《材料力学》压杆稳定习题解

第九章 压杆稳定 习题解

[习题9-1] 在§9-2中已对两端球形铰支的等截面细长压杆，按图a 所示坐标系及挠度曲线形状，导出了临界应力公式2

2l

EI

P cr π=

。试分析当分别取图b,c,d 所示坐标系及挠曲线形

状时，压杆在cr F 作用下的挠曲线微分方程是否与图a 情况下的相同，由此所得cr F 公式又是否相同。

解： 挠曲线微分方程与坐标系的y 轴正向规定有关，与挠曲线的位置无关。

因为（b ）图与（a ）图具有相同的坐标系，所以它们的挠曲线微分方程相同，都是

)("x M EIw -=。（c ）、(d)的坐标系相同，它们具有相同的挠曲线微分方程：)("x M EIw =，显然，这微分方程与（a ）的微分方程不同。

临界力只与压杆的抗弯刚度、长度与两端的支承情况有关，与坐标系的选取、挠曲线的位置等因素无关。因此，以上四种情形的临界力具有相同的公式，即：2

2l

EI

P cr π=。

?

[习题9-2] 图示各杆材料和截面均相同，试问杆能承受的压力哪根最大，哪根最小（图f 所示杆在中间支承处不能转动）

解：压杆能承受的临界压力为：2

2).(l EI

P cr μπ=。由这公式可知，对于材料和截面相同的压杆，

它们能承受的压力与 原压相的相当长度l μ的平方成反比，其中，μ为与约束情况有关的长

度系数。

（a ）m l 551=?=μ （b ）m l 9.477.0=?=μ （c ）m l 5.495.0=?=μ （d ）m l 422=?=μ （e ）m l 881=?=μ

\

（f ）m l 5.357.0=?=μ（下段）；m l 5.255.0=?=μ（上段） 故图e 所示杆cr F 最小，图f 所示杆cr F 最大。

[习题9-3] 图a,b 所示的两细长杆均与基础刚性连接，但第一根杆（图a ）的基础放在弹性地基上，第二根杆（图b ）的基础放在刚性地基上。试问两杆的临界力是否均为2

min

2).2(l EI P cr π=

为什么并由此判断压杆长因数μ是否可能大于2。

螺旋千斤顶（图c ）的底座对丝杆（起顶杆）的稳定性有无影响校核丝杆稳定性时，把它看作下端固定（固定于底座上）、上端自由、长度为l 的压杆是否偏于安全

解：临界力与压杆两端的支承情况有关。因为(a)的下支座不同于(b)的下支座，所以它们的临界力计算公式不同。(b)为一端固定，一端自由的情况，它的长度因素2=μ，其临界力为：2

min

2)

.2(l EI P cr π=

。但是，(a) 为一端弹簧支座，一端自由的情况，它的长度因素

2≠μ，因此，不能用2

min

2)

.2(l EI P cr π=

来计算临界力。

为了考察（a ）情况下的临界力，我们不妨设下支座（B ）的转动刚度l

EI

M

C 20

==?

，且无侧向位移，则：

)()("w F x M EIw cr -=-=δ

&

令

2k EI

F cr

=，得： δ22"k w k w =+

微分方程的通解为：δ++=kx B kx A w cos sin kx Bk kx Ak w sin cos '

-= 由边界条件：0=x ，0=w ，C

F C M w cr δ?==

='

；l x =，δ=w 解得： Ck F A cr δ=

，δ-=B ，δδδ

δ+-=kl kl Ck

F cr cos sin 整理后得到稳定方程：20/tan ==

l

EI C

kl kl 用试算法得： 496.1=kl

故得到压杆的临界力：2

22

)

1.2()496.1(l EI

l EI F cr π==。

因此，长度因素μ可以大于2。这与弹性支座的转动刚度C 有关，C 越小，则μ值越大。当0→C 时，∞→μ。

螺旋千斤顶的底座与地面不是刚性连接，即不是固定的。它们之间是靠摩擦力来维持相对的静止。当轴向压力不是很大，或地面较滑时，底座与地面之间有相对滑动，此时，不能看作固定端；当轴向压力很大，或地面很粗糙时，底座与地面之间无相对滑动，此时，可以看作是固定端。因此，校核丝杆稳定性时，把它看作上端自由，下端为具有一定转动刚度的弹性支座较合适。这种情况，2>μ，算出来的临界力比“把它看作下端固定（固定于底座上）、上端自由、长度为l 的压杆”算出来的临界力要小。譬如，设转动刚度l

EI

M

C 20

==

?

，则： 1025.12

1.222

==弹簧固端

cr cr P P ，弹簧固端,1025.1cr cr P P =。因此，校核丝杆稳定性时，把它

看作下端固定（固定于底座上）、上端自由、长度为l 的压杆不是偏于安全，而是偏于危险。

…

[习题9-4] 试推导两端固定、弯曲刚度为EI ，长度为l 的等截面中心受压直杆的临界应力cr P 的欧拉公式。

[解]：设压杆向右弯曲。压杆处于临界状态时，两端的竖向反力为cr P ，水平反力为0，约束反力偶矩两端相等，用e M 表示，下标e 表示端部end 的意思。若取下截离体为研究对象，则e M 的转向为逆转。

e cr M x v P x M -=)()(

)()("x v P M x M EIv cr e -=-= e cr M x v P EIv =+)("

EI M x v EI P v e cr =+)("

，令EI P k cr =2

，则 EI

P k cr 12=

cr

e

P M k v k v 2

2"=+ 上述微分方程的通解为：

cr

e

P M kx B kx A v +

+=cos sin …………………………….(a) ？

kx Bk kx Ak v sin cos '-=

边界条件：① 0=x ；0=v ： cr e P M B A +

+=0cos 0sin 0；cr

e P M

B -=。 ② 0=x 0'

=v ：0sin 0cos 0Bk Ak -=；0=A 。 把A 、B 的值代入（a ）得： )cos 1(kx P M v cr e -= kx k P M

v cr

e sin '?=

边界条件：③ L x =；0=v ：)cos 1(0kL P M cr

e

-=

， 0cos 1=-kL ④ 0=x 0'

=v ：kL k P M cr

e

sin 0?=

0sin =kL 以上两式均要求：πn kL 2=，,......)3,1,0(=n

其最小解是：π2=kL ，或L k π2=。故有：EI

P L k cr =

=222

)5.0(π，因此： —

2

2)

5.0(L EI

P cr π=

。

[习题9-5] 长m 5的10号工字钢，在温度为C 0

0时安装在两个固定支座之间，这时杆不受

力。已知钢的线膨胀系数1

07)(10125--?=C l α，GPa E 210=。试问当温度升高至多少

度时，杆将丧失稳定性 解：

[习题9-6] 两根直径为d 的立柱，上、下端分别与强劲的顶、底块刚性连接，如图所示。试根据杆端的约束条件，分析在总压力F 作用下，立柱可能产生的几种失稳形态下的挠曲线形

P的算状，分别写出对应的总压力F之临界值的算式（按细长杆考虑），确定最小临界力

cr

式。

解：在总压力F作用下，立柱微弯时可能有下列三种情况：

~

（a）每根立柱作为两端固定的压杆分别失稳：

（b）两根立柱一起作为下端固定而上端自由的体系在自身平面内失稳

失稳时整体在面内弯曲，则1，2两杆组成一组合截面。

（c）两根立柱一起作为下端固定而上端自由的体系在面外失稳

<

故面外失稳时cr P 最小：2

4

3128l Ed P cr π=

。

[习题9-7] 图示结构ABCD 由三根直径均为d 的圆截面钢杆组成，在B 点铰支，而在A 点和C 点固定，D 为铰接点，

π10=d

l

。若结构由于杆件在平面ABCD 内弹性失稳而丧失承载能力，试确定作用于结点D 处的荷载F 的临界值。 解：杆DB 为两端铰支

，杆DA 及DC 为一端

铰支一端固定，选取 。此结构为超静定结构，当杆DB 失稳时结构仍能继续承载，直到杆AD 及DC 也失稳时整个结构才丧失承载能力，故

2

024

.36l EI =

[习题9-8] 图示铰接杆系ABC 由两根具有相同截面和同样材料的细长杆所组成。若由于杆件在平面ABC 内失稳而引起毁坏，试确定荷载F 为最大时的θ角（假设2

0π

θ<

<）。

；

解：要使设计合理，必使AB 杆与BC 杆同时失稳，

即：

θ

πcos 2

2,F l EI

P AB

AB cr ==

θπsin 2

2,F l EI

P BC

BC cr ==

βθθθ

22cot )(tan cos sin ===BC

AB l l F F

)arctan(cot 2βθ=

[习题9-9] 下端固定、上端铰支、长m l 4=的压杆，由两根10号槽钢焊接而成，如图所示，并符合钢结构设计规范中实腹式b 类截面中心受压杆的要求。已知杆的材料为Q235钢，强度许用应力MPa 170][=σ，试求压杆的许可荷载。 解：查型钢表得：

）

m

[习题9-10] 如果杆分别由下列材料制成：

（1）比例极限MPa P 220=σ，弹性模量GPa E 190=的钢； （2）MPa P 490=σ，GPa E 215=，含镍%的镍钢； （3）MPa P 20=σ，GPa E 11=的松木。 试求可用欧拉公式计算临界力的压杆的最小柔度。 解：（1）

}

（2）

（3）

[习题9-11] 两端铰支、强度等级为TC13的木柱，截面为150mm ×150mm 的正方形，长度m l 5.3= ，强度许用应力MPa 10][=σ。试求木柱的许可荷载。 解：

由公式（9-12a ）：

~

[习题9-12] 图示结构由钢曲杆AB 和强度等级为TC13的木杆BC 组成。已知结构所有的连接均为铰连接，在B 点处承受竖直荷载kN F 3.1=，木材的强度许用应力MPa 10][=σ。试校核BC 杆的稳定性。

解：把BC 杆切断，代之以轴力N ，则

0=∑A

M

01sin 1cos 13.1=?-?-?C N C N C

C N cos sin 3

.1+=

A

8.05

.122sin 2

2

=+=

C

6.05

.125.1cos 2

2

=+=

C

)(929.06

.08.03

.1kN N =+=

<

)(213333404012112433mm bh I =??==

)(547.1140

40213333

mm A

I i =?==

915.216547

.11105.213

>=??==i l

μλ

由公式（9—12b ）得：

0597.05

.2162800

2800

2

2

==

=

λ? MPa st 597.0100597.0][][=?==σ?σ

MPa mm N A N 581.040409292

=?==

σ 因为st ][σσ<，所以压杆BC 稳定。

[习题9-13] 一支柱由4根mm mm mm 68080??的角钢组成（如图），并符合钢结构设计规范中实腹式b 类截面中心受压杆的要求。支柱的两端为铰支，柱长m l 6=，压力为kN 450。若材料为Q235钢，强度许用应力MPa 170][=σ，试求支柱横截面边长a 的尺寸。

[

解：

（查表： ， ）

，查表得：

m 4

= mm

[习题9-14] 某桁架的受压弦杆长4m,由缀板焊成一体，并符合钢结构设计规范中实腹式b 类截面中心受压杆的要求，截面形式如图所示，材料为Q235钢，MPa 170][=σ。若按两端铰支考虑，试求杆所能承受的许可压力。

<

解：由型钢表查得 角钢：

得

查表：

故

[习题9-15] 图示结构中，BC 为圆截面杆，其直径mm d 80=；AC 边长mm a 70=的正方形截面杆。已知该结构的约束情况为A 端固定，B 、C 为球形铰。两杆的材料均为Q235钢，弹性模量GPa E 210=，可各自独立发生弯曲互不影响。若结构的稳定安全系数5.2=st n ，试求所能承受的许可压力。 解：BC 段为两端铰支，1=μ

)(20096008014.364

1

64

444

mm d I =??=

=

π 2

24

2322

220002009600/1021014.3mm

mm mm N l EI

P cr ???==

π \

kN N 227.10401040227==

)(4165

.2227

.1040][kN n P F st cr BC ===

AB 杆为一端固定，一端铰支，7.0=μ

)(20008337012

1

12444mm a I =?==

kN

N mm mm mm N l EI P cr 4.939621.93940021002000833/1021014.3)(2

24

23222==???==μπ )(37676.3755

.24

.939][kN n P F st cr AC ≈===

故 kN F 376][=

[习题9-16] 图示一简单托架，其撑杆AB 为圆截面木杆，强度等级为TC15。若架上受集度为 的均布荷载作用，AB 两端为柱形铰，材料的强度许用应力

，

试求撑杆所需的直径d 。

解：取m m -以上部分为分离体，由

，有

)

设

，

m

则

求出的

与所设

基本相符，故撑杆直径选用

m 。

[习题9-17] 图示结构中杆AC 与CD 均由Q235钢制成，C ，D 两处均为球铰。已知

mm ， mm ，

mm ；

，

，

；强度

安全因数

，稳定安全因数

。试确定该结构的许可荷载。

解：（1）杆CD 受压力 3F

F CD =

梁BC 中最大弯矩 3

2F M B =

)

（2）梁BC 中

（3）杆CD

（Q235钢的)100=P λ

=

（由梁力矩平衡得）

故，由（2）、（3）可知，kN F 5.15][=

[

[习题9-18] 图示结构中，钢梁AB 及立柱CD 分别由16号工字钢和连成一体的两根

mm mm mm 56363??角钢组成，杆CD 符合钢结构设计规范中实腹式b 类截面中心受压杆的要求。均布荷载集度m kN q /48=。梁及柱的材料均为Q235钢，MPa 170][=σ，GPa E 210=。试验算梁和立柱是否安全。 解：（1）求多余约束力CD F

把CD 杆去掉，代之以约束反力

CD F 。由变形协调条件可知， CD C l w ?= CD cF Cq l w w CD ?=+

EA l F EI l F EI ql CD CD AB CD AB

=-4838453

4

A

l F I l F I ql CD CD AB CD AB

=-4838453

4 查型钢表得：16号工字钢的41130cm I z =，3

141cm W z =

mm mm mm 56363??L 形角钢的面积：2143.6cm A =，

417.23cm I z =，cm i z 94.1=

(

2

433444286.122001130484001130384400100/485cm cm

F cm cm F cm cm cm kN CD CD ?=??-???

286.12200

1130484001130384400100/48534?=??-???CD CD F F kN

CD CD F F 279.16941.11799203.141592=- )(367.118kN F CD =

（2）梁的强度校核

0=∑A

M

04482

1

2367.11842=??-

?+?B R )(8165.36kN R B = （↑）

)(8165.36367.1188165.36448kN R A =--?=

AC 段：x x Q 488165.36)(-=；2

248165.36)(x x x M -=

|

令 0488165.36)(=-=x x Q ，得：当m x 767.0=时，

)(119.14767.024767.08165.362

max m kN M ?=?-?=

CB 段：2

24)2(367.1188165.36)(x x x x M --+=

m kN M ?=367.22||max

因为 MPa MPa mm

mm

N W M z 170][631.1581014110367.22||3

36max max =<=???==σσ 所以 符合正应力强度条件，即安全。 （3）立桩的稳定性校核 由柔度10394.12001=?=

=

cm

cm

i l

z

μλ查表得稳定因素536.0=?

因为MPa mm N

A F N 343.9610286.121183672

2=?==

σ， MPa st 12.91170536.0][][=?==σ?σ st ][σσ>，而且，

%5%73.512

.9112

.91343.96>=-

所以压杆会失稳。不安全。