常微分方程习题答案大全

习题1.2

1．

dx

dy

=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：

y

dy

=2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e

2

x +e c =cex 2

另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0

原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2

x .

2. y 2

dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y 2dx=-(x+1)dy

2y dy dy=-1

1+x dx

两边积分: -

y

1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c

另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=

|

)1(|ln 1

+x c

3．dx dy =y

x xy y 321++

解：原方程为：dx

dy =y y 21+3

1

x x + y y 21+dy=3

1

x x +dx 两边积分：x(1+x 2

)(1+y 2

)=cx 2

4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为：

y y -1dy=-x

x 1

+dx

两边积分：ln|xy|+x-y=c

另外 x=0,y=0也是原方程的解。

5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0

解：原方程为：

dx dy =-y

x y x +-

令

x

y

=u 则dx dy =u+x dx du 代入有：

-1

12++u u du=x 1dx

ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x

y

. 6. x

dx

dy

-y+22y x -=0 解：原方程为：

dx dy =x y +x

x |

|-2)(1x y -

则令

x

y

=u dx dy =u+ x dx du

2

11u - du=sgnx

x

1

dx arcsin

x

y

=sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：

tgy dy =ctgx

dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=

x c cos 1=x

c

cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0.

所以原方程的通解为sinycosx=c.

8 dx dy +y

e x y 32

+=0 解：原方程为：dx dy =y

e y 2

e x 3

2 e

x

3-3e

2

y -=c.

9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为：

dx dy =x y ln x

y

令x y

=u ,则dx dy =u+ x dx du

u+ x

dx

du

=ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+ln

x

y

=cy. 10.

dx

dy =e y

x - 解：原方程为：

dx

dy =e x e y

- e y

=ce x

11

dx

dy =(x+y)2

解：令x+y=u,则

dx dy =dx

du -1 dx du -1=u 2

2

11

u +du=dx arctgu=x+c arctg(x+y)=x+c

12.

dx dy =2

)(1y x + 解：令x+y=u,则dx dy =dx

du -1

dx du -1=21u

u-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c. 13.

dx dy =1

212+-+-y x y x 解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0 dxy-d(y 2

-y)-dx 2

+x=c

xy-y 2+y-x 2

-x=c

14:

dx dy =2

5--+-y x y x 解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dx xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0

dxy-d(

21y 2+2y)-d(2

1

x 2+5x)=0 y 2+4y+x 2+10x-2xy=c.

15: dx

dy

=(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1+ 解：原方程为：dx

dy

=（x+4y ）2+3

令x+4y=u 则dx dy =41dx du -4

1

41dx du -41=u 2

+3 dx du

=4 u 2+13 u=2

3

tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=3

2

(x+4y+1).

16:证明方程

y x dx

dy

=f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程： 1） y(1+x 2

y 2

)dx=xdy

2） y x dx dy =2

222x -2 y x 2y

+ 证明： 令xy=u,则x dx dy +y=dx

du 则dx dy =x 1dx du -2x u

，有：

u x dx

du

=f(u)+1

)1)((1+u f u du=x

1

dx

所以原方程可化为变量分离方程。

1） 令xy=u 则

dx dy =x 1dx du -2

x u

(1) 原方程可化为：dx dy =x

y [1+（xy ）2

] (2)

将1代入2式有：x 1dx du -2x u =x

u (1+u 2

)

u=22+u +cx

17.求一曲线，使它的切线坐标轴间的部分初切点分成相等的部分。

解：设（x +y ）为所求曲线上任意一点，则切线方程为：y=y ’(x- x )+ y

则与x 轴，y 轴交点分别为： x= x 0 -

'

y y y= y 0 - x 0 y’ 则 x=2 x 0 = x 0 -

'

y y 所以 xy=c 18.求曲线上任意一点切线与该点的向径夹角为0的曲线方程，其中α =4

π 。 解：由题意得：y ’=x

y

y 1dy=x 1 dx

ln|y|=ln|xc| y=cx. α =

4

π

则y=tg αx 所以 c=1 y=x. 19.证明曲线上的切线的斜率与切点的横坐标成正比的曲线是抛物线。 证明：设(x,y)为所求曲线上的任意一点，则y ’=kx 则：y=kx 2

+c 即为所求。

习题2.1

1.

xy dx

dy

2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得

。

故它的特解为代入得

把即两边同时积分得：e e x

x y c y x x c y c y xdx dy y

2

2

,11,0,ln ,21

2

=====+==

,0)1(.22

=++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.

解：对原式进行变量分离得：

。

故特解是

时，代入式子得。当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当x

y c y x y x c y c y x y dy dx x y

++=====++=+=+≠=+-

1ln 11

,11,001ln 1

,11ln 0,1112

3

y

xy dx dy x y 32

1++

=

解：原式可化为：

x

x y

x

x y x y

x y

y

x

y

c c c c x dx x dy y y

x y

dx

dy 2

22

2

2

2

2

2

3

22

3

2

)1(1)1)(1(),0(ln 1ln 2

1ln 1ln 2

1

1

1,0111=++

=++

≠++-=+

+=+≠+

?

+

=+）故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然

.0;0;ln ,ln ,ln ln 0

110000

)1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：

10ln 1ln ln 1ln 1,0

ln 0

)ln (ln :931:8.

cos ln sin ln 0

7ln sgn arcsin ln sgn arcsin 1

sgn 11,)1(,,,6ln )1ln(2

11

11,11,,,0

)()(:5332

2

22

2

22

2

22

2

c dx dy dx dy x

y

cy u

d u

u dx x x y u dx x

y

dy x y ydx dy y x x c dy y

y y

y

dx dy c x y tgxdx ctgydy ctgxdy tgydx c

x x x

y

c

x x u dx

x x du x

dx

du dx

du

x u dx dy ux y u x y y dx dy x

c x arctgu dx

x du u u u dx du x u dx

du x

u dx dy ux y u x y x y x y dx dy dx x y dy x y e e e e e e e

e x y u

u x

y x u u x y

x

y

y x x

x

+===+=+-===-?-=--+-=-=+-===-=+?=+?=?=--=+===-+=+-=++

=++-++=++===+-==-++-+--

两边积分解：变量分离：。

代回原变量得：则有：令解：方程可变为：解：变量分离，得

两边积分得：解：变量分离，得：：也是方程的解。

另外，代回原来变量，得两边积分得：分离变量得：则原方程化为：

解：令：。两边积分得：变量分离，得：则令解：

c

x y x arctg c

x arctgt dx dt dx dt dx dt dx dy t y x dx

dy c

dx dy dx

dy t

t y x e e e e e x y

x

y

y

x +=++==++=+==+=+===+-)(,1

11

1

1,.112

22)(代回变量得：两边积分变量分离得：原方程可变为：则解：令两边积分得：解：变量分离，

12．2)

(1y x dx dy += 解

c x y x arctg y x c x arctgt t dx dt t t t

dx dt dx dt dx dy t y x +=+-++=-=++=-==+)(1

11122

2，代回变量，两边积分变量分离，原方程可变为，则

令

变量分离

，则方程可化为：令则有令的解为解：方程组U U dX dU X U X Y Y X Y

X dX dY Y y X x y x y x y x y x y x dx dy U 21222'

22,31,313

1

,31;012,0121

212.

132

-+-=

=--=+=-==

-==+-=--+---=

.

7)5(721

772

17)7(,71,1,52

5,

14)5(22

c x y x c

x t dx dt t t t

dx dt dx dt dx dy t y x y x y x dx dy y x t +-=+--+-=----=--===---+-=

+-代回变量两边积分变量分离原方程化为：则

解：令

15．1

8)14()1(22+++++=xy y x dx dy

原方程的解。

，是

，两边积分得分离变量，

，所以求导得，则关于令解：方程化为c x y x arctg dx du u u dx du dx du dx dy x u y x y x xy y y x x dx

dy

+=++=++==+=+++++=+++++++=6)38

3232(9

414

9

4141412

)14(1818161222222

16．2

252

622y x xy x y dx dy +-=

解：，则原方程化为，，令u y x

xy x y dx dy x xy y x y dx dy =+-==+-=3

2

322332322232]2)[(32(2)( 126326322

2

2

2+-=+-=x

u x u x

xu x u dx du ，这是齐次方程，令

c

x x y x y c x y x y c x x y x y c x z z dx x dz d

z z z z z x y x y z z z z z z z dx dz x dx dz x z z z dx dz x z dx du z x u 15337333533735

372

233222)2()3(023)2()3,)2()3112062312306)1.(..........1261263=+-=-===+-=+-=--+≠---==-===--+--=+=+-+==的解为时。故原方程包含在通解中当或，又因为即（，两边积分的（时，变量分离当是方程的解。或）方程的解。即是（或，得当，，，，所以，则

17. y

y y x x xy x dx dy -+++=3

2

32332 解：原方程化为1

231

32;;;;;)123()132(2

2

22222222-+++=-+++=y x y x dx dy y x y y x x dx dy 令)1.......(1

231

32;;;;;;;;;;;;,22-+++===u v u v dv du v x u y 则

方程组，，，）；令，的解为（111101230

132+=-=-??

?=-+=++u Y v Z u v u v

则有???

????

++==+=+z y z y dz dy y z y z 23321023032）化为，，，，从而方程（ 令

)2.( (232223322)

，，，，，所以，，则有t

t dz dt z t t dz dt z t dz dt z t dz dy z y t +-=++=++== 当

是原方程的解

或的解。得，是方程时，，即222222)2(1022x y x y t t -=-=±==-当

c x y x y dz z dt t

t t 522222

2)2(12223022+-=+=-+≠-两边积分的时，，分离变量得 另外

c x y x y x y x y 522222222)2(2+-=+-=-=原方程的解为，包含在其通解中，故，或

，这也就是方程的解。

，两边积分得分离变量得，则原方程化为令解）（并由此求解下列方程可化为变量分离方程，经变换证明方程

c y x x y dx x du u u u u

x u u u u x y x y x dx dy y x xdy dx y x y u xy xy f dx

dy y x +==--=

+-+====+==+=+=++==+=≠==+=+=+==--==+=-+=

=+===4

ln 142241)22(1dx du u xy (2) 0.

x ,c 2

故原方程的解为原也包含在此通解中。0y ,c 2

即,c 2两边同时积分得：dx x 12u du 变量分离得：),(2u x 1dx du 则方程化为u,xy 令1dx

dy y x 时，方程化为0s xy 是原方程的解，当0y 或0x 当:(1)解程。

故此方程为此方程为变u)

(uf(u)x 11)(f(u)x u 1)y(f(u)dx du f(u),1dx du y 1得：y dx

du dx dy x 所以,dx dy dx dy x y 求导导得x 关于u,xy 证明：因为22).2()1(.1)(18.2

222

222

2

2

2

2

222

4

22

3

3

222

22222x y x y x y x y

x u u u

u y

x

19. 已知f(x)?≠=x

x f x dt x f 0

)(,0,1)(的一般表达式试求函数.

解：设f(x)=y, 则原方程化为?=x

y

dt x f 0

1

)( 两边求导得

'12

y y

y -

= c

x y y c x dy y dx dx dy y +±==+-==

-21

;;;;;121;;;;;;;;;;;;1;;;;;;;;;;233所以两边积分得代入

把c

x y +±

=21?

=

x

y

dt x f 0

1

)(

x

y c c x c c x c x dt c

t x

21,02)2(;;;;;;;;;;2210

±

==+±=-+±+±=+±?

所以得

20.求具有性质 x(t+s)=)

()(1)

()(s x t x s x t x -+的函数x(t),已知x’(0)存在。

解：令t=s=0 x(0)=

)0(1)0()0(x x x -+=)

0()0(1)

0(2x x x - 若x(0)≠0 得x 2=-1矛盾。

所以x(0)=0. x’(t)=)(1)(0(')

()(1[))

(1)((lim )()(lim

22t x x t x t x t t x t x t t x t t x +=?-?+?=?-?+) ))(1)(0(')

(2t x x dt

t dx +=

dt x t x t dx )0(')(1)(2=+ 两边积分得arctg

x(t)=x’(0)t+c 所以x(t)=tg[x’(0)t+c] 当t=0时 x(0)=0 故c=0 所以 x(t)=tg[x’(0)t]

习题2.2

求下列方程的解 1．

dx

dy

=x y sin + 解： y=e ?dx (?x sin e ?-dx

c dx +)

=e x [-

21e x

-(x x cos sin +)+c] =c e x -2

1

(x x cos sin +)是原方程的解。

2．

dt

dx

+3x=e t 2 解：原方程可化为：

dt

dx

=-3x+e t 2 所以：x=e ?

-dt

3 (?e t 2 e -?-dt

3c dt +)

=e t 3- (51

e t 5+c)

=c e t 3-+51

e t 2 是原方程的解。

3．dt

ds

=-s t cos +21t 2sin

解：s=e ?-tdt cos (t 2sin 2

1

?e dt dt ?3c + )

=e t sin -(?+c dt te t t sin cos sin ) = e t sin -(c e te t t +-sin sin sin )

=1sin sin -+-t ce t 是原方程的解。

4．

dx dy n x x e y n

x

=- ， n 为常数. 解：原方程可化为：dx dy n x x e y n x

+=

)(c d x e

x e e

y dx

x n

n

x

dx

x n

+??=?-

)(c e x x n += 是原方程的解.

5．

dx dy +1212--y x

x

=0 解：原方程可化为：dx dy =-1212+-y x x

?

=-dx

x

x e

y 2

12(c dx e

dx

x x +?

-2

21)

)

2

1

(ln 2+=x e

)(1

ln 2?+-

-c dx e

x

x

=)1(12x

ce x + 是原方程的解.

6． dx dy 2

3

4xy x x += 解：dx dy 2

3

4xy

x x += =23y

x +x y

令

x

y

u = 则 ux y = dx dy =u dx du x +

因此：dx du x u +=2u x

21

u dx du =

dx du u =2

c x u +=3

3

1 c x x u +=-33 （*） 将

x

y

u =带入 （*）中 得：3433cx x y =-是原方程的解.

33

3

2

()2

1()2

27.(1)12(1)1

2

(),()(1)1(1)(())

1(1)dx

P x dx

x P x dx dy y x dx x dy y x dx x P x Q x x x e e x e Q x dx c x +--=++=+++==++??

==+?

?++??

P(x)dx

2

3

2

解：方程的通解为： y=e =(x+1)(*(x+1)dx+c) =(x+1)((x+23

2

2

1

(1)()

2

11

,()(())

dy y x c dy y dx x y dx x y dy y y

Q y y y

e y

Q y dy c -+++==+=??==?

?+??2

243P(y)dy P(y)dy

P(y)dy

1)dx+c)

=(x+1) 即：2y=c(x+1)+(x+1)为方程的通解。 8. =x+y 解：则P(y)= e 方程的通解为： x=e e 23

3

1

*)

2

2

y dy c y

y cy

y ++? =y( =即 x= +cy是方程的通解 ，且y=0也是方程的解。

()()()19.

,1

),()(())

01a

dx P x dx a

x P x dx

P x dx

a a dy ay x a dx x x

a x P x Q x x x e e x e e Q x dx c a a -+=++==

??==?

?+==?为常数解：（方程的通解为： y=1x+1

=x (dx+c)

x x

当 时，方程的通解为

y=x+ln/x/+c 当 时，方程01a a a

≠a 的通解为 y=cx+xln/x/-1 当 ，时，方程的通解为

x 1

y=cx +-

1-

33

3

1()()()310.1

1

(),()1

(())

(*)

dx P x dx x P x dx

P x dx dy

x

y x dx dy y x dx x

P x Q x x x e e x

e e Q x dx c x x dx c c

x

c

x

--+==-+=-=??==

?

?+++

+

??33解：方程的通解为： y=1

=x x =4x 方程的通解为：　y=4

3

2221

2

11

1()()222ln 1

12.(ln 2)424

ln 2ln 2ln 22ln 2ln (),()(())

ln 1(())(P x dx

P x dx dx dx x

x c x y x ydx xdy x dy x y y dx x x y dy x y y dx x x dy x y dx x x y z dz x z dx x x

x P x Q x x x

z e e Q x dx c x z e e dx c x x -------=++

=-

=-=-==-==-

?

?=+??=-+=??解： 两边除以 令方程的通解为：222ln ())

ln 1424

ln 1

:()1,424

x dx c x x

c x x c x y x -+=++++=?方程的通解为且y=0也是解。

13

222(2)2122xydy y x dx dy y x y dx xy x y =--==-

这是n=-1时的伯努利方程。 两边同除以

1

y

， 212

dy y y dx x =- 令2y z =

2d z d y y d x d x

= 22211dz y z

dx x x

=-=-

P(x)=

2

x

Q(x)=-1 由一阶线性方程的求解公式

2

2

()dx dx

x x z e e dx c -??=-+?

=2x x c +

22y x x c =+

14 23y dy e x dx x

+= 两边同乘以y e 2

2

()3y y

y

dy e xe e dx x += 令y e z =

y d z d y e

d x d x

= 22

2233dz z xz z z dx x x x

+==+ 这是n=2时的伯努利方程。 两边同除以2z

22131dz z dx xz x =+ 令1

T z

=

21dT dz dx z dx =- 231

dT T dx x x

-=+

P （x ）=3x - Q(x)=21

x -

由一阶线性方程的求解公式

3321()dx dx x x

T e e dx c x

--??=+?

=321

()2x x c --+

=131

2x cx ---+

131

()12z x cx ---+=

131

()12y e x cx ---+=

231

2y y x e ce x -+= 2

312

y x x e c -+=

15

331dy dx xy x y =+

33dx

yx y x dy

=+ 这是n=3时的伯努利方程。 两边同除以3x

33

21dx y

y x dy x

=+ 令2x z -=

32d z d x x d y d y

-=-

3222d z y

y d y x

=--=322yz y -- P(y)=-2y Q(y)=32y - 由一阶线性方程的求解公式 223(2)ydy

ydy

z e y e dy c ---?

?=-+?

=2

2

3(2)y y e y e dy c --+? =2

21y y ce --++

2

22(1)1y x y ce --++= 2

2

2

22(1)y y y x e y ce e --++= 2

2222(1)y e x x y cx -+=

16 y=x e +0()x

y t dt ?

()x dy

e y x dx =+ x dy

y e dx

=+ P(x)=1 Q(x)=x e 由一阶线性方程的求解公式

11()dx dx

x y e e e dx c -??=+?

=()x x x e e e dx c -+? =()x e x c +

0()()x

x

x

x e x c e e x c dx +=++?

c=1 y=()x e x c +

17 设函数?(t)于-∞

试求此函数。

令t=s=0 得?(0+0)=?(0)?(0) 即?(0)=2(0)? 故(0)0?=或(0)1?= （1） 当(0)0?=时 ()(0)()(

t t t ????=+= 即()0t ?= (t ?∈-∞,+∞)

(2) 当(0)1?=时 '0

()()()lim

t t t t t t

????→+?-=?=0

()()()

lim t t t t t

????→?-?

=0

()(()1)

lim

t t t t

???→?-?=0

(0)(0)

()lim

t t t t

????→?+-?

='(0)()t ??

于是

'(0)()d t dt

?

??= 变量分离得'(0)d dt ???= 积分 '(0)t ce ??= 由于(0)1?=，即t=0时1?= 1=0ce ?c=1 故'

(0)()t t e ??=

20.试证：

（1）一阶非齐线性方程（2 .28）的任两解之差必为相应的齐线性方程（2.3）之解；

常微分方程试题库

常微分方程试题库 二、计算题（每题6分） 1. 解方程：0cot tan =-xdy ydx ； 2. 解方程：x y x y e 2d d =+； 3. 解方程：； 4. 解方程： t e x dt dx 23=+； 5. 解方程：0)2(=+---dy xe y dx e y y ； 6. 解方程：0)ln (3=++dy x y dx x y ； 7. 解方程：0)2()32(3222=+++dy y x x dx y x xy ； 8. 解方程：0485=-'+''-'''x x x x ； 9. 解方程：02)3()5()7(=+-x x x ； 10. 解方程：02=-''+'''x x x ； 11. 解方程：1,0='-'='+'y x y x ； 12. 解方程： y y dx dy ln =； 13. 解方程：y x e dx dy -=； 14. 解方程：02)1(22=+'-xy y x ； 15. 解方程：x y dx dy cos 2=； 16. 解方程：dy yx x dx xy y )()(2222+=+； 17. 解方程：x xy dx dy 42=+； 18. 解方程：23=+ρθ ρ d d ； 19. 解方程：22x y xe dx dy +=； 20. 解方程：422x y y x =-'； 选题说明：每份试卷选2道题为宜。

二、计算题参考答案与评分标准：（每题6分） 1. 解方程：0cot tan =-xdy ydx 解： ,2,1,0,2 ,±±=+==k k x k y π ππ是原方程的常数解， （2分） 当2 ,π ππ+ ≠≠k x k y 时，原方程可化为： 0cos sin sin cos =-dx x x dy y y ， （2分） 积分得原方程的通解为： C x y =cos sin . （2分） 2. 解方程： x y x y e 2d d =+ 解：由一阶线性方程的通解公式 ? ? +? =-),)(()()(dx e x f C e y dx x p dx x p （2分） x x x x dx x dx e Ce dx e C e dx e e C e 3 1 )() (23222+=+=?+?=---?? 分） （分） （22 3. 解方程： 解：由一阶线性方程的通解公式 ??+?=-))(()()(dx e x f C e y dx x p dx x p （2分） =??+?-)sec (tan tan dx xe C e xdx xdx （2分） ?+=)sec (cos 2xdx C x x x C sin cos +=. （2分） 4. 解方程： t e x dt dx 23=+ 解：由一阶线性方程的通解公式 ??+? =-))(()()(dt e t f C e x dt t p dt t p （2分） =??+?-)(323dt e e C e dt t dt （2分） ?+=-)(53dt e C e t t

常微分方程练习题及答案复习题)

常微分方程练习试卷 一、 填空题。 1. 方程23 2 10d x x dt +=是 阶 （线性、非线性）微分方程. 2. 方程 ()x dy f xy y dx =经变换_______，可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程 3230d y y x dx --=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有 个. 4. 设常系数方程 x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x x y x e e xe =++，则此方程的系数α= ，β= ，γ= . 5. 朗斯基行列式 ()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t 在a x b ≤≤上线性相关的 条件. 6. 方程 22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 . 7. 已知 ()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的，则()A t = . 8. 方程组 20'05??=???? x x 的基解矩阵为 ． 9.可用变换 将伯努利方程 化为线性方程. 10 .是满足方程 251y y y y ''''''+++= 和初始条件 的唯一解. 11.方程 的待定特解可取 的形式: 12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是 二、 计算题 1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 2．求解方程13 dy x y dx x y +-=-+. 3. 求解方程 222()0d x dx x dt dt += 。 4．用比较系数法解方程. . 5．求方程 sin y y x '=+的通解. 6．验证微分方程 22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解.

《常微分方程》期末试卷

《常微分方程》期末试卷(16) 班级 学号 姓名 得分 评卷人 一、填空题（每小题5分，本题共30分） 1．方程x x y x y e sin d d =+的任一解的最大存在区间必定是 ． 2．方程04=+''y y 的基本解组是 ． 3．向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在区间I 上线性相关的________________条件是在区间I 上它们的朗斯基行列式0)(=x W ． 4．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 条件． 5．n 阶线性齐次微分方程的所有解构成一个 维线性空间． 6．向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在其定义区间I 上线性相关的 条件是它们的朗斯基行列式0)(=x W ，I x ∈． 得分 评卷人 二、计算题（每小题8分，本题共40分） 求下列方程的通解 7. x y x y 2e 3d d =+ 8. 0)d (d )(3223=+++y y y x x xy x 9．0e =-'+'x y y 10．求方程x y y 5sin 5='-''的通解． 11．求下列方程组的通解． ???????+=+=y x t y y x t x 4d d d d 得分 评卷人 三、证明题（每小题15分，本题共30分）

12．设)(1x y ?=和)(2x y ?=是方程0)(=+''y x q y 的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式C x W ≡)(，其中C 为常数． 13．设)(x ?在区间),(∞+-∞上连续．试证明方程 y x x y sin )(d d ?= 的所有解的存在区间必为),(∞+-∞．

常微分方程期末试题B答案

2005——2006学年第二学期 常微分方程课程试卷（B） 一、填空题（每空2 分，共16分）。 1．李普希滋条件是初值问题存在唯一解的充分条件． 2. 一阶微分方程的一个特解的图像是二 维空间上的一条曲线． 3．线性齐次微分方程组Y A Y ) ( d d x x =的一个基本解组的个数不能多于n个，其中R ∈ x，n R Y∈． 4．二阶线性齐次微分方程的两个解) ( 1 x y? =,) ( 2 x y? =成为其基本解组的充要条件是线性无关． 5．方程2 sin() y xy y '' =+的通解是 6．变量可分离方程()()()()0= +dy y q x p dx y N x M的积分因子是()() x P y N 1 7．性齐次微分方程组的解组) ( , ), ( ), ( 2 1 x x x n Y Y Y 为基本解组的充分必要条件是它们的朗斯基行列式0 ) (≠ x W． 8．方程540 y y y ''' ++=的基本解组是x x e e4 ,- - 二、选择题（每小题3 分，共15分）。 9．两个不同的线性齐次微分方程组（ D ）的基本解组． (A) 一定有相同(B) 可能有相同 (C) 一定有相似(D) 没有相同 10．方程组 ? ? ? ?? ? ? + = + = y x t y y x t x 4 3 d d 2 d d 的奇点)0,0(的类型是（D ）． （A）稳定焦点（B）不稳定焦点（C）鞍点（D）不稳定结点11．方程x(y2－1)d x+y(x2－1)d y=0的所有常数解是（ C ）． (A) 1± = x(B)1± = y

(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x 12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）． （A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间 （C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间 13．方程4d d +-=x y x y （ A ）奇解． (A) 无 (B) 有一个 (C) 有两个 (D) 可能有 三、计算题（每小题8分，共48分） 。 14．求方程 x y x y x y tan d d +=的通解 解：令x y u =，则u x u y '+='， u x u x tan d d = 当0tan ≠u 时，等号两边积分 1d tan d C x x u u +=?? C x u ln ln sin ln += 0≠C Cx x y =sin 15．求方程0d d )1(2=+--y x x y x 的通解 解：积分因子21)(x x =μ， 则 0d 1d 122=+--y x x x y x 为全微分方程．取10=x ，00=y ，于是通积分为 1012 2d d 1C y x x y x y x =+--?? 即 C x x x y =++1 16．求方程2221)(x y x y y + '-'=的通解 解:令 p y ='，得到2 2 2x xp p y +-= （*） ，两端同时关于求导，

《常微分方程》期末模拟试题

《常微分方程》模拟练习题及参考答案 一、填空题（每个空格4分，共80分） 1、n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是 n 个。 2、一阶微分方程 2=dy x dx 的通解为 2=+y x C （C 为任意常数） ，方程与通过点（2，3）的特解为 2 1=-y x ，与直线y=2x+3相切的解是 2 4=+y x ，满足条件3 3ydx =?的解为 22=-y x 。 3、李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 必要 条件。 4、对方程 2()dy x y dx =+作变换 =+u x y ，可将其化为变量可分离方程，其通解为 tan()=+-y x C x 。 5、方程过点共有 无数 个解。 6、方程 ''2 1=-y x 的通解为 42 12122=-++x x y C x C ，满足初始条件13|2,|5====x x y y 的特解为 4219 12264 =-++x x y x 。 7、方程 无 奇解。 8、微分方程2260--=d y dy y dx dx 可化为一阶线性微分方程组 6?=??? ?=+??dy z dx dz z y dx 。 9、方程 的奇解是 y=0 。 10、35323+=d y dy x dx dx 是 3 阶常微分方程。 11、方程 22dy x y dx =+满足解得存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 。 12、微分方程22450d y dy y dx dx --=通解为 512-=+x x y C e C e ，该方程可化为一阶线性微分方程组 45?=??? ?=+??dy z dx dz z y dx 。 2 1d d y x y -=)1,2 (πx x y x y +-=d d y x y =d d

(整理)常微分方程试题及参考答案

常微分方程试题 一、填空题(每小题3分，共39分) 1.常微分方程中的自变量个数是________. 2.路程函数S(t)的加速度是常数a，则此路程函数S(t)的一般形式是________. 3.微分方程=g( )中g(u)为u的连续函数，作变量变换________，方程可化为变 量分离方程. 4.微分方程F(x,y′)=0中令P=y′,若x、P平面上的曲线F(x,P)=0的参数形式 为x= (t),P=ψ(t),t为参数，则方程参数形式的通解为________. 5.方程=(x+1)3的通解为________. 6.如果函数f(x,y)连续，y= (x)是方程=f(x,y)的定义于区间x0≤x≤x0+h上，满 足初始条件 (x0)=y0的解.则y= (x)是积分方程________定义于x0≤x≤x0+h 上的连续解. 7.方程=x2+xy，满足初始条件y(0)=0的第二次近似解是________. 8.方程+a1(t) +…+a n-1(t) +a n(t)x=0 中a i(t) i=1,2,…，n是〔a,b〕上的连续函数，又x1(t),x2(t),…，x n(t)为方程n 个线性无关的解，则其伏朗斯基行列式W(t) 应具有的性质是：________. 9.常系数线性方程x(4)(t)-2x″(t)+x(t)=0的通解为________. 10.设A(t)是区间a≤t≤b上的连续n×n矩阵，x1(t),x2(t),…，x n(t)是方程组 x′=A(t)x的n个线性无关的解向量.则方程组的任一解向量x(t)均可表示为：x(t)=________的形式. 11.初值问题(t)+2x″(t)-tx′(t)+3x(t)=e-t,x(1)=1,x′(1)=2,x″(1)=3 可化为与之 等价的一阶方程组________. 12.如果A是3×3的常数矩阵，-2为A的三重特征值，则方程组x′=Ax的基 解矩阵exp A t=________. 13.方程组 的奇点类型是________. 二、计算题(共45分) 1.(6分)解方程 = . 2.(6分)解方程 x″(t)+ =0. 3.(6分)解方程 (y-1-xy)dx+xdy=0. 4.(6分)解方程

一阶常微分方程解法总结

第 一 章 一阶微分方程的解法的小结 ⑴、可分离变量的方程： ①、形如 )()(y g x f dx dy = 当0)(≠y g 时，得到 dx x f y g dy )() (=，两边积分即可得到结果； 当0)(0=ηg 时，则0)(η=x y 也是方程的解。 例1.1、 xy dx dy = 解：当0≠y 时，有 xdx y dy =，两边积分得到)(2ln 2为常数C C x y += 所以)(112 12 C x e C C e C y ±==为非零常数且 0=y 显然是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)(12 12 为常数C e C y x = ②、形如0)()()()(=+dy y Q x P dx y N x M 当0)()(≠y N x P 时，可有 dy y N y Q dx x P x M ) () ()()(=，两边积分可得结果； 当0)(0=y N 时，0y y =为原方程的解，当0(0=） x P 时，0x x =为原方程的解。 例1.2、0)1()1(2 2 =-+-dy x y dx y x 解：当0)1)(1(2 2 ≠--y x 时，有 dx x x dy y y 1 122-=-两边积分得到 )0(ln 1ln 1ln 22≠=-+-C C y x ，所以有)0()1)(1(22≠=--C C y x ； 当0)1)(1(2 2 =--y x 时，也是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)()1)(1(2 2 为常数C C y x =--。 ⑵可化为变量可分离方程的方程： ①、形如 )(x y g dx dy = 解法：令x y u =，则udx xdu dy +=，代入得到)(u g u dx du x =+为变量可分离方程，得到

常微分方程习题集

《常微分方程》测试题1 一、填空题30% 1、形如的方程，称为变量分离方程， 这里.分别为的连续函数。 2、形如-的方程，称为伯努利方程， 这里的连续函数.n 3、如果存在常数-对于所有函数称为在R上 关于满足利普希兹条件。 4、形如-的方程，称为 欧拉方程，这里 5、设的某一解，则它的任一解 - 。 二、计算题40% 1、求方程 2、求方程的通解。 3、求方程的隐式解。 4、求方程 三、证明题30% 1.试验证=是方程组x=x,x= ，在任何不包含原点的区间a上的基解矩阵。 2.设为方程x=Ax（A为nn常数矩阵）的标准基解矩阵（即（0）=E），证明: (t)=(t- t)其中t为某一值.<%建设目标%> 《常微分方程》测试题2

一、填空题：（30%） 1、曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项，则曲线所满足的 8、已知是二阶齐次线性微分方程的一个非零解，则与线性无关的另一 10、线性微分方程组的解是的基本解组的充要条件是. 二、求下列微分方程的通解：（40%） 1、 2、 3、 4、 5、求解方程． 三、求初值问题的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计. （10分）

四、求解微分方程组 满足初始条件的解. （10%） 五、证明题：（10%） 设，是方程 的解，且满足==0，，这里在上连续，．试证明：存在常数C使得=C 《常微分方程》测试题3 1．辨别题 指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%) （1）（2）（3） （4）（5）（6） 2、填空题(8%) （1）．方程的所有常数解是___________. （2）．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为________________. （3）.若方程M(x, y)d x + N(x, y)d y= 0是全微分方程，同它的通积分是 ________________. （4）.设M(x0, y0)是可微曲线y=y(x)上的任意一点，过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_________________. 3、单选题(14%) （1）．方程是（）.

常微分方程习题及答案.[1]

第十二章 常微分方程 (A) 一、是非题 1．任意微分方程都有通解。( ) 2．微分方程的通解中包含了它所有的解。( ) 3．函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。( ) 4．函数x e x y ?=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。( ) 5．微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y += 2 ln 2 1 (C 为任意常数)。( ) 6．y y sin ='是一阶线性微分方程。( ) 7．xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。( ) 8．052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。( ) 9． 2 2 1xy y x dx dy +++=是可分离变量的微分方程。( ) 二、填空题 1．在横线上填上方程的名称 ①()0ln 3=-?-xdy xdx y 是 。 ②()()022=-++dy y x y dx x xy 是 。 ③x y y dx dy x ln ?=是 。 ④x x y y x sin 2+='是 。 ⑤02=-'+''y y y 是 。 2．x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含 个独立常数。 3．x e y 2-=''的通解是 。 4．x x y cos 2sin -=''的通解是 。 5．124322+=+'+'''x y x y x y x 是 阶微分方程。 6．微分方程()06 ='-''?y y y 是 阶微分方程。

7．x y 1 =所满足的微分方程是 。 8．x y y 2='的通解为 。 9． 0=+ x dy y dx 的通解为 。 10． ()25 11 2+=+- x x y dx dy ，其对应的齐次方程的通解为 。 11．方程()012=+-'y x y x 的通解为 。 12．3阶微分方程3x y ='''的通解为 。 三、选择题 1．微分方程()043='-'+''y y y x y xy 的阶数是( )。 A ．3 B ．4 C ．5 D ． 2 2．微分方程152=-''-'''x y x y 的通解中应含的独立常数的个数为( )。 A ．3 B ．5 C ．4 D ． 2 3．下列函数中，哪个是微分方程02=-xdx dy 的解( )。 A ．x y 2= B ．2x y = C ．x y 2-= D ． x y -= 4．微分方程32 3y y ='的一个特解是( )。 A ．13+=x y B ．()3 2+=x y C ．()2 C x y += D ． ()3 1x C y += 5．函数x y cos =是下列哪个微分方程的解( )。 A ．0=+'y y B ．02=+'y y C ．0=+y y n D ． x y y cos =+'' 6．x x e C e C y -+=21是方程0=-''y y 的( )，其中1C ，2C 为任意常数。 A ．通解 B ．特解 C ．是方程所有的解 D ． 上述都不对 7．y y ='满足2|0==x y 的特解是( )。 A ．1+=x e y B ．x e y 2= C ．22x e y ?= D ． x e y ?=3 8．微分方程x y y sin =+''的一个特解具有形式( )。 A ．x a y sin *= B ．x a y cos *?=

常微分方程解题方法总结.doc

常微分方程解题方法总结 来源：文都教育 复习过半， 课本上的知识点相信大部分考生已经学习过一遍 . 接下来， 如何将零散的知 识点有机地结合起来， 而不容易遗忘是大多数考生面临的问题 . 为了加强记忆， 使知识自成 体系，建议将知识点进行分类系统总结 . 著名数学家华罗庚的读书方法值得借鉴， 他强调读 书要“由薄到厚、由厚到薄”，对同学们的复习尤为重要 . 以常微分方程为例， 本部分内容涉及可分离变量、 一阶齐次、 一阶非齐次、 全微分方程、 高阶线性微分方程等内容， 在看完这部分内容会发现要掌握的解题方法太多， 遇到具体的题 目不知该如何下手， 这种情况往往是因为没有很好地总结和归纳解题方法 . 下面以表格的形 式将常微分方程中的解题方法加以总结，一目了然，便于记忆和查询 . 常微分方程 通解公式或解法 ( 名称、形式 ) 当 g( y) 0 时，得到 dy f (x)dx ， g( y) 可分离变量的方程 dy f ( x) g( y) 两边积分即可得到结果； dx 当 g( 0 ) 0 时，则 y( x) 0 也是方程的 解 . 解法：令 u y xdu udx ，代入 ，则 dy 齐次微分方程 dy g( y ) x dx x u g (u) 化为可分离变量方程 得到 x du dx 一 阶 线 性 微 分 方 程 P ( x)dx P ( x) dx dy Q(x) y ( e Q( x)dx C )e P( x) y dx

伯努利方程 解法：令 u y1 n，有 du (1 n) y n dy ， dy P( x) y Q( x) y n（n≠0,1）代入得到du (1 n) P(x)u (1 n)Q(x) dx dx 求解特征方程：2 pq 三种情况： 二阶常系数齐次线性微分方程 y p x y q x y0 二阶常系数非齐次线性微分方程 y p x y q x y f ( x) (1)两个不等实根：1, 2 通解： y c1 e 1x c2 e 2x (2) 两个相等实根：1 2 通解： y c1 c2 x e x (3) 一对共轭复根：i , 通解： y e x c1 cos x c2 sin x 通解为 y p x y q x y 0 的通解与 y p x y q x y f ( x) 的特解之和. 常见的 f (x) 有两种情况： x （ 1）f ( x)e P m ( x) 若不是特征方程的根，令特解 y Q m ( x)e x；若是特征方程的单根，令特 解 y xQ m ( x)e x；若是特征方程的重根， 令特解 y*x2Q m (x)e x； （2）f (x) e x[ P m ( x) cos x p n ( x)sin x]

2018常微分方程考研复试真题及答案

常微分方程计算题 2.指出下列方程中的阶数，是线性方程还是非线性方程，并说明理由； （1） t 2 2 2dt u d +t dt du +( t 2 -1)u=0 （2） dx dy =x 2+y 2 ; （3）dx dy + 2 x y =0 3.求曲线族y=C 1e x +C 2x e x 所满足的微分方程 4．验证函数y= C 1e x 2+ C 2e x 2-是微分方程y `` -4y=0的解，进一步验证它是通解。 5.试用一阶微分方程形式不变性求解方程dx dy =2x 6.什么叫积分一个微分方程 7．什么是求解常微分方程的初等积分法 8．分离变量一阶方程的特征是什么 9．求下列方程的通解 （1） y ` ＝sinx （2） x 2 y 2 y ` +1=y （3） tgx dx dy =1+y （4） dx dy =exp(2x-y) （5） dx dy =21y 2- （6） x 2 ydx=(1- y 2 +x-2 x 2 y 2 )dx （7）( x 2 +1)( y 2 -1)dx+xydy=0 10.叙述齐次函数的定义 11．试给出一阶方程y ` ＝f(x,y)或p(x,y)dx+ q(x,y)dy=0为齐次方程的特征。说明二

个方程的关系。 12．求解齐次方程通常用什么初等变换，新旧函数导数关系如何 13．求解下列方程 dx dy ＝2 22y x xy - 14．求解下列方程 （1）（x+2y ）dx —xdy=0 (2) dx dy =x y +y x 2 15. dx dy =22y x xy + 16(x 2 +y 2 )dx —2xydy=0 17. dx dy =5 242+---y x x y 18―――――19 20―――――――27

最新常微分方程期末考试题大全(东北师大)

证明题： 设()x f 在[)+∞,0上连续，且()b x f x =+∞ →lim ，又0>a ，求证：对于方程 ()x f ay dx dy =+的一切解()x y ，均有()a b x y x =+∞→lim 。 证明 由一阶线性方程通解公式，方程的任一解可表示为 ()()?? ????+=?-x at ax dt e t f C e x y 0， 即 ()()ax x at e dt e t f C x y ?+= 。 由于b x f x =+∞ →)(lim ，则存在X ，当X x >时，M x f >)(。因而 ()dt e M dt e t f dt e t f x X at X at x at ??? +≥0 )( ())(0 aX ax X at e e a M dt e t f -+ = ? ， 由0>a ，从而有()∞=?? ????+?+∞→x at x dt e t f C 0lim ，显然+∞=+∞ →ax x e lim 。 应用洛比达法则得 ()()ax x at x x e dt e t f C x y ?+=+∞ →+∞ →0 lim lim ()ax ax x ae e x f +∞→=lim ()a b a x f x ==+∞ →lim 。 证明题：线性齐次微分方程组x A x )(t ='最多有n 个线性无关的解，其中)(t A 是定义在区间b t a ≤≤上的n n ?的连续矩阵函数。 证 要证明方程组x A x )(t ='最多有n 个线性无关的解，首先要证明它有n 个线性无关的解，然后再证明任意1+n 个解都线性相关。

常微分方程试题库.

常微分方程 一、填空题 1 .微分方程(立)n +业—VEX? = 0的阶数是 dx dx 答：1 2 .若M (x, V)和N (x, V)在矩形区域R内是(x, V)的连续函数，且有连续的一阶偏导数，则 方程M (x,y)dx + N(x, y)dy =0有只与V有关的积分因子的充要条件是 血 f N -1 答：(亏一寸M)= (V) 3. ^为齐次方程. 答：形如dV =g(V)的方程 dx x 4 .如果f (x, V) ___________________________________________ M ,业=f (x, V)存在 dx 唯一的解y = %x)，定义丁区问x-x o

8. 若X i (t)(i =1,2,.....n)为齐次线性方程的一个基本解组，x(t)为非齐次线性方程的一个 特解,则非齐次线性方程的所有解可表为 答：X =' c i x i - X i 4 9. 若中(X)为毕卡逼近序列虬(X)}的极限，则有|%x)M n(x)W 答：MLh n1 (n 1)! 10. 为黎卡提方程，若它有一个特解y(x),则经过变换 ____________________ ,可化为伯努利方程. 答：形如—=p(x)y2+q(x)y + r (x)的方程y = z + y dx 11. 一个不可延展解的存在区间一定是区间. 答：开 12. ______________________________________________________________ 方程业=后〔满足解的存在唯一性定理条件的区域是_______________________________ . dx ' 答：D ={(x,y)在R2y >0},(或不含x轴的上半平■面) 13 .方程华=x2sin y的所有常数解是. dx 答：y =k二，k =0, —1, —2, 14. 函数组明(x)*2(x)，…，气(x)在区间I上线性无关的条件是它们的朗 斯基行列式在区间I上不包等丁零. 答：充分 15. 二阶线性齐次微分方程的两个解y〔(x), y2(x)为方程的基本解组充分必要条件 是. 答：线性无关(或：它们的朗斯基行列式不等丁零) 16. 方程广-2y'+y=0的基本解组是 答：e x, xe X 17. 若y =%x)在(s,十8)上连续，则方程d^=

常微分方程应用题和答案

应 用 题（每题10分） 1、设()f x 在(,)-∞∞上有定义且不恒为零，又()f x '存在并对任意,x y 恒有 ()()()f x y f x f y +=，求()f x 。 2、设()()()F x f x g x =，其中函数(),()f x g x 在(,)-∞∞内满足以下条件 ()(),()(),(0)0,()()2x f x g x g x f x f f x g x e ''===+= （1）求()F x 所满足的一阶微分方程； （2）求出()F x 的表达式。 3、已知连续函数()f x 满足条件320 ()3x x t f x f dt e ??=+ ??? ?，求()f x 。 4、已知函数()f x 在(0,)+∞内可导，()0,lim ()1x f x f x →+∞ >=，且满足 1 1 0()lim ()h x h f x hx e f x →? ?+ ?= ? ?? ? ，求()f x 。 5、设函数()f x 在(0,)+∞内连续，5 (1)2 f =，且对所有,(0,)x t ∈+∞，满足条件 1 1 1 ()()()xt x t f u du t f u du x f u du =+? ??，求()f x 。 6、求连续函数()f x ，使它满足10 ()()sin f tx dt f x x x =+?? 。 7、已知可微函数()f t 满足 31() ()1()x f t dt f x t f t t =-+?，试求()f x 。 8、设有微分方程 '2()y y x ?-=， 其中21 ()01x x x ?? 。试求在(,)-∞∞内的连续函 数()y y x =使之在(,1)-∞和()1,+∞内部满足所给方程，且满足条件(0)0y =。 9、设位于第一象限的曲线()y f x = 过点122?? ? ? ?? ，其上任一点(,)P x y 处的法线与y 轴的交点为Q ，且线段PQ 被x 轴平分。 （1）求曲线()y f x =的方程； （2）已知曲线sin y x =在[0,]π上的弧长为l ，试用l 表示曲线()y f x =的弧长s 。 10、求微分方程(2)0xdy x y dx +-=的一个解()y y x =，使得由曲线()y y x =与直线 1,2x x ==以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体体积最小。 11、设曲线L 位于xOy 平面的第一象限内，L 上任一点M 处的切线与y 轴总相交，交点记为

(完整版)常微分方程期末考试试卷(6)

常微分方程期末考试试卷(6) 学院 ______ 班级 _______ 学号 _______ 姓名 _______ 成绩 _______ 一． 填空题 （共30分，9小题，10个空格，每格3分）。 1.当_______________时，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程，或称全 微分方程。 2、________________称为齐次方程。 3、求dx dy =f(x,y)满足00)(y x =?的解等价于求积分方程____________________的连续解。 4、若函数f(x,y)在区域G 内连续，且关于y 满足利普希兹条件，则方程),(y x f dx dy = 的解 y=),,(00y x x ?作为00,,y x x 的函数在它的存在范围内是__________。 5、若)(),...(),(321t x t x t x 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________________________。 6、方程组x t A x )(/=的_________________称之为x t A x )(/=的一个基本解组。 7、若)(t φ是常系数线性方程组Ax x =/的基解矩阵，则expAt =____________。 8、满足___________________的点（**,y x ），称为方程组的奇点。 9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部________时，零解是稳定 的，对应的奇点称为___________。 二、计算题（共6小题，每题10分）。 1、求解方程：dx dy =3 12+++-y x y x 2.解方程： (2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=0

常微分方程数值解法

i.常微分方程初值问题数值解法 常微分方程初值问题的真解可以看成是从给定初始点出发的一条连续曲线。差分法是常微分方程初值问题的主要数值解法，其目的是得到若干个离散点来逼近这条解曲线。有两个基本途径。一个是用离散点上的差商近似替代微商。另一个是先对微分方程积分得到积分方程，再利用离散点作数值积分。 i.1 常微分方程差分法 考虑常微分方程初值问题：求函数()u t 满足 (,), 0du f t u t T dt =<≤ （i.1a ） 0(0)u u = (i.1b) 其中(,)f t u 是定义在区域G : 0t T ≤≤, u <∞上的连续函数，0u 和T 是给定的常数。我们假设(,)f t u 对u 满足Lipschitz 条件，即存在常数L 使得 121212(,)(,), [0,]; ,(,)f t u f t u L u u t T u u -≤-?∈∈-∞∞ （i.2） 这一条件保证了（i.1）的解是适定的，即存在，唯一，而且连续依赖于初值0u 。 通常情况下，（i.1）的精确解不可能用简单的解析表达式给出，只能求近似解。本章讨论常微分方程最常用的近似数值解法-差分方法。先来讨论最简单的Euler 法。为此，首先将求解区域[0,]T 离散化为若干个离散点： 0110N N t t t t T -=<< <<= （i.3） 其中n t hn =，0h >称为步长。 在微积分课程中我们熟知，微商（即导数）是差商的极限。反过来，差商就是微商的近似。在0t t =处，在（i.1a ）中用向前差商 10()()u t u t h -代替微商du dt ，便得 10000()()(,())u t u t hf t u t ε=++ 如果忽略误差项0ε，再换个记号，用i u 代替()i u t 便得到 1000(,)u u hf t u -= 一般地，我们有 1Euler (,), 0,1, ,1n n n n u u hf t u n N +=+=-方法： （i.4） 从(i.1b) 给出的初始值0u 出发，由上式可以依次算出1,,N t t 上的差分解1,,N u u 。

常微分方程练习题及答案(复习题)

常微分方程练习题及答案(复习题)

常微分方程练习试卷 一、 填空题。 1. 方程23 2 10d x x dt +=是 阶 （线性、非线性）微分方程. 2. 方程 ()x dy f xy y dx =经变换_______，可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程 3230d y y x dx --=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有 个. 4. 设常系数方程 x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x x y x e e xe =++，则此方程的系数α= ，β= ，γ= . 5. 朗斯基行列式 ()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t L 在a x b ≤≤上线性相关的 条件. 6. 方程 22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 . 7. 已知 ()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的，则()A t = . 8. 方程组 20'05??=???? x x 的基解矩阵为 ． 9.可用变换 将伯努利方程 化为线性方程. 10 .是满足方程 251y y y y ''''''+++= 和初始条件 的唯一解. 11.方程 的待定特解可取 的形式: 12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是 二、 计算题 1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 2．求解方程13 dy x y dx x y +-=-+. 3. 求解方程 222()0d x dx x dt dt += 。 4．用比较系数法解方程. . 5．求方程 sin y y x '=+的通解. 6．验证微分方程 22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解.

常微分方程题库

常微分方程试题库 （一）、填空题（每空3分） 1、 当_______________时，方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 称为恰当方程，或称全微分方程，其原函数为： 。 2、形如________________的方程，称为齐次方程。 3、求),(y x f dx dy =满足00)(y x =?的解等价于求积分方程____________________的连续解。 4、设)(x y ψ=是一阶非齐次线性方程于区间I 上的任一解，)(x ?是其对应齐线性方程于区间I 上的一个非零解。则一阶非齐次线性方程的全部解的共同表达式为： 。 5、若)(),...(),(21t x t x t x n 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________________________。 6、方程组X t A dt dX )(=的_________________,称之为X t A dt dX )(=的一个基本解组。 7、若)(t Φ是常系数线性方程组 AX dt dX =的基解矩阵，则At exp = 。 8、方程 称为一阶线性方程，它有积分因子 ，其通解为 。 9、设)(),(21x x ??是与二阶线性方程： )()()(21x f y x a y x a y =+'+''，对应的齐次线性方程的基本解组，则的二阶线性方程全部解的共同表达式为： .10、形如 的方程称为欧拉方程。 11、若)(t Φ和)(t ψ都是X t A dt dX )(=的基解矩阵，则)(t Φ和)(t ψ具有的关系： 。 12、若向量函数);(y t g 在域R 上 ，则方程组0000),;(),;(y y t t y t g dt dy ==?的解?存在且惟一。 13、方程),,,,(y )1((n)-'=n y y y x f 经过变换 ，可化为含有n 个未知函数的一阶微分方程组。 14、方程04=+''y y 的基本解组是 ． 15、向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在区间I 上线性相关的

常微分方程期末考试练习题及答案.

一，常微分方程的基本概念 常微分方程： 含一个白变量x,未知数y及若干阶导数的方程式。一般形式为：F (x, y, y …y(n)) =0 (n 丰0). 1. 常微分方程中包含未知函数最高阶导数的阶数称为该方程的阶。 如：f(x)⑶ +3f(x)+x=f(x) 为 3 阶方程。 2. 若f (x)使常微分方程两端恒等，则f (x)称为常微分方程的解。 3. 含有独立的任意个常数(个数等于方程的阶数)的方程的解称为常微 分方程的通解。如常系数三阶微分方程F (t , x(3)) =0的通解的形式为：x (t) =cx (t) +C2x (t) +C3x (t )。 4. 满足初值条件的解称为它的特解(特解不唯一，亦可能不存在) 。 5. 常微分方程之线性及非线性：对于F (x, y, y…y(n)) =0而言，如果方程之左端是y, y'…y(n)的一次有理式，则次方程为n阶线性微分方程。(方程线性与否与白变量无关)。如：xy⑵-5y +3xy=sinx 为2阶线性微分方程；y⑵+siny=0为非线性微分方程。 注：a.这里主要介绍几个主要的，常用的常微分方程的基本概念。余者如常微分方程之显隐式解，初值条件，初值问题等概念这里予以略去。另外，有兴趣的同学不妨看一下教材23页的雅可比矩阵。 b.教材28页第八题不妨做做。

二.可分离变量的方程

1. 定义：形如dy=f (x) 4 (y)的方程，称为分离变量方程。这里f dx (x), § (x)分别是x, y的连续函数。 2. 解法：分离变量法』芸七=J f (x)dx+c. (*) 说明：a由于(*)是建立在§ (y)乒0的基础上，故而可能漏解。 需视情况补上§ (y) =0的特解。(有时候特解也可以和通解统一于 一式中) b.不需考虑因白变量引起的分母为零的情况。 例 1. ydx (x2-4x)dy =0 解：由题意分离变量得：2dx dy=0 x -4 y 即：1(工-1)dx 业=。 4 x —4 x y 积分之，得:1(ln x—4 —In x)+ln y =c 故原方程通解为：(x-4)y4=cx (c为任意常数)，特解y=0 包含在通解中(即两者统一于一式中)。 *例2.若连续函数f (x)满足f(x)T f(：)dt+|n2,则f (x)是？ 解：对给定的积分方程两边关于x求导，得： f' (x) = 2 f (x) (变上限求积分求导) 分离变量，解之得：f(x)=Ce2x 由原方程知：f (0) =In2 ,代入上解析式得： C=ln2 ,