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一个常见不等式的加强及应用
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一个常见不等式的加强及应用
作者：宗仲
来源：《数学教学通讯·高中版》2017年第12期
[摘要] 一个常见不等式lnx
[关键词] 加强不等式；启发；构造；等价变形；外接；证明
不等式问题一直是高考命题中的一个热点，对有些不等式的求解，常有学生不会变通或思维定式，导致因运算过繁而计算终止或弃而不解，针对这种情况，本文就结合教学中一个常见的不等式进行了加强和应用，帮助学生优化解题.
不等式lnx
证明：令f（x）=x-lnx，所以f′（x）=1-=，
所以f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以f（x）min=f（1）
=1，所以x-lnx>1>0，所以x>lnx.
同理：令g（x）=ex-x，所以g′（x）=ex-1>0在（0，+∞）上恒成立，
所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，
所以g（x）min=g（0）=1，所以ex-x>1>0，所以ex>x.
综上：lnx
从图像上来深入研究：y=lnx的图像与y=ex的图像关于直线y=x对称.
（1）将y=lnx图像向上平移一个单位，将y=ex图像向右平移一个单位，
【加强1】lnx+1≤x≤ex-1（当x=1时等号同时成立）.
（2）将y=lnx图像向左平移一个单位，将y=ex图像向右平移一个单位，
【加强2】 ln（x+1）≤x≤ex-1（等号不同时成立）.
（3）将y=lnx图像向上平移一个单位，将y=ex图像向下平移一个单位，
【加强3】lnx+1≤x≤ex-1（等号不同时成立）.
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