(1)由∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=1,确定常数k.

∫02∫24k(6-x-y)dydx=k∫02(6-2x)dx=8k=1,

所以k=18.

(2)P{X<1,Y<3}=∫01dx∫2318(6-x-y)dy=38.

(3)P{X<1.5}=∫01.5dx∫2418(6-x-y)dy=2732.

(4)P{X+Y≤4}=∫02dx∫24-x18(6-x-y)dy=23.

习题8

已知X和Y的联合密度为

f(x,y)={cxy,0≤x≤1,0≤y≤10,其它,

试求：(1)常数c; (2)X和Y的联合分布函数F(x,y).

解答：