三角函数对称轴和对称中心问题

三角函数对称轴和对称中心问题

正余弦函数的对称轴和对称中心的实质：

练习题：

1、函数3sin(2)6y x π

=+图像的一条对称轴方程是 （ ） A ． 0x = B ． 23x π

=

C ．6x π=-

D ． 3x π= 2、函数cos 22y x ?

?=+

???π的图像的一条对称轴是 （ ） A ．2x =-π

B ． 4x =-π

C ． 8x =

π D ．x =π 3、已知函数tan(2)y x θ=+的图像过点(

,0)12π

，则θ可以是 （ ） A ． 6π

- B ．

6π C ． 12π- D ．12π 4、函数2sin 3y x π?

?=-

???的一个对称中心是 （ ） A ． ()0,0 B ． (

,0)6π C ． (,0)3π D ． (,0)2π 5、函数1

cos 23y x π??=-+ ???

的一个对称中心是 （ ） A ． ()0,0 B ． (

,0)6π C ． (,0)3π D ． (,0)2π

总结：

三角函数诱导公式、万能公式、和差化积公式、倍角公式等公式总结及其推导

三角函数诱导公式： 诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。 “奇、偶”指的是π/2的倍数的奇偶，“变与不变”指的是三角函数的名称的变化：“变”是指正弦变余弦，正切变余切。（反之亦然成立）“符号看象限”的含义是：把角α看做锐角，不考虑α角所在象限，看n?(π/2)±α是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号。 符号判断口诀： “一全正；二正弦；三两切；四余弦”。这十二字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”；第二象限内只有正弦是“+”，其余全部是“－”；第三象限内只有正切和余切是“+”，其余全部是“－”；第四象限内只有余弦是“+”，其余全部是“－”。 “ASCT”反Z。意即为“all(全部)”、“sin”、“cos”、“tan”按照将字母Z反过来写所占的象限对应的三角函数为正值。 三角函数诱导公式- 其他三角函数知识 同角三角函数的基本关系式 倒数关系 tanα?cotα=1 sinα?cscα=1 cosα?secα=1 商的关系 sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα 平方关系 sin^2(α)+cos^2(α)=1

1+tan^2(α)=sec^2(α) 1+cot^2(α)=csc^2(α) 同角三角函数关系六角形记忆法 构造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中间1"的正六边形为模型。 倒数关系 对角线上两个函数互为倒数； 商数关系 六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积，下面4个也存在这种关系。）。由此，可得商数关系式。 平方关系 在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。 两角和差公式 sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ sin（α－β）=sinαcosβ-cosαsinβ cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ cos（α－β）=cosαcosβ+sinαsinβ tan（α+β）=(tanα+tanβ )/(1－tanα ?tanβ) tan（α－β）=(tanα－tanβ)/(1+tanα ?tanβ) 二倍角的正弦、余弦和正切公式 sin2α=2sinαcosα

三角函数的周期性

1.4.1三角函数的周期性 一、导学目标 1.引导学生从单位圆中，得出正弦、余弦函数值呈现周期性变化 2.函数周期性定义 3．能求三角函数的周期 二、知识回归 1.任意角的三角函数 sin y α= cos x α= 2.终边与α角相同 2απ+ 2απ- L L 2()k k Z απ+∈ 三角函数值相同 三、新知导学 由观察可知 1.三角函数值出现周期性变化的特点 sin(2)sin cos(2)cos x k x x k x ππ+=+= （k Z ∈） 2.函数定义 对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使定义域内每一个x ,都有()()f x T f x +=,则函数()f x 叫周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。 3.正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =的周期 2,4,6,2,4,6,ππππππ---L L 2(,0)k k Z k π∈≠ 都是它们的周期 2π是所有周期中最小的正数，是sin ,cos x x 的最小的 正周期 周期函数()f x ，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，这个最小正数就是()f x 的最小正周期，一般，函数周期都是指最小正周期 sin ,cos y x y x ==的周期是T=2π 四、例题分析与巩固训练

(1)()sin 3f x x = 1(2)()2cos()23 g x x π=- 分析：由sin ,cos x x 周期都是2π，设周期T 即可 （1） 设()f x 周期为T ，()()f x T f x += ∴sin3()sin3x T x += sin(33)sin 3x T x += 32T π∴= 23 T π= （2） 设()g x 周期为T ()()g x T g x += 2cos()2cos()2323 x T x ππ+-=- 即2cos ()2cos()23223x T x ππ??- +=-???? 22 T π∴= 巩固训练 A 1. 求下列函数的周期 （1）2sin 2y x =- （2）cos 3 x y = 2.判断下列说法是否正确，并说明理由 （1）76x π=时，2sin()sin 3x x π+=，则23 π一定是函数sin y x =的周期 B 思考 sin()cos() y A x y A x ω?ω?=+=+ （其中,,A ω?为常数，0,0A ω≠>） 的周期为2T π ω= 例2 若钟摆高度()h mm 与时间()t s 之间的函数关系如图所示 （1） 求该函数的周期

高中数学三角函数的图象与性质题型归纳总结

三角函数的图象与性质题型归纳总结 题型归纳及思路提示 题型1 已知函数解析式确定函数性质 【思路提示】一般所给函数为y ＝A sin(ω x ＋φ)或y ＝A cos(ω x ＋φ)，A>0,ω>0,要根据 y ＝sin x ，y ＝cos x 的整体性质求解。 一、函数的奇偶性 例1 f (x )＝sin ()x ?+（0≤?<π）是R 上的偶函数，则?等于（ ） A.0 B ． 4π C ．2 π D ．π 【评注】由sin y x =是奇函数，cos y x =是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：sin()(); y A x k k Z ??π=+=∈(1)若是奇函数，则 sin()+ (); 2 y A x k k Z π ??π=+=∈(2)若是偶函数，则 cos()(); 2 y A x k k Z π ??π=+=+ ∈(3)若是奇函数，则 cos()(); y A x k k Z ??π=+=∈(4)若是偶函数，则 tan()().2k y A x k Z π ??=+= ∈(5)若是奇函数，则 .()sin ||a R f x x a a ∈=-变式1已知，函数为奇函数，则等于（ ） A.0 B ．1 C ．1- D ．1 ± 2.0()cos()()R f x x x R ???∈==+∈变式设，则“”是“为偶函数”的（ ） A 充分不必要条件 B ．必要不充分条 C ．充要条件 D ．无关条件 3.()sin()0()f x x f x ω?ω=+>变式设，其中，则是偶函数的充要条件是（ ） A.(0)1f = B ．(0)0f = C ．'(0)1f = D ．'(0)0 f = 2.()sin(2)()()2f x x x R f x π =-∈例设，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数 B ．π最小正周期为的偶函数 C ．2π 最小正周期为 的奇函数 D ．2π 最小正周期为的偶函数 2()sin 1()()f x x x R f x =-∈变式1.若，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数 B ．π最小正周期为的偶函数 C ．π最小正周期为2的奇函数 D ．π最小正周期为2的偶函数

三角函数图像的对称轴与对称中心

函数轴对称：如果一个函数的图象沿一条直线对折，直线两则的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。 中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转 180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。 正弦函y=sinx 的图像既是轴对称又是中心对称， 它的图象关于过最值点且垂直于x 轴的直线分别成轴对称图形；y=sinx 的图象的对称轴是经过其图象的 “峰顶点” 或 “谷底点” ， 且平行于y 轴的无数条直线； 它的图象关于x 轴的交点分别成中心对称图形。 三角函数图像的对称轴与对称中心 特级教师 王新敞 对于函数sin()y A x ωφ=+、cos()y A x ωφ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系．而tan()y A x ωφ=+的对称中心与零点和渐近线与x 轴的交点相联系，有渐近线但无对称轴．由于函数sin()y A x ωφ=+、cos()y A x ωφ=+和 tan()y A x ωφ=+的简图容易画错， 一般只要通过函数sin y x =、cos y x =、tan y x =图像的对称轴与对称中心就可以快速准确的求出对应的复合函数的对称轴与对称中心． 1.正弦函数sin y x =图像的对称轴与对称中心： 对称轴为2x k π π=+、对称中心为(,0) k k Z π∈． 对于函数sin()y A x ωφ=+的图象的对称轴只需将x ωφ+取代上面的x 的位置，即2x k π ωφπ+=+ ()k Z ∈，由此解出1 ()2x k π πφω=+- ()k Z ∈，这就是函数 sin()y A x ωφ=+的图象的对称轴方程． 对于函数sin()y A x ωφ=+的图象的对称中心只需令x k ωφπ+= ()k Z ∈，由此解出1 ()x k πφω=- ()k Z ∈， 这就是函数sin()y A x ωφ=+的图象的对称中心的横坐标，得对称中心1 ((),0) k k Z πφω-∈． 2.余弦函数cos y x =图像的对称轴与对称中心： 对称轴为x k π=、对称中心为(,0)2k π π+ k Z ∈． 对于函数cos()y A x ωφ=+的图象的对称轴只需将x ωφ+取代上面的x 的位置，即x k ωφπ+= ()k Z ∈，由此解出1()x k πφω= - ()k Z ∈，这就是函数cos() y A x ωφ=+的图象的对称轴方程． 对于函数cos()y A x ωφ=+的图象的对称中心只需令2x k πωφπ+=+ ()k Z ∈，由此解出1 ()2x k π πφω=+- ()k Z ∈，这就是函数cos()y A x ωφ=+的图象的对称中心的横坐标，得对称中心1((),0) 2k k Z π πφω+-∈．

两角和与差的三角函数及倍角公式练习及答案

两角和与差的三角函数及倍角公式练习及答案 一、选择题： 1、若)tan(,21tan ),2(53sin βαβπαπα-=<<= 则的值是 A ．2 B ．－2 C ．211 D ．-211 2、如果sin cos ,sin cos x x x x =3那么·的值是 A ．16 B ．15 C ．29 D ．310 3、如果的值是那么)4tan(,41)4tan(,52)tan(παπββα+=-= + A ．1318 B ．322 C ．1322 D ．-1318 4、若f x x f (sin )cos ,=?? ?? ?232则等于 A ．-12 B ．-32 C ．12 D ．32 5、在?ABC A B A B 中，··sin sin cos cos ,<则这个三角形的形状是 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形 二、填空题： 6、角αβαβ终边过点，角终边过点，则(,)(,)sin()4371--+= ； 7、若αα23tan ，则=所在象限是 ； 8、已知=+-=??? ??+θθθθθπsin 2cos cos sin 234cot ，则 ； 9、=??-?+?70tan 65tan 70tan 65tan · 10、化简3232sin cos x x += 。 三、解答题： 11、求的值。·??+?100csc 240tan 100sec

12、的值。，求已知)tan 1)(tan 1(43βαπβα--=+ 13、已知求的值。cos ,sin cos 23544θθθ=+ 14、已知)sin(2)(sin 053tan ,tan 22βαβαβα+++=-+的两个根，求是方程x x ·cos()αβ+的值。

函数的定义域与值域单调性与奇偶性三角函数典型例题

函数的定义域与值域、单调性与奇偶性 一、知识归纳： 1. 求函数的解析式 （1）求函数解析式的常用方法： ①换元法（ 注意新元的取值范围） ②待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等） ③整体代换（配凑法） ④构造方程组（如自变量互为倒数、已知f （x ）为奇函数且g （x ）为偶函数等） （2）求函数的解析式应指明函数的定义域，函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围，同时也要注意变量的实际意义。 （3）理解轨迹思想在求对称曲线中的应用。 2. 求函数的定义域 求用解析式y ＝f （x ）表示的函数的定义域时，常有以下几种情况： ①若f （x ）是整式，则函数的定义域是实数集R ； ②若f （x ）是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集； ③若f （x ）是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合； ④若f （x ）是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合； ⑤若f （x ）是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题. 3. 求函数值域（最值）的一般方法： （1）利用基本初等函数的值域； （2）配方法（二次函数或可转化为二次函数的函数）； （3）不等式法（利用基本不等式，尤其注意形如)0(>+=k x k x y 型的函数） （4）函数的单调性：特别关注)0(>+ =k x k x y 的图象及性质 （5）部分分式法、判别式法（分式函数） （6）换元法（无理函数） （7）导数法（高次函数） （8）反函数法 （9）数形结合法 4. 求函数的单调性 （1）定义法： （2）导数法： （3）利用复合函数的单调性： （4）关于函数单调性还有以下一些常见结论： ①两个增（减）函数的和为_____；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是______； ②奇函数在对称的两个区间上有_____的单调性；偶函数在对称的两个区间上有_____的单调性； ③互为反函数的两个函数在各自定义域上有______的单调性； （5）求函数单调区间的常用方法：定义法、图象法、复合函数法、导数法等 （6）应用：比较大小，证明不等式，解不等式。 5. 函数的奇偶性 奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称，比较f （x ） 与f （－x ）的关系。f （x ） －

三角函数的图像与性质题型归纳总结

三角函数的图像与性质题型归纳总结 题型归纳及思路提示 题型1 已知函数解析式确定函数性质 【思路提示】一般所给函数为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)，A>0,ω>0,要根据 y ＝sin x ，y ＝cos x 的整体性质求解。 一、函数的奇偶性 例1 f (x )＝sin ()x ?+（0≤?<π）是R 上的偶函数，则?等于（ ） A.0 B ． 4πC ．2 π D ．π 【评注】由sin y x =是奇函数，cos y x =是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：sin()(); y A x k k Z ??π=+=∈(1)若是奇函数，则 sin()+ (); 2 y A x k k Z π ??π=+=∈(2)若是偶函数，则 cos()(); 2 y A x k k Z π ??π=+=+ ∈(3)若是奇函数，则 cos()(); y A x k k Z ??π=+=∈(4)若是偶函数，则 tan()().2k y A x k Z π ??=+= ∈(5)若是奇函数，则 .()sin ||a R f x x a a ∈=-变式1已知，函数为奇函数，则等于（ ） A.0 B ．1 C ．1-D ．1 ± 2.0()cos()()R f x x x R ???∈==+∈变式设，则“”是“为偶函数”的（ ） A 充分不必要条件 B ．必要不充分条 C ．充要条件 D ．无关条件 3.()sin()0()f x x f x ω?ω=+>变式设，其中，则是偶函数的充要条件是（ ） A.(0)1f =B ．(0)0f =C ．'(0)1f =D ．'(0)0 f = 2.()sin(2)()()2f x x x R f x π =-∈例设，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数B ．π最小正周期为的偶函数 C ．2π 最小正周期为 的奇函数D ．2π 最小正周期为的偶函数 2()sin 1()()f x x x R f x =-∈变式1.若，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数 B ．π最小正周期为的偶函数 C ．π最小正周期为2的奇函数D ．π最小正周期为2的偶函数

三角函数·函数的周期性

三角函数·函数的周期性 教学目标 1．使学生理解函数周期性的概念，并运用它来判断一些简单、常见的三角函数的周期性． 2．使学生掌握简单三角函数的周期的求法． 3．培养学生根据定义进行推理的逻辑思维能力，提高学生的判断能力和论证能力． 教学重点与难点 函数周期性的概念． 教学过程设计 师：上节课我们学习了利用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象．今天我们将利用正弦函数图象，研究三角函数的一个重要性质．请同学们观察y=sinx，x ∈R的图象： （老师把图画在黑板左上方．） 师：通过观察，同学们有什么发现？ 生：正弦函数的定义域是全体实数，值域是［-1，1］．图象有规律地不断重复出现． 师：规律是什么？ 生：当自变量每隔2π时，函数值都相等．

师：正弦函数的这种性质叫周期性．我们将会发现，不但正弦函数具有这种性质，其它的三角函数和不少的函数也都具有这样的性质，因此我们就把它作为今天研究的课题：函数的周期性．（老师在黑板左上方写出课题） 师：我们先看函数周期性的定义．（老师板书） 定义对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期． 师：请同学们逐字逐句的阅读定义，找出定义中的要点． 生：首先T是非零常数，第二是自变量x取定义域内的每一个值时都有f （x+T）=f（x）． 师：找得准！那么为什么要这样规定呢？ 师：如果T=0，那么f（x+T）=f（x）恒成立，函数值当然不变，没有研究价值；如果T为变数，就失去了“周期”的意义了．“每一个值”的含义是无一例外． 师：除这两条外，定义中还有一个隐含的条件是什么？ 生：如果x属于y=f（x）的定义域，则T+x也应属于此定义域． 师：对．否则f（x+T）就没有意义． 师：函数周期性的定义有什么用途？ 生：它为我们提供判定函数是否具有周期性的理论依据． 师：下面我们看例题． （老师板书） 例1 证明y=sinx是周期函数． 生：因为由诱导公式有sin（x+2π）=sinx．所以2π是y=sinx是一个周期．故它就是周期函数． 例2

三角函数对称性习题

k (k Z)，则 x - ，所以函数y Acos( )的图象的对称轴方程 习题: 最大负值是 n 8、f (x ) =sin2x+acos2x 关于 x= 对称，求 a 的值 8 、正弦曲线和余弦曲线都是轴对称图形 y Asin( x )对称轴方程的求法是：令 sin( x ) 1，得 k i (k Z)，则x (2k 2 2 ，所以函数 Asin( x )的图象的 (2k 1) 2 对称轴方程为x 2 y Acos( x )对称轴方程的求法是：令 cos( x ) 1，得 1、 函数 y 3si n(2x R 图象的对称轴方程为 2、 函数 5 y=s in (2x+q n) 图象的对称轴方程为 3、 函数 4、 函数 1 f (x) cos(3x 2 n y=cos(2x-—) 3)的图象的对称轴方程是 的图象的对称轴方程是 5、 n y=sin(2x+ )的一条对称轴为( 4 n n n A.x=- B.x= ■ C.x=- 4 8 8 D.x= 6、 n y=cos(2x-—)的一条对称轴为 n 5 n n x=§ B.x= 了C.x= 12 71 7、 y =sin(2x+ $ )的一条对称轴为 n x=- y ,贝打= ，y 的最小正值是

、正弦曲线和余弦曲线都是中心对称图形 y Asin( x )的对称中心求法是：令sin( x ) 0,得x k (k Z), nt k k 则x (k Z)，所以函数y Asin( x )的图象关于点(，0) (k Z)成中心对称； y Acos( x )对称中心的求法是：令cos( x ) 0，得 (2k 1) 2 x k -(k Z) ，则x ---------------------------- 扌------ (k Z)，所以函数y Acos( x )的 图象关于点(__ ,0) (k Z)成中心对称； 2 习题： 1、函数y 4sin(2x -)的图象的一个对称中心是_____________________________ 6 1 2、函数y 2cos(—x —)的图象的对称中心是____________________________ 2 8 n 3、y=sin(2x+ —)的一个对称中心为( ) n 5 n n n A.( — ,0) B.( 石,0) C.( 12 ,0) D.( ,0) n 4、y=2cos(2x- ■—)的一个对称中心为( ) 3 n n n A. (n ,0 ) B. (,0 ) C. ( — ,0 ) D.(乜,0) n 5、y=cos(2x+ $ )的对称中心为(■— ,0) 则$ = ___________ , y的最小正值是___________ , y的最大负值是__________ 。 三、正切曲线和余切曲线都是中心对称图形 k k 2 y Atan( x )对称中心的求法是：令x (k Z)，则x ，所 k 2 以函数y Atan( x )的图象关于点(，0) (k Z)成中心对称；

三角函数的两角和差及倍角公式练习题

三角函数的两角和差及倍角公式练习题 一、选择题： 1、若)tan(,21tan ),2(53sin βαβπαπα-=<<= 则的值是 A ．2 B ．－2 C ．211 D ．-211 2、如果sin cos ,sin cos x x x x =3那么·的值是 A ．16 B ．15 C ．29 D ．310 3、如果的值是那么)4tan(,41)4tan(,52)tan(παπββα+=-= + A ．1318 B ．322 C ．1322 D ．-1318 4、若f x x f (sin )cos ,=?? ?? ?232则等于 A ．-12 B ．-32 C ．12 D ．32 5、在?ABC A B A B 中，··sin sin cos cos ,<则这个三角形的形状是 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形 二、填空题： 6、角αβαβ终边过点，角终边过点，则(,)(,)sin()4371--+= ； 7、若αα23tan ，则=所在象限是 ； 8、已知=+-=??? ??+θθθθθπsin 2cos cos sin 234cot ，则 ； 9、=??-?+?70tan 65tan 70tan 65tan · ； 10、化简3232sin cos x x += 。 三、解答题： 11、求的值。·??+?100csc 240tan 100sec

12、的值。，求已知)tan 1)(tan 1(43βαπβα--=+ 13、已知求的值。cos ,sin cos 23544θθθ=+ 14、已知)sin(2)(sin 053tan ,tan 22βαβαβα+++=-+的两个根，求是方程x x ·cos()αβ+的值。

三角函数的奇偶性测试题(人教A版)(含答案)

三角函数的奇偶性（人教A版） 一、单选题(共15道，每道6分) 1.下列函数中是偶函数的是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：三角函数的奇偶性 2.下列函数中是奇函数的是( )

A. B. C. D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：三角函数的奇偶性 3.下列函数中是偶函数的是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：三角函数的奇偶性 4.函数，( ) A.是奇函数 B.是偶函数 C.既不是奇函数也不是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 答案：C 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：余弦函数的奇偶性 5.函数( ) A.是奇函数 B.是偶函数 C.既不是奇函数也不是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：余弦函数的奇偶性 6.函数( ) A.是奇函数 B.是偶函数 C.既不是奇函数也不是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数

答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：正切函数的奇偶性 7.函数( ) A.是奇函数 B.是偶函数 C.既不是奇函数又不是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：三角函数的奇偶性 8.已知函数，，则( )

A.与都是奇函数 B.和都是偶函数 C.是奇函数，是偶函数 D.是偶函数，是奇函数 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：三角函数的奇偶性 9.已知函数，，则( ) A.与都是奇函数 B.和都是偶函数 C.是奇函数，是偶函数 D.是偶函数，是奇函数 答案：C 解题思路：

三角函数的对称性

三角函数的对称性 一、对称性规律： 1、 对称轴： 若 x a =是 ()sin()f x A x ω=+Φ或()cos()f x A x ω=+Φ的对 称轴，则 ()f a A =± 2、 对称中心： 若 (,0) a 是 ()sin()f x A x ω=+Φ或()cos()f x A x ω=+Φ或 ()tan()f x A x ω=+Φ的对称中心，则()0f a = 解题思路：解选择题的思路即代入法。 二、基础检测 （会考说明）1、 ）（62sin 3π +=x y 的一条对称轴可以是： （ ） A ．Y 轴； B ． 6π = x .； C ．12π -=x . D ．. 3π =x .。 （会考说明）2、）（43sin 3π -=x y 的一个对称中心可以是： （ ） A ．），（012π -； B ．），（0127π-.； C ．. ），（012 7π； D ．），（01211π. 3、已知函数（文）函数y = cos （2x -4π ）的一对称方程是 （ ） A ．x = 2π - B ．x = 4π - C ．x = 8π - D ．x = π 4、函数πsin 23y x ? ?=+ ? ? ?的图象（ ） Ａ．关于点π03?? ???，对称 Ｂ．关于直线π4x =对称

Ｃ．关于点π04?? ???，对称 Ｄ．关于直线π3x =对称 5、22.（山东卷）已知函数)12cos()12sin(π -π-=x x y ，则下列判断正确 的是（ ） （A ）此函数的最小正周期为π2，其图象的一个对称中心是)0,12(π （B ）此函数的最小正周期为 π ，其图象的一个对称中心是) 0,12(π （C ）此函数的最小正周期为π2，其图象的一个对称中心是)0,6(π （D ）此函数的最小正周期为 π ，其图象的一个对称中心是) 0,6(π 6、(4) 给定性质：①最小正周期为π，②图象关于直线3x π =对称， 则下列函数中同时具有性质①、②的是 （ ） (A) sin()26x y π=+ (B) sin(2)6y x π =- (C) sin y x = (D) sin(2)6y x π =+

三角函数和差与二倍角公式测试试题

三角函数和差与二倍角公式试题

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：

三角函数和差与二倍角单元检测题 一．选择题 1. 已知x x 2sin ,31 )4sin( 则=-π 的值为 A.97 B.95 C.94 D.9 2 2. =+οοοο55cos 10cos 35cos 80cos A ． 22 B ．2 2- C ． 2 1 D ．21- 3. 已知βαβαβαcos cos ,3 1 )cos()cos(则=-++的值为 A.21 B.31 C.41 D.61 4. 已知3(,),sin ,25 παπα∈=则tan()4π α+等于 A.17 B.7 C.1 7 - D.7- 5. (文)0000 sin15cos75cos15sin105+等于 A.0 B. 1 2 C.32 D.1 6. 设α是第四象限角，53sin -=α，则=+)4 cos(2π α A.57 B.51 C .57- D.5 1 - 7. 函数()sin cos f x x x =最小值是 A.-1 B. 12 - C. 1 2 D.1 8. 已知4 sin 5 θ= ，且sin cos 1θθ->，则sin 2θ= A.2425- B.1225- C.45 - D.2425 9. 的值是0 15cot 15tan + 3 3 4. 4. 32. 2.D C B A + 10. 已知3 1)4sin(=- π α，则)4cos(απ +的值等于 A. 232 B.－23 2 C.31 D.－31

三角函数和差及倍角公式讲义.docx

教育学科教师辅导讲义 教学内容 一、 上次作业检查与讲解； 二、 学习要求及方法的培养： 三、 知识点分析、讲解与训练: Mite 一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式： sin (° ± 0) = sin QCOS 0 土 cos osin 0 —令空?》sin 2a = 2 sin a cos a (o±0) = cosfzcos^ + sinc^sin p — cos2a = cos?(7-sin 2 a -2cos 2 a-\ = l-2sin 2 a 7 1+COS 2Q n cos 「a= ---------- 2 .9 l — cos2o sirr a= ---------- 2 r 2 tan a tan 2a = ------- - l-tarr a 二、三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系, 注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三 观察代数式的结构特点。基本的技巧有： (1) 巧变角(已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变 换.如 G = (Q + 0)-0 = (Q -0) + 0, 2Q = (G + 0) + (Q -0) , 2a = (0 + a)-(0-a), 心=2?呼,呼十号俘") ⑵三角函数名互化(切割化弦)， ⑶公式变形使用(tana 土tan0 = tan (仅±0)(1^tanotan")。 1 I y zy I / cos 等),

(4)三角函数次数的降升(降幕公式：cos2 6Z = —-—, sin%= —与升幕公式： 2 2 1+ cos 2a = 2 cos2a , 1-cos 2a = 2 sin2a)。

三角函数周期性公式

设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2kπ+α）= sinα cos（2kπ+α）= cosα tan（2kπ+α）= tanα cot（2kπ+α）= cotα 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π+α）= -sinα cos（π+α）= -cosα tan（π+α）= tanα cot（π+α）= cotα 公式三： 任意角α与-α的三角函数值之间的关系： sin（-α）= -sinα cos（-α）= cosα tan（-α）= -tanα cot（-α）= -cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π-α）= sinα cos（π-α）= -cosα tan（π-α）= -tanα cot（π-α）= -cotα 公式五： 利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π-α）= -sinα cos（2π-α）= cosα tan（2π-α）= -tanα cot（2π-α）= -cotα 公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin（π/2+α）= cosα cos（π/2+α）= -sinα tan（π/2+α）= -cotα cot（π/2+α）= -tanα sin（π/2-α）= cosα cos（π/2-α）= sinα tan（π/2-α）= cotα cot（π/2-α）= tanα sin（3π/2+α）= -cosα cos（3π/2+α）= sinα tan（3π/2+α）= -cotα cot（3π/2+α）= -tanα sin（3π/2-α）= -cosα

关于《三角函数的周期性》的教案

关于《三角函数的周期性》的教案 一、目标与自我评估 1掌握利用单位圆的几何作函数的图象 2结合的图象及函数周期性的定义了解三角函数的周期性，及最小正周期 3会用代数方法求等函数的周期 4理解周期性的几何意义 二、学习重点与难点 “周期函数的概念”，周期的求解。 三、学法指导 1、是周期函数是指对定义域中所有都有 ，即应是恒等式。 2、周期函数一定会有周期，但不一定存在最小正周期。 四、学习活动与意义建构 五、重点与难点探究 例1、若钟摆的高度与时间之间的函数关系如图所示 （1）求该函数的周期； （2）求时钟摆的高度。 例2、求下列函数的周期。 （1）（2） 总结：（1）函数（其中均为常数，且 的周期T=。

（2）函数（其中均为常数，且 的周期T=。 例3、求证：的周期为。 例4、（1）研究和函数的图象，分析其周期性。 （2）求证：的周期为（其中均为常数， 且 总结：函数（其中均为常数，且 的周期T=。 例5、（1）求的周期。 （2）已知满足，求证：是周期函数 课后思考：能否利用单位圆作函数的图象。 六、作业： 七、自主体验与运用 1、函数的周期为（） A、B、C、D、 2、函数的最小正周期是（） A、B、C、D、 3、函数的最小正周期是（） A、B、C、D、 4、函数的周期是（） A、B、C、D、 5、设是定义域为R,最小正周期为的函数，

若，则的值等于（） A、1 B、 C、0 D、 6、函数的最小正周期是，则 7、已知函数的最小正周期不大于2，则正整数 的最小值是 8、求函数的最小正周期为T，且，则正整数 的最大值是 9、已知函数是周期为6的奇函数，且则 10、若函数，则 11、用周期的定义分析的周期。 12、已知函数，如果使的周期在内，求 正整数的值 13、一机械振动中，某质子离开平衡位置的位移与时间之间的 函数关系如图所示： （1）求该函数的周期； （2）求时，该质点离开平衡位置的位移。 14、已知是定义在R上的函数，且对任意有 成立， （1）证明：是周期函数； （2）若求的值。 分类计数原理与分步计数原理、排列 一.教学内容：分类计数原理与分步计数原理、排列

三角函数对称性习题

一、正弦曲线和余弦曲线都是轴对称图形 )sin(?ω+=x A y 对称轴方程的求法是：令1)sin(±=+?ωx ，得 )(2Z k k x ∈+=+π π?ω，则ω ?π22)12(-+=k x ，所以函数)sin(?ω+=x A y 的图象的对称轴方程为ω ?π22)12(-+=k x ； )cos(?ω+=x A y 对称轴方程的求法是：令1)cos(±=+?ωx ，得 π?ωk x =+)(Z k ∈，则ω?π-= k x ，所以函数)cos(?ω+=x A y 的图象的对称轴方程为ω? π-=k x 。 习题： 1、函数)62sin(3π +=x y 图象的对称轴方程为 2、函数y=sin （2x+52 π）图象的对称轴方程为 3、函数)3 3cos(21)(π+=x x f 的图象的对称轴方程是 4、函数y=cos(2x- π4 ) 的图象的对称轴方程是 5、y=sin(2x+π4 )的一条对称轴为（ ） =-π4 =π8 =-π8 =π3 6、y=cos(2x-π6 )的一条对称轴为（ ） A ．x=π3 =5π12 =π12 D.π4 7、y=sin(2x+φ)的一条对称轴为x=-π8 ,则φ=________，y 的最小正值是________，y 的最大负值是________。 8、f （x ）=sin2x+acos2x 关于x=π8 对称，求a 的值

二、正弦曲线和余弦曲线都是中心对称图形 )sin(?ω+=x A y 的对称中心求法是：令0)sin(=+?ωx ，得π?ωk x =+)(Z k ∈，则ω? π-=k x )(Z k ∈，所以函数)sin(?ω+=x A y 的图象关于点)0,(ω? π-k )(Z k ∈成 中心对称； )cos(?ω+=x A y 对称中心的求法是：令0)cos(=+?ωx ，得 )(2Z k k x ∈+ =+ππ?ω，则ω?π22)12(-+=k x )(Z k ∈，所以函数)cos(?ω+=x A y 的图象关于点)0,22)12(( ω ?π-+k )(Z k ∈成中心对称； 习题： 1、函数)62sin(4π -=x y 的图象的一个对称中心是 2、函数)8 21 cos(2π-=x y 的图象的对称中心是 3、y=sin(2x+π6 )的一个对称中心为（ ） A.( π3 ,0) B.(5π12 ,0) C.(π12 ,0) D.(π6 ,0） 4、y=2cos(2x-π3 )的一个对称中心为（ ） A.（π,0）B.（π3 ,0）C. (π6 ,0）D. (π12 ,0) 5、y=cos(2x+φ)的对称中心为(π6 ,0) 则φ=________，y 的最小正值是________，y 的最大负值是________。 三、正切曲线和余切曲线都是中心对称图形 )tan(?ω+=x A y 对称中心的求法是：令)(2Z k k x ∈= +π?ω，则ω?π22-=k x ，所以函数)tan(?ω+=x A y 的图象关于点)0,22(ω ?π-k )(Z k ∈成中心对称；

三角函数的周期性数学教案

三角函数的周期性数学教案 一、学习目标与自我评估 1掌握利用单位圆的几何方法作函数的图象 2结合的图象及函数周期性的定义了解三角函数的周期性，及最小正周期 3会用代数方法求等函数的周期 4理解周期性的几何意义 二、学习重点与难点 “周期函数的概念”，周期的求解。 三、学法指导 1、是周期函数是指对定义域中所有都有 ，即应是恒等式。 2、周期函数一定会有周期，但不一定存在最小正周期。 四、学习活动与意义建构 五、重点与难点探究 例1、若钟摆的高度与时间之间的函数关系如图所示 （1）求该函数的周期； （2）求时钟摆的高度。 例2、求下列函数的周期。 （1）（2） 总结：（1）函数（其中均为常数，且 的周期T=。

（2）函数（其中均为常数，且 的周期T=。 例3、求证：的周期为。 例4、（1）研究和函数的图象，分析其周期性。 （2）求证：的周期为（其中均为常数， 且 总结：函数（其中均为常数，且 的周期T=。 例5、（1）求的周期。 （2）已知满足，求证：是周期函数 课后思考：能否利用单位圆作函数的图象。 六、作业： 七、自主体验与运用 1、函数的周期为（） A、B、C、D、 2、函数的最小正周期是（） A、B、C、D、 3、函数的最小正周期是（） A、B、C、D、 4、函数的周期是（） A、B、C、D、 5、设是定义域为R,最小正周期为的函数，

若，则的值等于（） A、1 B、 C、0 D、 6、函数的最小正周期是，则 7、已知函数的最小正周期不大于2，则正整数 的最小值是 8、求函数的最小正周期为T，且，则正整数 的最大值是 9、已知函数是周期为6的奇函数，且则 10、若函数，则 11、用周期的定义分析的周期。 12、已知函数，如果使的周期在内，求 正整数的值 13、一机械振动中，某质子离开平衡位置的位移与时间之间的 函数关系如图所示： （1）求该函数的周期； （2）求时，该质点离开平衡位置的位移。 14、已知是定义在R上的函数，且对任意有 成立， （1）证明：是周期函数； （2）若求的值。

三角函数的对称性测试题(人教A版)(含答案)

三角函数的对称性（人教A版）一、单选题(共10道，每道10分) 1.函数在上对称轴的条数为( ) A.1 B.2 C.3 D.0 答案：B 解题思路： 令，解得，． ∴，解得，, ∴，即共2条对称轴． 故选B． 试题难度：三颗星知识点：正弦函数的对称性 2.方程（是参数，）表示的曲线的对称轴的方程为( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： ∵， ∴．

∴方程表示的曲线为：． 令，解得，． ∴对称轴的方程为． 故选B． 试题难度：三颗星知识点：正弦函数的对称性 3.已知，函数的一条对称轴为直线，一个对称中心为 ，则有( ) A.最小值2 B.最大值2 C.最小值1 D.最大值1 答案：A 解题思路： 由题意， （1）， 则，解得，． ∴可取： （2）， 则，解得，． ∴可取： 由题意知，必须同时满足（1）（2）， 则有最小值2．

故选A． 试题难度：三颗星知识点：余弦函数的对称性 4.函数（）图象的一条对称轴在内，则满足此条件的一个值为( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路： 由题意， 令，解得． ∴对称轴为直线，， ∵该对称轴在内， ∴， 解得，． 又， ∴当时，，可取，满足题意， 故选A． 试题难度：三颗星知识点：正弦函数的对称性

5.已知函数图象在区间上仅有两条对称轴，且，那么符合条件的值有( )个 A.1 B.2 C.3 D.4 答案：D 解题思路： 由题意，，作出的大致图象如下： 由图知， ①，②， 由①得，；由②得，． ∵， ∴． 故选D． 试题难度：三颗星知识点：正弦函数的对称性 6.设函数与函数的对称轴完全相

三角函数和差公式

1、同角三角函数基本关系 ⒈同角三角函数的基本关系式 倒数关系: tanα ·cotα＝1 sinα ·cscα＝1 cosα ·secα＝1 商的关系: sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα 平方关系: sin^2(α)＋cos^2(α)＝1 1＋tan^2(α)＝sec^2(α) 1＋cot^2(α)＝csc^2(α) ⒉两角与与差的三角函数公式 sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ tan(α＋β)＝(tanα＋tanβ)/(1－tanα ·tanβ) tan(α－β)＝(tanα－tanβ)/(1＋tanα ·tanβ) 倍角公式 ⒊二倍角的正弦、余弦与正切公式(升幂缩角公式) sin2α＝2sinαcosα cos2α＝cos^2(α)－sin^2(α)＝2cos^2(α)－1＝1－2sin^2(α) 2tanα tan2α＝————— 1－tan^2(α) 半角公式 ⒋半角的正弦、余弦与正切公式(降幂扩角公式) 1－cosα sin^2(α/2)＝————— 2 1＋cosα cos^2(α/2)＝————— 2 1－cosα tan^2(α/2)＝————— 1＋cosα 万能公式 ⒌万能公式 2tan(α/2)

sinα＝—————— 1＋tan^2(α/2) 1－tan^2(α/2) cosα＝—————— 1＋tan^2(α/2) 2tan(α/2) tanα＝—————— 1－tan^2(α/2) 万能公式推导 附推导: sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))、、、、、、*, (因为cos^2(α)+sin^2(α)=1) 再把*分式上下同除cos^2(α),可得sin2α＝tan2α/(1＋tan^2(α)) 然后用α/2代替α即可。 同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。三倍角公式 ⒍三倍角的正弦、余弦与正切公式 sin3α＝3sinα－4sin^3(α) cos3α＝4cos^3(α)－3cosα 3tanα－tan^3(α) tan3α＝—————— 1－3tan^2(α) 三倍角公式推导 附推导: tan3α＝sin3α/cos3α ＝(sin2αcosα＋cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα) ＝(2sinαcos^2(α)＋cos^2(α)sinα－sin^3(α))/(cos^3(α)－cosαsin^2(α)－2sin^2(α)cosα) 上下同除以cos^3(α),得: tan3α＝(3tanα－tan^3(α))/(1-3tan^2(α)) sin3α＝sin(2α＋α)＝sin2αcosα＋cos2αsinα ＝2sinαcos^2(α)＋(1－2sin^2(α))sinα ＝2sinα－2sin^3(α)＋sinα－2sin^2(α) ＝3sinα－4sin^3(α) cos3α＝cos(2α＋α)＝cos2αcosα－sin2αsinα ＝(2cos^2(α)－1)cosα－2cosαsin^2(α) ＝2cos^3(α)－cosα＋(2cosα－2cos^3(α)) ＝4cos^3(α)－3cosα 即 sin3α＝3sinα－4sin^3(α) cos3α＝4cos^3(α)－3cosα 三倍角公式联想记忆