1.1.1 变化率问题

1.1.1变化率问题

备课人：王宏伟年级组：高二

课题内容 1.1.1变化率问题

内容解析

本节课是高中数学（选修2-2）第一章导数及其应用的第一节1.1变化率与导数中的1.1.1

变化率问题。本节内容通过分析研究气球膨胀率问题、高台跳水问题，总结归纳出一般函数的平均变化率概念，在此基础上，要求学生掌握函数平均变化率解法的一般步骤。平均变化率是个核心概念，它在整个高中数学中占有及其重要的地位，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础。在这个过程中，注意特殊到一般、数形结合等数学思想方法的渗透。

目标解析

新课标对―导数及其应用‖内容的处理有了较大的变化，它不介绍极限的形式化定义及相关知识，也有别于以往教材将导数仅仅作为一种特殊的极限、一种―规则‖来学习的处理方式，而是按照：平均变化率—瞬时变化率—导数的概念—导数的几何意义这样的顺序来安排，用―逼近‖的方法定义导数，这种概念建立的方式形象、直观、生动又容易理解，突出了导数概念的本质。平均变化率是本章的一个重要的基本概念，本节课是《导数及其应用》的起始课，对导数概念的形成起着奠基作用。

教学目标：

1.知识与技能：理解平均变化率的概念、了解平均变化率的实际意义与数学意义、掌握平均变化率在实际生活中的运用以及在函数中的运用，如会利用公式来计算函数在制定区间上的平均变化率等；

2.过程与方法：通过对两个实际问题的研究探讨，得出平均变化率的概念，通过对例题的解析，让学生进一步理解函数平均变化率的概念。

3.情感态度与价值观：体会平均变化率的广阔实际背景，促进学生全面认识数学的价值，使学生对变量数学的思想方法有新的感悟;进一步发展学生的数学思维能力，感受数学产生和发展的规律以及人类智慧和文明的传承，体会数学的博大精深以及学习数学的意义

教学问题诊断分析

吹气球是很多人具有的生活经验，运动速度是学生非常熟悉的物理知识，这两个实例的共同点是背景简单。从简单的背景出发，既可以利用学生原有的知识经验，又可以减少因为背景的复杂而可能引起的对数学知识学习的干扰，这是有利的方面。但是如何从具体实例中抽象出共同的数学问题的本质是本节课教学的关键。

教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；

教学难点：平均变化率的概念．

教辅资源导学案

课时安排：1课时

教学方法：四环节启智

教学手段：准备计算机、投影仪、多媒体课件等，多媒体辅助教学

教学过程

一．创设情景

问题情景1

通过讨论一些现实世界中运动、过程等变化着的现象，引发学生在感性上的学习兴趣，接着利用图片如气温变化图、篮球明星乔丹身体生长曲线等引入本章学习课题。

为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：

一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;

二、求曲线的切线;

三、求已知函数的最大值与最小值;

四、求长度、面积、体积和重心等。

导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。

问题情景2

从生活述语和学生比较熟悉的姚明身高曲线引入本节课题。

设计意图：使学生了解生活中的变化率问题，为归纳函数平均变化率提供更多的实际背景。 师生活动：稍加点拨，继续引导学生举出生活中的变化率问题。

二．新课讲授

（一）问题提出

问题1 气球膨胀率

回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?

设计意图：通过熟悉的生活体验，提炼出数学模型，从而为归纳函数平均变化率概念提供具体背景。

师生活动：由球的体积公式推导半径关于体积的函数解析式，然后通过计算，用数据来回答问题，解释上述现象。

? 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是33

4)(r r V π=

? 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么343)(π

V V r =

分析：

⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈-

气球的平均膨胀率为)/(62.00

1)0()1(L dm r r ≈--

⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈-

气球的平均膨胀率为)/(16.01

2)1()2(L dm r r ≈--

可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．

思考1：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?

设计意图：把问题1中的具体数据运算提升到一般的字母表示，体现从特殊到一般的数学思想。为归纳函数平均变化率概念作铺垫。

师生活动：教师播放多媒体，学生可以直接回答问题，教师板书其正确答案，并利用几何画板进行演示分析结果的分析与归纳。

1212)

()(V V V r V r --

问题2 高台跳水

在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间、t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2

+6.5t +10，如果用运动员在某段时间内的平均速度描述其运动状态, 那么:（1）在0≤t ≤0.5这段时间里,运动员的平均速度为多少？（2）在1≤t ≤2这段时间里, 运动员的平均速度为多少？

在5.00≤≤t 这段时间里，)/(05.405.0)0()5.0(s m h h =--=；

在21≤≤t 这段时间里，)/(2.81

2)1()2(s m h h v -=--= 设计意图：高台跳水展示了生活中最常见的一种变化率——运动速度，而运动速度是学生非常熟悉的物理知识，这样可以减少因为背景的复杂而可能引起的对数学知识学习的干扰。通过计算为归纳函数平均变化率概念提供又一重要背景。

师生活动：教师播放多郭晶晶、吴敏霞在2008年北京奥运会上跳水比赛录像，让学生在情景中感受速度变化，学生通过计算回答问题。

探究：计算运动员在0≤t ≤6549

这段时间里的平均速度,并思考下面的问题:

(1) 运动员在这段时间里是静止的吗?

(2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?

探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2

+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()49

65(h h =， 所以)/(0049

65)0()4965(

m s h h v =--=，

设计意图：通过计算得出平均速度只能粗略地描述运动状态，从而为瞬时速度的提出埋下伏笔即为导数的概念作了铺垫，利用图像解释的过程体现了数形结合的数学思想方法。

师生活动：教师播放多媒体，学生通过计算回答问题。对答案加以说明其物理意义（突出数形结合思想——对教材的一个处理）。

思考2：当运动员起跳后的时间从t 1增加到t 2时,运动员的平均速度是多少?

设计意图：把问题2中的具体数据运算提升到一般的字母表示，体现从特殊到一般的数学思想（体现化归的数学思想）。并为归纳函数平均变化率概念作铺垫。

师生活动：教师播放多媒体，学生可以直接回答问题，教师板书其正确答案。通过引导，使学生逐步归纳出问题1、2的共性。

（二）平均变化率概念:

1.上述问题中的变化率可用式子 1

212)()(x x x f x f --表示, 称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率

2.若设12x x x -=?, )()(12x f x f f -=? (这里x ?看作是对于x 1的一个“增量”可用x 1+x ?代替x 2,同样)()(12x f x f y f -=?=?) 则平均变化率为=??=??x f x y x

x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 设计意图：归纳概念的过程，体现了从特殊到一般的数学思想。

思考3：（1）x ?,y ?的符号是怎样的？（2）平均变化率有哪些变式？

设计意图：加深对概念内涵的理解。

师生活动：教师播放多媒体，师生共同讨论得出结果。

思考：观察函数f (x )的图象平均变化率2121()()f x f x y x x x

-?=-?表示什么?

设计意图：从几何角度理解平均变化率的概念即平均变化率的几何意义，体现数形结合的数学思想。

三．典例分析

例1 (1) 计算函数f (x )=2x +1在区间[–3,–1]上的平均变化率；

(2) 求函数f (x )=x 2+1的平均变化率。

设计意图：概念的简单应用，体现了由易到难，由特殊到一般的数学思想，符合学生的认知规律。

师生活动：教师适当点拨，学生口答。

例2 求2x y =在0x x =附近的平均变化率。

设计意图：进一步加深对概念的理解，突出求平均变化率的一般步骤。从课堂练习一到例题，再到课堂练习二，体现了由易到难，由特殊到一般的数学思想。

师生活动：教师板书，并引导学生归纳求平均变化率的一般步骤：

（1）作差 （2）作商

最后请一位同学板演，其余同学在草稿上练习。

解：2020)(x x x y -?+=?，所以x x x x x y ?-?+=??2

020)( x x x

x x x x x ?+=?-?+?+=020202022 所以2x y =在0x x =附近的平均变化率为x x ?+02

四．重难点探究

金太阳导学案第二层级

探究一：求平均变化率

学生通过做例1，得出求平均变化率的主要步骤：①先计算函数值的改变量)()(12x f x f y f -=?=?；②再计算自变量的改变量12x x x -=?； ③得平均变化率x

x f x x f x x x f x f x y ?-?+=--=??)()()()(111212 探究二：求物体的瞬时速度

学生通过做例2，得出求物体瞬时速度的步骤：①设非匀速直线运动的规律)(

t s s =；②求时间改变t ?时的位置改变量)()(00t s t t s s -?+=? ；③得平均变化率t s v ??=

；④计算瞬时速率：当0→?t 时，v t

s →?? 探究三：导数定义的应用

这是一个难点，老师要引导学生，加深对极限的理解和计算，也是对导数概念的准确理解。这种题是在导数的定义形式中，增量x ?的形式多种多样，但是无论增量x ?选择哪种形式，y ?必须保持相应的形式。

五．课堂练习

1．质点运动规律为32

+=t s ，则在时间)3,3(t ?+中相应的平均速度为 ．

2.物体按照s (t )=3t 2

+t +4的规律作直线运动,求在4s 附近的平均变化率.

3.过曲线y =f (x )=x 3上两点P （1，1）和Q (1+Δx ,1+Δy )作曲线的割线，求出当Δx =0.1时割线的斜率.

六．回顾总结

（1）函数平均变化率的概念是什么？它是通过什么实例归纳总结出来的？

（2）求函数平均变化率的一般步骤是怎样的？

（3）这节课主要用了哪些数学思想？

师生活动：最后师生共同归纳总结：函数平均变化率的概念、吹气球及高台跳水两个实例、求函数平均变化率的一般步骤、主要的数学思想有：从特殊到一般，数形结合。

设计意图：复习重点知识、思想方法，完善学生的认知结构。

七．布置作业

（1）课本第10页习题1.1A 组:1

（2）四人一组合作完成一篇数学小论文，备选题目：《变化率的应用》、《数学来源于生活》、《生活中的平均变化率问题》

（3）备选作业：已知函数()||(1)f x x x =+，求(0)(0)f x f x +?-?的值：

设计意图：对一般学生布置第（1）（2）题，而对学有余力的学生布置（3）题，体现了分层、有梯度的教学，及时巩固新知识。

八．板书设计

九．课后反思

人教版高中数学全套教案导学案111变化率问题

1. 1.1变化率问题课前预习学案。知道平均变化率的定义。，课本中的问题1,2 预习目标：“变化率问题”预习内容：气球膨胀率问题1 气球,,随着气球内空气容量的增加我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现 ,如何描 述这种现象呢？的半径增加越来越慢.从数学角度43?r?r)V(dmVL r)气球的体积:(单位:之间的函数关系是)与半径(单位33V?)r(V V r,如果将半径那么表示为体积的函数3?4在吹气球问题中，当空气容量V从0增加到1L时，气球的平均膨胀率为__________ 当空气容量V从1L增加到2L时，气球的平均膨胀率为__________________ 当空气容量从V增加到V时,气球的平均膨胀率为_____________21问题2 高台跳水 h 与起跳后)单位：m在高台跳水运动中，,运动员相对于水面的高度h(2如何用运动+10. +6.5-4.9tt 的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= v? 粗略地描述其运动状态员在某些时间段内的平均速度v5t.?00?=_________________ 这段 时间里，在v2?t?1=_________________ 这段时间里，在ot 问题3 平均变化率????xffxx到从已知函数，则变化率可用式子_____________,此式称之为函数1x?xx看做是相表示=___________,可把，即习惯上用 ___________.x??x?x122x?xx__________________,代替对于类似有的一个“增量”，可用，?x)?f(x?211_______________________ 于是，平均变化率可以表示为提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中 课内探究学案 1.学习目标理解平均变化率的概念; 2.了解平均变化率的几何意义; .

高中数学导数之变化率问题

冷世平之教案设计【高二下】 选修2-2第一章导数及其应用第1课时 1 课题：§1.1.1变化率及导数的概念 三维目标： 1、 知识与技能 ⑴理解平均变化率的概念； ⑵了解瞬时速度、瞬时变化率的概念； ⑶理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； ⑷会求函数在某点的导数或瞬时变化率； ⑸理解导数的几何意义。 2、过程与方法 ⑴通过大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数； ⑵通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力； ⑶通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。 3、情态与价值观 ⑴通过学生的积极参与、学习变化率与导数的知识，培养学生思维的科学性、严密性，不断认识数形结合和等价转化的数学思想； ⑵通过运动的观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念，从而激发学生学习数学的兴趣； ⑶通过对变化率与导数的学习，不断培养自主学习、合作交流、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，提高参与意识和合作精神 教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念及导数概念的形成，导数及几何意义的理解。 教学难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，导数及几何意义的理解。 教学过程： 一、引入课题： 为了描述现实世界中运动、过程等变化的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关： 一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度。 二、讲解新课： 【探究1】气球膨胀率 同学们，相信大家都玩过气球吧,我们回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内气体的容量的增加,气球的半径增加的越来越慢, 从数学角度,如何描述这种现象呢? 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是34 ()3 V r r π=，如果将半径r 表示为体积V 的函数, 那么()r V 。 【分析】⑴当V 从0增加到1时,气球半径增加了(1)(0)0.62()r r dm -≈，气球的平均膨胀率为(1)(0)0.62(/)10 r r dm L -≈-；⑵当V 从1增加到2时,气球半径增加了(2)(1)0.16()r r dm -≈，气球的平均膨胀率为(2)(1)0.16(/)21 r r dm L -≈-。可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了。 【思考】当空气容量从1V 增加到2V 时,气球的平均膨胀率是多少? 【答案】2121 ()()r V r V V V -- 【探究2】高台跳水

1.1.1变化率问题教案

§1.1.1变化率问题 教学目标 1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义； 3．会求函数在某点处附近的平均变化率 教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念． 教学过程： 一．创设情景 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关： 一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。 导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． 二．新课讲授 （一）问题提出 问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? ? 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是33 4)(r r V π= ? 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么3 43)(π V V r = 分析: 3 43)(π V V r =， ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为 )/(62.00 1) 0()1(L dm r r ≈-- ⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为 )/(16.0) 1()2(L dm r r ≈-

平均变化率

江苏省盱眙中学高二数学组张勇 平均变化率 【创设情境】 1.同学们，相信大家都玩过气球吧,我们回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内气体的容量的增加,气球的半径增加的越来越慢,这种现象我们如何去解释 呢! 2.请观察教材中图，随着时间的推移，气温的变化趋势；从图中我们可以看出：在整个区间[1，32]这个31天内，气温仅仅上升了15.1；0问题1：平均每小时上升了多少度？而在区间[32，34]这两天内，气温就上升了14.80， 问题2：平均每小时上升了多少度？ 我们把这个比值叫做在给定的区间上的平均变化率; 虽然A，B之间的温差与点B，C之间的温差几乎不同，但它们的平均变化率却相差很大；因此我们可以利用平均变化率的大小来刻画变量平均变化的趋势，快慢程度； 问题3：观察这个比值与这两点连线斜率之间有什么关系？ 【探索研究】 1、平均变化率： f(x)?f(x)12上的平均变化率为[x一般地，函数f(x)在区间,x]21x?x12点拨：?xxx??○x?,1本质：如果函数的自变量的“增量”为相应的函数值的“增量”为,且12f(x)?f(x)y?21?)f(x)f?y?(x?xx?xx?x)(fxy?到,则函数, 从的平均变化率为122121． 江苏省盱眙中学高二数学组张勇

○；连线的斜率（割线的斜率）2几何意义：两点)) ))，(x，f(x(x，f(x1122○，或说在某个区平均变化率反映了在函数在某个区间上平均变化的趋势（变化快慢）3间上曲线陡峭的程度； 课件展示平均变化率； 【例题评析】 2+2x，分别计算f(x)在下列区间上的平均变化率1：已知函数f(x)=x; 例1.[1，2] 2. [3，4] 3. [－1，1] ?y; ，求2＋△y））及邻近一点B（1＋△x，的图象上取一点变题1：在曲线y=x2+1A（1,2 ?x f(x)=2x+1, ：已知函变题2 的平均变化率；-1]，[0，5]上函数f(x)1.分别计算在区间[-3，上的平均变化率的特点；探求一次函数y=kx+b在区间[m，n]2.1x?)f(x?y内的平均变化率在区间[1,1+]变式3: 求函数x反思：曲线上两点的连线（割线）的斜率即为函数f(x)在区间[x，x]上的BA f(x)?f(x)AB平 均变化率；x?x AB12：自由落体运动的物体的位移s（单位:s）与时间t（单位：sgt(g是例3）之间的关系是：s(t)=2重力加速度)，求该物体在时间段[t，t]内的平均速度；21 【反馈练习】 ???????1.0,,上的平均变化率，并比较大小；在区间y=sinx 和试比较正弦函数???? 362????23ax)?f(x f(x)在区间[-2,-1]则在区间[1,2]上的平均变化率为上的平均变化2.练习: 已知函数,率为( ) ?23? D.-3 C.-2 B. A. 江苏省盱眙中学高二数学组张勇 3.在高台跳水运动中,运动员相对于水面高度与起跳的时间t的函数关系为 2(a?0,b??c?bt?at0)h(t),则( ) bbbbbb)?h(0)h()?h()h()?h(0)h()?h()h(aa2a2a2a2a??A. B. bbbbbb???0?0 aaa22aa2a2b(0)?hh()b a?t0?0?这段时间内处于静止状态 D.C. 运动员在b a0?a4.A、B两船从同一码头同时出发,A船向北,B船向东,若A 船的速度为30km/h,B船的速度为40km/h,设时间为t,则在区间[t,t]上,A,B两船间距离变化的平均速度为_______ 21【课堂小结】 1、平均变化率的概念；

3.1.1变化率问题

极限 （数学术语） 编辑 本词条由“科普中国”百科科学词条编写与应用工作项目审核。 “极限”是数学中的分支——微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。数学中的“极限”指：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A 不断地逼近而“永远不能够重合到A”（“永远不能够等于A，但是取等于A‘已经足够取得高精度计算结果）的过程中，此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。极限是一种“变化状态”的描述。此变量永远趋近的值A叫做“极限值”（当然也可以用其他符号表示）。 以上是属于“极限”内涵通俗的描述，“极限”的严格概念最终由柯西和魏尔斯特拉斯等人严格阐述。 极限思想 编辑 简介 极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。 所谓极限的思想，是指“用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想”。用极限思想解决问题的一般步骤可概括为： 对于被考察的未知量，先设法正确地构思一个与它的变化有关的另外一个变量，确认此变量通过无限变化过程的’影响‘趋势性结果就是非常精密的约等于所求的未知量；用极限原理就可以计算得到被考察的未知量的结果。 极限思想是微积分的基本思想，是数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数（为0得到极大值）以及定积分等等都是借助于极限来定义的。如果要问：“数学分析是一门什么学科?”那么可以概括地说：“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科，并且计算结果误差小到难于想像，因此可以忽略不计

2018 2019高中数学第1章导数及其应用11导数的概念111平均变化率讲义含解析苏教版

1．1.1 平均变化率 AH是山假设下图是一座山的剖面示意图，并在上面建立平面直角坐标系．是出发点，yfx)表 示．顶．爬山路线用函数(＝ xyfx)表示此时旅游者所在的高度．设点表示某旅游者的水平位置，函数值(＝自变量AxyBxy)．(的坐标为的坐标为( ，，)，点1100ABxyxy分别是，1：若旅游者从的改变量点爬到Δ点，则自变量Δ和函数值问题多少？ xxxyyy. Δ提示：Δ－＝－＝，0110xy来刻画山路的陡峭程度？ΔΔ和问题2：如何用yΔAB，可用来近似刻画山路的陡峭程度．提示：对于山坡xΔyyy－Δ01问题3：试想＝的几何意义是什么？ xxx－Δ01yyy－Δ01AB的斜率．＝表示直线提示：xxx－Δ01yyΔΔABAC，两者的相同吗？到到，从问题4：从的值与山路的陡峭程度有什么关xxΔΔ系？ yΔ提示：不相同.的值越大，山路越陡峭．xΔ fxfx))－((12xxxf. ，]在区间[．一般地，函数1上的平均变化率为()21xx－122．平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”． 在函数平均变化率的定义中，应注意以下几点： xx]上有意义；函数在[ ，(1)21fxfx))－((12xxfxfx)的值可正、可负、可为(中，－>0在式子(2)，而0. ()－1122xx－12xx取不同的数值时，函数的平均变化率不一定相在平均变化率中，当(3)取定值后，21．

xx 取不同的数值时，函数的平均变化率也不一定相同．同；同样的，当 取定值后，12 [对应学生用书P3] 求函数在某区间的平均变化率 2 xxf 上的平均变化率；＋2(1)[例1] 求函数在区间([2,2.1])＝3xxg 上的平均变化率．[－2(， －)＝31]－2求函数(2)在区间求出所给区间内自变量的改变量及函数值的改变量，从而求出平均变化] [思路点拨 率．2 xfx 2函数在区间([2,2.1])＝3上的平均变化率为：＋[精解详析] (1)22 ff ＋22)2)－－(3(2)(3×2.1×＋(2.1)＝＝12.3. 0.12.1－2gg (－－2)－(1)xxg ＝化率为平2在区间[－2，－1]上的(2)函数均(＝)3变－ 2)－－((－1)2][3－×(－2)－×[3(－1)－2] 2)(－－1)－(8)－5)－((－3. ＝＝ 2－1＋[一点通] 求函数平均变化率的步骤为： xx ； －第一步：求自变量的改变量12 fxfx )；)－ 第二步：求函数值的改变量((12 fxfx )－(()12 . 第三步：求平均变化率 xx － 12 xxg ．＝－)3[2,4]在上的平均变化率是________1．函数(gg (2)－3×4－(－3)×－(4)2xxg ＝3 解析：函数()＝－上的平均变化率为在[2,4]＝ 2－42－46 ＋12－3. ＝－ 2 3 答案：－xyf )2.如图是函数＝(的图象，则：xf 1,1]－在区间)函数(1)([上的平均变化率为________；xf ．________上的平均变化率为[0,2]在区间)(函数(2)． ff 1(－1)2－(1)－1xf . ＝－)在区间[1,1]解析：(1)函数上的平均变化率为(＝ 21)21－(－ x 3＋??x ，≤1≤，－1 2?xxff )的图象知，)(2)由函数(( ＝

平均变化率

平均变化率 一、教学目标 知识目标：通过实例直观感知、构建平均变化率的概念，并初步运用和加深理解平均变化率的实际意义和数学意义. 能力目标：由平均变化率的实际意义到数学意义，体现实际问题数学化的过程，并渗透“以直代曲”、“数形结合”的思想方法，培养学生分析问题、解决问题的能力. 情感目标：经历运用数学模型刻画客观世界的“数学化”过程，感受数学产生和发展的规律，培养学生勇于探索、创新的个性品质. 二、教学重点、难点 重点：平均变化率概念的建构和平均变化率的实际意义. 难点：平均变化率的实际意义和数学意义的互相转化. 三、教学方法 启发式和互动式教学方法以及多媒体辅助教学. 四、教学过程 Ⅰ．创设情境，引出问题 让学生观看过山车录像并提出问题：注意观察过山车在运行过程中有哪些量在发生变化.从而通过过山车在运行过程中位移的变化、速度的变化、曲线的上升下降等具体可视现象概括为在运动过程中变量的变化情况，就是新的一章《导数及其应用》将要研究的问题，从而引出本章课题，并用恩格斯的话强调微分学在自然科学中的重要意义，再设计了两个贴近生活的实例： 实例1.气温随时间变化的快慢情况； 实例2.婴儿的体重随时间变化的快慢情况. 用具有潜在意义的、饶有兴趣的实际问题，将教学内容自然呈现在学生面前，用问题抓住学生，激发其探究欲望．这两个实际问题让学生直观的感受到生活实际中的一些变化快慢的问题，从而会产生数学问题就是如何用数学模型去刻画这种变化的快慢，引出课题《平均变化率》.让学生体会到“数学源于生活”体现课堂教学的“生活性”. Ⅱ．案例分析，建构概念 通过案例分析构建数学理论，如何从数学角度描述这些现象. 对实例1中气温随时间变化的快慢情况的刻画经历如下几个过程： 1．由表格中的数据和天气逐渐变热的图片让学生初步从直觉上感受天气在逐渐变热，而且4月18日到4月20这两天的气温陡增.

雷达作用距离方程

雷达作用距离方程 Last updated on the afternoon of January 3, 2021

雷达作用距离及其方程摘要：雷达是利用电磁波探测目标的电子设备。即发射电磁波对目标进行照射并接收其回波，由此获得目标至电磁波发射点的距离、距离变化率（径向速度）、方位、高度等信息。所谓道高一尺魔高一丈，针对现代航空技术的迅猛发展，飞行器隐身性能已成为飞行器先进作战技能指标之一，隐身性能直接决定着战斗的成败，而唯一能克制隐身性能的法宝雷达自然越来越受到重视。通过查询和学习了解雷达的作用原理及雷达作用距离，并在此基础上继续分析雷达作用距离方程，为对雷达的学习和理解奠定基础。 关键词：雷达；作用距离；距离方程 雷达的任务及作用 雷达的最基本任务是探测目标并测量其坐标，因此，作用距离是雷达的重要性能指标之一，它决定了雷达能在多大的距离上发现目标。作用距离的大小取决于雷达本身的性能，其中有发射机、接收系统、天线等分机的参数，同时又和目标的性质及环境因素有关。 雷达所起的作用和眼睛和耳朵相似，当 然，它不再是大自然的杰作，同时，它的信息载体是无线电波。事实上，不论是可见光或是无线电波，在本质上是同一种东西，都是电磁 波，传播的速度都是光速C, 差别在于它们各自占据的频率和波长不同。其原理是雷达雷达

设备的发射机通过天线把电磁波能量射向空间某一方向，处在此方向上的物体反射碰到的电磁波；雷达天线接收此反射波，送至接收设备进行处理，提取有关该物体的某些信息(目标物体至雷达的距离，距离变化率或径向速度、方位、高度等)。 测量距离实际是测量发射脉冲与回波脉冲之间的时间差，因电磁波以光速传播，据此就能换算成目标的精确距离。 测量目标方位是利用天线的尖锐方位波束测量。测量仰角靠窄的仰角波束测量。根据仰角和距离就能计算出目标高度。 测量速度是雷达根据自身和目标之间有相对运动产生的频率多普勒效应原理。雷达接收到的目标回波频率与雷达发射频率不同，两者的差值称为多普勒频率。从多普勒频率中可提取的主要信息之一是雷达与目标之间的距离变化率。当目标与干扰杂波同时存在于雷达的同一空间分辨单元内时，雷达利用它们之间多普勒频率的不同能从干扰杂波中检测和跟踪目标。 雷达距离方程 雷达方程 radar range equation 用于计算雷达在各种工作模式(搜索、跟踪、信标、成像、抗干扰、杂波抑制等)下的最大作用距离的方程式。它是根据已知雷达参数、传播路径、目标特性和所要求的检测与测量性能来计算雷达的最大距离的基本数学关系式，对作为检测和测量设备的雷达进行性能预计。它与雷达参数(如发射功率、接收机噪声系数、天线增益、波长等)、目标特性(如目标的雷达截面积等)和传播性能(如大气衰减、反射等)有关。

平均变化率教案

高中数学选修2—2 平均变化率（教案）

高中数学选修2—2 1.1.1 平均变化率（教学设计） 一、教学目标 知识与技能： 1、理解平均变化率的概念； 2、通过具体事例，感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学 描述刻画现实世界的过程。 过程与方法： 1、通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力； 2、通过对实际问题的探究使学生体会类比、从特殊到一般的数学思想。 情感、态度与价值观： 感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程。体会数学的博大精深以及学习数学的意义。 二、教学重点、难点 重点：平均变化率的概念的归纳得出；求函数在某个区间的平均变化率。 难点：从实际例子归纳出函数的平均变化率的过程。 三、教学方法 引导学生通过由特殊到一般的思想方法得到平均变化率的概念；引导学生通过积极探究、讨论，逐步理解如何求函数的平均变化率。 四、教学基本流程 创设情境，引导探索分析归纳，建立概念 例题讲解，尝试应用回顾反思，感悟升华 五、教学过程（具体如下表）

问题三：气球膨胀率 让学生吹气球。 提出问题一：细细体会气球膨胀的过程，你有什么发现归纳出： 随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢. 提出问题二：怎样从数学的角度描述这种现象 气球的体积V(单位:L)与半径r(单 位:dm)之间的函数关系是 如果将半径r表示为体积V的函数, 那么 操作实践：， （1）当V从0增加到1时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为 （2）当V从1增加到2时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为 可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了． 思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少

变化率问题 导数的概念

1.1变化率与导数 1.1.1变化率问题 1.1.2导数的概念 1．通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景． 2．会求函数在某一点附近的平均变化率．(重点) 3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数．(重点、难点) 4．理解函数的平均变化率，瞬时变化率及导数的概念．(易混点) [基础·初探] 教材整理1函数的平均变化率 阅读教材P2～P4“思考”以上部分，完成下列问题． 1．函数的平均变化率 (1)对于函数y＝f(x)，给定自变量的两个值x1，x2，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，我们把式子____________称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率． (2)习惯上用Δx表示x2－x1，即Δx＝________，可把Δx看作是相对于x1的一个“增量”，可用x1＋Δx代替x2；类似地，Δy＝________.于是，平均变化率可表示为________．

2．平均变化率的几何意义 设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))是曲线y ＝f (x )上任意不同的两点，函数y ＝f (x )的平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (x 1＋Δx )－f (x 1) Δx 为割线AB 的______，如图1-1-1 所示． 图1-1-1 【答案】 1.(1)f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1 (2)x 2－x 1 f (x 2)－f (x 1) Δy Δx 2.斜率 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)由Δx ＝x 2－x 1，知Δx 可以为0.( ) (2)Δy ＝f (x 2)－f (x 1)是Δx ＝x 2－x 1相应的改变量，Δy 的值可正，可负，也可为零，因此平均变化率可正，可负，可为零．( ) (3)对山坡的上、下两点A ，B 中，Δy Δx ＝y 2－y 1 x 2－x 1可以近似刻画山坡的陡峭程 度．( ) 【答案】 (1)× (2)√ (3)√ 教材整理2 瞬时速度、导数的概念 阅读教材P 4～P 6“例1”以上部分，完成下列问题． 1．瞬时速度 (1)物体在__________的速度称为瞬时速度． (2)一般地，设物体的运动规律是s ＝s (t )，则物体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的平均速度为Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt .如果Δt 无限趋近于0时， Δs Δt 无限趋近于某个常数v ，我们就说当Δt 趋向于0时，Δs Δt 的________是v ，这时v 就是物体在时刻t ＝t 0时的瞬时速度，即瞬时速度v ＝lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0 s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt .

第三章距离保护

第三章：电网距离保护 1.距离保护的定义和基本原理： 距离保护：是利用短路时电压、电流同时变化的特征，测量电压与电流的壁纸，反映故障点到保护安装处的距离而工作的保护。 基本原理：按照继电保选择性的要求，安装在线路两端的距离保护仅在下路MN内部故障时，保护装置才应该立即动作，将相应的断路器跳开，而在保护区的反方向或本线路之外正方向短路时，保护装置不应动作。 与电流速断保护一样，为了保证在下级线路的出口处短路时保护不误动作，在保护区的正方向（对于线路MN的M侧保护来说，正方向就是由M指向N的方向）上设定一个小于本线路全长的保护范围，用整定距离Lset来表示。 当系统发生短路故障时，首先判断故障的方向，若故障位于保护区的正方向上，则设法测出故障点到保护安装处的距离Lk，并将Lk与Lset相比较，若Lk小于Lset，说明故障发生在保护范围之内，这时保护应立即动作，跳开相应的断路器；若L K大于Lset，说明故障发生在保护范围之外，保护不应动作，对应的断路器不会跳开。若故障位于保护区的反方向上，则无需进行比较和测量，直接判断为区外故障而不动作。｝ 通常情况下，距离保护可以通过测量短路阻抗的方法来间接地测量和判断故障距离。 2.几种继电器的方式： 苹果特性：有较高的耐受过渡电阻的能力，耐受过负荷的能力比较差；橄榄特性正好相反。电抗特性：动作情况至于测量阻抗中的电抗分量有关，与电阻无关，因而它有很强的耐过渡电阻的能力。但是它本身不具有方向性，且在负荷阻抗情况下也可能动作，所以通常它不能独立应用，而是与其他特性复合，形成具有复合特性的阻抗原件。 电阻特性：通常也与其他特性复合，形成具有复合特性的阻抗原件。 多边形特性：能同时兼顾耐受过渡电阻的能力和躲负荷的能力。 3测量阻抗：Zm定义为保护安装处测量电压Um&与测量电流Im&之比，即Um&/Im& 动作阻抗：使阻抗原件处于临界动作状态对应的阻抗（Zop）。 Zset1的阻抗角称为最灵敏角。最灵敏角一般取为被保护线路的阻抗角 短路阻抗：Zk=Z1Lk（单位长度线路的复阻抗与短路距离的乘积） 整定阻抗：Zset=Z1Lset 4.负荷阻抗与短路阻抗的区别：负荷阻抗的量值较大，其阻抗角为数值较小的功率因数角，阻抗特性以电阻性为主。短路阻抗的阻抗角就等于输电线路的阻抗角，数值较大，阻抗特性以电感性为主。 5.测量电压的选取和测量电流的选取:要取故障环路上的电压、电流。 为保护接地短路，取接地短路的故障环路为相-地故障环路，测量电压为保护安装处故障相对地电压，测量电流为带有零序电流补偿的故障相电流，由它们算出的测量阻抗能够准确反应单相接地故障、两相接地故障和三相接地短路情况下的故障距离，称为接地距离保护接线方式。 对于相间短路，故障环路为相-相故障环路，取测量电压为保护安装处两故障相的电压差，测量电流为两故障相的电流差，由它们算出的测量阻抗能够准确反应两相短路、三相短路和两相短路接地情况下的故障距离，称为相间距离保护接线方式。

2021-2022年高中数学课时跟踪训练十五平均变化率苏教版

2021-2022年高中数学课时跟踪训练十五平均变化率苏教版 1．函数f (x )＝1 x 在x ＝1到x ＝2之间的平均变化率为________． 2．某人服药后，人吸收药物的情况可以用血液中药物的浓度c (单位：mg/mL)来表示，它是时间t (单位：min)的函数，表示为c ＝c (t )，下表给出了c (t )的一些函数值： t /min 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 c (t )/ (mg/mL) 0.84 0.89 0.94 0.98 1.00 1.00 0.97 0.90 0.79 0.63 3．一棵树2011年1月1日高度为4.5 m,2012年1月1日高度为4.98 m ，则这棵树xx 年高度的月平均变化率是________． 4．在曲线y ＝x 2 ＋1的图像上取一点(1,2)及邻近一点(1.1，2.21)，则该曲线在[1,1.1]上的平均变化率为________． 5．如图显示物体甲、乙在时间0到t 1范围内，路程的变化情况，下列说法正确的是________． ①在0到t 0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度； ②在0到t 0范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度； ③在t 0到t 1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度； ④在t 0到t 1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度． 6．已知正弦函数y ＝sin x ，求该函数在? ?????0，π3和??????π3，π2内的平均变化率，比较平均 变化率的大小，并说明含义． 7．路灯距地面8 m ，一个身高为1.6 m 的人以84 m/min 的速度在地面上从路灯在地面上

平均变化率

选修2－2 导数及其应用 1.1.1 平 均 变 化 率 （总第47导学案） 一、【教学目标】 1．感受平均变化率广泛存在于日常生活中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程。 2．理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景。 二、【教学重点、难点】 重点：平均变化率的数学意义 难点：平均变化率的实际意义和数学意义 三、【教学过程】 （一）生活实例： 现有启东市某年3月和4月某天日最高气温记载. 观察：“3月18日到4月18日”与“4月18日到4月20日”的温度变化发现：后者短短两 天时间温度相差C 0 8.14，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了﹗”，前者温差C 01.15，甚至超过了C 08.14，而人们却不会发出上述感叹。这是为什么呢？ 因为前者变化缓慢，后者变化太快。那么用怎样的数学模型来刻画变量变化的快、慢？ 这就是本课学习的“平均变化率”。 （二）数学模型：以3月18日作为第一天，用曲线图表示为： 1、曲线上BC 之间一段几乎成了“直线”，由此联想如何量化直线的倾斜程度？。 2、由点B 上升到C 点，考察y C —y B 的大小为 ；同时考察x C —x B 的大小 为 。平均变化率为 。 3、气温在区间[1，32]上的平均变化率 ， 与气温[32,34]上的平均变化率比较，A 、B 之间的温差与B 、C 之间的温差几乎相同，但平均变化率相差很大，即平均变化率越大，曲线越陡峭。 4、一般地，函数f(x)在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为 。 (d) 20

（三）典题探讨： 例1、甲、乙两人投入相同的资金经营某商品，甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时 间挣到2万元，如何比较和评价甲，乙两人的经营成果？ 例2、水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s 后容器 甲中水的体积0.1()52t V t -=?（单位：3 cm ）， 计算第一个10s 内V 的平均变化率。 乙 注意：负号表示容器甲中的水在减少。 例3、已知函数2()f x x =，分别计算()f x 在下列区间上的平均变化率： （1）[1，3]； （2）[1，2]； （3）[1，1.1]； （4）[1，1.001]。 作出图形，借助图像感知割线斜率k 的变化，发现割线→切线，斜率k →切线的斜率。 例4、如图，路灯高地面8m ，一个身高为1.6m 的人以84m/min 的速度离开路灯。 （1）求身影的长度y 与人距路灯的距离x 之间的关系； （2）求人离开路灯的第一个10s 内身影的平均变化率。 （四）课堂小结： 1、一般地，求函数()f x 在区间[x 1，x 2]上的平均变化率的步骤： ① 求自变量的增量12x x x -=?；② 求函数的增量)()(12x f x f y -=?； ③ 求平均变化率=??x y 2121()()f x f x x x --。 ２、平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”。 3、对于函数)(x f y =，当自变量x 在0x 处有改变量x ?时，函数值y 相应地有改变量y ?， 则)(x f 从0x 到x x ?+0的平均变化率有更一般的形式x x f x x f x y ?-?+=??)()(00

曲率及曲率变化率

一、曲率 曲率定义为一定弦长的曲线轨道（如30M ）对应之园心角θ（度/30米）。度数大，曲率大，半径小。反之，度数小，曲率小，半径大。轨检车通过曲线时（直线亦如此），测量车辆每通过30米后车体方向角的变化值，同时测量车体相对两转向架中心连线转角的变化值，即可计算出轨检车通过30米曲线后的相应圆心角θ变化值。 测量曲率的传感器分布如图4-12。摇头速率陀螺YAW ，测量车体摇头角速率； 位移计DT1测量车体一位端的心盘处与一位转向架构架间的相对位移；位移计DT2、DT3测量车体二位端心盘前后两侧与二位转向架构架之间的相对位移；光电编码器TACH 提供速度距离信息,由于一阶模拟滤波器在处理模拟时间域信号时，其频率特性是固定不变的，但在处理YAW 所表示的空间域频率信号时，其频率特性就是变化的了。因此，一阶模拟滤波器输出信号经采样，进入计算机还需进行数字滤波处理。数字滤波的作用，是对一阶模拟滤波器引起的频率特性变化进行校正，使得模拟滤波和数字滤波混合处理后，在设计的通带范围内，空间域幅值特性不受列车运行速度的影响。 曲率测量的信号流程如图4-13。摇头速率陀螺输出信号经B(s)一阶模拟滤波处理后，进入计算机，再进行数字处理。)(z C 为一阶数字滤波器。)(z C 的输出，是单位采样距离对应的车体方向角x c ??/φ。用安装于一位转向架构架和车体间的位移计DT1测量一位转向架构架与车体间的位移d 1。用安装于二位转向架构架和车体间的位移计DT2和DT3，测量二位转向架构架和车体间的位移d 2。由d 1和d 2计算出单位采样距离相应的车体与两转向架中心连线间相对夹角x ct ??/φ。通过 x c ??/φ和x ct ??/φ的结合计算出两转向架中心连线对应于单位采样距离的方向

1.1.1 变化率问题

1．1.1 变化率问题 1．1.2 导数的概念 【学习要求】 1．了解导数概念的实际背景． 2．会求函数在某一点附近的平均变化率． 3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数． 【学法指导】 导数是研究函数的有力工具，要认真理解平均变化率、瞬时变化率的概念，可以从物理和几何两种角度理解导数的意义，深刻体会无限逼近的思想. 【了解感知】 1．函数的变化率 2．函数f (x )在x ＝x 0处的导数 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的____________称为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作____________________，即x y x f x ??=→?00' lim )(＝___________________. 【深入学习】 引言：某市2012年5月30日最高气温是33.4℃，而此前的两天5月29日和5月28日最高气温分别是24.4℃和18.6℃，短短两天时间，气温“陡增”14.8℃，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！”但是，如果我们将该市2012年4月28日最高气温3.5℃和5月28日最高气温18.6℃进行比较，可以发现二者温差为15.1℃，甚至超过了14.8℃，而人们却不会发出上述感慨，这是什么原因呢？显然原因是前者变化得“太快”，而后者变化得“缓慢”，那么在数学中怎样来刻画变量变化得快与慢呢？ 探究点一：平均变化率的概念 问题1：气球膨胀率 很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢．从数学的角度，如何描述这种现象呢？

问题2：高台跳水 在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m)与起跳后的时间t (单位：s)存在函数关系h (t )＝－4.9t 2 ＋6.5t ＋10. 计算运动员在下列时间段内的平均速度，并思考平均速度有什么作用？ ①0≤t ≤0.5，②1≤t ≤2. 问题3：什么是平均变化率，平均变化率有何作用？ 问题4：平均变化率也可以用式子 x y ??表示，其中Δy 、Δx 的意义是什么？x y ??有什么几何意义？ 例1：已知函数f (x )＝2x 2 ＋3x －5. (1)求当x 1＝4，且Δx ＝1时，函数增量Δy 和平均变化率x y ??； (2)求当x 1＝4，且Δx ＝0.1时，函数增量Δy 和平均变化率x y ??； (3)若设x 2＝x 1＋Δx .分析(1)(2)题中的平均变化率的几何 跟踪训练1： (1)计算函数f (x )＝x 2 从x ＝1到x ＝1＋Δx 的平均变化率，其中Δx 的值为： ①2； ②1； ③0.1； ④0.01. (2)思考：当|Δx |越来越小时，函数f (x )在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率有怎样的变化趋势？ 探究点二：函数在某点处的导数 问题1：物体的平均速度能否精确反映它的运动状态？ 问题2：如何描述物体在某一时刻的运动状态？

《3.1.1变化率问题》教学案

3.1.1《变化率问题》教学案 教学目标： 1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义； 3．会求函数在某点处附近的平均变化率 4. 感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程，体会数学的博大精深以及学习数学的意义. 教学重点： 1. 通过实例，让学生明白变化率在实际生活中的需要，探究和体验平均变化率的实际意义和数学意义； 2. 掌握平均变化率的概念，体会逼近的思想和用逼近的思想思考问题的方法； 教学难点： 平均变化率的概念． 教学过程： 一、创设情景 (1) 让学生阅读章引言，并思考章引言写了几层意思？ (2) 学生先阅读，思考，老师再提示；①以简洁的话语指明函数和微积分的关系，微积分的研究对象就是函数，正是对函数的深入研究导致了微积分的产生；②从数学史的角度，概括地介绍与微积分创立密切相关的四类问题以及做出巨大贡献的科学家；③概述本章的主要内容，以及导数工具的作用和价值． 让学生对这章书先有一个大概认识，从而使学生学习有了方向，能更好地进行以下学习． 二．新课讲授 (一)问题提出 问题1气球膨胀率问题： 老师准备了两个气球，请两位同学出来吹，请观看同学谈谈看见的情景；再请吹气球同学谈谈吹气球过程的感受，开始与结束感受是否有区别？ 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加越来越慢.从数学角度，如何描述这种现象呢？ 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是33 4)(r r V π= 如果将半径r 表示为体积V 的函数，那么343)(π V V r =

1.1变化率问题

1 高二数学选修 2-2 1.1 变化率问题 一、学习任务： 1．通过对实际背景的分析，学生自主探究，经历归纳出平均变化率概念的过程，会根据函数解析式或图象求平均变化率； 2.了解平均变化率的意义,从而了解瞬时变化率和导数的实际背景； 3.从归纳平均变化率概念的过程中,感受从特殊到一般的数学思想方法. 二、新知探究： 问题1. 吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这种现象? 【思维导航】 （1）当空气容量V 从0增加到1L 时，气球的半径增加了多少？气球的平均膨胀率为多少？ （2）当空气容量V 从1L 增加到2L 时，气球的半径增加了多少？气球的平均膨胀率为多少？ （3）当空气容量V 从1V 增加到2V 时，气球的平均膨胀率为多少？ 问题2.在高台跳水中，假设运动员相对于水面的高度h (单位:m )与起跳后的时间t (单位:s )存在函数关系105.69.4)(2++-=t t t h ,那么： （1）运动员在0s 到0.5s 内的平均速度为多少? （2）运动员在1s 到2s 内的平均速度为多少? （3）运动员在1t s 到2t s 内的平均速度为多少?平均速度的意义是什么？ 【思考】若上述两个问题中的函数关系用函数)(x f y =表示，那变化率可用什么式子表示?该式子称为函数 )(x f y =从1x 到2x 的平均变化率，平均变化率还可以用什么式子表示?表示的涵义是什么的比值? 问题3.借助函数)(x f y =的图象，探究平均变化率x y ??=1212) ()(x x x f x f --表示怎样的几何 意义？ 技能提炼 1.已知12)(2+=x x f （1）求:从1x 到2x 的平均变化率. （2）求:从0x 到x x ?+0的平均变化率，并求2 1 ,10=?=x x 时的平均变化率. 【总结】求函数)(x f y =的平均变化率的步骤为(1) _______ (2) _______ 2.已知函数2()f x x x =-+的图象上一点(1,2)--及邻近一点(1,2)x y -+?-+?，求y x ?? 3．经过曲线1)(2 +=x x f 上A ，B 两点作割线，求割线的斜率： （1）2,1==B A x x （2）5.1,1==B A x x （3）1.1,1==B A x x 变式反馈 1. 质点运动动规律23s t =+，则在时间(3,3)t +?中，相应的平均速度为_______ 2.物体按43)(2 ++=t t t S 的规律做直线运动，求在4s 附近的平均变化率 3.过曲线3()y f x x ==上两点(1,1)P 和(1,1)Q x y +?+?作曲线的割线，求出当0.1x ?=时割线的斜率. 三、本节课收获：???? ? ????

(完整版)变化率与导数及导数的计算

第十一节 变化率与导数、导数的计算 一、导数的概念 1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 (1)定义： 称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0 Δy Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . (2)几何意义： 函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 2．函数f (x )的导函数 称函数f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x ) Δx 为f (x )的导函数． 二、基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x n (n ∈Q *) f ′(x )＝nx n － 1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝log a x f ′(x )＝1 x ln a f (x )＝ln x f ′(x )＝1 x 三、导数的运算法则 1．[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； 2．[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；