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圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型

2017 届高三第一轮复习专题训练之圆锥曲线中的定点定

值问题的四种模型定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、

数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出 k 和 m 的一次函数关系式，代入直线方程即可。技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。如果大家能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型：

模型一：“手电筒”模型

+ = 1 若直线 l ：y = kx + m 与椭圆 C 相交于 A ，B 两点( A ，B 不是左右顶点)，且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点。求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。

y =kx +m 得(3+4k 2)x 2 +8mkx +4(m 2 -3)=0，

3x 2+4y 2=12

=64m 2k 2-16(3+4k 2)(m 2-3)0，3+4k 2-m 2

8mk 4(m 2 - 3)

x 1+x 2 =-38+m 4k k 2,x 1x 2 = 43(m + 4-k 23) y

y =(kx +m )

(kx +m )=k 2x x +mk (x +x )+m 2= 3+ 4k

Q 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点D (2,0),且k AD k BD =-1， x -2x -2

1，y 1y 2+x 1x 2-2(x 1+x 2)+4=0，

3(m 2 -4k 2) 4(m 2 -3) 16mk

整理得： 7m 2+16mk + 4k 2= 0 ，解得： m = -2k ,m = -2k ，且满足3+4k 2-m 2

0 当m =-2k 时，

l :y =k (x -2)，直线过定点(2,0),与已知矛盾；

2k 2 2

当 m =- 时，l : y =k (x -) ，直线过定点 ( ,0) 2

综上可知，直线l 过定点，定点坐标为( 2

, 0).

◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点 P 做相互垂直的直线交圆锥曲线于 AB ，则 AB 必过定点(x 0(a -b ), y 0(a -b ))。(参考百度文库文章：“圆锥曲线的弦 a + b a + b

对定点张直角的一组性质”)

◆模型拓展：本题还可以拓展为“手电筒”模型：只要任意一个限定AP 与BP 条件(如k AP ? k BP =定值，

k AP +k BP =定值)，直线 AB 依然会过定点(因为三条直线形似手电筒，固名曰手电筒模型)。(参考优酷视频资料

此模型解题步骤：

Step1：设AB 直线，联立曲线方程得根与系数关系，求出参数范围；

Step2：由AP 与BP 关系(如k AP ? k BP = -1)，得一次函数k = f (m )或者

m = f (k )；

Step3：将k = f (m )或者

m = f (k )代入y =kx +m ，得y =k (x -x )+ y 。 ◆迁移训练

练习1：过抛物线M: y 2 = 2 px 上一点P (1,2)作倾斜角互补的直线PA 与PB ，交M 于A 、B 两点，求证：

直线 AB 过定点。(注：本题结论也适用于抛物线与双曲线)

例题、(07山东)已知椭圆 C ：

解：设 A (x 1, y 1),B (x 2, y 2)，由

23(m 2-4k 2) y 1y

3+4k 2 +

3+4k 2 + 3+4k 2

练习2：过抛物线M: y2= 4x的顶点任意作两条互相垂直的弦OA、OB，求证：直线AB过定点。(经典例题，多种解法)

练习3：过2x2-y2=1上的点作动弦AB、AC且k AB?k AC = 3，证明BC恒过定点。(本题参考答案：

练习:4：设A、B是轨迹C：y2= 2 px(P0)上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角

分别为和，当,变化且+=时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标。(参考答案

(-2p,2p))

答案】设A(x1, y1),B(x2, y2) ，由题意得x1, x20 ，又直线OA,OB的倾斜角,满足+= ，

故0 ,，所以直线AB的斜率存在，否则，OA,OB 直线的倾斜角之和为王奎新新屯疆敞从而设AB 方程

为22

y=kx+b，显然x=1,x=2，

12p22p

将y=kx+b与y2=2px(P0)联立消去x，得ky2-2py+2pb=0

由韦达定理知y1+ y2= , y1y2= ①

由+=，得1＝tan=tan(+)= tan+tan=2p(y1+y2)

4 4 1- tan tan y y - 4p2

将①式代入上式整理化简可得：2p =1，所以b=2p+2pk，

b - 2 pk

此时，直线AB的方程可表示为y = kx + 2 p + 2 pk即k(x+2p)-(y-2p)=0 所以直线AB恒过定点(-2p,2p).

练习5：(2013年高考陕西卷(理))已知动圆过定点A(4,0), 且在y轴上截得的弦MN的长为8. (Ⅰ)求动圆圆心的轨迹C的方程;

(Ⅱ)已知点B(-1,0), 设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P, Q, 若x轴是PBQ的角平分线, 证明直线l过定点.

【答案】解:(Ⅰ) A(4,0),设圆心C

(x,y),MN线段的中点为E，由几何图像知ME = MN,CA2=CM2=ME2+EC2

(x - 4)2+ y2=42+x2y2=8x

(Ⅱ) 点B(-1,0),

设P(x1, y1),Q(x2, y2),由题知y1 + y2 0，y1y2 0,y12=8x1,y22=8x2.

1= 221= 228(y1+ y2)+ y1y2(y2+ y1)=08+ y1y2=0直线PQ

x1+1 x2+1 y12+8 y22+8 1 2 1 2 2 1 1 2

方程为:y- y1= y2 - y1 (x-x1)y- y1= 1(8x- y12)

1x2- x1 1 1y2+ y11

y(y2 + y1)-y1(y2 + y1)=8x- y12y(y2 + y1)+8=8x y=0,x=1 所以,直线PQ过定点(1,0)

uuur uuur uuur uuur 练习6：已知点B(-1,0),C(1,0),P是平面上一动点，且满足|PC||BC|= PB CB (1)求点P的轨迹C对应的方程；

(2)已知点A(m,2)在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD和AE，且AD⊥AE，判断：直线DE是否过定点？试证明你的结论.

【解】(1)设P(x, y)代入| PC | | BC |= PB CB得(x-1)2+y2=1+x,化简得y2=4x. (5分) (2)将A(m,2)代入y2= 4x得m = 1,点A的坐标为(1,2).

设直线DE的方程为x = my + t代入y2= 4x,得y2- 4mt - 4t =0,

设D(x1, y1), E(x2, y2)则y1+ y2=4m,y 1y2=-4t ，=(-4m)2+16t (0*)

AD AE = (x1-1)(x2-1) + ( y1- 2)( y2-2)= x1x2-(x1+x2)+1+y 1y2-2(y1+y2)+4 = y1y2-(y1+ y2)+y 1y2-2(y1+ y2)+5

= (y 1y2)2-(y1+y2)2-2y 1y2 + y 1y2-2(y1+ y2)+5

16 4

即t2- 6t + 9 = 4m2+ 8m + 4即（t -3）2=4（m+1）2t-3=2（m+1）t = 2m + 5或t = -2m +1,代入（*）式检验均满足0 直线DE的方程为x = m（y+2）+5或x =m（y-2）+1 直线DE过定点（5,-2）. （定点（1，2）不满足题意）练习7：已知点A（－1，0），B（1，－1）和抛物线. C : y2=4x，交抛物线C于M、P，直线MB交抛物线C于另一点Q，如图.

uuuur uuur

（I）证明: OM OP为定值;

(II)设∠POM=α，则| OM ||OP |cos=5.

S= 5 ,| OM | | OP | sin = 5.由此可得tanα=1.

又(0,),= 45,故向量OM与OP的夹角为45.

(Ⅲ)设点Q( y3 ,y3),M、B、Q 三点共线，k BQ =k QM,

即y

3 =

-y

3 ,即

3+1

1 -

-4 y

(y3+1)(y1+ y3) = y32- 4,即y1y3+ y1+ y3+4=0.LLLL11分

4 4 4

y1y2= 4,即y1= ,y3+ + y3+4=0,

1 2 1y2y23y23

(-4t) (4m) -2(-4t)

+(-4t)-2(4m)+5=0化简得t

-6t+5=4m

+8m

O为坐标原点，过点A的动直线l

即4(y 2 + y 3)+ y 2y 3 +4=0.(*)

y 2 - y 3

y 22 y 32 44

4 直线PQ 的方程是y - y 2 = 4

(x -

y 2 + y 3

即(y -y 2)(y 2 + y 3)=4x -y 22

,即y (y 2 + y 3)-y 2y 3 =4x .

由(*)式，- y 2 y 3 =4(y 2 + y 3)+4,代入上式，得(y +4)(y 2 + y 3) = 4(x -1). 由此可知直线PQ 过定点E (1，

－4).

模型二：切点弦恒过定点

例题：有如下结论：“圆x 2 + y 2 =r 2上一点P (x 0,y 0)处的切线方程为x 0y + y 0y =r 2”，类比也有

结论：“椭圆

+ = 1(a b 0)上一点P (x 0, y 0) 处的切线方程为 0 + 0 = 1

a 2 b

2 0 0

a 2

x x

+ y 2 = 1的右准线l 上任意一点M 引椭圆C 的两条切线，切点为 A 、B.

(1)求证：直线 AB 恒过一定点；

(2)当点M 在的纵坐标为 1 时，求△ABM 的面积。【解】(1)设M (433,t )(t

R ),A (x 1,y 1),

B (x 2,y 2),则MA 的方程为x 41x +y 1y =1

由①②知AB 的方程为 3 x +ty =1,即x = 3(1-ty )

易知右焦点 F ( 3,0)满足③式，故 AB 恒过椭圆C 的右焦点 F ( 3,0) x 2 (2)把AB 的方程x = 3(1- y )代入 4 + y 2

=1,化简得7y -6y -1=0

∴| AB |= 1+3

36+28 =16

又M 到AB 的距离d = 3 = 2 3

7 7

1+ 3

∴△ABM 的面积S = 1

| AB |d =16 3

2 21 ◆方法点评：切点弦的性质虽然可以当结论用，但是在正式的考试过程中直接

不能直接引用，可以用本题的书写步骤替换之，大家注意过程。

◆方法总结：什么是切点弦？解题步骤有哪些？

参考：PPT 圆锥曲线的切线及切点弦方程，百度文库参考：“尼尔森数学第一季_3 下”，优酷视频拓展：相交弦的蝴蝶特征——蝴蝶定理，资料练习1：(2013 年广东省数学(理)卷)已知抛物线C 的顶点为原

4 y 2 + y 3

过椭圆 C ：

∵点 M 在 MA 上∴

x 1+ty 1=1

同理可得 3

x + ty = 1 ②

点,其焦点F (0, c ) (c 0)到直线

l :x -y -2=0的距离为32.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线PA ,PB ,其中A ,B 为切点.

(Ⅰ) 求抛物线C 的方程;

(Ⅱ) 当点P ( x 0 , y 0 )为直线l 上的定点时,求直线 AB 的方程; (Ⅲ) 当点P 在直线l 上移动时,求 AF BF 的最小值.

【答案】(Ⅰ) 依题意,设抛物线C 的方程为x 2 = 4cy ,由 0-c -2= 32结合c 0,解得c =1.所 22

以抛物线C 的方程为x 2 =4y .

(Ⅱ) 抛物线C 的方程为x 2 =4y ,即y = 1 x 2 ,求导得y

= 1x

设A ( x 1, y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) (其中y 1 = x 1 , y 2 = x 2 ), 则切线PA ,PB 的斜率分别为1 x 1,1 x 2,

2 1 2 2

所以切线PA ： y - y = 1 (x - x ),即 y = 1x - 1+ y ,即x x -2y -2y = 0 同理可得切线PB 的方程为x 2 x -

2 y - 2y 2 = 0

因为切线PA , PB 均过点P ( x 0 , y 0 ) ,所以x 1x 0 - 2 y 0 - 2y 1 =0,x 2x 0-2y 0-2y 2 =0 所以(x 1,y 1),(x 2,y 2)为方程x 0x -2y 0-2y = 0的两组解.

所以直线 AB 的方程为x 0 x - 2 y - 2 y 0 = 0.

(Ⅲ) 由抛物线定义可知 AF =y 1+1, BF =y 2+1, 所以 AF

BF =(y 1+1)(y 2+1)= y 1y 2+(y 1+y 2)+1

x x -2y -2y = 0 联立方程 0 0

,消去x 整理得y 2 +(2 y 0 - x 02 ) y + y 02 =0 x 2 = 4 y

0 0 0

由一元二次方程根与系数的关系可得y 1 + y 2 =x 02-2y 0,y 1y 2 = y 02 所以 AF BF = y 1y 2+(y 1+y 2)+1=

y 0 +x 0 -2y 0+1 又点P ( x 0 , y 0 )在直线l 上,所以x 0 = y 0 + 2 ,

所以y 0 +x 0 -2y 0+1=2y 0 +2y 0+5=2y 0+

所以当y 0 =-1时, AF

BF 取得最小值,且最小值为9 .

练习2：(2013年辽宁数学(理))如图,抛物线C1:x2=4y,C2:x2=-2py(p 0),点M (x0,y0)在抛物线C2上,过M作C1的切线,切点为A,B(M为原点O时,A,B重合于O)x0=1-2,切线MA.的斜率为-1.

(I)求p的值;(II)当M在C2上运动时,求线段AB中点N的轨迹方.(A,B重合于O时,中点为O).

模型三：相交弦过定点

相交弦性质实质是切点弦过定点性质的拓展，结论同样适用。参考尼尔森数学第一季_3 下，优酷视频。但是具体解题而言，相交弦过定点涉及坐标较多，计算量相对较大，解题过程一定要注意思路，同时注意总结这类题的通法。

例题：如图，已知直线L ： x = my +1过椭圆

C : x + y =1(a b 0)的右焦点F ，且交椭圆C 于

a 2

b 2

A 、

B 两点，点 A 、B 在直线G :x = a 2

上的射影依次为点 D 、E 。连接 AE 、BD ，试探索当 m 变化时，直线AE 、 BD 是否相交于一定点 N ？若交于定点 N ，请求出 N 点的坐标，并给予证明；否则说明理由。

法一：解：

F (1,0), k = (a 2,0) 先探索，当 m=0 时，直线 L⊥ox 轴，则ABED 为矩形，由对称性知，

证明：设 A (x 1, y 1),B (x 2, y 2),E (a 2, y 2),D (a 2, y 1) 当 m 变化时首先 AE 过定点 N

x =my + 1

即(a 2 +b 2m 2)y 2 +2mb 2y +b 2(1-a 2) = 0 8分

b 2x 2+a 2y 2-a 2b 2 =0

= 4a 2b 2(a 2 +m 2b 2

-1)0 (Q a

又K =-y 1, K =-y

又K

=a 2-1,K EN =1-a 2

- my 1 21

a -1

( y 1 + y 2 ) - my 1 y 2 12-a 2a 2-1=0 1-2a (a 2-1-my 1)

a 2

-1

(这是Q (y 1+y 2)-my 1y 2

a 2-12m

b 2b 2(1- a 2) = (- )-m 2 a 2

+ m 2b

2 a 2 + m 2b 2

法 2：本题也可以直接得出 AE 和 BD 方程，令 y=0，得与 x 轴交点 M 、 N, 然后两个坐标相减 =0.计算量也不大。

◆方法总结：方法1 采用归纳猜想证明，简化解题过程，是证明定点问题一类的通法。这一类题在答题过程中要注意步骤。

AE 与BD 相交于FK 中点N ,且N (a +1

,0) 猜想：当 m 变化时，AE 与 BD 相交于定点 N ( a 2 + 1 2

,0) 而K

- K EN = (a 2 -1)(mb 2 - mb 2) ==0) a 2 + m 2b 2

∴K AN =K EN ∴A、N 、E 三点共线同理可得 B 、N 、D 三点共线

∴AE 与 BD 相交于定点N (

,0)

圆锥曲线中的定值定点问题教学提纲

圆锥曲线中的定值定点问题

2019届高二文科数学新课改试验学案(10) ---圆锥曲线中的定值定点问题 1.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>> 的离心率为2, 点(在C 上. （I ）求C 的方程；（II ）直线l 不经过原点O ,且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 中点为M , 证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值. 2.已知椭圆C ：过点A （2,0），B （0,1）两点. （I ）求椭圆C 的方程及离心率；（Ⅱ）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值. 22 221x y a b +=

3.椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12 ，其左焦点到点()2,1P （I ）求椭圆C 的标准方程（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于,A B 两点（,A B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标.

<圆锥曲线中的定值定点问题>答案 1.【答案】（I ）22 22184 x y +=（II ）见试题解析试题解析：【名师点睛】本题第一问求椭圆方程的关键是列出关于22,a b 的两个方程,通过解方程组求出22,a b ,解决此类问题要重视方程思想的应用；第二问是证明问题,解析几何中的证明问题通常有以下几类：证明点共线或直线过定点；证明垂直；证明定值问题. 2.

圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型

圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可。技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。如果能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型：模型一：“手电筒”模型例题、已知椭圆C ：13 42 2=+y x 若直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由22 3412 y kx m x y =+??+=?得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ?=-+->，22340k m +-> 2121222 84(3) ,3434mk m x x x x k k -+=-?=++ 222 2 121212122 3(4) ()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -?=+?+=+++=+ 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ?=-， 1212122 y y x x ∴?=---，1212122()40y y x x x x +-++=， 222222 3(4)4(3)1640343434m k m mk k k k --+++=+++，整理得：22 71640m mk k ++=，解得：1222,7 k m k m =-=- ，且满足22 340k m +-> 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾；当27k m =- 时，2:()7l y k x =-，直线过定点2(,0)7 综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2 (,0).7 ◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P 做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB ，则AB 必过定点)) (,)((2 222022220b a b a y b a b a x +-+-。（参考百度文库文章：“圆锥曲线的弦对定点张直角的一组性质”） ◆模型拓展：本题还可以拓展为“手电筒”模型：只要任意一个限定AP 与BP 条件（如=?BP AP k k 定值，=+BP AP k k 定值），直线AB 依然会过定点（因为三条直线形似手电筒，固名曰手电筒模型）。此模型解题步骤： Step1：设AB 直线m kx y +=，联立曲线方程得根与系数关系，?求出参数范围； Step2：由AP 与BP 关系（如1-=?BP AP k k ），得一次函数)()(k f m m f k ==或者； Step3：将)()(k f m m f k ==或者代入m kx y +=，得定定y x x k y +-=)(。

专题3：圆锥曲线中的定值定点问题(解析版)

专题3：圆锥曲线中的定值定点问题（解析版） 1．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>> 的离心率为2 ，短轴一个端点到右焦点F 的 . （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点 F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点，交y 轴于P 点，设 12,PA AF PB BF λλ==，试判断12λλ+是否为定值？请说明理由．【答案】（1）2 212 x y +=；（2）是定值-4，理由见解析. 【解析】【分析】（1）由题意可得a ， c ，b ，可求得椭的圆方程. （2）设直线l 的方程为()1y k x =-，与椭圆的方程联立整理得： ()2 2 22124220k x k x k +-+-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，由一元二次方程的根与系数的关系可得2122 212241222 12k x x k k x x k ?+=??+?-?=?+? ，再根据向量的坐标运算表示出1111x x λ=-， 2 22 1x x λ= -，代入计算可求得定值. 【详解】（1 ）由题可得a = ，又2 c e a = = ，所以1c = ，1b ==，因此椭圆方程为2 212 x y +=，（2）由题可得直线斜率存在，设直线l 的方程为()1y k x =-，由()22 112 y k x x y ?=-??+=??消去y ，整理得：()2222124220k x k x k +-+-=，

设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122 2 1224122212k x x k k x x k ?+=??+?-?=?+? ，又()1,0F ，()0,P k -，则()11,PA x y k =+，()111,AF x y =--，由1PA AF λ=可得()1111x x λ=-，所以1111x x λ=-，同理可得2 22 1x x λ=-，所以 12121211x x x x λλ+= +--()()()12 121212121212 22111x x x x x x x x x x x x x x +-+-==---++2222 22 22 422 2121242211212k k k k k k k k --?++=--+ ++4=-，所以，12λλ+为定值-4. 【点睛】本题考查直线与椭圆的定值问题，关键在于联立方程组，得出交点的坐标的关系，将目标条件转化到交点的坐标上去，属于中档题. 2．已知椭圆C ：()22 2210x y a b a b +=>>的离心率为12，且经过点31,2??-- ???，（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点()1,0作直线l 与椭圆相较于A ，B 两点，试问在x 轴上是否存在定点Q ，使得两条不同直线QA ，QB 恰好关于x 轴对称，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）22 143 x y +=；（2）存在(4,0)Q ，使得两条不同直线QA ，QB 恰好关于x 轴对称. 【解析】【分析】（1）将点坐标代入方程，结合离心率公式及222a b c =+ ，即可求出2,a b ==，进而可求得椭圆C 的标准方程；（2）设直线l 的方程为1x my =+，与椭圆联立，可得12y y +，12y y 的表达式，根据

高考圆锥曲线中的定点定值专题(附答案)

高考圆锥曲线中的定点定值问题定点问题是常见的考题形式，解决这类问题的关键就是引进变参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k 和b 的一次函数关系式，代入直线方程即可类型一：“手电筒”模型例题、已知椭圆C ：13 42 2=+y x 若直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由22 3412 y kx m x y =+?? +=?得222 (34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ?=-+->，22340k m +-> 2121222 84(3) ,3434mk m x x x x k k -+=-?=++ 222 2 121212122 3(4) ()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -?=+?+=+++=+ Q 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ?=-， 1212122 y y x x ∴?=---，1212122()40y y x x x x +-++=， 222222 3(4)4(3)1640343434m k m mk k k k --+++=+++，整理得：2 2 71640m mk k ++=，解得：1222,7 k m k m =-=- ，且满足22 340k m +-> 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾；当27k m =-时，2 :()7 l y k x =-，直线过定点2(,0)7 综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2 (,0).7 ◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P 做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB ，则AB 必过定点)) (,)(( 2 222022220b a b a y b a b a x +-+-。 ◆模型拓展：本题还可以拓展为“手电筒”模型：只要任意一个限定AP 与BP 条件（如=?BP AP k k 定值，=+BP AP k k 定值），直线AB 依然会过定点（因为三条直线形似手电筒，固名曰手电筒模型）。

圆锥曲线中的定点定值问题(教师版)

第四讲圆锥曲线中的定点定值问题一、直线恒过定点问题例1. 已知动点E 在直线:2l y =-上，过点E 分别作曲线2 :4C x y =的切线,EA EB ，切点为 A 、 B , 求证：直线AB 恒过一定点，并求出该定点的坐标；解：设),2,(-a E )4,(),4,(2 22211x x B x x A ，x y x y 2 1 4'2=∴= , )(21 41121点切线过，的抛物线切线方程为过点E x x x x y A -=-),(2 1 421121x a x x -=--∴整理得：082121=--ax x 同理可得：2 22280x ax --= 8 ,2082,2121221-=?=+∴=--∴x x a x x ax x x x 的两根是方程 )2 4,(2+a a AB 中点为可得，又22 12 121212124442 AB x x y y x x a k x x x x - -+====-- 2(2)()22a a AB y x a ∴-+=-直线的方程为，2()2 a y x AB =+∴即过定点0,2. 例2、已知点00(,)P x y 是椭圆22:12x E y +=上任意一点，直线l 的方程为0012 x x y y +=，直线0l 过P 点与直线l 垂直，点M （-1，0）关于直线0l 的对称点为N ，直线PN 恒过一定点G ，求点G 的坐标。解：直线0l 的方程为0000()2()x y y y x x -=-，即000020y x x y x y --= 设)0,1(-M 关于直线0l 的对称点N 的坐标为(,)N m n 则0000001 212022x n m y x n m y x y ?=-?+??-??--=??，解得3200020432 0000 2002344424482(4)x x x m x x x x x n y x ?+--=?-??+--?=?-? ∴ 直线PN 的斜率为4320000032 00004288 2(34) n y x x x x k m x y x x -++--==---+

高考数学专题复习-圆锥曲线定值定点问题

圆锥曲线问题的解题规律可以概括为： “联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布范围，曲线定义不能忘，引参、用参巧解题，分清关系思路畅、数形结合关系明，选好，选准突破口，一点破译全局活。定点、定直线、定值专题已知直线l ： y=x+，圆O ：x 2+y 2=5，椭圆E ：过圆O 上任意一点P 作椭圆E 的两条切线，若切线都存在斜率，求证两切线斜率之积为定值． 2．过点作不与y 轴垂直的直线l 交该椭圆于M 、N 两点，A 为椭圆的左顶点，试判断∠MAN 的大小是否为定值，并说明理由． 3．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2 ）是椭圆，（a ＞b ＞0）上的两点，已知向量=（，），=（，），且，若椭圆的离心率，短轴长为2，O 为坐标原点：（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k 的值；（Ⅲ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由． 4．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的倍，且椭圆 C经过点M．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过圆O：上的任意一点作圆的一条切线l与椭圆C交于A、B两点．求证：为定值． 5．已知平面上的动点P（x，y）及两定点A（﹣2，0），B（2，0），直线PA，PB的斜率分别是k1，k2且．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）设直线l：y=kx+m与曲线C交于不同的两点M，N． ①若OM⊥ON（O为坐标原点），证明点O到直线l的距离为定值，并求出这个定值 ②若直线BM，BN的斜率都存在并满足，证明直线l过定点，并求出这个定点．

圆锥曲线的定点、定值和最值问题

圆锥曲线的定点、定值、范围和最值问题会处理动曲线（含直线）过定点的问题；会证明与曲线上动点有关的定值问题；会按条件建 . 一、主要知识及主要方法： 1. 形式出现，特殊方法往往比较奏效。 2.对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，设该直线（曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足的方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识加以解决。 3.解析几何的最值和范围问题，一般先根据条件列出所求目标的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法、不等式法、单调性法、导数法以及三角函数最值法等求出它的最大值和最小值. 二、精选例题分析【举例1】（05广东改编）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x =上异于坐标原点O 的两不同动点A 、B 满足AO BO ⊥．（Ⅰ）求AOB △得重心G 的轨迹方程；（Ⅱ）AOB △的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．【举例2】已知椭圆2 2142x y +=上的两个动点,P Q 及定点1,2M ? ?? ，F 为椭圆的左焦点，且PF ，MF ，QF 成等差数列.()1求证：线段PQ 的垂直平分线经过一个定点A ； ()2设点A 关于原点O 的对称点是B ，求PB 的最小值及相应的P 点坐标. 【举例3】（06全国Ⅱ改编）已知抛物线2 4x y =的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，且 AF FB λ=u u u r u u u r （0λ>）．过A 、B 两点分别作抛物线的切线（切线斜率分别为0.5x A ，0.5x B ），设其交点为 M 。（Ⅰ）证明FM AB ?u u u u r u u u r 为定值；

圆锥曲线中的定点和定值问题的解题方法

寒假文科强化（四）：圆锥曲线中的定点和定值问题的解答方法【基础知识】 1、对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，设该直线（曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足的方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识加以解决. 2、在几何问题中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题一种思路是进行一般计算推理求出其结果；另一种是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，然后再进行一般性证明或计算，即将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形式，证明该式是恒定的.如果试题以客观题形式出现，特殊方法往往比较奏效. 题型一：定点问题法一：特殊探求，一般证明；法二：设该直线（曲线）上两点的坐标，利用点在直线（曲线）上，建立坐标满足的方程（组），求出相应的直线（曲线），然后再利用直线（曲线）过定点的知识加以解决。例1 设点A 和B 是抛物线?Skip Record If...?上原点以外的两个动点，且?Skip Record If...?，求证直线?Skip Record If...?过定点。解：取?Skip Record If...?写出直线?Skip Record If...?的方程；再取?Skip Record If...?写出直线?Skip Record If...?的方程；最后求出两条直线的交点，得交点为?Skip Record If...?。设?Skip Record If...?，直线?Skip Record If...?的方程为?Skip Record If...?，由题意得?Skip Record If...?两式相减得 ?Skip Record If...?，即?Skip Record If...?， ?Skip Record If...?直线?Skip Record If...?的方程为?Skip Record If...?，整理得?Skip Record If...? ① 又?Skip Record If...??Skip Record If...?，?Skip Record If...??Skip Record If...?，?Skip Record If...?，?Skip Record If...? O A B

圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型

2017届高三第一轮复习专题训练之圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可。技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。如果大家能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型：模型一：“手电筒”模型例题、（07山东）已知椭圆C ：13 42 2=+y x 若直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由22 3412 y kx m x y =+??+=?得222 (34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ?=-+->，22340k m +-> 2121222 84(3) ,3434mk m x x x x k k -+=-?=++ 222 2 121212122 3(4) ()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -?=+?+=+++=+ 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ?=-， 1212122 y y x x ∴?=---，1212122()40y y x x x x +-++=， 222222 3(4)4(3)1640343434m k m mk k k k --+++=+++，整理得：22 71640m mk k ++=，解得：1222,7 k m k m =-=- ，且满足22 340k m +-> 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾；当27k m =- 时，2:()7l y k x =-，直线过定点2(,0)7 综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2 (,0).7 ◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P 做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB ，则AB 必过定点)) (,)((2 222022220b a b a y b a b a x +-+-。（参考百度文库文章：“圆锥曲线的弦对定点张直角的一组性质”） ◆模型拓展：本题还可以拓展为“手电筒”模型：只要任意一个限定AP 与BP 条件（如=?BP AP k k 定值，=+BP AP k k 定值），直线AB 依然会过定点（因为三条直线形似手电筒，固名曰手电筒模型）。（参考优酷视频资料尼尔森数学第一季第13节）此模型解题步骤： Step1：设AB 直线m kx y +=，联立曲线方程得根与系数关系，?求出参数范围； Step2：由AP 与BP 关系（如1-=?BP AP k k ），得一次函数)()(k f m m f k ==或者； Step3：将)()(k f m m f k ==或者代入m kx y +=，得定定y x x k y +-=)(。 ◆迁移训练练习1：过抛物线M:px y 22 =上一点P （1,2）作倾斜角互补的直线PA 与PB ，交M 于A 、B 两点，求证：直线AB 过定点。（注：本题结论也适用于抛物线与双曲线）

(完整版)专题——圆锥曲线定值问题

高三二轮一一圆锥曲线中的“定值”问题概念与用法圆锥曲线中的定值问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难点.解决这个难点的基本思想是函数思想，可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系等不受变量所影响的一个值，就是要求的定值?具体地说，就是将要证明或要求解的量表示为某个合适变量的函数，化简消去变量即得定值. 基本解题数学思想与方法在圆锥曲线中，某些几何量在特定的关系结构中，不受相关变元的制约而恒定不变，则称该变量具有定值特征. 解答此类问题的基本策略有以下两种： 1、把相关几何量的变元特殊化，在特例中求出几何量的定值，再证明结论与特定状态无关. 2、把相关几何量用曲线系里的参变量表示，再证明结论与求参数无关. 题型示例一?证明某一代数式为定值： 1、如图，M 是抛物线上y 2=x 上的一点，动弦ME 、MF 分别交x 轴于A 、B 两点，且MA=MB. 解：由已知条件，得 F(0, 1), Z>O ?设 A(x 1, y 1), B(x 2, y 2).由 AF =入FB , 即得 (一x 1, 1 — y) = ?(X 2, y 2 — 1),所以 —X1=入2 ① 1 — y1 =心2— 1)② 若M 为定点，证明：直线 EF 的斜率为定值; 解：设M (y 0 ,y o ),直线 ME 的斜率为 k(l>0)，直线 MF 的斜率为—k , 直线 ME 方程为y y o k(x y (). ???由 y o k (x yo) ，消 x 得 ky 2 y o (i ky o ) o 解得 y F 1 ky o X F 2 (1 ky o ) 厂；同理 1 ky ,X F 1 ky 2 y E y F X E X F 1 k (1 ky 。) ky o 1 ky o 2 (1 ky °) 2 k 4ky o 2y o (定值) k 2 所以直线EF 的斜率为定值 k 2 ▲利用消元法 2、已知抛物线x 2= 4y 的焦点为 F , A 、B 是抛物线上的两动点, 且AF =入FB B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为 M .证明FM -AB 为定值

圆锥曲线定点、定直线、定值问题

定点、定直线、定值专题 1、已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线l :y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点（A B ，不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．【标准答案】(I)由题意设椭圆的标准方程为22 221(0)x y a b a b +=>> 3,1a c a c +=-=，2 2,1,3a c b ===22 1.43 x y ∴+ = (II)设1122(,),(,)A x y B x y ，由2214 3y kx m x y =+?? ?+=??得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ?=-+->，22340k m +->. 2121222 84(3) ,.3434mk m x x x x k k -?+=-?=++222 2 121212122 3(4) ()()().34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -?=+?+=+++=+ 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 1AD BD k k ?=-，1212122 y y x x ∴ ?=---， (最好是用向量点乘来)1212122()40y y x x x x +-++=， 2222223(4)4(3)1640343434m k m mk k k k --+++=+++， 2271640m mk k ++=，解得1222,7 k m k m =-=- ，且满足22 340k m +->. 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾；当27k m =- 时，2:()7l y k x =-，直线过定点2 (,0).7 综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2 (,0).7 2、已知椭圆C 的离心率e = ()1A 2,0-，()2A 2,0。（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线x my 1=+与椭圆C 交于P 、Q 两点，直线1A P 与2A Q 交于点S 。试问：当m 变化时，点S 是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。

圆锥曲线中的定值定点问题

圆锥曲线中的定值定点问题 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

2019届高二文科数学新课改试验学案(10) ---圆锥曲线中的定值定点问题 1.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>> 点(在C 上. （I ）求C 的方程；（II ）直线l 不经过原点O ,且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 中点为M , 证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值. 2.已知椭圆C ：22 221x y a b +=过点A （2,0），B （0,1）两点. （I ）求椭圆C 的方程及离心率；（Ⅱ）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值. 3.椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12 ，其左焦点到点()2,1P （I ）求椭圆C 的标准方程（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于,A B 两点（,A B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标. <圆锥曲线中的定值定点问题>答案 1.【答案】（I ）22 22184 x y +=（II ）见试题解析

试题解析：【名师点睛】本题第一问求椭圆方程的关键是列出关于22,a b 的两个方程,通过解方程组求出22,a b ,解决此类问题要重视方程思想的应用；第二问是证明问题,解析几何中的证明问题通常有以下几类：证明点共线或直线过定点；证明垂直；证明定值问题. 2.

圆锥曲线专题——定值定点问题(附解析)

第1页（共15页）圆锥曲线专题——定值定点问题 1．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为1 2 ，以原点O 为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -+=相切．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A 、B 两点，且2 2OA OB b k k a =-，判断AOB ?的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．【解答】解：（1）椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切， ∴b == 又222a b c =+，1 2 c e a = =，解得24a =，23b =，故椭圆的方程为22 143 x y +=． ()II 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由22 14 3y kx m x y =+?? ?+=??化为222(34)84(3)0k x mkx m +++-=， △22226416(34)(3)0m k k m =-+->，化为22340k m +->． ∴122 834mk x x k +=-+，21224(3)34m x x k -=+． 222 2 121212122 3(4) ()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=+， 3 4 OA OB k k =-，

第2页（共15页） ∴ 121234y y x x =-，12123 4 y y x x =-， 22222 3(4)34(3)34434m k m k k --=- + +，化为22 243m k - =， ||AB = = 又114d = =- = ， 1 ||2 S AB d === 22 === （1）求椭圆E 的标准方程；（2）过F 作直线l 与椭圆交于A 、B 两点，问：在x 轴上是否存在点P ，使PA PB 为定值，若存在，请求出P 点坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（ 1）由题意知1c =，过F 且与x 轴垂直的弦长为3，则223b a =，即222() 3a c a -=，则2a =，b ∴椭圆E 的标准方程为22143 x y +=；（2）假设存在点P 满足条件，设其坐标为(,0)t ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，当l 斜率存在时，设l 方程为(1)y k x =-，联立22 (1) 3412 y k x x y =-??+=?，整理得：2222(43)84120k x k x k +-+-=，△0>恒成立．

圆锥曲线中的定点,定值问题

圆锥曲线中的定点，定值问题《学习目标》： 1. 探究直线和椭圆，抛物线中的定点定值问题 2. 体会数形结合，转化与化归的思想 3. 培养学生分析问题，逻辑推理和运算的能力活动一根深蒂固：题根：已知AB 是圆O 的直径，点P 是圆O 上异于A,B 的两点，k 1，k 2是直线PA,PB 的斜率，则k 1k 2= -1. 问题1 这是一个师生都很熟悉的结论，这个结论能否类比推广到其它一些圆锥曲线呢？问题2 如图，点P 是椭圆x 2 4＋y 2 ＝1上除长轴的两个顶点外的任一点，A,B 是该椭圆长轴的2个端点，则直线PA,PB 的斜率之积为______. 问题 3 椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 长轴的两个顶点与椭圆上除这两个顶点外的任一点连线斜率之积为______ ．问题4 .证明：设 A 、B 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上关于原点对称的两点，点P 是该椭圆上不同于A,B 的任一点，直线PA,PB 的斜率为k 1，k 2,则k 1k 2 为2 2b a -

活动二根深叶茂：问题5（2012年南通二模卷）如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，B 、C 分别为椭圆的上、下顶点，直线BF 2与椭圆的另一交点为D.若cos∠F 1BF 2＝725，则直线CD 的斜率为__________．问题6：（2011年全国高考题江苏卷18）如图，在平面直角坐标系xOy 中，M 、N 分别是椭圆12 42 2=+y x 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k 。（1）略（2）略（3）对任意k>0，求证：PA ⊥PB

圆锥曲线中的定值定点问题

2019届高二文科数学新课改试验学案(10) ---圆锥曲线中的定值定点问题 ??????1?0a?b:C22,C上的离心率为在, 已知椭圆1.. 22yx2 点22ba2C的方程；）求（I lOlCABABM, ,与线段有两个交点,（II）直线中点为不经过原点,且不平行于坐标轴,OMl的斜率乘积为定值证明：直线. 的斜率与直线 22yx??1过点A（2,0），B（0,1）两点已知椭圆2.C：. 22ba）求椭圆C的方程及离心率；（I ，求轴交于点直线轴交于点M，PB与xNyPA上，为第三象限内一点且在椭圆设（Ⅱ）PC直线与. 证：四边形的面积为定值ABNM

????2,1P0a?1b??C:?10，其左焦点到点椭圆3.的距离为的离心率为 22yx1 22ab2C的标准方程I）求椭圆（C A,BA?m,Bl:y?kx AB为直径的圆与椭圆相交于，且以（Ⅱ）若直线不是左右顶点）两点（Cl过定点，并求出该定点的坐标. 过椭圆的右顶点。求证：直线

<圆锥曲线中的定值定点问题>答案22yx 1（II）见试题解析）【答案】（1.I2248 试题解析：

2222b,a,ab,,本题第一问求椭圆方程的关键是列出关于通过解方程组求出的两个方程【名师点睛】解析几何中的证明问题通常有以下几类：解决此类问题要重视方程思想的应用；第二问是证明问题,. 证明点共线或直线过定点；证明垂直；证明定值问题 2. c3??e．2a ????的面积为定值．从而四边形再证明定点、定值、定线，解决定值定点方法一般有两种：(1)

从特殊入手，求出定点、【名师点睛】直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线与变量无关；(2)应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的定值、定线.. 运用可有效地简化运算 1c??,0?cF:1:3ce??2??a:b:），设左焦点3.解：（112a 22????1c?10PF???c?20??1?，解得122yx1??3a?2,b???椭圆方程为34??2,0D 1）可知椭圆右顶点（2）由（??????2,0y,y,BDxA,x AB，以设为直径的圆过21210??DB?DA DBDA?DBDA??即 ????y?2,xDA?yx?2,?,DB2211 ???????4?yy?x??x?yy?2????DADBxx2?x2x0①2121211212 y?kx?m?????222??0?8mkx?3?4k43xm?联立直线与椭圆方程： ?22123y?x?4???23m?48mk?x?x??,xx? ??????22mx?mk?kx?mx?k?x?yy?xkx?m 212122?334k4k? 21212211??2234km?22k?mk3m128mk?2???m?，代入到① ??23m4?22k?3m128mkDA?DB??2??4??0 2224k?34k4?3k?3 2224k?34k?34k?32222km12??12?34m16?12?16mk?k??0 ????22?02kkmk?0??7m?m?72?16mk?4 2?34k 2m??2k k???m或72222?????l,0k?l:y?kxx?k?km??恒过当时，????

圆锥曲线中的定点定值问题

第四讲圆锥曲线中的定点定值问题、直线恒过定点问题例1.已知动点E 在直线l : y 2上，过点E 分别作曲线C : x 2 4y 的切线EA, EB ，直线10过P 点与直线I 垂直，点M （ -1 , 0）关于直线10的对称点为 N 直线PN 恒过一定点G 求点G 的坐标。 x ° (y y °) 2y °(x 沧)，即 2y °x x °y ^y 。2 2 解：设 E(a, 2), AX,竺)，B%,^), 4 4 2 x y 4 1 y 1 X 2 2 过点A 的抛物线切线方程为y x1 4 1 X 1(X 2 xj, 切线过E 点, 切点为A 、B ,求证：直线 AB 恒过一定点，并求出该定点的坐标; 2 X i 1 2 x 1(a x 1),整理得：x 1 2ax 1 8 0 2 4 同理可得： 2 x 2 2ax 2 8 0 2ax 8 0的两根 X 1 2 a, X 1 x 2 8 可得AB 中点为（a, 4 ），又k AB 上 y X 1 x 2 2 X 1 X 1 X | X 2 a 4 2 2 直线AB 的方程为y e 2) 評a ），即y 即2 AB 过定点（0,2 ）. 例1改为：已知A 、B 是抛物线y 2 定点（2p,0）. 2 px （ p 0）上两点，且OA OB ,证明：直线AB 过 x 2 例2、已知点P （x 0,y °）是椭圆E : 一 2 1上任意一点，直线 x °x 的方程为2 解：直线l 0的方程为 x 1, x 2是方程x 2

设M( 1,0)关于直线I 。的对称点 N 的坐标为N (m, n) 2y o x o 2y o 1 X °n 2x 。3 3x o 2 4x o 4 解得直线 x °y ° x o 2 4 2x o 4 4x 。3 4x o 2 8x o 2 2y o (4 x o ) PN 的斜率为 y o x o 4 x o 4x 03 2x 02 8x 0 8 3 2 2y o ( x o 3x o 4) 从而直线 PN 的方程为: y o x 04 4x 03 2x 02 8 x 0 8 (x x o ) 3 2 2y o ( X o 3x o 4) 2y o ( X 。3 3x o 2 4) X o 4 4x o 3 2x o 2 8x 。8 从而直线PN 恒过定点G(1,0) 二、恒为定值问题例3、已知椭圆两焦点 F |、F 2在y 轴上，短轴长为2 2，离心率为一， 2 P 是椭圆在第 UJU UULU 象限弧上一点，且 PF 1 PF 2 1，过P 作关于直线F 1P 对称的两条直线 PA PB 分别交椭圆于A 、B 两点。 (1) 求P 点坐标; (2) 求证直线 AB 的斜率为定值; 解：(1) 2 设椭圆方程为占 a 2 x _ 1，由题意可得 b 2 a 2,b ■ 2, c 2 2 ，所以椭圆的方程为 2 y 4 则 F 1(0, 2),F 2(0, 2)，设 P(x o ,y o )(x o o, y o 0) uju r UULT l U UUT 则 PF 1 (心」2 y o ), PF 2 x o , y o ), UU LU UUU UUUU … … PF 1 PF 2 x 2 (2 y 2) 1 2 Q 点P(X o , y o )在曲线上，则' 2 2 y o 4 1. 2 X o 2 y o

圆锥曲线定值定

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圆锥曲线问题的解题规律可以概括为： “联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布范围，曲线定义不能忘，引参、用参巧解题，分清关系思路畅、数形结合关系明，选好，选准突破口，一点破译全局活。定点、定直线、定值专题（2012?菏泽一模）已知直线l：y=x+，圆O：x2+y2=5，椭圆E：过圆O上任意一点P作椭圆E的两条切线，若切线都存在斜率，求证两切线斜率之积为定值． 2．（2012?自贡三模）；过点作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M、N两点，A为椭圆的左顶点，试判断∠MAN的大小是否为定值，并说明理由． 3．（2013?眉山二模）设A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆，（a＞b＞0）上的两点，已知向量=（，），=（，），且，若椭圆的离心率，短轴长为2， O为坐标原点：（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值；（Ⅲ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由． 4．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的倍，且椭圆C经过点M．（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过圆O：上的任意一点作圆的一条切线l与椭圆C交于A、B两点．求证：为定值． 5．已知平面上的动点P（x，y）及两定点A（﹣2，0），B（2，0），直线PA，PB的斜率分别是k1，k2且．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）设直线l：y=kx+m与曲线C交于不同的两点M，N． ①若OM⊥ON（O为坐标原点），证明点O到直线l的距离为定值，并求出这个定值 ②若直线BM，BN的斜率都存在并满足，证明直线l过定点，并求出这个定点． 6．（2011?新疆模拟）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点Q； 7．已知椭圆Ω的离心率为，它的一个焦点和抛物线y2=﹣4x的焦点重合．（1）求椭圆Ω的方程；（2）若椭圆上过点（x0，y0）的切线方程为． ①过直线l：x=4上点M引椭圆Ω的两条切线，切点分别为A，B，求证：直线AB恒过定点C； ②是否存在实数λ使得|AC|+|BC|=λ?|AC|?|BC|，若存在，求出入的值；若不存在，说明理由．

圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型

圆锥曲线中的定值定点问题教学提纲

圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型

专题3：圆锥曲线中的定值定点问题(解析版)

高考圆锥曲线中的定点定值专题(附答案)

圆锥曲线中的定点定值问题(教师版)

高考数学专题复习-圆锥曲线定值定点问题

圆锥曲线的定点、定值和最值问题

圆锥曲线中的定点和定值问题的解题方法

圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型

(完整版)专题——圆锥曲线定值问题

圆锥曲线定点、定直线、定值问题

圆锥曲线中的定值定点问题

圆锥曲线专题——定值定点问题(附解析)

圆锥曲线中的定点,定值问题

圆锥曲线中的定值定点问题

圆锥曲线中的定点定值问题

圆锥曲线定值定

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