2019届高三数学备考冲刺：问题07_函数与方程不等式相结合问题_含解析

问题07 函数与方程、不等式相结合问题

一、考情分析

函数与方程、函数与不等式都是高中数学的重要内容,也都是高考的热点和重点,在每年的高考试题中这部分内容所占的比例都很大,函数与方程、函数与不等式是高中数学的主线,它们贯穿于高中数学的各个内容,求值的问题就要涉及到方程,求取值范围的问题就离不开不等式,但方程、不等式更离不开函数,函数与方程、函数与不等式思想的运用是我们解决问题的重要手段. 二、经验分享

(1) 确定函数零点所在区间,可利用零点存在性定理或数形结合法．

(2)判断函数零点个数的方法：①解方程法；②零点存在性定理、结合函数的性质；③数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数．

【点评】本题考查了分段函数、对数函数和二次函数的性质,主要考察了不等式的恒成立问题和函数的最值

问题. 注意不等式：

||||b a +对,a b ∈R 是恒成立的.特别要注意等号成立的条件.

渗透到方程问题、不等式问题、和某些代数问题都可以转化为函数知识.且涉及的知识点多、面广,在概念性、应用性、理解性都有一定的要求,它们是高考中考查的重点,所以在教学中我们应引引起高度的重视. 【小试牛刀】【2018届湖南衡阳高三12月联考】已知函数

,若恰好存在3个

整数x ,使得成立,则满足条件的整数a 的个数为 （ ）

A. 34

B. 33

C. 32

D. 25 【答案】A

【解析】画出()f x 的函数图象如图所示：

(三) 函数、方程和不等式关系的应用

函数、方程、不等式的结合,是函数某一变量值一定或在某一范围下的方程或不等式,体现了一般到特殊的观念.也体现了函数图像与方程、不等式的内在联系,在高中阶段,应该让学生进一步深刻认识和体会函数、方程、不等式三部分之间的内在联系,并把这种内在联系作为学习的基本指导思想,这也是高中数学最为重要的内容之一.而新课程标准中把这个联系提到了十分明朗、鲜明的程度.因此,在高三的复习中,对这部分内容应予以足够的重视. 【例3】已知函数,其中m ,a 均为实数．

(1)求()g x 的极值；

(2)设1,0m a =<,若对任意的12,[3,4]x x ∈12()x x ≠,

恒成立,求a 的最小值；

(3)设2a =,若对任意给定的0(0,e]x ∈,在区间(0,e]上总存在1212,()t t t t ≠,使得成立,求

m 的取值范围．

【分析】(1)求()g x 的极值,就是先求出'()g x ,解方程'()0g x =,此方程的解把函数的定义域分成若干个区间,我们再确定在每个区间里'()g x 的符号,从而得出极大值或极小值；（2）此总是首先是对不等式

<恒成立的转化,由（1）可确定()f x 在[3,4]上是增函数,同样的方法（导

数法）可确定函数

1

()

g x 在[3,4]上也是增函数,不妨设21x x >,这样题设绝对值不等式可变为2()f x - 1()f x <21()g x 11

()

g x -,整理为,由此函数

在区间

[3,4]上为减函数,则

在（3,4）上恒成立,要求a 的取值范围．采取分离参数法

得

恒成立,于是问题转化为求

在[3,4]上的最大值；（3）由于0x 的任意

性,我们可先求出()g x 在(0,]e 上的值域(0,1],题设“在区间(0,e]上总存在1212,()t t t t ≠,使得1()f t =

2()f t 0()g x =成立”,转化为函数()f x 在区间(0,]e 上不是单调函数,极值点为

2m （2

0e m

<<）,其次()1f e ≥,极小值2()0f m ≤,最后还要证明在2

(0,)m

上,存在t ,使()1f t ≥,由此可求出m 的范围.

【解析】（1）

,令()0g x '=,得x = 1．

【点评】本题主要考查了导数的应用,求单调区间,极值,求函数的值域,以及不等式恒成立等函数的综合应用. 对于不等式的解法要熟练地掌握其基本思想,在运算过程中要细心,不可出现计算上的错误.解决不等式与函数、方程之间联系的题目时不仅要理解其内在的联系,还应注意转化的思想和数形结合的思想应用. 有关恒成立问题、能成立问题、恰好成立问题在新课标高考试题中经常出现,要理解各自的区别.在求函数在闭区间上的最值问题可采用以下方法：先求出函数在导数为零的点、不可导点、闭区间的端点的函数值,然后进行比较,最大的函数值就是函数的最大值,最小的函数值就是函数的最小值. 【小试牛刀】【2017中原名校高三上学期第三次质量考评】已知定义在()0,+∞的函数,

若关于x 的方程有且只有3个不同的实数根,则实数t 的取值集合

是 ．

【答案】

五、迁移运用

1．【2019届广东省汕头高三上学期第二次联考】设函数是定义在上周期为的函数，且对任意的实数，恒，当时，．若在上有且仅有三个零点，

则的取值范围为（）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

2．【2019届四川省攀枝花市高三第一次统考】在直角坐标系中,如果相异两点都在函数

y=f(x)的图象上,那么称为函数的一对关于原点成中心对称的点(与为同一对).函数

的图象上关于原点成中心对称的点有( )

A．对 B．对 C．对 D．对

【答案】C

【解析】

因为关于原点对称的函数解析式为,

所以函数的图象上关于原点成中心对称的点的组数，

就是与为图象交点个数，

同一坐标系内，画出与图象，如图，

由图象可知，两个图象的交点个数有5个，

的图象上关于原点成中心对称的点有5组，故选C.

3．【2019届山东省济南高三11月调研】已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（）

A． B． C． D．

【答案】B

4．【2018届安徽省芜湖市高三一模】已知函数，若方程恰有四个不

同的实数根，则实数的取值范围是（）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为，作图，由与相切得

，由与相切得设切点

，如图可得实数的取值范围是，选B.

5．【2018届湖北省襄阳市高三1月调研】已知定义在上的函数，当时，，且对于任意的实数

，都有

，若函数

有且

只有三个零点，则 的取值范围是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】B 【解析】

由图可知,选B.

13.【河北石家庄2017届高三上学期第一次质检,10】已知函数,则

的

解集为（ ） A ．

B ．

C. ()1ln 2,1- D ．()1,1ln 2+

【答案】B

【解析】因为当1x ≥时,

；当1x <时,

,所以

,等价于

()1f x <,即121x e -<,解得1ln 2x <-,所以

的解集为

,故选B ．

14.【2017江苏徐州丰县民族中学高三上学期第二次月考】设函数（a R ∈,e 为自然对

数的底数）,若曲线sin y x =上存在一点00(,)x y 使得,则a 的取值范围是 ．

【答案】[]1,e 【解析】由题设及函数的解析式可知

,所以10≤≤y ．由题意问题转化为“存在]1,0[∈x ,使得有解”,即

在]1,0[有解,令

,

则

,当0>x 时,函数

是增函数；所以10≤≤x ,当

,即e x h ≤≤)(1.所以[]1,e ,故应填答案[]1,e .

15．【2019届天津市三校联考】已知函数，若函数

有两个零点，则实数

的取值范围是___________. 【答案】

【解析】

16．【2019届广东省佛山市顺德区高三第二次教学质量检测】已知函数

在上连续，对任意都有

；在

中任意取两个不相等的实数

，都有

恒成立；

若，则实数的取值范围是_____________．

【答案】

【解析】由

可知函数

关于直线

对称；在中任意取两个不相等的实数

，都有恒成立；可知函数

在区间上单调递减，由对称性可知函

数

在区间

上单调递增，不妨设

，则由

可得

，整理得

，即

，解得

或

，所以实数的取值范围

是

．

19.定义在

上的函数

()

f x 及二次函数

()

g x 满足：

,

,且()g x 的最小值是1-．

（Ⅰ）求()f x 和()g x 的解析式； （Ⅱ）若对于12,[1,2]x x ∈,均有

成立,求实数a 的取值范围；

（Ⅲ）设讨论方程的解的个数情况．

【答案】（Ⅰ）,

（Ⅱ）(,4]-∞- （Ⅲ）三个解．

（Ⅱ）设

, ,

依题意知：当12x ≤≤时,

∵

,()F x 在[1,2]上单调递增,

,解得4a ≤-,

∴实数a 的取值范围是(,4]-∞-；

（Ⅲ）图像解法：()x ?的图象如图所示： 令()T x ?=,则()1T ?=-

而()1x ?=-有两个解, ()1x e ?=-有1个解．

有3个解．

（2）若,则或,

∴； 若,则

或 由

解得

,而

无解

综上所述,方程共有三个解．

20.已知函数

．

（1）讨论()f x 的单调性；

（2）证明：当()0,1x ∈时,

； （3）若函数()f x 有两个零点1x ,2x ,与0的大小,并证明你的结论.

【答案】（1）1a <-时,f （x ）,(1,)+∞上递增；1a =-时,f （x ）在(0,)+∞上递增；10a -<<时,f （x ）在(0,1)上递增上递增；0a ≥时,f （x ）在(0,1)上递增,在(1,)+∞上递减；（2）见解析；（3）．

综上所述：1a <-时,f （x ,(1,)+∞上递增； 1a =-时,f （x ）在(0,)+∞上递增；

10a -<<时,f （x ）在(0,1)上递增 0a ≥时,f （x ）在(0,1)上递增,在(1,)+∞上递减；

（2）

?

?

设

∴

∴()g x 在(0,1)x ∈上单调递减

∴得证． 22.【2018届海南省八校高三上学期新起点联盟考试】设函数

,其中0a >. (1)若直线y m =与函数()f x 的图象在(]

0,2上只有一个交点,求m 的取值范围；

(2)若()f x a ≥-对x R ∈恒成立,求实数a 的取值范围.

(2)当0x ≤时, , 0a >,令()'0f x =得1x =-； 令()'0f x >得10x -<≤, ()f x 递增；

令()'0f x <得1x <-, ()f x 递减,

∴()f x 在1x =-处取得极小值,且极小值为

, ∵0a >,∴210a e -

-<, ∵当即02e a <≤时, ,∴2a -≤-,即2a ≥,∴无解, 当即2e a >时, ,∴,即2e a e ≥-, 又22e e e >-,∴2

e a e ≥-,综上,.