2019-2020学年黑龙江省大庆市铁人中学高一(上)期中数学试卷 (含答案解析)
2019-2020学年黑龙江省大庆市铁人中学高一（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 已知集合M ={x|x 2≤4}，N ={?2,3}，则M ∩N =( )
A. ?
B. {?2}
C. {3}
D. {?2,3} 2. 设a =40.1，
，c =0.50.1，则( )
A. a >b >c
B. a >c >b
C. b >a >c
D. b >c >a
3. 已知函数的图象是两条线段(如图所示，不含端点)，则f[f(1
3)]等于( )
A. ?1
3 B. 1
3 C. ?2
3 D. 2
3 4. 下列函数中，既是偶函数又在(?∞,0)内为增函数的是( )
A. y =(1
2)x
B. y =x ?2
C. y =x 2+1
D. y =log 2x
5. 已知点(m?,?9)在幂函数f (x )=(m ?2)x n 的图象上，设a =f(m ?1
3),b =f(ln(1
3
))，c =f (√22
)则
a ，
b ，
c 的大小关系为( )
A. a B. b C. c D. b 6. sin(α?π 2)=( ) A. sinα B. ?sinα C. cosα D. ?cosα 7. 方程 的根所在的区间为( ) A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4) 8. 函数f(x)=ln(1?5x )的定义域是( ) A. (?∞,0) B. (0,1) C. (?∞,1) D. (0,+∞) 9. 已知a =sin 2π7 ,b =cos 12π7 ,c =tan 9π7 ，则( ) A. a >b >c B. c >b >a C. c >a >b D. a >c >b 10. 已知角θ的终边经过点(2,?3)，将角θ的终边顺时针旋转3π 4后得到角β，则tanβ=( ) A. ?1 5 B. 5 C. 1 5 D. ?5 11. 已知f(x)是定义在R 上的函数，图象关于y 轴对称，且在x ∈[0,+∞)单调递增．f(?2)=1，那 么f(x)≤1的 解集是( ) A. [?2,2] B. (?1,2) C. [?1,2] D. (?2,2) 12. 设函数f (x )={x 2+4x +2,x ≤0 |2?x |,x >0 ，则函数g (x )=f (x )?ln (x +e 2)的零点个数为( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知幂函数y =(m 2?5m ?5)x 2m+1在(0,3]上有最小值，则实数m =__________． 14. 函数y =sin x 3的单调增区间为________． 15. 已知函数f (x )=lg (?x 2+2ax )在区间(1,2)上是减函数，则实数a 的取值集合是______． 16. 已知函数f(x)={x 2?x +3,x ≤1x +2 x ,x >1 ，设a ∈R ，若关于x 的不等式f(x)≥|x 2+a|在R 上恒成立，则a 的取值范围是________． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知集合A ={x|1 2≤2x?4≤4}，B ={x|log 3(2x +1)>2}． (Ⅰ)求A ∩B ； (Ⅱ)已知C ={x|a 18. ，求tanα的值． 19.求函数y=3cos(2x?π ),x∈[0,π]上的最值，以及单调区间． 3 20.已知函数f(x)=x2+4x?3x． (1)分别判断f(x)在区间(0,1)和(2,3)上是否存在零点； (C>0)在区间D上的值域的子集，则称函 (2)设函数y=φ(x)在区间D上的值域是函数y=C2 φ(x) 数φ(x)在区间D上的几何平均数为C.若函数g(x)=f(x)+3x?2在区间[2,4]上的几何平均数小于函数?(x)=a?1+(4?a)(log2x?log4x)在区间[2,4]上的几何平均数，求正数a的取值范围． )=ax(a为常数)，且f(1)=3． 21.已知函数f(x)满足2f(x)?f(1 x (Ⅰ)求实数a的值，并求出函数f(x)的解析式； (Ⅱ)当x>0时，讨论函数f(x)的单调性，并用定义证明你的结论． 22.设函数f(x)的定义域为I，对于区间D?I，若?x1，x2∈D(x1 称区间D为函数f(x)的V区间． +lgx的V区间； (1)证明：区间(0,2)是函数f(x)=1 2 )x的V区间，求实数a的取值范围； (2)若区间[0,a](a>0)是函数f(x)=(1 2 (3)已知函数f(x)=sinx?ln(1+x) 在区间[0,+∞)上的图象连续不断，且在[0,+∞)上仅有2个零点， e x 证明：区间[π,+∞)不是函数f(x)的V区间． -------- 答案与解析 -------- 1.答案：B 解析：解：M={x|?2≤x≤2}，且N={?2,3}； ∴M∩N={?2}． 故选：B． 容易求出集合M={x|?2≤x≤2}，然后进行交集的运算即可． 考查描述法、列举法表示集合的概念，以及交集的运算． 2.答案：B 解析： 【分析】 本题考查指对数函数的性质，属于基础题． 借助中间量“0”，“1”比较大小． 【解答】 解：a=40.1>40=1， ， 0 ∴a>c>b． 故选B． 3.答案：B 解析：由图可知，函数f(x)的解析式为 ． 4.答案：B 解析： 【分析】 本题考查了函数奇偶性的性质与判断．属中档题．据偶函数的定义以及幂函数的单调性可知选B．【解答】 解：设f(x)=x?2，∴f(?x)=(?x)?2=x?2=f(x)，∴f(x)=x?2为偶函数， 根据幂函数的单调性知，f(x)=x?2在(0,+∞)上是减函数， 根据对称性知，f(x)=x?2在(?∞,0)上是增函数． 5.答案：A 解析： 【分析】 根据幂函数的定义求出m 的值，再把点的坐标代入求出n 的值，由此写出f(x)的解析式，根据f(x)的图象与性质判断a 本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是中档题． 【解答】 解：函数f(x)=(m ?2)x n 是幂函数， ∴m ?2=1解得m =3， 又点(3,9)在f(x)的图象上， 即3n =9，解得n =2； ∴f(x)=x 2， ∴f(x)是偶函数，且在[0,+∞)上是单调增函数； ∴m ? 1 3 =3 ? 13 =(1 3 )13 ， ln 13=?ln3， √22 =(1 2)12 ， 且0<(1 3)13 <(1 2)1 2 ∴a 6.答案：D 解析：解：sin(α?π 2)=?cosα， 故选：D ． 运用诱导公式化简求值即可． 本题考查运用诱导公式化简求值，属于基础题． 7.答案：A 解析： 【分析】 本题主要考查零点存在定理，属于基础题． 解题关键是计算区间端点处的函数值，判断它们的符号． 解：构造函数 ， 所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增， 因为f (1 27)=?3+1 27+2=1 27?1<0，f (1)=3>0， 所以方程的根所在的区间为(0,1)， 故选A ． 8.答案：A 解析：解：由题意得：1?5x >0， 解得：x <0， 故函数的定义域是(?∞,0)， 故选：A ． 根据对数函数的性质得到关于x 的不等式，解出即可． 本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的性质，是一道基础题． 9.答案：C 解析： 【分析】 本题考查了诱导公式以及正弦、余弦和正切函数的单调性问题，是基础题． 利用诱导公式将b 、c 化为锐角的三角函数，根据正弦、余弦和正切函数在上的单调性，即可 比较a 、b 、c 的大小． 【解答】 解：根据诱导公式得： b =cos 12π7=cos(2π? 2π 7 )=cos 2π7 ， c =tan 9π7=tan(π+ 2π 7 )=tan 2π7 ． 又∵ π4 < 2π 7 <π 2 ，且y =sinx ，y =tanx 在 上都是单调递增函数， y =cosx 在 上是单调递减函数， ， ， ， 即cos 2π7< √22，√22 2π7 <1，tan 2π7 >1， ∴cos 2π7 2π7 ， ∴b a >b ． 10.答案：A 解析：解：根据角θ的终边经过点(2,?3)，可得tanα=?3 2 ． ∵θ的终边按顺时针方向旋转3π 4 后，与角β的终边重合， ∴tanβ=tan(θ?3π 4)=tanθ?tan 3π 4 1+tanθtan3π 4 =? 3 2 ?(?1) 1+(?3 2 )×(?1) =?1 5 ． 故选：A． 利用任意角的三角函数的定义求得tanθ，再由tanβ=tan(θ?3π 4 )，展开两角差的正切求解．本题主要考查任意角的三角函数的定义及两角差的正切，属于基础题． 11.答案：A 解析：解：∵函数y=f(x)的图象关于y轴对称， ∴f(x)是偶函数，则f(?2)=f(2)， ∵函数f(x)在区间x∈[0,+∞)上为增函数，f(x)≤1， ∴|x|≤2， ∴?2≤x≤2， 故选A． 根据函数奇偶性和单调性之间的关系，得出具体不等式，即可得出结论． 本题主要考查不等式的解法，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．12.答案：C 解析： 【分析】 本题考查函数的零点与方程根的关系，函数零点存在性定理，属于中档题． 【解答】 解：函数的零点个数， 等价于函数y=f(x)的图像与函数的图像的交点个数， 在同一坐标系中画出函数y=f(x)，的图像： 由图像可知，两函数图像有3个交点，即函数g(x)有3个零点， 故选C． 13.答案：?1 解析：∵y=(m2?5m?5)x2m+1是幂函数，且在(0,+∞)上为减函数，∴m2?5m?5=1，解得m= 6或m=?1，当m=6时，y=(m2?5m?5)x2m+1=x13不满足，当m=?1时，y=(m2?5m?5)x2m+1=x?1满足在(0,+∞)上为减函数.故答案为：m=?1． 14.答案：[?3π 2+6kπ,3π 2 +6kπ](k∈Z) 解析： 【分析】 本题主要考查了三角函数的单调性的应用，常考题型．根据正弦函数的单调增区间，直接求出函数的单调增区间即可． 【解答】 解：因为函数y=sin x 3，由?π 2 +2kπ≤x 3 ≤π 2 +2kπ,k∈Z，即?3π 2 +6kπ≤x≤3π 2 +6kπ,k∈Z， 所以函数的单调增区间为[?3π 2+6kπ,3π 2 +6kπ](k∈Z). 故答案为[?3π 2+6kπ,3π 2 +6kπ](k∈Z). 15.答案：{1} 解析： 【分析】 本题考查了对数函数的性质与应用问题，复合函数的单调性的应用，是中档题． 函数f(x)在(1,2)上为减函数，通过复合函数的单调性，列出不等式，即可求解实数a的范围． 【解答】 解：函数f(x)=lg(?x2+2ax)在区间(1,2)上是减函数， 所以，函数y=lgu是增函数，u=?x2+2ax在区间(1,2)为减函数，二次函数的对称轴为x=a，可知a≤1， 并且u(2)=?4+4a≥0，解得a≥1， 综上，实数a的取值集合是：{1}． 故答案为：{1}． 16.答案：[?47 16 ,2] 解析： 【分析】 本题考查分段函数，二次函数，利用基本不等式求最值，不等式的恒成立问题，考查分类讨论思想和分离参数法，以及转化思想的运用，属于难题． 当x≤1时，运用绝对值不等式的解法和分离参数，可得?x2+1 2x?3≤a≤x2?3 2 x+3，再由二次 函数的最值求法，可得a的范围；当x>1时，同样可得?(3 2x+2 x )≤a≤x 2 +2 x ，再由基本不等式可 得最值，可得a的范围，求交集即可得到所求范围． 【解答】 解：当x≤1时，关于x的不等式f(x)≥|x 2 +a|在R上恒成立， 即为?x2+x?3≤x 2 +a≤x2?x+3， 即有?x2+1 2x?3≤a≤x2?3 2 x+3， 由y=?x2+1 2x?3的对称轴为x=1 4 <1，可得x=1 4 处取得最大值?47 16 ； 由y=x2?3 2x+3的对称轴为x=3 4 <1，可得x=3 4 处取得最小值39 16 ， 则?47 16≤a≤39 16 ，① 当x>1时，关于x的不等式f(x)≥|x 2 +a|在R上恒成立， 即为?(x+2 x )≤x 2 +a≤x+2 x ， 即有?(3 2x+2 x )≤a≤x 2 +2 x ， 由y=?(3 2x+2 x )≤?2√3x 2 ?2 x =?2√3，当且仅当x= √3 >1时取得最大值?2√3； 由y=1 2x+2 x ≥2√1 2 x?2 x =2，当且仅当x=2>1时取得最小值2． 则?2√3≤a≤2，② 由①②可得，?47 16 ≤a≤2． 故答案为[?47 16,2]． 17.答案：解：(Ⅰ)解不等式1 2≤2x?4≤4，得：3≤x ≤6，即A ={x|3≤x ≤6}， 解不等式log 3(2x +1)>2，得：2x +1>9，x >4，即B ={x|x >4}， 故A ∩B ={x|4 解析：本题考查了指数不等式、对数不等式的解法及集合的包含关系，属简单题． (Ⅰ)由指数不等式、对数不等式的解法得集合A ，B ，再由交集的定义得A ∩B ； (Ⅱ)由集合的包含关系得：C ?B ，得a ≥4，得解． 18.答案：解：由sinα+3cosα 3cosα?sinα=5， 得tanα+3 3?tanα=5， 所以tanα=2． 解析：本题考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题． 利用同角三角函数基本关系式化简求解即可． 19.答案：解：由余弦曲线可知?π+2kπ?2x ?π 3?2kπ,k ∈z ， 在?π 3+kπ?x ?π 6+kπ上单调递增， 又可知在π 6+kπ?x ? 2π3 +kπ上单调递减 ， 又x ∈[0,π]，则递增区间为[0,π 6]和[2π 3,π]，递减区间为[π6,2π 3 ] ， 当x =π 6时，y max =3 ； 当x = 2π3时，y min =?3． 解析：本题考查 在指定区间上的最值以及单调区间，难度一般， 直接根据余弦函数的图象性质即可解答． 20.答案：解：(1)∵f(0)=?1<0，f(1)=2>0，f(2)=3>0，f(3)=?6<0， ∴f(x)在区间(0,1)，(2,3)上都存在零点． (2)设函数g(x)，?(x)在区间[2,4]上的几何平均数分别为C 1，C 2． ∵g(x)=x 2+4x ?2在[2,4]上的值域为[10,30]， ， ∴ {C 1 210?30C 1230 ?10 ?C 12=300,∵C 1>0,∴C 1=10√3． ， ∴当4?a>0，即a<4时，?(x)∈[1 2a+1,3]，a>0，同上可得C2=√3(1 2 a+1)， ，∴a>198，旦a<4，故不合题意． 当4?a<0，即a>4时，?(x)∈[3,1 2 a+1]，同理可得，∴a>198．当a=4时，?(x)=3，不合题意． 综上，正数a的取值范围为(198,+∞)． 解析：本题考查函数的零点判定定理的应用以及函数值域问题，属于较难题． (1)运用零点判定定理判断，即可得到答案； (2)设函数g(x)，?(x)在区间[2,4]上的几何平均数分别为C1，C2． ∵g(x)=x2+4x?2在[2,4]上的值域为[10,30]，，由此求出C1=10√3.再对a分类讨论求出函数的值域，得到a的不等式，解得a的取值范围． 21.答案：解：(Ⅰ)∵2f(1)?f(1)=f(1)=a=3,∴a=3， ∴2f(x)?f(1 x )=3x,同时有2f(1 x )?f(x)=3 x , 解得f(x)=2x+1 x ； (Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=2x+1 x ， 可知函数f(x)在(0,√2 2]上是减函数，在(√2 2 ,+∞)上是增函数， 不妨设0 1?2x2?1 x2 =2(x1?x2)+x2?x1 x1x2 =(x1?x2)?2x1x2?1 x1x2 ， ∵0 当0 2 时，2x1x2?1<0， ∴f(x1)?f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴f(x)在(0,√2 2 ]上是减函数， 当√2 2 ∴f(x)在(√2 2 ,+∞)上是增函数． 解析：本题考查函数解析式的求解以及单调性的证明，属于中档题． (Ⅰ)由f(1)=3，解方程得到a的值即可，构造关于f(x),f(1 x )的方程组，解得f(x)的解析式； (Ⅱ)函数f(x)在(0,√2 2]上是减函数，在(√2 2 ,+∞)上是增函数，用定义法证明即可． 22.答案：解：(1)设x1，x2∈(0,2)(x1 若f(x 1)+f(x 2)=1，则12+lg?x 1+1 2+lg?x 2=1， 所以lgx 1+lgx 2=lgx 1x 2=0，x 1x 2=1， 取x 1=4 5，x 2=5 4，满足定义， 所以区间(0,2)是函数f(x)=1 2+lg?x 的V 区间； (2)因为区间[0,a]是函数f(x)=(12)x 的V 区间， 所以 ，x 2∈[0,a](x 1 2)x 1+(1 2)x 2=1， 因为f(x)=(1 2)x 在[0,a]上单调递减， 所以(12)x 1>(12)a ，(12)x 2?(12)a ，(12)x 1+(12)x 2>2(12)a =(1 2)a?1， 所以(1 2)a?1<1，a ?1>0，a >1， 故所求实数a 的取值范围为a >1； (3)因为f(π 2)= 1?ln(1+π2 ) e π2 >0，f(π)=? ln(1+π)e π <0， 所以f(x)在(π2,π)上存在零点， 又因为f(0)=0， 所以函数f(x)在[0,π)上至少存在两个零点， 因为函数f(x)= sin?x?ln?(1+x) e x 在区间[0,+∞)上仅有2个零点， 所以f(x)在[π,+∞)上不存在零点， 又因为f(π)<0，所以 所以?x 1，x 2∈[π,+∞)(x 1 即因此不存在?x 1，x 2∈[π,+∞)(x 1 解析：本题主要考查了函数单调性以及新定义，属于较难题． (1)根据题意设x 1，x 2∈(0,2)(x 1 2)a?1<1， a ?1>0，a >1，即可得解； (3)根据题意得到f(x)在(π 2,π)上存在零点，函数f(x)在[0,π)上至少存在两个零点，以f(x)在[π,+∞)上不存在零点，即可得解．