关于高阶导数求法的探讨

利用导数求函数值域

利用导数求函数最值 高二苏庭 导数是对函数的图像与性质的总结与拓展，导数是研究函数单调性极佳、最佳的重要工具，在掌握求函数的极值和最值的基础上学习用导数解决生产生活中的有关最大最小最有效等类似的应用问题广泛运用在讨论函数图像的变化趋势及证明不等式等方面。 导数是初等数学与高等数学的重要衔接点，是高考的热点，高考对导数的考查定位于作为解决初等数学问题的工具出现，高考对这部分内容的考查将仍会以导数的应用题为主，如利用导数处理函数的极值、最值和单调性问题和曲线的问题等，考题不难，侧重知识之意。 导数应用主要有以下三个方面： ①运用导数的有关知识研究函数的单调性和最值问题， ②利用导数的几何意义，研究曲线的切线斜率。函数y=f(x)在x=x0处的导数，表示曲线在点P（x0 , y0）处的切线斜率。 由导数来求最值问题的方法可知，解这类实际问题需先建立函数关系，再求极值点，确定最值点及最值．在设变量时可采用直接法也可采用间接法．

求函数极值时，导数值为0的点是该点为极值点的必要条件，但不是充分条件。 运用导数确定函数单调区间的一般步骤为： （1）求出函数y=f(x)的导函数； （2）在函数定义域内解不等式得函数y=f(x)的单调增区间；解不等式得函数y=f(x)的单调减区间。 例题剖析 例1、求函数的值域. 分析： 求函数的值域以前学过一些方法，也可利用求导的方法，根据函数的单调性求解. 解答： 函数的定义域由求得，即x≥－2.

当x>－2时，y′>0，即函数，在（－2，＋∞）上是增函数，又f(－2)=－1，∴所求函数的值域为[－1，＋∞）. 点评： （1）从本题的解答过程可以看到，当单调区间与函数的值域相同时，才可使用此法，否则会产生错误. （2）求值域时，当x=－2，函数不可导，但函数 在[－2，＋∞）上是连续的，函数图象是连续变化的，因此在x=－2时，取得最小值. 例2、把长度为16cm的线段分成两段，各围成一个正方形，它们的面积之和的最小值为多少？ 分析：建立面积和与一正方形的周长的函数关系，再求最小值． 解答：设一段长为xcm，则另一段长(16－x)cm． ∴面积和 ∴S′＝－2，令S′＝0有x＝8． 列表：

2-10高阶导数的概念及常见高阶导数公式

2-10高阶导数的概念及常见高阶导数公式

模块基本信息 一级模块名称 微分学 二级模块名称 基础模块 三级模块名称 高阶导数的概念及常见高阶导数 公式 模块编号 2-10 先行知识 导数的概念 模块编号 2-2 知识内容 教学要求 掌握程度 1、高阶导数的概念 1、理解高阶导的概念 一般掌握 2、常见初等函数的高阶导数 2、熟记常见初等函数的高阶导 3、莱布尼兹公式 3、掌握隐函数高阶导的求解（一般 是二阶） 4、隐函数的高阶导数 4、掌握参数方程高阶导的求解（一 般是二阶） 5、参数方程的高阶导数 5、熟记正弦、余弦等常见函数的n 阶导数公式 能力目标 1、提高学生的观察分析能力 2、培养学生的逻辑思维、类比推导能力 时间分配 45分钟 编撰 黄小枚 校对 方玲玲 审核 危子青 修订 肖莉娜 二审 危子青 一、正文编写思路及特点： 思路：本文先借助速度和加速度的概念引出高阶导数的定义，

然后分别介绍常见的初等函数的高阶导数、莱布尼兹公式、隐函数的高阶导数、参数方程的高阶导数。 特点：通过实际问题引出高阶导数的概念，在求解高阶导数时分类进行讲解，层层递进，有助于学生理解和掌握。 二、授课部分 1.引例 （1） 变速直线运动的速度)(t v 是位置函数)(t s 对时间t 的导数，即 )()('t s t v = 或dt ds t v = )( （2） 速度函数)(t v 对时间t 的变化率就是加速度)(t a ，即)(t a 是)(t v 对t 的导数： []' ')(')()(t s t v t a ==或)()(dt ds dt d t a = （3）加速度)(t a 就是位置函数)(t s 对时间t 的导数的导数，称 为)(t s 对t 的二阶导数，记为)(' 't s 或22dt s d 2．高阶导数的定义 设y=f(x)在某区间上可导，即有 ()x f ' 存在，如果()x f '也可导，则称()x f ' 的导数为函数 f(x) 的二阶导数。记 y '', 或 )(x f '', 22dx y d , dx x f d ) (2 根据导数的定义可知：''0()() ()lim x f x x f x f x x →+-''=V V V 类似地, 二阶导数的导数, 叫做三阶导数, 三阶导数的导数叫做四阶导数, 一般地, (n -1)阶导数的导数叫做n 阶导数, 分别记作 y ''', y (4), ? ? ? , y (n ) 或33dx y d , 44dx y d , ? ? ? , n n dx y d .

(完整版)导数与函数的极值、最值问题(解析版)

【高考地位】 导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试题难度考查较大. 【方法点评】 类型一 利用导数研究函数的极值 使用情景：一般函数类型 解题模板：第一步 计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ； 第二步 求方程'()0f x =的根； 第三步 判断'()f x 在方程的根的左、右两侧值的符号； 第四步 利用结论写出极值. 例1 已知函数x x x f ln 1 )(+= ，求函数()f x 的极值. 【答案】极小值为1，无极大值. 【点评】求函数的极值的一般步骤如下：首先令'()0f x =，可解出其极值点，然后根据导函数大于0、小于0即可判断函数()f x 的增减性，进而求出函数()f x 的极大值和极小值． 【变式演练1】已知函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，则(2)f 等于（ ） A ．11或18 B ．11 C ．18 D ．17或18 【答案】C 【解析】

试题分析：b ax x x f ++='23)(2,???=+++=++∴1010232 a b a b a ???-==????=----=?114012232b a a a a b 或???=-=33 b a ．当???=-=3 3 b a 时,∴≥-=',0)1(3)(2x x f 在1=x 处不存在极值． 当???-==11 4b a 时， )1)(113(1183)(2-+=-+='x x x x x f ，0)(),1,3 11 (<'- ∈∴x f x ；0)(),,1(>'+∞∈x f x ,符合题意． 所以???-==114b a ．181622168)2(=+-+=∴f ．故选C ． 考点：函数的单调性与极值． 【变式演练2】设函数()21 ln 2 f x x ax bx =--，若1x =是()f x 的极大值点，则a 的取值范围为 （ ） A ．()1,0- B ．()1,-+∞ C ．()0,+∞ D ．()(),10,-∞-+∞U 【答案】B 【解析】 考点：函数的极值． 【变式演练3】函数x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-=在)4,0(上无极值，则=m _____. 【答案】3 【解析】 试题分析：因为x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-= ， 所以()()2'()(1)2(1)21f x x m x m x x m =-++-=--+，由()'0f x =得2x =或1x m =-，又因为

用导数法求函数的最值的练习题解析

用导数法求函数的最值的练习题解析 一、选择题 1．函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的最大值是M ，最小值是m ，若M ＝m ，则f ′(x )( ) A ．等于0 B ．大于0 C ．小于0 D ．以上都有可能 [答案] A [解析] ∵M ＝m ，∴y ＝f (x )是常数函数 ∴f ′(x )＝0，故应选A. 2．设f (x )＝14x 4＋13x 3＋1 2x 2在[－1,1]上的最小值为( ) A ．0 B ．－2 C ．－1 D.1312 [答案] A [解析] y ′＝x 3＋x 2＋x ＝x (x 2＋x ＋1) 令y ′＝0，解得x ＝0. ∴f (－1)＝512，f (0)＝0，f (1)＝13 12 ∴f (x )在[－1,1]上最小值为0.故应选A. 3．函数y ＝x 3＋x 2－x ＋1在区间[－2,1]上的最小值为( ) A.22 27 B ．2 C ．－1 D ．－4 [答案] C [解析] y ′＝3x 2＋2x －1＝(3x －1)(x ＋1) 令y ′＝0解得x ＝1 3或x ＝－1

当x ＝－2时，y ＝－1；当x ＝－1时，y ＝2； 当x ＝13时，y ＝22 27；当x ＝1时，y ＝2. 所以函数的最小值为－1，故应选C. 4．函数f (x )＝x 2－x ＋1在区间[－3,0]上的最值为( ) A ．最大值为13，最小值为3 4 B ．最大值为1，最小值为4 C ．最大值为13，最小值为1 D ．最大值为－1，最小值为－7 [答案] A [解析] ∵y ＝x 2－x ＋1，∴y ′＝2x －1， 令y ′＝0，∴x ＝1 2，f (－3)＝13，f ? ?? ??12＝34，f (0)＝1. 5．函数y ＝x ＋1－x 在(0,1)上的最大值为( ) A. 2 B ．1 C ．0 D ．不存在 [答案] A [解析] y ′＝1 2x －121－x ＝12·1－x －x x ·1－x 由y ′＝0得x ＝1 2，在? ????0，12上y ′>0，在? ????12，1上 y ′<0.∴x ＝1 2时y 极大＝2， 又x ∈(0,1)，∴y max ＝ 2. 6．函数f (x )＝x 4－4x (|x |<1)( ) A ．有最大值，无最小值 B ．有最大值，也有最小值

第三讲 柯西积分公式与解析函数的高阶导数

工程数学II 课程教案 授课时间：第 周 周 第 节 课时安排 课次__ 授课方式（请打√）：理论课□ 讨论课□ 实验课□ 习题课□ 综合课□ 其他□ 授课题目（教学章、节或主题）： §3.5 柯西积分公式；§3.6 解析函数的高阶导数． 教学目的、要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）： 1．熟练掌握柯西积分公式； 2．熟练掌握高阶导数公式． 教学重点及难点： 重点： 柯西积分公式；高阶导数公式． 难点： 柯西积分公式． 教学基本内容（要体现出教学方法及手段）： §3.5 柯西积分公式 一、问题的提出 0 , .B z B 设为一单连通域为中一点 () , f z B 如果在内解析那末 ()f z z z -在 0.z 不解析0 () d ,C f z z z z -? 所以一般不为零0.C B z 为内围绕的闭曲线根据闭 路变形原理知, 该积分值不随闭曲线 C 的变化而改变, 求这个值. C 积分曲线取作以 00 , ,z z z δδ-=为中心半径为很小的的正向圆周 () ,f z 由的连续性 C 在上 0 () , f z z δ函数的值将随着的缩小而逐渐接近于它在圆心处的值0 ()d C f z z z z -? 00 () d .()C f z z z z δ-? 将接近于缩小， 00 ()d C f z z z z -? 000 1()d 2().C f z z if z z z π==-? 二、柯西积分公式 定理 () , f z D C D 如果函数 在区域内处处解析为内的任何一条正向简单闭 0, , , D z C 曲线它的内部完全含于为内任一点那末

高阶导数和高阶微分 泰勒公式

§2-9 高阶导数和高阶微分·泰勒公式 1.高阶导数和高阶微分 在§2-3中，我们讲了函数的二阶导数和二阶微分。一般地，函数 )(x y y =的n 阶导数就是 h x y h x y x y x y n n h n n ) ()(lim ])([)()1()1(0) 1() (--→--+='= (0)()()y x y x =???? 而n 阶微分就是 n n n n n n n n x x y x x x y x x y y y d )(d ]d )([]d )(d[]d[d d )(1)(1)1(1-====--- (x 是自变量；x d 被看成与x 无关的有限量) 因此，按照莱布尼茨的记法，函数)(x y y =的n 阶导数)()(x y n 也可记成 n n x x y d )(d 或简记成 n n x y d d (注意．．n 的位置．．．) 这样，导数与微分之间的那种“乘或除”的转换关系被保留到n 阶导数与n 阶微分的关系中. 例33 因为指数函数e x 的导数(e )e x x '=，所以(e )(e )e x x x '''==. 依次类推，则有 ()()(e )e ,d (e )(e )d e d (1,2,)x n x n x x n n x n x x n ==== 例34 对于函数x y sin =，则 cos sin , sin sin 2,22 2y x x y x x '??πππ?? ???? '''==+=+=?+ ? ? ????? ?????? 一般地， ()sin 2n n y x π??=+ ???； ()d d sin d 2n n n n n y y x x x π??==+ ??? ),2,1( =n . 同理，对于函数cos y x =，有 ()cos 2n n y x π??=+ ???； ()d d cos d 2n n n n n y y x x x π?? ==+ ??? ),2,1( =n . 例35 对于函数ln(1)y x =+，则 2 23 112,,(1),1(1)(1)y y y x x x ''''''= =-=-+++ 一般地， （n 阶导数）() 1 (1)! (1)(1,2,)(1)n n n n y n x --=-=+ （n 阶微分）()1(1)!d d (1)d (1,2,)(1) n n n n n n n y y x x n x --==-=+ 例36 设函数1()e (0),(0)0x f x x f - =≠=.证明：),2,1(0)0()( ==n f n . 证 一方面，函数)(x f 在点0是连续的，因为

导数及极值、最值练习题

. .. . 三、知识新授 （一）函数极值的概念 （二）函数极值的求法：（1）考虑函数的定义域并求f'(x); （2）解方程f'(x)=0，得方程的根x 0(可能不止一个） （3）如果在x 0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么f(x 0)是 极大值；反之， 那么f(x 0）是极大值 题型一 图像问题 1、函数()f x 的导函数图象如下图所示，则函数()f x 在图示区间上 （ ） （第二题图） A ．无极大值点，有四个极小值点 B ．有三个极大值点，两个极小值点 C ．有两个极大值点，两个极小值点 D ．有四个极大值点，无极小值点 2、函数()f x 的定义域为开区间()a b ，，导函数()f x '在()a b ，的图象如图所示，则函数()f x 在 开区间()a b ，有极小值点（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3、若函数2 ()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数()f x '的图象可能为（ ）

D. C. B. A. x y O x y O x y O O y x 4、设() f x '是函数() f x的导函数，() y f x ' =的图象如下图所示，则() y f x =的图象可能是（）-1 2 1 O y x D. A. 12 12 1 2 2 1x y O x y O x y O O y x 5、已知函数 () f x的导函数() f x ' 的图象如右图所示，那么函数 () f x的图象最有可能的是（） -1 1 f '(x) y x O 6、() f x '是() f x的导函数，() f x '的图象如图所示，则() f x的图象只可能是（） 2x O

2-10高阶导数的概念及常见高阶导数公式

模块基本信息 一级模块名称 微分学 二级模块名称 基础模块 三级模块名称 高阶导数的概念及常见高阶导数公式 模块编号 2-10 先行知识 导数的概念 模块编号 2-2 知识内容 教学要求 掌握程度 1、高阶导数的概念 1、理解高阶导的概念 一般掌握 2、常见初等函数的高阶导数 2、熟记常见初等函数的高阶导 3、莱布尼兹公式 3、掌握隐函数高阶导的求解（一般是二阶） 4、隐函数的高阶导数 4、掌握参数方程高阶导的求解（一般是二阶） 5、参数方程的高阶导数 5、熟记正弦、余弦等常见函数的n 阶导数公式 能力目标 1、提高学生的观察分析能力 2、培养学生的逻辑思维、类比推导能力 时间分配 45分钟 编撰 黄小枚 校对 方玲玲 审核 危子青 修订 肖莉娜 二审 危子青 一、正文编写思路及特点： 思路：本文先借助速度和加速度的概念引出高阶导数的定义， 然后分别介绍常见的初等函数的高阶导数、莱布尼兹公式、隐函数的高阶导数、参数方程的高阶导数。 特点：通过实际问题引出高阶导数的概念，在求解高阶导数时分类进行讲解，层层递进，有助于学生理解和掌握。 二、授课部分 1.引例 （1） 变速直线运动的速度)(t v 是位置函数)(t s 对时间t 的导数，即 )()('t s t v = 或dt ds t v =)( （2） 速度函数)(t v 对时间t 的变化率就是加速度)(t a ，即)(t a 是)(t v 对t 的导数： []'')(')()(t s t v t a ==或)()(dt ds dt d t a =

（3）加速度)(t a 就是位置函数)(t s 对时间t 的导数的导数，称 为)(t s 对t 的二阶导数，记为)(' 't s 或22dt s d 2．高阶导数的定义 设y=f(x)在某区间上可导，即有 ()x f ' 存在，如果()x f '也可导，则称()x f ' 的导数为函数 f(x) 的二阶导数。记 y '', 或 )(x f '', 22dx y d , dx x f d )(2 根据导数的定义可知：''0()()()lim x f x x f x f x x →+-''= 类似地, 二阶导数的导数, 叫做三阶导数, 三阶导数的导数叫做四阶导数, 一般地, (n -1)阶导数的导数叫做n 阶导数, 分别记作 y ''', y (4), ? ? ? , y (n ) 或33dx y d , 44dx y d , ? ? ? , n n dx y d . 函数f (x )具有n 阶导数, 也常说成函数f (x )为n 阶可导. 注：（1）如果函数f(x)在点x 处具有n 阶导数, 那么函数f(x)在点x 的某一邻域内必定具有一切低于n 阶的导数. （2）二阶及二阶以上的导数y '' y ''' y (4) ?? y (n )统称高阶导数. 3.常见初等函数的高阶导数 例1 已知3y x = 求()n y （一级） 解: ()()423;6;6;0;,0.n y x y x y y y ''''''===== 课堂练习：已知y =e x 求它的n 阶导数. 例2 已知sin y x =求它的n 阶导数. （一级） 解:)2 sin(cos π+=='x x y , )2 2sin()2 2 sin()2 cos(ππππ?+=++=+=''x x x y ,

(完整版)导数与极值、最值练习题.doc

三、知识新授 （一）函数极值的概念 （二）函数极值的求法：（1）考虑函数的定义域并求f'(x); （2）解方程f'(x)=0，得方程的根x (可能不止一个） （3）如果在x 0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么f(x )是 极大值；反之，那么f(x ）是极大值 题型一图像问题 1、函数() f x的导函数图象如下图所示，则函数() f x在图示区间上（） （第二题图） A．无极大值点，有四个极小值点 B．有三个极大值点，两个极小值点 C．有两个极大值点，两个极小值点 D．有四个极大值点，无极小值点 2、函数() f x的定义域为开区间() a b ，，导函数() f x '在() a b ，内的图象如图所示，则函数() f x在 开区间() a b ，内有极小值点（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3、若函数2 () f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数() f x '的图象可能为（） D. C. B. A. 4、设() f x '是函数() f x的导函数，() y f x ' =的图象如下图所示，则() y f x =的图象可能是（） C. A.

5、 已知函数 () f x 的导函数 () f x '的图象如右图所示，那么函数()f x 的图象最有可能的是（ ） -1 1 f '(x ) y x O 6、()f x '是()f x 的导函数，()f x '的图象如图所示，则()f x 的图象只可能是（ ） 2x O 22D. C. B. A. O x O x x O x y 7、如果函数 () y f x =的图象如图，那么导函数()y f x '=的图象可能是（ ） y y y x x x y x D C A x y y=f(x)

导数求最值(含参)

含参导数求最值问题（1—2） 编制人：闵小梅审核人：王志刚 【使用说明及学法指导】 1．完成预习案中的相关问题； 2．尝试完成探究案中合作探究部分，注意书写规范； 3．找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课堂讨论质疑。 【学习目标】 1．掌握利用导数求函数最值的方法 2．会用导数解决含参函数的综合问题 【预习案】 一、知识梳理 函数的最值与导数 (1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤 ①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值． ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 二、尝试练习 1．设函数f(x)＝x3－x2 2 －2x＋5，若对任意的x∈[－1，2]，都有f(x)>a，则实 数a的取值范围是________ (－∞，7 2) 2．已知函数f(x)＝ax3－3x＋1对x∈(0，1]总有f(x)≥0成立，则实数a的取值范围是________ [4，＋∞)

【探究案】 一、合作探究： 例1. 设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＋ax (a ＞0)． (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间； 增(0，2)，减(2，2) (2)若f (x )在(0,1]上的最大值为12，求a 的值． a ＝1 2 二、拓展探究： 例2. 已知函数f(x)＝lg(x ＋a x －2)，其中a ＞0且为常数． (1)当a∈(1，4)时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值；ln a 2 (2)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)＞0，试确定实数a 的取值范围．(2，＋∞) 三、深层探究：单调性的应用 例3．求f (x )＝ax x e -? (a ＞0)在x ∈[1,2]上的最大值

利用导数求函数的极值

1 函数专题（导数内容为主） 彬县范公中学 张登峰 一、利用导数定义的求解 例1．已知f(x)在x=a 处可导，且f ′(a)=b ，求下列极限： （1）h h a f h a f h 2)()3(lim 0--+→?； （2）h a f h a f h )()(lim 20-+→? 解：（1）h h a f a f a f h a f h h a f h a f h h 2)()()()3(lim 2)()3(lim 00--+-+=--+→→ b a f a f h a f h a f h a f h a f h h a f a f h a f h a f h h h h 2)('2 1)('23)()(lim 213)()3(lim 232)()(lim 2)()3(lim 0000=+=---+-+=--+-+=→→→→ （2）?? ????-+=-+→→h h a f h a f h a f h a f h h 22020)()(lim )()(lim 00)('lim )()(lim 0220=?=?-+=→→a f h h a f h a f h h 二、利用导数求函数的极值 例 求下列函数的极值： 1． x e x x f -=2)(；2． .6)(2--=x x x f 3. 1ln 2+=x y 解：函数定义域为R ．x x x e x x e x xe x f ----=-=')2(2)(2 令0)(='x f ，得0=x 或2=x ． 当0x 时，0)(<'x f ，∴函数)(x f 在()0,∞-和()+∞,2上是减函数； 当20<'x f ，∴函数)(x f 在（0，2）上是增函数． ∴当0=x 时，函数取得极小值0)0(=f ，当2=x 时，函数取得极大值24)2(-=e f ． 2．?????<<-++-≥-≤--), 32(,6),32(,6)(22x x x x x x x x f 或 ∴?? ???=-=<<-+->-<-').32(,),32(,12),32(,12)(x x x x x x x x f 或不存在或

用导数法求函数最值

用导数法求函数最值 中学数学的最值知识是进一步学习高等数学中最值问题的基础，因此最值问题历来是各类考试的热点。利用中学数学知识解决最值问题方法很多，如：配方法、不等式法、数形结合法、换元法、判别式法等等，但在我们学习了导数知识后，发现用导数法来求函数的最值要比初等方法快捷简便，因此导数法求最值也是一种不可忽视方法： 在闭区间[,]a b 上连续的函数()f x 在[,]a b 上必有最大值与最小值。 设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，求()f x 的最大值与最小值的步骤如下： (1) 求()f x 在(,)a b 内的极值； (2) 将()f x 的各极值与(),()f a f b 比较，其中最大的 一个是最大值，最小的一个是最小值。 应注意：（1）()f x 的极值是局部概念，而最大(小)是值 则可看作整体概念，即在定义域内最大或最小如图所示 : （2）求函数的最值与求函数极值不同的是，在求可导函数的最值时，不需对各导数为0的点讨论其是极大值还是极小值，只需将导数为零的点和端点的函数值进行比较即可。 （3）可利用函数的单调性求()f x 在区间上的最值，若()f x 在[a,b]上单调增加，则()f x 的最大值为()f b ，最小值为()f a ；若()f x 在[a,b]上单调减少，则()f a 为函数最大值，()f b 为最小值。 例1：求函数53231y x x x =--+在[2,2]-上的最大值与最小值。 解：由 53231y x x x =--+得'42221091(101)(1)y x x x x =--=+-令'0y =解得 121,1x x =-=，列表讨论如下： 又因为当1x =-时y =532(1)3(1)(1)1-----+ =3 当1x =时5213111y =--+ =1- 而函数在两个端点的函数值分别为37-，39，因此函数y 的最大值为39，最小值为37- 例2：(1)求函数()f x 32 11232 x x x = --在闭区间[1,1]-最小值及[2,3]-上的最大值。 (2)求函数2()(10),f x x x x N +=-∈的最大值。

利用导数求函数的极值习题

利用导数求函数的极值 例 求下列函数的极值： 1．x x x f 12)(3-=；2．x e x x f -=2)(；3．.21 2)(2-+=x x x f 分析：按照求极值的基本方法，首先从方程0)(='x f 求出在函数)(x f 定义域内所有可能的极值点，然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值． 解：1．函数定义域为R ．).2)(2(3123)(2-+=-='x x x x f 令0)(='x f ，得2±=x ． 当2>x 或2-'x f ， ∴函数在()2,-∞-和()+∞,2上是增函数； 当22<<-x 时，0)(<'x f ， ∴函数在（－2，2）上是减函数． ∴当2-=x 时，函数有极大值16)2(=-f ， 当2=x 时，函数有极小值.16)2(-=f 2．函数定义域为R ．x x x e x x e x xe x f ----=-=')2(2)(2 令0)(='x f ，得0=x 或2=x ． 当0x 时，0)(<'x f ， ∴函数)(x f 在()0,∞-和()+∞,2上是减函数； 当20<'x f ， ∴函数)(x f 在（0，2）上是增函数． ∴当0=x 时，函数取得极小值0)0(=f ， 当2=x 时，函数取得极大值2 4)2(-=e f ． 3．函数的定义域为R ． .) 1()1)(1(2)1(22)1(2)(22222++-=+?-+='x x x x x x x x f

令0)(='x f ，得1±=x ． 当1-x 时，0)(<'x f ， ∴函数)(x f 在()1,-∞-和()+∞,1上是减函数； 当11<<-x 时，0)(>'x f ， ∴函数)(x f 在（－1，1）上是增函数． ∴当1-=x 时，函数取得极小值3)1(-=-f ， 当1=x 时，函数取得极大值.1)1(-=f 说明：思维的周密性是解决问题的基础，在解题过程中，要全面、系统地考虑问题，注意各种条件 综合运用，方可实现解题的正确性．解答本题时应注意0)(0='x f 只是函数)(x f 在0x 处有极值的必要条件，如果再加之0x 附近导数的符号相反，才能断定函数在0x 处取得极值．反映在解题上，错误判断极值点或漏掉极值点是学生经常出现的失误． 复杂函数的极值 例 求下列函数的极值： 1．)5()(32-=x x x f ；2．.6)(2--=x x x f 分析：利用求导的方法，先确定可能取到极值的点，然后依据极值的定义判定．在函数)(x f 的定义域内寻求可能取到极值的“可疑点”，除了确定其导数为零的点外，还必须确定函数定义域内所有不可导的点．这两类点就是函数)(x f 在定义内可能取到极值的全部“可疑点”． 解：1．.3)2(533)5(2)5(32 )(33323x x x x x x x x x f -=+-=+-=' 令0)(='x f ，解得2=x ，但0=x 也可能是极值点． 当0x 时，0)(>'x f ， ∴函数)(x f 在()0,∞-和()+∞,2上是增函数； 当20<

求高阶导数常见方法

求函数的高阶导数常用方法 （一）逐阶整理法 例1、 求()sin x f x e x =的n 阶导数（解略） （二）将函数分解为若干个简单函数的和，再利用已知的常见的函数的高阶导数公式 （1）()()(1)(1)n n x n x ααααα?=??+" （2）()()(ln )x n x n a a a =， ()(e )e x n x = （3）()(sin())sin ()2n n ax b a ax b n π??+=?++???? ?， ()(cos())cos ()2n n ax b a ax b n π??+=?++???? ? （4）()11(1)!n n n n x x +???=????， ()1 1(1)!()n n n n n a ax b ax b +????=??++?? （5）1()(1)(1)!(ln )n n n n x x ???=， 1()(1)(1)!(ln())()n n n n n a ax b ax b ????+=+ 例2、求下列函数的n 阶导数 （1）1()(1) f x x x =? （2）()1n x f x x =? （3）2221()f x a b x =? （4）()cos cos2f x x x =? （三）利用莱布尼茨公式 例3、求函数ln ()x f x x =的n 阶导数 例4、求函数2()(1)n f x x =?的n 阶导数 （提示：()(1)(1)n n f x x x =??+） （四）先求一阶或二阶导数，变成乘积形式，再利用莱布尼茨公式，得到高阶导数的递推公式

例5 、设arctan y x =，求() 0n x y = 解：由211y x ′=+， 得 2(1)1y x ′?+= 对上式两边求n 阶导数（左边利用莱布尼茨公式），得 (1)2()(1)(1)(1)2202 n n n n n y x n y x y +???++??+ ??= 即 2(1)()(1)(1)2(1)0n n n x y nxy n n y +?+?++?= （高阶导数的递推公式） 令0x =，得 (1) (1)00(1)n n x x y n n y +?===?? 又由(0)0y =，(0)1y ′=，故 () 0 0 , 2(1)(2)!, 21n k x n k y k n k ==?=???=+?当当 例6 、设arcsin y x =，求() 0n x y = 解：由y ′= ，32221(1)x x y y x x ′??′′′===???，则 2(1)y x y x ′′′??=? 对上式两边求n 阶导数（两边利用莱布尼茨公式），得 (2)2(1)()(1)()(1)(1)(2)(2)12 n n n n n n n y x n y x y y x n y +++???+???+ ???=?+?? 整理，得 2(2)(1)2()(1)(21)0n n n x y n xy n y ++??+?= 令0x =，得 (2)2()n n y n y += （高阶导数的递推公式）

利用导数求函数的最值

1.3.3运用导数求函数的最大（小）值 一、学习目标 1、结合函数图像，能够求闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值和最小值。 2、掌握导数法求最大值、最小值的方法，并能应用其它函数类型上。 二、学习重难点 重点是求最值的方法和最值的应用。 难点最值与极值的区别及参数问题。 三、知识链接 1、若函数)(x f y =是在闭区间],[b a 上的连续函数，即在闭区间],[b a 上函数)(x f 的图像 是一条 的曲线，则该函数在闭区间],[b a 上一定能够取得到 和 。 2、若函数)(x f y =是开区间),(b a 上的可导函数，则该函数在闭区间],[b a 上的最大值与 最小值必在 或 取得。函数的最大值和最小值统称 。 四、导学过程 【例1】求函数)(x f 536342 3+-+=x x x ，]2,2[-∈x 的最值。 【例2】已知函数)(x f a x x x +++-=9323 （1）求)(x f 的单调递减区间 （2）若)(x f 在区间]2,2[-上的最大值为20，求它在该区间上的最小值。

变式：已知函数)(x f c bx ax x +++=23在3 2-=x 与1=x 时都取得极值。 （1）求b a ,的值及函数)(x f 的单调区间。 （2）若对]2,1[-∈x ，不等式)(x f 2 c <恒成立，求c 的取值范围。 【例3】如图，ABCD 是一块边长为a 2的正方形铁板，剪掉四个小正方形角，沿虚线折叠后焊 接成一个无盖的长方体水箱，若水箱的高度x 与底面边长的比不超过常数)0(>k k 。 (1）写出水箱的容积V 与水箱高度x 的函数表达式。 （2）当水箱高度x 为何值时，水箱的容积V 最大， 并求出其最大值。

高阶导数的计算

高阶导数的计算 一、 高阶导数定义 定义（二阶导数） 若函数f 的导函数'f 在点0x 可导，则称'f 在点0x 的导数为f 在点0x 的二阶导数，记作)(''0x f ，即 )('') (')('lim 00 00 x f x x x f x f x x =--→， 此时称f 在点0x 二阶可导。 如果f 在区间I 上每一点都二阶可导，则得到一个定义在I 上的二阶可导函数，记作)(''x f ， I x ∈，或记作''f ，''y ，2 2dx y d 。 函数)(x f y =的二阶导数)(''x f 一般仍旧是x 的函数。如果对它再求导数，如果导数存在的话， 称之为函数)(x f y =的三阶导数，记为'''y ，)('''x f ，或33dx y d 。 函数)(x f y =的1-n 阶导数的导数称为函数)(x f y =的n 阶导数，记为) (n y ，) (n f ，或n n dx y d 。 相应地，)(x f y =在0x 的n 阶导数记为： 0 ) (x x n y =，)(0) (x f n ，0 x x n n dx y d =。 二阶及二阶以上的导数都称为高阶导数。 1． )()() (] [n n n v u v u ±=±。 2． +++=--)2()2(2)1()1(1)0()()()(v u C v u C v u uv n n n n n n )()() 1()1(1)()(n o n n n k k n k n v u v u C v u C ++++--- ∑=-= N K k k n k n v u C )()(， （Leibniz 公式） 其中u u =) 0(，v v =)0(。 注 将Leibniz 公式与二项式展开作一比较可见： n o k k n k n n n n n v u v u C v u C v u v u ++++=+-- 1110)(。 （这里 100==v u ），在形式上二者有相似之处。

(文)用导数法求函数最值

用导数法求函数最值 中学数学的最值知识是进一步学习高等数学中最值问题的基础，因此最值问题历来是各类考试的热点。利用中学数学知识解决最值问题方法很多，如：配方法、不等式法、数形结合法、换元法、判别式法等等，但在我们学习了导数知识后，发现用导数法来求函数的最值要比初等方法快捷简便，因此导数法求最值也是一种不可忽视方法： 在闭区间[,]a b 上连续的函数()f x 在[,]a b 上必有最大值与最小值。 设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，求()f x 的最大值与最小值的步骤如下： (1) 求()f x 在(,)a b 内的极值； (2) 将()f x 的各极值与(),()f a f b 比较，其中最大的 一个是最大值，最小的一个是最小值。 应注意：（1）()f x 的极值是局部概念，而最大(小)是值 则可看作整体概念，即在定义域内最大或最小如图所示 : （2）求函数的最值与求函数极值不同的是，在求可导函数的最值时，不需对各导数为0的点讨论其是极大值还是极小值，只需将导数为零的点和端点的函数值进行比较即可。 （3）可利用函数的单调性求()f x 在区间上的最值，若()f x 在[a,b]上单调增加，则()f x 的最大值为()f b ，最小值为()f a ；若()f x 在[a,b]上单调减少，则()f a 为函数最大值，()f b 为最小值。 例1：求函数53231y x x x =--+在[2,2]-上的最大值与最小值。 解：由 53231y x x x =--+得'42221091(101)(1)y x x x x =--=+-令'0y =解得 121,1x x =-=，列表讨论如下： 又因为当1x =-时y =532(1)3(1)(1)1-----+=3 当1x =时5213111y =--+=1- 而函数在两个端点的函数值分别为37-，39，因此函数y 的最大值为39，最小值为37- 例2：(1)求函数()f x 32 11232 x x x = --在闭区间[1,1]-最小值及[2,3]-上的最大值。

利用导数研究函数的极值和最值问题

利用导数研究函数的极值和最值问题 １．利用导数研究函数的极值的一般步骤： （１）确定函数的定义域． （２）求)(x f '． （３）①若求极值，则先求方程 0)(='x f 的全部实根，再检验)(x f '在方程根的左右两侧值的符号，求出极值．（当根中有参数时，要注意讨论根是否在定义域内） ②若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程 0)(='x f 的根的大小或存在情况，从而求解． ２．求连续函数)(x f y =在[]b a , 上的最大值与最小值的步骤： （１）求函数 )(x f y =在()b a ,内的极值； （２）将函数 )(x f y =的各极值与端点处的函数值 )(a f ， )(b f 比较，其中最大的一个 是最大值，最小的一个是最小值. 例1.(2018北京,18,13分)设函数()[]x e a x a ax x f 3414)(2+++-=. (1)若曲线)(x f y =在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行,求a ; (2)若)(x f 在2=x 处取得极小值,求a 的取值范围. 解析 (1)因为()[] x e a x a ax x f 3414)(2+++-=, 所以()[] x e x a ax x f 212)(2++-='，()e a f -='1)1(. 由题设知f '(1)=0,即()01=-e a ,解得1=a . 此时03)1(≠=e f .所以a 的值为1. (2)由(1)得()[] ()()x x e x ax e x a ax x f 21212)(2--=++-='. 若21>a ,则当?? ? ??∈2,1a x 时0)(<'x f ; 当()+∞∈,2x 时,0)(>'x f .所以)(x f 在2=x 处取得极小值. 若21'x f , 所以2不是)(x f 的极小值点.

利用导数求函数的最值

1.3.3函数的最大（小）值与导数 主编 : 赵红艳 审核：朱效利 日期: 2012-02-15 一、学习目标 1、结合函数图像，能够求闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值和最小值。 2、掌握导数法求最大值、最小值的方法，并能应用其它函数类型上。 二、学习重难点 重点是求最值的方法和最值的应用。 难点最值与极值的区别及参数问题。 三、知识链接 1、若函数)(x f y =是在闭区间],[b a 上的连续函数，即在闭区间],[b a 上函数)(x f 的图像 是一条 的曲线，则该函数在闭区间],[b a 上一定能够取得到 和 。 思考：函数最大值与极大值和最小值与极小值的区别？ 2、若函数)(x f y =是开区间),(b a 上的可导函数，则该函数在闭区间],[b a 上的最大值与最小值必在 或 取得。函数的最大值和最小值统称 。 思考：用导数法求函数在闭区间上最值的步骤？ 四、导学过程 【例1】求函数]4,3[,443 1)(3 -∈+-=x x x x f 的最大值和最小值。

【例2】已知函数)(x f a x x x +++-=9323 （1）求)(x f 的单调递减区间 （2）若)(x f 在区间]2,2[-上的最大值为20，求它在该区间上的最小值。 变式：已知函数)(x f c bx ax x +++=23在3 2-=x 与1=x 时都取得极值。 （1）求b a ,的值及函数)(x f 的单调区间。 （2）若对]2,1[-∈x ，不等式)(x f 2c <恒成立，求c 的取值范围。 五、方法、技巧、规律小结 1、单调函数在闭区间上的最值必在 或 处取得。 2、求函数的最值与 不同的是，在求可导函数的最值时，不需要对各导数为0的左右两侧的函数值判断是 或 ，只需将导数为0的点和 处的函数值进行比较即可得到。 3、高考热点恒成立求参问题常转化为求函数的 。