第五章 平面向量
第一节 平面向量的线性运算及其坐标表示
题型59 向量的概念及共线向量 题型60 平面向量的线性表示——暂无 题型61 向量共线的应用
1.(2017全国3理12)在矩形ABCD 中,1AB =,2AD =,动点P 在以点C 为圆心且与
BD 相切的圆上.
若AP AB AD λμ=+
,则λμ+的最大值为( ).
A .3
B
.
D .2
解析 解法一:由题意,作出图像,如图所示.设BD 与C 切于点E ,联结CE .以点
A 为坐标原点,AD 为x 轴正半轴,A
B 为y 轴正半轴建立直角坐标系,则点
C 坐标为
(2,1).因为||1CD =,||2BC =
.所以BD =BD 切C 于点E .所以CE
⊥BD .所以CE 是Rt BCD △斜边BD
上的高.1
222BCD
BC CD
S EC BD BD ???====
△ 即C
.因为点P 在C 上.所以点P 的轨迹方程为22
4(2)(1)5x y -+-=.
设点P 的坐标为00(,)x y ,可以设出点P
坐标满足的参数方程0021x y θθ?=+????
=+??
,
而00(,)AP x y = ,(0,1)AB = ,(2,0)AD =
. 因为(0,1)(2,0)(2,)AP AB AD λμλμμλ=+=+=
,
所以0112x μθ=
=+
,01y λθ==.
两式相加得()112λμθθθ?+=++=+
+=
2sin()3θ?++≤ (
其中sin ?=
,cos ?=,
当且仅当π
2π2
k θ?=
+-,k ∈Z 时,λμ+取得最大值为3.故选A.
解法二:如图所示,考虑向量线性分解的等系数和线,可得λμ+的最大值为3.
2.(2017浙江理15)已知向量a ,b 满足1=a ,2=b ,则++-a b a b
的最小值是 ,
最大值是 .
解析 解法一:如图所示,a +b 和-a b 是以,a b 为邻边的平行四边形的两条对角线,则(
)2
2
22
210++-=+=a b a b a b
,A 是以O 为圆心的单位圆上的一动点,构造2个全等的
平行四边形AOBD ,平行四边形ECOA .所以AB AC +-=+a +b a b . 易知当A ,B ,C 三点共线时,AB AC +最小,此时4AB AC BC +==; 当AO BC ⊥时,AB AC
+最大,此时2AB AC AB +==
解法二:
()
2
22
2++-=++-++-=
a b a b a b a b a b a b (
)22
2++a b
1010+=+θ是向量a ,b 的夹角).
所以当2cos 1θ=时,++-a b a b 取得最小值4;当2
cos 0θ=时,
++-a b a b 取得
最大值
a
题型62 平面向量基本定理及应用
1.(2017江苏12)如图所示,在同一个平面内,向量OA ,OB ,OC
的模分别为1,1
OA
与OC 的夹角为α,且t a n 7α
=,OB 与OC
的夹角为45?.若O C m O A n O =
+ (),m
n ∈R , 则m n += .
B
解析 解法一:由题意OC OA mOA OA nOB OA
OC OB mOA OB nOB OB
??=?+????=?+???
(*)
而由tan 7α=
,得sin α=
,cos α=
,
11cos 4OA OB απ?
??=??+ ??
? 3cos cos sin sin 445ααππ=?-?=-.
将(*)式化简为1
3 55
31 5m n m n ?=-????=-+??
①②
式①加式②,得3m n +=.故填3.
解法二(坐标法):如图所示,以OA 所在的直线为x 轴,过O 且垂直于OA 的直线为y 轴建立平
面直角坐标系,由题意结合解法一可得()1,0A ,17,55C ??
???,34,
55B ??
- ???
,由
OC mOA nOB =+ ,得()1734
,1,0
,5555
m n ????=+-
? ???
??,即13557455
m n n
?=-????=??,解得5474m n ?=????=??,故
3m n +=.故填3.
解法三(解三角形):由tan 7α=
,可得sin α=
,cos α=,如图所示,根据向量的分解,
易得cos 45cos sin 45sin 0n m n m αα??+=???-=??
2100n m +=??
=,即510
570n m n m +=??-=?
,解得
57
,44
m n ==,所以3m n +=.
题型63 平面向量的坐标运算
1.(2017江苏13)在平面直角坐标系xOy 中,点()12,0A -,()0,6B ,点P 在圆
2
2
:50O x y +=上.若20PA PB ?
…,则点P 的横坐标的取值范围是 .
解析 不妨设()00,P x y ,则2
2
0050x y +=
,且易知0x ?∈-?.
因为PA PB AP BP =??
()()000012,,6x y x y =+?-=
220000126x x y y ++-005012620x y =+-…,故00250x y -+….
所以点()00,P x y 在圆22
:50O x y +=上,且在直线250x y -+=的左上方(含直线).
联立2250250
x y x y ?+=?-+=?,得15x =-,21x =
,如图所示,结合图形知0x ??∈-??
.故
填??-??
.
2
评注 也可以理解为点P 在圆2
2
000012620x y x y +=+-的内部来解决,与解析中的方法一致.
题型64 向量共线(平行)的坐标表示——暂无
第二节 平面向量的数量积
题型65 平面向量的数量积
1.(2017天津理13)在ABC △中,60A =
∠,3AB =,2AC =.若2BD DC = ,
()AE AC AB λλ∈=-R
,且4AD AE ?=- ,则λ的值为___________.
解析 解法一:如图所示,以向量AB
,AC 为平面向量的基底,则依题意可得1cos 603232AB AC AB AC ?==??=
.又因为2BD DC = ,
则()
22213333
AD AB BD AB BC AB AC AB AC AB =+=+=+
-=+
, 则222121145
33333AD AE AC AB AC AB λλλ??-=?=
-+-?=- ???
,解得311λ=.
D
C
B
A
解法二:以点A 为坐标原点,以AB 所在的直线为x 轴,建立直角坐标系(如图所示).依题意
易得()0,0A ,()3,0B
,(C ,()=3,0AB
,(BC =-
,(=AC .
则可得2533AD AB BD AB BC ?=+=+= ??
,()
AE AC AB λλ=-=-
,于是有()511432533AD AE λλλ-=?=-+=- ,解得311
λ=
.
2.(2017北京理6)设m ,n 为非零向量,则“存在负数λ,使得λ=m n ”是“0
B.必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析
若0λ?<,使λ=m n ,即两向量方向相反,夹角为180 ,则0? 90,180?? ,方向并不一定相反,故不一定存在.故选A. 3.(2017全国1理13)13.已知向量a ,b 的夹角为60 ,2=a , 1=b ,则2+=a b . 解析 () 2 2 2 22(2)22cos602+=+=+???+ a b a b a a b b 221 222222 =+???+= 444++=12 ,所以2+=a b . 4.(2017全国2理12)已知ABC △是边长为2的等边三角形,P 为平面ABC 内一点,则 ()PA PB PC ?+ 的最小值是( ). A.2- B.32- C. 4 3 - D.1- 解析 解法一(几何法):如图所示,取BC 的中点D ,联结AD ,取AD 的中点E ,由 2PB PC PD += ,则()()() 22PA PB PC PD PA PE ED PE EA ?+=?=+?+= () 222PE ED -= 2221132422PE AD AD ??--=- ??? …,当且仅当20PE = ,即点P 与点E 重合时,取得最小值为 3 2 -,故选 B. 解法二(解析法):建立如图所示的直角坐标系,以的BC 的中点为坐标原点, 所 以(0A ,()10B -, ,()10C ,.设点()P x y , ,() PA x y =- ,() 1PB x y =--- ,, () 1PC x y =-- ,,所 以 ( ) 22 22PA PB PC x y ?+=-+ 22324x y ?????=+-- ?????? , 则其最小值为33242???-=- ???,此时0x = ,y =.故选 B. 5.(2017全国3理12)在矩形ABCD 中,1AB =,2AD =,动点P 在以点C 为圆心且与 BD 相切的圆上. 若AP AB AD λμ=+ ,则λμ+的最大值为( ). A .3 B . D .2 解析 解法一:由题意,作出图像,如图所示.设BD 与C 切于点E ,联结CE .以点 A 为坐标原点,AD 为x 轴正半轴,A B 为y 轴正半轴建立直角坐标系,则点 C 坐标为 (2,1).因为||1CD =,||2BC = .所以BD =BD 切C 于点E .所以CE ⊥BD .所以CE 是Rt BCD △斜边BD 上的高.1 222BCD BC CD S EC BD BD ???==== △ 即C .因为点P 在C 上.所以点P 的轨迹方程为22 4(2)(1)5x y -+-=. 设点P 的坐标为00(,)x y ,可以设出点P 坐标满足的参数方程0021x y θθ?=+ ???? =+?? , 而00(,)AP x y = ,(0,1)AB = ,(2,0)AD = . 因为(0,1)(2,0)(2,)AP AB AD λμλμμλ=+=+= , 所以0112x μθ= =+ ,01y λθ==. 两式相加得()112λμθθθ?+=++=+ += 2sin()3θ?++≤ ( 其中sin ?= ,cos ?=, 当且仅当π 2π2 k θ?= +-,k ∈Z 时,λμ+取得最大值为3.故选A. 解法二:如图所示,考虑向量线性分解的等系数和线,可得λμ+的最大值为3. λ+μ=2 λ+μ=3 D C B A 6.(2017山东理12 )已知12,e e 是互相垂直的单位向量,12-e 与12λ+e e 的夹角为60 ,则实数λ的值是 . 解析 ) ( )22 1212112122λλλ-?+=+?-?-=e e e e e e e e , 12 2 -=== e, 12 λ +=== e e 2cos60 λ= λ=. 7.(2017浙江理10)如图所示,已知平面四边形ABCD,AB BC ⊥,2 AB BC AD ===,3 CD=,AC与BD交于点O,记 1 · I O A O B = , 2 · I OBOC = , 3 · I OC OD = ,则 (). A. 123 I I I < 132 I I I << C. 312 I I I < 213 I I I << 解析如图所示,动态研究问题:D D ¢?,O O ¢?.此时有90 AOB ?o,90 BOC ?o,90 COD ?o,且CO AO >,DO BO >. 故OB OC OA OB OC OD ??? u u u r u u u r u u r u u u r u u u r u u u r . 8.(2017浙江理15)已知向量a,b满足1 = a,2 = b,则++- a b a b的最小值是,最大值是. 解析解法一:如图所示,a+b和- a b是以, a b为邻边的平行四边形的两条对角线,则 () 2222 210 ++-=+= a b a b a b,A是以O为圆心的单位圆上的一动点,构造2个全等的平行四边形AOBD,平行四边形ECOA.所以AB AC +-=+ a+b a b. 易知当A,B,C三点共线时,AB AC +最小,此时4 AB AC BC +==; 当AO BC ⊥时,AB AC + 最大,此时2 AB AC AB +== A a 解法二: () 2 22 2++-=++-++-= a b a b a b a b a b a b ( ) 22 2++a b 1010+=+θ是向量a ,b 的夹角). 所以当2cos 1θ=时,++-a b a b 取得最小值4;当2cos 0θ=时,++-a b a b 取得 最大值 题型66 向量与三角形的四心——暂无 高考数学平面向量试题汇编 已知O 是ABC △所在平面内一点,D 为BC 边中点,且2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ,那么 ( A ) A.AO OD =u u u r u u u r B.2AO OD =u u u r u u u r C.3AO OD =u u u r u u u r D.2AO OD =u u u r u u u r (辽宁3) 若向量a 与b 不共线,0≠g a b ,且?? ??? g g a a c =a -b a b ,则向量a 与c 的夹角为( D ) A .0 B . π6 C . π3 D . π2 (辽宁6) 若函数()y f x =的图象按向量a 平移后,得到函数(1)2y f x =+-的图象,则向量a =( A ) A .(12)--, B .(12)-, C .(12)-, D .(12), (宁夏,海南4) 已知平面向量(11) (11)==-,,,a b ,则向量13 22 -=a b ( D ) A.(21)--, B.(21)-, C.(10)-, D.(12), (福建4) 对于向量,,a b c 和实数λ,下列命题中真命题是( B ) A .若=0g a b ,则0a =或0b = B .若λ0a =,则0λ=或=0a C .若2 2 =a b ,则=a b 或-a =b D .若g g a b =a c ,则b =c (湖北2) 将π2cos 36x y ??=+ ???的图象按向量π24?? =-- ??? ,a 平移,则平移后所得图象的解析式为 ( A ) A.π2cos 234x y ?? =+- ??? B.π2cos 234x y ?? =-+ ??? C.π2cos 2312x y ?? =-- ??? D.π2cos 2312x y ?? =++ ??? (湖北文9) 设(43)=,a , a 在 b 上的投影为2 ,b 在x 轴上的投影为2,且||14≤b ,则b 为( B ) A .(214), B .227? ?- ???, C .227??- ??? , D .(28), (湖南4) 设,a b 是非零向量,若函数()()()f x x x =+-g a b a b 的图象是一条直线,则必有( A ) A .⊥a b B .∥a b C .||||=a b D .||||≠a b (湖南文2) 若O E F ,,是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是( B ) A .EF OF OE =+u u u r u u u r u u u r B .EF OF OE =-u u u r u u u r u u u r C .EF OF OE =-+u u u r u u u r u u u r D .EF OF O E =--u u u r u u u r u u u r (四川7) 设A {a ,1},B {2,b },C {4,5},为坐标平面上三点,O 为坐标原点,若方向 在与→ →→OC OB OA 上的投影相同,则a 与b 满足的关系式为 ( A ) (A)354=-b a (B)345=-b a (C)1454=+b a (D)1445=+b a (天津10) 设两个向量22 (2cos )λλα=+-,a 和sin 2 m m α? ?=+ ?? ? ,b ,其中m λα,,为实数.若2=a b ,则 m λ 的取值范围是( A ) A.[-6,1] B.[48], C.(-6,1] D.[-1,6] (浙江7) 2017年江苏高考数学真题及答案 数学I 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1. 本试卷共4页,包含非选择题(第1题 ~ 第20题,共20题).本卷满分为160分,考 试时间为120分钟。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。 2. 答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。 3.请认真核对监考员在答题上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。 4.作答试题,必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作 答一律无效。 5.如需改动,须用2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分,请把答案填写在答题卡相应位置上 1.已知集合{} =1,2A ,{} =+2 ,3B a a ,若 A B I ={1}则实数a 的值为________ 2.已知复数z=(1+i )(1+2i ),其中i 是虚数单位,则z 的模是__________ 3.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件,为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取 件. 4.右图是一个算法流程图,若输入x 的值为 1 16 ,则输出的y 的值是 . 5.若tan 1 -= 4 6 π α ?? ? ?? ,则tanα= . 6.如图,在圆柱O1 O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切。记圆柱O1O2 的体积为V1 ,球O的体积为V2,则1 2 V V 的值是 7.记函数2 ()6 f x x x +-的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x,则x∈ D的 概率是 8.在平面直角坐标系xoy中 ,双曲线 2 21 3 x y -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q,其焦点是F1 , F2 ,则四边形F1 P F2 Q的面积是 9.等比数列{}n a的各项均为实数,其前n项的和为S n,已知36 763 , 44 S S ==, 则 8 a= 10.某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用 三年高考真题分类汇编 平面向量 五年高考真题分类汇编 平面向量 1.(19全国1文理)已知非零向量a ,b 满足||2||=a b ,且()-a b ⊥b ,则a 与b 的夹角为( ) A .π6 B .π3 C .2π3 D .5π6 2.(19全国2理)已知AB u u u r =(2,3),AC u u u r =(3,t ),BC uuu r =1,则AB BC ?u u u r u u u r =( ) A .-3 B .-2 C .2 D .3 3.(19全国2文)已知向量a =(2,3),b =(3,2),则|a –b |=( ) A B .2 C . D .50 4.(19全国3理)已知a ,b 为单位向量,且a ·b =0 ,若2=c a ,则cos ,<>=a c 23 5.(19全国3文)已知向量(2,2),(8,6)==-a b ,则cos ,<>= a b 6.(19天津文理)在四边形ABCD 中,,5,30AD BC AB AD A ==∠=?∥, 点E 在线段CB 的延长线上,且AE BE =,则BD AE ?=u u u r u u u r 1- 7.(18浙江)已知a ,b ,e 是平面向量,e 是单位向量.若非零向量a 与e 的夹角为π 3 ,向量b 满足b 2?4e ·b +3=0,则|a ?b |的最小值是( ) A 1 B C .2 D .2 8.(18天津文)在如图的平面图形中, 已知 1.2,120OM ON MON ==∠=o , 2,2,BM MA CN NA ==u u u u r u u u r u u u r u u u r 则·BC OM u u u r u u u u r 的值为( ) (A )15- (B )9- (C )6- (D )0 9.(18天津理)如图,在平面四边形ABCD 中,AB BC ⊥,AD CD ⊥,120BAD ∠=?,1AB AD ==. 若点E 为边CD 上的动点,则?uu u r uur AE BE 的最小值为 ( ) 2017年江苏省高考数学试卷 一.填空题 1.(5分)已知集合A={1,2},B={a,a2+3}.若A∩B={1},则实数a的值为.2.(5分)已知复数z=(1+i)(1+2i),其中i是虚数单位,则z的模是.3.(5分)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取件. 4.(5分)如图是一个算法流程图:若输入x的值为,则输出y的值是. 5.(5分)若tan(α﹣)=.则tanα=. 6.(5分)如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切,记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则的值是. 7.(5分)记函数f(x)=定义域为D.在区间[﹣4,5]上随机取一个数 x,则x∈D的概率是. 8.(5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q,其焦点是F1,F2,则四边形F1PF2Q的面积是.9.(5分)等比数列{a n}的各项均为实数,其前n项和为S n,已知S3=,S6=,则a8=. 10.(5分)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x 的值是. 11.(5分)已知函数f(x)=x3﹣2x+e x﹣,其中e是自然对数的底数.若f(a ﹣1)+f(2a2)≤0.则实数a的取值范围是. 12.(5分)如图,在同一个平面内,向量,,的模分别为1,1,, 与的夹角为α,且tanα=7,与的夹角为45°.若=m+n(m,n∈R),则m+n=. 13.(5分)在平面直角坐标系xOy中,A(﹣12,0),B(0,6),点P在圆O:x2+y2=50上.若≤20,则点P的横坐标的取值范围是. 14.(5分)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数,在区间[0,1)上,f(x)=,其中集合D={x|x=,n∈N*},则方程f(x)﹣lgx=0的解的个数是. 二.解答题 15.(14分)如图,在三棱锥A﹣BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E、F(E与A、D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD. 平面向量高考试题精选(含详细答案) 平面向量高考试题精选(一) 一.选择题(共14小题) 1.(2015?河北)设D为△ABC所在平面内一点,,则() A.B. C.D. 2.(2015?福建)已知,若P点是△ABC所在平面内一点,且,则 的最大值等于() A.13 B.15 C.19 D.21 3.(2015?四川)设四边形ABCD为平行四边形,||=6,||=4,若点M、N满足,,则=() A.20 B.15 C.9 D.6 4.(2015?安徽)△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量,满足=2,=2+,则下列结论正确的是() A.||=1 B.⊥C.?=1 D.(4+)⊥ 5.(2015?陕西)对任意向量、,下列关系式中不恒成立的是() A.||≤|||| B.||≤|||﹣||| C.()2=||2D.()?()=2﹣2 6.(2015?重庆)若非零向量,满足||=||,且(﹣)⊥(3+2),则与的夹角为()A.B.C.D.π 7.(2015?重庆)已知非零向量满足||=4||,且⊥()则的夹角为()A.B.C.D. 8.(2014?湖南)在平面直角坐标系中,O为原点,A(﹣1,0),B(0,),C(3,0),动点D满足||=1,则|++|的取值范围是() 12.(2014?四川)平面向量=(1,2),=(4,2),=m+(m∈R),且与的夹角等于与的夹角,则m=() A.﹣2 B.﹣1 C.1 D.2 13.(2014?新课标I)设D,E,F分别为△ABC 的三边BC,CA,AB的中点,则+=()A.B.C.D. 14.(2014?福建)设M为平行四边形ABCD对角线的交点,O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点,则等于()A.B.2 C.3 D.4 二.选择题(共8小题) 15.(2013?浙江)设、为单位向量,非零向量=x+y,x、y∈R.若、的夹角为30°,则的最大值等于. 《平面向量》测试题 一、选择题 1.若三点P (1,1),A (2,-4),B (x,-9)共线,则( ) A.x=-1 B.x=3 C.x= 2 9 D.x=51 2.与向量a=(-5,4)平行的向量是( ) A.(-5k,4k ) B.(-k 5,-k 4) C.(-10,2) D.(5k,4k) 3.若点P 分所成的比为4 3 ,则A 分所成的比是( ) A.73 B. 37 C.- 37 D.-7 3 4.已知向量a 、b ,a ·b=-40,|a|=10,|b|=8,则向量a 与b 的夹角为( ) A.60° B.-60° C.120° D.-120° 5.若|a-b|=32041-,|a|=4,|b|=5,则向量a ·b=( ) A.103 B.-103 C.102 D.10 6.(浙江)已知向量a =(1,2),b =(2,-3).若向量c 满足(c +a )∥b ,c ⊥(a +b ),则c =( ) A.? ????79,73 B.? ????-73,-79 C.? ????73,79 D.? ????-7 9 ,-73 7.已知向量a=(3,4),b=(2,-1),如果向量(a+x )·b 与b 垂直,则x 的值为( ) A. 3 23 B. 23 3 C.2 D.- 5 2 8.设点P 分有向线段21P P 的比是λ,且点P 在有向线段21P P 的延长线上,则λ的取值范围是( ) A.(-∞,-1) B.(-1,0) C.(-∞,0) D.(-∞,- 2 1 ) 9.设四边形ABCD 中,有DC = 2 1 ,且||=|BC |,则这个四边形是( ) A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形 10.将y=x+2的图像C 按a=(6,-2)平移后得C ′的解析式为( ) A.y=x+10 B.y=x-6 C.y=x+6 D.y=x-10 11.将函数y=x 2+4x+5的图像按向量a 经过一次平移后,得到y=x 2 的图像,则a 等于( ) A.(2,-1) B.(-2,1) C.(-2,-1) D.(2,1) 12.已知平行四边形的3个顶点为A(a,b),B(-b,a),C(0,0),则它的第4个顶点D 的坐标是( ) A.(2a,b) B.(a-b,a+b) C.(a+b,b-a) D.(a-b,b-a) 二、填空题 13.设向量a=(2,-1),向量b 与a 共线且b 与a 同向,b 的模为25,则b= 。 14.已知:|a|=2,|b|=2,a 与b 的夹角为45°,要使λb-a 垂直,则λ= 。 15.已知|a|=3,|b|=5,如果a ∥b ,则a ·b= 。 16.在菱形ABCD 中,(AB +AD )·(AB -AD )= 。 平面向量高考试题精选(一) 一.选择题(共14小题) 1.(2015?河北)设D为△ABC所在平面内一点,,则() A. B. C. D. 2.(2015?福建)已知,若P点是△ABC所在平面内一点,且,则的最大值等于()A.13 B.15 C.19 D.21 3.(2015?四川)设四边形ABCD为平行四边形,||=6,||=4,若点M、N满足,,则=()A.20 B.15 C.9 D.6 4.(2015?安徽)△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量,满足=2,=2+,则下列结论正确的是() A.||=1 B.⊥C.?=1D.(4+)⊥ 5.(2015?陕西)对任意向量、,下列关系式中不恒成立的是() A.||≤|||| B.||≤|||﹣||| C.()2=||2D.()?()=2﹣2 6.(2015?重庆)若非零向量,满足||=||,且(﹣)⊥(3+2),则与的夹角为()A. B. C. D.π 7.(2015?重庆)已知非零向量满足||=4||,且⊥()则的夹角为() A. B. C. D. 8.(2014?湖南)在平面直角坐标系中,O为原点,A(﹣1,0),B(0,),C(3,0),动点D 满足||=1,则|++|的取值范围是() A.[4,6] B.[﹣1,+1] C.[2,2] D.[﹣1,+1] 9.(2014?桃城区校级模拟)设向量,满足,,<>=60°,则||的最大值等于() A.2 B. C. D.1 10.(2014?天津)已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E、F分别在边BC、DC上,=λ,=μ,若?=1,?=﹣,则λ+μ=() A. B. C. D. 11.(2014?安徽)设,为非零向量,||=2||,两组向量,,,和,,,,均由2个和2个排列而成,若?+?+?+?所有可能取值中的最小值为4||2,则与的夹角为() A. B. C. D.0 绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷) 数学Ⅰ 参考公式: 圆柱的侧面积公式:cl S= 圆柱侧 ,其中c是圆柱底面的周长,l为母线长. 圆柱的体积公式:Sh V= 圆柱 , 其中S是圆柱的底面积,h为高. 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上 ......... 1. 已知集合A={4,3,1 ,2- -},}3,2,1 {- = B,则= B A ▲. 2. 已知复数2)i2 5(+ = z(i为虚数单位),则z的实部为▲. 3. 右图是一个算法流程图,则输出的n的值是▲. (第3题) 4. 从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是 ▲ . 5. 已知函数x y cos =与)2sin(?+=x y (0≤π?<),它们的图象有一个横坐标为 3 π 的交点,则?的值是 ▲ . 6. 设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上,其频率分 布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有 ▲ 株树木的底部周长小于 100cm. 【考点】频率分布直方图. 100 80 90 110 120 底部周长/cm (第6题) 7. 在各项均为正数的等比数列}{n a 中,,12=a 4682a a a +=,则6a 的值是 ▲ . 8. 设甲、乙两个圆柱的底面分别为1S ,2S ,体积分别为1V ,2V ,若它们的侧面积相等,且 4 9 21=S S ,则2 1 V V 的值是 ▲ . 9. 在平面直角坐标系xOy 中,直线032=-+y x 被圆4)1()2(22=++-y x 截得的弦长为 ▲ . 10. 已知函数,1)(2-+=mx x x f 若对于任意]1,[+∈m m x ,都有0)( 平面向量测试题 一、选择题: 1。已知ABCD 为矩形,E 是DC 的中点,且?→?AB =→a ,?→?AD =→b ,则?→ ?BE =( ) (A ) →b +→a 2 1 (B ) →b -→a 2 1 (C ) →a +→b 2 1 (D ) →a -→ b 2 1 2.已知B 是线段AC 的中点,则下列各式正确的是( ) (A ) ?→?AB =-?→?BC (B ) ?→?AC =?→?BC 2 1 (C ) ?→?BA =?→?BC (D ) ?→?BC =?→ ?AC 2 1 3.已知ABCDEF 是正六边形,且?→?AB =→a ,?→?AE =→b ,则?→ ?BC =( ) (A ) )(2 1→→-b a (B ) )(2 1 →→-a b (C ) →a +→b 2 1 (D ) )(2 1→ →+b a 4.设→a ,→b 为不共线向量,?→?AB =→a +2→b ,?→?BC =-4→a -→b ,?→ ?CD = -5→ a -3→ b ,则下列关系式中正确的是 ( ) (A )?→?AD =?→?BC (B )?→?AD =2?→ ?BC (C )?→?AD =-?→ ?BC (D )?→?AD =-2?→ ?BC 5.将图形F 按→ a =(h,k )(其中h>0,k>0)平移,就是将图形F ( ) (A ) 向x 轴正方向平移h 个单位,同时向y 轴正方向平移k 个单位。 (B ) 向x 轴负方向平移h 个单位,同时向y 轴正方向平移k 个单位。 (C ) 向x 轴负方向平移h 个单位,同时向y 轴负方向平移k 个单位。 (D ) 向x 轴正方向平移h 个单位,同时向y 轴负方向平移k 个单位。 6.已知→a =()1,2 1,→ b =(), 2 22 3- ,下列各式正确的是( ) (A ) 2 2?? ? ??=??? ??→ →b a (B ) →a ·→b =1 (C ) →a =→b (D ) →a 与→b 平行 7.设→ 1e 与→ 2e 是不共线的非零向量,且k → 1e +→ 2e 与→ 1e +k → 2e 共线,则k 的值是( ) (A ) 1 (B ) -1 (C ) 1± (D ) 任意不为零的实数 8.在四边形ABCD 中,?→?AB =?→?DC ,且?→?AC ·?→ ?BD =0,则四边形ABCD 是( ) (A ) 矩形 (B ) 菱形 (C ) 直角梯形 (D ) 等腰梯形 9.已知M (-2,7)、N (10,-2),点P 是线段MN 上的点,且?→ ?PN =-2?→ ?PM ,则P 点的坐标为( ) (A ) (-14,16)(B ) (22,-11)(C ) (6,1) (D ) (2,4) 高考数学平面向量的概念与运算 一、选择题 1.(2018全国卷Ⅰ)在ABC △中,AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点,则EB =( ) A .31 44AB AC - B .13 44AB AC - C .31 44AB AC + D .1344 AB AC + 【答案】 2.(2018北京)设a ,b 均为单位向量,则“ 33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 【答案】 3.(2018全国卷Ⅱ)已知向量a ,b 满足||1=a , 1?=-a b ,则(2)?-=a a b ( ) A .4 B .3 C .2 D .0 【答案】 4.(2017北京)设m , n 为非零向量,则“存在负数λ,使得λ=m n ”是“0? 九、平面向量 一、选择题 1.(四川理4)如图,正六边形ABCDEF 中,BA CD EF ++u u u r u u u r u u u r = A .0 B .BE u u u r C .AD u u u r D .CF uuu r 【答案】D 【解析】BA CD EF BA AF EF BF EF C E E F CF ++=++=+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2.(山东理12)设1A ,2A ,3A ,4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点,若1312A A A A λ=u u u u v u u u u v (λ∈R ),1412A A A A μ=u u u u v u u u u v (μ∈R ),且112λμ+=,则称3A ,4A 调和分割1A ,2A ,已知平面上的点C ,D 调和分割点A , B 则下面说法正确的是 A .C 可能是线段A B 的中点 B .D 可能是线段AB 的中点 C .C , D 可能同时在线段AB 上 D .C ,D 不可能同时在线段AB 的延长线上 【答案】D 3.(全国新课标理10)已知a ,b 均为单位向量,其夹角为θ,有下列四个命题 12:||1[0,)3p a b πθ+>?∈ 22:||1(,]3p a b πθπ+>?∈ 13:||1[0,)3p a b πθ->?∈ 4:||1(,]3p a b πθπ->?∈ 其中真命题是 (A ) 14,p p (B ) 13,p p (C ) 23,p p (D ) 24,p p 【答案】A 4.(全国大纲理12)设向量a ,b ,c 满足a =b =1,a b g =12- ,,a c b c --=060,则c 的最大值等于 A .2 B .3 C .2 D .1 【答案】A 5.(辽宁理10)若a ,b ,c 均为单位向量,且0=?b a ,0)()(≤-?-c b c a ,则||c b a -+的 最大值为 (A )12- (B )1 (C )2 (D )2 【答案】B 6.(湖北理8)已知向量a=(x +z,3),b=(2,y-z ),且a ⊥ b .若x ,y 满足不等式 1x y +≤, 则z 的取值范围为 A .[-2,2] B .[-2,3] C .[-3,2] D .[-3,3] 【答案】D 7.(广东理3)若向量a,b,c满足a∥b且a⊥b,则(2)c a b ?+= A .4 B .3 C .2 D .0 【答案】D 年江苏省高考数学试卷2017 填空题一. 2a2},B={a,∩+3}.若AB={1},则实数a .的值为,已知集合.1(5分)A={1 2.(5分)已知复数z=(1+i)(1+2i),其中i是虚数单位,则z的模是.3.(5分)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取 件. 4.(5分)如图是一个算法流程图:若输入x的值为,则输出y的值 是. 5.(5分)若tan(α﹣)=.则tanα=. 6.(5分)如图,在圆柱OO内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均21 相切,记圆柱OO的体积为V,球O的体积为V,则的值是.2112 7.(5分)记函数f(x)=定义域为D.在区间[﹣4,5]上随机取一个数第1页(共31页) .x,则x∈D的概率是 2的右准线与它的两条渐﹣y=1(5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线8.PFQ 的面积是.,其焦点是近线分别交于点P,QF,F,则四边形F2112 9.(5分)等比数列{a}的各项均为实数,其前n项和为S,已知S=,S=,63nn.a=则8次,万元/吨,每次购买x运费为610.(5分)某公司一年购买某种货物600吨,x4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则一年的总存储费用为.的值是 x3af(,其中e=xe﹣2x+是自然对数的底数.若﹣11.(5分)已知函数f(x)2)≤0.则实数a的取值范围是(2a .﹣1)+f 12.(5分)如图,在同一个平面内,向量,,的模分别为1,1,, 2016年高考数学理试题分类汇编 平面向量 一、选择题 1、(2016年北京高考)设a ,b 是向量,则“||||a b =”是“||||a b a b +=-”的() A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】D 2、(2016年山东高考)已知非零向量m ,n 满足4│m │=3│n │,cos 4、(2016年天津高考)已知△ABC 是边长为1的等边三角形,点E D ,分别是边BC AB ,的中点, 连接DE 并延长到点F ,使得EF DE 2=,则AF BC 的值为() (A )85- (B )81 (C )41 (D )811 【答案】B 5、(2016年全国II 高考)已知向量(1,)(3,2)a m a =-, =,且()a b b ⊥+,则m =() (A )-8(B )-6(C )6(D )8 【答案】D 6、(2016年全国III 高考)已知向量13(, )2BA =,31(,),2 BC =则∠ABC= (A)300(B)450(C)600(D)1200 【答案】A 二、填空题 1、(2016年上海高考)在平面直角坐标系中,已知A (1,0),B (0,-1),P 是曲线21x y -=上一个动点,则BA BP ?的取值范围是 . 【答案】[0,12]+ 2、(2016年上海高考)如图,在平面直角坐标系xOy 中,O 为正八边形821A A A 的中心,()0,11A .任取不同的两点j i A A ,,点P 满足=++j i OA ,则点P 落在第一象限的概率是. 平面向量高考经典试题 一、选择题 1.(全国1文理)已知向量(5,6)a =-,(6,5)b =,则a 与 b A .垂直 B .不垂直也不平行 C .平行且同向 D .平行且反向 2、(山东文5)已知向量(1)(1)n n ==-,,,a b ,若2-a b 与 b 垂直,则=a ( ) A .1 B C .2 D .4 3、(广东文4理10)若向量,a b 满足||||1a b ==,,a b 的夹角为60°,则a a a b ?+?=______; 答案:3 2 ; 4、(天津理10) 设两个向量22(2,cos )a λλα=+-和(, sin ),2 m b m α=+其中,,m λα为实数.若2,a b =则m λ 的取值范围是 ( A.[6,1]- B.[4,8] C.(,1]-∞ D.[1,6]- 5、(山东理11)在直角ABC ?中,CD 是斜边AB 上的高,则下列等式不成立的是 (A )2 AC AC AB =? (B ) 2 BC BA BC =? (C )2AB AC CD =? (D ) 2 2 ()() AC AB BA BC CD AB ???= 6、(全国2 理5)在?ABC 中,已知D 是AB 边上一点,若AD =2DB , CD =CB CA λ+3 1 ,则λ= (A) 3 2 (B) 3 1 (C) - 3 1 (D) - 3 2 7、(全国2理12)设F 为抛物线y 2=4x 的焦点,A 、B 、C 为该抛物线上三点,若 FC FB FA ++=0,则|FA|+|FB|+|FC|= (A)9 (B) 6 (C) 4 (D) 3 8、(全国2文6)在ABC △中,已知D 是AB 边上一点,若 1 23 AD DB CD CA CB λ==+,,则λ=( ) A .23 B .13 C .1 3 - D .2 3 - 9(全国2文9)把函数e x y =的图像按向量(2)=,0a 平移,得到()y f x =的图像,则()f x =( ) A .e 2x + B .e 2x - C .2 e x - D .2 e x + 10、(北京理4)已知O 是ABC △所在平面内一点,D 为BC 边中点,且 2OA OB OC ++=0,那么( ) A.AO OD = B.2AO OD = C.3AO OD = D.2AO OD = 11、(上海理14)在直角坐标系xOy 中,,i j 分别是与x 轴,y 轴平行的单位向量,若直角三角形ABC 中,2AB i j =+,3AC i k j =+,则k 的可能值有 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 12、(福建理4文8)对于向量,a 、b 、c 和实数,下列命题中真命题是 A 若 ,则a =0或b =0 B 若 ,则λ=0或a =0 C 若=,则a =b 或a =-b D 若 ,则b =c 13、(湖南理4)设,a b 是非零向量,若函数()()()f x x x =+-a b a b 的图象是一条 2017年江苏数学高考试卷 一.填空题 1.(5分)已知集合A={1,2},B={a,a2+3}.若A∩B={1},则实数a的值为.2.(5分)已知复数z=(1+i)(1+2i),其中i是虚数单位,则z的模是. 3.(5分)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取件. 4.(5分)如图是一个算法流程图:若输入x的值为,则输出y的值是. 5.(5分)若tan(α﹣)=.则tanα=. 6.(5分)如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切,记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则的值是. 7.(5分)记函数f(x)=定义域为D.在区间[﹣4,5]上随机取一个数x,则x∈D 的概率是. 8.(5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q,其焦点是F1,F2,则四边形F1PF2Q的面积是. 9.(5分)等比数列{a n}的各项均为实数,其前n项为S n,已知S3=,S6=,则a8=.10.(5分)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是.11.(5分)已知函数f(x)=x3﹣2x+e x﹣,其中e是自然对数的底数.若f(a﹣1)+f(2a2)≤0.则实数a的取值范围是. 12.(5分)如图,在同一个平面内,向量,,的模分别为1,1,,与的夹角为α,且ta nα=7,与的夹角为45°.若=m+n(m,n∈R),则m+n=. 13.(5分)在平面直角坐标系xOy中,A(﹣12,0),B(0,6),点P在圆O:x2+y2=50上.若≤20,则点P的横坐标的取值范围是. 14.(5分)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数,在区间[0,1)上,f(x)=, 其中集合D={x|x=,n∈N*},则方程f(x)﹣lgx=0的解的个数是. 二.解答题 15.(14分)如图,在三棱锥A﹣BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E、F(E与A、D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD. 求证:(1)EF∥平面ABC; (2)AD⊥AC. 高中高考数学专题复习平面向量含试题与详细解答 1.平面上有一个△ABC 和一点O ,设OA a =,OB b =,OC c =,又OA 、BC 的中点分别为D 、E ,则向量DE 等于( ) A. () 12a b c ++ B. () 1 2a b c -++ C. ( ) 12a b c -+ D. () 1 2 a b c +- 2.在平行四边形ABCD 中,E 、F 分别是CD 和BC 的中点,若AF AE AC μλ+=,其中R ∈μλ,,则μλ+的值是 A . 34 B .1 C . 32 D. 3 1 3.若四边形ABCD 是正方形,E 是CD 的中点,且AB a =,AD b =,则BE = A.12b a + B.12a b + C.12b a - D.1 2 a b - 4.在平面内,已知31==,0=?OB OA , 30=∠AOC ,设 n m +=, (,R m n ∈),则n m 等于 A . B .3± C .1 3± D .3 ± 5.在等腰Rt ABC △中,90A ∠=,(1,2),(,)(0)AB AC m n n ==>,则BC = ( ) A .(-3,-1) B .(-3,1) C .(3,1)- D .(3,1) 6.已知,,A B C 三点共线,且(3,6)A -,(5,2)B -,若C 点横坐标为6,则C 点 的纵坐标为( ). A .13- B .9 C .9- D .13 7.设a 、b 、c 是非零向量,则下列说法中正确..是 A .()()a b c c b a ??=?? B. a b a b -≤+ C .若a b a c ?=?,则b c = D .若//,//a b a c ,则//b c 8.设四边形ABCD 中,有DC =2 1 ,且||=|BC |,则这个四边形是 A.平行四边形 B.等腰梯形 C. 矩形 D.菱形 9.已知()()0,1,2,3-=-=,向量+λ与2-垂直,则实数λ的值为( ). A.17- B.17 C.1 6 - D.16 一、多选题 1.在ABC ?中,内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若,2,6 A a c π ===则角C 的大小 是( ) A . 6 π B . 3 π C . 56 π D . 23 π 2.已知点()4,6A ,33,2 B ??- ?? ? ,与向量AB 平行的向量的坐标可以是( ) A .14,33?? ??? B .97,2?? ??? C .14,33?? - - ??? D .(7,9) 3.在ABC 中,AB =1AC =,6 B π =,则角A 的可能取值为( ) A . 6 π B . 3 π C . 23 π D . 2 π 4.已知向量()1,0a =,()2,2b =,则下列结论正确的是( ) A .()25,4a b += B .2b = C .a 与b 的夹角为45° D .() //2a a b + 5.已知ABC ?是边长为2的等边三角形,D ,E 分别是AC 、AB 上的两点,且 AE EB =,2AD DC =,BD 与CE 交于点O ,则下列说法正确的是( ) A .1A B CE ?=- B .0OE O C += C .3OA OB OC ++= D .ED 在BC 方向上的投影为 76 6.ABC 中,2AB =,30ACB ∠=?,则下列叙述正确的是( ) A .ABC 的外接圆的直径为4. B .若4A C =,则满足条件的ABC 有且只有1个 C .若满足条件的ABC 有且只有1个,则4AC = D .若满足条件的ABC 有两个,则24AC << 7.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对边分别为a ,b ,c ,b =15,c =16,B =60°,则a 边为( ) A . B . C .8 D . 8.ABC 中,4a =,5b =,面积S =c =( ) A B C D .9.八卦是中国文化的基本哲学概念,如图1是八卦模型图,其平面图形记为图2中的正八 平面向量板块测试 第Ⅰ卷 (选择题 共60分) 一、选择题(12×5′=60′) 1.下列五个命题:①|a 2|=2a ;②a b a b a =?2;③222)(b a b a ?=?;④2222)(b b a a b a +?-=-; ⑤若a ·b =0,则a =0或b =0. 其中正确命题的序号是 ( ) A.①②③ B.①④ C.①③④ D.②⑤ 2.若AB =3e ,=-5e 且|AD |=|,则四边形ABCD 是 ( ) A.平行四边形 B.菱形 C.等腰梯形 D.非等腰梯形 3.将函数y =sin x 按向量a =(1,-1)平移后,所得函数的解析式是 ( ) A.y ′=sin(x ′-1)-1 B.y ′=sin(x ′+1)-1 C.y ′=sin(x ′+1)+1 D.y ′=sin(x ′-1)+1 4.若有点1M (4,3)和2M (2,-1),点M 分有向线段21M M 的比λ=-2,则点M 的坐标为 ( ) A.(0,-35) B.(6,7) C.(-2,-3 7 ) D.(0,-5) 5.若|a +b |=|a -b |,则向量a 与b 的关系是 ( ) A.a =0或b =0 B.|a |=|b | C.ab =0 D.以上都不对 6.若|a |=1,|b |=2,|a +b |=7,则a 与b 的夹角θ的余弦值为 ( ) A.-21 B.21 C.3 1 D.以上都不对 7.已知a =31e -42e ,b =(1-n )1e +3n 2e ,若a ∥b 则n 的值为 ( ) A.- 54 B.5 4 C.4 D.2 8.平面上三个非零向量a 、b 、c 两两夹角相等,|a |=1,|b |=3,|c |=7,则|a +b +c |等于 ( ) A.11 B.27 C.4 D.11或27 9.等边△ABC 中,边长为2,则·BC 的值为 ( ) A.4 B.-4 C.2 D.-2 10.已知△ABC 中,)(2222444b a c c b a +=++,则∠C 等于 ( ) A.30° B.60° C.45°或135° D.120° 11.将函数y =f (x )cos x 的图象按向量a =( 4 π ,1)平移,得到函数x y 2sin 2=的图象,那么函数f (x )可以是 ( ) A.cos x B.2cos x C.sin x D.2sin x高考数学平面向量试题汇编
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