平面几何定理公理总结

平面几何定理公理总结

一、线与角

1.两点之间，线段最短。线段的长叫两点间的距离。

直线外一点到直线，垂线段最短，垂线段的长叫该点到直线的距离。

一组平行线中，一条直线上一点到另一条直线的距离，叫两条平行线间的距离。

2.经过两点有且只有一条直线，即两点确定一条直线。

不在同一直线上的三点确定一个角。

3.两直线相交，对顶角相等。

4.同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等。

5.经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。

经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。

6.如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补。

如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补。

7.平行线

(1)平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。

(2)平行线的判定方法：

①两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。

②两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。

③如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行。

④如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行。

(3)平行线的性质：

①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。

②两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。

③两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。

④如果一条直线和两条平行线中的一条平行，那么这条直线也和另一条平行。

⑤如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么这条直线也和另一条垂直。

⑥平行线间的距离处处相等；夹在两条平行线间的平行线段相等。

8.平行线等分线段定理：

(1)定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相

等。

(2)推论1：经过三角形一边的中点，且与另一边平行的直线必等分第三边。

(3)推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线必等分另一腰。

9.平行线分线段成比例定理：

(1)定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

(2)推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）成比例。

10.线段的垂直平分线：

(1)性质：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。

(2)判定：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

11.角平分线：

(1)性质：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

(2)判定：在角的内部，且到此角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。

二、三角形及多边形

1.三角形的任何两边的和大于第三边，任何两边的差小于第三边。

2.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。

四边形内角和定理：四边形内角和等于360°。

多边形内角和定理：n边形的内角和等于(n-2)×180°。

多边形外角和定理：任意多边形的外角和等于360°。

3.三角形外角性质：

(1)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

(2)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

4.三角形中位线定理：三角形两边中点的连线叫做三角形的中位线。三角形的中位线平行于

第三边，并且等于第三边的一半。

5.等腰三角形的相关公理、定理：

(1)等腰三角形的两个底角相等（“等边对等角”）。

(2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（“等角对等边”）。

(3)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合（“三线合一”）。

6.等边三角形的公理、定理：

(1)三个边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形。

(2)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；有两个角为60°的三角形是等边三角形

(3)等边三角形的三边相等；等边三角形的三角相等，且都等于60°。

(4)等边三角形三条角平分线、三条中线、三条高均交于同一点，该点是等边三角形的中心。

7.直角三角形的公理、定理：

(1)直角三角形的两锐角互余。

(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（斜边是其外接圆直径，斜边上的中点是其外

接圆圆心）。

若三角形一边的中线等于这边的一半，那此三角形为直角三角形。

(3)直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半；

直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那它所对的角等于30°。

(4)勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

(5)勾股定理的逆定理：如果一个三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个

三角形是直角三角形。

8.三角形全等：

(1)性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等。

(2)判定：

①有三边对应相等的两个三角形全等（SSS）；

②两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）；

③两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；

④两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）；

⑤直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）。

9.相似三角形的判定：

(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比

例叫做相似比（或相似系数）。

(2)预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角

形于原三角形相似。

(3)判定：

①两角对应相等，两三角形相似。

②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

③三边对应成比例，两三角形相似。

(4)引理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这

条直线平行于三角形的第三边。

(5)直角三角形相似的判定：

①如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，两三角形相似。

②如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么两三角形相似。

③如果两个直角三角形的斜边和一条直角边于另一个三角形的斜边和一条直角边成比例，

那么两三角形相似。

10.相似三角形的性质定理：

(1)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。

(2)相似三角形周长的比等于相似比。

(3)相似三角形面积比等于相似比的平方。

(4)相似三角形的外接圆、内切圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆、内切圆的面积比等

于相似比的平方。

11.直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两

直角边分别是它在斜边上的射影于斜边的比例中项。

也可表述为：直角三角形的直角顶点，到斜边端点和斜边上高的垂足三点中其中一点的距离（线段），是该点到其它两点的距离（线段）的比例中项。

12.三角形垂直平分线的性质：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，且这点到三个顶点距

离相等，这点为三角形外接圆的圆心（简称“外心”）。

13.三角形角平分线的性质：三角形三条角平分线相交于一点，且这点到三边距离相等，这点

为三角形内切圆的圆心（简称“内心”）。

14.三角形中线的性质：三角形的三条中线交于一点，该点叫做三角形的重心。

15.三角形高的性质：三角形的三条高交于一点，该点叫做三角形的垂心。

三、多边形

16.四边形内角和定理：四边形内角和等于360°。

17.多边形内角和定理：n边形的内角和等于(n-2)×180°。

18.多边形外角和定理：任意多边形的外角和等于360°。

19.如果图形关于某一直线对称，那么连结对应点的线段被对称轴垂直平分。

四、特殊四边形

1.平行四边形的性质：

(1)平行四边形的对角相等。(2)平行四边形的对边相等。

(3)平行四边形的对角线互相平分。

2.平行四边形的判定：

(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形。(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

(5)两组邻角分别互补的四边形是平行四边形。(6)对角线互相平分的四边形是平行四边形。

3.矩形的性质：

(1)矩形的四个角都是直角。(2)矩形的对角线相等。

4.矩形的判定：

(1)有三个角是直角的四边形是矩形。(2)对角线相等且互相平分的四边形是矩形。

(3)有一个角是直角的平行四边形是矩形。(4)对角线相等的平行四边形是矩形。

5.菱形的性质：

(1)菱形的四条边相等。

(2)菱形的对角线互相垂直，并且每一组对角线平分一组对角。

6.菱形的判定：

(1)四边都相等的四边形是菱形。(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形。(3)邻边相等的平行四边形是菱形。(4)对角线互相垂直的平行四边形是菱形；

(5)两条对角线分别平分两组对角的四边形是菱形。

(6)有一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形。

7.正方形的性质：

(1)正方形的四个角都是直角，四条边都相等

(2)邻边相等且垂直的是正方形；对角线垂直且相等的平

(3)正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。

8.正方形的判定：

(1)邻边相等的矩形是正方形。(2)对角线互相垂直的矩形是正方形。

(3)有一个角是直角的菱形是正方形；(4)对角线相等的菱形是正方形。

(5)邻边相等且垂直的是平行四边形正方形。(6)对角线垂直且相等的平行四边形是正方形。

(7)对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。

9.等腰梯形的性质：

(1)等腰梯形在同一底上的两个角相等；(2)等腰梯形的两对角线相等；

10.等腰梯形的判定：

(1)在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；(2)对角线相等的梯形是等腰梯形。

11.梯形的中位线定理：梯形两腰中点的连线叫做梯形的中位线。梯形的中位线平行于梯形的两底

边，并且等于两底和的一半。

五、圆

1.在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹（集合），是以定点为圆心，定长为半径

的圆。

2.不在同一条直线上的三个点确定一个圆。

3.有关圆周角、圆心角的定理和性质：

(1)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对的弧的度数。

(2)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

(3)定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距

相等。

(4)推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一

半；相等的圆周角所对的弧相等。

(5)统一推论：在同圆或等圆中，两个圆心角（圆周角）、两条弧、两条弦、两个弦的弦心距，

只要有一组量相等，那么其余对应的各组量均相等。

(6)推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径，所对的弧是

半圆。

4.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

(1)推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧。

(2)推论2：弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧。

(3)推论3：平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧。

推论：一条直线，只要满足以下中的2条作为条件就可以推知其他3条，知二推三。

(1)平分弦所对的优弧；(2)平分弦所对的劣弧；（即：平分弦所对的两条弧）；

(3)平分不是直径的弦；(4)垂直于弦；(5)经过圆心。

(4)在同圆或者等圆中，两条平行弦所夹的弧相等。

两条相等的弧两个外端点的连线于两个内端点的连线平行。

5.关于两圆及其连心线的性质与定理：

(1)两圆内切时，两圆连心线过切点且与公切线垂直。

推论：两圆相切时，以下4条，知二推二：

(1)过一圆圆心；(2)过另一圆圆心；(3)过两圆切点；(4)公切线垂直。

(2)两圆相交时，两圆的连心线垂直平分公共弦。

推论：两圆相交时，以下4条，知二推二：

(1)过一圆圆心；(2)过另一圆圆心；(3)过公共弦中点；(4)垂直公共弦。

(3)两圆相切时，两圆的连心线过切点且与一条公切线垂直。

推论：两圆相切时，以下4条，知二推二：

(1)过一圆圆心；(2)过另一圆圆心；(3)过两圆切点；(4)内公切线垂直。

(4)两圆相离时，两圆的连心线过内公切线交点，且平分内公切线所成夹角。

推论：两圆相切时，以下4条，知二推二：

(1)过一圆圆心(2)过另一圆圆心；(3)过内公切线交点；(4) 平分内公切线所成夹角。

注：满足(4)条件时，已经满足(3)条件，故知(1)(2)(3)其中两条可推知其它两条，知(4)可推知(1)(2)(3)。(5)两圆关系不为内切时，两圆连心线平分两外公切线所成夹角（两圆半径相等）或于两外公

切线平行（两圆半径相等）

逆定理亦成立，同时也可作为上面三条的条件。

6.切线的性质及判定：

(1)性质：圆的切线垂直于经过切点的半径。

(2)判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

(3)推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必过切点。

(4)推论2：经过切点且垂直于切线的直线必过圆心。

7.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线

平分这两条切线的夹角。

8.弦切角定理：

(1)弦切角的定义：定点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角叫弦切角。

(2)定理：弦切角等于它所夹弧所对的圆周角（或表述为：弦切角等于弦所对的圆周角）。

9.圆内接四边形的性质和判定：

(1)性质1：圆的内接四边形的对角互补。

(2)性质2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。

(3)判定1：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。

(4)判定2：如果一个四边形的外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。

10.圆幂定理：过任意不在圆上的一点引两条直线，分别与圆交于两点（重合时为切线），则该

点到每条线与圆的交点的两条线段的乘积相等，该乘积叫做该点到圆的幂。

(1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

(2)切割线定理：从圆外一点引圆的一条切线和一条割线，切线长的平方是从割线上从这点到

两个交点的线段长的乘积。

(3)割线定理：过圆外一点引圆的两条割线，交点到每条割线于圆的交点的两条线段的积相等。

(4)切线长定理。

六、变换

1.轴对称：

(1)关于某条直线对称的两个图形是全等形；如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是

对应点连线的垂直平分线；

(2)两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段（或延长线）相交，交点一定在对称轴上；

(3)两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段（或延长线）相交，交点一定在对称轴上；

(4)如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

2.平移：

(1)平移不改变图形的形状和大小（即平移前后的两个图形全等）；

(2)对应线段平行且相等（或在同一直线上），对应角相等；

(3)经过平移，两个对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等。

3.旋转：

(1)旋转不改变图形的形状和大小（即旋转前后的两个图形全等）；

(2)任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等（都是旋转角）；

(3)经过旋转，对应点到旋转中心的距离相等。

4.中心对称：

(1)关于中心对称的两个图形是全等形；

(2)关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心；

(3)如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一

点对称。

5.位似：

(1)如果两个图形不仅相似，而且每组对应顶点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个

图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比；

(2)位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。

2016年5月2日

立体几何公理及定理

立体几何公理及定理 一、空间点、线、面之间的关系 1、两条直线的位置关系有： 2、两个平面的位置关系有： 公理1、如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 公理2、过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 推论1、一组平行直线确定唯一一个平面。 推论2、一条直线及直线外一点确定唯一一个平面。 公理3、如果有两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 公理4（平行公理）、平行于同一直线的两直线平行。 二、平行关系 直线与平面平行的判定定理： 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 直线与平面平行的性质定理： 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任意平面与此平面的交线与该直线平行。 平面与平面平行的判定定理： 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 平面与平面平行的性质定理： 1、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 2、两平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。 3、夹在两个平行平面间的平行线段相等。 4、平行于同一平面的两个平面平行。 三、垂直关系 直线与平面垂直的判定定理： 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直。 直线与平面垂直的性质定理： 1、垂直于同一个平面的两条直线互相平行。 2、如果一条直线垂直一个平面，那么这条直线垂直于平面内的所有直线。 平面与平面垂直的判定定理： 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直。 平面与平面垂直的性质定理： 如果两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 三角公式汇总 一、任意角的三角函数 1. ①与α终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）：{} Z k k ∈+?=,360|αββ ②终边在x 轴上的角的集合： {} Z k k ∈?=,180| ββ

平面几何基本定理

. 一．平面几何 1． 勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）(1)锐角对边 的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍． (2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍． 2． 射影定理（欧几里得定理） 3． 中线定理（巴布斯定理）设△ABC 的边BC 的中点为P ，则 有)(22222BP AP AC AB +=+； 中线长：2 222 22a c b m a -+= 4． 垂线定理：2 2 2 2 BD BC AD AC CD AB -=-?⊥ 高 线 长 ： C b B c A a bc c p b p a p p a h a sin sin sin ))()((2===---= 5． 角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线 段与这个角的两边对应成比例． 如△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则AC AB DC BD =；（外角平分线定 理） 角平分线长：2 cos 2)(2A c b bc a p bcp c b t a +=-+= （其中 p 为周长一半） 6． 正弦定理： R C c B b A a 2sin sin sin ===， （其中R 为三角形外接圆半径） 7． 余弦定理：C ab b a c cos 2222 -+= 8． 张角定理：AB DAC AC BAD AD BAC ∠+∠=∠sin sin sin 9． 斯特瓦尔特(Stewart )定理：设已知△ABC 及其底边上B 、C 两点间的一点D ，则有AB 2 ·DC +AC 2 ·BD －AD 2 ·BC ＝BC ·DC ·BD 10． 圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一 半．（圆外角如何转化？） 11． 弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角 12． 圆幂定理：（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定 理）：切线长定理：） 13． 布拉美古塔（Brahmagupta ）定理： 在圆内接四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，自对角线的交点P 向一边作垂线，其延长线必平分对边 14． 点到圆的幂：设P 为⊙O 所在平面上任意一点，PO =d ，⊙ O 的半径为r ，则d 2－r 2就是点P 对于⊙O 的幂．过P 任作 一直线与⊙O 交于点A 、B ，则PA ·PB = |d 2 －r 2 |．“到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线，如果此二圆相交，则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论．这条直线称为两圆的“根轴”．三个圆两两的根轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”．三个圆的根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点． 15． 托勒密（Ptolemy ）定理：圆内接四边形对角线之积等于两 组对边乘积之和，即AC ·BD =AB ·CD +AD ·BC ，(逆命题成立) ．（广义托勒密定理）AB ·CD +AD ·BC ≥AC ·BD 16． 蝴蝶定理：AB 是⊙O 的弦，M 是其中点，弦CD 、EF 经过 点M ，CF 、DE 交AB 于P 、Q ，求证：MP =QM ． 17． 费马点：定理1等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近 两顶点距离之和等于到另一顶点的距离；不在等边三角形外接圆上的点，到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距 离．定理2 三角形每一内角都小于120°时，在三角形内必存在一点，它对三条边所张的角都是120°，该点到三顶点距离和达到最小，称为“费马点”，当三角形有一内角不小于120°时，此角的顶点即为费马点 18． 拿破仑三角形：在任意△ABC 的外侧，分别作等边△ABD 、 △BCE 、△CAF ，则AE 、AB 、CD 三线共点，并且AE ＝BF ＝ CD ，这个命题称为拿破仑定理． 以△ABC 的三条边分别向 外作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，它们的外接圆⊙C 1 、⊙ A 1 、⊙ B 1的圆心构成的△——外拿破仑的三角形，⊙ C 1 、 ⊙A 1 、⊙B 1三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形；△ABC 的三条边分别向△ABC 的内侧作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，它们的外接圆⊙C 2 、⊙A 2 、⊙B 2的圆心构成的△——内拿破仑三角形，⊙C 2 、⊙A 2 、⊙B 2三圆共点，内拿破仑三角形也是一个等边三角形．这两个拿破仑三角形还具有相同的中心 19． 九点圆（Nine point round 或欧拉圆或费尔巴赫圆）：三角形 中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，九点圆具有许多有趣的性质,例如: （1）三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半 （2）九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点 （3）三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕 20． 欧拉（Euler ）线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心 依次位于同一直线（欧拉线）上． 21． 欧拉（Euler ）公式：设三角形的外接圆半径为R ，内切圆半 径为r ，外心与内心的距离为d ，则d 2 =R 2 －2Rr ． 22． 锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各 边距离的和． 23． 重心：三角形的三条中线交于一点，并且各中线被这个点分 成2：1的两部分；)3 ,3(C B A C B A y y y x x x G ++++ 重心性质：（1）设G 为△ABC 的重心，连结AG 并延长交BC

立体几何公理、定理推论汇总

立体几何公理、定理推论汇总 一、公理及其推论 公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。 符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈?? 作用： ① 用来验证直线在平面内； ② 用来说明平面是无限延展的。 公理 2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线） 符号语言：P l P l α βαβ∈?=∈且 作用：① 用来证明两个平面是相交关系； ② 用来证明多点共线，多线共点。 公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号语言：,,,,A B C A B C ?不共线确定一个平面 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。 符号语言：A a A a a αα??∈?有且只有一个平面，使， 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面。 符号语言：a b P a b ααα?=???有且只有一个平面，使， 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面。 符号语言：//a b a b ααα???有且只有一个平面，使， 公理3及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。 公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。 符号语言：//////a b a c c b ? ??? 图形语言： 作用：用来证明线线平行。 二、平行关系 公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。（1） 符号语言：//////a b a c c b ???? 图形语言： 线面平行的判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么 这条直线和这个平面平行。（2） 符号语言： ////a b a a b ααα?? ? ????? 图形语言： 线面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和 这个平面相交，那么这条直线和交线平行。（3）

专题平面几何的四个重要定理

专题平面几何的四个重 要定理 SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#

竞赛专题讲座06 －平面几何四个重要定理 四个重要定理： 梅涅劳斯(Menelaus)定理（梅氏线） △ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点P、Q、R，则P、 Q、R共线的充要条件是。 塞瓦(Ceva)定理（塞瓦点） △ABC的三边BC、CA、AB上有点P、Q、R，则AP、BQ、CR共点 的充要条件是。 托勒密(Ptolemy)定理 四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该 四边形内接于一圆。 西姆松(Simson)定理（西姆松线） 从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是 该点落在三角形的外接圆上。 例题： 1．设AD是△ABC的边BC上的中线，直线CF交AD于F。求 证：。

【分析】CEF截△ABD→（梅氏定理） 【评注】也可以添加辅助线证明：过A、B、D之一作CF的平行线。 2．过△ABC的重心G的直线分别交AB、AC于E、F， 交CB于D。 求证：。 【分析】连结并延长AG交BC于M，则M为BC的 中点。 DEG截△ABM→（梅氏定理） DGF截△ACM→（梅氏定理） ∴===1 【评注】梅氏定理 3． D、E、F分别在△ABC的BC、CA、AB边上， ，AD、BE、CF交成△LMN。 求S△LMN。 【分析】 【评注】梅氏定理 4．以△ABC各边为底边向外作相似的 等腰△BCE、△CAF、△ABG。求证：AE、 BF、CG相交于一点。

【分析】 【评注】塞瓦定理 5．已知△ABC中，∠B=2∠C。求证：AC2=AB2+AB·BC。 【分析】过A作BC的平行线交△ABC的外接圆于D，连结BD。则 CD=DA=AB，AC=BD。 由托勒密定理， AC·BD=AD·BC+CD·AB。 【评注】托勒密定理 6．已知正七边形A 1A2A3A4A5A6A7。 求证：。（第21届全苏数学竞赛） 【分析】 【评注】托勒密定理 7．△ABC的BC边上的高AD的延长线交 外接圆于P，作PE⊥AB于E，延长ED交 AC延长线于F。 求证：BC·EF=BF·CE+BE·CF。 【分析】 【评注】西姆松定理（西姆松线） 8．正六边形ABCDEF的对角线AC、CE分别被内分点M、N分成的 比为AM：AC=CN：CE=k，且B、M、N共 线。求k。（23-IMO-5） 【分析】 【评注】面积法 9． O为△ABC内一点，分别以d a、d b、d c表示O到BC、CA、AB的距离，以R a、 R b、R c表示O到A、B、C的距离。

平面几何定理及公式

初等几何选讲复习资料二 平面几何定理及公式 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 错角相等，两直线平行 11 同旁角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，错角相等 14 两直线平行，同旁角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边

17 三角形角和定理三角形三个角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角） 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

第十九讲平面几何中的几个著名定理

第十九讲平面几何中的几个著名定理 几何学起源于土地测量，几千年来，人们对几何学进行了深入的研究，现已发展成为一门具有严密的逻辑体系的数学分支．人们从少量的公理出发，经过演绎推理得到不少结论，这些结论一般就称为定理．平面几何中有不少定理，除了教科书中所阐述的一些定理外，还有许多著名的定理，以这些定理为基础，可以推出不少几何事实，得到完美的结论，以至巧妙而简捷地解决不少问题．而这些定理的证明本身，给我们许多有价值的数学思想方法，对开阔眼界、活跃思维都颇为有益．有些定理的证明方法及其引伸出的结论体现了数学的美，使人们感到对这些定理的理解也可以看作是一种享受．下面我们来介绍一些著名的定理． 1．梅内劳斯定理 亚历山大里亚的梅内劳斯(Menelaus，约公元100年，他和斯巴达的Menelaus是两个人)曾著《球面论》，着重讨论球面三角形的几何性质．以他的名子命名的“梅内劳斯定理”现载在初等几何和射影几何的书中，是证明点共线的重要定理． 定理一直线与△ABC的三边AB，BC，CA或延长线分别相交于X，Y，Z，则 证过A，B，C分别作直线XZY的垂线，设垂足分别为Q，P，S，见图3－98．由△AXQ∽△BXP得

同理 将这三式相乘，得 说明(1)如果直线与△ABC的边都不相交，而相交在延长线上，同样可证得上述结论，但一定要有交点，且交点不在顶点上，否则定理的结论中的分母出现零，分子也出现零，这时定理的结论应改为 AX×BY×CZ=XB×YC×ZA， 仍然成立． (2)梅内劳斯定理的逆定理也成立，即“在△ABC 的边AB和AC上分别取点X，Z，在BC的延长线上取点Y，如果 那么X，Y，Z共线”．梅内劳斯定理的逆定理常被用来证明三点共线． 例1 已知△ABC的内角∠B和∠C的平分线分别为BE和CF，∠A的外角平分线与BC的延长线相交于D，求证：D，E，F共线． 证如图3－99有 相乘后得

认识平面几何的61个著名定理

【认识平面几何的61个著名定理，自行画出图形来学习，★部分要求证明出来】 ★1、勾股定理（毕达哥拉斯定理） ★2、射影定理（欧几里得定理） ★3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分 4、四边形两边中心的连线和两条对角线中心的连线交于一点 5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。 ★6、三角形各边的垂直平分线交于一点。 ★7、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点 8、设三角形ABC 的外心为O ，垂心为H ，从O 向BC 边引垂线，设垂足不L ，则AH=2OL 9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。 10、（九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆）三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上， 11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上 12、库立奇大上定理：（圆内接四边形的九点圆） 圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。 ★13、（内心）三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式： ()()()s c s b s a s r ---=，s 为三角形周长的一半 ★14、（旁心）三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点 15、中线定理：（巴布斯定理）设三角形ABC 的边BC 的中点为P ，则有AB 2+AC 2=2(AP 2+BP 2) 16、斯图尔特定理：P 将三角形ABC 的边BC 分成m 和n 两段，则有n×AB 2+m×AC 2=BC×（AP 2+mn ） 17、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD 的对角线互相垂直时，连接AB 中点M 和对角线交点E 的直线垂直于CD 18、阿波罗尼斯定理：到两定点A 、B 的距离之比为定比m:n （值不为1）的点P ，位于将线段AB 分成m:n 的内分点C 和外分点D 为直径两端点的定圆周上 ★19、托勒密定理：设四边形ABCD 内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC×BD

平面几何定理公理总结

平面几何定理公理总结 一、线与角 1.两点之间，线段最短。线段的长叫两点间的距离。 2.直线外一点到直线，垂线段最短，垂线段的长叫该点到直线的距离。 3.一组平行线中，一条直线上一点到另一条直线的距离，叫两条平行线间的距离。 4.经过两点有且只有一条直线，即两点确定一条直线。 5.不在同一直线上的三点确定一个角。 6.两直线相交，对顶角相等。 7.同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等。 8.经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 9.经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。 10.如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补。 11.如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补。 12.平行线 (1)平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。 (2)平行线的判定方法： (3)①两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。 (4)②两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。 (5)③如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行。 (6)④如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行。 (7)平行线的性质： (8)①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 (9)②两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 (10)③两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 (11)④如果一条直线和两条平行线中的一条平行，那么这条直线也和另一条平行。 (12)⑤如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么这条直线也和另一条垂直。 (13)⑥平行线间的距离处处相等；夹在两条平行线间的平行线段相等。 13.平行线等分线段定理： (1)定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相 等。 (2)推论1：经过三角形一边的中点，且与另一边平行的直线必等分第三边。 (3)推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线必等分另一腰。 14.平行线分线段成比例定理： (1)定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 (2)推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）成比例。 15.线段的垂直平分线： (1)性质：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 (2)判定：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 16.角平分线： (1)性质：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

平面几何的几个重要定理--托勒密定理

托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组 对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之 和)． 即：ABCD AB CD AD BC AC BD ?+?≥? 定理：在四边形中，有： ABCD 并且当且仅当四边形内接于圆时，等式成立； () ABCD E BAE CAD ABE ACD AB BE ABE ACD AB CD AC BE AC CD AB AE BAC EAD ABC AED AC AD BC ED AD BC AC ED AC AD AB CD AD BC AC BE ED AB CD AD BC AC BD E BD A B C ∠=∠∠=∠ ??∴=??=? =∠=∠∴?? ∴=??=? ∴?+?=?+ ∴?+?≥? 证：在四边形内取点，使， 则：和相似 又且和相似 且等号当且仅当在上时成立，即当且仅当、、、 一、直接应用托勒密定理 例1如图2，P是正△ABC外接圆的劣弧上任一点(不与B、C重合)， 求证：PA=PB＋PC． 分析：此题证法甚多，一般是截长、补短，构造全等三角形，均为 繁冗．若借助托勒密定理论证，则有PA·BC=PB·AC＋PC·AB， ∵AB=BC=AC．∴PA=PB+PC． 二、完善图形借助托勒密定理 例2证明“勾股定理”：在Rt△ABC中，∠B=90°，求证：AC2=AB2＋BC2 证明：如图，作以Rt△ABC的斜边AC为一对角线的矩形ABCD，显然ABCD是 圆内接四边形． 由托勒密定理，有AC·BD=AB·CD＋AD·BC．① 又∵ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，AC=BD．② 把②代人①，得AC2=AB2＋BC2． 例3如图，在△ABC中，∠A的平分线交外接∠圆于D，连结BD， 求证：AD·BC=BD(AB＋AC)． 证明：连结CD，依托勒密定理，有AD·BC＝AB·CD＋AC·BD． ∵∠1=∠2，∴BD=CD． 故AD·BC=AB·BD＋AC·BD=BD(AB＋AC)． 三、构造图形借助托勒密定理 例4若a、b、x、y是实数，且a2＋b2=1，x2＋y2=1．求证：ax＋by≤1． 证明：如图作直径AB=1的圆，在AB两边任作Rt△ACB和Rt△ADB， 使AC＝a，BC=b，BD＝x，AD＝y． 由勾股定理知a、b、x、y是满足题设条件的． 据托勒密定理，有AC·BD＋BC·AD=AB·CD． ∵CD≤AB＝1，∴ax＋by≤1． 四、巧变原式妙构图形，借助托勒密定理 例5已知a、b、c是△ABC的三边，且a2=b(b ＋c)，求证：∠A=2∠B． 分析：将a2=b(b＋c)变形为a·a=b·b＋bc，从而联想到托勒密定理，进 而构造一个等腰梯形，使两腰为b，两对角线为a，一底边为c． 证明：如图，作△ABC 的外接圆，以A为圆心，BC为半径作弧交圆于 D，连结BD、DC、DA．∵AD=BC，ACD BDC =∴∠ABD=∠BAC． 又∵∠BDA=∠ACB(对同弧)，∴∠1=∠2． 依托勒密定理，有BC·AD=AB·CD＋BD·AC．① 而已知a2=b(b＋c)，即a·a=b·c＋b2．② ∴∠BAC=2∠ABC． 五、巧变形妙引线 借肋托勒密定理 例6在△ABC中，已知∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4， 分析：将结论变形为AC·BC＋AB·BC=AB·AC，把三角形和圆联系起 来，可联想到托勒密定理，进而构造圆内接四边形． 如图，作△ABC的外接圆，作弦BD=BC，边结AD、CD． 在圆内接四边形ADBC中，由托勒密定理， 有AC·BD＋BC·AD=AB·CD 易证AB=AD，CD=AC，∴AC·BC＋BC·AB=AB·AC， 1.已知△ ABC 中，∠ B=2∠ C。求证：AC2=AB2+AB·BC。 【分析】过A作BC的平行线交△ABC的外接圆于D，连结BD。 则CD=DA=AB，AC=BD。由托勒密定理，AC·BD=AD·BC+CD·AB。 2.ABC BC P BC AC AB PK PL PN BC AC AB PK PL PM ? =+ 由外接圆的弧上一点分别向边、与作垂线、和， 求证：

平面几何定理及公式

平面几何定理及公式 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等

26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角） 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 定理2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上 45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称 46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2 47勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形 48定理四边形的内角和等于360° 49四边形的外角和等于360° 50多边形内角和定理n边形的内角的和等于（n-2）×180° 51推论任意多边的外角和等于360°

高中立体几何公理定理汇编

高中数学立体几何模块公理定理汇编 公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． ?．（作用：证明直线在平面内） ∈，Bα ∈?lα ∈，B l A l ∈，且Aα 公理2过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．（作用：确定平面） 推论①直线与直线外一点确定一个平面． ②两条相交直线确定一个平面． ③两条平行直线确定一个平面． 公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． ∈，且Pβ ∈．（作用：证明三点/多点共线） Pα ＝l，且P l ∈?αβ 公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行．（平行线的传递性） 空间等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 线面平行判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行． 面面平行判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行． 推论一个平面内两条相交直线与另一个平面内的两条直线分别平行，则这两个平面平行． 线面平行性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任意平面与此平面的交线与该直线平行． 面面平行性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，则它们的交线平行． 线面垂直判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面平行． 三垂线定理如果平面内一条直线和平面的一条斜线的射影垂直，则它和这条斜线垂直． 逆定理如果平面内一条直线与平面的一条斜线垂直，则它和这条直线的射影垂直． 射影定理从平面外一点出发的所有斜线段中，若斜线段长度相等则射影相等，斜线段较长则射影较长，斜线段较短则射影较短． 面面垂直判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直． 线面垂直性质定理1如果一条直线垂直于一个平面，则它垂直于平面内的所有直线． 线面垂直性质定理2垂直于同一个平面的两条直线平行． 面面垂直性质定理1两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． 面面垂直性质定理2两个平面垂直，过一个平面内一点与另一个平面垂直的直线在该平面内．

平面几何的几个重要的定理

平面几何的几个重要的定理 一、梅涅劳斯定理： 1=??=??B A A C C B C B A h h h h h h RB AR QA CQ PC BP l C B A h h h 的垂线的长度，则：到直线 、、分别是、、证：设 注：此定理常运用求证三角形相似的过程中的 线段成比例的条件； 。 的交点，证明：与是的中点，是上，在点 的平分线，是是斜边上的高，中，：若直角例CE //BF CK DE F AC D AK E ACK CE CK ABC ∠?11PC BP R Q P AB CA BC ABC ABC l 1=??RB AR QA CQ ，则 、、的延长线分别交于或它们、、的三边的顶点，并且与不经过：若直线定理??CE //BF CKE FKB KE BK KC KF BE BK FC KF BE BK BC BP AC EP AC CK AE EK FC KF 1FC KF EK AE DA CD F E D ACK EP CK EP BC EBC CE BH 90HCB ACE HCB HBC ACE HBC ACK EBC BH B EBC ∴?∴= ====??=∴⊥?=∠+∠=∠+∠∠=∠∠=∠∠?????＝ 依分比定理有：＝即：＝于是依梅涅劳斯定理有：、、和三点对于，则：上的高作为等腰三角形 即：则：的平分线中，作在证：Θ

1 11 111111111D B D A : C B C A B D AD :BC AC D C B A D C B A K 1=，试证：、、、和、、、线分别交这四条直线于引四条直线，另两条直】从点【练习 注：此定理常用于证明三点共线的问题，且常需要多次使用 再相乘； 共线； 、、证明点引的垂线的垂足， 、、向是从点、、的外接圆上；位于点例111111C B A AB CA BC P C B A ABC P .2? 三点共线； 、、综上可得：也重合与的延长线上时，同在与类似地可证得当矛盾＝这与于是可得即这时设必定重合，不然的话，与线段上，则同在与若的延长线上； 线段上，或者同在或者同在与因此，或边上的点的个数也为三点中，位于、、由于在同一直线上的＝ ，则：又得： ，于是由定理交于与直线证：设直线R Q P R R AB R R BR AR BR AR BR AR BR AR ,BR BR ,AR AB AR AB ,AR AR R R AB R R AB AB R R 20ABC R Q P RB AR B R AR 1RB AR QA CQ 1B R AR QA CQ 1R AB PQ ''' ' ' ' ' ' ''''''''' '> <-<->=??=???PC BP PC BP Θ三点共线； 、、求证：， ，这时若或边上的点的个数为三点中，位于、、三点，并且 上或它们的延长线上的、、的三边分别是、、：设定理R Q P PC BP 20ABC R Q P AB CA BC ABC R Q P 21RB AR QA CQ =???? C B A 1 A 1 B 1 C 三点共线； 、、依梅涅劳斯定理可知，＝可得 且将上面三条式子相乘， 证：易得：1111 1 1111111111C B A 1BC AC AB CB CA BA 180PBA PCA ,PCB PAB ,PBC PAC PBA cos PB PAB cos AP BC AC PAC cos AP PCA cos CP AB CB , PCB cos CP PBC cos BP CA BA ???=∠+∠∠=∠∠=∠∠?∠?-=∠?∠?-=∠?∠?-=Θ

中考数学之平面几何最全总结+经典习题

平面几何知识要点（一） 【线段、角、直线】 1.过两点有且只有一条直线。 2.两点之间线段最短。 3.过一点有且只有一条直线和已知直线垂直。 4.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂直线段最短。 垂直平分线，简称“中垂线”。 定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）。 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合。 | 中垂线性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段。 垂直平分线定理:垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。 逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分 线上。 .三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶 点的距离相等。 角 1.同角或等角的余角相等。 2.同角或等角的补角相等。 3.对顶角相等。 & 角的平分线性质 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 定理1：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 定理2：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 三角形各内角平分线的交点，该点叫内心，它到三角形三边距离相等。 【平行线】 平行线性质1：两直线平行，同位角相等。 平行线性质2：两直线平行，内错角相等。 平行线性质3：两直线平行，同旁内角互补。 平行线判定1：同位角相等，两直线平行。 ！ 平行线判定2：内错角相等，两直线平行。 平行线判定3：同旁内角互补，两直线平行。 平行线判定4：如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行。 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段

高中立体几何公理及推论及定理总汇表

高中立体几何公理及推论及定理总汇表 公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。（1）判定直线在平面内的依据 （2 ）判定点在平面内的方法 公理2 :如果两个平面有一个公共点，那它还有其它公共点，这些公共点的集合是一条直线（1）判定两个平面相交的依据 （2）判定若干个点在两个相交平面的交线上 公理3 :经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。（2）判定若干个点共面的依据 推论1 :经过一条直线和这条直线外一点，有且仅有一个平面。的依据 （2）判断若干个平面重合的依据 （3）判断几何图形是平面图形的依据（1）确定一个平面的依 据 （1）判定若干条直线共 面 推论2 :经过两条相交直线，有且仅有一个平面。 推论3 :经过两条平行线，有且仅有一个平面。 立体几何直线与平面 空间二直线平行直线 公理4 :平行于同一直线的两条直线互相平行等角定理： 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行, 并且方向相同，那么这两个角相异面直线 空间直线和平面位置关系 （1）直线在平面内一一有无数个公共点 （2 ）直线和平面相交一一有且只有一个公共点 （3 ）直线和平面平行一一没有公共点 立体几何直线与平面 直线与平面所成的角 （1 ）平面的斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线与平面所成的角 （2）一条直线垂直于平面，定义这直线与平面所成的角是直角 （3）一条直线和平面平行，或在平面内，定义它和平面所成的角是00的角 三垂线定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条 斜线垂直

三垂线逆定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直 空间两个平面两个平面平行判定 性质 （1 ）如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行 （2）垂直于同一直线的两个平面平行 （1）两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面 （2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 （3 ）一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面 相交的两平面二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫二面角的线，这两个半平面叫二面角的面 二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个面内分另作垂直棱的两条射线, 两条射线所成的角叫二面角的平面角 平面角是直角的二面角叫做直二面角 两平面垂直判定 性质 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 （1）若二平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面 （2）如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内 立体几何多面体、棱柱、棱锥 多面体 定义由若干个多边形所围成的几何体叫做多面体。 棱柱斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱。 直棱柱：侧棱与底面垂直的棱柱。 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。 棱锥正棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥。 球 到一定点距离等于定长或小于定长的点的集合。 欧拉定理 简单多面体的顶点数V,棱数E及面数F间有关系：V+F-E=2

初中平面几何定理总结

平面几何定理总结 线 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 角 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12 两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 初中几何公式：三角形 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22 边角边公理有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 初中几何公式：等腰三角形 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对

初中几何定理归纳整理

初中几何定理归纳整理

初中几何定理归纳整理 图形认识初步 1.两点确定一条直线； 2.两点之间，线段最短； 3.等角的余角相等； 4.等角的补角相等； 5角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等， 6.角角平分线的判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 相交线与平行线 1、余角、补角、对顶角（相交）的性质：同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等；对顶角相等。 2、垂直 （1）垂线的性质：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②直线外一点有与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短； （2）线段垂直平分线定义：过线段的中点并且垂直于线段的直线叫做线段的垂直平分线； （3）线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 (4)线段垂直平分线的判定定理：到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上； 3、平行 （1）平行线的定义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。 （2）平行线的性质：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等； ③两直线平行，同旁内角互补。 （3）平行线的判定：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行； ③同旁内角互补，两直线平行。 （4）平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线。 （5）平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 三角形 1、三角形的有关性质（三角形具有稳定性） ①三角形的三边关系：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； ②三角形的内角和定理：三角形的三个内角的和等于1800；

∠A越大，∠A的正弦和正切值越大，余弦值反而越小。 特殊角的三角函数值： 四边形 1、平行四边形（中心对称图形） （1）平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 （2）两条平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做两条平行线间的距离；两条平行线间的距离是一个定值，不随垂线段位置改变而改变，两条平行线间的距离处处相等。 （3）平行四边形的性质：平行四边形的两组对边分别平行；平行四边形的两组对边分别相等；平行四边形的两组对角分别相等；平行四边形的对角线互相平分。 （4）平行四边形的判定： ①定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ④对角线互相平分的四边形是平行四边形。 ⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 2、矩形（轴对称图形） （1）定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形)。 （2）矩形的性质：①两组对边分别平行且相等；②矩形的四个角都是直角；③矩形的对角线相等且互相平分； （3）矩形的判定：①定义法：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形。 3、菱形（轴对称图形） （1）定义：。 （2）菱形的性质：；①菱形的四边相等，两组对边分别平行；②对角相等，邻角互补；③菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；（3）菱形的判定：①定义法：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形；②四边相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 4、正方形（既是轴对称又是中心对称） （1）定义：四条边都相等且一个角是直角的四边形叫做正方形。 （2）正方形的性质：；①正方形的四边相等，对边平行；②正方形的四个角都是直角；③正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角； （3）正方形的判定：①有一个角是直角的菱形是正方形；②有一组邻边相等的矩形是正方形。 轴对称 1定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，