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罗默《高级宏观经济学》(第3版)课后习题详解(第1章 索洛增长模型)

罗默《高级宏观经济学》(第3版)课后习题详解(第1章  索洛增长模型)
罗默《高级宏观经济学》(第3版)课后习题详解(第1章  索洛增长模型)

罗默《高级宏观经济学》(第3版)第1章 索洛增长模型

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1.1 增长率的基本性质。利用一个变量的增长率等于其对数的时间导数的事实证明: (a )两个变量乘积的增长率等于其增长率的和,即若()()()Z t X t Y t =,则

(b )两变量的比率的增长率等于其增长率的差,即若()()()Z t X t Y t =,则

(c )如果()()Z t X t α

=,则()()()()//Z t Z t X t X t α=

证明:(a )因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导,那么可得下式:

因为两个变量的积的对数等于两个变量各自对数之和,所以有下式:

再简化为下面的结果:

则得到(a )的结果。

(b )因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导,那么可得下式:

因为两个变量的比率的对数等于两个变量各自对数之差,所以有下式:

再简化为下面的结果:

则得到(b )的结果。

(c )因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导,那么可得下式:

又由于()()ln ln X t X t α

α??=??

,其中α是常数,有下面的结果:

则得到(c )的结果。

1.2 假设某变量X 的增长率为常数且在10~t 时刻等于0a >,在1t 时刻下降为0,在12~t t 时刻逐渐由0上升到a ,在2t 时刻之后不变且等于a 。

(a )画出作为时间函数的X 的增长率的图形。 (b )画出作为时间函数的ln X 的图形。 答:(a )根据题目的规定,X 的增长率的图形如图1-1所示。 从0时刻到1t 时刻X 的增长率为常数且等于a (0a >),为图形中的第一段。X 的增长率从0上升到a ,对应于图中的第二段。从2t 时刻之后,X 的增长率再次变为a 。

图1-1 时间函数X 的增长率

(b )注意到ln X 关于时间t 的导数(即ln X 的斜率)等于X 的增长率,即:

因此,ln X 关于时间的图形如图1-2所示:从0时刻到1t 时刻,ln X 的斜率为a (0a >),在1t 时刻,()X t 的增长率出现不连续的变化,因此ln X 的斜率出现扭曲,在1t 时刻至2t 时刻,ln X 的斜率由0逐渐变为a ;从2t 时刻之后,ln X 的斜率再次变为a (0a >)

图1-2 ln X关于时间的图形

1.3 描述下面的每一种变化(如果存在的话)怎样影响索洛模型的基本图中的持平投资与实际投资线。

(a)折旧率下降。

(b)技术进步率上升。

(c)生产函数是柯布—道格拉斯型,()

f k kα

=,并且资本份额α上升。

(d)工人们发挥更大的努力,使得对于单位有效劳动的资本的既定值,单位有效劳动的产出比以前更高。

答:(a)折旧率下降的影响

由于持平投资线的斜率为()

++,当折旧率δ下降后,持平投资线的斜率下降,持

n gδ

平投资线向右转,而实际投资线则不受影响。从图1-3可以看出,平衡增长路径的资本存量水平从k*上升到

k*。

NEW

图1-3 折旧率下降的影响

(b)技术进步率上升的影响

由于持平投资线的斜率为()

++,当技术进步率g上升后,会使持平投资线的斜率

n gδ

变大,持平投资线向左转,而实际投资线则不受影响。从图1-4可以看出,平衡增长路径的资本存量水平从k*下降到

k*。

NEW

图1-4 技术进步率上升对稳态人均资本存量的影响

(c )生产函数是柯布—道格拉斯型的()f k k α=,并且资本份额α上升的影响 由于持平投资线的斜率为()n g δ++,因此α上升对持平投资线没有影响。由于实际投资线为()sf k ,而()f k k α

=,因此ln sk sk k α

αα

?=?。当资本份额α上升时,实际投资线的变

化需要分情况讨论:对于01α<<,如果ln 0k >,或者1k >,则/0sk αα??>,即实际投资线sk α随α增加而上升,则新的实际投资线位于旧的实际投资线之上;反之,如果ln 0k <,或者01k <<,/0sk αα??<,则新的实际投资线位于旧的实际投资线之下;对于1k =,则新的实际投资线与旧的实际投资线重合。

除此之外,α上升对于k *的影响还受到s 和()n g δ++的大小的影响。如果()s n g δ>++,α的上升会使k *上升,如图1-5所示。

图1-5 资本份额α上升的影响

(d )工人们发挥更大的努力,使得对于单位有效劳动的资本的既定值,单位有效劳动的产出比以前有更高的影响:

如果修改密集形式的生产函数形式为:()sBf k ,0B >,则实际投资线为()sBf k 。 工人们更加努力的劳动,则单位有效劳动的产出比以前提高,即表现为B 上升,B 的上升会使实际投资线()sBf k 上升;持平投资线()n g k δ++并不受影响,此时,k 也从k *上

升到NEW k *

,如图1-6所示。

图1-6 单位有效产出比以前更高的影响

1.4 考虑一个具有技术进步但无人口增长的经济,其正处在平衡增长路径上。现在假设工人数发生了一次跳跃。

(a )在跳跃时刻每单位有效劳动的产出是上升、下降还是保持不变?为什么?

(b )在新工人出现时,每单位有效劳动的产出发生初始变化(如果存在的话)之后,单位有效劳动的产出是否存在任何进一步的变化?如果发生变化,其将上升还是下降?为什么?

(c )一旦经济再次达到平衡增长路径,此时的每单位有效劳动的产出是高于、低于还是等于新工人出现之前的每单位有效劳动的产出?为什么?

答:(a )假定在0t 时刻,工人数量发生了一次离散的上升,这使得每单位有效劳动的投资数量从k *下降到NEW k 。从/k K AL =这一式子中可以看出,由于L 上升,而K 和A 则没有变化,因此,k 会下降。因为()0f k '>,所以每单位有效劳动的投资数量的下降会降低每单位有效劳动的产出。在图1-7中,y 从y *下降到NEW y 。

图1-7 单位有效劳动数量降低的影响

(b )在NEW k 处,每单位有效劳动的投资超过了每单位有效劳动的持平投资,即:()()NEW NEW sf k g k δ+>。在NEW k 处,经济中储蓄和投资超过了折旧和技术进步所需要的投资

数量,因此k 开始上升。随着每单位有效劳动的资本上升,每单位有效劳动的产出也会上升。

因此,y 从NEW y 返回到y *。

(c )每单位有效劳动的资本会持续不断的上升,直到返回到原先的资本水平k *。在k *

处,每单位有效劳动的投资恰好与持平投资相等,即:每单位有效劳动的投资抵消了折旧和技术进步所需要的投资数量。一旦经济返回到平衡增长路径,k 便会返回到k *处,从而每单位有效劳动的产出也会返回到原先的水平。所以,一旦经济再次达到平衡增长路径,每单位有效劳动的产出等于新工人出现之前的产出。

1.5 设生产函数是柯布—道格拉斯型的。

(a )找出作为模型参数s 、n 、δ、g 和α的函数的k *、y *与c *的表达式。 (b )k 的黄金律值是什么?

(c )获得黄金律资本存量所需的储蓄是什么? 解:(a )下式描述了每单位有效劳动的资本的动态方程式:

定义柯布—道格拉斯生产函数为:()f k k α=,将其代入上式,有下式:

在平衡增长路径处,每单位有效劳动的投资恰好与每单位有效劳动持平投资相等,从而k 保持不变,则有下面结果:

()sk n g k αδ**=++

从上式可以解出:

()()

1/1k =s /n+g +αδ-*????

(1)

下面求解平衡增长路径处的每单位有效劳动的产出水平y *:

将方程(1)代入()f k k α=,则可以解出平衡增长路径处的每单位有效劳动的产出水平

y *:

()()

/1*/g y s n ααδ-=++????

(2)

下面求解平衡增长路径处的每单位有效劳动的消费水平c *。

将方程(2)代入()1c s y **=-,则可以求得平衡增长路径处的每单位有效劳动的消费水平为:

()()()

/11/*c =s s n g ααδ--++????

(3)

综合上述方程(1)、(2)和(3)可以解出k *、y *与c *关于模型参数s 、n 、δ、g 和α

的函数表达式。

(b )黄金率的资本存量水平是指每单位有效劳动的消费水平达到最大化时的资本存量水平。考察这一指标的意义在于考察社会的福利水平,这也是经济学一切分析的核心所在,比考察资本、产出等经济变量更有意义。

由方程(1)可以解出s ,即:

()1s =n+g +k αδ*- (4)

将上式代入方程(3),有下式:

()()()()

/1111c =n+g +K n+g +K /n+g +αααα

δδδ-**-*-????-????

上式可以简化为:

()***c =k n+g +d k α- (5)

即每单位有效劳动的消费等于每单位有效劳动的产出减去每单位有效劳动的实际投资,

而均衡状态时,每单位有效劳动的实际投资等于每单位有效劳动的持平投资。

下面求*c 关于*k 的最优化,可以由(5)得出:

()***1/0c k k n+g +ααδ-??=-=

再简化为:()*1=a ak n+g +δ- (6) 方程(6)的定义暗含了黄金规则的资本水平。其中,方程(6)左边,因为()*1*a k f k α-'=,则,()()*f k n g δ'=++表明生产函数的斜率等于持平投资的斜率。

可以由方程(6)解出黄金规则要求的最佳资本水平,即k 的黄金律值:

()()

1/1*GR k /n+g +ααδ-=????

(7)

(c )将方程(7)代入方程(4)即可以得到黄金规则所要求的资本水平:

()()()()

1/1GR s =n+g +/n+g +ααδαδ--????

进一步简化为:

GR s α= (8) 由方程(8)可以得出:对于柯布—道格拉斯生产函数,黄金规则所要求的储蓄率等于产出的资本弹性,也即资本的产出份额。

1.6 考虑一个正处在平衡增长路径上的索洛经济。为了简化分析,假设不存在技术进步并且现在人口增长率下降。

(a )每个工人平均资本、每个工人平均产出与每个工人平均消费等的均衡增长路径的值发生了什么变化?描述这些经济变量移向其新平衡增长路径的路径。

(b )描述人口增长的下降对产出(即总产出而非每个工人平均产出的)路径的影响。 答:(a )由于不存在技术进步,这里可以不考虑技术因素,将每单位有效劳动简化为平均劳动,定义:/y Y L =,/k K L =。

由于持平投资线的斜率为()n δ+,因此,人口增长率n 的下降会使持平投资线的斜率变

小,持平投资线更加平坦。每个工人平均资本的动态方程为:

由于n 下降,这会导致k 变为正数(在平衡增长路径上,k

为0,即资本存量处于最佳水平)。在*k 处,每个工人平均实际投资()*sf k 超过了每个工人平均持平投资()*NEW n k δ+,

因而,*k 会增加,移向*NEW k ,如图1-8所示。

图1-8 人口增长率下降对每个工人平均稳态资本、平均稳态产出的影响 随着每个工人平均资本的增加,由()y f k =可以知道每工人平均产出会上升。又因为()1c s y =-,由于s 不变,而y 上升,因此每个工人平均消费会上升。如图1-9所示。

其中,图1-9(1)为每个工人平均资本的变化图,图1-9(2)为每个工人平均产出的变化图,图1-9(3)为每个工人平均消费的变化图。

图1-9 每个工人平均资本、产出、消费的变化

(b )由定义Y Ly =,则Y 的增长率为///Y L Y L y y =+

。在开始的平衡增长路径上,y

/0y =,因此,//Y Y L L n ==

,在最终的平衡增长路径上,//NEW Y Y L L n n ==<

。因此,

人口增长的下降会导致总产出的增长率下降,如图1-10所示。

图1-10 总产出增长率的下降

1.7 找出平衡增长路径上每单位有效劳动的产出y *关于人口增长率n 的弹性。如果

()*1/3K k α=、2%g =以及3%δ=,n 由2%下降至1%将会y *使提高多少?

解:由于()y f k **=,所以对该式两边对n 求导数,有下式的结果:

()()//y n f k k n ***'??=?? (1)

而/k n *

??值可以从资本的动态方程式()()k sf k n g k δ=-++

中寻找。在平衡增长路径

上,0k =

,k k *=,因此有:()()**sf k n g k δ=++,对两边关于n 求导,得到下式:

求解可得:

(2)

将方程(2)代入(1)式,得:

(3)

由()()**sf k n g k δ=++求解s ,可得:

()()**/s n g d k f k =++ (4)

将方程(4)代入(3)式,可得:

求*y 关于n 的弹性形式:

(5)

产出的资本弹性为()()()****/K k f k k f k α'=,代入(5)式:

(6)

将()*1/3K k α=、2%g =以及3%δ=,n 由2%下降至1%代入,

其中n 取中值,为0.015,有下式的结果:

因此,n 由2%下降至1%,下降了50%,则产出会上升6%(12%50%6%?=)。可以发

现,人口增长率的大幅度下降并不会导致产出的大幅度增长。

上述结论有着极其重要的价值。在索洛模型中,在解释经济增长的原因时,索洛从资本的角度加以解释,但他发现,资本的差异既不能解释人类历史上长期的增长,也不能解释跨国之间的差距。在索洛模型看来,导致经济增长最主要的原因在于有效劳动。本题则从劳动数量的角度解释增长,发现效果并不明显。

1.8 设在美国,投资所占产出的份额永久性地由0.15上升至0.18,并设资本份额为1/3。

(a )相对于投资不上升的情形,产出最终大约上升多少? (b )相对于投资不上升的情形,消费大约上升多少?

(c )投资增加对消费的直接影响是什么?消费要恢复到不存在投资增长时的水平,需要花费多长时间?

解:(a )投资所占产出的份额永久性地由0.15上升至0.18,上升20%,表明储蓄率上升了20%。由教材(1.27)可以知道产出关于储蓄的弹性公式为:

()*K k α为产出的资本弹性,这里假设市场是完全竞争的,不存在市场扭曲,资本取其

边际产品,即产出的资本弹性近似等于资本份额。将()*1/3K k α=代入上述公式,得:

可以看出,产出关于储蓄的弹性为1/2,则储蓄率上升20%,产出会上升10%。

(b )由于储蓄率上升,因此尽管产出上升了10%,但消费并不会上升10%,而会更小一些。在此需要求出消费的储蓄弹性。

由于()**1c s y =-,对此式两边关于s 求导数,得:

等式两边都乘以*s ,得到弹性形式如下:

在等式右边,将()**1c s y =-替代,化简得:

该式第二项为产出的储蓄弹性,由(a )可知为1/2,投资所占产出的份额永久性地由0.15上升至0.18,即储蓄s 份额也由0.15上升至0.18,取中值为0.165,代入上述公式,得:

因此,消费关于储蓄的弹性为0.3,投资所占产出的份额永久性上升20%,可以使消费上升6%(0.30.20.06?=)。

(c )投资增加对消费的直接影响是使消费立即下降。原因在于,()**1c s y =-,在初始平衡增长路径上,*y 保持不变,而s 则由0.15上升到0.18,即1s -由0.85下降到0.82,下降了0.035。因此,投资增加会立刻导致消费下降0.035。

下面使用校准的方法来检验消费的收敛速度。

s 在发生一次性上升后便保持不变,因而消费在新的平衡增长路径上会保持不变。在教材上第17页讨论了k 和y 的收敛速度。首先定义k 的动态方程式:

()()k sf k n g k δ=-++

,在平衡增长路径上,k 为0,取()k k

在*k k =上的一阶泰勒展

开:

令()/k k

k k k

λ*

==-??

,有下式:

()()*

k t k t k λ??--??

()*k t k -的平衡增长路径为:

()()**

0t k t k e k k λ-??+-??

在*k k =求解λ:

因为()n g δ++为6%,而1/3K α=,可以得出λ为4%。这意味着k 和y 每年向平衡增长路径移动4%。由于()1c s y *

=-,因此消费也以稳定的速率向稳定点移动。可以推出下式:

再次简化为:

由题目可知,消费先下降3.5%,而后再上升6%,因此它将移动9.5%。消费必须移动36.8%(3.5%/9.5%36.8%=)才能到达新的平衡增长路径。这意味着到达新平衡增长路径的距离是原距离的63.2%。为了决定收敛的速度,有下面的式子:

*0.632t e λ-=

两边取对数,有:()*

ln 0.632t λ-=。

求得下面的结果:

*0.459/0.04011.5t ==(年)

因此,消费要恢复到不存在投资增长时的水平,需花费11.5年。

1.9 索洛模型中的要素支付。假设劳动与资本均按其边际产品支付。令w 表示 ()/F K AL L ? ?,,且r 表示()F K AL /K δ? ?-????,。

(a )证明劳动的边际产品w 是()()A f k kf k '-????。

(b )证明如果资本与劳动均按其边际产品支付,那么不变的规模报酬意味着生产要素的总支付量等于总的净产出,即证明在不变的规模报酬条件下,()wL rK F K AL K δ+= -,。

(c )随着产出份额被支付给资本与劳动,资本报酬(r )大致也不随时间而变化。处在平衡增长路径上的索洛经济展现这些特征吗?处在均衡增长路径上的w 与r 的增长率是多少?

(d )假设经济由一个数量为*

k k <的水平开始。随着k 移向*k ,w 是否以大于、小于或等于其处在平衡增长路径时的增长率的速率增长?r 会怎样呢?

答:(a )劳动的边际产品为:()/W =F K AL L ? ?, 生产函数为:

()()/Y =ALf k =ALf K AL

两边关于L 取导数:

()()()()()()()2

///W Y L ALf K K AL Af k A K AL f k f k A f k kf k '''??=??=-+=-+=-?

?????????(1) 即:

()()W A f k kf k '=-????

(b )资本的边际产品为:

()r =F K AL /K δ? ?-????,

生产函数为:()()Y=/ALf k ALf K AL =,两边关于K 取导数:

()()[]()/1/r Y K ALf k AL f k δδδ''=??-=-=- (2) 将方程(1)和(2)代入wL rK +,得:

()()()()()[]()/wL rK A f k kf k L f k K ALf k f k K AL AL f k K K δδ''''+=-+-=-+-????????

简化为:

()()()()()+/1wL rK ALf k f k K f k K K ALf k K ALF K AL K δδδ''+=--=-= -,

因为不变的规模报酬条件下,()()ALF K/AL =F K AL 1 ,,,所以有下式:

()()/wL rL F ALK AL AL K F K AL K δδ+= -= -,, (3) (c )(2)式中()r f k δ='-,因为δ保持不变,而k 在平衡增长路径上也保持不变,因

此()f k '不变,r 也将保持不变。这意味着0r

r

=

,从而资本回报率在索洛模型中保持不变。

资本的产出份额为

rK

Y

,求其增长率如下:

在平衡增长路径上,资本的产出份额保持不变。因为资本的产出份额与劳动的产出份额之和为1,因此,劳动的产出份额也保持不变。

下面求在平衡增长路径上劳动的边际产品增长率。 劳动的边际产品是:

()()w A f k kf k =-'????

两边取对数求劳动的增长率:

在平衡增长路径上,0k =

,因此w

g w

=

,即劳动的边际产品的增长率为有效劳动增长率。

(d )由(c )知()()()

kf k k

g f k kf k

w

w ''-=-'+

。因为()0f k ''<,如果0k >

,则式中第二项为正,

当*k k <时,0k >

,w

g w

>

,因此劳动的边际产品增长率比平衡增长路径时更快。

资本的边际产品的增长率为:

当k 向*k 移动时,0k >

,而()0f k ''<,因此0r

r

<

,从而资本的边际产品的增长率下降。

1.10 假设像习题1.9中的一样,资本与劳动按其边际产品获得收益。此外,假设一切资本收入被储蓄且所有劳动收入被消费。因此,()/F K AL K K K K δ? ?????=-

,。 (a )证明这种经济收敛于平衡增长路径。

(b )处在平衡增长路径上的k 大于、小于或等于k 的黄金律水平吗?关于这个结论的直觉是什么?

答:(a )下面证明该经济可以收敛于平衡增长路径。 由/k K AL =,对其两边关于时间求导,可得:

(1)

将()/=K F K AL K K K δ? ?-????

,,=L n L 和A

g A

=

代入方程(1),可得:

(2)

将()()/F K AL K f k '? ?=,代入方程(2),可得:

()()k f k n g k δ'=-++????

(3)

当=0k

时,每单位有效劳动保持不变。即()()=0f k n g δ'-++????,因此平衡增长路径上的每单位有效劳动的资本可以由()()=0f k n g δ'-++????潜在地决定。

/k K AL =,由于在平衡增长路径上k 保持不变,因此,K 必须与AL 保持同样的增长速度。AL 的增长速度为n g +,所以K 的增长速度为n g +。由于生产函数是规模报酬不变的,

因此,在平衡增长路径上每单位有效劳动的产出增长速度也必须是n g +。

综合上述,可以发现所有变量增长速度均不变。 下面证明经济收敛于平衡增长路径。

在*k k =时,()()=0f k n g δ'-++,此时经济处于平衡增长路径上。如果*k k >,由于()0f k ''<,所以0k <

,则经济向下偏离平衡增长路径;反之,如果*k k <,则0k >

,经济

向上偏离平衡增长路径。所以,不管初始的k 如何,经济都将收敛于平衡增长路径,此时 ,所有的经济变量都以不变的速率增长。

(b )满足黄金规则的资本水平是指每单位有效劳动的消费的最大化资本水平,即()()GR f k n g δ'=++。此刻满足生产函数的斜率等于持平投资线的斜率。而这正是经济收敛

到均衡增长路径时k 的水平,这时所有的资本收入被储蓄,所有的劳动收入被消费。

在本模型中,将资本的贡献(资本的边际产品乘以资本的数量)储蓄起来。如果资本的贡献超过持平投资,即()()kf k n g k δ'++>,则k 上升;反之,如果()()kf k n g k δ'<++,则

k 下降。因此,经济收敛于()()kf k n g k δ'=++,或者()()f k n g δ'=++这一点上,此刻经

济收敛于平衡增长路径。

1.11 利用与式(1.28)~(1.31)中相类似的步骤分析,在平衡增长路径附近,y 如何快速地收敛于*y 。[提示:由于()y f k =,可以写出()k g y =,其中()()1g f -= 。]

答:首先,由()y f k =求反函数可得,()1k f y -=,令()()-1k g y f y ==,即k 可以表示成y 的函数;又由于在索洛模型中,y

是由k 的值所决定的,因而y

可以表示为k 的函数,从而可以表示为y 的函数,即有:()y y y = 。特别地,当*

k k =时,()0y y y *==

函数()y y y =

在*y y =处的一阶泰勒展式为:

(1)

令()/y y

y y y

λ*

==-??

,则上式可以简化为:

()()*

Y t y t y λ??--??

(2) 方程(2)表明,在平衡增长路径附近,y 移向*y 的速度几乎与y 和*y 之间的距离成比例。也就是说,()*y t y -的增长率近似于一个固定的常数λ,这意味着

()()**

0y t y e t y y λ??+--?? (3)

其中,()0y 是y 的初始值。

其次,确定λ的值。对生产函数()y f k =两端关于时间t 求导数可得:

()y f k k '=

(4)

而教材中资本积累的方程为:

()()k sf k n g k δ=-++

(5)

由方程(4)和(5)可得:

()()()'y f k sf k n g k δ=-++????

(6) 方程(6)两端对k 求导可得:

()()()()()()y

f k sf k n

g k f k sf k n g k

δδ?''''=-+++-++?????????

(7) 在平衡增长路径上,()()**sf k n g k δ=++,因而方程(7)可以表示为:

(8)

由于()k g y =,其中()()1g f -= ,从而有:

(9)

由方程(8)和(9)可得:

综上可得: (10)

因为在平衡增长路径上,()()**/s n g k f k δ=++,从而方程(10)可以表示为:

(11)

又由于()()/kf k f k αK ≡',所以方程(11)可以简化为:

综上所述,在平衡增长路径附近,y 以近似于()()

*

1K k n g αδ??-++??的不变速度收敛于平衡增长路径值。

1.12 物化(embodied )的技术进步(索洛,1960;萨托,1966)。有关技术进步的一种观点是,在t 时刻建立的资本品的生产力依存于t 时刻的技术状态,并且不受后续技术进步的影响。这便是众所共知的物化的技术进步(技术进步在其可提高产出之前,必须“物化”在新资本中)。这个习题要求去探讨其效应。

(a )作为一个前提,把基本的索洛模型修改为技术进步是资本增加型的而非劳动增加型的,使得一个平衡增长路径存在。假设生产函数是柯布—道格拉斯型的,

()()()()

1Y t A t K t L t α

α

-=????。假设A 以如下的速率μ增长:()()A t A t μ=

证明经济收敛于平衡增长路径,并且求出平衡增长路径上的Y 与K 的增长率。(提示:证明可把()/Y A L φ写成()/K A L φ的函数,这里 ()/1φαα=-,然后分析()/K A L φ的动态学。)

(b )现在考虑物化的技术进步。特别地,设生产函数为()()()

1Y t J t L t αα

-=,式中()

J t 是有效资本存量,()J t 的动态学为()()()()J t sA t Y t J t δ=-

。在这个表达式中()A t 的出现意

味着在t 时刻,投资的生产力依存t 时刻的技术。

证明经济收敛于平衡增长路径。在平衡增长路径上,Y 与J 的增长率是多少?(提示:令()()()/J t J t A t =。然后利用像(a )一样的分析方法,主要集中于用()/J A L φ替代()/K A L φ。

(c )在平衡增长路径上,产出关于s 的弹性是什么?

(d )在平衡增长路径邻近区域,经济怎样快速地收敛于平衡增长路径?

(e )将(c )与(d )中得出的结论与课文中基本的索洛模型得出的相应结论进行比较。 答:(a )A 以()Y F K AL =,的形式进入,则技术进步为哈罗德中性的;A 以()Y F AK L =,的形式进入,则技术进步为资本增加型的;A 以()Y AF K L =,的形式进入,

则技术进步为希克斯中性的。本题为第二种情况。 资本增进型的技术进步的生产函数的形式为:

()()()()

1Y t A t K t L t α

α

-=???? (1)

在方程(1)左右两边同时除以()

()

()/1A t L t αα-,可得:

上式再简化为:

定义:()/1φαα=-,()()()()/k t K t A t L t φ=及()()()()/y t Y t A t L t φ

=,代入上式,可得:

()()

y t k t α

= (2) 为求k 的动态学,将()()()()/k t K t A t L t φ

=)两边求导数得:

即:

将()()()()/k t K t A t L t φ

=,()()/A t A t μ= 及()()/L t L t n =

代入上式,可得:

()()()()()()k t K t /A t L t +n k t φ

φμ=-

(3)

总资本存量的动态方程式为:

()()()K t sY t K t δ=-

(4)

将方程(4)代入(3),可得:

()()()()()()()()()()()()//k t sY t A t L t K t A t L t n k t sy t n k t φ

φ

δφμφμδ=--+=-++

将方程(2)代入上式,可得:

()()()()k t sk t n k t α

φμδ=-++

(5)

方程(5)与索洛模型(劳动增进型)中的资本动态方程非常相似。不过,本模型用()()A t L t φ

而不是用有效劳动()()A t L t )来衡量资本。图1-11是k 的变化图。

图1-11 k 收敛于*k

当每单位()()A t L t φ的实际投资超过每单位()()A t L t φ

的持平投资()()n k t φμδ++时,k 将上升趋向于*k ;反之,当每单位()()A t L t φ

的实际投资小于每单位()()A t L t φ

的持平投资

()()n k t φμδ++时,k 将下降趋向于*k 。忽略k 为0的情况,经济将在*k k =时收敛到平衡

增长路径。因为()()y t k t α

=,所以当*k k =时,y 也将保持不变。

再分析总的情况:总资本K 为A Lk φ,由于k 保持不变,因此k 的增长率为n φμ+;同理,总产出Y 为A Ly φ,由于y 保持不变,因此Y 的增长率为n φμ+。由于A 和L 被假定按既定的速率增长,因此,由于所有的变量均按既定的速率增长,经济收敛到平衡增长路径。 (b )考虑物化的技术进步的情况。 生产函数的形式为:

()()()

1Y t J t L t α

α

-= (6)

定义()()()/J t J t A t =,代入方程(6),生产函数的形式可以重写为:

()()()()__

1Y t A t J t L t α

α-??

=????

(7)

对方程(7)两边同时除以()

()/1A t L t αα

-,得:

(8)

定义()/1φαα=-,()()()()/j t J t A t L t φ

=及()()()()/y t Y t A t L t φ

=,代入方程(8),可

得:

()()y t j t α

= (9)

为分析()j t 的动态学,对()()()()/j t J t A t L t φ

=两边取导数,即:

将()()()()/j t J t A t L t φ

=,()()/A t A t μ= 及()()/L t L t n =

代入上式,可得:

()()()()()()/j t J t A t L t n j t φ

φμ=-+

(10)

为求得()J t

表达式,对()()()/J t J t A t =两边取导数,即:

将()()()/J t J t A t =,()()/A t A t μ= 及()()()J t sA t Y t J t δ??=- ???

代入上式,可得:

上式再简化为:

()()()J sY t J t μδ=-+

(11)

将方程(11)代入(10),可得:

将()()y t j t α

=代入上式,可得:

()()()()1j t s j t n j t α

δμφ=-+++????

(12)

索洛经济增长模型

索洛经济增长模型(Solow Growth Model) 索洛经济增长模型概述 索洛经济增长模型(Solow Growth Model)是罗伯特·索洛所提出的发展经济学中著名的模型,又称作新古典经济增长模型、外生经济增长模型,是在新古典经济学框架内的经济增长模型。 正当1987年世界股票市场暴跌之时,瑞典皇家科学院宣布该年度诺贝尔经济学奖授于一直与里根政府的经济政策唱反调,主张政府必须有效地干预市场经济的美国麻省理工学院教授罗伯特·索洛(Robert M·Solow)许多经济学界人士认为,纽约股票市场的这场大动荡,恰恰证实了索洛坚持的理论,使他的经济增长理论成为当今世界热门研究课题之一。可是,他的这一理论———表明各种不同因素是如何对经济增长和发展产生影响的长期经济增长模型,早在30年前他在一篇题为《对经济增长理论的贡献》的论文中就提出来了。[1] 索洛模型变量外生变量:储蓄率、人口增长率、技术进步率内生变量:投资

索洛模型的数学公式 模型的基本假定[1] 索洛在构建他的经济增长模型时,既汲取了哈罗德—多马经济增长模型的优点,又屏弃了后者的那些令人疑惑的假设条件。 索洛认为,哈罗德—多马模型只不过是一种长期经济体系中的“刀刃平衡”,其中,储蓄率、资本—产出比率和劳动力增长率是主要参数。这些参数值若稍有偏离,其结果不是增加失业,就是导致长期通货彭胀。用哈罗德的话来说,这种“刀刃平衡”是以保证增长率(用Gw表示,它取决于家庭和企业的储蓄与投资的习惯)和自然增长率(用Gn表示,在技术不变的情况下,它取决于劳动力的增加)的相等来支撑的。 索洛指出,Gw和Gn之间的这种脆弱的平衡,关健在于哈罗德—多马模型的劳动力不能取代资本,生产中的劳动力与资本比例是固定的假设。倘若放弃这种假设,Gw和Gn之间的“刀刃平衡”也就随之消失。基于这一思路,索洛建立了一种没有固定生产比例假设的长期增长模型。 该模型的假设条件包括:

关于索洛模型的深度解析

关于“新古典经济增长理论(索洛模型)”的理解 1/ 哈罗德与多马两位经济学者假定生产过程中的资本-产出比保持不变,从而得出经济系统不能自行趋于稳定的结论。但在二十世纪五十年代,托宾、索洛、斯旺和米德等人则分别证明,如果放弃资本-产出比保持不变的假定,也即假定资本与劳动之间完全可替代,则经济系统会自行趋于充分就业的均衡。这一结论与凯恩斯学派之前的古典学派的观点一致,所以西方经济学将这几位经济学家的相似论证统称为新 古 典经济增长理论。 我们用Y表示某经济系统的产出量,L表示该经济系统的劳动投入量,K表示该经济系统的资本投入 量,A表示该经济系统的技术水平,则经由柯布道格拉斯生产函数,我们有: 产出的增量(△Y)=资本的边际产量×资本投入的增量(△K)+劳动的边际产量×劳动投入的增量(△L)+技术水平的边际产量×技术进步的增量(△A) 在上式两边同除以产量Y,并在等号右边第一项的分子分母同乘以K、第二项的分子分母同乘以L,从而有: 经济增长率=资本投入的产出弹性×资本投入的增长率+劳动投入的产出弹性×劳动投入的增长率+ 技术进 步率. 根据经济理论,当生产要素市场实现均衡的时候,生产要素的价格应该等于它的边际产量,因此,“资本投入的产出弹性”和“劳动投入的产出弹性”分别相当于资本和劳动这两种生产要素的所有者在国民收入中所享 有的份额。 例如,具体地假定某经济系统的(C-D)生产函数为Y=A(K^a)(L^(1-a)),其中,a为正参数(资本投入的产出弹性或资本生产要素在国民收入中所享有的份额)。显然,这是一个线性齐次生产函数,这意味着我们隐含地假定该经济系统正处于规模报酬不变的状态。我们对这个具体形式的生产函数先求自然对数、再求微分,最终可得:人均产出的增长率=人均资本存量的增长率×a+技术进步率。可见,人均经济增长率的高低取决于人均资本存量的增长率和技术进步的速度。现在假定经济系统已经处于均衡状态,即投资需求(I)=储蓄(S)。再假定储蓄函数为S=sY,并且假定不存在设备更新问题,则有S =I=△K=sY。 如果再假定技术水平不变,则根据“经济增长率=资本投入的产出弹性×资本投入的增长率+劳动投入的产出弹性×劳动投入的增长率+ 科学技术进步率”,有:经济增长率=a×资本投入的增长率+(1-a)×劳动投入的增长率。进而有:经济增长率=a(△K/K)+(1-a)×劳动投入的增长率;经济增长率=a(sY/K)+(1-a)×劳动投入的增长率。再考虑到资本投入的产出弹性a=(△Y/Y)/(△K/K),因而有:经济增长率=s(△Y/△K)+(1-a)×劳动投入的增长率。上式中,(△Y/△K)相当于哈罗德模型中的资本-产出比(v)的倒数。可见,若再假定劳动投入的数量既定,则有:经济增长率=s(△Y/△K)=s/v。这一结果与哈罗德-多马模型的结论一致。 2/ 不过,新古典经济增长模型认为,产量与资本投入之间的技术关系,进而劳动投入的数量不会固定不变。这样一来,如果“经济增长率>资本投入的增长率”,即产量的增长速度快于资本存量的增长速度,则说明资本的生产效率较高,这会刺激企业以资本替代劳动。这一过程的结果会导致资本的边际产量递减,伴随着劳动投入增长率的下降,最终经济增长的速度会趋于减缓。反之,如果“经济增长率<资本投入的增长率”,即产量的增长速度低于资本存量的增长速度,则说明资本的生产效率较低,这会刺激企业以劳动替代资本。这一过程的结果会导致资本的边际产量随着劳动投入增长率的提高而递增,最终经济增长的速度会趋于加速。可见,只有在“经济增长率=资本投入的增长率” 的时候,企业才不存在调整资本存量的意愿,从而劳动投入也会固定,从而生产要素投入的比例也就稳定下来。因此,当经济系统实现均衡的

索洛模型应用

网游中的索洛增长模型 摘要 网游是游戏的一种,但其仍有极其符合科学的经济学系统,或者说正是由于网游有着科学的经济体系,游戏才能毫无差错的运营下去,虽然其中参杂了运营商盈利的目的。有人说:生活是一面镜子。有了现实中的经济学这门镜子,我们才能认清网游中打怪升级的本质,才能不一昧沉迷于它。理性的看待任何问题,我想这是经济学给我们带来的启示。 关键词:网游,索洛增长模型 引言 自从2001年的“传奇”以来,网游行业迅速发展。直至如今,已经形成了可谓之百花齐放的盛况。而网游的本质,是玩家与玩家之间的互动。常言道:有人的地方就有经济学。网游作为一个人与人之间的社交平台,必定也存在着各类的经济学现象。现象虽然各不相同,但究其本质,却毫无例外。现在,我将来探讨一下网络游戏中的索洛增长模型。 网游中的索洛增长模型 首先来讨论一个较为简单的情况,假设有一个网游,名字为A。在我们的假设中,我们先将其设定为一个封闭且固定的游戏,即玩家或其他外部力量不能对其进行经济上干预(如点卡充值等)且玩家不会升级且没有新玩家加入的游戏(类似于课本中的封闭模型)。 其次,定义网络游戏中的几个行为。众所周知,网游中没有类似于工作的行为,玩家获得金币(即货币)的手段暂定为刷怪,即收入源自于刷怪。而刷怪中所获得的收益又可以分为两部分,其一,玩家刷怪时付出的肉体和精神上的劳动,与我们所学公式中的L相对应;其二,玩家刷怪所持装备和自身技能对于刷怪所付出的劳动,对应我们所学公式中的K。 当玩家刷怪完后,玩家会获得自己金币上的收入,对应我们所学公式中的Y。对于这部分收入,玩家将有两个选择,储蓄与消费,分别对应我们所学公式中的S与C。储蓄即为将所得金币购买装备或暂时不用,消费即为将金币用于购买消耗性物品或者用于其他娱乐项目,这其中,用于购买装备所花费的资金我们称之为投资,用于对应公式中的I。 在大部分网游中,对于装备都有一个耐久度的设定,即装备在用到一定次数之后就会损毁,此时只能对其进行维修或者购置新的装备,总之得花钱。而耐久度这一参数衍生出来的折损率我们对应公式中的&。 在介绍完了各个参数之后,对他们进行分析。由于我们分析的是该网游总体的经济状况,因此我们将以上参数全部转化为人均值,即y,k,s,c,i.于是依照书上的公式,我们最后可以得出结论,在 sf(k)=&k 时,玩家的k达到最大。 上面的公式得出的结论:当玩家刷怪刷到一定程度,装备发展到一个适当的阶段时,玩家将不再能进行装备更新。因为根据公式,在L不变时,这个阶段的I与&k是相等的。

《索洛增长模型》

第一章 索洛增长模型 一、索洛模型的介绍与一些前提假设条件 该模型是经济学家传统上用于分析经济增长的主要模型。几乎对于所有有关增长的分析而言,索洛模型是其起点。理解该模型实质上便是理解增长理论。但该模型也存在缺陷:它不能解释不同时间上人均产出的巨大增长,也无法解释地域上不同人均产出的巨大差距。(按边际产品取得收益的传统途径)。 ()((),()())Y t F K t A t L t = 假设:(1)生产函数关于两个自变量是规模报酬不变的,即资本与有效劳动是规模报酬不变的((,)(,),0)F cK cAL cF K AL c =?≥;(2)除资本、劳动与知识以外的其他投入是相对不重要的,特别地,模型忽略了土地与其他自然资源。 规模报酬不变的假设可以让我们利用紧凑形式的生产函数进行分析: 当11/,(,)(,)( ,1)(,)K c AL F cK cAL cF K AL F F K AL AL AL ==?=,其中, K AL 是单位有效劳动的资本量,1(,)F K AL AL 是单位有效劳动的产出。 定义K k AL =,/y Y AL =,及(,1)y F k =()y f k ?=,即把单位有效劳动的产出写成单位有效劳动的资本量的函数。 [人均收入:/(/)()Y L A Y AL Af k ==] 紧凑型生产函数()f k 假定满足(0)0f =,' ()0f k >,'' ()0f k <。因为: '(,)(/)(,)/(/)(1/)F K AL ALf K AL F K AL K ALf K AL AL =???='()f k = '()0f k >,''()0f k <的假设意味着资本的边际产品为正,但它随每单位有效劳动的资 本量的增加而下降。另()f ?被假设满足稻田条件:'' 0lim (),lim ()0k k f k f k →→∞=∞=, 其意思是在资本存量充分小量资本的边际产品是十分大的,而当资本存量变大时,资本的边际产品变得十分小。,它是确保经济的路径并不发散。 (举例柯布-道格拉斯生产函数,说明满足稻田条件的意义) 二、生产投入的时间变化描述 资本、劳动与知识的初始水平给定的,劳动与知识以不变的增长率增长: ()()L t nL t ?=,()()A t gA t ? =(n 与g 是外生参数,而变量上的一点表示关于时间的一 个导数,()()/L t dL t dt ? =,为变量的变化率。而变量的增长率指其变化的速率,它等于其 自然对数的变化率,如,ln ()()1ln ()/()()() d L t dL t n d L t dt L t dL t dt L t ? == =。ln ()ln (0)L t L nt ?=+

第11章 新古典增长理论-索洛模型(讲义版)

第十一章 新古典增长理论——索洛模型(3) 本次授课框架: 总结波动理论,引出增长理论。 增长方程推导及对增长因素的讨论(包括索洛剩余) (1) 增长方程推导(总量形式),假设条件 (2) 人均形式生产函数 (3) 总量与人均量之间的关系 索洛稳态方程推导过程 (1) 索洛稳态定义 (2) 根据均衡条件的推导 (3) 稳态条件的存在性讨论(生产函数假设,INADA 条件) (4) 储蓄线和投资持平线(补偿线)相互关系的讨论解释稳态调整路径 比较静态分析 (1) 储蓄率增加情况 (2) 人口增长率增加情况 总结“新古典增长理论”的关键结论(影响总量、人均增长率的因素(结合储蓄率)与各国收入趋同论) 新古典增长理论评价 一、增长方程推导 假设生产函数: N N N K AF N N K AF N K K N K AF K N K AF K A A Y Y N K AF Y ???*+???* +?=?=),(),(),(),() ,( 假设 产品市场、要素市场完全竞争,规模收益不变1。根据欧拉定理: 1 对规模收益不变(Constant Return of Scale ,简称CRS )的理解。第一,经济规模足够大,以至于来自专业化分工的收益(gains from specialization )已不存在。当资本和劳动增加一倍时,只能重复原有的工作效率和工作方式,使产出翻倍而不能带来更多;第二,强调资本和劳动对产出的重要性,其他因素如自然资源的相对次要地位。本章的一道作业题也表明这种假设的合理性,自然资源对经济增长的制约阻碍在一定程度上是可以被逾越的。

总量表达式2 N N K K A A Y Y N K AF N N K AF N N K AF K N K AF K ?-+?+?=?-=??*=??* )1(1),(),() ,() ,(θθθθ 总量与人均量的关系 N N k k K K N N y y Y Y ?+?=??+?=? 人均量表达式 k k A A y y ?+?=?θ 索洛发现:技术进步、劳动供给增加和资本积累按此顺序是GDP 增长的重要决定因素,而技术进步和资本积累是人均GDP 增长的重要因素。在大部分历史中,两个重要的要素,当推资本积累3(实物与人力)与技术进步。我们对增长理论的研究重点集中于这两个因素。 索洛剩余 产出增长中不能通过资本积累和劳动投入来解释的部分,可以理解为技术进步(A A ?)带来的增长。A 4有时也被称作“全要素生产率”(TFP ),这是一个比“技术进步”更为中性的术语。实证研究表明: 技术进步在产出增长中的贡献大约为80%左右。由于产出和劳动、资 本投入可以直接观察到,而A 却不能,经济学家测量“索洛剩余” A 利用:])1[(K K N N Y Y A A ?+?--?=?θθ 二、稳态分析 2 在发达国家如美国,资本的收入份额θ是0.25,劳动的收入份额θ-1是0.75。这意味着,资本年增长率如果为3个百分点,导致产出增长率还不到1个百分点。 3 如果将资本进一步细化为实物资本和人力资本(H ),生产函数将转化为:),,(N H K AF Y =。曼昆、罗默等一篇颇有影响的文章指出,生产函数中实物资本K 、非熟练劳动力N 和人力资本H 的要素份额各占1/3。 4 A 被定义为“全要素生产率”的说法,只是针对),(N K AF Y =这种生产函数形式的,这种技术进步 类型在历史上也被称作“hicks-neutral ”(希克斯中性);如果生产函数形式为),(AN K F Y =,这是的技术进步被称作劳动增广型(labor-augmenting )技术进步或“harrod-neutral ”(哈罗德中性)。如果采用这种生产函数形式,也可以推导出类似的增长方程以及索洛稳态方程。

索罗增长模型

第一章索洛经济增长模型 The Solow Growth Model

基本内容 1 索洛模型的基本假定 2 离散时间的索洛模型 3离散时间索洛模型的过渡过程4连续时间的索洛模型 5连续时间索洛模型的过渡过程6持久增长 7带技术进步的索洛模型 8比较动态分析

1 索洛模型的基本假定 ● 一个分析经济增长和各国收入差异的基本框架. ● 其核心假定是新古典总的生产函数. 家庭与生产 I ● 封闭经济,唯一的最终产品. ● 离散时间,t = 0, 1, 2, .... ● 该经济里有众多的家庭,暂时假定家庭没有优化行为. ● 这也是索罗模型与新古典增长模型的主要区别. ● 为了简化,假定各个家庭相同,可以用代表性家庭来表示. 家庭与生产II

● 假定家庭的储蓄率外生 ● 所有厂商具有相同的生产函数,可以用代表性厂商表 示. ● 对该经济中的唯一最终产品,生产函数为 (1) Y T F K t L t A t ()[(),(),()] ●假定资本与最终产品相同(比如玉米),用于生产更多 的产品. ●() A t可以理解为技术. ●主要假定: 技术是免费的; 具有非竞争性与非排他性.

关键假设1 Assumption 1 (连续性, 可微性, 边际产出为正且递减, 规 模报酬不变) 生产函数3 :F R R + +→ 关于 K 与 L 二阶连续可微, 且满足 22 22()()(,,)0 (,,)0()() (,,)0 (,,)0K L KK LL F F F K L A F K L A K L F F F K L A F K L A K L ????≡ >≡>??????≡<≡

罗默《高级宏观经济学》第课后习题详解第章索洛增长模型

罗默《高级宏观经济学》(第3版)第1章 索洛增长模型 跨考网独家整理最全经济学考研真题,经济学考研课后习题解析资料库,您可以在这里查阅历年经济学考研真题,经济学考研课后习题,经济学考研参考书等内容,更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验,从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富,这或许能帮你少走弯路,躲开一些陷阱。 以下内容为跨考网独家整理,如您还需更多考研资料,可选择经济学一对一在线咨询进行咨询。 1.1 增长率的基本性质。利用一个变量的增长率等于其对数的时间导数的事实证明: (a )两个变量乘积的增长率等于其增长率的和,即若()()()Z t X t Y t =,则 (b )两变量的比率的增长率等于其增长率的差,即若()()()Z t X t Y t =,则 (c )如果()()Z t X t α =,则()()()()//Z t Z t X t X t α= 证明:(a )因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导,那么可得下式: 因为两个变量的积的对数等于两个变量各自对数之和,所以有下式: 再简化为下面的结果: 则得到(a )的结果。 (b )因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导,那么可得下式: 因为两个变量的比率的对数等于两个变量各自对数之差,所以有下式: 再简化为下面的结果: 则得到(b )的结果。 (c )因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导,那么可得下式: 又由于()()ln ln X t X t αα??=??,其中α是常数,有下面的结果: 则得到(c )的结果。 1.2 假设某变量X 的增长率为常数且在10~t 时刻等于0a >,在1t 时刻下降为0,在12~t t 时刻逐渐由0上升到a ,在2t 时刻之后不变且等于a 。 (a )画出作为时间函数的X 的增长率的图形。 (b )画出作为时间函数的ln X 的图形。 答:(a )根据题目的规定,X 的增长率的图形如图1-1所示。 从0时刻到1t 时刻X 的增长率为常数且等于a (0a >),为图形中的第一段。X 的增长率从0上升到a ,对应于图中的第二段。从2t 时刻之后,X 的增长率再次变为a 。 图1-1 时间函数X 的增长率 (b )注意到ln X 关于时间t 的导数(即ln X 的斜率)等于X 的增长率,即: 因此,ln X 关于时间的图形如图1-2所示:从0时刻到1t 时刻,ln X 的斜率为a (0a >),

索洛经济增长模型概述

索洛经济增长模型概述 索洛经济增长模型(Solow Growth Model)是罗伯特·索洛所提出的发展经济学中著名的模型,又称作新古典经济增长模型、外生经济增长模型,是在新古典经济学框架内的经济增长模型。 正当1987年世界股票市场暴跌之时,瑞典皇家科学院宣布该年度诺贝尔经济学奖授于一直与里根政府的经济政策唱反调,主张政府必须有效地干预市场经济的美国麻省理工学院教授罗伯特·索洛(Robert M·Solow)许多经济学界人士认为,纽约股票市场的这场大动荡,恰恰证实了索洛坚持的理论,使他的经济增长理论成为当今世界热门研究课题之一。可是,他的这一理论———表明各种不同因素是如何对经济增长和发展产生影响的长期经济增长模型,早在30年前他在一篇题为《对经济增长理论的贡献》的论文中就提出来了。[1] [编辑] 索洛模型变量 ?外生变量:储蓄率、人口增长率、技术进步率 ?内生变量:投资

[编辑] 索洛模型的数学公式 [编辑] 模型的基本假定[1]

索洛在构建他的经济增长模型时,既汲取了哈罗德—多马经济增长模型的优点,又屏弃了后者的那些令人疑惑的假设条件。 索洛认为,哈罗德—多马模型只不过是一种长期经济体系中的“刀刃平衡”,其中,储蓄率、资本—产出比率和劳动力增长率是主要参数。这些参数值若稍有偏离,其结果不是增加失业,就是导致长期通货彭胀。用哈罗德的话来说,这种“刀刃平衡”是以保证增长率(用Gw表示,它取决于家庭和企业的储蓄与投资的习惯)和自然增长率(用Gn表示,在技术不变的情况下,它取决于劳动力的增加)的相等来支撑的。 索洛指出,Gw和Gn之间的这种脆弱的平衡,关健在于哈罗德—多马模型的劳动力不能取代资本,生产中的劳动力与资本比例是固定的假设。倘若放弃这种假设,Gw和Gn之间的“刀刃平衡”也就随之消失。基于这一思路,索洛建立了一种没有固定生产比例假设的长期增长模型。 该模型的假设条件包括: 1.只生产一种产品,此产品既可用于消费也可用于投资。 2.产出是一种资本折旧后的净产出,即该模型考虑资本折旧。 3.规模报酬不变,即生产函数是一阶齐次关系式。 4.两种生产要素(劳动力和资本)按其边际实物生产力付酬。 5.价格和工资是可变的。 6.劳动力永远是充分就业的。 7.劳动力与资本可相互替代。 8.存在技术进步。 在这些条件下,索洛建立的模型向人们显示出:在技术系数可变的情况下,人均资本量具有随时间推移而向均衡状态的人均资本量自行调整的倾向(图一,k1与k2逐渐趋向ko),即,当人均资本量大于其均衡状态时(k2),人均资本量会有逐渐减小的趋势,即资本的增加就会比劳动力的增加慢得多;反之,亦然。索洛是人均资本量入手集中分析均衡(即稳定状态)增长路径的。 [编辑] 模型的基本框架[1] 索洛把经济中的全部产出看成仅仅是一种产品的产出。其每年生产量用Y(t)表示,代表社会的实际收入,其中一部分被消费掉,其余部分用于储蓄和投资。用于储蓄的占总产品比例s固定

索洛模型推导

索洛模型描述的是资本、技术水平、储蓄、劳动与经济增长之间的关系。要推导索洛模型,首先来看经典的经济增长理论。 生产函数: ),(L K F A Y ?= (1) Y=实际GDP 产出 A=技术水平 K=资本存量 L=劳动力 总产出的变动可以分解成技术水平、资本、劳动三种要素的变动,故得到实际GDP 的增长率: )()(L L K K A A Y Y ?+?+?=?βα (2) 经典的增长理论假设技术水平A 已经给定,要素的边际产量递减且规模报酬为零,故(2)式可以变为: )()1()(L L K K Y Y ???+??=?αα (3) 现在来推导索洛模型。索洛模型研究的是每个工人的实际GDP (L Y y =)和每个工人的资本(L K k =)之间的关系。 将y 对Y 和L 进行全微分之后可以得到以下公式: L L Y Y y y ???=? (4) 即:每个工人的实际GDP 增长率=实际GDP 增长率—劳动增长率 同理可得: L L K K k k ???=? (5) 即:每个工人的实际GDP 增长率=资本增长率—劳动增长率 由(3)式可得: )(L L K K L L Y Y ???=???α (6) 把(4)式、(5)代入得: )(k k y y ?=?α (7) 至此,我们可以得出结论:在技术水平外生给定的条件下,每个工人的实际GDP 增长率取决于平均资本增长率。 下面再来推导决定每个工人的实际GDP 增长率的两个条件——实际GDP 增长率K K ?和劳动增长率L L ?。 我们在国民收入核算中学过,国内生产净值(NDP)等于GDP 减去资本存量的折旧。而国民收入等于国内生产净值,它又流向了两个方向:消费C 和实际储蓄。写成方程即:

索洛模型详细推导

Solow 模型之详细推导 参考资料: 戴维·罗默 《高级宏观经济学》 龚六堂 《经济增长理论》 研究生一年级 《高级宏观经济学》、《动态优化》课堂笔记 Solow 模型含四个变量:产出(Y )、资本(K ),劳动(L )、技术进步(A )。 生产函数的形式为: ()((),()())Y t F K t A t L t = 满足: ①二阶连续可微; (,)F ??②对变量非减且严格凹(即资本和劳动力的边际生产率都是递减的) ; (,)F ??③生产函数是常数规模回报的,即对任意λ>0,有 (,)(,F K AL F K AL )λλλ=, (1) 从而可得到欧拉(Euler )方程: (,)(,)(,)F K L F K L F K L K L K L ??=+??; ④生产函数满足Inada 条件,即 00lim (,),lim (,)lim (,)0lim (,)0K L K L K L K L F K L F K L F K L F K L →→→∞→∞ =∞=∞==,。 通常所讲的Cobbel-Douglas 生产函数满足此条件: ()()()()Y t A t K t L t αβ=,0,1αβ<<。 规模报酬不变的假定使我们得以使用密集形式的生产函数。 11(,1)(,)K F F K AL Y AL AL AL ==, (2) 令 K k AL =表示每单位有效劳动的平均资本数量, Y y AL =表示每单位有效劳动的平均产出 那么可将(2)式写为: (,1)()y F k f k == 假定储蓄率为,资本折旧为s δ,人口增长率既定,为L n L =&,技术进步率也既

索洛经济增长模型的进展及应用

索洛经济增长模型的进展及应用 自1956年罗伯特.索洛在其里程碑式的论文《关于经济增长理论的一篇论文》当中创建了新古典经济增长理论模型,索洛经济增长模型在以后的半个世纪当中都扮演着现代经济增长理论基石的角色。自90年代末以来,中国宏观经济学领域的研究逐步从以逻辑推理演绎为主转向更重视数理分析和模型建设,其中很大一部分理论及实证研究都是以索洛模型为主要出发点和推理根据。经过十余年的研究发展,索洛增长模型亦在诸多的实证检验和理论应用当中得到进一步修正完善和多层次多方向延伸。 一、理论基础与发展 索洛增长模型(Solow,1956)通过放弃劳动力与资本固定比例,修正了哈罗德-多马模型中的“刀刃平衡”,通过将资本、劳动和总产出之间的比例关系内生化。索洛将一般的生产函数表述为:Y=F(K,L),并在考虑技术水平变化时使用可具有希克斯中性技术进步的生产函数:Y=A(t)F(K,L)。给定储蓄率不变,最终产品与资本存量的稳态增长率都为,其中n为劳动力(人口)的增长率。索洛模型假定总储蓄率为s,资本折旧率为δ,得出资本积累方程k=sf(k)-(n+g+δ)k。在以后的经济学教科书中,以具有哈罗德中性技术进步的生产函数代替了具有希克斯中性技术进步的生产函数,修正这个模型为Y=F(K,AL)。为解释不同的经

济现象,之后的研究引入了多种索洛模型的变形。如卡斯等人建立了无限期界模型并提出使社会福利最大化的资本存量条件,索洛模型最初推导出的黄金律资本存量被修正为修正黄金律资本存量(Cass,1965),以将储蓄率内生化;引入已有资本的废弃率来考量新通用技术的出现引起的产出下降(Aghion,Howitt,2011,第九章);在索洛模型中引入人力资本因素H(t)(Mankiw,RomerandWeil,1992)等。我国亦有不少研究对索洛模型进行了理论拓展和延伸。李军(2003)、周晨和熊和平(2007)引入老龄化因素以测定老龄化程度对经济的影响;熊俊(2005)通过“希克斯中性的技术进步”、“规模报酬不变”和“完全竞争的市场结构”假设条件的放松和自变量的调整,扩展了索洛增长模型;刘海生和解江树(2005)在索洛模型中引入按技术分配,分析了非体现技术进步和体现技术进步对经济总产出的影响;李国柱(2006)引入环境约束以考察经济增长和环境污染之间的关系;何莉(2007)引入人力资本和出口依存度,以测量各省经济受对外贸易的影响;傅为忠和刘!楠(2008)通过引入随机干扰项对模型进行了改进;张谊浩和周庭佐(2011)引入相对货币供应量因素,得出新的人均产出。 二、实证研究与应用 由于索洛模型的基础作用和解释能力,经济学领域很多研究都运用该模型作为工具来解释和分析经济现象、提出经济策略。下面以基于中国经济的实证应用为例,综合评述索洛模型在不同经济问题中的

索洛经济增长模型

索洛经济增长模型 索洛经济增长模型(Solow Growth Model)是罗伯特·索洛所提出的发展经济学中著名的模型,又称作新古典经济增长模型、外生经济增长模型,是在新古典经济学框架内的经济增长模型。 正当1987年世界股票市场暴跌之时,瑞典皇家科学院宣布该年度诺贝尔经济学奖授于一直与里根政府的经济政策唱反调,主张政府必须有效地干预市场经济的美国麻省理工学院教授罗伯特·索洛(Robert M·Solow)许多经济学界人士认为,纽约股票市场的这场大动荡,恰恰证实了索洛坚持的理论,使他的经济增长理论成为当今世界热门研究课题之一。可是,他的这一理论———表明各种不同因素是如何对经济增长和发展产生影响的长期经济增长模型,早在30年前他在一篇题为《对经济增长理论的贡献》的论文中就提出来了。 模型的基本假定 索洛在构建他的经济增长模型时,既汲取了哈罗德—多马经济增长模型的优点,又屏弃了后者的那些令人疑惑的假设条件。 索洛认为,哈罗德—多马模型只不过是一种长期经济体系中的“刀刃平衡”,其中,储蓄率、资本—产出比率和劳动力增长率是主要参数。这些参数值若稍有偏离,其结果不是增加失业,就是导致长期通货彭胀。用哈罗德的话来说,这种“刀刃平衡”是以保证增长率(用Gw表示,它取决于家庭和企业的储蓄与投资的习惯)和自然增长率(用Gn表示,在技术不变的情况下,它取决于劳动力的增加)的相等来支撑的。 索洛指出,Gw和Gn之间的这种脆弱的平衡,关健在于哈罗德—多马模型的劳动力不能取代资本,生产中的劳动力与资本比例是固定的假设。倘若放弃这种假设,Gw和Gn之间的“刀刃平衡”也就随之消失。基于这一思路,索洛建立了一种没有固定生产比例假设的长期增长模型。 该模型的假设条件包括: 1.只生产一种复合产品。 2.产出是一种资本折旧后的净产出。 3.规模报酬不变,即生产函数是一阶齐次关系式。 4.两种生产要素(劳动力和资本)按其边际实物生产力付酬。 5.价格和工资是可变的。 6.劳动力永远是充分就业的。 7.能利用的资本存货都得到充分利用。 8.劳动力与资本可相互替代。 9.存在中性技术进步。 在这些条件下,索洛建立的模型向人们显示出:在技术系数可变的情况下,资本与劳动力比率具有随时间推移而向均衡比率自行调整的倾向。如若最初的资本与劳动力比率大,资本和产出的增加就会比劳动力的增加慢得多;反之,亦然。索洛是从资本与劳动力比率入手集中分析均衡(即稳定状态)增长路径的。 索洛模型的数学公式

索洛模型

索洛经济增长模型 (重定向自索洛模型) 索洛经济增长模型(Solow Growth Model) [编辑] 索洛经济增长模型概述 索洛经济增长模型(Solow Growth Model)是罗伯特·索洛所提出的发展经济学中著名的模型,又称作新古典经济增长模型、外生经济增长模型,是在新古典经济学框架内的经济增长模型。 正当1987年世界股票市场暴跌之时,瑞典皇家科学院宣布该年度诺贝尔经济学奖授于一直与里根政府的经济政策唱反调,主张政府必须有效地干预市场经济的美国麻省理工学院教授罗伯特·索洛(Robert M·Solow)许多经济学界人士认为,纽约股票市场的这场大动荡,恰恰证实了索洛坚持的理论,使他的经济增长理论成为当今世界热门研究课题之一。可是,他的这一理论———表明各种不同因素是如何对经济增长和发展产生影响的长期经济增长模型,早在30年前他在一篇题为《对经济增长理论的贡献》的论文中就提出来了。[1] [编辑] 索洛模型变量

?外生变量:储蓄率、人口增长率、技术进步率 ?内生变量:投资 [编辑] 索洛模型的数学公式

[编辑] 模型的基本假定[1] 索洛在构建他的经济增长模型时,既汲取了哈罗德—多马经济增长模型的优点,又屏弃了后者的那些令人疑惑的假设条件。 索洛认为,哈罗德—多马模型只不过是一种长期经济体系中的“刀刃平衡”,其中,储蓄率、资本—产出比率和劳动力增长率是主要参数。这些参数值若稍有偏离,其结果不是增加失业,就是导致长期通货彭胀。用哈罗德的话来说,这种“刀刃平衡”是以保证增长率(用Gw表示,它取决于家庭和企业的储蓄与投资的习惯)和自然增长率(用Gn表示,在技术不变的情况下,它取决于劳动力的增加)的相等来支撑的。 索洛指出,Gw和Gn之间的这种脆弱的平衡,关健在于哈罗德—多马模型的劳动力不能取代资本,生产中的劳动力与资本比例是固定的假设。倘若放弃这种假设,Gw和Gn之间的“刀刃平衡”也就随之消失。基于这一思路,索洛建立了一种没有固定生产比例假设的长期增长模型。 该模型的假设条件包括: 1.只生产一种复合产品。

索洛增长模型及稳定详解

模型假设 模型假设: 1、该模型假设储蓄全部转化为投资,即储蓄-投资转化率假设为1; 2、该模型假设投资的边际收益率递减,即投资的规模收益是常数; 3、该模型修正了哈罗德-多马模型的生产技术假设,采用了资本和劳动可替代的新古典科布-道格拉斯生产 函数,从而解决了哈罗德-多马模型中经济增长率与人口增长率不能自发相等的问题。 该模型假设储蓄全部转化为投资,即储蓄-投资转化率假设为1; 该模型假设投资的边际收益率递减,即投资的规模收益是常数; 该模型修正了哈罗德-多马模型的生产技术假设,采用了资本和劳动可替代的新古典科布-道格拉斯生产函数,从而解决了哈罗德-多马模型中经济增长率与人口增长率不能自发相等的问题。因为在科布-道格拉斯生产函数中,劳动数量既定,随资本存量的增加,资本的边际收益递减规律确保经济增长稳定在一个特定值上。该模型没有投资的预期,因此回避了有保证的经济增长率与实际经济增长率之间的不稳定,就此可得出结论:经济稳定增长。 编辑本段模型变量 外生变量:储蓄率、人口增长率、技术进步率 内生变量:投资 模型的数学表达 其中,K--资本;L--劳动;A--技术发展水平;I--毛投资;S--储蓄;k--有效劳动投入之上的资本密度;s--边际储蓄率;n--人口增长率;g--技术进步率;δ--资本折旧率;y--有效劳动投入之上的人均国内生产总值。 索洛增长模型的假设{①生产和供给方面:Y=F(K,L),劳动和资本可以平滑替代,规模报酬不变,稻田条件(公式),在生产函数两边同除以L--y=F(k,1)=f(k),所有符号均代表人均产量;需求方面:y=c+i,c=(1-s)y,y=(1-s)y+i,i=sy=s f(k)},资本存量的变化{△k=i-δk= s f(k)-δk},投资、折旧和资本存量的"稳态"(图,储蓄率对稳态的影响,资本积累能提高产出水平,但是无法实现经济持续增长,"黄金律水平"{c*=f(k*)-δk*,

卢卡斯人力资本模型的推导

卢卡斯人力资本模型的推导 就本节的目的而言,人力资本是指个体的一般技术水平。因此一个人力资本为()h t 的工人的生产力相当于两个人力资本分别为1()2 h t 的工人,或相当于一个人力资本为2()h t 的半日制工人。人力资本关注如下事实:个人对当期各种活动的时间分配方式将影响其未来的生产率,或()h t 水平。把人力资本引入模型就得解释清楚人力资本水平怎样影响当期生产,以及当期时间分配方式怎样影响人力资本积累。有很多方法可以系统地阐述“技术”的这两个方面,根据个人目标的不同,可自行选择。让我们从以下的简单假设开始。 假设共有N 名工人,他们的技术水平h 从0到无穷不等。令技术为h 的工人数量为()N h ,故0()N N h dh ∞ =?。设技术为h 的工人将其非闲暇时间的()u h 部分用于生产,1-()u h 用于 人力资本积累,则生产中的有效劳动力——对应于(2)式中的()N t ——为参与当期生产的以技术为权数的工时数之和0()()e N u h N h hdh ∞= ?。故若产出为总资本K 和有效劳动e N 的函数(,)e F K N ,则技术为h 的工人的小时工资为(,)e N F K N h ,总收入为(,)()e N F K N hu h 。 个体人力资本除对其自身生产率的效应外——我称之为人力资本的内部效应——还应考虑其外部效应。具体而言,令平均技术水平或者说平均人力资本由下式定义: .22θρδθ=-00()()a hN h dh h N h dh ∞ ∞ =?? 这一平均指标对生产中所有因素的效率都会产生作用。我称a h 为效应外溢,因为虽然人人的生产率都从中受益,但个人人力资本积累的决策对a h 的影响是微不足道的,故没有人会在决定时间分配时考虑这一因素。 若沿用先前的分析方式并将经济中所有的工人视为同质,则可大大简化分析。在本例中,若所有工人的技术为h ,且分配于劳动的时间比例都为u ,则有效劳动力为e N uhN =,平均技术水平a h h =。但我在下文中仍继续使用a h 这一符号,以强调内部效应与外部效应的区别。描述商品生产技术的(2)式现在被下式所替代: (11).1()()()()[()()()]()r a N t c t K t AK t u t h t N t h t ββ-+= ()r a h t 反映了人力资本的外部效应,技术水平A 现在假设为不变。

第1章、索洛增长模型

高级宏观经济学 陈彦斌 中国人民大学经济学院

教材:Advanced Macroeconomics(D. Romer,第4 版)。

第1 章、索洛增长模型“增长理论”的进一步阅读材料: 1. Weil,经济增长。 2. Barro,经济增长。 1.1 经济增长的一些基本事实 经济体为什么出现增长? 国家之间为什么出现差异? 1.2 假定 索洛模型的提出者:Solow (1956),Swan (1956)。

1) 投入和产出 生产函数: Y(t)=F(K(t), A(t)L(t)) Y(t): 产出 K(t): 资本 L(t): 劳动 A(t): 知识,或者劳动效率 A(t)L(t): 有效劳动(Effective labor) 三种生产函数: Y=F(K, AL): 劳动附加型(labor-augmenting) Y=F(AK, L): 资本附加型(capital- augmenting) Y=AF(K, L): 希克斯中性(Hicks-neutral)

2) 关于生产函数的假设 生产函数关于两个自变量是规模报酬不变的:资本和有效劳动 F(cK, cAL) = cF(K, AL) for any positive c 规模报酬不变假设与下面两个假设有关: 经济规模足够大,以至于专业化的收益已被全部利用。 除了资本、劳动与知识以外的其他投入相对不重要。

简约型(紧凑型,Intensive-form)生产函数: y=f(k) F(cK, cAL) = cF(K, AL), and c =1/AL F(K/AL, 1) = (1/AL)F(K, AL) F(k, 1) = y k=K/AL: 单位有效劳动的资本,capital per unit of effective labor y=Y/AL=F(K, AL)/AL: 单位有效劳动的产出output per unit of effective labor f(k) = F(k, 1)

最新第11章新古典增长理论-索洛模型(讲义版)

第十一章新古典增长理论——索洛模型(3) 本次授课框架: 总结波动理论,引出增长理论。 增长方程推导及对增长因素的讨论(包括索洛剩余) 增长方程推导(总量形式),假设条件 人均形式生产函数 总量与人均量之间的关系 索洛稳态方程推导过程 索洛稳态定义 根据均衡条件的推导 稳态条件的存在性讨论(生产函数假设,INADA条件) 储蓄线和投资持平线(补偿线)相互关系的讨论解释稳态调整路径 比较静态分析 储蓄率增加情况 人口增长率增加情况 总结“新古典增长理论”的关键结论(影响总量、人均增长率的因素(结合储蓄率)与各国收入趋同论) 新古典增长理论评价 一、增长方程推导 假设生产函数: 假设产品市场、要素市场完全竞争,规模收益不变。根据欧拉定理: 总量表达式 总量与人均量的关系 人均量表达式 索洛发现:技术进步、劳动供给增加和资本积累按此顺序是GDP增长的重要决定因素,而技术进步和资本积累是人均GDP增长的重要因素。在大部分历史中,两个重要的要素,当推资本积累(实物与人力)与技术进步。我们对增长理论的研究重点集中于这两个因素。 索洛剩余产出增长中不能通过资本积累和劳动投入来解释的部分,可以理解为技术进步()带来的增长。有时也被称作“全要素生产率”(TFP),这是一个比“技术进步”更为中性的术语。实证研究表明:技术进步在产出增长中的贡献大约为80%左右。由于产出和劳动、资本投入可以直接观察到,而却不能,经济学家测量“索洛剩余”利用: 二、稳态分析 当时,按照前面推导出的增长方程(不停地迭代下去),产量增长率会怎样变化?例如,是否会有这样一个稳态点,在这一点上人均产量和人均资本都变得固定?如果有这样的稳态点,在这一点上,又具有什麽特征?(稳态特征) 现在考虑这个稳态点所具备的状态特性。已知人口以速度n增长,为使人均资本保持不变,即经济达到上述定义的稳态,则资本必须和人口以相同速度增长。即: 关键的稳态特征是三个变量N、K、Y以相同速度n增长,人均资本水平k固定。 下一个问题是:那个固定的人均资本水平k为多少?利用波动理论中的供需平衡条件求出k。在一个没有政府的封闭经济体中,均衡条件:

索洛模型的评价

索洛模型的意义与不足[1] 作为创立新古典经济增长模型的先躯,索洛教授在构造他的长期增长模型过程中,不仅保留了哈罗德—多马模型的主要特征(如齐次资本函数、比例储蓄函数以及既定的劳动力增长率),而且还在理论模型的现实性方面有新的突破。主要表现在以下几个方面: 1.他在分析经济增长的过程中采用了一种连续性生产函数,从此人们称其为新古典生产函数。 2.劳动力与资本之间可相互替代的假设使得经济增长过程具有调整能力,从而该理论模型更接近于现实。 3.长期增长率是由劳动力增加和技术进步决定的,前者不仅指劳动力数量的增加,而且还含有劳动力素质与技术能力的提高,所以,索洛的长期增长模型打破了一直为人们所奉行的“资本积累是经济增长的最主要的因素”的理论,向人们展示,长期经济增长除了要有资本以外,更重要的是靠技术的进步、教育和训练水平的提高。 在一定程度上说,技术进步、劳动力质量的提高比增加资本对经济增长的作用更大。这种观点在他30年后获奖前夕接受采访时又得到进一步阐述。他说,除了纯粹的农业国以外,这一理论对所有国家都适用。“发展中国家不能把本国经济的发展仅仅依赖于资本和劳动力的增长上。发展中国家,特别是起步较晚国家,要更多地研究如何在现有工业的基础上逐步提高劳动生产率、技术和教育进程。这样就能有效地跟上世界经济的发展”(顾耀铭,1987)许多国家都相继接受了他的理论,在中高等教育、研究与发展(R&D)等方面,政府不断增加投资和提供税收刺激措施,成效显著。 当然,作为一种理论模式,索洛的长期增长模型也并非尽善尽美。正如森(Sen,1970)教授指出的那样,索洛的模型也有其不足之处: 1.索洛的增长模型考虑的仅仅是哈罗德的Gw和Gn之间的均衡问题,而忽略了G和Gw之间的均衡。 2.索洛的模型没有投资函数,此函数一旦引入,哈罗德模型的不稳定性问题即会出现于索洛的模型中。森教授认为,劳动力和资本间的替代性假设似乎并不是新古典学派和新凯恩斯学派对增长研究之不同的关键所在,其主要差异在于索洛模型没有考虑投资函数以及由此产生的企业家对将来预期的重要性。 3.索洛假设要素价格是可变的,这也会给稳定增长的路径设置障碍。例如,利息率由于流动陷井问题而不会下降到低于一定的最低水平;反过来,这也许使资本—产出比率不能提高到实现均衡增长路径所必需的水平。 4.索洛模型是以提高劳动生产率的技术进步为假定前提构建的。然而,这一假定只是柯布一道格拉斯生产函数型哈罗德中性技术进步的一个特例,没有任何经济证据。 5.索洛增长模型的另一假设是“资本是同质的且易变的”,但事实上,资本品是高度异质的,因此而出现不能简单加总问题。结果,当存在多种多样的资本品时,稳定增长路径是很难实现的。 对索洛模型的总结和评论 1.主要结论 (1)无论从任何一点出发,经济向平衡增长路径收敛,在平衡增长路径上,每个变量的增长率都是常数。 (2)在其他外生变量相似的条件下,人均资本低的经济有更快的人均资本的提高,人

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