【优化方案】2016高中数学 第三章 三角恒等变形 2.1两角差的余弦函数、2.2两角和与差的正弦、余弦函数

§2 两角和与差的三角函数 2．1 两角差的余弦函数 2．2 两角和与差的正弦、余弦函数

, )

1．问题导航

(1)根据α＋β＝α－(－β)，如何由C α－β推出C α＋β？

(2)对任意角α，β，cos(α－β)＝cos α－cos β成立吗？ (3)如何认识公式C α±β和S α±β中的角？ 2．例题导读

P 119例1.通过本例学习，学会利用公式C α±β解决形式上不具有α±β，但可以拆合成α±β的问题．

试一试：教材P 123习题3－2 A 组T 1前4个小题你会吗？

P 119例2.通过本例学习，学会利用公式C α±β求解此类给值求值的问题． 试一试：教材P 123习题3－2 A 组T 3你会吗？

P 120例3.通过本例学习，学会逆用公式S α＋β求函数的最值、周期等． 试一试：教材P 123习题3－2 B 组T 2(1)(2)(3)你会吗？

1．两角差的正弦、余弦公式

(1)cos(α－β)＝cos__αcos__β＋sin__αsin__β；(C α－β) (2)sin (α－β)＝sin__αcos__β－cos__αsin__β．(S α－β) 2．两角和的正弦、余弦公式

(1)sin (α＋β)＝sin__αcos__β＋cos__αsin__β；(S α＋β) (2)cos(α＋β)＝cos__αcos__β－sin__αsin__β．(C α＋β) 3．辅助角公式

a sin α＋

b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中tan φ＝b

a

或a sin α＋b cos α＝

a 2＋

b 2cos(α－φ)，其中tan φ＝a

b

.

1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“3”)

(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( )

(2)存在α，β∈R ，使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立．( ) (3)对于任意α，β∈R ，sin(α＋β)＝sin α＋sin β都不成立．( ) (4)sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 30°.( ) 解析：(1)正确．根据公式的推导过程可得．

(2)正确．当α＝45°，β＝0°时，sin(α－β)＝sin α－sin β.

(3)错误．当α＝30°，β＝－30°时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立． (4)正确．因为sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 54°cos 24°－cos 54°sin

24°＝sin(54°－24°)＝sin 30°，故原式正确．

答案：(1)√ (2)√ (3)3 (4)√

2．cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°的值等于( ) A.12 B ．－12 C ．0 D ．1

解析：选 C.逆用两角和的余弦公式可得cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°＝cos(75°＋15°)＝cos 90°＝0.

3．若cos(α－β)＝13

，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2

＝________．

解析：原式＝2＋2cos(α－β)＝2＋2313＝8

3

.

答案：83

4．sin 15°＋cos 15°＝________．

解析：sin 15°＋cos 15°＝cos 75°＋cos 15° ＝cos(45°＋30°)＋cos(45°－30°)

＝cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30°＋cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°

＝2cos 45°cos 30°＝6

2

.

答案：

62

1．公式C α±β，S α±β的适用条件

公式中的α、β是任意角，可以是具体的角，也可以是表示角的代数式． 2．公式C α±β与S α±β的联系

四个公式C α±β、S α±β虽然形式不同、结构不同，但它们的本质是相同的，其内在联系

为cos(α－β)――→以－β换βcos(α＋β)――→以π

2－（α＋β）换α＋β

sin(α＋

β)――→以－β换βsin(α－β)，这样我们只要牢固掌握“中心”公式cos(α－β)的由来及表达方式，也就掌握了其他三个公式．

3．注意公式的结构特征和符号规律

对于公式C α－β，C α＋β，可记为“同名相乘，符号反”． 对于公式S α－β，S α＋β，可记为“异名相乘，符号同”．

给角求值

求下列各式的值： (1)cos 105°＋sin 195°；

(2)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°；

(3)sin π12－3cos π12.

(链接教材P 119例1)

[解] (1)cos 105°＋sin 195°

＝cos(90°＋15°)＋sin(180°＋15°) ＝－sin 15°－sin 15°＝－2sin 15° ＝－2sin(45°－30°)

＝－2(sin 45°2cos 30°－cos 45°2sin 30°)

＝－2? ????2

2

332－22312＝2－62.

(2)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°

＝sin 14°cos 16°＋sin(90°－14°)cos(90°－16°) ＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°

＝sin(14°＋16°)＝sin 30°＝1

2

.

(3)法一：sin π12－3cos π

12

＝2? ????12sin π

12－32cos π12

＝2?

????sin π

6sin π12－cos π6cos π12

＝－2cos ? ????π6＋π12＝－2cos π4 ＝－23

2

2＝－ 2. 法二：sin π12－3cos π

12

＝2? ????12sin π

12－32cos π12

＝2? ????cos π3sin π12－sin π3cos π12＝－2sin ? ????π3－π12 ＝－2sin π4＝－232

2

＝－ 2.

方法归纳

解答此类问题的一般思路是

(1)非特殊角型：把非特殊角转化为特殊角的和或差(如15°＝45°－30°或15°＝60°－45°)，直接应用公式求值．

(2)逆用结构型：把两角的和与差的展开式中的角视为一个整体，借助诱导公式等工具，构造两角和与差的正余弦公式的展开式，然后逆用公式求值．

1．(1)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝( )

A ．－

3

2

B ．－12

C.12

D ．

32

(2)求下列各式的值：

①sin 15°＋cos 15°；

②sin 119°sin 181°－sin 91°sin 29°.

解：(1)选C.原式＝sin （30°＋17°）－sin 17°cos 30°

cos 17°

＝sin 30°cos 17°＋cos 30°sin 17°－sin 17°cos 30°cos 17°

＝sin 30°cos 17°cos 17°＝12

.

(2)①法一：sin 15°＋cos 15°

＝2? ?

???sin 15°222＋cos 15°222

＝2(sin 15°cos 45°＋cos 15°sin 45°)

＝2sin (15°＋45°)＝2sin 60°＝6

2

.

法二：sin 15°＋cos 15°

＝2?

?

???cos 15°222＋sin 15°222

＝2(cos 45°cos 15°＋sin 45°sin 15°)

＝2cos(45°－15°)＝2cos 30°＝6

2

.

②原式＝sin (29°＋90°)sin (1°＋180°)－sin (1°＋90°)2sin 29° ＝cos 29°(－sin 1°)－cos 1°sin 29° ＝－(sin 29°cos 1°＋cos 29°sin 1°)

＝－sin (29°＋1°)＝－sin 30°＝－1

2

.

给值求值

设cos ? ????α－β2＝－19，sin ? ????α2－β＝23，其中α∈? ????π2，π，β∈?

????0，π2，求cos α＋β2

.

(链接教材P 119例2)

[解] 因为α∈? ????π2，π，β∈?

????0，π2，

所以α－β2∈? ????π4，π，α2－β∈? ??

??－π4，π2. 所以sin ? ????α－β2＝

1－cos 2?

????α－β2

＝

1－181＝45

9

.

cos ? ????α2－β＝ 1－sin 2? ??

??α

2－β＝ 1－49＝53.

所以cos α＋β2＝cos ????

??? ????α－β2－? ????α2－β

＝cos ? ????α－β2cos ? ????α2－β＋sin ? ????α－β2sin ?

??

??α2

－β

＝－19353＋459323＝7527

.

方法归纳

给值求值的解题步骤

(1)找角的差异．已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，先注意观察已知角与所求表达式中角的差异．

(2)拆角与凑角．根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有 α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，

α＝12[(α＋β)＋(α－β)]，α＝1

2

[(β＋α)－(β－α)]等．

(3)求解，结合公式C α±β和S α±β求解即可．

2．(1)已知cos ?

????α－π6＝1213? ????π6<α<π2，则cos α＝________． (2)已知α∈? ????0，π2，β∈? ??

??－π2，0，

且cos(α－β)＝35，sin β＝－210，求sin α. 解：(1)由于0<α－π6<π3，cos ?

????α－π6＝1213， 所以sin ?

????α－π6＝513. 所以cos α＝cos ???????

????α－π6＋π6 ＝cos ? ????α－π6cos π6－sin ? ????α－π6sin π6 ＝1213332－513312＝123－526.故填123－5

26

. (2)因为α∈? ????0，π2，β∈? ??

??－π2，0，

所以α－β∈(0，π)．

因为cos(α－β)＝35，所以sin(α－β)＝4

5

.

因为β∈? ????－π2，0，sin β＝－210， 所以cos β＝72

10

.

所以sin α＝sin[(α－β)＋β]

＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β ＝4537210＋353? ????－210＝22.

给值求角

已知cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，0<α<π2，0<β<π

2，求角β的值．

[解] 因为0<α<π2，cos α＝17，所以sin α＝43

7，

又因为0<β<π

2

，所以0<α＋β<π，

因为sin(α＋β)＝5314

14

，

所以sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝5314317－? ????－11143437＝32

， 又因为0<β<π2，所以β＝π

3

.

把本例中的“0<β<π2”改为“π

2

<β<π”，求角β的值．

解：因为0<α<π2，cos α＝1

7，

所以sin α＝43

7

，

又因为π

2

<β<π，

所以π2<α＋β<3π2，因为sin(α＋β)＝5314

，

所以cos(α＋β)＝－11

14

，

所以sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝53

14

317－? ????－11143437＝32

， 又因为π2<β<π，所以β＝2π3

.

方法归纳

此类题目是给值求角问题，一般步骤如下：①求所求角的某个三角函数值；②确定所求角的范围．此类题常犯的错误是对角的范围不加讨论，或范围过大或过小，会使求出的角不合题意或者漏解，同时要根据角的范围确定取该角的哪一种三角函数值．

3．(1)设α，β为钝角，且sin α＝

55，cos β＝－31010

，则α＋β的值为( ) A.3π4 B ．5π4 C.7π4 D ．5π4或7π4

(2)已知cos(α－β)＝－1213，cos(α＋β)＝1213，且α－β∈? ??

??π2，π，α＋β∈? ??

??3π2，2π，求角β的值．

解：(1)选C. 因为α，β为钝角，所以由sin α＝5

5

，得 cos α＝－1－sin 2

α＝－

1－? ??

??552

＝－255.

由cos β＝－31010，得sin β＝1－cos 2

β

＝

1－? ??

??－310102

＝1010. 所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β

＝? ????－2553? ??

??

－31010－5531010＝22. 又因为π<α＋β<2π，所以α＋β＝7π

4

.

(2)由α－β∈? ??

??π2，π，且cos(α－β)＝－1213， 得sin(α－β)＝5

13

.

又由α＋β∈? ??

??3π2，2π，且cos(α＋β)＝1213， 得sin(α＋β)＝－5

13

.

cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]

＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)

＝－121331213＋? ????－51335

13

＝－1.

又因为α＋β∈? ????32π，2π，α－β∈? ??

??π2，π， 所以2β∈? ????π2

，3π2，所以2β＝π，所以β＝π2.

辅助角公式的运用

已知函数y ＝－a cos 2x －3a sin 2x ＋2a ＋b ，x ∈?

?????0，π4，若函数的值域是[－

5，1]，求常数a ，b 的值．

(链接教材P 120例3)

[解] y ＝－a (cos 2x ＋3sin 2x )＋2a ＋b

＝－2a ? ????

12cos 2x ＋32sin 2x ＋2a ＋b

＝－2a cos ?

????2x －π3＋2a ＋b . 因为x ∈?

?????0，π4，

所以2x －π3∈????

??

－π3，π6.

所以12≤cos ?

????2x －π3≤1. 当a >0时，y 最大值＝－2a 31

2

＋2a ＋b ＝1，①

y 最小值＝－2a 31＋2a ＋b ＝－5.② 由①②解得a ＝6，b ＝－5.

当a ＝0时，y ＝b 与值域为[－5，1]矛盾， 所以a ≠0.

当a <0时，y 最大值＝－2a 31＋2a ＋b ＝1，③

y 最小值＝－2a 31

2

＋2a ＋b ＝－5.④

由③④解得a ＝－6，b ＝1.

综上所述，a ＝6，b ＝－5或a ＝－6，b ＝1.

方法归纳

辅助角公式及其运用

公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(或a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2

cos(α－φ))将形如a sin α＋b cos α(a ，b 不同时为零)的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式，这样做有利于三角函数式的化简，更是研究三角函数性质的常用工具．化为正弦还是余弦，要看具体条件而定，一般要求变形后角α的系数为正，这样更有利于研究函数的性质．

4．(1)函数f (x )＝sin x －cos ?

????x ＋π6的值域为( )

A ．[－2，2]

B ．[－3，3]

C ．[－1，1]

D ．???

???－32

，32

(2)已知函数f (x )＝－1＋2sin 2x ＋m cos 2x 的图像经过点A (0，1)，求此函数在?

?????0，π2上的最值．

解：(1)选B.因为f (x )＝sin x －32cos x ＋1

2

sin x

＝3? ??

??32sin x －12cos x ＝3sin ? ????x －π6，

所以函数f (x )的值域为[－3，3]．

(2)因为A (0，1)在函数的图像上， 所以1＝－1＋2sin 0＋m cos 0， 解得m ＝2.

所以f (x )＝－1＋2sin 2x ＋2cos 2x ＝2(sin 2x ＋cos 2x )－1

＝22sin ? ????2x ＋π4－1. 因为0≤x ≤π2，所以π4≤2x ＋π4≤5π

4

.

所以－22≤sin ? ????2x ＋π4≤1. 所以－3≤f (x )≤22－1.

所以函数f (x )的最大值为22－1，最小值为－3.

已知sin αcos β＝－2

，则cos αsin β的取值范围是( )

A.??????－1，12

B.??????－12，1

C.??????－34，34 D ．??????－12，12 [解析] 设cos αsin β＝t ，

由sin αcos β＋cos αsin β＝－1

2

＋t ，

得sin(α＋β)＝－1

2

＋t ；

由sin αcos β－cos αsin β＝－1

2

－t ，

得sin(α－β)＝－1

2

－t .

由?????sin （α＋β）＝－12＋t ，sin （α－β）＝－12－t ，得?

???

?????

??－12＋t ≤1，????

??－12－t ≤1.

所以?

???

?－12≤t ≤32，－32≤t ≤1

2

，?－12≤t ≤1

2.

[答案] D

[感悟提高] 整体思想在处理三角问题时，主要是指将角度、三角式子看成一个整体，在解题时不把它们拆开，也不一定解出，这将减少一些不必要的运算，从而使运算过程简单、快速地得到正确的解．

1．若△ABC 中，C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，则sin(A －B ) 的值是( ) A.725 B ．－725 C ．1 D ．－1

解析：选A.在Rt △ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，所以AB ＝5，所以sin A ＝cos B ＝45

，cos A

＝sin B ＝35，所以sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝45345－35335＝7

25

.

2．已知α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则角α的值为( ) A.π4 B ．π3 C.π6

D ．无法确定 解析：选A.由题意得cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，即cos α(cos β＋sin β)＝sin α(sin β＋cos β)，

因为α，β均为锐角，所以sin β＋cos β≠0，

所以cos α＝sin α，所以α＝π

4

.

3．sin ? ????x ＋π3＋2sin ? ????x －π3－3cos ? ??

??2π3－x ＝________． 解析：原式＝sin x cos π3＋cos x sin π3＋2sin x cos π3－2cos x sin π3－3cos

2π

3

cos x －3sin 2π

3sin x

＝?

????cos π3＋2cos π3－3sin 2π3sin x ＋ ?

????sin π3－2sin π3－3cos 2π3cos x ＝? ????12＋1－3332sin x ＋? ????3

2

－3＋32cos x ＝0.

答案：0

4．若sin(π6＋α)＝1

4，则cos α＋3sin α＝________．

解析：cos α＋3sin α＝2? ????

12cos α＋32sin α

＝2? ????32sin α＋12cos α＝2?

?

???sin αcos π6＋cos αsin π6

＝2sin ? ??

??π6＋α＝2314＝12. 答案：12

, [学生用书单独成册])

[A.基础达标]

1．下面各式，不正确的是( )

A ．sin ? ????π4＋π3＝sin π4cos π3＋32cos π4

B ．cos 7π12＝cos π4cos π3－22sin π

3

C ．cos ? ??

??－π12＝cos π4cos π3＋64

D ．cos π12＝cos π3－cos π4

解析：选D.cos π12＝cos ? ??

??π3－π4≠cos π3－cos π4，故D 不正确． 2．化简cos(x ＋y )sin y －sin(x ＋y )cos y 等于( ) A ．sin(x ＋2y ) B ．－sin(x ＋2y ) C ．sin x D ．－sin x

解析：选D.cos(x ＋y )sin y －sin(x ＋y )cos y ＝sin[y －(x ＋y )]＝－sin x .

3.1

2

cos α＋3

2

sin α可化为( ) A ．sin ? ????π6－α

B ．sin ? ????π3－α

C ．sin ? ??

??π6

＋α

D ．sin ? ??

??π3

＋α

解析：选C.12cos α＋32sin α＝sin π6cos α＋cos π

6sin α

＝sin ? ??

??π6＋α. 4．如果sin （α＋β）sin （α－β）＝m n ，那么tan β

tan α等于( )

A.m －n m ＋n B ．m ＋n m －n C.n －m n ＋m D ．n ＋m n －m

解析：选A.sin （α＋β）sin （α－β）＝sin αcos β＋cos αsin βsin αcos β－cos αsin β＝m

n

，

所以n sin αcos β＋n cos αsin β ＝m sin αcos β－m cos αsin β，

所以(m －n )sin αcos β＝(m ＋n )cos αsin β，

所以cos αsin βsin αcos β＝m －n m ＋n ，即tan βtan α＝m －n m ＋n

.

5．在△ABC 中，如果sin A ＝2sin C cos B ，那么这个三角形是( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．不确定 解析：选C.在△ABC 中，sin A ＝sin[π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C )．因为sin A ＝2sin C cos B ，所以sin(B ＋C )＝2sin C cos B ，即sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin C cos B ，所以sin B cos C －cos B sin C ＝0，即sin(B －C )＝0.

又－180°

所以B －C ＝0，即B ＝C ，所以△ABC 是等腰三角形．

6．已知3sin x －3cos x ＝23sin(x ＋φ)，φ∈(－π，π)则φ的值是________．

解析：因为3sin x －3cos x ＝23? ??

??

32sin x －12cos x

＝23sin ? ????x －π6，

又因为3sin x －3cos x ＝23sin(x ＋φ)且φ∈(－π，π)， 所以φ＝－π

6.

答案：－π

6

7．函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为________．

解析：因为f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x ＝cos φsin x －sin φcos x ＝sin(x －φ)，

又－1≤sin(x －φ)≤1，所以f (x )的最大值为1. 答案：1

8．若cos α－cos β＝12，sin α－sin β＝－1

3

，则cos(α－β)＝________．

解析：由已知得cos α－cos β＝1

2

，①

sin α－sin β＝－1

3

.②

①2＋②2

得

(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2

＝14＋19，

即2－2cos αcos β－2sin αsin β＝13

36

，

所以cos αcos β＋sin αsin β＝123? ????2－1336＝59

72

，

所以cos(α－β)＝59

72

.

答案：5972

9．已知α、β为锐角，且cos α＝45，cos(α＋β)＝－16

65

，求cos β的值．

解：因为0<α<π2，0<β<π

2

，所以0<α＋β<π.

由cos(α＋β)＝－1665，得sin (α＋β)＝63

65.

又因为cos α＝4

5，

所以sin α＝3

5

.

所以cos β＝cos [(α＋β)－α]

＝cos(α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α

＝－1665345＋6365335＝513

.

10．已知函数f (x )＝2sin ? ????13

x －π6，x ∈R .

(1)求f ? ??

??5π4的值； (2)设α，β∈??????0，π2，f ?

????3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值．

解：(1)f ? ????5π4＝2sin ? ????1335π4－π6＝2sin π4

＝23

2

2

＝ 2. (2)f ? ????3α＋π2＝2sin ??????13?

????3α＋π2－π6＝2sin α＝1013，所以sin α＝513. f (3β＋2π)＝2sin ??????13（3β＋2π）－π6＝2sin ?

????β＋π2 ＝2cos β＝65，所以cos β＝3

5

.

因为α，β∈?

?????0，π2，所以cos α＝1－sin 2

α＝1213，

sin β＝1－cos 2

β＝45，

所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝1213335－513345＝1665

. [B.能力提升]

1．设α∈? ????0，π2，β∈? ????0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )

A ．3α－β＝π2

B ．2α－β＝π

2

C ．3α＋β＝π2

D ．2α＋β＝π

2

解析：选B.由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin β

cos β

，

即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，

所以sin(α－β)＝cos α＝sin ? ??

??π2－α. 因为α∈? ????0，π2，β∈? ????0，π2， 所以α－β∈? ????－π2，π2，π2－α∈?

????0，π2，

所以由sin(α－β)＝sin ? ??

??π2－α，得α－β＝π2－α， 所以2α－β＝π

2

.

2．若sin ? ????π4－α＝－12，sin ? ????π4＋β＝32

，其中π4<α<π2，π4<β<π2，则角α＋β的值为( )

A.π6 B ．5π6 C.π3 D ．23

π 解析：选B.因为π4<α<π2，所以－π4<π

4

－α<0，

因为π4<β<π2，所以π2<π4＋β<3π4

，

由已知可得cos ? ????π4－α＝32，cos ? ??

??π4＋β＝－12.

则cos(α＋β)＝cos ????

??? ????π4＋β－? ????π4－α ＝cos ? ????π4＋βcos ? ????π4－α＋sin ? ????π4＋βsin ? ??

??π4－α ＝? ????－12332

＋323? ????－12＝－32.

因为π2<α＋β<π，所以α＋β＝5π6

.

3．形如? ????a b c d 的式子叫做行列式，其运算法则为? ??

??

a b c d ＝ad －bc ，若行列式

? ??

???sin x cos x sin π6 cos π

6＝12

，则x ＝________．

解析：因为? ??

??a b c d ＝ad －bc ，?

?????

sin x cos x sin π6 cos π

6＝ sin x cos π6－cos x sin π6＝sin ?

????x －π6＝1

2，所以x －π6＝π6＋2k π或x －π6＝5π6＋2k

π，k ∈Z ，所以x ＝π

3

＋2k π或x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z .

答案：π

3

＋2k π或(2k ＋1)π，k ∈Z

4．设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝________．

解析：f (x )＝sin x －2cos x ＝5? ??

??

15sin x －25cos x ，

设15＝cos α，2

5

＝sin α，

则f (x )＝5(sin x cos α－cos x sin α)＝5sin(x －α)． 因为x ∈R ，所以x －α∈R ，所以f (x )max ＝ 5. 又因为x ＝θ时，f (x )取得最大值， 所以f (θ)＝sin θ－2cos θ＝ 5.

又sin 2θ＋cos 2

θ＝1，

所以?

????sin θ＝1

5，

cos θ＝－2

5

，

即cos θ＝－25

5.

答案：－255

5．已知函数f (x )＝A sin ? ????x ＋π3，x ∈R ，且f ? ????5π12＝

322

.

(1)求A 的值；

(2)若f (θ)－f (－θ)＝3，θ∈? ????0，π2，求f ? ??

??π6－θ.

解：(1)f ? ????5π12＝A sin ? ??

??5π12＋π3＝A sin 3π4＝22A ＝322，所以A ＝3.

(2)f (θ)－f (－θ)＝3sin ? ????θ＋π3－3sin ?

????－θ＋π3 ＝3????

????sin θcos π3＋cos θsin π3

???－?

????－sin θcos π3＋cos θsin π3 ＝6sin θcos π

3＝3sin θ＝3，

所以sin θ＝33.又因为θ∈?

????0，π2，

所以cos θ＝1－sin 2

θ＝1－? ??

??332

＝63，

所以f ? ????π6－θ＝3sin ? ????π6－θ＋π3＝3sin ? ??

??π2－θ ＝3cos θ＝ 6.

6．(选做题)已知向量a ＝? ????sin ?

????x ＋π6，1，b ＝(4，4cos x －3)． (1)若a ⊥b ，求sin ?

????x ＋4π3的值；

(2)设f (x )＝a 2b ，若α∈??????0，π2，f ?

????α－π6＝23，求cos α的值．

解：(1)因为a ⊥b ?a 2b ＝0，

则a 2b ＝4sin ?

????x ＋π6＋4cos x － 3

＝23sin x ＋6cos x － 3

＝43sin ?

????x ＋π3－3＝0，

所以sin ?

????x ＋π3＝1

4，

所以sin ? ????x ＋4π3＝－sin ?

????x ＋π3＝－14.

(2)由(1)知f (x )＝43sin ?

????x ＋π3－3，

所以由f ? ????α－π6＝23得sin ?

????α＋π6＝34， 又α∈??????0，π2，所以α＋π6∈??????π6，2π3，

又因为22<34<32，所以α＋π6∈????

??π6，π3， 所以cos ?

????α＋π6＝74， 所以cos α＝cos ???????

????α＋π6－π6 ＝cos ? ????α＋π6cos π6＋sin ? ????α＋π6sin π6 ＝74332＋34312＝3＋218

.

常见的三角恒等式

常见的三角恒等式及其证明 设A，B，C是三角形的三个内角 (1) tanA＋tanB＋tanC=tanAtanBtanC 证明： tanA+tanB+tanC=tan(A+B)(1-tanAtanB)+tanC=tan(π-c)(1-tanAtanB)+tanC=-ta nC(1-tanAtanB)+tanC=tanAtanBtanC (2) cotAcotB＋cotBcotC+cotCcotA=1 证明： tanA＋tanB＋tanC=tanAtanBtanC cotX*tanX=1 tanA*cotAcotBcotC＋tanB*cotAcotBcotC＋tanC*cotAcotBcotC=tanAtanBtanC* cotAcotBcotC cotAcotB＋cotBcotC+cotCcotA=1 (3) (cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2+2cosAcosBcosC=1 证明： (cosA)^2+(cosB)^2+x^2+2cosAcosBx=1 x^2+2cosAcosBx+(cosA)^2+(cosB)^2-1=0 x={-2cosAcosB+-√[(2cosAcosB)^2-4((cosA)^2+(cosB)^2-1)]}/2 x=-cosAcosB+-√[(cosAcosB)^2-((cosA)^2+(cosB)^2-1)] x=-cosAcosB+-√[1-(cosA)^2][1-(cosB)^2] x=-cosAcosB+-√[(sinA)^2(sinB)^2] x=-cosAcosB+-sinAsinB x=-cos(A+B)或x=-cos(A-B) x=cosC或x=-cos(A-B) 所以 cosC是方程的一个根 所以 (cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2+2cosAcosBcosC=1 (4) cosA+cosB+cosC＝1＋4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2) 证明： cosA+cosB+cosC=1+4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2) cos(180-B-C)+cosB+cosC=1+2sin(A/2)[2sin(B/2)sin(C/2)] cos(180-B-C)+cosB+cosC=1+2cos(B/2+C/2)[2sin(B/2)sin(C/2)] -cos(B+C)+cosB+cosC=1+2cos(B/2+C/2)[2sin(B/2)sin(C/2)]

高中数学必修四第三章-三角恒等变换知识点总结

第三章 三角恒等变换 一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+； ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-； ⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ --= + ? ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+ ⑹()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ ++=- ? ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+- 二、二倍角的正弦、余弦和正切公式： sin 22sin cos ααα =222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±? ⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin α αααα=-=-=- ?2 2 1cos 2cos 1cos 2sin 2 2 α α αα+=-=， ?2 cos 21cos 2 αα+= ，2 1cos 2sin 2αα-=． ⑶22tan tan 21tan α αα =-． 三、辅助角公式： () 22sin cos sin α+=++a x b x a b x ， 2 2 2 2 cos sin a b a b a b ???= = ++其中由，决定

四、三角变换方法： （1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的 相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如： ①α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是2α的二倍；2α是4 α的二倍； ②2 304560304515o o o o o o =-=-=； ③()ααββ=+-；④ ()4 24 π π π αα+= --； ⑤2()()()()44 ππ ααβαβαα=++-=+--；等等 （2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如 在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名。 （3）“1”的代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转 化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有： 221sin cos sin90tan45o o αα=+== （4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式， 一般采用降幂处理的方法。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式αcos 1+常用升幂化为有理式。 （5）三角函数式的变换通常从：“角、名、形、幂”四方面入手； 基本原则是：见切化弦，异角化同角，倍角化单角，异名化同名， 高次降低次，特殊值与特殊角的三角函数互化等。

三角恒等式-高中数学知识点讲解

三角恒等式 1．三角恒等式 基本公式 sin（2kπ+α）＝sinα，cos（2kπ+α）＝cosα，tan（2kπ+α）＝tanα cot（2kπ+α）＝cotα，sec（2kπ+α）＝secα，csc（2kπ+α）＝cscα sin（π+α）＝﹣sinα，cos（π+α）＝﹣cosα，tan（π+α）＝tanα cot（π+α）＝cotα，sec（π+α）＝﹣secα，csc（π+α）＝﹣cscα sin（﹣α）＝﹣sinα，cos（﹣α）＝cosα，tan（﹣α）＝﹣tanα cot（﹣α）＝﹣cotα，sec（﹣α）＝secα，csc（﹣α）＝﹣cscα sin（π﹣α）＝sinα，cos（π﹣α）＝﹣cosα，tan（π﹣α）＝﹣tanα cot（π﹣α）＝﹣cotα，sec（π﹣α）＝﹣secα，csc（π﹣α）＝cscα sin（α﹣π）＝﹣sinα，cos（α﹣π）＝﹣cosα，tan（α﹣π）＝tanα cot（α﹣π）＝cotα，sec（α﹣π）＝﹣secα，csc（α﹣π）＝﹣cscα sin（2π﹣α）＝﹣sinα，cos（2π﹣α）＝cosα，tan（2π﹣α）＝﹣tanα cot（2π﹣α）＝﹣cotα，sec（2π﹣α）＝secα，csc（2π﹣α）＝﹣cscα sin（π/2+α）＝cosα，cos（π/2+α）＝﹣sinα，tan（π/2+α）＝﹣cotα cot（π/2+α）＝﹣tanα，sec（π/2+α）＝﹣cscα，csc（π/2+α）＝secα sin（π/2﹣α）＝cosα，cos（π/2﹣α）＝sinα，tan（π/2﹣α）＝cotα cot（π/2﹣α）＝tanα，sec（π/2﹣α）＝cscα，csc（π/2﹣α）＝secα sin（3π/2+α）＝﹣cosα，cos（3π/2+α）＝sinα，tan（3π/2+α）＝cotα cot（3π/2+α）＝tanα，sec（3π/2+α）＝cscα，csc（3π/2+α）＝﹣secα sin（3π/2﹣α）＝﹣cosα，cos（3π/2﹣α）＝sinα，tan（3π/2﹣α）＝cotαcot（3π/2﹣α）＝tanα，sec（3π/2﹣α）＝﹣cscα，csc（3π/2﹣α）＝﹣secα两角余差 1/ 3

最常用三角公式(精心简洁整理,可直接打印)

最常用三角公式 1. 诱导公式 sin(-a) = - sin(a) cos(-a) = cos(a) sin(π/2 - a) = cos(a) cos(π/2 - a) = sin(a) sin(π/2 + a) = cos(a) cos(π/2 + a) = - sin(a) sin(π - a) = sin(a) cos(π - a) = - cos(a) sin(π + a) = - sin(a) cos(π + a) = - cos(a) 2. 两角和与差的三角函数 sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(α)sin(b) cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b) sin(a - b) = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b) cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b) tan(a + b) = [tan(a) + tan(b)] / [1 - tan(a)tan(b)] tan(a - b) = [tan(a) - tan(b)] / [1 + tan(a)tan(b)] 3.和差化积公式 sin(a) + sin(b) = 2sin[(a + b)/2]cos[(a - b)/2] sin(a) - sin(b) = 2cos[(a + b)/2]sin[(a - b)/2] cos(a) + cos(b) = 2cos[(a + b)/2]cos[(a - b)/2] cos(a) - cos(b) = - 2sin[(a + b)/2]sin[(a - b)/2]

高中数学人教版必修简单的三角恒等变换教案(系列一)

3.2 简单的三角恒等变换 一．教学目标 1、通过二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式，体会化归、换元、方程、逆向 使用公式等数学思想，提高学生的推理能力。 2、理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形，体会三 角恒等变形在数学中的应用。 3、通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中 如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力． 二、教学重点与难点 教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力． 教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力． 三、教学设想： （一）复习：三角函数的和（差）公式，倍角公式 （二）新课讲授： 1、由二倍角公式引导学生思考：2 αα与有什么样的关系？ 学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台． 例1、试以cos α表示222 sin ,cos ,tan 222α α α． 解：我们可以通过二倍角2cos 2cos 12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题． 因为2cos 12sin 2αα=-，可以得到21cos sin 2 2α α-=；

因为2cos 2cos 12α α=-，可以得到21cos cos 22 α α+=． 又因为222 sin 1cos 2tan 21cos cos 2α α ααα-==+． 思考：代数式变换与三角变换有什么不同？ 代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点． 例2．已知135sin = α，且α在第二象限，求2tan α的值。 例3、求证： （１）、()()1sin cos sin sin 2 αβαβαβ=++-????； （２）、sin sin 2sin cos 22θ? θ? θ?+-+=． 证明：（１）因为()sin αβ+和()sin αβ-是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手． ()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-． 两式相加得()()2sin cos sin sin αβαβαβ=++-； 即()()1sin cos sin sin 2 αβαβαβ=++-????； （２）由（１）得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=①；设,αβθαβ?+=-=， 那么,22θ? θ? αβ+-==． 把,αβ的值代入①式中得sin sin 2sin cos 22θ?θ?θ?+-+=． 思考：在例3证明中用到哪些数学思想？ 例3证明中用到换元思想，（１）式是积化和差的形式，

最全面高中数学三角恒等式变形解题常用方法2021(完整版)

高中数学三角恒等式变形解题常用方法 一.知识分析 1. 三角函数恒等变形公式 （1）两角和与差公式 （2）二倍角公式 （3）三倍角公式 （4）半角公式 （5）万能公式 ，， （6）积化和差 ， ， ，

（7）和差化积 ， ， ，2.网络结构

3. 基础知识疑点辨析 （1）正弦、余弦的和差角公式能否统一成一个三角公式？ 实际上，正弦、余弦的和角公式包括它们的差角公式，因为在和角公式中，是一个任意角，可正可负。另外，公式虽然形式不同，结构不同，但本质相同： 。

（2）怎样正确理解正切的和差角公式？ 正确理解正切的和差角公式需要把握以下三点： ①推导正切和角公式的关键步骤是把公式，右边的“分子”、“分母”都除以，从而“化弦为切”，导出了。 ②公式都适用于为任意角，但运用公式时，必须限定，都不等于。 ③用代替，可把转化为，其限制条件同②。 （3）正弦、余弦、正切的和差角公式有哪些应用？ ①不用计算器或查表，只通过笔算求得某些特殊角（例如15°，75°，105°角等）的三角函数值。 ②能由两个单角的三角函数值，求得它们和差角的三角函数值；能由两个单角的三角函数值与这两个角的范围，求得两角和的大小（注意这两个条件缺一不可）。 ③能运用这些和（差）角公式以及其它有关公式证明三角恒等式或条件等式，化简三角函 数式，要注意公式可以正用，逆用和变用。运用这些公式可求得简单三角函数式的最大值或最 小值。 （4）利用单角的三角函数表示半角的三角函数时应注意什么？ 先用二倍角公式导出，再把两式的左边、右边分别相除，得到，由此得到的三个公式：，， 分别叫做正弦、余弦、正切的半角公式。公式中根号前的符号，由所在的象限来确定，如果没有给出限制符号的条件，根号前面应保持正、负两个符号。另外，容易 证明。 4. 三角函数变换的方法总结 三角学中，有关求值、化简、证明以及解三角方程与解几何问题等，都经常涉及到运用三 角变换的解题方法与技巧，而三角变换主要为三角恒等变换。三角恒等变换在整个初等数学中

人教版高中数学必修四三角恒等变换题库

（数学4必修）第三章 三角恒等变换 [基础训练A 组] 一、选择题 1．已知(,0)2x π∈-，4cos 5x =，则=x 2tan （ ） A ．247 B ．247- C ．724 D ．7 24- 2．函数3sin 4cos 5y x x =++的最小正周期是（ ） A . 5π B .2 π C .π D .2π 3．在△ABC 中，cos cos sin sin A B A B >，则△ABC 为（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．无法判定 4．设00sin14cos14a =+，00sin16cos16b =+，c = ， 则,,a b c 大小关系（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．c b a << D ．a c b << 5．函数)cos[2()]y x x ππ= -+是（ ） A .周期为4π的奇函数 B .周期为4 π的偶函数 C .周期为2π的奇函数 D .周期为2 π的偶函数 6．已知cos 2θ= 44sin cos θθ+的值为（ ） A ．1813 B ．1811 C ．9 7 D ．1- 二、填空题 1．求值：0000 tan 20tan 4020tan 40+=_____________。 2．若1tan 2008,1tan αα+=-则1tan 2cos 2αα += 。 3．函数f x x x x ()cos sin cos =-223的最小正周期是___________。

4．已知sin cos 223 θ θ +=那么sin θ的值为 ,cos2θ的值为 。 5．ABC ?的三个内角为A 、B 、C ，当A 为 时，cos 2cos 2 B C A ++取得最大值，且这个最大值为 。 三、解答题 1．已知sin sin sin 0,cos cos cos 0,αβγαβγ++=++=求cos()βγ-的值. 2．若,2 2sin sin = +βα求βαcos cos +的取值范围。 3．求值：0 010001cos 20sin10(tan 5tan 5)2sin 20 -+-- 4．已知函数.,2 cos 32sin R x x x y ∈+= （1）求y 取最大值时相应的x 的集合； （2）该函数的图象经过怎样的平移和伸变换可以得到)(sin R x x y ∈=的图象. （数学4必修）第三章 三角恒等变换 [综合训练B 组] 一、选择题 1．设2132tan131cos50cos6sin 6,,,221tan 13a b c -=-==+则有（ ） A .a b c >> B .a b c << C .a c b << D .b c a <<

三角恒等变换公式

三角恒等变换公式 1.两角和与差的三角函数 和（差）角公式： sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β cos(α±β)=cos αcos β sin αsin β tan(α±β)= β αβαtan tan 1tan tan ± 倍角公式： sin 2α =2sin αcos α cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1 - sin 2α tan2α=αα2tan 1tan 2- 2.和差化积与积化和差公式 积化和差公式： 2sin αcos β=sin(α+β)+sin(α-β) 2cos αsin β= sin(α+β)-sin(α-β) 2cos αcos β= cos(α+β)+cos(α-β) -2sin αsin β=cos(α+β)-cos(α-β) 和差化积公式： sin α+ sin β=2sin 2βα+cos 2 β α- sin α- sin β=2cos 2βα+sin 2 βα- cos α+ cos β=2cos 2βα+cos 2 βα- cos α- cos β=-2sin 2βα+sin 2βα- 3.万能公式与半角公式 万能公式：

sin α=2tan 12tan 22 αα+ cos α=2tan 12tan 12 2 αα+- tan α=2tan 12tan 22 αα- 半角公式： sin 2 cos 12αα -±= cos 2 cos 12αα+±= tan ααα cos 1cos 12+-± ==ααsin cos 1-=ααcos 1sin + 其他： cos 2 2cos 12αα+= sin 22cos 12αα-= 1+cos2α=2cos α2 1-cos2α=2sin α2

3-2-2 三角恒等式的应用

能 力 提 升 一、选择题 1．函数y ＝sin x 1＋cos x 的周期等于( ) A.π2 B ．π C ．2π D ．3π [答案] C [解析] y ＝2sin x 2cos x 2 2cos 2x 2＝tan x 2，T ＝π 1 2＝2π. 2．函数y ＝1 2sin2x ＋sin 2x 的值域是( ) A.??????－12，32 B.???? ??－32，12 C.??????－22＋12，22＋12 D.? ????? －22－12，22－12 [答案] C [解析] ∵y ＝12sin2x ＋sin 2x ＝12sin2x ＋1－cos2x 2＝12＋22sin ? ? ? ??2x －π4， ∴值域为??????12 －22，12＋22. 3．已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图象的一条对称轴是x ＝5π 3，则

函数g (x )＝a sin x ＋cos x 的最大值是( ) A.223 B.23 3 C.43 D.263 [答案] B [解析] 由于函数f (x )的图象关于x ＝5π 3对称， 则f (0)＝f ? ?? ??10π3，∴a ＝－32－a 2， ∴a ＝－3 3， ∴g (x )＝－3 3sin x ＋cos x ＝233sin ? ????x ＋2π3， ∴g (x )max ＝23 3. 4．函数y ＝cos 2ωx －sin 2ωx (ω>0)的最小正周期是π，则函数f (x )＝2sin(ωx ＋π 4)的一个单调递增区间是( ) A ．[－π2，π 2] B ．[5π4，9π4] C ．[－π4，3π4] D ．[π4，5π4] [答案] B [解析] y ＝cos 2ωx －sin 2ωx ＝cos2ωx (ω>0)， 因为函数的最小正周期为π，故 2π 2ω＝π，所以ω＝1.则

新编人教A版高中数学必修4第三章三角恒等变换导学案

第三章 三角恒等变换 1.三角恒等变换中角的变换的技巧 三角函数是以角为自变量的函数，因此三角恒等变换离不开角之间的变换.观察条件及目标式中角度间联系，立足消除角之间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地沟通条件与结论使之统一，或有利于公式的运用，化角是三角恒等变换的一种常用技巧. 一、利用条件中的角表示目标中的角 例1.已知cos ? ????π6＋α＝33，求cos ? ??? ?5π6－α的值. 分析.将π6＋α看作一个整体，观察π6＋α与5π 6 －α的关系. 解.∵? ????π6＋α＋? ?? ? ?5π6－α＝π， ∴ 5π6－α＝π－? ?? ??π6 ＋α. ∴cos ? ????5π6－α＝cos ???? ? ?π－? ????π6＋α ＝－cos ? ????π6＋α＝－33，即cos ? ?? ??5π 6－α ＝－33. 二、利用目标中的角表示条件中的角 例 2.设 α 为第四象限角，若sin 3α sin α ＝13 5 ，则tan 2α＝ _______________________________. 分析.要求tan 2α的值，注意到sin 3α＝sin(2α＋α)＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α，代入到sin 3αsin α＝13 5中，首先求出cos 2α的值后，再由同角三角函数之间的关系求出tan 2α. 解析.由sin 3αsin α＝sin (2α＋α)sin α＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α sin α ＝2cos 2 α＋cos 2α＝135 . ∵2cos 2 α＋cos 2α＝1＋2cos 2α＝135.∴cos 2α＝45. ∵α为第四象限角，∴2k π＋3π 2<α<2k π＋2π(k ∈Z )， ∴4k π＋3π<2α<4k π＋4π(k ∈Z )，

高中数学必修4 三角恒等变换

高中数学必修4 三角恒等变换1 1．已知(,0)2 x π ∈-，4 cos 5 x = ，则=x 2tan （ ） A ． 247 B ．247- C ．7 24 D ．724- 2．函数3sin 4cos 5y x x =++的最小正周期是（ ） A . 5π B .2 π C .π D .2π 3．在△ABC 中，cos cos sin sin A B A B >，则△ABC 为（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．无法判定 4．函数)cos[2()]y x x ππ= -+是（ ） A .周期为 4π的奇函数 B.周期为4π 的偶函数 C .周期为2π的奇函数 D .周期 为2 π 的偶函数 5．已知cos 23 θ= ，则44 sin cos θθ+的值为（ ） A ． 1813 B ．1811 C ．9 7 D ．1- 6. 函数2 sin cos y x x x =+的图象的一个对称中心是（ ） A .2( ,32π- B .5(,62π- C .2(,32π- D .(,3 π 7. 当04 x π <<时,函数22cos ()cos sin sin x f x x x x =-的最小值是（ ） A ．4 B ． 12 C ．2 D ．14 8. 已知函数()sin(2)f x x ?=+的图象关于直线8 x π= 对称，则?可能是（ ） A . 2π B .4π- C .4 π D .34π 9. 将函数sin()3y x π =-的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将 所得的图象向左平移3 π 个单位，得到的图象对应的僻析式是（ ） A ．1sin 2y x = B ．1sin()22y x π=- C .1sin()26y x π=- D .sin(2)6 y x π =-

第10讲 三角恒等式一(数学竞赛)

第10讲 三角恒等式与三角不等式（一） 【赛点突破】 1． 诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。 2． 同角函数基本关系：平方关系，倒数关系，商关系。 3． 三角公式：和差倍半，和差化积，积化和差。 【范例解密】 例1若x 是锐角，证明：（1）sin tan x x x <<；（2） sin tan 2 x x x +>。 分析与解：（1）如图，在单位圆中， OAB OAB OBC S S S ??<<扇形，即sin tan x x x <<； （2）224tan tan 2tan sin tan 22 221tan 1tan 1tan 222 x x x x x x x x +=+= +-- 2tan 222 x x x >>?=。 注：（2）的变形值得回味。 例2 2tan x =-，求x 的取值范围。 解：原式左边= 1sin 1sin 2sin cos cos cos x x x x x x -+--=，故cos 0x >或者sin 0x =，则 22,22 k x k k Z π π ππ- <<+ ∈或者,x k k Z π=∈。 注：本题非常容易漏解，考查思维的严谨性。 例3 求15 ()()44f x x = ≤≤的最小值。 分析与解：sin()2 ()x f x π π-+=54x =取得最大值，分子当54x =取得最小值，故5 4 x = 原式取得最小值。 注：解决问题的思维值得借鉴。 例4求 1 tan10cos50 +的值。

分析与解： 1cos802cos 40cos80cos402cos60cos 20 sin40sin80sin80sin80 ++ += = 2cos30cos10 3 sin80 ==。 注；tan10cot80 =是一个很好的变形，另外2cos40 cos802cos(12080) + =- cos802sin120sin80 +=是一个更启发思路的方法。 例5()sin2)sin()23,[0,] 42 f x x x a x ππ =-+++∈，若 () cos() 4 f x x π > - 恒成立，求a的取值范围。 分析与解：设sin cos x x t +=∈，则2 sin21 x t=-，原不等式化为 2 4 (2)22 t a t a t -+++>，即 2 (2)()0 t t a t -+-<，故 2 a t t >+恒成立，则3 a>。注：其中的三角换元是常用的重要方法，高次方程的分解因式是稍高的技巧。例6ABC ?中，求cos cos cos A B C ++的最大值。 分析与解：原式2 2cos cos cos2sin12sin 2222 A B A B C C C +- =+≤+-= 2 13 2(sin) 222 C --+，故当 3 A B C π ===时原式的最大值是 3 2 。 注（1）如果求cos cos cos A B C ++的值域呢？ （2）3 cos cos cos cos2cos2cos 322 C A B A B C π π+ + +++≤+≤ 3 3 4cos 42 A B C π +++ =是很好的方法，由此如何解决sin sin sin A B C ++的最值问题，并和其他的方法比较。 例7,a b是正实数，且 sin cos8 55tan 15 cos sin 55 a b a b ππ π ππ + = - ，求 b a 的值。 分析与解：设tan, b x x a =是锐角，则 tan tan8 5tan 15 1tan tan 5 x x π π π + = - ，即 8 tan()tan 515 x ππ +=， 故 8 , 5153 x x πππ +==， b a = 注：本解法比较灵巧，还有多种基本的方法，请自己探索。

高中数学三角恒等变换精选题目(附答案)

高中数学三角恒等变换精选题目（附答案） 1、cos 24cos36cos66cos54? ? ? ? -的值为（ ） A 0 B 12 C 2 D 1 2 - 2.3cos 5α=- ，,2παπ?? ∈ ??? ，12sin 13β=-，β是第三象限角，则=-)cos(αβ（ ） A 、3365- B 、6365 C 、5665 D 、1665 - 3. tan 20tan 4020tan 40? ? ? ? ++的值为（ ） A 1 B 3 C D 4. 已知()()tan 3,tan 5αβαβ+=-=，则()tan 2α的值为（ ） A 47- B 47 C 18 D 18- 5.βα,都是锐角，且5sin 13α=，()4 cos 5 αβ+=-，则βsin 的值是（ ） A 、3365 B 、1665 C 、5665 D 、6365 6.,)4,43(ππ- ∈x 且3cos 45x π?? -=- ??? 则cos2x 的值是（ ） A 、725- B 、2425- C 、2425 D 、7 25 7. 函数4 4 sin cos y x x =+的值域是（ ） A []0,1 B []1,1- C 13,22?????? D 1,12?? ???? 8. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于 5 4 ,则这个三角形底角的正弦值为（ ） A 1010 B 1010- C 10103 D 10 103- 9.要得到函数2sin 2y x =的图像，只需将x x y 2cos 2sin 3-= 的图像（ ）

A 、向右平移6π个单位 B 、向右平移12π个单位 C 、向左平移6π个单位 D 、向左平移12π个单位 10. 函数sin 22x x y =+的图像的一条对称轴方程是 （ ） A 、x =113π B 、x = 53π C 、53x π=- D 、3 x π =- 11. 已知1cos sin 21cos sin x x x x -+=-++，则x tan 的值为 （ ） A 、34 B 、34- C 、43 D 、4 3- 12.若0,4πα? ? ∈ ?? ?()0,βπ∈且()1tan 2αβ-=,1 tan 7 β=-,则=-βα2 （ ） A 、56π- B 、23π- C 、 712 π- D 、34π- 13. .在ABC ?中，已知tanA ,tanB 是方程2 3720x x -+=的两个实根，则tan C = 14. 已知tan 2x =，则 3sin 22cos 2cos 23sin 2x x x x +-的值为 15. 已知直线12//l l ，A 是12,l l 之间的一定点，并且A 点到12,l l 的距离分别为12,h h ，B 是直线2l 上一动点，作AC ⊥AB ，且使AC 与直线1l 交于点C ，则ABC ?面积的最小值为 。 16. 关于函数( )cos2cos f x x x x =-，下列命题： ①若存在1x ，2x 有12x x π-=时，()()12f x f x =成立；②()f x 在区间,63ππ?? - ???? 上是单调递增； ③函数()f x 的图像关于点,012π?? ??? 成中心对称图像； ④将函数()f x 的图像向左平移 512 π 个单位后将与2sin 2y x =的图像重合． 其中正确的命题序号 （注：把你认为正确的序号都填上） 17. 已知02 π α<< ，15tan 2 2tan 2 α α + = ，试求sin 3πα? ?- ?? ?的值． 18. 求) 212cos 4(12sin 3 12tan 30 200--的值．

三角恒等变换 - 最全的总结· 学生版

三角恒等变换---完整版 三角函数------三角恒等变换公式： 考点分析：（1）基本识别公式，能结合诱导公式中两个常用的小结论快速进行逻辑判断。“互补两角正弦相等，余弦互为相反数。互余两角的正余弦相等。”（2）二倍角公式的灵活应用，特别是降幂、和升幂公式的应用。（3）结合同角三角函数，化为二次函数求最值 （4）角的整体代换 （5）弦切互化 （6）知一求二 （7）辅助角公式逆向应用 两角和与差的三角函数关系 sin(α±β)=sin α·cos β±cos α·sin β cos(α±β)=cos α·cos β sin α·sin β βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(?±=± 倍角公式 sin2α=2sin α·cos α cos2α=cos 2α-sin 2α =2cos 2α-1=1-2sin 2α α α α2tan 1tan 22tan -= 半角公式 2 cos 12 sin αα -± =，2 cos 12 cos αα +± = α αα cos 1cos 12tan +-± ==αααα cos 1sin sin cos 1+=- 升幂公式 1+cos α=2 cos 22 α 1-cos α=2 sin 22 α 1±sin α=(2 cos 2 sin α α ±)2 1=sin 2α+ cos 2α sin α=2 cos 2 sin 2α α 降幂公式 sin 2α22cos 1α-= cos 2α22cos 1α+= sin 2α+ cos 2 α=1 sin α·cos α=α2sin 2 1 平方关系 sin 2α+ cos 2α=1， 商数关系 α α cos sin =tan α

高一数学必修一三角恒等变换公式

三角恒等变换公式 教学目标： 1、掌握二倍角公式、和差公式的应用； 2、掌握拼凑法在求解角度三角函数值的应用。 重难点分析： 重点：1、和差公式、二倍角公式的记忆； 2、公式变换与求解三角函数值。 难点：1、二倍角公式的灵活使用； 2、整体代换思想与求解三角函数值。 知识点梳理 1、和差公式 sin()__________________±=αβcos()________________±=αβtan()___________ ±=αβ。 2、二倍角公式 sin 2_______________α=； cos 2___________________________________α===； tan 2____________α=。 3、半角公式[升（降）幂公式] 2sin ____________α=、2cos _________α=、sin cos _________αα=。 4、合一公式[辅助角公式] sin cos ____________a b αα+=（?由,a b 具体的值确定）； )sin(cos sin 22?ααα++= +b a b a )sin ,(cos 2 2 2 2 b a a b a b += += ?? 注意：公式中的α是角度代表，可以是α2、2 α 等。

知识点1：利用公式求值 （1）和差公式 【例1】cos79°cos34°＋sin79°sin34°＝【 】 A ．2 1 B ．1 C ． 2 2 D ． 2 3 【例2】sin 27cos63cos27sin63??+??=【 】 A ．1 B ．1- C ． 22 D ．2 2- 【随堂练习】 1、sin15°cos75°＋cos15°sin75°等于【 】 A ．0 B ． 2 1 C ． 2 3 D ．1 2、cos12°cos18°－sin12°sin18°＝【 】 (A )2 1- (B )2 3- (C )2 1- (D ) 2 3 3、sin70°sin25°＋cos70°cos25°=________。 4、sin34sin 26cos34cos26??-??=【 】 A ．12 B ．1 2 - C ．32 D ．32- 5、式子cos cos sin sin 12 6 12 6 π π π π -的值为【 】

高三数学9种常用三角恒等变换技巧总结

高中数学：9种常用三角恒等变换技巧总结 三角恒等变换不但在三角函数式的化简、求值和证明三角恒等式中经常用到，而且．由于通过三角换元可将某些代数问题化归为三角问题；立体几何中的诸多位置关系以其交角来刻画，最后又以三角问题反映出来；由于参数方程的建立，又可将解析几何中的曲线问题归结为三角问题．因此，三角恒等变换在整个高中数学中涉及面广．是常见的解题“工具”．而且由于三角公式众多．方法灵活多变，若能熟练地掌握三角恒等变换，不但能增强对三角公式的记忆，加深对诸多公式内在联系的理解，而且对发展学生的逻辑思维能力，提高数学知识的综合运用能力都大有裨益。 “切割化弦”就是把三角函数中的正切、余切、正割、余割都化为正弦和余弦，以有利于问题的解决或发现解题途径．其实质是”‘归一”思想． 在三角恒等变换中经常需要转化角的关系，在解题过程中必须认真观察和分析结论中是哪个角，条件中有没有这些角，哪些角发生了变化等等．因此角的拆变技巧，倍角与半角相对性等都十分重要，应用也相当广泛且非常灵活．常见的拆变方法有：α可变为（α+β）-β；2α可变为（α+β）+（α-β）；2α-β可变为（α-β）+α；α可视为α/2的倍角等等．

遇平方可用“降次”公式，这是常用的解题策略．本题中首先化异角为同角，消除角的差异，然后化简求值．关于积化和差、和差化积公式，教材中是以习题形式给出的，望引起重视． 跟代数恒等变换一样．在三角变换时，有时适当地应用”‘加一项再减去这一项”. “乘一项再除以同一项”的方法常能使某些问题巧妙简捷地得以解决．

根据题目的特点，总体设元，然后构造与其相应的对偶式，运用方程的思想来解决三角恒等 变换，也是常用的方法，本题也可以采用降次、和积互化等方法。．目前高考中，纯三角函数式的化简与证明已不多见，取而代之的题目经常是化简某一三角函数，并综合考查这一函数的其他性质．但。凡是与三角函数有关的问题，都以恒等变形、条件变形为解题的基石，因此本专题内容的重要性不言而喻．至于在三角条件恒等证明中如何用三内角和的性质、正余弦定理进行边角关系转换等，我们就不另加赘述了．

高中数学必修四三角恒等式教案

三角恒等式 1.能运用所学知识，推导积化和差与和差化积公式、万能公式.(重点) 2.能利用所学公式进行三角恒等变换.(重点、难点) [基础·初探] 教材整理1降幂公式 阅读教材P121例3，完成下列问题. sin2α＝1－cos 2α 2， cos2α＝1＋cos 2α 2， tan2α＝1－cos 2α1＋cos 2α . 1.若cos α＝－3 5，且π＜α＜ 3π 2，则cos α 2＝________. 【解析】∵π＜α＜3π 2，∴ π 2＜ α 2＜ 3π 4， ∴cos α 2＝－ 1＋cos α 2＝－ 5 5. 【答案】－ 5 5 2.若tan α 2＝3，则cos α＝________. 【解析】∵tan2α 2＝ 1－cos α 1＋cos α ＝9， ∴cos α＝－4 5.

【答案】－4 5 教材整理2积化和差与和差化积公式 阅读教材P126链接以上内容，完成下列问题. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)sin(A＋B)＋sin(A－B)＝2sin A cos B.() (2)cos(A＋B)－cos(A－B)＝2sin A cos B.() (3)cos(α＋β)cos(α－β)＝cos2α－cos2β.() 【解析】(1)正确. (2)cos(A＋B)－cos(A－B)＝－2sin A sin B，故错. (3)cos(α＋β)cos(α－β)＝1 2(cos 2α＋cos 2β)，故错. 【答案】(1)√(2)×(3)× 教材整理3万能公式 阅读教材P126～P127的“链接”内容，完成下列问题. 设tan α 2＝t，则sin α＝ 2t 1＋t ，cos α＝ 1－t2 1＋t ，tan α＝ 2t 1－t . 1.若tan α＝3，则sin 2α＝________，cos 2α＝________. 【解析】∵tan α＝3，∴sin 2α＝ 2tan α 1＋tan2α ＝ 3 5，cos 2α＝ 1－tan2α 1＋tan2α ＝－ 4 5. 【答案】3 5－ 4 5

高中奥林匹克数学竞赛讲座三角恒等式和三角不等式

高中奥林匹克数学竞赛讲座 三角恒等式和三角不等式 知识、方法、技能 三角恒等变形，既要遵循代数式恒等变形的一般法则，又有三角所特有的规律. 三角恒等式包括绝对恒等式和条件恒等式两类。证明三角恒等式时，首先要观察已知与求证或所证恒等式等号两边三角式的繁简程度，以决定恒等变形的方向；其次要观察已知与求证或所证恒等式等号两边三角式的角、函数名称、次数以及结构的差别与联系，抓住其主要差异，选择恰当的公式对其进行恒等变形，从而逐步消除差异，统一形式，完成证明.“和差化积”、“积化和差”、“切割化弦”、“降次”等是我们常用的变形技巧。当然有时也可以利用万能公式“弦化切割”，将题目转化为一个关于2 tan x t =的代数恒等式的证明问题. 要快捷地完成三角恒等式的证明，必须选择恰当的三角公式. 为此，同学们要熟练掌握 上图为三角公式脉络图，由图可见两角和差的三角函数的公式是所有三角公式的核心和基础. 此外，三角是代数与几何联系的“桥梁”，与复数也有紧密的联系，因而许多三角问题往往可以从几何或复数角度获得巧妙的解法. 三角不等式首先是不等式，因此，要掌握证明不等式的常用方法：配方法、比较法、放缩法、基本不等式法、数学归纳法等. 其次，三角不等式又有自己的特点——含有三角式，因而三角函数的单调性、有界性以及图象特征等都是处理三角不等式的锐利武器. 三角形中有关问题也是数学竞赛和高考的常见题型. 解决这类问题，要充分利用好三角

形内角和等于180°这一结论及其变形形式. 如果问题中同时涉及边和角，则应尽量利用正弦定理、余弦定理、面积公式等进行转化，实现边角统一. 求三角形面积的海伦公式 )](2 1 [))()((c b a p c p b p a p p S ++= ---=其中，大家往往不甚熟悉，但十分有用. 赛题精讲 例1：已知.cos sin )tan(:,1||),sin(sin A A A -= +>+=ββ βαβαα求证 【思路分析】条件涉及到角α、βα+，而结论涉及到角βα+，β.故可利用 αβαβββαα-+=-+=)()(或消除条件与结论间角的差异，当然亦可从式中的“A ” 入手. 【证法1】 ),sin(sin βαα+=A ),sin()sin(βαββα+=-+∴A ), cos(sin ))(cos sin(), sin(sin )cos(cos )sin(βαβββαβαββαββα+=-++=+-+A A . cos sin )tan(, 0)cos(, 0cos ,1||A A A -= +≠+≠-∴>ββ βαβαβ从而 【证法2】 αβαβββαβααββββ sin )sin(cos sin )sin() sin(sin cos sin sin sin -++= +- = -A ). tan(sin )cos(sin )sin(])sin[()sin(cos sin )sin(βαββαβ βαββαβαββ βα+=++=-+-++= 例2：证明：.cos 64cos 353215cos 77cos 7x x x ocs x x =+++ 【思路分析】等号左边涉及角7x 、5x 、3x 、x 右边仅涉及角x ，可将左边各项逐步转化为x sin 、 x cos 的表达式，但相对较繁. 观察到右边的次数较高，可尝试降次. 【证明】因为,cos 33cos cos 4,cos 3cos 43cos 3 3 x x x x x x +=-=所以 从而有x x x x x 226cos 9cos 3cos 63cos cos 16++= = )2cos 1(2 9 )2cos 4(cos 326cos 1x x x x +++++