(完整版)难点探究专题：整式中的规律探究(选做)

难点探究专题：整式中的规律探究（选做）

——从特殊到一般，探寻多方规律 ◆类型一 整式规律探究

一、有规律的一列数

1.（雅安模拟）已知一组数：1，3，5，7，9，…按此规律，第n 个数是 .

2.观察下列一组数：32，1，710，917，11

26，…它们是按一定规律排列的，那么这组数的第

n 个数是 （n 为正整数）.

二、有规律的一列单项式

3.有一组单项式：a 2，－

a 32，a 43，－a 54，a 6

5

…，则第10个单项式是 ，第n 个单项式是 .

4.（富顺县校级模拟）有一个多项式为－a ＋2a 2－3a 3＋4a 4－5a 5＋…按照这样的规律写下去，第2016项为 ，第n 项为 .

5.（临沂中考）观察下列关于x 的单项式，探究其规律：x ，3x 2，5x 3，7x 4，9x 5，11x 6，…按照上述规律，第2015个单项式是【方法18①】（ ）

A .2015x 2015

B .4029x 2014

C .4029x 2015

D .4031x 2015

三、数的循环规律或式中的规律

6.（河南模拟）如图是钢琴键盘的一部分，若从4开始，依次弹出4，5，6，7，1，4，5，6，7，1，…按照上述规律弹到第2016个音符是 .

7.设a n 为正整数n 的n 4的末位数，如a 1＝1，a 2＝6，a 3＝1，a 4＝6，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 24＋a 25＝ .

8.（滨州中考）观察下列式子： 1×3＋1＝22； 7×9＋1＝82； 25×27＋1＝262； 79×81＋1＝802； …

可猜想第2016个式子为________________________________________. 四、数表中的规律

9.（东莞市一模）如图，填在各方格中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，n 的值是（ ）

A .48

B .56

C .63

D .74

10.（重庆校级月考）观察下面一组数：－1，2，－3，4，－5，6，－7…，将这组数排成如图的形式，按照此规律排下去，则第11行中从左边数第10个数是（）

A.－110

B.110

C.－111

D.111

11.如下一排方格中，第1个小方格中的数字是3，第4个小方格中的数字是－1，第7个小方格中的数字是2，其他每个小方格中的字母分别代表一个数，已知任意连续四个小方格中数字的积都等于24，则第2016个小方格中的数字是（）

3 a b －1 c d 2 e …

A.－4

B.－1

C.2

D.3

12.观察下列数表：

第一列第二列第三列第四列

第一行 1 2 3 4

第二行 2 3 4 5

第三行 3 4 5 6

第四行 4 5 6 7

……………

请猜想第n行与第n列的交叉点上的数是.

13.下列数表是由1开始的连续自然数排列而成的，根据你观察的规律完成下面问题：

（1）第8行共有个数，最后一个数是；

（2）第n行共有个数，第一个数是，最后一个数是.

◆类型二图形规律探究

14.（荆州中考）如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，若第n个图案中有2017个白色纸片，则n的值为（）

A.671

B.672

C.673

D.674

15.（山西中考）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第n个图案中有个涂有阴影的小正方形（用含有n的代数式表示）.

16.如图，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3

个，第3幅图中有5个，则第4幅图中有个，第n幅图中共有个.【方法18②】

17.（宁波中考）下列图案是用长度相同的火柴棒按一定规律拼搭而成，图案①需8根火柴棒，图案②需15根火柴棒……按此规律，图案⑦需根火柴棒.

18.按如下规律摆放三角形：

①②③

（1）第④堆三角形的个数为；

（2）第n堆三角形的个数为.

19.如图，将一组正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作，……根据以上操作，若要得到2014个小正方形，则需要操作的次数是.

20.（安微模拟）如图是用棋子摆成的图案：

根据图中棋子的排列规律解决下列问题：

（1）第4个图中有颗棋子，第5个图中有颗棋子；

（2）写出你猜想的第n个图中棋子的颗数（用含n的式子表示）.

参考答案与解析

1．2n－1

2.2n＋1

n2＋1

解析：因为1＝

5

5，这样分子为去掉1后的一列奇数，即2n＋1，而分母为2

＝12＋1，5＝22＋1，10＝32＋1，17＝42＋1，26＝52＋1，即n 2＋1.故填2n ＋1

n 2＋1

.

3．－a 1110 (－1)n ＋1

·a n ＋

1n

4．2016a 2016 (－1)n na n

5．C 解析：系数为2n －1，指数与序号相同． 6．4 7.85

8．(32016－2)×32016＋1＝(32016－1)2 9．C 10.B 11.B 12.2n －1

13．(1)15 64 (2)2n －1 (n －1)2＋1 n 2 14．B 15.(4n ＋1) 16.7 (2n －1) 17.50 18．(1)14 (2)3n ＋2

19．671 解析：由图形中小正方形个数可知4＝1＋3×1，7＝1＋3×2，10＝1＋3×3.故第n 次操次共有(3n ＋1)个小正方形，所以3n ＋1＝2014，n ＝671.

20．解：(1)22 32 (2)n (n ＋1)＋2.

难点探究专题：整式中的规律探究(选做)

难点探究专题：整式中的规律探究（选做） ——从特殊到一般，探寻多方规律 ◆类型一 整式规律探究 一、有规律的一列数 1.（雅安模拟）已知一组数：1，3，5，7，9，…按此规律，第n 个数是 . 2.观察下列一组数：32，1，710，917，11 26，…它们是按一定规律排列的，那么这组数的第 n 个数是 （n 为正整数）. 二、有规律的一列单项式 3.有一组单项式：a 2 ，－a 32，a 43，－a 54，a 6 5 …，则第10个单项式是 ，第n 个单 项式是 . 4.（富顺县校级模拟）有一个多项式为－a ＋2a 2－3a 3＋4a 4－5a 5＋…按照这样的规律写下去，第2016项为 ，第n 项为 . 5.（临沂中考）观察下列关于x 的单项式，探究其规律：x ，3x 2，5x 3，7x 4，9x 5，11x 6，…按照上述规律，第2015个单项式是【方法18①】（ ） A .2015x 2015 B .4029x 2014 C .4029x 2015 D .4031x 2015 三、数的循环规律或式中的规律 6.（河南模拟）如图是钢琴键盘的一部分，若从4开始，依次弹出4，5，6，7，1，4，5，6，7，1，…按照上述规律弹到第2016个音符是 . 7.设a n 为正整数n 的n 4的末位数，如a 1＝1，a 2＝6，a 3＝1，a 4＝6，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 24＋a 25＝ . 8.（滨州中考）观察下列式子： 1×3＋1＝22； 7×9＋1＝82； 25×27＋1＝262； 79×81＋1＝802； … 可猜想第2016个式子为________________________________________. 四、数表中的规律 9.（东莞市一模）如图，填在各方格中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，n 的值是（ ） A .48 B .56 C .63 D .74

专题训练(二)探究整式中的规律问题

专题训练（二）探究整式中的规律问题 类型1 数与式的规律 1.（2018梧州）按一定规律排列的一列数依次为 ,35,26,15,10,3,2，按此规律排列下去，则这列数中的第100个数是（ ） A 、9999 B 、10000 C 、10001 D 、10002 2.（2018云南）按一定规律排列的单项式：,,,,,,65432 a a a a a a ---则第n 个单项式是（ ） A 、n a B 、n a - C 、n n a 1) 1(+- D 、n n a )1(- 3.（2018百色）观察以下一列数：,,25 11,169,97,45,3 则第20个数是 。 4.（2018泰安）如图，观察“田”字格中各数之间的关系，则c 的值为 类型2 数列的规律 5.（2018宜昌）1261年，我国南宋数学家杨辉用如图所示的三角形解释二项和的惩罚规律，比欧洲的相同发现要早三百多年，我们把这个三角形称为“杨辉三角”.请观察图中的数字排列规律，则， 的值分别为( ) A ． B ． C. D ． 6.（2018淄博）如图，将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第8列的数是 。 7.（1）已知一列数,,,,,4321 a a a a 满足下列条件：a 1=-1，a 2=-|a 1+3|，a 3=-|a 2+4|，a 4=-|a 3+5|，…依此类推，则a 2015-a 2014的值为 （2）已知一列数,,,,,4321 a a a a 满足下列条件：1=a

8.已知一列数,,,,321 a a a 其中211= a 9.（2018荆州）将1个1,2个21，3个31，…，n 个n 1（n 为正整数）顺次排成一列：,,1,1,,31,31,31,21,21,1 n n 记,11=a ,212=a ,2 13=a …，11a S =，212a a S +=，3213a a a S ++=， …n n a a a a S ++++= 321，求2018S 的值。 10.（2018孝感)我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”，从图中取一列数：1,3,6,10，…，记,11=a ,32=a ,63=a …，那么10210114--+a a a 的值是 。 2 （1）我们自上往下，在每个圆圈中都按图③的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边这个圆圈中的数是____。 (2)我们自上往下，在每个圆圈中都按图④的方式填上一串连续的整数?23，?22，?21，…，求图④中所有圆圈中各数的绝对值之和。

难点探究专题：抛物线与几何图形的综合(选做)

难点探究专题：抛物线与几何图形的综合(选做) ——代几结合，突破面积及点的存在性问题 ◆类型一二次函数与三角形的综合 一、全等三角形的存在性问题 1．如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(1，－4)和(－2，5)，请解答下列问题： (1)求抛物线的解析式； (2)若抛物线与x轴的两个交点为A，B，与y轴交于点C.在该抛物线上是否存在点D，使得△ABC与△ABD全等？若存在，求出D点的坐标；若不存在，请说明理由． 二、线段(或周长)的最值问题及等腰三角形的存在性问题 2．(2016·凉山州中考)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)三点，直线l是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的函数关系式； (2)设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A、点B的距离之和最短时，求点P的坐标； (3)点M也是直线l上的动点，且△MAC为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． ◆类型二二次函数与平行四边形的综合 3．如图，抛物线y＝ax2＋2ax＋c(a ＞0)与y轴交于点C，与x轴交于A，B 两点，A点在B点左侧．若点E在x轴上，点P在抛物线上，且以A，C，E，P为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点P有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 4．如图，抛物线y＝ 1 2x 2＋x－ 3 2与x 轴相交于A，B两点，顶点为P. (1)求点A，B的坐标； (2)在抛物线上是否存在点E，使△ABP的面积等于△ABE的面积？若存

在，求出符合条件的点E 的坐标；若不存在，请说明理由； (3)坐标平面内是否存在点F ，使得以A ，B ，P ，F 为顶点的四边形为平行四边形？直接写出所有符合条件的点F 的坐标． ◆类型三 二次函数与矩形、菱形、正方形的综合 5．如图，在平面直角坐标系中，点A 在抛物线y ＝x 2－2x ＋2上运动．过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，以AC 为对角线作矩形ABCD ，连接BD ，则对角线BD 的最小值为 ________. 第5题图 第6题图 6．如图，抛物线y ＝ax 2－x －3 2与x 轴正半轴交于点A(3，0)．以OA 为边在x 轴上方作正方形OABC ，延长CB 交抛物线于点D ，再以BD 为边向上作正方形BDEF.则a ＝，点E 的坐标是_________________． 7. (2016·新疆中考)如图，对称轴为直线x ＝7 2的抛物线经过点A(6，0)和B(0， －4)． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)设点E(x ，y)是抛物线上一动点，且位于第一象限，四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式； (3)当(2)中的平行四边形OEAF 的面积为24时，请判断平行四边形OEAF 是否为菱形． 8．(2016·百色中考)正方形OABC 的边长为4，对角线相交于点P ，抛物线l 经过O ，P ，A 三点，点E 是正方形内的抛物线l 上的动点． (1)建立适当的平面直角坐标系， ①直接写出O ，P ，A 三点的坐标； ②求抛物线l 的解析式； (2)求△OAE 与△OCE 面积之和的最大值．

14.难点探究专题：坐标系中的规律变换(选做)

难点探究专题：坐标系中的规律变换(选做) ——掌握不同规律，以不变应万变 ◆类型一 沿坐标轴运动的点的坐标规律 1．如图是探究一个质点在第一象限及x 轴、y 轴上的运动，在第1秒时，它从原点运动到(0，1)，接着按图中所示方向运动[即(0，0)→(0，1)→(1，1)→(1，0)…]，且每秒移动1个单位，那么第35秒时质点所在位置的坐标是( ) A ．(4，0) B ．(5，0) C ．(0，5) D ．(5，5) 第1题图 第2题图 2．(梅州中考)如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 绕点A 顺时针旋转到△AB 1C 1的位置，点B ，O 分别落在点B 1，C 1处，点B 1在x 轴上，再将△AB 1C 1绕点B 1顺时针旋转到△A 1B 1C 2的位置，点C 2在x 轴上，将△A 1B 1C 2绕点C 2顺时针旋转到△A 2B 2C 2的位置，点 A 2在x 轴上，依次进行下去……若点A ????32，0， B (0，2)，则点B 2016的坐标为__________． ◆类型二 绕原点呈“回”字形运动的点的坐标的探究 3．如图，一个机器人从O 点出发，向正东方向走3m 到达A 1点，再向正北方向走6m 到达A 2点，再向正西方向走9m 到达A 3点，再向正南方向走12m 到达A 4点，再向正东方向走15m 到达A 5点，按如此规律走下去，相对于点O ，机器人走到A 6时是在________位置． 第3题图 第4题图 4．如图，正方形A 1A 2A 3A 4，A 5A 6A 7A 8，A 9A 10A 11A 12，…(每个正方形从第三象限的顶点开始，按顺时针方向依次记为A 1，A 2，A 3，A 4；A 5，A 6，A 7，A 8；A 9，A 10，A 11，A 12；…)的中心均在坐标原点O ，各边均与x 轴或y 轴平行，若它们的边长依次是2，4，6，…，则顶点A 20的坐标为________．【方法11】 5．如图，已知A 1(1，0)，A 2(1，1)，A 3(－1，1)，A 4(－1，－1)，A 5(2，－1)，…，则点A 2016的坐标为________． ◆类型三 图形变化的点的坐标探究 6．如图所示，在直角坐标系中，第一次将△OAB 变换成△OA 1B 1，第二次将△OA 1B 1

14.与整式相关的找规律

第十四讲：与整式相关的找规律 知识精讲 一．找规律 规律探究类的问题是近几年中考题中出现的创新性题目，考查从特殊到一般的认识水平、运算能力以及对知识的贯通能力，要求学生必须具备逻辑推理能力、观察归纳能力、猜想验证能力．考察题型主要有“数字类”、“图形类”、“计算类”等． 掌握探究的一般方法是解决此类问题的关键． （1）掌握探究规律的方法，可以通过具体到抽象、特殊到一般的方法，有时通过类比、联想，还要充分利用已知条件或图形特征进行透彻分析，从中找到隐含的规律． （2）恰当合理的联想、猜想，从简单的、局部的特殊情况到一般情况是基本思路，经过归纳、提炼、加工，寻找出一般性规律，从而求解问题． 三点剖析 一．考点：数字类、图形类找规律． 二．重难点：数字类找规律、图形类找规律 三．易错点： 数字类规律题目，第n 项计算错误． 基础训练 题模一：数字类 1 观察下列各式：3211= 332123+= 33321236++= 33332123410+++= …… 猜想：333312310+++????+=__________． 2 定义：对于任意一个不为1的有理数a ，把 11a -称为a 的差倒数，如2的差倒数为1 112=--， 1-的差倒数为 ()11112=--．记11 2 a =，2a 是1a 的差倒数，3a 是2a 的差倒数，4a 是3a 的差 倒数，…，依此类推，则2a =____________；2015a =____________ 3有一列式子，按一定规律排列成251017263,9,27,81,243a a a a a ---, （1）当a=1时，其中三个相邻数的和是63，则位于这三个数中间的数是___________；

北师大版数学七年级上册4.5整式与规律探究专题训练

整式与规律探究专题训练 一、基本知识点 1.探究规律； 2.整式的有关知识 二、基本方法 数字探究；图形探究；整式的运算 三、知识讲练 【小检测】 1. 如图，用围棋子按下面的规律摆图形，则摆第n 个图形需要围棋子的枚数为____________ 2. 下列说法中，不正确的是（ ）. A 、0既不是正数，也不是负数 B 、1是绝对值最小的数 C 、0的相反数是0 D 、0的绝对值是0. 3. |–2|的相反数是（ ）. A 、2 1 - B 、–2 C 、21 D 、2. 4. 已知a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，m 的绝对值是1，则m 2－2cd ＋ m b a +的值为_____ 5. 一个两位数，a 表示十位数， b 表示个位数，那么这个两位数可表示为（ ） A 、a+b B 、ab C 、10ab D 、10a+b 6. 若|x|－|y|=0，则（ ） A.x=y B.x =－y C.x=y=0 D.x=y 或x =－y 【例1】列代数式 1. 百位数字是a,十位数字比百位数字小1,个位数字是百位数字的2倍 ,则这个三位数表示为 2. 若a 是一个三位数，b 是一个两位数，若把b 放在a 的左边，组成一个五位数，则这个五位数为（ ） A. b+a B.10b+a C.100b+a D. 1000b+a 〖练习1〗列代数式 1. 温度由30℃下降到t ℃后是 2. 产量由m 千克增长15%后,达到 千克 3. 某市出租车收费标准是:起步价9元,3千米后,每千米1.5元,某人乘坐出租车x 千米(x>3).应付费 _________________________________元 4. 一个两位数,各位数字a 比十位数字大7,则这个数可表示为 5. 某校有女生a 个,其中男生人数占53%,则该校共有学生( )人 A.(1－53%)a B.53%a C. a D. a n=2 n=3

难点探究专题：全等三角形中的动态问题

难点探究专题：全等三角形中的动态问题 ◆类型一全等三角形中的动点问题 1．如图，在△MAB中，MA＝MB，过M点作直线MN交AB于N点．P是直线MN 上的一个动点，在点P移动的过程中，若NA＝NB，则∠PAM与∠PBM是否相等？说明理由． 2．如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC(∠ABC＝∠ACB＝45°)，点D为直线BC上一动点(点D不与B，C重合)，以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF. (1)观察猜想：如图①，当点D在线段BC上时， ①BC与CF的位置关系为________； ②线段BC，CD，CF之间的数量关系为______________ (将结论直接写在横线上)； (2)数学思考：如图②，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．

◆类型二全等三角形中的动图问题 3．已知等边三角形的三条边相等、三个角都等于60°.如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，连接AD，BE. (1)如果点B，C，D在同一条直线上，如图①所示，试说明：AD＝BE； (2)如果△ABC绕C点转过一个角度，如图②所示，(1)中的结论还能否成立？请说明理由． ◆类型三全等三角形中的翻折问题 4．如图，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF ＝ 1 2∠DAB.试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并说明理由．

参考答案与解析 1．解：∠P AM ＝∠PBM .理由如下：∵NA ＝NB ，MA ＝MB ，MN 是公共边，∴△AMN ≌△BMN (SSS)，∴∠MAN ＝∠MBN ，∠MNA ＝∠MNB .又∵NA ＝NB ，PN 是公共边，∴△P AN ≌△PBN (SAS)，∴∠P AN ＝∠PBN .∴∠P AM ＝∠PBM . 2．解：(1)①垂直 ②BC ＝CD ＋CF (2)CF ⊥BC 成立；BC ＝CD ＋CF 不成立，正确结论：CD ＝CF ＋BC .证明如下：∵正方形ADEF 中，AD ＝AF ，∠DAF ＝∠BAC ＝90°，∴∠BAD ＝∠CAF .在△DAB 与△F AC 中，?????AD ＝AF ，∠BAD ＝∠CAF ，AB ＝AC ， ∴△DAB ≌△F AC (SAS)，∴∠ABD ＝∠ACF ，DB ＝CF .∵∠ACB ＝∠ABC ＝45°，∴∠ABD ＝180°－45°＝135°，∴∠BCF ＝∠ACF －∠ACB ＝∠ABD －∠ACB ＝90°，∴CF ⊥BC .∵CD ＝DB ＋BC ，DB ＝CF ，∴CD ＝CF ＋BC . 3．解：(1)∵△ABC ，△CDE 都是等边三角形，∴AC ＝BC ，CD ＝DE ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°.∵点B ，C ，D 在同一条直线上，∴∠ACE ＝60°，∴∠BCE ＝∠ACD ＝120°.在△ACD 与△BCE 中，∵?????AC ＝BC ，∠ACD ＝∠BCE ，CD ＝CE ， ∴△ACD ≌△BCE (SAS)．∴AD ＝BE . (2)成立．理由如下：∵∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠ACB ＋∠ACE ＝∠DCE ＋∠ACE ，即∠BCE ＝∠ACD .又∵AC ＝BC ，CD ＝CE ，∴△ACD ≌△BCE ，∴AD ＝BE . 4．解：DE ＋BF ＝EF .理由如下：延长CB 至G ，作∠5＝∠1，如图所示．∵将Rt △ABC 沿斜边翻折得到△ADC ，∠EAF ＝12 ∠DAB ，∴AB ＝AD ，∠ABC ＝∠ADE ＝90°，∠2＋∠3＝∠1＋∠4，∴∠ABG ＝90°＝ADE .∵∠5＝∠1，∴∠2＋∠3＝∠4＋∠5，∴∠GAF ＝∠EAF . 在△AGB 和△AED 中，?????∠GAB ＝∠EAD ，AB ＝AD ，∠ABG ＝∠ADE ， ∴△AGB ≌△AED (ASA)，∴AG ＝AE ，BG ＝DE . 在△AGF 和△AEF 中，?????AG ＝AE ，∠GAF ＝∠EAF ，AF ＝AF ， ∴△AGF ≌△AEF (SAS)，∴GF ＝EF ，∴BG ＋BF ＝EF ，∴DE ＋BF ＝EF .

七年级数学整式的加减探索规律(习题及答案)

探索规律（习题） 例题示范 例1：观察图1至图4中小圆圈的摆放规律，并按这样的规律继续摆放，记第n个图中小圆圈的个数为M，则M=__________（用含n的代数式表示）． … 图1 图2 图3 图4 思路分析 做图形规律的题，我们一般从两个方面来研究： （1）观察图形的构成． （2）转化． 观察本题的图形，发现后面的图形总比前面的图形多3个小圆圈，可以采用分类的手段进行解决．分成原来的和增加的两类． ①2+3×1 ②2+3×2 ③2+3×3 ④2+3×4 则第n个：2+3n=3n+2． 验证：当n=1时，3n+2=5，成立． 故第n个图形中有(3n+2)个小圆圈． （想一想，还有其他观察角度吗？） 例2：观察下列球的排列规律（其中●是实心球，○是空心球）： … 从第1个球起到第2 014个球止，共有实心球________个． 思路分析 ①判断该题是循环规律，查找重复出现的结构，即循环节； ②观察图形的变化规律，发现每10个球为一个循环，每个循环节里有3个 实心球．故2 014÷10=201…4，201×3=603； ③再从某个循环节开始查前4个球，发现有2个实心球，故总数为603+2=605 （个）． 巩固练习 1.如下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成下列各题．

12345678101112131415161718192021222324252627282930 31323334 3536 9… （1）表中第8行的最后一个数是_____，它是自然数______ 的平方，第8行共有________个数； （2）用含n 的代数式表示：第n 行的第一个数是_________， 最后一个数是_________，第n 行共有_________个数． 2. 将1，-2，3，-4，5，-6，…按一定规律排成下表： （1）第8行的数是_________________________________； （2）第50行的第一个数是 _______． 3. 下列图形由边长为1的正方形按某种规律排列而成，依此规律，则第8个图 形中正方形有（ ） … 图3 图2 图1 A ．38个 B ．41个 C ．43个 D ．48个 4. 如下图所示，摆第1个“小屋子”要5枚棋子，摆第2个要11枚棋子，摆 第3个要17枚棋子，则摆第30个要_________枚棋子． … 第3个 第2个第1个 5. 下列图案由边长相等的黑白两色正方形按一定规律拼接而成，依此规律，第 n 个图案中白色正方形的个数为_________．

6.难点探究专题：平面直角坐标系中的变化规律

难点探究专题：平面直角坐标系中的变化规律 ——掌握不同规律，以不变应万变 类型一　沿坐标轴方向运动的点的坐标规律探究 ◆1．如图，动点P 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)……按这样的运动规律，经过第2016次运动后，动点P 的坐标是________． 2．(2017·阿坝州中考)如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O 出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点P 1(0，1)，P 2(1，1)，P 3(1，0)，P 4(1，－1)，P 5(2，－1)，P 6(2，0)，…，则点P 2017的坐标是________． 类型二　绕原点呈“回”字形运动的点的坐标规律探究 ◆3．在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．如图，由里向外数第2个正方形开始，分别是由第1个正方形各顶点的横坐标和纵坐标都乘2，3，…得到的，请你观察图形，猜想由里向外第10个正方形四条边上的整点个数共有( ) A ．10个 B ．20个 C ．40个 D ．80个 第3题图 第4题图 4．(2017·温州中考)我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列， 为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧，，，…得到斐波那契螺旋 P 1P 2︵ P 2P 3︵ P 3P 4︵ 线，然后顺次连接P 1P 2，P 2P 3，P 3P 4，…得到螺旋折线(如图)，已知点P 1(0，1)， P 2(－1，0)，P 3(0，－1)，则该折线上的点P 9的坐标为( ) A ．(－6，24) B ．(－6，25)

开题报告中的研究难点

开题报告中的研究难点 篇一：中西文化差异的研究开题报告 中西文化差异的研究开题报告 一、综述本课题国内外研究动态，说明选题的依据和意义：动态： 20世纪90年代以来, 中西方文化差异对比的研究方兴未艾,不同层面,不同角度的全方位研究正在不断深入。近年来,国内外有关中西方文化差异专题研究的论文也相继公开发表,为中西方文化差异的进一步深入研究奠定了基础。 意义：中西文化承载着不同民族的文化特色和文化信息，它们与传统文化紧密相连，不可分割。本选题以中西方文化差异为切入点，进行较为深入的文化对比研究，反映一个民族的礼仪、宗教信仰、风 俗习惯、饮食等特征的表现，有助于更好的了解和掌握中西方文化的差异。 二、研究的基本内容、难点和创新点： 基本内容：本选题重在研究礼仪文化、饮食观念、风俗习惯、宗教信仰、语言表达方式折射出的文化差异，理论说明与实例分析相结合。 难点：如何从多个角度分析归纳总结文化差异。 创新点：将礼仪作为一种文化现象重点加以研究。

三、研究步骤、方法及措施 步骤： 1.中西礼仪的差异 1.1称呼语 1.2感谢和答谢 1.3赞美 1.4节日 2.中西饮食观念得差异 2.1中西饮食对象的差异 2.2中西饮食方式、餐具不同2.3中西饮食性质的差异 3.中西风俗习惯的差异 3.1称谓及称呼 3.2敬语谦词 4.中西宗教信仰的差异 5.中西语言表达方式的差异 研究方法和措施： 本篇研究的主要方法和措施是在选定课题后， 由小 组成员分工协作， 从图书馆查阅相关的书籍、 上网寻找资料和有价值 的参考文献，最后结合所学课程的相关内容做出总结。 四、研究工作进度： 11

2020届中考数学复习《整式及其加减-规律探索》专项综合训练含答案

2019届初三数学中考复习整式及其加减 -规律探索专项综合训练 1. 观察下列一组图形，其中图形①中共有2颗星，图形②中共有6颗星，图形 ③中共有11颗星，图形④中共有17颗星，…，按此规律，图形⑧中星星的颗数是( ) A．43颗B．45颗C．51颗D．53颗 2. 观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点……按此规律第5个图中共有点的个数是( ) A．66个 B．51个 C．46个 D．31个 3. 如图是将正整数从小到大按1，2，3，4……n，的顺序组成的鱼状图案，则数“n”出现的个数为( )

A ．(2n)个 B ．(2n －1)个 C ．(2n ＋1)个 D ．(2n ＋2)个 4. 如图用棋子摆出下列一组“口”字，按照这种方法摆下去，则摆第n 个“口”需用棋子( ) A ．4n 枚 B ．(4n －4)枚 C ．(4n ＋4)枚 D ．n 2枚 5. 如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律．根据此规律，图形中M 与m ，n 的关系是( ) A ．M ＝mn B ．M ＝n(m ＋1) C ．M ＝mn ＋1 D ．M ＝m(n ＋1) 6. 用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第n 个图形中小正方形的个数是( ) A ．(2n ＋1)个 B ．(n 2－1)个 C ．(n 2＋2n)个 D ．(5n －2)个 7. 观察一列数：a 1＝3，a 2＝9，a 3＝27，a 4＝81……则a 6＝____，a n ＝____． 8．观察下列一组数：－1，12，－13，14，－15，1 6……则第7个数是____，第8个 数是____，第n 个数是 ． 9. 已知一组数2，4，8，16，32，…，按此规律，则第n 个数是____．

聚焦整式中的四大规律探究题

聚焦整式中的规律探究 江苏 何春华 在整式概念及运算中有一类规律探究问题很值得同学们注意，它考查了同学们实际应用与创新的能力，下面将整式中的规律问题归纳如下，供同学们学习时参考！ 一、数表中的“规律探究” 例1观察下列数表： 第 第 第 第 一 二 三 四 列 列 列 列 第一行 1 2 3 4 第二行 2 3 4 5 第三行 3 4 5 6 第四行 4 5 6 7 …… … … … … 请猜想第n 行第n 列上的数是 。 分析：通过观察、分析、比较，可知：第1行与第1列，第2行与第2列，第3行与第3列，第4行与第4列，交叉点上的数依次为1、3、5、7，它们是连续的奇数，所以可猜想第n 行与第n 列交叉点上的数为21n -。 答案：21n - 二、图形中的“规律探究” 例2用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖 块，第（n ）个图形中需要黑色瓷砖 块.（用含n 的式子表示） 分析：观察第⑴个图形有黑色瓷砖4块；第⑵个图形有黑色瓷砖4＋3＝7（块），第⑶个图形中有黑色瓷砖4＋3＋3＝10（块），…，依次规律可得第（n ）个图形中有黑色瓷砖4＋3（1n -）＝31n +（块）。 答案：10，（31n +）。 点评：解答此类问题要仔细观察每个图形及变化规律，根据规律归纳总结出结论。 三、等式中的“规律探究” 例3观察下列等式： 221 2111222222223332 ??????2＋＝（＋） ＋＝（＋） 3＋＝（＋） …… （1） （2） （3） ……

则第n 个等式可以表示为 。 分析：通过观察可以发现，等式的左边是两项，第1项是从1开始的整数的平方，第2项是2与这个整数的乘积，所以在左边可用一般式子表示为n n 22 +（n ≥1的整数），每一项等式的右边是这个整数与2的和的积，所以可用一般的式子表示为()2+n n ，所以第n 个等式为()222+=+n n n n 。 答案：()222 +=+n n n n 。 点评：解答此类题目的一般方法是：从特殊情形入手，观察和分析所给等式的左右两边的特点，然后归纳和总结出一般性的结论。

湘教版初中数学八年级下册9.难点探究专题：特殊四边形中的综合性问题

湘教版初中数学 重点知识精选 掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！湘教版初中数学和你一起共同进步学业有成！

难点探究专题：特殊四边形中的综合性问题(选做)◆ 类型一　菱形及正方形中利用点的对称性求最小值【方法9】 1．设点P是正方形ABCD内任意一点，则PA＋PB＋PC＋PD的最小值是( ) A．边长的两倍B．周长 C．两条对角线长之和D．以上都不对 2．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝2，点E是BC中点，点P在对角线AC上滑动，则BP＋EP的最小值是( ) 25 A.B．2 C.D．3 第2题图第3题图3．如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠B＝120°，点E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE＋PB的最小值是________． ◆ 类型二　特殊四边形中的动态问题 一、动点问题 4．如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P从点A出发，以1cm/秒的速度沿对角线AC运动到点C.设运动时间为t秒，当图中出现等腰三角形个数最多时(不再添加辅助线)，t的值为( ) A．3.6 B．4 C．5 D．6 第4题图第5题图5．如图，正方形ABCD边长为1，动点P从A点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动，当它的运动路程为2016时，点P所在位置为________；当点P所在位置为D点时，点P的运动路程为________(用含自然数n的式子表示)． 6．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B出发向点C运动，点P，Q的速度都是1cm/s. (1)在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能，那么经过多长时间，四边形AQCP是菱形？ (2)在(1)的条件下，分别求出菱形AQCP的周长、面积． 二、图形的变化问题

难点探究专题(选做)：特殊四边形中的综合性问题

难点探究专题(选做)：特殊四边形中的综合性 问题 ◆类型一特殊平行四边形的动态探究问题 一、动点问题 1．(2016·枣庄中考)如图，把△EFP放置在菱形ABCD中，使得顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上，已知EP＝FP＝6，EF＝63，∠BAD＝60°，且AB>6 3. (1)求∠EPF的大小； (2)若AP＝10，求AE＋AF的值； (3)若△EFP的三个顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上运动，请直接写出AP的最大值和最小值． 二、图形的变换问题 2．如图①，点O是正方形ABCD两条对角线的交点．分别延长OD到点G，OC到点E，使OG＝2OD，OE＝2OC，然后以OG，OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE. (1)求证：DE⊥AG； (2)正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角(0°<α<360°)得到正方形OE′F′G′，如图②. ①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；

②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由． ◆类型二四边形间的综合性问题 3．(2016·德州中考)我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形． (1)如图①，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形； (2)如图②，点P是四边形ABCD内一点，且满足P A＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想； (3)若改变(2)中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．(不必证明 )

整式规律探究

1.观察下列关于x的单项式，探究其规律： 按照上述规律，第2015个单项式式（） A. B. C. D. 2.观察一列有规律的数：，它的第2007个数是多少______，第n个数是_____. 3.观察下列单项式： (1) 请你写出第100个单项式；(2)请你写出第n个单项式. 4.观察下列单项式：根据你发现的规律，第10个式子是_______，第n个式子是__________. 5.观察下列单项式：则第16个单项式是_______,第n个单项式是 ______________. 6.按如下规律摆放三角形： 则第（4）堆三角形的个数为__________个；第（n）堆三角形的个数为__________个． 7.观察下列各图形中小正方形的个数，依此规律，第（21）个图形中小正方形的个数为______． 8.下列图案均是用长度相同的小木棒按一定的规律拼搭而成：拼搭第1个图案需4根小木棒，拼搭第2个图案需10根小木棒，…，依此规律，拼搭第8个图案需小木棒__________根． 9.先化简，再求值 (1)，其中. (2)的值.

10. （1） （2） 11.小李的住房结构如图所示，小李打算把卧室和客厅铺上木地板，请你帮他算一算，他至少需要买多少平方米的木地板？ 12.根据下面的两种移动电话计费方式表，考虑下列问题。 № 用方式一每月收月租费30元，此外根据累计通话时间按0.30元∕分加收通话费；用方式二不收月租费，根据累计通话时间按0.40元∕分收通话费。 № 用方式一每月收月租费30元，此外根据累计通话时间按0.30元∕分加收通话费；用方式二不收月租费，根据累计通话时间按0.40元∕分收通话费。

三角形全等中的动点问题难点专题探究

三角形全等中的动点问题难点专题探究 ——以“静”制“动”，不离其宗 ◆类型一动点变化 1．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC ＝6，BC＝3，PQ＝AB，点P与点Q分别在AC和AC的垂线AD上移动，则当AP＝_________时，△ABC和△APQ全等． 2．如图，△ABC中，AB＝AC＝12cm，∠B＝∠C，BC＝8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C 点向A点运动．若点Q的运动速度为v cm/s，则当△BPD与△CQP全等时，v的值为____________【提示：三角形中有两个角相等，则这两个角所对的边相等】． 3．△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC(∠ABC＝∠ACB＝45°)，点D为直线BC 上一动点(点D不与B，C重合)，以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF.【方法11】 (1)观察猜想：如图①，当点D在线段BC上时， ①BC与CF的位置关系为_______； ②线段BC，CD，CF之间的数量关系为___________ (将结论直接写在横线上)． (2)数学思考：如图②，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明． ◆类型二图形变换 4．如图甲，已知A，E，F，C在一条直线上，AE＝CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，且AB＝CD，连接BD. (1)试问OE＝OF吗？请说明理由； (2)若△DEC沿AC方向平移到如图乙的位置，其余条件不变，上述结论是否仍成立？请说明理由．

5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，F分别在AB，AC上，CF＝CB，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF. (1)求证：△BCD≌△FCE； (2)若EF∥CD，求∠BDC的度数．

七年级数学上册难点探究专题整式中的规律探究(选做)(新版)新人教版

七年级数学上册难点探究专题整式中的规律探究（选做）（新版） 新人教版 ——从特殊到一般，探寻多方规律 ◆类型一 整式规律探究 一、有规律的一列数 1.已知一组数：1，3，5，7，9，…按此规律，第n 个数是 .【方法9①】 2.观察下列一组数：32，1，710，917，1126 ，…它们是按一定规律排列的，那么这组数的第n 个数是 （n 为正整数）. 二、有规律的一列单项式 3.有一组单项式：a 2，－a 32，a 43，－a 54，a 6 5，…则第10个单项式是 ，第n 个单项式是 . 4.观察下列关于x 的单项式，探究其规律：x ，3x 2，5x 3，7x 4，9x 5，11x 6，…按照上述 规律，第2017个单项式是【方法9①】（ ） A .2017x 2017 B .4033x 2016 C .4033x 2017 D .4035x 2017 三、数的循环规律或式中的规律 5.如图是钢琴键盘的一部分，若从4开始，依次弹出4，5，6，7，1，4，5，6，7，1，…按照上述规律弹到第2016个音符是 . 6.设a n 为n 4 （n 为正整数）的末位数，如a 1＝1，a 2＝6，a 3＝1，a 4＝6.则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 24＋a 25＝ . 7.（2016·滨州中考）观察下列式子： 1×3＋1＝22； 7×9＋1＝82； 25×27＋1＝262； 79×81＋1＝802； … 可猜想第2016个式子为____________________________________________________. 四、数表中的规律 8.（2016·邵阳中考）如图所示，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y 与n 之间的关系是（ ） A .y ＝2n ＋1 B .y ＝2n ＋n C .y ＝2n ＋1＋n D .y ＝2n ＋n ＋1

整式加减中的规律探究题

根据所给的已知式子或图形，去观察、分析、归纳、猜想，从而找出规律，用代数式表示出来，然后运用探究的规律解决特殊情况下的求值问题，是整式的重要应用。现举例加以说明： 一、利用整式探索数据间相等关系 例1：从2加数的个数n 和s 1 2=1×2 2 2+4=6=2×3 3 2+4+6=12=3×4 4 2+4+6+8=20=4×5 …… …… ⑴s 与n 之间有什么关系？能否用一个关系式来表示？ ⑵计算2+4+6+8+ (2004) 分析:观察上表通过观察比较不难看出和S 的左边是连续偶数的和，右边是两个数的乘积，其中第一个数是前面数据的个数n ；第二个数是比当n 大1.利用此规律可以计算（2）。 解:⑴s 与n 的关系为s=n(n+1). ⑵当n=10022 2004=时,s=1002×(1002+1)=1005006.即2+4+6+8+……+2004=1005006. 点评：观察是解题的前提条件,当已知数据有很多组时,需要仔细观察,反复比较,特别要注意变化的数据之间的关系，把握其中的关系才能发现其中的规律，从而列式表示. 二、利用整式探索与图形有关的数式变化规律 例2：下面的图形是由边长为l 的正方形按照某种规律排列而组成的． 图形个数（n ） ① ② ③ 正方形的个数 8 图形的周长 18 (2)推测第n 个图形中，正方形的个数为________，周长为_______(都用含n 的代数式表示)． (3)写出第2009个图形的周长。 解析：⑴观察图形易知正方形的个数分别为13、18，图形的周长分别为28，38； ⑵由于8＝5×1＋3，13＝5×2＋3，18＝5×3＋3，…从而在第n 个图形中，正方形的个数为35+n ，又18＝10×1＋8，28＝10×2＋8，38＝10×3＋8，…，从而第n 个图形的周长为10n ＋8。 ⑶由⑵知图形的周长与图形的个数n 的关系为：10n ＋8=10×2009＋8＝20098 点评：此类探究类问题关键在于寻找图形变化与图形中数据变化之间的对应的关系，然后用代数式表示这种关系，在探索的过程中要把握基本数量关系（即不变量），然后寻找变化量之间的关系。 三、利用整式探索数阵排列规律 例3：根据图中数字的规律，在最后一个图形中填空．

最新北师大版七年级上数学 3.难点探究专题：有理数中的规律探究(选做)

难点探究专题：有理数中的规律探究（选做） ——从特殊到一般，探寻多方规律 ◆类型一 一列数中的规律 1.给定一列按规律排列的数：12，25，310，417，…，则这列数的第6个数是（ ） A .637 B .635 C .531 D .739 2.找规律，并按规律填上第5个数：－32，54，－78，916 ， . 3.（2016·济宁中考）按一定规律排列的一列数：12，1，1， ，911，1113，1317 ，….请你仔细观察，按照此规律方框内的数字应为 . ◆类型二 计算中的规律 一、四则运算中的规律 4.某数学活动小组的20位同学站成一列做报数游戏，规则是：从前面第一位同学开始， 每位同学依自己顺序数的倒数加1，第1位同学报????11＋1，第2位同学报??? ?12＋1，第3位同学报????13＋1，这样得到的前20个数的积为 . 5.若“！”是一种数学运算符号，并且1！＝1，2！＝2×1＝2，3！＝3×2×1＝6，4！ ＝4×3×2×1＝24，…，则5！＝ ＝ ，100！98！ 的值为 . 6.计算：1－3＋5－7＋9－11＋…＋97－99. 二、乘方运算中的规律 7.（2016·郴州中考）观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，…，试猜想，32016的个位数字是 . 8.观察下列等式：1＝12，1＋3＝22，1＋3＋5＝32，1＋3＋5＋7＝42，…，则1＋3＋5＋7＋…＋2015＝ . 三、图形中与数的计算的有关规律 9.（2016·泉州中考）找出下列各图形中数的规律，依此，a 的值为 . 10.（2016·北京中考）百子回归图是由1，2，3，…，100无重复排列而成的正方形数

整式加减中的规律探究题精品

【关键字】情况、条件、前提、问题、发现、规律、关键、需要、方式、关系、分析、把握、解决 根据所给的已知式子或图形，去观察、分析、归纳、猜想，从而找出规律，用代数式表示出来，然后运用探究的规律解决特殊情况下的求值问题，是整式的重要应用。现举例加以说明： 一、利用整式探索数据间相等关系 例1：从2 ⑴s 与n 之间有什么关系？能否用一个关系式来表示？ ⑵计算2+4+6+8+ (2004) 分析:观察上表通过观察比较不难看出和S 的左边是连续偶数的和，右边是两个数的乘积，其中第一个数是前面数据的个数n ；第二个数是比当n 大1.利用此规律可以计算（2）。 解:⑴s 与n 的关系为s=n(n+1). ⑵当n=10022 2004=时,s=1002×(1002+1)=1005006.即2+4+6+8+……+2004=1005006. 点评：观察是解题的前提条件,当已知数据有很多组时,需要仔细观察,反复比较,特别要注意变化的数据之间的关系，把握其中的关系才能发现其中的规律，从而列式表示. 二、利用整式探索与图形有关的数式变化规律 例2：下面的图形是由边长为l 的正方形按照某种规律排列而组成的． (2)推测第n 个图形中，正方形的个数为________，周长为_______(都用含n 的代数式表示)． (3)写出第2009个图形的周长。 解析：⑴观察图形易知正方形的个数分别为13、18，图形的周长分别为28，38； ⑵由于8＝5×1＋3，13＝5×2＋3，18＝5×3＋3，…从而在第n 个图形中，正方形的个数为35+n ，又18＝10×1＋8，28＝10×2＋8，38＝10×3＋8，…，从而第n 个图形的周长为10n ＋8。 ⑶由⑵知图形的周长与图形的个数n 的关系为：10n ＋8=10×2009＋8＝20098 点评：此类探究类问题关键在于寻找图形变化与图形中数据变化之间的对应的关系，然后用代数式表示这种关系，在探索的过程中要把握基本数量关系（即不变量），然后寻找变化量之间的关系。 三、利用整式探索数阵排列规律 例3：根据图中数字的规律，在最后一个图形中填空． （1）用含n 的代数式表示出第n 个图形中的三个数； （2）填出当n=2009时的三个值。 分析：（1）以图表的形式给出了四组数据，通过观察可以发现每组数据与图表的个数n 存在着如下关系：每组数据的第一行为为从1开始的连续奇数，第二行第一列为从1开始的连续