chapter7
)
,(y x P y
习题7.1
1．（略） 2． 解
（1）因为22'dx y d dx dy =，所以0'22=-dx
dy dx y d ，等式中不含有未知函数以及未知函数的导数（或其微分），因此不构成方程，是恒等式。
（2）同上。是恒等式，不是微分方程。
（3）是微分方程。其中未知函数为)(x y ，自变量为x ，未知函数的最高阶导数为二阶。
（4）是微分方程。未知函数为)(t s ，自变量为t ，未知函数的最高阶导数为一阶。 3． 解
（1）显然是一阶微分方程，因含有非一次（线性）项'yy ，因此不是线性方程。
（2）原方程可改写为
y
x y
x dx dy +--
=67，显然为一阶非线性方程。 （3）原方程可改写为0
'"21
1=+-y y y x x ，显然为二阶线性方程，其中0)(,)(,)(1211≡=
-=x f x a x a x 。
（4）原方程可改写为x y y y x e x x
=++
2
2
""'2，是三阶线性方程，其中x x f x a x a x a x e x x ==
==
)(,)(,0)(,)(2
2
322
1。
（5）)()(x Q y x P dx
dy
=+是一阶线性方程，其中)(x P 与)(x Q 为系数函
数。
（6）原方程可改写为2
213y y
dy
dx x =
-。显然是关于x 为未知函数、y 为自
变量的一阶线性方程，其中1-与
2
3
y 为系数函数。
4． 解
（1）据导数的几何意义知，曲线在点),(y x 处的切线的斜率为dx
dy
，所以有
22y x dx
dy
+= （2）如右图所示，曲线上点),(y x P 处的法线方程 为 )(y Y dx
dy
x X --
=-
则法线与x 轴的交点为)0,(dx
dy
y x Q +，据题设有 0)(=++x dx
dy
y
x ，即02'=+x yy 。 （3）据需求弹性的定义知，
==dp dQ Q p p εQ
p p 2
25+-，即
)25(p dp dQ +-=。 5．（略）
6． 解
（1）将初始条件50
==x y 代入C y x =-22，得 25-=C ，即2522-=-y x
（2）将初始条件1'
,00
====x x y y 代入x e x C C y 221)(+=，得
??
?=+=120211C C C ???==?1
021C C ，即
x xe y 2=。
（3）将初始条件0',1====ππx x y y 代入)sin(21C x C y -=，得
???=-=0cos 1sin 2121C C C C ???±±=+=-=? ,2,1,0,)1(22
1k k C C k ππ 即 x
k x y k cos )sin()1(2-=---=ππ。 7． 证明 （1）因为
x x
e C e C y 2121λλ+= x
x e C e C y 212211'λλλλ+=
x x
e C e C y 212
22211"λλλλ+=
则
)
())(()(')("21212121212211212
222
112121=++++-+=++-x
x
x x x x e
C e
C e C e C e C e C y
y y λλλλλλλλλλλλλλλλλλ
因此x
x e C e C y 2121λλ+=是方程0')("2121=++-y y y λλλλ的解。 （2）因为函数)(1x y 为方程
0)(')(")('"321=+++y x a y x a y x a y
的解，则有
0)(')(")('"1312111=+++y x a y x a y x a y 同理有
0)(')(")('"2322212=+++y x a y x a y x a y 因此
]
)(')(")('"[])(')(")('"[))(()'')(()"")(()'"'"())(()')(()")((')"(232221213121112132122112121321221121=+++++++=+++++++=+++++++y x a y x a y x a y y x a y x a y x a y y y x a y y x a y y x a y y y y x a y y x a y y x a y y
即)()(21x y x y +也是方程0)(')(")('"321=+++y x a y x a y x a y 的解。
习题7.2
1． 解
（1）分离变量，得
dy dx y x
2
21
11=-+
积分，得
C
x y +-=-1arctan 即 C x y
+=arctan 1，其中C 为任意常数。
（2）分离变量，得
xdx ydy 22tan cot = 积分，得
C x x y y --=--tan cot
即 C x y y x =-++)()cot (tan ，其中C 为任意常数。 （3）分离变量，得 dx e dy e x
y = 积分，得
C e e x
y
+=，其中C 为任意常数。 （4）分离变量，得
dx x
dy y y 1
ln 1= 积分，得
C x y ln ln ln ln +=
即 Cx y =ln ，Cx e y =，其中C 为任意常数。
2')1(ay y a x =-- 分离变量，得 dx a x a dy y --=112
积分，得
C x a a y
+---=-
|1|ln 1
即 11ln =---Cy a x ya ，其中C 为任意常数。 （6）分离变量，得
dx x
dy y
2
2
1111-=
-
积分，得
C x y +=arcsin arcsin
即 )sin(arcsin C x y +=，其中C 为任意常数。 （7）原方程可改写为
0)1()1(=++-dy e e dx e e x
y
y
x
分离变量，得
dx e e dy e e x x
y
y 1
1+-=- 积分，得
C e e x y ln )1ln()1ln(=++-
即 C e e x y =+-)1)(1(，其中C 为任意常数。 （8）分离变量，得 dx xe dy y
x )1(1
2+-=- 积分，得
C x e xe y x
x ln 4
121ln 22+-+=
-- 即 )exp(24
122
1x e xe C y x x -+=--，其中C 为任意常数。
2． 解
（1）分离变量，得 xdx dy y
y csc ln 1
=
C x x y +-=)cot ln(csc ln ln 将初始条件e y
x ==2
π
代入上式，得0=C 。因此相应的特解为
x x y cot csc ln -= （2）分离变量，得 dx e
dy y y x
-+=-11
cos sin 积分，得
C e y x ++=)1ln(cos ln
将初始条件4
0π
==x y 代入上式，得2ln 2
3-=C 。因此相应的特解为 )1(4
2
cos x e y +=
（3）分离变量，得 dx x
x dy y 211+-=
积分，得
C x y ++-=21ln 将初始条件10
==x y
代入上式，得1=C 。因此相应的特解为
2
11x e y +-
=
（4）分离变量，得
dx x
x dy ye y )
1(3232
--=
积分，得
C x x e y ++-=||ln 332
将初始条件01
==x y
代入上式，得2=C 。因此相应的特解为
2ln 332
++-=x x e
y
3． 解
（1）根据方程的特点，将原方程写成
2
1??? ??++=x y x y dx dy 因此为齐次方程。令u y =，则du
x u dy xu y +==,
于是方程变为
21u u dx du x u ++=+，即21u dx
du x += 分离变量积分，得
Cx u u =++21 将x
y
u =
代回，得 22
2
Cx y y
x =++，其中C 为任意常数。
（2）根据方程的特点，将原方程写成
2
???? ??+=y x x y dx dy 因此为齐次方程。令u x
y =，则dx du
x u dx dy xu y +==, 于是方程变为
2/1u u dx du x u +=+，即2/1u dx
du
x = 分离变量积分，得
C x u +=||ln 3
13
将x
y
u =
代回，得 0ln 33
3
3
=+-Cx x x y ，其中C 为任意常数。 （3）将原方程写成
0)1(2)21(=-++y
x
e dy dx e x
x
因此为关于x 为未知函数的齐次方程。令u y
x =，则dy du
y u dy dx yu x +==, 于是方程变为
0)1(2)21(=-+???
?
??++u e dy du y
u e u u
分离变量积分，得
C y e u u
ln ln )2ln(+-=+ 将x
u =
代回，得
C ye
x x
=+2，其中C 为任意常数。
（4）令u x
y =，则dx du
x u dx dy xu y +==, 于是方程变为
u u dx du x u /1+=+，即u dx
du x /1= 分离变量积分，得 C x u +=||ln 2
12
将x
y
u =
代回，得 02ln 2222=--Cx x x y
将初始条件21
==x y
代入上式，得2=C 。因此相应的特解为
0)2(ln 22
2
=+-x x y （5）令
u x
y =，则dx du
x u dx dy xu y +==, 于是方程变为
42++=+u u dx du x u ，即42+=u dx
du x 分离变量积分，得 C x u
+=||ln 2
arctan 21 将x
y
u =
代回，得 C x x
y
+=||ln 2arctan
21 将初始条件01==x y 代入上式，得0=C 。因此相应的特解为
)tan(ln 22x x y = （6）将原方程写成
()
()
1
22122
-+-
+-=x
y x
y x
y x y
dx
dy
为齐次方程。令u x
y =，则dx du
x u dx dy xu y +==,
于是方程变为
1
22122
-+-+-=+u u u u dx du x u 分离变量积分，得
C x u u +-=+-+ln )1ln()1ln(2
将x
y
u =
代回，得 ()
C y x y x =+-+)ln(ln 22
将初始条件11==x y 代入上式，得0=C 。因此相应的特解为
12
2=++y
x y x
4． 解
（1）将原方程改写为 1
21
2+-+-=
y x y x dx dy 解方程组
??
?=+-=+-0
12012y x y x 得3/1,3/1=-=y x 。令
{3/13/1+=-=Y y X x 即 {
3
/13/1-=+=y Y x X
则原方程化为
Y
X Y X dX dY 22--= 再令 X
Y u = 即 uX Y =
则 du u u u
X dX )
1(2212+--= 两边积分，得 C u u X ~
|1|ln ln 2
2
1++--= 即
C u u X ~
|1|ln 2=+- 原变量代回，得
C Y XY X ~
||ln 2
2=+-
C y y x x ~
|)3/1()3/1)(3/1()3/1(|ln 22=-+-+-+
C y x y xy x =-++-22 为原方程的通解，其中C 为任意常数。 （2）将原方程改写为 373737++-++--=y x y x dx dy 解方程组
???=++-=++-0
3730737y x y x 得0,1==y x 。令
{Y
y X x =+=1 即 {y
Y x X =-=1 则原方程化为
Y
X Y
X dX dY 7337+-+--= 再令 X
Y u = 即 uX Y =
则 du u u X dX 7
73
72---= 两边积分，得 C u u u X ~|]1|ln |1|[ln |1|ln ln 3
21++--+--= 即
C u u X ~
)1()1(ln 7/57
/2=+-
原变量代回，得
C X Y X Y ~
)
()(ln 7
/57/2=+- C x y x y =-++-52)1()1(
为原方程的通解，其中C 为任意常数。 （3）将原方程改写为 642352-++-=y x y x dx dy 解方程组
???=-+=+-0
6420352y x y x 得1,1==y x 。令
{1
1+=+=Y y X x 即 {1
1-=-=y Y x X 则原方程化为
Y
X Y
X dX dY 4252+-= 再令 X
Y u = 即 uX Y =
则 du u u u X dX 2
742
42+--+= 两边积分，得 C u u X ~|2|ln |14|ln ln 3
2
31++---= 即
C u u X ~
)2()14(ln 3/23
/1=+-
原变量代回，得
C X Y X Y ~
)
2()4(ln 3
/23/1=+- C x y x y =-+--2)32)(34(
为原方程的通解，其中C 为任意常数。 （4）将原方程改写为 141-+---=y x y x dx dy 解方程组
???=-+=--0
1401y x y x 得0,1==y x 。令
{Y
y X x =+=1 即 {y
Y x X =-=1 则原方程化为
Y
X Y
X dX dY 4+--= 再令 X
Y u = 即 uX Y =
则 du u u X dX 1
41
42++-= 两边积分，得 C u u X ~2arctan )14ln(ln 2
1
221+-+-=
C u u X ~
2arctan )14(ln 212
/12=++
原变量代回，得
C X
Y X Y ~
2arctan
)4ln(21
2
2
21=++ C x y x y =+-+-1
22
2arctan ])1(4ln[
为原方程的通解，其中C 为任意常数。 （5）将原方程改写为
2
5
--+-=
y x y x dx dy 有0)1(1)1(1=-?--?，令 u y x =-
则有 du dy
-=1 2
7--=u dx du 分离变量，得
dx du u 7)2(-=- 两边积分，得 C x u ~
7)2(2
1+-=- 原变量代回，得 C x y x ~
7)2(22
1=+-- 即
C x y xy y x =++-+104222 为原方程的通解，其中C 为任意常数。 （6）将原方程改写为
4
33-++-=y x y x dx dy 有03131=?-?，令
u y x =+ 则有 1-=
dx
du dx dy
4
342--=u u dx du 分离变量，得 dx du u u =--4
24
3
C x u u ~
|2|ln 3+=-+ 原变量代回，得 C
x y x y x ~
|2|ln )(23=+-+++ 即
C y x y x =-+++2ln 235 为原方程的通解，其中C 为任意常数。 5． 解 （1） ?+?
=-?
dx
x P dx
x P e C dx e x Q y )()(])([ x
x
xdx
xdx
x
e C x e
C dx e C dx e e sin sin cos cos sin )(][][----+=?+=?
+?
=??
（2）将原方程改写为
x x x y y 2
13'++=+ ?
+?
=-?
dx
x P dx
x P e C dx e x Q y )()(])([ x
C x x
dx dx x
x x C x x x e
C dx x x e C dx e x x
x
+++=+++=?+++=?+?++=?
?--
2)2(])23([])3([232311
223331ln 2211
（3）将原方程改写为
21
)
(2'a x y y a x -=-- ?
+?
=-?
dx
x P dx
x P e C dx e x Q y )()(])([ )
()(])(2[])(2[3)
ln(2
1
1
a x C a x e
C dx a x e C dx e a x a x dx dx a
x a
x -+-=?+-=?
+?-=??--
--
（4）将原方程改写为 1
cos 12'2
2-=-+
x x
y x x y
1
sin 11]cos []1
cos [222
1221
22-+=
-?+=?+?-=??---
x C
x x C xdx e
C dx e
x x dx
dx
x x
x x
（5） ?
+?=-?dx
x P dx x P e C dx e x Q y )()(])([
n
x
n n x
dx
dx x n Cx
e nx x C dx ne e C dx e e nx x
n
x n
+=?+=?+?=??-
][][
（6）02')6(2=+-y y x y 将原方程改写为
2
3'y x y x -=-
?
+?=-?
dy
y P dy y P e C dy e y Q x )()(])([ 3
23
2
2
]21[]2
[3
3Cy y y C dy y e C dy e y dx dy y
y
+=?+-
=?+?
-=?
?-
（7）将原方程改写为
y
x y y x 1
ln 1'=+
?
+?=-?
dy
y P dy y P e C dy e y Q x )()(])([ y
C y y C dy y y e
C dy e y dy dy ln ln 21ln 1
]ln []1[1
1+=?
+=?+?=??- （8） ?
+?=-?
dx
x P dx x P e C dx e x Q y )()(])([
x
C x x C dx x x 3cos 3cos 3
2
3cos ])3cos /6(sin [2+-=?+=?
6． 解
（1） ?
+?
=-?
dx
x P dx
x P e C dx e x Q y )()(])([ Cx
x x C xdx x
e
C dx xe x dx x dx x
++=?+-=?+?-=??-2ln 2]ln 2
[]ln 2[21
1
将初始条件11==x y 代入上式，得1-=C 。相应的特解为 x x y -+=2ln 2
（2） ?
+?
=-?
dx
x P dx
x P e C dx e x Q y )()(])([ 2
2
2
)sin cos (]sin []sin [22x
x xdx
xdx
x e C x x x e
C xdx x e C dx e xe x ----++-=?+=?
+?=??
将初始条件10
==x y
代入上式，得1=C 。相应的特解为
2
)cos sin 1(x e x x x y --+=
（3） ?
+?
=-?
dx
x P dx
x P e C dx e x Q y )()(])([ 22
2323
21
331
31
332322
1]1[][x
x
x dx
x x dx
x x e Cx x e x C dx e x
e
C dx e
+=?+=?
+?
=??---
-
将初始条件01
==x y
代入上式，得e C 21-=。相应的特解为
)1(1
2
2
1
3--=
x e
y x
（4） ?
+?
=-?
dx
x P dx
x P e C dx e x Q y )()(])([ x
C e x
C dx xe
e C dx e e x x
xdx
xdx
x
csc )5(csc ]sin 5[]5[cos cos cot cot cos +-=?+=?
+?
=??-
将初始条件42
-==π
x y
代入上式，得1=C 。相应的特解为
x
x e y sin 1
cos )51(-= （5） ?
+?
=-?
dx
x P dx x P e C dx e x Q y )()(])([ x
C
x x x
dx x
dx
x C xdx e C dx e x
x +-=?+=?+?=?
?-cos 1
1
1
]sin []sin [
将初始条件1==π
x y
代入上式，得1-=πC 。相应的特解为
x
x y 1)cos 1(--=π （6） ?
+?
=-?
dx
x P dx
x P e C dx e x Q y )()(])([ x
C x x x
C dx e C dx xe xdx
xdx
sec sec sec ][]sec [tan tan +=?+=?
+?=??-
将初始条件00==x y 代入上式，得0=C 。相应的特解为 x x y sec =
7．（1）因函数x xe y =为微分方程x xe y x P y 5)('=+的一个特解，则有 x
x x xe xe x P xe 5))(()'(=+，即x
x P 1
4)(-= 相应齐次方程0)('=+y x P y 的同解为
x x x dx
x P c Cxe Ce Ce y 4ln 4)(-+--==?
=
x x c xe Cxe y y y +=+=-4~ （2）在等式?-=x
x
dt t f e x f 0)(2
)(两边对x 求导，得
)(2)('x f e x f x -=，x e x f x f =+)(2)(' 解关于)(x f 为未知函数的一阶线性非齐次方程，得
x x dx dx x Ce e e C dx e e x f 22231)(--+=???
????+?=
? 从题设中可得初始条件1)0(=f ，将其代入上式中得3
2
=C ，所以
)2(3
1)(2x
x e e x f -+=
8．（1）根据牛顿冷却定律：物体温度下降的速度是与其自身温度及其所在介质的温度的差值成正比关系，因此热水温度T 所满足的微分方程为： )(0T T k dt dT --= 其中0>k 为比例常数。
显然此方程为可分离变量方程，通过分离变量法解之，得 0T Ce T kt +=-
（2）将初始条件100)0(=T 以及200=T 代入通解中，得80=C ，因此有
2080+=-kt
e T
根据条件50)24(=T 得04087.0ln 83241
≈-=k ，因此有
208004087.0+=-t
e
T 设热水温度降至95o C 需t
小时，则
20809504087.0+=-t
e
，35:157912.1≈≈t 。
1．（略）
2．（1）第一步：建立初始的Excel表
第二步：在单元格C2中键入“=（1-A2^2）^0.5”，在单元格D2中键入“=0.05*C2”，在单元格B3中键入“=B2+D2”
第三步：选中单元格B3→单击工具栏中“复制”按钮→选中单元格B4—B22→单击工具栏中“粘贴”按钮；类似地，选中单元格C2→单击“复制”按钮→选中单元格C3—C22→单击“粘贴”按钮；选中单元格D2→单击“复制”按钮→选中单元格D3—D22→单击“粘贴”按钮
（2）第一步：建立初始的Excel表
“=0.05*C2”，在单元格B3中键入“=B2+D2”
第三步：选中单元格B3→单击工具栏中“复制”按钮→选中单元格B4—B22→单击工具栏中“粘贴”按钮；类似地，选中单元格C2→单击“复制”按钮→选中单元格C3—C22→单击“粘贴”按钮；选中单元格D2→单击
“复制”按钮→选中单元格D3—D22→单击“粘贴”按钮
（3）第一步：建立初始的Excel表
第二步：在单元格C2中键入“=sin(A2)/A2”，在单元格D2中键入
“=0.05*C2”，在单元格B3中键入“=B2+D2”
第三步：选中单元格B3→单击工具栏中“复制”按钮→选中单元格B4—B20→单击工具栏中“粘贴”按钮；类似地，选中单元格C2→单击“复制”按钮→选中单元格C3—C20→单击“粘贴”按钮；选中单元格D2→单击“复制”按钮→选中单元格D3—D20→单击“粘贴”按钮