log log m n a a n b b m =log log log a a a
M M N N
-=一、 对数运算公式。
1. log 10a =
2. log 1a a =
3. log log log a a a M N MN +=
4.
5.log log n a a M n M =
log a M a M =
8. 9. 10.
二、 三角函数运算公式。
1. 同角关系:
2. 诱导公式:奇变偶不变,符号看象限。
x x k x x k x x k tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(=+=+=+πππ x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=-=--=- x x x
x x
x tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(-=-=--=-πππ
x x x x x
x tan )tan(cos )cos(sin )sin(=+-=+-=+πππ x
x x
x x
x tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=-=-πππ
3. 两角和差公式:sin()sin cos sin cos αβαβαα±=± cos()cos cos sin sin αβαβ
αβ±=
二倍角公式:sin 22sin cos ααα= 2222
cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-
4. 辅助角公式:)sin(cos sin 22?θθθ++=+b a b a ,其中,2
||,tan ,0π
??<=
>a b a sin tan cos α
αα
=22sin cos 1
αα+=log log log a b a N N b
=1log log b a a b =1
log log a a M
n =
tan tan tan()1tan tan αβ
αβαβ
±±=
22tan tan 21tan ααα
=
-
5. 降幂公式(二倍角余弦变形):
6.角函数定义:角α中边上任意一点P 为),(y x ,设r OP =||则:
,cos ,sin r
x
r y ==ααx y =αtan
三、 三角函数图像与性质。
四、 解三角形公式。
21cos 2cos 2α
α+=
21cos 2sin 2
α
α-=
1. 正弦定理
2. 余弦定理
3. 三角形面积公式 A bc B ac C ab S sin 2
1sin 21sin 21===
4..三角形的四个“心”;
重心:三角形三条中线交点.
外心:三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心:三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心:三角形三边上的高相交于一点.
六、向量公式。
2(ABC )sin sin sin a b c R R A B C
===?是的外接圆半径2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A
b a
c ac B c a b ab C
=+-=+-=+-222
222
222
cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab
+-=
+-=
+-=
设()()R y x b y x a ∈==λ,,,,2211
则 ()2121,y y x x b a ++=+ ()2121,y y x x b a --=-
()21,y x a λλλ= 2121cos y y x x b a b a +=?=?θ a ·a =2||a 2121y x a += =2a
a
∥b ?=-?01221y x y x λ=
a
⊥b 001221=+?=??y y x x b a
两个向量a
、b
的夹角公式:22
22
21
2
1
2121cos y
x y x y y x x +?++=
θ
七、 均值不等式。
变形公式:22
2()22
a b a b ab ++≤≤
八、 立体几何公式。
1. V Sh =柱 24S R π=球
2. 扇形公式
九、 数列的基本公式
1
1(1),*
(1)n n
n S n a n N S S n -=?=∈?->?1
3
V Sh
=锥3
43
V R π=球2122l R R S Rl αα
===
2a b
+≥一正二定三相等)
分裂通项法.
111(1)
1
n n n
n ++=-
;
1111()
()n n k k n
n k
++=-
;
11
1
1(1)(1)
2(1)
(1)(2)
[
]n n n n n n n -++++=-
;
十、 解析几何公式。
两点间距离公式
||AB =斜率公式 2121
y y
k x x -=-(111(,)P x y 、222(,)P x y )
16.直线方程
(1)点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ,且斜率为k ). (2)斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). (3)一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).
1
2
12tan y y k x x α-==-
1. 两点间距离公式
3.点到直线距离公式
平行线间距离公式
圆的四种方程
(1)圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.
(2)圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +->0). 19.点与圆的位置关系
点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种 若d =
d r >?点P 在圆外;d r =?点P 在圆上;d r
函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义
函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f ',相应的切线方程
))((000x x x f y -'=-.
十一.圆锥曲线方程
1.
椭圆: ①方程1b y a
x 222
2
=+
(a>b>0); ②定义: |PF 1|+|PF 2|=2a>2c ; ③ e=22
a
b 1a
c -=
④长
轴长为2a ,短轴长为2b ; ⑤a 2=b 2+c 2 ;
⑥2
1F PF S ?=2
tan b 2θ
2.双曲线 :①方程1b y a x 2
2
22=-(a,b>0);②定义: ||PF 1|-|PF 2||=2a<2c ; ③
e=
22
a
b 1a
c +=,c 2
=a 2
+b 2
; ④2
1F PF S ?=2
cot
b
2
θ ⑧渐进线
0b y a x 2
222=-或
x a b y ±=; 3.抛物线 ①方程y 2=2px ; ②定义:|PF|=d 准;③顶点为焦点到准线垂线段中点;x,y 范围
轴焦点F(2
p ,0),准线x=-2
p ,
④焦半径
2
p
x AF A +
=; 焦点弦AB =x 1+x 2+p; y 1y 2=-p 2
, x 1x 2=
4
2p 其中A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)
⑤通径2p,焦准距p;
d =
d =
4.弦长公式:]4))[(1(1212212122x x x x k x x k AB -++=-?+=
]4)[()11(11212212122y y y y k
y y k -+?+=-?+=;
5过两点椭圆、双曲线标准方程可设为:122=+ny mx (n m ,同时大于0时表示椭圆,0 1.()'0c = 2. 1()'n n x nx -= 3. (sin )'cos x x = 4. (cos )'sin x x =- 5.()'ln x x a a a = 6. ()'x x e e = 7. 8. 9. ()'''u v u v ±=± 10. ()'''uv u v uv =+ 11. 12. (),(),'''x u x y f u u g x y y u ===则 曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处切线的斜率k =f /(x 0)表示过曲线y=f(x)上P(x 0,f(x 0))切线斜率。 ① 十三.复数的相等 ,a bi c di a c b d +=+?==.(,,,a b c d R ∈) 复数z a bi =+的模(或绝对值) ||z =||a bi + = 十四。 方差222121[()()n S x x x x =-+-+ 2()]n x x ???+-去估计总体方差。⑶样本标准差])()()[(122221x x x x x x n S n -+???+-+-==21 )(1x x n n i i -∑=25(理科)、 3.(理科)排列数公式:!!()! (1) (1)(,,*)m n n m n m A n n n m m n m n N -=--+= ≤∈, !n n A n =. 组合数公式:(1)(1)()!(1)(2)321 m m n n A n n n m C m n m m m m ?-???--== ≤?-?-?????,01n n n C C ==. 组合数性质:m n m n n C C -=;11r r r n n n C C C -++=. 4. (理科)二项式定理: 1 (log )ln a x x a = 1(ln )'x x = 2 ''()'u u v uv v v -= ⑴掌握二项展开式的通项:1(0,1,2,...,)r n r r r n T C a b r n -+==; ⑵注意第r +1项二项式系数与第r +1项系数的区别. 异面直线所成角 cos |cos ,|a b θ== 21 |||||| a b a b x ?= ?+(其中θ(090θ<≤)为异面直线a b ,所成角,,a b 分别表示异面直线a b ,的方向向量) 26、直线AB 与平面所成角(sin |||| AB m arc AB m β?=为平面α的法向量). 27、.二面角l αβ--的平面角 cos ||||m n arc m n θ?=或cos |||| m n arc m n π?-(m ,n 为平面α,β的法向量). 28、.点B 到平面α的距离 || || AB n d n ?= (n 为平面α的法向量,AB 是经过面α的一条斜线,A α∈). 基本的积分公式:?dx 0=C ;?dx x m = 111++m x m +C (m ∈Q , m ≠-1) ;?x 1 dx =ln x +dx x =x e +C ;?dx a x =a a x ln +C ;?xdx cos =sin x +C ;?xdx sin =-cos x +C (表中C 均为常数) 5.(理科)离散性随机变量的分布列 一般地,设离散型随机变量ε可能取得值为: X1,X2,…,X3,…, ε取每一个值Xi (I=1,2,…)的概率为P (P xi ==)ε,则称表 为随机变量ε的概率分布,简称ε的分布列。 两条基本性质:①,2,1(0=≥i p i ...);②P 1+P 2+ (1) 6.独立重复试验:若n 次重复试验中,每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果,则称这n 次试验是独立的。 (1)两个相互独立事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的积,即P (A·B)=P (A )·P(B ); (2)如果在一次试验中某事件发生的概率为P,那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率:P n (k)=C k n P k (1-P)n-k 。 7.随机变量的均值和方差 (1)随机变量的均值++=2211p x p x E ε…;反映随机变量取值的平均水平。 (2)离散型随机变量的方差:+-+-=222121)()(p E x p E x D εεε…+-+n n p E x 2)(ε…;反映随机变量取值的稳定与波动,集中与离散的程度。 基本性质:b aE b a E +=+εε)(;εεD a b a D 2)(=+。 8.几种特殊的分布列 (1)两点分布:对于一个随机试验,如果它的结果只有两种情况,则我们可用随机 变量?? ?=. 0, 1乙结果发生甲结果发生η,来描述这个随机试验的结果。如果甲结果发生的概率为P ,则乙结果发生的概率必定为1-P ,均值为E η=p ,方差为D η=p (1-p )。 (2)超几何分布:重复进行独立试验,每次试验只有成功、失败两种可能,如果每次试验成功的概率为p ,重复试验直到出现一次成功为止,则需要的试验次数是一个随机变量,用ξ表示,因此事件{ξ=n}表示“第n 次试验成功且前n -1次试验均失败”。所以()()1n p 1p n P --?==ξ,其分布列为: (3)二项分布:如果我们设在每次试验中成功的概率都为P ,则在n 次重复试验中,试验成功的次数是一个随机变量,用ξ来表示,则ξ服从二项分布.则在n 次试验中恰 好成功k 次的概率为:()().p 1p C k P k n k k n --==ξ 记ε是n 次独立重复试验某事件发生的次数,则ε~B (n ,p ); 其概率,2,1,0,1()(=-==-k p q q p C k P k n k k n n …),n 。期望E ε=np ,方差D ε=npq 。 9.正态分布:正态分布密度函数:2 22)(21)(σμπσ --= x e x f ,均值为E ε=μ,方差为2σε=D 。 正态曲线具有以下性质: (1)曲线在x 轴的上方,与x 轴不相交。 (2)曲线关于直线x =μ对称。 (3)曲线在x =μ时位于最高点。 (4)当x <μ时,曲线上升;当x >μ时,曲线下降。并且当曲线向左、右两边无限延伸时,以x 轴为渐近线,向它无限靠近。 (5)当μ一定时,曲线的形状由σ确定。σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体越分散;σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中。 十三、参数极坐标 1.极坐标:M 是平面上一点,ρ表示OM 的长度,θ是MOx ∠, 则有序实数实数对(,)ρθ,ρ叫极径,θ叫极角;一般地, [0,2)θπ∈,0ρ≥。 2.极坐标和直角坐标互化公式 ???==θρθ ρsin cos y x 或 ?? ???≠=+=) 0(tan 222x x y y x θρ ,θ的象限由点(x,y)所在象限确定. (1)它们互化的条件则是:极点与原点重合,极轴与x 轴正半轴重合. (2)将点(,)ρθ变成直角坐标(cos ,sin )ρθρθ,也可以根据几何意义和三角函数的定义获得。