轨迹方程方法

轨 迹 方 程

求轨迹方程的的基本方法：直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等。

1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表

述成含x,y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法；

例1、某检验员通常用一个直径为2 cm 和一个直径为1 cm 的标准圆柱，检测一个直径为3 cm 的圆柱，为保证

质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？

【解析】设直径为3,2,1的三圆圆心分别为O 、A 、B ，问题转化为求两等圆P 、Q ,使它们与⊙O 相内切，与⊙A 、

⊙B 相外切.

建立如图所示的坐标系，并设⊙P 的半径为r ,则 |P A |+|PO |=1+r +1.5－r =2.5 ∴点P 在以A 、O 为焦点，长轴长2.5的椭圆上，其方程为

3

225)41(162

2y x ++=1 ① 同理P 也在以O 、B 为焦点，长轴长为2的椭圆上，其方程为 (x －

2

1)2+34y 2

=1 ②

由①、②可解得)14

12

,149(),1412,149(

-Q P ，∴r =73)1412()149(2322=+-

故所求圆柱的直径为

7

6

cm. ◎◎双曲线的两焦点分别是1F 、2F ，其中1F 是抛物线1)1(4

1

2++-=x y 的焦点，两点A （-3，2）

、B （1，2）都在该双曲线上．

（1）求点1F 的坐标； （2）求点2F 的轨迹方程，并指出其轨迹表示的曲线．

【解析】（1）由1)1(4

1

2++-

=x y 得)1(4)1(2--=+y x ，焦点1F （-1，0）

． （2）因为A 、B 在双曲线上，

所以||||||||||||2121BF BF AF AF -=-，|||22||||22|22BF AF -=-．

①若||22||2222BF AF -=-，则||||22BF AF =，点2F 的轨迹是线段AB 的垂直平分线，且当y ＝0时，1F 与2F 重合；当y ＝4时，A 、B 均在双曲线的虚轴上． 故此时2F 的轨迹方程为x ＝-1（y ≠0，y ≠4）．

②若22||||2222-=-BF AF ，则24||||22=+BF AF ，此时，2F 的轨迹是以A 、B 为焦点，22=a ，

2=c ，中心为（-1，2）的椭圆，其方程为

14

)2(8)1(2

2=-++y x ，（y ≠0，y ≠4） 故2F 的轨迹是直线x ＝-1或椭圆4

)2(8)1(2

2-+

+y x 1=，除去两点（-1，0）、（-1，4） 评析：

1、用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”

与“补”。

2、求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。

2．定义法：利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方

程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件．

例2、已知ΔABC 中，∠A,∠B,∠C 所对应的边为a,b,c,且a>c>b,a,c,b 成等差数列，|AB|=2,求顶点C 的轨迹方程

【解析】|BC|+|CA|=4>2,由椭圆的定义可知，点C 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，其长轴为4，焦距为2, 短轴长为

2

3, ∴椭圆方程为13

42

2=+

y x , 又a>b, ∴点C 在y 轴左侧，必有x<0,而C 点在x 轴上时不能构成三角形，故x≠─2,

因此点C 的轨迹方程是：13

42

2=+y x (─2

2650x

y x +++=外切，同时与圆226910x y x +--=内切，求动圆圆心M

的轨迹

方程，并说明它是什么样的曲线。

【解析】设动圆圆心为(,)M x y ，半径为R ，设已知圆的圆心分别为1O 、2O ，

将圆方程分别配方得：2

2(3)4x y ++=，22(3)100x y -+=，

当M 与1O 相切时，有1||2O M R =+ ① 当M 与2O 相切时，有2||10O M R =- ② 将①②两式的两边分别相加，得21||||12O M O M +=，

12= ③

移项再两边分别平方得：

12x =+ ④

两边再平方得：2

2341080x

y +-=，

整理得

22

13627

x y +=， 所以，动圆圆心的轨迹方程是

22

13627

x y +=，轨迹是椭圆。 ◎◎已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O ′切直线l 于点A ，又过B 、C 作⊙O ′异于l 的两切线，设这两切线交于点P ，求点P 的轨迹方程.

【解析】设过B 、C 异于l 的两切线分别切⊙O ′于D 、E 两点， 两切线交于点P.由切线的性质知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|

=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18＞6=|BC|，故由椭圆定义知， 点P 的轨迹是以B 、C 为两焦点的椭圆，

以l 所在的直线为x 轴，以BC 的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P 的轨迹方程为：

22

18172

x y += 评析：定义法的关键是条件的转化——转化成某一基本轨迹的定义条件。

三、相关点法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x ’，y ’)的运动

而有规律的运动，且动点Q 的轨迹为给定或容易求得，则可先将x ’,y ’表示为x,y 的式子，再代入Q 的轨迹方程，然而整理得P 的轨迹方程，代入法也称相关点法。 x

y

1

O

2

O

P

例3、已知抛物线y 2=x+1，定点A(3，1)、B 为抛物线上任意一点，点P 在线段AB 上，且有BP ∶PA=1∶2，当

B 点在抛物线上变动时，求点P 的轨迹方程．

【解析】设点P(x ，y)，且设点B(x 0，y 0) ，则有2

001y x =+，∵BP ∶PA=1∶2 ，00233213x x y y +?=???

+?=??

◎◎双曲线2

219

x y -=有动点P ，12,F F 是曲线的两个焦点，求12PF F ?的重心M 的轨迹方程。

【解析】设,P M 点坐标各为11(,),(,)P x y M x y ，

∴在已知双曲线方程中3,1a b ==

，∴c =

∴已知双曲线两焦点为12(F F ，

∵12PF F ?存在，∴

10y ≠

由三角形重心坐标公式有1003x y y ?=???

++?=??

，即11

33x x

y y =??=? 。 ∵10y ≠，∴0y ≠。

已知点P 在双曲线上，将上面结果代入已知曲线方程，有

2

2(3)(3)1(0)9

x y y -=≠ 即所求重心M 的轨迹方程为：2

291(0)x

y y -=≠。

评析：一般地：定比分点问题，对称问题或能转化为这两类的轨迹问题，都可用相关点法。

四、参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使

x,y 之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。

例4、设点A 和B 为抛物线 y 2=4px (p ＞0)上原点以外的两个动点，已知OA ⊥OB ，OM ⊥AB ，求点M 的轨迹方

程，并说明它表示什么曲线。 【解析】

解法一 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x ,y ) (x ≠0) ，直线AB 的方程为x =my +a

由OM ⊥AB ，得m =－

y x

，由y 2=4px 及x =my +a ，消去x ,得y 2－4p my －4pa =0

所以y 1y 2=－4pa , x 1x 2=22

122

()(4)

y y a p = 所以，由OA ⊥OB ，得x 1x 2 =－y 1y 2， 所以2

44a pa a p =?=

故x =my +4p ,用m =－

y x

代入，得x 2+y 2－4px =0(x ≠0)

故动点M 的轨迹方程为x 2+y 2－4px =0(x ≠0)，它表示以(2p ,0)为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点

解法二 设OA 的方程为

y kx =，代入y 2=4px 得222(

,)p p A k k

则OB 的方程为

1

y x k =-，代入y 2=4px 得2(2,2)B pk pk -

∴AB 的方程为2

(2)1k

y

x p k

=

--，过定点(2,0)N p ， 由OM ⊥AB ，得M 在以ON 为直径的圆上（O 点除外）

故动点M 的轨迹方程为x 2+y 2－4px =0(x ≠0)，它表示以(2p ,0)为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点

解法三 设M (x ,y ) (x ≠0)，OA 的方程为

y kx =， 代入y 2=4px 得222(

,)p p A k k

则OB 的方程为

1

y x k

=-，代入y 2=4px 得2(2,2)B pk pk -

由OM ⊥AB ，得 ： M 既在以OA 为直径的圆： 2

22220p p x

y x y k k

+-

-=……①上， 又在以OB 为直径的圆2

22220x

y pk x pky +-+=……②上（O 点除外）

， ①2

k ?+②得 x 2+y 2－4px =0(x ≠0)

故动点M 的轨迹方程为x 2+y 2－4px =0(x ≠0)，它表示以(2p ,0)为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点。

◎◎过点A （－1，0），斜率为k 的直线l 与抛物线C ：y 2=4x 交于P ，Q 两点.若曲线C 的焦点F 与P ，Q ，R

三点按如图顺序构成平行四边形PFQR ，求点R 的轨迹方程。 【解析】要求点R 的轨迹方程，注意到点R 的运动是由直线l 的 运动所引起的，因此可以探求点R 的横、纵坐标与直线l 的斜率 k 的关系．然而，点R 与直线l 并无直接联系．与l 有直接联系的 是点P 、Q ，通过平行四边形将P 、Q 、R 这三点联系起来就成为解 题的关键． 由已知:(1)l

y k x =+，代入抛物线C ：y 2=4x 的方程，消x 得：

2

04

k y y k -+= ∵ C l P 直线交抛物线于两点、Q ， ∴

20

4

10k k ?≠????=->?

解得1001k k -<

<<<或，设1122(,),(,),(,)P x y Q x y R x y ，M 是PQ 的中点，则由韦达定理可知：

122,2M

y y y k +== 将其代入直线l 的方程，得2212

M M x k y k ?=-????=??

∵ 四边形PFQR 是平行四边形，∴ RF 中点也是PQ 中点M .∴24234

2M F M

x x x k y y k ?

=-=-???

?==??

又(1,0)(0,1)k ∈-? ∴ (1,)M x ∈+∞．∴ 点R 的轨迹方程为.1),3(42>+=x x y

评析：

1.用参数法求轨迹是高考中常考的重要题型，由于选参灵活，技巧性强，也是学生较难掌握的一类问题。

2.用什么变量为参数，要看动点随什么量的变化而变化，常见的参数有：斜率、截距、定比、角、点的坐标等。

3.要特别注意消参前后保持范围的等价性。

4.多参问题中，根据方程的观点，引入 n 个参数，需建立n+1个方程，才能消参（特殊情况下，能整体处理时，方程个数可减少）。

五、交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引

入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。可以说是参数法的一种变种。

例5 、抛物线)0(42>=p px y 的顶点作互相垂直的两弦OA 、OB ，求抛物线的顶点O 在直线AB 上的射影

M 的轨迹。

【解析】点A 、B 在抛物线)0(42

>=p px y 上，设A （),42A A

y p

y ，B （

),42

B B y p y 所以k OA =A y p 4 k OB =B y p 4,由OA 垂直OB 得k OA k OB = -1，得y A y B = -16p 2 ,又AB 方程可求得)4(442

2

2p y x p

y p y y y y y A B

A B

A A ---=-，即（y A +y

B ）y--4px--y A y B =0,把 y A y B = -16p 2代入得AB 方程（y A +y B ）y--4px+16p 2 =0 ① 又OM 的方程为 x P

y y y B

A 4-+=

②

由①②消去得y A +y B 即得0422

=-+px y x

， 即得2

224)2(p y p x =+-。

所以点M 的轨迹方程为222

4)2(p y p x =+-，其轨迹是以)0,2(p 为圆心，半径为p 2的圆,除去点（0，

0）。

评析：用交轨法求交点的轨迹方程时，不一定非要求出交点坐标，只要能消去参数，得到交点的两个坐标间的关系即可。交轨法实际上是参数法中的一种特殊情况。

六、向量法：

例6 、设,x y R ∈,,i j 为直角坐标平面内,x y 轴正方向上的单位向量,若向量(2)a xi y j =++ ,

(2)b xi y j =+- ,且||||8a b +=

.

（1）求点(,)M x y 的轨迹C 的方程;

（2）过点(0,3)作直线l 与曲线C 交于,A B 两点,设OP OA OB =+

,是否存在这样的直线l ,使得四边形

OAPB 是矩形?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,试说明理由。

【解析】（1）由||||8a b +=

,

84>,设12(0,2),(0,2)F F -则动点M

满足12

12||||84||MF MF F F +=>=,所以点M

在椭圆上,

且椭圆的4,2,a c b ===所以轨迹C 的方程为

22

11612

y x +=. （2）设直线的斜率为k ,则直线方程为3y kx =+,联立方程组22

311612

y kx y x =+??

?+

=?? 消去

y 得:22(43)18210k x kx ++-=,22(18)84(43)0k k ?=++>恒成立,

设

1122(,),(,)A x y B x y ,则1212

22

1821

,4343k x x x x k k +=-

=++.

由AP OB =

,所以四边形OAPB 为平行四边形.若存在直线l ,使四边形OAPB 为矩形,则OA OB ⊥,即 212121212(1)3()90OA OB x x y y k x x k x x ?=+=++++=

,

解得4

k

=±

,所以直线l

的方程为34

y x =±

+,此时四边形OAPB 为矩形 ◎◎设F （1，0），M 点在x 轴上，P 点在y 轴上，且PF PM MP MN ⊥,2=。 （I ）当点P 在y 轴上运动时，求N 点的轨迹C 的方程；

（II ）设A x y B x y D x y ()()()112233，，，，，是曲线C 上的三点，

成等差数列，当AD 的垂直平分线与x 轴交于点E （3，0）时，求B 点的坐标。

【解析】（1）∵→=→MP MN 2，故P 为MN 中点， 又∵→→PF PM ⊥，P 在y 轴上，F 为（1，0）， 故M 在x 轴的负方向上，设N （x ，y ）则M （－x ，0），P （0，

2

y

），（x>0）， ∴)2

1()2(y

PF y x PM -=→--=→，，，， 又∵0=→→→→PF PM PF PM ·故⊥，

即 04

2=+-y x ∴的方程是轨迹C x x y )0(42

>=

（II ）抛物线C 的准线方程是x=－1，由抛物线定义知=→

+=→BF x AF ，1

||112+x ，||DF x →=+31， ∵||||||→

→→DF BF AF 、、

成等差数列， ∴2312312)1(211x x x x x x =++=+++∴， 又32

3222

121444x y x y x y ===，，， 故

)(4))((3131312

321x x y y y y y y -=-+=-， ∴3

131314

y y x x y y k AD +=--=

∴AD 的中垂线为)3(4

31-+-=x y y y 而AD 中点在其中垂线上，，)22(3

131y y x x ++

∴)32(423

13131-++-=+x x y y y y 。 即，∴，

1)3(2

1122=--=x x 由

24222

2±∴，==y x y ， ∴B 点坐标为（1，2）或（1，－2）

。 巩固练习： 1、方程y=122+--

x x 表示的曲线是： （ ）

A 、双曲线

B 、半圆

C 、两条射线

D 、抛物线

2、方程[(x －1)2+(y+2)2](x 2－y 2)=0表示的图形是： （ ） A 、两条相交直线 B 、两条直线与点（1，－2） C 、两条平行线 D 、四条直线

3、动点p 与定点A(－1,0), B(1,0)的连线的斜率之积为－1，则p 点的轨迹方程是： （ ） A 、x 2+y 2=1 B 、x 2+y 2=1(x ≠±1） C 、x 2+y 2=1(x ≠1） D 、y=

2

1x -

4、一动点到两坐标轴的距离之和的2倍，等于该点到原点距离的平方，则动点的轨迹方程是： （ ） A 、x 2+y 2=2(x+y) B 、x 2+y 2=2|x+y| C 、x 2+y 2=2(|x|+|y|) D 、x 2+y 2=2(x －y)

5、动点P 到直线x=1的距离与它到点A （4，0）的距离之比为2，则P 点的轨迹是：（ ） A 、中心在原点的椭圆 B 、中心在（5，0）的椭圆 C 、中点在原点的双曲线 D 、中心在（5，0）的双曲线

6、已知圆x 2+y 2=4，过A （4，0）作圆的割线ABC ，则弦BC 中点的轨迹方程是 （ ） A 、(x －2)2+y 2=4 B 、(x －2)2+y 2=4(0≤x ＜1) C 、(x －1)2+y 2=4 D 、(x －1)2+y 2=4(0≤x ＜1)

7、已知M （－2，0），N （2，0），|PM|－|PN|=4，则动点P 的轨迹是： （ ） A 、双曲线 B 、双曲线左支 C 、一条射线 D 、双曲线右支 8、若一动圆与两圆x 2+y 2=1, x 2+y 2－8x+12=0都外切，则动圆圆心的轨迹为： （ ） A 、抛物线 B 、圆 C 、双曲线的一支 D 、椭圆

9、点M 到F （3，0）的距离比它到直线x+4=0 的距离小1，则点M 的轨迹方程是：（ ） A 、y 2=12x B 、y 2=12x(x>0) C 、y 2=6x D 、y 2=6x(x>0)

10、已知圆x 2+y 2=1，点A （1，0），△ABC 内接于圆，且∠BAC=60°，当B 、C 在圆上运动时，BC 中点的轨迹方程是（ ） A 、x 2+y 2=

2

1

B 、x 2+y 2=

4

1 C 、x 2+y 2=

2

1(x<

2

1) D 、x 2+y 2=

4

1（x<

4

1)

11、抛物线过点M （2，－4），且以x 轴为准线，此抛物线顶点的轨迹方程是 （ ） A 、(x －2)2+(y+4)2=16

(0)y 1 B 、(x －2)2+4(y+2)2=16 (0)y 1

C 、(x －2)2－(y+4)2=16

D 、(x －2)2+4(y+4)2=16

12、椭圆C 与椭圆14)2(9)3(2

2=-+-y x 关于直线x+y=0对称，椭圆C 的方程是（ ）

A 、

22(2)(3)149x y +++= B 、22

(2)(3)194x y --+= C 、

22(2)(3)194x y +++= D 、22

(2)(3)149

x y --+= 13、设A 1、A 2是椭圆4

92

2y x +=1的长轴两个端点，P 1、P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，则直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为 ( )

A.1492

2=+y x B.14922=+x y C.14

92

2=-y x

D.14

92

2=-x y 14、中心在原点，焦点在坐标为(0，±5

2)的椭圆被直线3x －y －2=0截得的弦的中点的横坐标为

2

1

，则椭圆方程为 ( )

222222222222A. 1 B. 1 C. 1 D.12575752525757525

x y x y x y x y +=+=+=+=

15、已知⊙O ：x 2+y 2=a 2, A(－a, 0), B(a, 0), P 1, P 2为⊙O 上关于x 轴对称的两点，则直线AP 1与直线BP 2的交点P 的轨

迹方程为 （ ） A 、x 2+y 2=2a 2 B 、x 2+y 2=4a 2 C 、x 2－y 2=4a 2 D 、x 2－y 2=a 2

16、动圆与x 轴相切，且被直线y=x 所截得的弦长为2，则动圆圆心的轨迹方程为 。 17、过原点的动椭圆的一个焦点为F （1，0），长轴长为4，则动椭圆中心的轨迹方程为 。 18、曲线x 2+4y 2=4关于点M （3，5）对称的曲线方程为 。 19、经过抛物线y 2=4x 的焦点的弦中点轨迹方程是 。

20、倾斜角为4π的直线交椭圆4

2x +y 2

=1于A 、B 两点，则线段AB 中点的轨迹方程是 。

21、两条直线ax+y+1=0和x －ay －1=0(a ≠±1）的交点的轨迹方程是 。

1、C

2、B

3、B

4、C

5、B

6、B

7、C

8、C

9、A 10、D 11、B 12、A 13、C 14、C 15、D

16、2

2

220x y xy --+= 17、2219

()24x y -+= 18、22(6)4(10)4x y -+-=

19、2

2(1)y x =- 20、40(x y x +=-<< 21、221

010({{x x y y

x y x y 构构-+-+=且)

求轨迹方程的几种常用方法

求轨迹方程的几种常用方法 求轨迹的方程，是学习解析几何的基础，求轨迹的方程常用的方法主要有： 1直接法： 若命题中所求曲线上的动点与已知条件能直接发生关系，这时，设曲线上动点坐标为( x, y )后，就可根据命题中的已知条件，研究动点形成的几何特征，在此基础上运用几何或代数的基本公式、定理等列出含有x,y 的关系式。从而得到轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称作直接法。 例1 ：在直角△ ABC中，斜边是定长2a (a 0)，求直角顶点C的轨迹方程。 解：由于未给定坐标系，为此，首先建立直角坐标系，取AB所在的直线为X轴，AB的中点0为坐 标原点，过0与AB垂直的直线为y轴(如图).则有A ( a,0), B (a,0)。 设动点C为(x, y), ??? | AC |2 |BC |2 |AB|2, a)2y2]2h(x a)2y2]24a2, 即x2 由于C点到达A、B位置时直角三角形ABC不存在，轨迹中应除去A、B两点, 故所求方程为x2y2a2( x a )。 2?代入法(或利用相关点法)： 即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解，就得到原动点的轨迹。 例2 :已知一条长为6的线段两端点A、B分别在x、y轴上滑动，点M在线段AB上，且AM : MB 1:2，求动点M的轨迹方程。 解：设 A (a,0) , B (0, b), M (x, y), 一方面，. 另一方面, 36 , M分AB的比为 1 , 2

评注：本例中，由于 M 点的坐标随着 A 、B 的变化而变化，因而动点 M 的坐标(x, y)可以用A 、B 点 的坐标来表示，而点 M 又满足已知条件，从而得到 M 的轨迹方程。此外，与上例一样，求曲线的方程时， 要充分注意化简过程是否完全同解变形，还要考虑曲线上的一些特殊点。 3.几何法： 求动点轨迹问题时，动点的几何特征与平面几何中的定理及有关平面几何知识有着直接或间接的联 系，且利用平面几何的知识得到包含已知量和动点坐标的等式，化简后就可以得到动点的轨迹方程，这种 求轨迹方程的方法称作几何法。 求动点P 的轨迹方程。 解：设P (x, y)，由题 APO BPO ，由三角形角平分线定理有 L P A | ^A 0-1 |PB| |BO| ..(x 6)2 y 2 3 3 , (x 2)2 y 2 整理得x 2 y 2 6x 0,当x 0时，y 0, P 和O 重合，无 意义，??? x 0, 又易知P 落在x 轴上时，除线段AB 以外的任何点均有 APO BPO 00 , ? y 0 ( x 6或x 2)也满足要求。 综上，轨迹方程为 x 2 y 2 6x 0 ( x 0)或y 0 (x 6或x 2 )。 评注：本例利用平面几何的知识(三角形的角平分线定理进行解题) ，方便了求轨迹的方程。 4.参数法： 有时很难直接找出动点的横、纵坐标之间关系。如果借助中间量(参数) 联系，然后再从所求式子中消去参数，这便可得动点的轨迹方程。 0 -b _2_ 1 - -b 3 a x 2 b 3y ②代入①得: 3 2 2 (評(3y) 2 36，即一 16 例3 :如图，已知两定点 A ( 6,0 ), B ( 2,0 ), O 为原点，动点 P 与线段AO 、BO 所张的角相等, ，使(x, y)之间的关系建立起

轨迹方程的求法及典型例题(含答案)

" 轨迹方程的求法 一、知识复习 轨迹方程的求法常见的有（1）直接法；（2）定义法；（3）待定系数法（4）参数法（5）交轨法；（6）相关点法 注意：求轨迹方程时注意去杂点，找漏点. 一、知识复习 例1：点P（－3，0）是圆x2+y2－6x－55=0内的定点，动圆M与已知圆相切，且过点P，求圆心M的轨迹方程。 { ]

例2、如图所示，已知P (4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠ APB =90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程. $ 解：设AB 的中点为R ，坐标为(x ,y )，则在Rt △ABP 中，|AR |=|PR |. 又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理：在Rt △OAR 中，|AR |2=|AO |2－|OR |2=36－(x 2+y 2) ） 又|AR |=|PR |= 2 2)4(y x +- 所以有(x －4)2+y 2=36－(x 2+y 2),即x 2+y 2－4x －10=0 因此点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动. 设Q (x ,y )，R (x 1,y 1)，因为R 是PQ 的中点，所以x 1=2 ,2 41+= +y y x , 代入方程x 2+y 2－4x －10=0,得 2 4 4)2()24( 22+? -++x y x －10=0 整理得：x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程. |

例3、如图, 直线L 1和L 2相交于点M, L 1 L 2, 点N L 1. 以A, B 为端点的曲线段C 上的 任一点到L 2的距离与到点N 的距离相等. 若 AMN 为锐角三角形, |AM|= 17 , |AN| = 3, 且|BN|=6. 建立适当的坐标系,求曲线段C 的方程. 、 解法一：如图建立坐标系，以l 1为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴，点O 为坐标原点。 依题意知：曲线段C 是以点N 为焦点，以l 2为准线的抛物线的一段，其中A ，B 分别为C 的端点。 @ 设曲线段C 的方程为)0,(),0(22 >≤≤>=y x x x p px y B A ， 其中x A,x B 分别为A ，B 的横坐标，P=|MN|。 ) 2(92)2() 1(172)2(3||,17||)0,2 (),0,2(22=+-=++==- A A A A px p x px p x AN AM p N p M 得 由所以 由①，②两式联立解得 p x A 4= 。再将其代入①式并由p>0解得??????====2214A A x p x p 或 因为△AMN 是锐角三角形，所以A x p >2，故舍去???==2 2A x p ∴p=4,x A =1

(完整版)轨迹方程的五种求法例题

动点轨迹方程的求法 一、直接法 按求动点轨迹方程的一般步骤求，其过程是建系设点，列出几何等式，坐标代换，化简整理，主要用于动点具有的几何条件比较明显时． 例1已知直角坐标平面上点Q （2，0）和圆C ：，动点M 到圆C 的切线长与的比等于常数（如图），求动点M 的轨迹方程，说明它表示什么曲线． 【解析】：设M （x ，y ），直线MN 切圆C 于N ，则有 ，即 ， ．整理得，这就是动点 M 的轨迹方程．若，方程化为，它表示过点和x 轴垂直的一条直线；若λ≠1，方程化为，它表示以为圆心，为半径的圆． 二、代入法 若动点M （x ，y ）依赖已知曲线上的动点N 而运动，则可将转化后的动点N 的坐标入已知曲线的方程或满足的几何条件，从而求得动点M 的轨迹方程，此法称为代入法，一般用于两个或两个以上动点的情况． 例2 已知抛物线，定点A （3，1），B 为抛物线上任意一点，点P 在线段AB 上，且有BP :PA =1:2，当点B 在抛物线上变动时，求点P 的轨迹方程，并指出这个轨迹为哪种曲线． 【解析】：设，由题设，P 分线段AB 的比，∴ 解得.又点B 在抛物线上，其坐标适合抛物线方程，∴ 整理得点P 的轨迹方程为其轨迹为抛物线． 三、定义法 若动点运动的规律满足某种曲线的定义，则可根据曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．此法一般用于求圆锥曲线的方程，在高考中常填空、选择题的形式出现． 例3 若动圆与圆外切且与直线x =2相切，则动圆圆心的轨迹方程是 12 2 =+y x MQ ()0>λλλ=MQ MN λ=-MQ ON MO 2 2λ=+--+2 222)2(1y x y x 0)41(4)1()1(222222=++--+-λλλλx y x 1=λ45= x )0,4 5 (2 222 222)1(3112-+=+-λλλλy x ）－（)0,12(2 2-λλ1 3122-+λλ12 +=x y ),(),,(11y x B y x P 2== PB AP λ.2121,212311++=++= y y x x 2 1 23,232311-=-=y y x x 12+=x y .1)2 3 23()2123( 2+-=-x y ),3 1 (32)31(2-=-x y 4)2(2 2 =++y x

求轨迹方程的常用方法(例题及变式)

求轨迹方程的常用方法： 题型一 直接法 此法是求轨迹方程最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件)}(|{M P M 直接翻译成y x ,的形式0),(=y x f ，然后进行等价变换，化简0),(=y x f ，要注意轨迹方程的纯粹性和完备性，即曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点适合这个条件而毫无例外（纯粹性）；反之，适合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏（完备性）。 例1 过点)3,2(A 任作互相垂直的两直线AM 和AN ，分别交y x ,轴于点N M ,，求线段MN 中点P 的轨迹方程。 解：设P 点坐标为),(y x P ，由中点坐标公式及N M ,在轴上得)2,0(y M ，)0,2(x N ),(R y x ∈ ∴12 0322230-=--?--y x )1(≠x ，化简得01364=-+y x )1(≠x 当1=x 时，)3,0(M ，)0,2(N ，此时MN 的中点)2 3,1(P 它也满足方程01364=-+y x ，所以中点P 的轨迹方程为01364=-+y x 。 变式1 已知动点(,)M x y 到直线:4l x =的距离是它到点(1,0)N 的距离的2倍。 （1） 求动点M 的轨迹C 的方程； （2） 过点(0,3)P 的直线m 与轨迹C 交于,A B 两点。若A 是PB 的中点，求直线m 的斜 率。 题型二 定义法 圆锥曲线定义所包含的几何意义十分重要，应特别重视利用圆锥曲线的定义解题，包括用定义法求轨迹方程。 例2 动圆M 过定点)0,4(-P ，且与圆08:2 2=-+x y x C 相切，求动圆圆心M 的轨迹方程。 解：根据题意4||||||=-MP MC ，说明点M 到定点P C 、的距离之差的绝对值为定值，故点M 的轨迹是双曲线。 ∴2=a ，4=c 故动圆圆心M 的轨迹方程为112 42 2=-y x 变式2 在ABC △中，24BC AC AB =，，上的两条中线长度之和为39， 求ABC △的重心的轨迹方程．

参数法求轨迹方程

参数法求轨迹方程 一、教学目标 (一)知识教学点 深入理解曲线的参数方程与普通方程的区别与联系，进一步掌握参数方程与普通方程的互化方法． (二)能力训练点 掌握运用参数求轨迹方程的方法，了解设参的基本原则和选参的一般依据，能顺利消参并讨论轨迹的纯粹性和完备性，培养多向思维的流畅性． (三)学科渗透点 通过学习选参方法，学会透过现象挖掘本质的哲学思想方法． 二、教材分析 1．重点：运用参数求轨迹方程的方法． 2．难点：选择参数应遵循的一般依据，消参的技术与轨迹的纯粹性完备性讨论． 3．疑点：设参的基本原则． 三、活动设计 1．活动：问答、思考． 2．教具：投影仪． 四、教学过程 (一)回忆、点题和明确任务 求动点的轨迹方程，如果动点坐标x、y之间的关系比较明显，那么可以用直接法，也就是建系、列式、化简．如果动点坐标x、y之间的关系比较隐蔽，但动点在运动过程中符合某种二次曲线的定义，那么可以用定义法，也就是定型(曲线类型)、定位(曲线位置)、定量(曲线几何量)，然后直接运用二次曲线的方程写出动点的轨迹方程．如果动点坐标x、y之间的关系很隐蔽并且很难判断动点符合某种二次曲线的定义，那么就可以引进一些参数，用这些参数把x、y之间的那种隐蔽关系间接地连起来，然后消掉参数，这就是所谓的参数法求轨迹方程．

同学们常用的交轨法、换标法，实际上也是消去一些元，留下动点坐标x、y的方法，都可以叫参数法．在实践中大家已经知道，参数法求轨迹方程的步骤是：首先根据运动系统的运动规律设参，然后运用这些参数列式，再从这些式子中消参，最后讨论轨迹的纯粹性和完备性，我们称之为议参．其中，最关键的一步是设参，参设得不同，整个思维和运算过程不同，参设得不好，运算量增大，甚至根本就算不出来；最畏难一步是消参，经常遇到参消不了而越消越复杂的情况；最易错的一步就是轨迹的纯粹性完备性讨论．如何做到设参合理、列式简易、消参顺利、议参严密，大家可以从下面的例子中来思考和总结． (二)讲例1，设参基本原则 请看屏幕(投影，读题)． 例1 矩形ABCD中，AB=2a，BC=b，a＞b，E、F分别是AB、CD的中点，平行于EC的直线l分别交线段EF、FC于M、N两点，求直线AM与BN交点P的轨迹(图3-9)． 首先需要建立坐标系，请考虑，建立直角坐标系一般应选择什么位置？ 学生1答： 选择边界、中心等特殊位置． 那么，这一题如何建立坐标系？ 解：以E为原点，EB为x轴建立直角坐标系．各点坐标如图(投影换片，加上坐标系与相关点坐标)． 运动系统中，l主动，M、N从动，P随之运动，请思考，在这一运动系统中有几种设参方法？ 学生2答： (1)l的纵截距c， (2)|OM|=t，

高考动点轨迹方程的常用求法(含练习题及答案)

轨迹方程的经典求法 一、定义法：运用有关曲线的定义求轨迹方程． 例2：在ABC △中，24BC AC AB =，，上的两条中线长度之和为39，求ABC △的重心的轨迹方程． 解：以线段BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，如图1，M 为重心，则有 2 39263 BM CM +=?=． M ∴点的轨迹是以B C ，为焦点的椭圆， 其中1213c a ==， ．5b =∴． ∴所求ABC △的重心的轨迹方程为 22 1(0)16925 x y y +=≠． 二、直接法：直接根据等量关系式建立方程. 例1：已知点(20)(30)A B -，，，，动点()P x y ，满足2PA PB x = ·，则点P 的轨迹是（ ） A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 解析：由题知(2)PA x y =--- ，，(3)PB x y =-- ，，由2P AP B x = ·，得22(2)(3)x x y x ---+=，即26y x =+， P ∴点轨迹为抛物线．故选D ． 三、代入法：此方法适用于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题. 例3：已知△ABC 的顶点(30)(10)B C -，，，，顶点A 在抛物线2y x =上运动，求ABC △的重心G 的轨迹方程． 解：设()G x y ，，00()A x y ，，由重心公式，得003133x x y y -++? =????=?? ，，00323x x y y =+??=?， ①∴． ② 又00()A x y ，∵在抛物线2y x =上，2 00y x =∴． ③ 将①，②代入③，得23(32)(0)y x y =+≠，即所求曲线方程是24 34(0)3 y x x y =++≠． 四、待定系数法：当曲线的形状已知时，一般可用待定系数法解决. 例5：已知A ，B ，D 三点不在一条直线上，且(20)A -， ，(20)B ，，2AD = ，1()2 AE AB AD =+ ． （1）求E 点轨迹方程； （2）过A 作直线交以A B ，为焦点的椭圆于M N ，两点，线段MN 的中点到y 轴的距离为4 5 ，且直线MN 与E 点的轨迹相切，求椭圆方程． 解：（1）设()E x y ，，由1()2 AE AB AD =+ 知E 为BD 中点，易知(222)D x y -， ． 又2AD = ，则22(222)(2)4x y -++=． 即E 点轨迹方程为221(0)x y y +=≠； （2）设1122()()M x y N x y ，，，，中点00()x y ，． 由题意设椭圆方程为22 2214 x y a a +=-，直线MN 方程为(2)y k x =+．

轨迹方程的 几种求法整理(例题+答案)

轨迹方程的六种求法整理 求轨迹方程是高考中常见的一类问题.本文对曲线方程轨迹的求法做一归纳，供同学们参考. 求轨迹方程的一般方法： 1. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。 2. 定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程 3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ）， y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。 4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。 5. 交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。 6. 待定系数法：已知曲线是圆，椭圆，抛物线，双曲线等 一、直接法 把题目中的等量关系直接转化为关于x,y,的方程基本步骤是：建系。设点。列式。化简。说明等，圆锥曲线标准方程的推导。 1. 已知点(20)(30)A B -，， ，，动点()P x y ，满足2PA PB x = ·，求点P 的轨迹。26y x =+， 2. 2.已知点B （－1，0），C （1，0），P 是平面上一动点，且满足.||||CB PB BC PC ?=? （1）求点P 的轨迹C 对应的方程； （2）已知点A （m,2）在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD 和AE ，且AD ⊥AE ，判断：直线DE 是否过定点？试证明你的结论. （3）已知点A （m,2）在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD ，AE ，且AD ，AE 的斜率k 1、k 2满足k 1·k 2=2.求证：直线DE 过定点，并求出这个定点. 解：（1）设.4,1)1(||||),(222x y x y x CB PB BC PC y x P =+=+-?=?化简得得 代入 二、定义法 利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件． 1、 若动圆与圆4)2(2 2 =++y x 外切且与直线x =2相切，则动圆圆心的轨迹 方程是

解析几何求轨迹方程的常用方法

解析几何求轨迹方程的常用方法 求轨迹方程的一般方法： 1. 定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。 2. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。 3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ）， y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。 4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。 5：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。 一：用定义法求轨迹方程 例1：已知ABC ?的顶点A ，B 的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足,sin 4 5 sin sin C A B =+求点C 的轨迹。

例2： 已知ABC ?中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，若b c a ,,依次构成等差数列，且b c a >>， 2=AB ，求顶点C 的轨迹方程. 【变式】：已知圆 的圆心为M 1，圆 的圆心为M 2，一动圆与这两个圆外切，求动 圆圆心P 的轨迹方程。 【变式】：⊙C ：22(3)16x y ++=内部一点(3,0)A 与圆周上动点Q 连线AQ 的中垂线交CQ 于P ，求点P 的轨迹方程. 二：用直译法求轨迹方程 例3：一条线段两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，且BM=a ，AM=b ，求AB 中点M 的轨迹方程？

解析几何求轨迹方程的常用方法讲解

解析几何求轨迹方程的常用方法 求轨迹方程的一般方法： 1. 定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。 2. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。 3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ）， y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。 4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。 5：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。 一：用定义法求轨迹方程 例1：已知ABC ?的顶点A ，B 的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足,sin 4 5 sin sin C A B =+求点C 的轨迹。

例2： 已知ABC ?中，A ∠、B ∠、 C ∠的对边分别为a 、b 、c ，若b c a ,,依次构成等差数列，且b c a >>，2=AB ，求顶点C 的轨迹方程. 【变式】：已知圆的圆心为M 1，圆 的圆心为M 2，一动圆与这两个圆外切，求动圆 圆心P 的轨迹方程。 【变式】：⊙C ：22(3)16x y ++=内部一点(3,0)A 与圆周上动点Q 连线AQ 的中垂线交CQ 于P ，求点P 的轨迹方程. 二：用直译法求轨迹方程 例3：一条线段两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，且BM=a ，AM=b ，求AB 中点M 的轨迹方程？

求轨迹方程的常用方法例题及变式

求轨迹方程的常用方法: 题型一直接法 此法是求轨迹方程最基本的方法， 根据所满足的几何条件， 将几何条件｛M | P(M )｝直接翻 译成x, y 的形式f(x, y) 0 ,然后进行等价变换，化简 f (x,y) 0，要注意轨迹方程的纯 粹性和完备性，即曲线上没有坐标不满足方程的点， 也就是说曲线上所有的点适合这个条件 而毫无例外(纯粹性)；反之，适合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏(完备性) 。 例1过点A(2,3)任作互相垂直的两直线 AM 和AN ，分别交x,y 轴于点M , N ，求线段 MN 中点P 的轨迹方程。 解：设P 点坐标为P(x, y)，由中点坐标公式及M,N 在轴上得M (0,2y)， AM AN k AM k AN 所以中点P 的轨迹方程为4x 6y 13 0。 变式1 已知动点M (x, y)到直线l : x 4的距离是它到点 (1) 求动点M 的轨迹C 的方程; (2) 过点P(0,3)的直线m 与轨迹C 交于A, B 两点。若A 是PB 的中点，求直线 m 的斜 率。 题型二定义法 圆锥曲线定义所包含的几何意义十分重要， 应特别重视利用圆锥曲线的定义解题， 包括用定 义法求轨迹方程。 2 2 例2 动圆M 过定点P( 4,0)，且与圆C :x y 8x 0相切，求动圆圆心 M 的轨迹 方程。 解：根据题意|| MC | |MP || 4，说明点M 到定点C 、P 的距离之差的绝对值为定值, N(2x,0)(x,y R) 0 3 2y 2x 2 0 2 3 1 (x 1)，化简得 4x 6y 13 0 (x 1) 当x 1时，M(0,3)，N(2,0)，此时MN 的中点 P(1,|)它也满足方程4x 6y 13 0， N (1,0)的距离的2倍。

求动点的轨迹方程(方法例题习题答案)

求动点的轨迹方程（例题，习题与答案） 在中学数学教学和高考数学考试中，求动点轨迹的方程和曲线的方程是一个难点和重点内容（求轨迹方程和求曲线方程的区别主要在于：求轨迹方程时，题目中没有直接告知轨迹的形状类型；而求曲线的方程时，题目中明确告知动点轨迹的形状类型）。求动点轨迹方程的常用方法有：直接法、定义法、相关点法、参数法与 交轨法等；求曲线的方程常用“待定系数法” 求动点轨迹的常用方法 动点P的轨迹方程是指点P的坐标（X, y）满足的关系式。 1.直接法 （1）依题意，列出动点满足的几何等量关系； （2）将几何等量关系转化为点的坐标满足的代数方程。 例题已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C: x2+y2=1，动点M到圆C的切线长等与MQ 求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线. 解：设动点M（x,y），直线MN切圆C于NO 2 2 依题意：MQ=IMN ,即MQl = MN 而MNl=Mo — NO ,所以 2 2 MQ =IMO -1 2 2 2 2 （x-2） +y =X +y -1 化简得：X= 5。动点M的轨迹是一条直线。 2.定义法 分析图形的几何性质得出动点所满足的几何条件，由动点满足的几何条件可以判断出动点的轨迹满足圆（或椭圆、双曲线、抛物线）的定义。依题意求出曲线的相关参数，进一步写出轨迹方程。 例题：动圆M过定点P （- 4，0 ），且与圆C：X2+y2—8χ = 0相切，求动圆圆心M的轨迹方程。解：设M（x,y）,动圆M的半径为r。若圆M与圆C相外切，则有∣ MC I =r + 4

若圆M与圆C相内切，则有∣ MC ∣ =r-4 而∣ MP ∣ =r,所以 ∣ MCl - ∣ MP ∣ =± 4 动点M到两定点P(-4,0),C(4,0)的距离差的绝对值为4,所以动点M的轨迹为双曲线。其中a=2, C=4。 动点的轨迹方程为： 2 2 4 12 3. 相关点法 若动点P(X，y)随已知曲线上的点Q(χ0，y0)的变动而变动，且χ0、y0可用x、y表示，则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点 P的轨迹方程。这种方法称为相关点法。例题：已知线段AB的端点B 的坐标是(4,3),端点A 在圆C :(x 1)2y^4 上运动，求线段AB 的 中点M的轨迹方程。 解：设M(x,y), A(X A V B),依题意有： 4 X A 3 y A X= , y= 2 2 则：X A=2X-4, y A =2y-3,因为点A(X A V B)在圆C: (x 1)2y^4 上，所以(2X-4)2 (2y -3)2=4

求曲线轨迹方程的五种方法

求曲线轨迹方程的五种方法 一、直接法 如果题目中的条件有明显的等量关系，或者可以利用平面几何知识推出等量关系，求方程时可用直接法。 例1长为2a的线段AB的两个端点分别在x轴、y轴上滑动，求AB中点P的轨迹方程。 解：设点P的坐标为(x, y)， 则A( 2x，0)，B(0，2y)，由|AB|=2a 得 (2x 0)2(0 2y)2=2a 化简得x2+y2=a，即为所求轨迹方程 点评：本题中存在几何等式|AB|=2a，故可用直接法解之。 二、定义法 如果能够确立动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可用曲线定义写出方程，这种方法称为定义法。 例2动点P到直线x+4=0的距离减去它到M (2, 0)的距离之 差等于2,则点P的轨迹是( ) A、直线 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线 解法一：由题意，动点P到点M (2, 0)的距离等于这点到直线 x=-2的距离，因此动点P的轨迹是抛物线，故选D。 解法二：设P点坐标为(x，y)，贝S |x+4卜(x 2)2 y2=2

当x>-4 时，x+4- , (x 2)2 y2=2 化简得

当时，y 2=8x 当 X V -4 时，-x-4- .. （x 2）2 y 2 =2 无解 所以P 点轨迹是抛物线y 2=8x 点评：解法一与解法二分别用定义法和直接法求轨迹方程， 明显, 解法一优于后一种解法，对于有些求轨迹方程的题目，若能采用定义 法，则优先采用定义法，它能大量地简化计算。 三、代入法 如果轨迹点P （x ，y ）依赖于另一动点Q （ a , b ）,而Q （ a, b ） 又在某已知曲线上，则可先列出关于 x 、y 、a 、b 的方程组，利用X 、 y 表示出a 、b ，把a 、b 代入已知曲线方程便得动点 P 的轨迹方程， 此法称为代入法。 2 仝1上运动，则厶F 1F 2P 9 的重心G 的轨迹方程是 _____________________ 解：设 P （X 。，y 。），G （x ，y ），则有 由于G 不在F 1F 2上，所以卄0 四、参数法 x 1(x 4 X 。） y 1(0 0 y o ) x 2 2 y 1得 9x 2 16 9 16 即9x2 2 y 1 16 即x 3x ，代入 y 。3y 磴1 9 P 在以F i 、F 2为焦点的双曲线 2 x 16

求轨迹方程的常用方法(经典)

求轨迹方程的常用方法 （一）求轨迹方程的一般方法： 1. 待定系数法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。 2. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。 3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ），y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。 4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。 5.几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。 6：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这灯问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。 （二）求轨迹方程的注意事项： 1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P 的运动规律，即P 点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。 )() ()(0)(.2为参数又可用参数方程表示程轨迹方程既可用普通方t t g y t f x ，y x ，F ???=== 来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。 3. 求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解，（即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上），又要检验是否丢解。（即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示），出现增解则要舍去，出现丢解，则需补充。检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形。 4．求轨迹方程还有整体法等其他方法。在此不一一缀述。 课前热身： 1. P 是椭圆5 92 2y x +=1上的动点，过P 作椭圆长轴的垂线，垂足为M ，则PM 中点的轨迹中点的轨迹方程为：（ ）【答案】：B A 、159422=+y x B 、154922=+y x C 、12092 2=+y x D 、5 3622y x + 【解答】:令中点坐标为),(y x ,则点P 的坐标为()2,y x 代入椭圆方程得15 4922=+y x ,选B 2. 圆心在抛物线)0(22 >=y x y 上，并且与抛物线的准线及x 轴都相切的圆的方程是

圆锥曲线之轨迹方程的求法

圆锥曲线之轨迹方程的求法（一） （制卷：周芳明） 【复习目标】 □1. 了解曲线与方程的对应关系，掌握求曲线方程的一般步骤； □2. 会用直接法、定义法、相关点法（坐标代换法）求方程。 【基础练习】 1．到两坐标轴的距离相等的动点的轨迹方程是( ) A ．y x = B ．||y x = C ．22y x = D ．220x y += 2．已知点(,)P x y 4，则动点P 的轨迹是 ( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．两条射线 D ．以上都不对 3．设定点1(0,3)F -、2(0,3)F ，动点P 满足条件129(0)PF PF a a a +=+>，则点P 的轨迹( ) A ．椭圆 B ．线段 C. 不存在 D ．椭圆或线段 4．动点P 与定点(1,0)A -、(1,0)B 的连线的斜率之积为1-，则P 点的轨迹方程为______________. 【例题精选】 一、直接法求曲线方程 根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等）进行整理、化简。即把这种关系“翻译”成含x ,y 的等式就得到曲线的轨迹方程了。 例1．已知ABC ?中，2,AB BC m AC ==，试求A 点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形. 练习：已知两点M （-1，0）、N （1，0），且点P 使MP MN ，PM PN ，NM NP 成公差小于零的等差数列。点P 的轨迹是什么曲线？

二定义法 若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量，求出动点的轨迹方程。 例1．⊙C ：22(3)16x y ++=内部一点(3,0)A 与圆周上动点Q 连线AQ 的中垂线交CQ 于P ，求点P 的轨迹方程. 例2．设动点(,)(0)P x y x ≥到定点1(,0)2F 的距离比它到y 轴的距离大12 。记点P 的轨迹为 曲线C 求点P 的轨迹方程； 练习．若动圆与圆1)2(:2 21=++y x C 相外切，且与直线1=x 相切，则动圆圆心轨迹方程是 . 三代入法 有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的。如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法。这种方法是一种极常用的方法，连续好几年高考都考查。 例1、已知定点A ( 3, 0 )，P 是圆x 2 + y 2 = 1上的动点，∠AOP 的平分线交AP 于M ， 求M 点的轨迹。

求轨迹方程题型全归纳

求轨迹方程题型全归纳

2 求轨迹方程的六种常用方法 1．直接法 根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。 例1．已知线段6=AB ，直线BM AM ,相交于M ， 且它们的斜率之积是4 9，求点M 的轨迹 方程。 解：以AB 所在直线为x 轴，AB 垂直平分线为y 轴建立坐标系，则(3,0),(3,0)A B -，设点M 的坐标为 (,) x y ，则直线 AM 的斜率 (3)3 AM y k x x = ≠-+，直线BM 的斜率(3)3 AM y k x x = ≠- 由已知有4 (3)339 y y x x x ?=≠±+- 化简，整理得点 M 的轨迹方程为 22 1(3)94 x y x -=≠± 练习： 1．平面内动点P 到点(10,0)F 的距离与到直线

4 x=的距离之比为2，则点P的轨迹方程是。 2．设动直线l垂直于x轴，且与椭圆2224 x y +=交 u u u r u u u r的点，求于A、B两点，P是l上满足1 ?= PA PB 点P的轨迹方程。 3. 到两互相垂直的异面直线的距离相等的 点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（）A．直线B．椭圆C．抛物线D．双曲线 3

4 2．定义法 通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种图形，再求其轨迹方程，这种方法叫做定义法，运用定义法，求其轨迹，一要熟练掌握常用轨迹的定义，如线段的垂直平分线，圆、椭圆、双曲线、抛物线等，二是熟练掌握平面几何的一些性质定理。 例2．若(8,0),(8,0)B C -为ABC ?的两顶点，AC 和AB 两 边上的中线长之和是30，则ABC ?的重心轨迹方程是_______________。 解：设ABC ?的重心为(,)G x y ，则由AC 和AB 两边上的中线长之和是30可得 2 3020 3 BG CG +=?=，而点(8,0),(8,0)B C -为定点， 所以点G 的轨迹为以,B C 为焦点的椭圆。 所以由220,8a c ==可得2 2 10,6a b a c ==-= 故ABC ?的重心轨迹方程是 22 1(0)10036 x y y +=≠ 练习： 4．方程2 2 2(1)(1)|2|x y x y -+-=++表示的曲线是 （ ） A ．椭圆 B ．双曲线 C ．线段 D ．抛物线

求轨迹方程的常用方法

高二（上）求轨迹方程的常用方法 姓名________ （一）求轨迹方程的一般方法： 1. 定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。 2. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。 3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ）， y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。 4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。 5：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。 一：用定义法求轨迹方程 例1：已知ABC ?的顶点A ，B 的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足 ,sin 4 5 sin sin C A B = +求点C 的轨迹。 【变式】：已知圆的圆心为M 1，圆的圆心为M 2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P 的轨迹方程。 二：用直译法求轨迹方程 此类问题重在寻找数量关系。 例2：一条线段两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，且BM=a ，AM=b ，求AB 中点M 的轨迹方程？

求曲线轨迹方程的常用方法

高考数学专题：求曲线轨迹方程的常用方法 昕 省潼关县潼关高级中学 714399 求曲线的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查考生对曲线的定义、性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力.因此要分析轨迹的动点和已知条件的在联系，选择最便于反映这种联系的形式建立等式.其常见方法如下：（1）直接法：直接法就是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程，这种求轨迹方程 的方法就称为直接法，直接法求轨迹经常要联系平面图形的性 质. （2）定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可以设出其标准方程，然后用待定系 数法求解.这种求轨迹方程的方法称为定义法，利用定义法求方 程要善于抓住曲线的定义特征. （3）代入法：根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程.这就叫代入法. （4）参数法：若动点的坐标（x，y）中的x，y分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方 程，消去参数来求轨迹方程. （5）几何法：根据曲线的某种几何性质和特征，通过推理列出等式求轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做几何法.

（6） 交轨法：在求动点轨迹方程时，经常遇到求两动曲线的交点轨 迹方程问题，我们列出两动曲线的方程再设法消去曲线中的参数即可得到交点的轨迹方程. 典型例题示讲解： 设圆C ：22(1)1x y -+=，过原点作圆的弦0A ，求OA 中点B 的轨迹方程. 【解】：法一：（直接法） 如图，设B （x ，y ），由题得2OB +2BC =2OC , 即x 2+y 2 +［22(1)x y -+］=1 即OA 中点B 的轨迹方程为2211()24 x y -+= （x ≠0）. 法二：（定义法） 设B （x ，y ），如上图，因为B 是OA 的中点 所以∠OBC= 90?, 则B 在以OC 为直径的圆上， 故B 点的轨迹方程是2211()24 x y -+=（x ≠0）. 法三：（代入法） 设A （1x ，1y ），B （x ，y ），

高中数学求轨迹方程的六种常用技法

求轨迹方程的六种常用技法 轨迹方程的探求是解析几何中的基本问题之一，也是近几年来高考中的常见题型之一。学生解这类问题时，不善于揭示问题的内部规律及知识之间的相互联系，动辄就 是罗列一大堆的坐标关系，进行无目的大运动量运算，致使不少学生丧失信心，半途 而废，因此，在平时教学中，总结和归纳探求轨迹方程的常用技法，对提高学生的解 题能力、优化学生的解题思路很有帮助。本文通过典型例子阐述探求轨迹方程的常用 技法。 1．直接法 根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜 率公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。 4 例 1．已知线段AB 6，直线AM ,BM 相交于M ，且它们的斜率之积是，求点M 9 的轨迹方程。 解：以AB所在直线为x轴，AB垂直平分线为y轴建立坐标系，则A( 3,0), B(3,0) ，设点M 的坐标为(x, y)，则直线AM 的斜率k AM y (x 3) ，直线BM 的斜 AM x 3 率k AM y (x 3) x3 由已知有y?y 4(x 3) x 3 x 3 9 x2y2 化简，整理得点M 的轨迹方程为x y1(x 3) 94 练习： 1．平面内动点P到点F(10,0)的距离与到直线x 4的距离之比为 2，则点P的轨 迹方 程是。 2．设动直线l 垂直于x轴，且与椭圆x2 2y2 4交于A、B两点，P是l上满足PA PB 1的点，求点P 的轨迹方程。 3. 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点 , 在过其中一条直线且平行于另一条直 线的平面内的轨迹是 ( ) A ．直线B．椭圆 C ．抛物线 D ．双曲线2．定义法 通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种图形，再求其轨迹方程，这种方法叫做 定义法，运用定义法，求其轨迹，一要熟练掌握常用轨迹的定义，如线段的垂直平分线，圆、椭圆、双曲线、抛物线等，二是熟练掌握平面几何的一些性质定理。