29届中国数学奥林匹克获奖名单

第29届中国数学奥林匹克一等奖（99名）

名次 省份 姓名 学校

1北京 段柏延 人大附中

河南 夏剑桥 郑州外国语学校 3上海 高继扬 上海中学

广东 周韫坤 深圳中学

上海 丁允梓 上海中学

浙江 刘驰洲 乐成寄宿中学 7湖北 徐云昊 武汉市二中

上海 俞辰捷 华师大二附中 9北京 王正 人大附中

10河北 杨帆 石家庄二中南

北京 胥晓宇 人大附中

重庆 梁桢枭 重庆一中

广东 董睿文 华南师大附中

上海 孙天宇 上海中学 15吉林 浦鸿铭 东北师大附中

江苏 方程 江苏省苏州实验中学 17四川 李林骏 四川省绵阳中学 浙江 陈成 镇海中学 19浙江 赵梓文 镇海中学

湖北 黄一山 武钢三中

湖南 甘盛文 湖南师大附中

上海 陈孟起 上海中学

湖北 王启睿 华师一附中 24湖南 谌澜天 湖南师大附中

湖南 曹博航 长郡中学

陕西 赵金昊 西安市铁一中

浙江 陈子昂 杭州二中

山东 齐仁睿 历城二中 29福建 赖泽华 泉州第五中学

浙江 张皇中 富阳中学

甘肃 余璞 西北师大附中

湖南 刘志暄 长郡中学

江西 欧阳扬 江西省安远县第一中学

浙江 黄臻翔 镇海中学

安徽 牛泽昊 合肥一中

辽宁 张鑫垚 东北育才学校

湖北 杨浩艺 武汉市二中

上海 钱列 复旦附中

天津 张皓辰 天津市第一中学

40上海 尤润琪 复旦附中

湖南 王可预 长郡中学

辽宁 吴子源 东北育才学校

上海 王飞骋 复旦附中

天津 陈飞 天津市南开中学

北京 王芝菁 北京清华附中

46北京 安曼 人大附中

上海 戴健圣 复旦附中

安徽 陶润洲 合肥一中

河南 任卓涵 郑州一中

湖南 黄若谷 湖南师大附中

天津 李昊 天津市耀华中学

北京 李伯瀚 北京四中

广东 黄伟智 广东省中山市第一中学

贵州 贾楸烨 贵阳一中

湖北 陈博涵 武汉市二中

湖北 程启问 武汉市二中

湖南 黄康 湖南师大附中

辽宁 周鑫 东北育才学校

上海 张耿宇 上海中学

上海 汪祎非 华师大二附中

61上海 陆一平 上海中学

浙江 朱昊东 衢州二中

上海 秦天承 华师大二附中

北京 马思源 北师大实验中学

65上海 周子堃 复旦附中

吉林 杨宗睿 吉大附中

北京 唐敦 人大附中

北京 赵嘉霖 北师大实验中学

广东 胡颀轩 深圳中学

湖北 王逸轩 武钢三中

湖南 吴睿涵 雅礼中学

湖南 范昂之 雅礼中学

江西 项冲 江西省景德镇一中 74吉林 郑钥方 东北师大附中

湖北 张家齐 华师一附中

浙江 叶乐欣 乐成寄宿中学

湖北 刘谢威 华师一附中

吉林 张煜奇 东北师大附中

天津 于科屹 天津市耀华中学

天津 赵越 天津市实验中学

北京 于淼 北师大实验中学

四川 莫祥博 成都七中

浙江 蔡文斌 乐成寄宿中学 84上海 蔡绍旸 复旦附中

浙江 林大超 乐成寄宿中学

吉林 郝天泽 吉大附中

山东 李腾飞 腾州市第一中学

天津 辛未 天津市耀华中学

湖南 谢昌志 雅礼中学

江苏 周忠鹏 江苏省新海高级中学

上海 窦泽皓 上海中学

江苏 王润喆 南京师范大学附属中学

安徽 李文正 合肥一中

北京 李阳 北京十一学校

广东 唐维钊 深圳中学

广东 张钺 华南师大附中

湖南 欧阳王剑 雅礼中学

陕西 李星辰 西安交大附中

浙江 符张纯 杭州二中

第29届中国数学奥林匹克二等奖（137名）

100福建 陈天乐 福建师大附中

北京 李兴远 北师大实验中学

北京 孟涛 北京四中

上海 林暐韬 上海中学

上海 江翰旸 上海中学

北京 董子超 北京十一学校

广西 叶亚杰 广西师范大学附属外国语学校

湖北 侯禺凡 武汉市二中

四川 周秘 成都七中

浙江 彭永力 学军中学

110贵州 何浩然 贵阳一中

山东 李念实 历城二中

广东 黄秀峰 东莞市东华高级中学

吉林 刘通 吉大附中

吉林 薛廉广 吉大附中

安徽 龙泽昊 安庆一中

北京 伍岳 人大附中

北京 许云贝 人大附中

北京 赵伯钧 人大附中

湖南 秦智 长郡中学

吉林 王南 吉大附中

江苏 周逸飞 江苏省兴化中学

江苏 黄馨仪 江苏省启东中学

上海 李嘉昊 上海中学

四川 张博闻 成都七中

125黑龙江 李雨阳 哈师大附中 安徽 朱晋文 安庆一中

湖北 王雪超 华师一附中

北京 杨宇琛 北师大实验中学

江苏 严靖凯 南京外国语学校

江苏 金滢 江苏省常熟中学

江西 兰敏琪 江西省高安中学

江西 刘杰 江西省吉安市第一中学

辽宁 余佳弘 大连育明高中

辽宁 徐光宇 辽宁省实验中学

山西 李玥儒 山西省实验中学

四川 邵凌轩 成都外国语学校

四川 黄靖旻 四川省绵阳中学

天津 何琦 天津市南开中学 139河南 朱书聪 郑州外国语学校 湖北 陈珣 华师一附中

北京 左世良 北京四中

北京 王润楠 人大附中

河北 梁慧玲 衡水中学

湖北 吴雨晨 华师一附中

湖北 张艺杰 华师一附中

江苏 丁力煌 南京外国语学校

江西 余德钧 江西省景德镇一中

江西 杨川 上饶中学

山东 刘思琪 山东省泰安一中

山东 杜家驹 滕州一中

上海 王维一 上海中学

新疆 邵伟鹏 乌鲁木齐市第一中学

浙江 李彦余 镇海中学

154江西 胡俊伟 抚州市南城一中 广东 罗赛迪 深圳中学

辽宁 崔帆 大连育明高中

上海 罗毅诚 复旦附中

上海 何奇 华师大二附中

河北 杨鹏飞 衡水中学

河北 吕泽群 石家庄二中

河南 方昊扬 郑州外国语学校

湖南 黄越钦 长郡中学

吉林 吴晨玮 东北师大附中

吉林 姚禹歌 东北师大附中

上海 毛沈艺 上海中学

浙江 戴哲匠 乐成寄宿中学 167广东 梁宸 华南师大附中 上海 李少晗 上海中学

上海 高晓耕 复旦附中

北京 熊博远 人大附中

重庆 刘江浩 重庆巴蜀中学

重庆 康宇衡 重庆八中

福建 叶豪 大田一中

福建 温拓朴 福州一中

广东 谭懿峻 华南师大附中

广东 吴东晓 深圳市第三高级中学

湖北 李子麟 华师一附中

湖南 张志宇 永州一中

江苏 陈子涵 南京外国语学校

山东 徐凯 山东省

四川 王敏 成都七中

四川 王海沣 成都七中

四川 刘钧旸 成都七中（高新校区）

天津 刘浩然 天津市第一中学 185重庆 翟伟杰 重庆巴蜀中学 湖南 封雨希 雅礼中学

湖南 王博睿 长沙市一中

陕西 刘明昶 西安高新一中

安徽 贺子航 安徽师范大学附属中学

重庆 曾量 重庆南开中学

重庆 黄羽丰 重庆南开中学

甘肃 何雨桥 西北师大附中

广东 成辰 深圳中学

广东 王旭东 华南师大附中

河北 王喆 衡水中学

湖北 饶正昊 华师一附中

湖南 段承泽 雅礼中学

内蒙古 高乾 呼和浩特市第二中学

陕西 周康杰 西工大附中

上海 尹宇峰 上海中学

浙江 陈辰阳 衢州二中

202辽宁 刘先宇 大连24中 湖北 阮雨霏 华师一附中

北京 孙谦 人大附中

北京 赵芯培 清华附中

河北 张子童 石家庄二中

黑龙江 许健宇 哈师大附中

湖南 陈佳 长郡中学

陕西 徐龙 西工大附中

浙江 包鑫霖 乐成寄宿中学 211江苏 范智昊 连云港市赣榆高级中学 江西 周雄 萍乡市上栗中学

安徽 陆瑾聪 马鞍山二中

重庆 聂塑人 重庆八中

重庆 陈名豪 重庆八中

重庆 金虹旭 重庆八中

河北 韩金瑞 石家庄二中南

黑龙江 李无为 大庆一中

湖北 徐黎闽 黄冈中学

湖北 李旭胤 华师一附中

吉林 李邦卓 吉大附中

吉林 孙一夫 东北师大附中

江苏 吴佳成 江苏省海门中学

江苏 党格非 南京师范大学附属中学

江西 曹文博 江西省景德镇一中

江西 胡文昊 鹰潭市第一中学

辽宁 梁宇辰 东北育才学校

辽宁 刘佳奇 辽宁省实验中学

山东 吴双辰 青岛二中

陕西 贾瑨 西安市铁一中

陕西 吴沛航 西工大附中

上海 李佳颖 复旦附中

上海 江昊琛 上海市市北中学

四川 牛牧淳 成都七中

浙江 罗欢 乐成寄宿中学

浙江 吴晗昕 温州中学

第29届中国数学奥林匹克三等奖（99名）

237重庆 陈韵蒙 重庆巴蜀中学 福建 李抒昊 长乐一中

河南 代亚楠 郑州一中

河南 郑文钊 郑州一中

吉林 王俞涵 吉大附中

吉林 张成硕 东北师大附中

陕西 朱怡程 西安高新一中

四川 李睿哲 四川省绵阳南山中学

天津 刘齐家 天津市实验中学 246河北 张宜杰 衡水中学

安徽 董吉洋 合肥一中

重庆 王棋明 重庆巴蜀中学

重庆 秦臻至 重庆巴蜀中学

广西 黄冬 南宁市第三中学

黑龙江 刘博 哈三中

黑龙江 孙铄 哈师大附中

黑龙江 唐文威 哈师大附中

江苏 金翔宇 江苏省南菁高级中学

陕西 范雨航 西工大附中 256广西 熊经纬 南宁市第三中学 宁夏 罗睿轩 宁夏银川二中

山西 霍煜琨 山西大学附中

湖南 王也文 雅礼中学

宁夏 陶文政 银川一中

山东 姜伟东 烟台一中

山西 李铎 山西大学附中

263广东 谢倩 华南师大附中 陕西 王天乐 西安高新一中

浙江 陈伟露 镇海中学

266江西 王龙涛 江西省抚州市临川一中 福建 苏室勋 厦门同安一中

江苏 傅瑞得 南京师范大学附属中学

山西 于鹏 山西大学附中

陕西 袁之泉 西工大附中

271安徽 赵明华 铜陵市一中 重庆 甘坦 西南大学附中

吉林 郭乃瑶 东北师大附中

吉林 刘核旭 吉林一中

山西 刘耕 太原五中

浙江 陈钰帆 柯桥中学

277福建 李昱丞 厦门双十中学 河北 屈子博 石家庄二中南

河北 梁润秋 邯郸市一中

河南 马振宇 郑州外国语学校

河南 郑文举 郑州一中

河南 王泽坤 郑州一中

河南 魏晨 河南省实验中学

湖南 陈睿 雅礼中学

山西 杜雪兴 山西大学附中

陕西 张椋杰 西工大附中

天津 冯亮 天津市实验中学 288重庆 易仁槿 重庆八中

福建 曾祺 漳州实验中学

福建 夏鹤迪 厦门外国语学校

河北 陈磊 衡水中学

黑龙江 王健宇 哈三中

黑龙江 刘梦哲 哈师大附中

江西 曹哲汉 江西省抚州市临川二中

江西 艾昭琳 江西省余江县第一中学

青海 种羽 青海湟川中学

新疆 李家豪 乌鲁木齐市第一中学

云南 曾显龙 云南师大附中 299浙江 吴金凡 舟山中学

安徽 左嘉琦 安徽师范大学附属中学

重庆 丁载宇 重庆巴蜀中学

广东 许骏洲 龙城高级中学

广西 蒋一东 柳州高中

贵州 刘斌 贵州省盘县第二中学

海南 刘弘毅 海南中学

海南 曾佑杰 湖师附中海口中学

河北 崔昊 衡水中学

吉林 管英迪 东北师大附中

辽宁 王思宇 大连24中

内蒙古 王天琦 包头一机一中

宁夏 王美晨 银川一中

山东 张子蒙 山东省实验中学

新疆 赵启森 乌鲁木齐市第一中学 314海南 谢锦汉 海南中学

黑龙江 赵拓一 哈师大附中

青海 尹泽霖 青海湟川中学

青海 龚振寰 青海油田一中

四川 罗皓天 成都七中

新疆 雷楚翔 乌鲁木齐市第一中学 320甘肃 李梓铉 兰州一中

河南 李明杰 安阳一中

黑龙江 杨川东 佳木斯市第一中学

内蒙古 敖冬 鄂尔多斯市第一中学

云南 饶永铭 云南师大附中

325甘肃 李许源 兰州一中

贵州 石金炜 贵阳一中

海南 汪文靖 海南中学

吉林 王雪旭 东北师大附中

吉林 辛桐 东北师大附中

江苏 江润 江苏省南菁高级中学

宁夏 曾令辉 银川一中

四川 张鹏飞 四川省绵阳东辰国际学校

四川 鲁巍扬 成都七中

西藏 杨鑫龙 林芝地区一高

西藏 付妍 西藏民院附中

第29届中国数学奥林匹克鼓励奖（3名） 内蒙古 孙浩菻 内蒙古师大附中

青海 袁福霞 格尔木二中

云南 赵冠南 云南省玉溪一中

香港队获奖名单

二等奖 于铠玮 喇沙书院

二等奖 王诗雅 拔萃女书院 三等奖 庄协权 皇仁书院

三等奖 王庆诚 喇沙书院

三等奖 许百楠 喇沙书院

三等奖 邓迪文 喇沙书院

澳门队获奖名单

三等奖 邓子俊 培正中学

三等奖 伍培全 濠江中学

三等奖 周昊天 培正中学

三等奖 黄亮杰 濠江中学

鼓励奖 萧浩梁 教业中学

鼓励奖 任凯翔 培正中学

俄罗斯队获奖名单

一等奖 AndreyVolgin

一等奖 AlexeiVolostnov

一等奖 AlexanderZimin

一等奖 IvanBochkov

一等奖 NikitaChernega

二等奖 AlexanderZaykov

新加坡队获奖名单

一等奖 林彦豪 新加坡国立大学附属中学 一等奖 陈纪仁 莱佛士书院

二等奖 林克伟 莱佛士书院

二等奖 陈声泳 莱佛士书院

二等奖 刘亦嘉 莱佛士书院

二等奖 李骅峻 莱佛士书院

2007年中国西部数学奥林匹克试题及答案

2007年中国西部数学奥林匹克 第一天 11月10日 上午8：00－12：00 每题15分 一、已知{}1,2,3,4,5,6,7,8T =，对于，定义为A 中所有元素之和，问：T 有多少个非空子集A ，使得为3的倍数，但不是5的倍数？ ,A T A ?≠?()S A ()S A 二、如图，⊙与⊙相交于点C ，D ，过点D 的一条直线分别与⊙,⊙相交于点A ，B ，点P 在⊙的弧AD 上，PD 与线段AC 的延长线交于点M ，点Q 在 ⊙的弧BD 上，QD 与线段BC 的延长线交于点N ．O 是△ABC 的外心．求证： 的充要条件为P ，Q ，M ，N 四点共圆． 1O 2O 1O 2O 1O 2O OD MN ⊥ 三、设实数a ，b ，c 满足3a b c ++=．求证： 2221115411541154114 a a b b c c ++?+?+?+1≤． 四、设O 是△ABC 内部一点．证明：存在正整数p ，q ，r ，使得 12007 p OA q OB r OC ?+?+?

广西 南宁 第二天 11月11日 上午8：00－12：00 每题15分 五、是否存在三边长都为整数的三角形，满足以下条件：最短边长为2007，且最大的角等于最小角的两倍？ 六、求所有的正整数n ，使得存在非零整数12,,,n x x x y ,L 2,n ，满足 ???=++=++. ,022211ny x x x x n n L L 七、设P 是锐角三角形ABC 内一点，AP ，BP ，CP 分别交边BC ，CA ，AB 于点D ，E ，F ，已知△DEF ∽△ABC ，求证：P 是△ABC 的重心． 八、将n 个白子与n 个黑子任意地放在一个圆周上．从某个白子起，按顺时针方向依次将白子标以1,．再从某个黑子起，按逆时针方向依次将黑子标以1,. 证明：存在连续个棋子（不计黑白）， 它们的标号所成的集合为{,L 2,,n L n }1,2,,n L ．

历届奥运会中国获得金牌详细情况(1984-2012)

中国历届奥运会金牌详情（1982-2012） 归纳整理/永远的强哥 总榜： 1984年美国洛杉矶第23奥运会15(金)8(银)9(铜) 1988年韩国汉城第24届奥运会5(金)11(银)12(铜) 1992年西班牙巴塞罗那第25届奥运会16(金)22(银)16(铜) 1996年美国亚特兰大第26届奥运会16(金)22(银)12(铜) 2000年澳大利亚悉尼第27届奥运会28(金)16(银)15(铜) 2004年希腊雅典第28届奥运会32(金)17(银)14(铜) 2008年中国北京第29届奥运会51(金)21(银)28(铜) 2012年英国伦敦第30届奥运会38(金)27(银)22(铜) 每块金牌详细情况： 第23届洛杉矶奥运会（1984年，总计15枚） 1.1984年7月29日，许海峰男子自选手枪慢射冠军，夺得中国运动员在奥运会历史上的首枚金牌。 2.1984年7月29日，曾国强男子52公斤级举重比赛金牌。 3.1984年7月30日，吴数德男子56公斤级举重比赛金牌。 4.1984年7月31日，李玉伟男子50米移动靶射击比赛金牌。 5.1984年7月31日，陈伟强男子60公斤级举重比赛金牌。 6.1984年8月1日，姚景远男子6 7.5公斤级举重冠军。 7.1984年8月2日，吴小旋女子小口径标准步枪比赛冠军，成为中

国历史上第一个获奥运会金牌的女运动员。 8. 1984年8月3日，栾菊杰女子花剑个人比赛金牌，她成为第一个在奥运会击剑比赛中获得金牌的亚洲人。 9. 1984年8月4日，李宁男子体操吊环金牌。 10. 1984年8月4日，李宁男子体操鞍马金牌。 11. 1984年8月4日，李宁男子自由体操金牌。 12.1984年8月4日，楼云男子跳马金牌。 13. 1984年8月5日，马燕红高低杠金牌。 14.1984年8月7日，中国女排获女子排球金牌。 15.1984年8月10日，周继红女子十米跳台跳水金牌。 第24届汉城奥运会（1988年，总计5枚） 16.1988年9月18日，许艳梅女子十米跳台跳水金牌。 17.1988年9月24日，楼云男子跳马金牌。 18.1988年9月25日，高敏女子三米跳板跳水金牌。 19.1988年9月30日，陈龙灿／韦晴光乒乓球男子双打金牌。 20.1988年10月1日，陈静乒乓球女子单打金牌。 第25届巴塞罗那奥运会（1992年，总计16枚） 21.1992年7月26日，庄泳女子100米自由泳比赛中为中国夺得第一枚奥运会游泳金牌。 22.1992年7月27日，伏明霞女子10米跳台跳水金牌。

2017中国西部数学邀请赛试题及解析

2017中国西部数学邀请赛 1.设素数p 、正整数n 满足()2 2 1 1n k p k =+∏.证明：2p n <. 1.按照 ()2 1 1n k k =+∏中的因子所含p 的幂次分情形讨论. （1）若存在()1k k n ≤≤，使得()2 2 1p k +，则221p n ≤+. 于是，2p n ≤ <. （2）若对任意的()1k k n ≤≤，( ) 2 2 1p k +?，由条件，知存在1j k n ≤≠≤，使得()21p j +且() 2 1p k +. 则( )22 p k j -. 于是，|()()p k j k j -+. 当|()p k j -，则12p k j n n ≤-≤-<；当|()p k j +，则1212p k j n n n n ≤+≤+-=-<， 综上，2p n <. 2、已知n 为正整数，使得存在正整数12,,,n x x x 满足：()12 12100n n x x x x x x n +++=，求n 的最 大可能值. 2、n 的最大可能值为9702， 显然：由已知等式得 1n i i x n =≥∑，所以：1 100n i i x =≤∏ 又等号无法成立，则 1 99n i i x =≤∏ 而 ()()()1 1 1111111n n n n i i i i i i i i x x x x n =====-+≥-+=-+∑∑∏∏ 则 1 1 198n n i i i i x x n n ==≤+-≤+∑∏99(98)10099989702n n n ?+?≤?=… 取123970299,1x x x x =====，可使上式等号成立

2012年中国数学奥林匹克(CMO)试题(含答案word)

2012年中国数学奥林匹克(CMO)试题 第一天 1. 如图1，在圆内接ABC 中，A ∠为最大角，不含点A 的弧 BC 上两点D 、E 分别为弧 ABC 、 ACB 的中点。记过点A 、B 且与AC 相切的圆为1O ，过点A 、E 且与AD 相切的圆为2O ，1O 与2O 交于点A 、P 。证明：AP 平分ABC ∠。 2. 给定质数p 。设()ij A a =是一个p p ?的矩阵，满足2{|1}{1,2,,}ij a i j p p ≤≤= 、。 允许对一个矩阵作如下操作：选取一行或一列，将该行或该列的每个数同时加上1或同时减去1.若可以通过有限多次上述操作将A 中元素全变为0，则称A 是一个“好矩阵”。求好矩阵A 的个数。 3.证明：对于任意实数2M >，总存在满足下列条件的严格递增的正整数数列12,,a a ： （1） 对每个正整数i ，有i i a M >； （2） 当且仅当整数0n ≠时，存在正整数m 以及12,,,{1,1}m b b b ∈- 使得 1122m m n b a b a b a =+++ .

第二天 4.设()()()(f x x a x b a b =++、是给定的正实数),2n ≥为给定的正整数。对满足 121n x x x +++= 的非负实数12,,,n x x x ，求1min{(),()}i j i j n F f x f x ≤<≤= ∑ 的最大值。

参考答案 第一天 1. 如图2，联结EP 、BE 、BP 、CD 。 分别记BAC ∠、ABC ∠、ACB ∠为A ∠、B ∠、C ∠，X 、Y 分别为CA 延长线、DA 延长线上的任意一点。 由已知条件易得,AD DC AE EB ==。结合A 、B 、D 、 12p x x x <<< ，这是因为交换i x 与j x 的值相当于交换第i 行和第j 行，既不改变题设也 不改变结论。同样，不妨设12p y y y <<< 。于是，假设数表的每一行从左到右是递增的，每一列从上到下也是递增的。 由上面的讨论知11121,2a a ==或212a =，不妨设122a =。否则，将整个数表关于主对

奥运会奖牌数据集(Olympic Medals)

奥运会奖牌数据集(Olympic Medals) 数据介绍： The data give the number of medals won by each medal-winning country in the 1992 Summary Olympic Games in Barcelona, Spain, and the 1994 Winter Olympic Games in Lillehammer, Norway. Also given is the population and latitude of each country. 关键词： 多重回归,变换,奥运会奖牌,国家,纬度, multiple regression,transformation,Olympic medal,country,latitude, 数据格式： TEXT 数据详细介绍： Olympic Medals Keywords: simple linear regression, multiple regression, transformation, residuals Description

The data give the number of medals won by each medal-winning country in the 1992 Summary Olympic Games in Barcelona, Spain, and the 1994 Winter Olympic Games in Lillehammer, Norway. Also given is the population and latitude of each country. Griffiths et al write: ... the media spent a lot of time discussing the number of medals won by each country's athletes. The implication was that the comparison was of some importance. However, larger countries would be expected to win more medals than smaller countries, simply because of their larger populations. ... some viewers, especially those from the smaller countries, felt that the number of medals should be standardised to account for the very wide range of populations, and that a per capita number of medals for a country was a fairer comparison. Others felt that this was unfair to the countries with larger populations - that having twice as many people did not lead to twice as many medals. If standardisation is performed adequately, there should be no systematic relationship between the adjusted medal count and population. Also countries further from the equator might be expected to do better in the winter olympics. The data is incomplete in that countries with no medals are not included. These would be mostly smaller population countries. Source

2007年第6届中国女子数学奥林匹克(CGMO)试题(含答案)

2007年女子数学奥林匹克 第一天 1．设m 为正整数，如果存在某个正整数n ，使得m 可以表示为n 和n 的正约数个数（包括1和自身）的商，则称m 是“好数”。求证： （1）1，2，…，17都是好数； （2）18不是好数。 2．设△ABC 是锐角三角形，点D 、E 、F 分别在边BC 、CA 、AB 上，线段AD 、BE 、CF 经过△ABC 的外心O 。已知以下六个比值 DC BD 、EA CE 、FB AF 、FA BF 、EC AE 、DB CD 中至少有两个是整数。求证：△ABC 是等腰三角形。 3．设整数)3(>n n ，非负实数.2,,,2121=+++n n a a a a a a 满足 求1 112 1232 221++++++a a a a a a n 的最小值。 4．平面内)3(≥n n 个点组成集合S ，P 是此平面内m 条直线组成的集合，满足S 关于P 中的每一条直线对称。求证：n m ≤，并问等号何时成立？ 第二天 5．设D 是△ABC 内的一点，满足∠DAC=∠DCA=30°，∠DBA=60°，E 是边BC 的中 点， F 是边AC 的三等分点，满足AF=2FC 。求证：DE ⊥EF 。 6．已知a 、b 、c ≥0，.1=++c b a 求证： .3)(4 1 2≤++-+ c b c b a 7．给定绝对值都不大于10的整数a 、b 、c ，三次多项式c bx ax x x f +++=2 3)(满足条件32:.0001.0|)32(|+<+问f 是否一定是这个多项式的根？

8．n 个棋手参加象棋比赛，每两个棋手比赛一局。规定：胜者得1分，负者得0分，平局各得0.5分。如果赛后发现任何m 个棋手中都有一个棋手胜了其余m —1个棋手，也有一个棋手输给了其余m —1个棋手，就称此赛况具有性质P (m ). 对给定的)4(≥m m ，求n 的最小值)(m f ，使得对具有性质)(m P 的任何赛况，都有所有n 名棋手的得分各不相同。 综上，最少取出11枚棋子，才可能满足要求。 三、定义集合}.,|1{P k m k m A ∈∈+=+N 由于对任意的k 、1 1, ,++≠∈i k i k P i 且是无理数，则对任意的k 1、P k ∈2和正整数 m 1、m 2， .,1121212211k k m m k m k m ==?+=+ 注意到A 是一个无穷集。现将A 中的元素按从小到大的顺序排成一个无穷数列。对于任意的正整数n ，设此数列中的第n 项为.1+k 接下来确定n 与m 、k 间的关系。 若.1 1,1111++≤+≤+i k m m k m i m 则 由m 1是正整数知，对5,4,3,2,1=i ，满足这个条件的m 1的个数为].1 1[++i k m 从而，).,(]1 1[5 1 k m f i k m n i =++= ∑= 因此，对任意.),(,,,n k m f P k N m N n =∈∈∈++使得存在

29届奥运会金牌榜

名次国家/地区金牌银牌铜牌总数1中国512128100 2美国363836110 3俄罗斯23212872 4英国19131547 5德国16101541 6澳大利亚14151746 7韩国1310831 8日本961025 9意大利8101028 10法国7161740 11乌克兰751527 12荷兰75416 13牙买加63211 14西班牙510318 15肯尼亚55414 16白俄罗斯451019 17罗马尼亚4138

18埃塞俄比亚4127 19加拿大39618 20波兰36110 21匈牙利35210 21挪威35210 23巴西34815 24捷克330 6 25斯洛伐克3216 26新西兰3159 27格鲁吉亚30 36 28古巴2111124 29哈萨克斯坦24713 30丹麦2237 31泰国220 4 31蒙古220 4 33朝鲜2136 34瑞士20 46 34阿根廷20 46

36墨西哥20 13 37土耳其1438 38津巴布韦130 4 39阿塞拜疆1247 40乌兹别克斯坦1236 41斯洛文尼亚1225 42印度尼西亚1135 42保加利亚1135 44芬兰1124 45拉脱维亚1113 46葡萄牙110 2 46多米尼克110 2 46比利时110 2 46爱沙尼亚110 2 50印度10 23 51伊朗10 12 52突尼斯10 0 1 52喀麦隆10 0 1

52巴拿马10 0 1 52巴林10 0 1 56瑞典0 415 57立陶宛0 235 57克罗地亚0 235 59希腊0 224 60特立尼达和多巴哥0 20 2 61尼日利亚0 134 62塞尔维亚0 123 62奥地利0 123 62爱尔兰0 123 65塔吉克斯坦0 112 65摩洛哥0 112 65吉尔吉斯斯坦0 112 65哥伦比亚0 112 65巴哈马0 112 65阿尔及利亚0 112 71智利0 10 1

世界各国奥运会金牌累计前十名

世界各国奥运会金牌累计前十名 奥运会金牌累计前十名 北京奥运会举行之前，中国共在六届夏季奥运会上累计夺得过112枚金牌，在历届奥运会各国总的金牌数排名榜中列第11位，落后于日本，在亚洲居第二。北京奥运会16天比赛狂揽51金，使得中国历届奥运会累计金牌总数不仅将日本甩到了身后，而且连超澳大利亚、瑞典、匈牙利，已经升至世界第七。 两天比拼夺亚洲第一 印度是亚洲最早参加奥运会的国家。1900年在巴黎举行的第2届夏季奥运会上，印度选手便参加、并获两枚奖牌。1912年，在瑞典斯德哥尔摩举行的第 5届夏季奥运会上，开始出现了日本运动员的身影；16年之后的第9届夏奥运，该国选手在田径、游泳比赛中获得两枚金牌。 1932年在美国举行的第10届洛杉矶夏奥会上，日本夺得7金7银4铜，一举奠定了他们在亚洲奥运金牌总数遥遥领先的地位。 日本是亚洲第一个举办过奥运会的国家。1964年，第18届夏季奥运会在东京举行，作为东道主，日本所获金牌、奖牌均创历史新高，分别达到16枚、

29枚，位居美国、前苏联之后，列奖牌榜第三。 之后的几届夏季奥运会，日本所获金牌虽呈下降趋势，但由于亚洲无人可与之争锋，其历届奥运会累计金牌总数第一的优势却越来越明显。到1980年莫斯科奥运会结束，日本夏奥会金牌累计达到73枚；而当时亚洲排在第二的伊朗，总共只获得过4枚金牌。 1984年，随着中国进军在洛杉矶举行的第23届夏奥会，以及韩国1988年主办第24届奥运会，日本人每届奥运会在亚洲的领先好戏荡然无存。从1984年到2004年的六届夏奥会，他们每届的成绩都不如中国，其中四届的金牌还少于韩国。 但是由于历史积淀的“老本”，亚洲历届奥运会金牌总数第一的帽子，还一直戴在日本头上。雅典奥运会结束，日本累计所获夏奥会金牌为114枚，列世界第十、亚洲第一。中国以落后日本两枚金牌，列亚洲第二。 北京奥运会金牌战揭幕伊始，中国的成绩就全面压过了日本。8月9日是发出金牌的第一天，中国夺得当日全部7金中的两枚，日本未获冠军。就是说，这时中国奥运会的累计金牌数已经追平了日本。 翌日，日本获一枚男子柔道金牌。中国日进4金，奥运会累计金牌数达到118枚，将日本甩到了身后。后面的比赛，中国几乎每天进账3到5金，日本却是断断续续有所收益。到北京奥运会结束，中国历届奥运会累计金牌数，已经超过日本整整40枚。

第29届北京奥运会金牌榜中国榜

第29届北京奥运会金牌榜中国榜（51金21银28铜） 1.女子48公斤级举重金牌陈燮霞 2.男子10米气手枪金牌庞伟 3.女子10米气手枪金牌郭文珺 4.女子3米板双人跳水金牌郭晶晶吴敏霞 5.女子52公斤级柔道金牌冼东妹 6.女子58公斤级举重金牌陈艳青（破） 7.男子56公斤级举重金牌龙清泉 8.男子10米双人跳台跳水金牌火亮林跃 9.男子62公斤级举重金牌张湘祥 10.男子体操团体金牌中国 （李小鹏，杨威，黄旭，陈一冰，肖钦，邹凯） 11.女子双人10米跳台跳水金牌王鑫陈若琳 12.男子佩剑个人赛金牌仲满 13.男子69公斤级举重金牌廖辉 14.女子体操团体金牌中国 （程菲，李珊珊，何可欣，杨伊琳，江钰源，邓琳琳） 15.女子25米手枪慢射金牌陈颖 16.男子双人3米板跳水金牌秦凯王峰 17.女子69公斤级举重金牌刘春红(破) 18.女子200米蝶泳金牌刘子歌(破） 19.女子50米步枪三姿金牌杜丽（破） 20.男子体操个人全能金牌杨威 21.女子射箭个人赛金牌张娟娟 22.女子78公斤级柔道金牌杨秀丽 23.女子75公斤级举重金牌曹磊 24.女子78公斤级柔道金牌佟文 25.男子85公斤级举重金牌陆永 26.女子羽毛球双打金牌杜婧于洋 27.女子羽毛球单打金牌张宁 28.男子50米步枪三姿金牌邱健 29.女子赛艇四人双桨金牌唐宾金紫薇奚爱华张杨杨 30.女子72公斤级自由摔跤金牌王娇 31.男子自由体操金牌邹凯 32.男子鞍马金牌肖钦 33.女子乒乓球团体金牌中国（王楠张怡宁郭跃） 34.男子羽毛球单打金牌林丹 35.女子3米板单人跳水金牌郭晶晶 36.男子体操吊环金牌陈一冰 37.女子体操高低杠金牌何可欣 38.女子蹦床金牌何雯娜 39.男子乒乓球团体金牌中国（马林王浩王励勤） 40.男子竞技体操双杠金牌李小鹏

2013中国数学奥林匹克成绩

2013中国数学奥林匹克成绩 名次姓名性别学校总分1张灵夫男四川绵阳中学126 2宋杰傲男上海中学126 3刘宇韬男上海中学126 4肖非依男华中师范大学一附中126 5夏剑桥男郑州外国语学校126 6陈嘉杰男华南师范大学附属中学126 7高奕博男人大附中126 8胥晓宇男人大附中126 9柳何园男上海中学123 10杨赛超男石家庄二中南校123 11孟 涛男北京四中123 12刘驰洲男乐清市乐成公立寄宿学校120 13李大为男复旦大学附属中学120 14郝晨杰男江苏省启东中学120 15马玉聪男武汉二中120 16余张逸航男华中师范大学一附中120 17王 翔男深圳中学120 18刘 潇男乐清市乐成公立寄宿学校117 19宋一凡男石家庄二中117 20饶家鼎男深圳市第三高级中学117 21段柏延男人大附中117 22陈凯文男鄞州中学114 23顾 超男格致中学114 24沈 澈男人大附中114 25金 辉男镇海中学111 26涂瀚宇男四川南充高中108 27李辰星男郑州一中108 28周韫坤男深圳中学108 29陈 成男镇海中学105 30朱晶泽男华东师范大学第二附属中学105 31邓杨肯迪男湖南师大附中105 32廖宇轩男郑州外国语学校105 33任卓涵男郑州一中105 34李 爽男育才中学105 35高继杨男上海华育中学102 36李 笑男湖南师大附中102 37颜公望男武汉六中102 38黄 开男华中师范大学一附中102 39田方泽男中山纪念中学102 40占 玮男合肥一中102 41黄 迪男四川自贡蜀光中学99 42杨卓熠男成都七中99 43杨承业男成都七中99 44丁允梓男上海中学99

2016女子数学奥林匹克试题

2016女子数学奥林匹克 （2016年8月12‐8月13日） 1、整数3n ≥，将写有21,2,...,n 的2 n 张卡片放入n 个盒子，每个盒子各有n 张。其后允许操作如下：每次选其中两个盒子，在每个盒子中各取两张卡片放入另一个盒子。证明：总是可以通过有限次操作，使得每个盒子内的n 张卡片上恰好是n 个连续整数。 2、ABC ?的三条边长为,,BC a CA b AB c ===，ω是ABC ?的外接圆。 ①若不含A 的 BC 上有唯一的点P （不同于,B C ），满足 PA PB PC =+，求,,a b c 应该满足的充要条件。 ②P 是①中所述唯一的点，证明：若AP 过BC 的中点， 则60BAC ∠

5、设于数列12,,...a a 的前n 项之和为12...n n S a a a =+++，已知11S =，对于1n ≥都有 21(2)4n n n S S S ++=+。证明：对于任意正整数n ，都有n a ≥。 6、求最大的正整数m ，使得可以在m 行8列的方格表中填入,,,C G M O ，每个单元格填一个字母。使得对于其中任意两行，这两行中最多在一列所填字母相同。 7、I 是锐角ABC ?的内心，AB AC >。BC 边上的高AH 与直线,BI CI 分别交于,P Q 。O 是IPQ ?的外心，,AO BC 交于L ，AIL ?的外接圆与BC 交于,N L ，D 是I 在BC 上的投影，求：BD BN CD CN =。 8、,Q Z 分别代表全体有理数、整数，在坐标平面上，对于任意整数m ，定义 (,),,0,m xy A x y x y Q xy Z m ??=∈≠∈???? 。对于线段MN ，定义()m f MN 为线段MN 上属于m A 的点的个数。求最小的实数λ，使得对于任意直线l ，均存在与l 有关的实数()l β，满足：对于l 上任意两点,M N ，都有20162015()()()f MN f MN l λβ≤?+。

第29届奥运会各国得奖情况

名次代表团金牌银牌铜牌总数001 中国51 21 28 100 002 美国36 38 36 110 003 俄罗斯23 21 28 72 004 英国19 13 15 47 005 德国16 10 15 41 006 澳大利亚14 15 17 46 007 韩国13 10 8 31 008 日本9 6 10 25 009 意大利8 10 10 28 010 法国7 16 17 40 011 乌克兰7 5 15 27 012 荷兰7 5 4 16 013 牙买加 6 3 2 11 014 西班牙 5 10 3 18 015 肯尼亚 5 5 4 14 016 白俄罗斯 4 5 10 19 017 罗马尼亚 4 1 3 8 018 埃塞俄比亚 4 1 2 7 019 加拿大 3 9 6 18 020 波兰 3 6 1 10 021 匈牙利 3 5 2 10 挪威 3 5 2 10 023 巴西 3 4 8 15 024 捷克 3 3 0 6 025 斯洛伐克 3 2 1 6 026 新西兰 3 1 5 9 027 格鲁吉亚 3 0 3 6 028 古巴 2 11 11 24 029 哈萨克斯坦 2 4 7 13 030 丹麦 2 2 3 7 031 蒙古 2 2 0 4 泰国 2 2 0 4 033 朝鲜 2 1 3 6 034 阿根廷 2 0 4 6 瑞士 2 0 4 6

036 墨西哥 2 0 1 3 037 土耳其 1 4 3 8 038 津巴布韦 1 3 0 4 039 阿塞拜疆 1 2 4 7 040 乌兹别克斯坦 1 2 3 6 041 斯洛文尼亚 1 2 2 5 042 保加利亚 1 1 3 5 印度尼西亚 1 1 3 5 044 芬兰 1 1 2 4 045 拉脱维亚 1 1 1 3 046 比利时 1 1 0 2 多米尼加共和国 1 1 0 2 爱沙尼亚 1 1 0 2 葡萄牙 1 1 0 2 050 印度 1 0 2 3 051 伊朗 1 0 1 2 052 巴林 1 0 0 1 喀麦隆 1 0 0 1 巴拿马 1 0 0 1 突尼斯 1 0 0 1 056 瑞典0 4 1 5 057 克罗地亚0 2 3 5 立陶宛0 2 3 5 059 希腊0 2 2 4 060 特立尼达和多巴哥0 2 0 2 061 尼日利亚0 1 3 4 062 奥地利0 1 2 3 爱尔兰0 1 2 3 塞尔维亚0 1 2 3 065 阿尔及利亚0 1 1 2 巴哈马0 1 1 2 哥伦比亚0 1 1 2 吉尔吉斯斯坦0 1 1 2 摩洛哥0 1 1 2 塔吉克斯坦0 1 1 2 071 智利0 1 0 1 厄瓜多尔0 1 0 1

中国数学奥林匹克(cmo)试题(含答案word)

2012年中国数学奥林匹克(CM Ｏ）试题 第一天 1. 如图1,在圆内接ABC 中,A ∠为最大角，不含点A 的弧BC 上两点D 、E 分别为弧 ABC 、ACB 的中点。记过点A 、B 且与AC 相切的圆为1O ，过点A 、E 且与AD 相切的圆为 2O ,1O 与2O 交于点A 、P 。证明：AP 平分ABC ∠。 2. 给定质数p 。设()ij A a =是一个p p ?的矩阵,满足2{|1}{1,2,,}ij a i j p p ≤≤=、。 允许对一个矩阵作如下操作:选取一行或一列,将该行或该列的每个数同时加上１或同时减去１。若可以通过有限多次上述操作将A 中元素全变为0，则称A 是一个“好矩阵"。求好矩阵A 的个数. 3.证明:对于任意实数2M >，总存在满足下列条件的严格递增的正整数数列12,, a a : （1） 对每个正整数i ,有i i a M >； （2） 当且仅当整数0n ≠时，存在正整数m 以及12,,,{1,1}m b b b ∈-使得 1122m m n b a b a b a =+++.

第二天 4．设()()()(f x x a x b a b =++、是给定的正实数),2n ≥为给定的正整数。对满足 121n x x x ++ +=的非负实数12,,,n x x x ,求1min{(),()}i j i j n F f x f x ≤<≤=∑的最大值． 5．设n 为无平方因子的正偶数,k 为整数,p 为质数，满足 |p p <2,|()n p n k +。 证明:n 可以表示为ab bc ca ++，其中,,,a b c 为互不相同的正整数。 ６．求满足下面条件的最小正整数k ：对集合{1,2,,2012}S =的任意一个k 元子集A ,都存在S 中的三个互不相同的元素a 、b 、c ，使得a b +、b c +、c a +均在集合A 中.

第五届中国数学奥林匹克 (1990年)

第五届中国数学奥林匹克(1990年) 1.如下图，在凸四边形ABCD中，AB与CD不平行，圆O1过A、B且与 边CD相切于P，圆O2过C，D且与边AB相切于Q，圆O1与O2相交于 E、F。求证：EF平分线段PQ的充要条件是BC//AD。 2.设x是一个自然数，若一串自然数x0=1,x2, ... , x n=x满足x i-10有定义，且满足条件： i.对任何x、y≧0，f(x)f(y)≦x2 f(x/2) +y2 f(y/x)； ii.存在常数M>0，当0≦x≦1时，| f(x) | ≦M。 求证：f(x)≦x2。 4.设a是给定的正整数，A和B是两个实数，试确定方程组： x2 +y2 +z2 =(13a)2，x2(Ax2+By2)+y2(Ay2+Bz2)+z2(Az2+Bx2)=(2A+B)(13a)4/3 有整数解的充份必要条件(用A、B的关系式表示，并予以证明)。 5.设X是一个有限集合，法则f使的X的每一个偶子集E(偶数个元素组成 的子集)都对应一个实数f(E)，满足条件：

a.存在一个偶子集D，使得f(D)>1990； b.对于X的任意两个示相交的偶子集A、B，有f(A∪ B)=f(A)+f(B)-1990。 求证：存在X的子集P、Q，满足 iii.P∩Q是空集，P∪Q=X； iv.对P的任何非空偶子集S，有f(S)>1990 v.对Q的任何偶子集T，有f(T)≦1990。 6.凸n边形及n-3条在n边形内不相交的对角线组成的图形称为一个剖分 图。求证：当且仅当3|n时，存在一个剖分图是可以一笔划的圈(即可以从一个顶点出发，经过图中各线段恰一次，最后回到出发点)。

最新-2018女子数学奥林匹克 精品

第一天 2018年8月12日上午8∶00～12∶00 长春 我们进行数学竞赛的目的，不仅仅是为了数学而数学，其着眼点还是因为它是一切科学的得力助手，因而提高数学，也为学好其他科学打好基础. ——华罗庚 1. 如图，设点P 在△ABC 的外接圆上，直线CP 和AC 相交于点E ，直线BP 和AC 相交于点F ,边AC 的垂直平分线交边AB 于点J ，边AB 的垂直平分线交边AC 于点K,求证： 2 2BF CE =F ··K AK JE AJ . 2.求方程组 的所有实数解. 3.是否存在这样的凸多面体，它共有8个顶点，12条棱和6 个面，并且其中有4个面，每两个面都有公共棱？ 4.求出所有的正实数a ，使得存在正整数n 及n 个互不相交的无限集合1A ，2A ，…，n A 满足1A ∪2A ∪…∪n A =Z ，而且对于每个i A 中的任意两数b >c ，都有b -c ≥i a . ?? ???=++??? ?? +=???? ? ?+=??? ??+1 ,11311215zx yz xy z z y y x x

第二天 2018年8月13日上午8∶00～12∶00 长春 数学竞赛，它对牢固基础知识、发展智力，培养拔尖人才，是一件具有战略意义的活动。 ——华罗庚 5.设正实数x ，y 满足3 x +3y =x -y ,求证： .1422＜y x + 6.设正整数n ≥3，如果在平面上有n 个格点，，，?21P P n P 满足：当j i P P 为有理数时，存在k P ，使得k i P P 和k j P P 均为无理数;当j i P P 为无理数时，存在k P ,使得k i P P 和k j P P 均为有理数，那么称n 是“好数”. (1)求最小的好数； (2)问：2018是否为好数？ 7.设m ，n 是整数，m >n ≥2,S ={1,2,…,m },T ={1a ,2a …,n a }是S 的一个子集.已知T 中的任两个数都不能同时整除S 中的任何一个数，求证： .11121m n m a a a n ++?++＜ 8.给定实数a ,b ,a >b >0,将长为a 宽为b 的矩形放入一个正方形内(包含边界)，问正方形的 边至少为多长？

中国数学奥林匹克试题及解答

一、 实数12,,,n a a a L 满足120n a a a +++=L ，求证： () 1 2 2 111 max ()3 n k i i k n i n a a a -+≤≤=≤-∑． 证明 只需对任意1k n ≤≤，证明不等式成立即可． 记1,1,2,,1k k k d a a k n +=-=-L ，则 k k a a =， 1k k k a a d +=-，2111,,k k k k n k k k n a a d d a a d d d +++-=--=----L L ， 112121121,,,k k k k k k k k k k a a d a a d d a a d d d -------=+=++=++++L L ， 把上面这n 个等式相加，并利用120n a a a +++=L 可得 11121()(1)(1)(2)0k k k n k k na n k d n k d d k d k d d +----------+-+-++=L L ． 由Cauchy 不等式可得 ()2 211121()()(1)(1)(2)k k k n k k na n k d n k d d k d k d d +---=-+--++------L L 11222111k n k n i i i i i i d ---===???? ≤+ ??????? ∑∑∑ 111222111(1)(21)6n n n i i i i i n n n i d d ---===--?????? ≤= ??? ???????∑∑∑ 31213n i i n d -=??≤ ??? ∑， 所以 ()1 2 211 3 n k i i i n a a a -+=≤-∑． 二、正整数122006,,,a a a L （可以有相同的）使得20051223 2006 ,,,a a a a a a L 两

第五届中国女子数学奥林匹克试题

第五届中国女子数学奥林匹克试题 第一天 2006年8月8日 下午15：30——19：30 乌鲁木齐 中国在国际数学奥林匹克竞赛中，连续多年取得很好的成绩，这项竞赛是高中程度，不 包括微积分，但题目需要思考，我相信我是考不过这些小孩子的，因此有人觉得，好的数学家未必长于这种考试，竞赛胜利者也未必是将来的数学家，这个意见似是而非。数学竞赛大约是百年前在匈牙利开始的；匈牙利产生了同它人口不成比例的许多大数学家。 ——陈省身 一、设a ＞0，函数 f : （0，＋∞） → R 满足f （a ）＝1．如果对任意正实数x ，y 有 ()()()2a a f x f y f f f xy x y ?? ??+= ? ????? ，①求证： f （x ）为常数． 证明： 在①中令x ＝y ＝1，得 f 2（1）＋f 2（a ）＝2 f （1）， （f （1）－1）2 ＝0， ∴ f （1）＝1。 在①中令y ＝1，得 f （x ）f （1）＋f （a x ）f （a ）＝2 f （x ）， f （x ）＝f （ a x ），x ＞0。 ② 在①中取y ＝a x ，得 f （x ）f （a x ）＋f （a x ）f （x ）＝2 f （a ）， f （x ）f （ a x ）＝1。 ③ 由②，③得：f 2（x ）＝1，x ＞0。 在①中取x ＝y ，得 f 2 ）＋f 2 ）＝2 f （t ）， ∴ f （t ）＞0。 故f （x ）＝1，x ＞0。 二、设凸四边形ABCD 对角线交于O 点．△OAD ，△OBC 的外接圆交于O ，M 两点，直线 OM 分别交△OAB ，△OCD 的外接圆于T ，S 两点．求证：M 是线段TS 的中点． 证法1： 如图，连接BT ，CS ，MA ，MB ，MC ，MD 。 ∵ ∠BTO ＝∠BAO ，∠BCO ＝∠BMO ，

中国西部数学奥林匹克试题及答案(广西南宁,11月10日、11日)

2007年中国西部数学奥林匹克（广西南宁，11月10日） 第一天 11月10日 上午8：00－12：00 每题15分 一、已知{}1,2,3,4,5,6,7,8T =，对于,A T A ?≠?，定义()S A 为A 中所有元素之和，问：T 有多少个非空子集A ，使得()S A 为3的倍数，但不是5的倍数？ 二、如图，⊙1O 与⊙2O 相交于点C ，D ，过点D 的一条直线分别与⊙1O ,⊙2O 相交于点A ，B ，点P 在⊙1O 的弧AD 上，PD 与线段AC 的延长线交于点M ，点Q 在⊙2O 的弧BD 上，QD 与线段BC 的延长线交于点N ．O 是△ABC 的外心．求证：OD MN ⊥的充要条件为P ，Q ，M ，N 四点共圆． 三、设实数a ，b ，c 满足 3a b c ++=．求证： 22211115411541154114 a a b b c c ++≤-+-+-+． 四、设O 是△ABC 内部一点．证明：存在正整数p ，q ，r ，使得 12007 p OA q OB r OC ?+?+?

六、求所有的正整数n ，使得存在非零整数12,,,n x x x L y ,，满足 七、设P 是锐角三角形ABC 内一点，AP ，BP ，CP 分别交边BC ，CA ，AB 于点D ，E ，F ，已知△DEF ∽△ABC ，求证：P 是△ABC 的重心． 八、将n 个白子与n 个黑子任意地放在一个圆周上．从某个白子起，按顺时针方向依次将白子标以1,2,,n L ．再从某个黑子起，按逆时针方向依次将黑子标以1,2,,n L . 证明：存在连续n 个棋子（不计黑白）， 它们的标号所成的集合为{}1,2,,n L ． 2007西部数学奥林匹克 解 答 一、已知{}1,2,3,4,5,6,7,8T =，对于,A T A ?≠?，定义()S A 为A 中所有元素之和，问：T 有多少个非空子集A ，使得()S A 为3的倍数，但不是5的倍数？ 解 对于空集?，定义()0S ?=.令012{3,6},{1,4,7},{2,5,8}T T T ===.对于A T ?，令001122,,A A T A A T A A T ===I I I ，则 01212()()()()(mod3)S A S A S A S A A A =++≡-， 因此，3()S A 当且仅当12(mod3)A A ≡.有以下几种情况： 从而满足3()S A 的非空子集A 的个数为 20003303311223333333333332()1C C C C C C C C C C C C +++++-＝87. 若3()S A ，5()S A ，则15()S A . 由于()36S T =，故满足3()S A ，5()S A 的()S A 的可能值为15，30.而 15＝8＋7＝8＋6＋1＝8＋5＋2＝8＋4＋3＝8＋4＋2＋1 ＝7＋6＋2＝7＋5＋3＝7＋5＋2＋1＝7＋4＋3＋1 ＝6＋5＋4＝6＋5＋3+1＝6＋4＋3＋2 ＝5＋4＋3＋2＋1， 36－30＝6＝5＋1＝4＋2＝3＋2＋1. 故满足3()S A ，5()S A ，A ≠?的A 的个数为17. 所以，所求的A 的个数为87－17＝70.