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线性代数知识点总结

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线性代数知识点总结

第一章 行列式

(一)要点

1、二阶、三阶行列式

2、全排列和逆序数,奇偶排列(可以不介绍对换及有关定理),n 阶行列式的定义

3、行列式的性质

4、n 阶行列式ij a D =,元素ij a 的余子式和代数余子式,行列式按行(列)展开定理

5、克莱姆法则

(二)基本要求

1、理解n 阶行列式的定义

2、掌握n 阶行列式的性质

3、会用定义判定行列式中项的符号

4、理解和掌握行列式按行(列)展开的计算方法,即

+11j i A a +22j i A a ?

??≠==+j i j i D A a jn in 0 +j i A a 1122i j a A + ???≠==+j i j i D A a nj ni

0 5、会用行列式的性质简化行列式的计算,并掌握几个基本方法:

归化为上三角或下三角行列式,

各行(列)元素之和等于同一个常数的行列式,

利用展开式计算

6、掌握应用克莱姆法则的条件及结论

会用克莱姆法则解低阶的线性方程组

7、了解n 个方程n 个未知量的齐次线性方程组有非零解的充要条件

第二章 矩阵

(一)要点

1、矩阵的概念

n m ?矩阵n m ij a A ?=)(是一个矩阵表。当n m =时,称A 为n 阶矩阵,此时由A 的元素按原来排列的形式构成的n 阶行列式,称为矩阵A 的行列式,记为A .

注:矩阵和行列式是两个完全不同的两个概念。

2、几种特殊的矩阵:对角阵;数量阵;单位阵;三角形矩阵;对称矩阵

3、矩阵的运算;矩阵的加减法;数与矩阵的乘法;矩阵的转置;矩阵的乘法

(1)矩阵的乘法不满足交换律和消去律,两个非零矩阵相乘可能是零矩阵。

如果两矩阵A 与B 相乘,有BA AB =,则称矩阵A 与B 可换。

注:矩阵乘积不一定符合交换

(2)方阵的幂:对于n 阶矩阵A 及自然数k ,

k k A A A A ??= 规定I A =0

,其中I 为单位阵 .

(3) 设多项式函数k k k k a a a a ++++=--λλλλ?1110)( ,A 为方阵,矩阵A 的多项式I a A a A a A a A k k k k ++++=--1110)( ?,其中I 为单位阵。

(4)n 阶矩阵A 和B ,则B A AB =.

(5)n 阶矩阵A ,则A A n λλ= 4、分块矩阵及其运算

5、逆矩阵:可逆矩阵(若矩阵A 可逆,则其逆矩阵是唯一的);矩阵A 的伴随矩阵记为*

A , E A A A AA ==**

矩阵可逆的充要条件;逆矩阵的性质。

6、矩阵的初等变换:初等变换与初等矩阵;初等变换和初等矩阵的关系;矩阵在等价意义下的标准形;矩阵A 可逆的又一充分必要条件:A 可以表示成一些初等矩阵的乘积;用初等变换求逆矩阵。

7、矩阵的秩:矩阵的k 阶子式;矩阵秩的概念;用初等变换求矩阵的秩

8、矩阵的等价

(二)要求

1、理解矩阵的概念;矩阵的元素;矩阵的相等;矩阵的记号等

2、了解几种特殊的矩阵及其性质

3、掌握矩阵的乘法;数与矩阵的乘法;矩阵的加减法;矩阵的转置等运算及性质

4、理解和掌握逆矩阵的概念;矩阵可逆的充分条件;伴随矩阵和逆矩阵的关系;当A 可逆时,会用伴随矩阵求逆矩阵

5、了解分块矩阵及其运算的方法

(1)在对矩阵的分法符合分块矩阵运算规则的条件下,其分块矩阵的运算在形式上与不分块矩阵的运算是一致的。

(2)特殊分法的分块矩阵的乘法,例如n m A ?,l n B ?,将矩阵B 分块为

) (21l b b b B =,其中j b (l j 2, ,1=)是矩阵B 的第j 列,

=AB ) (21l b b b A ) (21l Ab Ab Ab =

又如将n 阶矩阵P 分块为) (21n p p p P =,其中j p (n j 2, ,1=)是矩阵P

的第j 列.

????????????n P λλλ 0 0 00 0 00 0 0 21 ) (21n p p p = ????

???????

?n λλλ 0 0 00 0 00 0 0 21) (2211n n p p p λλλ = (3)设对角分块矩阵

????

???????

?=SS A A A A 2211 ,),2,1(s P A PP =均为方阵, A 可逆的充要条件是PP A 均可逆,s P ,2,1=,且

??????

????????=----11221111 ss A A A A

6、理解和掌握矩阵的初等变换和初等矩阵及其有关理论;掌握矩阵的初等变换;化矩阵为行最简形;会用初等变换求矩阵的秩、求逆矩阵

7、理解矩阵的秩的概念以及初等变换不改变矩阵的秩等有关理论

8、若矩阵A 经过有限次初等变换得到矩阵B ,则称矩阵A 和矩阵B 等价,记为B A ?. n m ?矩阵A 和B 等价当且仅当)()(B r A r =,在等价意义下的标准型:若r A r =)(,则

r D A ?,??

????=0 00 r r I D ,r I 为r 阶单位矩阵。 因此n 阶矩阵A 可逆的充要条件为n I A ?。

第三章 线性方程组

(一)要点

1、n 维向量;向量的线性运算及其有关运算律

记所有n 维向量的集合为n R ,n R 中定义了n 维向量的线性运算,则称n

R 为 n 维向量空间。

2、向量间的线性关系

(1)线性组合与线性表示;线性表示的判定

(2)线性相关与线性无关;向量组的线性相关与无关的判定

3、向量组的等价,向量组的秩;向量组的极大无关组及其求法;向量组的秩及其求法

(1)设有两个向量组 ,1α,2αs α )(A

,1β,2βt β )(B

向量组)(A 和)(B 可以相互表示,称向量组)(A 和)(B 等价。向量组的等价具有传

递性。

(2)一个向量组的极大无关组不是惟一的,但其所含向量的个数相同,那么这个相同

的个数定义为向量组的秩。

4、矩阵的秩与向量组的秩的关系

5、线性方程组的求解

(1)线性方程组的消元解法

(2)线性方程组解的存在性和唯一性的判定

(3)线性方程组解的结构

(4)齐次线性方程的基础解系与全部解的求法

(5)非齐次方程组解的求法

(二)要求

1、理解n 维向量的概念;掌握向量的线性运算及有关的运算律

2、掌握向量的线性组合、线性表示、线性相关、线性无关等概念

3、掌握线性表示、线性相关、线性无关的有关定理

4、理解并掌握向量组的等价极大无关组、向量组的秩等概念;及极大无关组、向量组秩的求法

5、掌握线性方程组的矩阵形式、向量形式的表示方法

6、会用消元法解线性方程组

7、理解并掌握齐次方程组有非零解的充分条件及其判别方法

8、理解并掌握齐次方程组的基础解系、全部解的概念及其求法

9、理解非齐次方程组与其导出组解的关系;掌握非齐次方程组的求解方法

第四章 矩阵的特征值与特征向量

(一)要点

1、矩阵的特征值与特征向量的定义;特征方程、特征值与特征向量的求法与性质

2、相似矩阵的定义、性质;矩阵可对角化的条件

3、实对称矩阵的特征值和特征向量

向量内积的定义及其性质;正交向量组;施密特正交化方法;正交矩阵;实对称矩阵的特征值与特征向量的性质;实对称矩阵的对角化

(二)要求

1、理解矩阵的特征值、特征向量的概念及有关性质

2、掌握特征值与特征向量的求法

3、理解并掌握相似矩阵的概念与性质

4、掌握判断矩阵与对角矩阵相似的条件及对角化的方法

5、会将实对称矩阵正交相似变换化为对角矩阵。

第五章二次型

(一)要点

1、二次型与对称矩阵:

二次型的定义;二次型与对称矩阵的对应关系

2、二次型与对称矩阵的标准形

配方法;初等变换法;正交变换法;合同矩阵;二次型及对称矩阵的标准形与规范形 3、二次型与对称矩阵的有定性

二次型与对称矩阵的正定、负定、半正定、半负定

(二)要求

1、理解并掌握二次型的定义及其矩阵的表示方法。

2、会用三种非退化线性替换:即配方法、初等变换法、正交变换法化二次型为标准形及规范型

3、掌握二次型的正定、负定、半正定、半负定的定义,会判定二次型的正定性。

线性代数知识点总结

线性代数知识点总结 第一章 行列式 (一)要点 1、二阶、三阶行列式 2、全排列和逆序数,奇偶排列(可以不介绍对换及有关定理),n 阶行列式的定义 3、行列式的性质 4、n 阶行列式ij a D =,元素ij a 的余子式和代数余子式,行列式按行(列)展开定理 5、克莱姆法则 (二)基本要求 1、理解n 阶行列式的定义 2、掌握n 阶行列式的性质 3、会用定义判定行列式中项的符号 4、理解和掌握行列式按行(列)展开的计算方法,即 5、会用行列式的性质简化行列式的计算,并掌握几个基本方法: 归化为上三角或下三角行列式, 各行(列)元素之和等于同一个常数的行列式, 利用展开式计算 6、掌握应用克莱姆法则的条件及结论 会用克莱姆法则解低阶的线性方程组 7、了解n 个方程n 个未知量的齐次线性方程组有非零解的充要条件 第二章 矩阵 (一)要点 1、矩阵的概念 n m ?矩阵n m ij a A ?=)(是一个矩阵表。当n m =时,称A 为n 阶矩阵,此时由A 的元素按原来排列的形式构成的n 阶行列式,称为矩阵A 的行列式,记为A . 注:矩阵和行列式是两个完全不同的两个概念。 2、几种特殊的矩阵:对角阵;数量阵;单位阵;三角形矩阵;对称矩阵 3、矩阵的运算;矩阵的加减法;数与矩阵的乘法;矩阵的转置;矩阵的乘法 (1)矩阵的乘法不满足交换律和消去律,两个非零矩阵相乘可能是零矩阵。 如果两矩阵A 与B 相乘,有BA AB =,则称矩阵A 与B 可换。 注:矩阵乘积不一定符合交换 (2)方阵的幂:对于n 阶矩阵A 及自然数k , 规定I A =0 ,其中I 为单位阵 .

(3) 设多项式函数k k k k a a a a ++++=--λλλλ?1110)( ,A 为方阵,矩阵A 的 多项式I a A a A a A a A k k k k ++++=--1110)( ?,其中I 为单位阵。 (4)n 阶矩阵A 和B ,则B A AB =. (5)n 阶矩阵A ,则A A n λλ= 4、分块矩阵及其运算 5、逆矩阵:可逆矩阵(若矩阵A 可逆,则其逆矩阵是唯一的);矩阵A 的伴随矩阵记为*A , 矩阵可逆的充要条件;逆矩阵的性质。 6、矩阵的初等变换:初等变换与初等矩阵;初等变换和初等矩阵的关系;矩阵在等价意义下的标准形;矩阵A 可逆的又一充分必要条件:A 可以表示成一些初等矩阵的乘积;用初等变换求逆矩阵。 7、矩阵的秩:矩阵的k 阶子式;矩阵秩的概念;用初等变换求矩阵的秩 8、矩阵的等价 (二)要求 1、理解矩阵的概念;矩阵的元素;矩阵的相等;矩阵的记号等 2、了解几种特殊的矩阵及其性质 3、掌握矩阵的乘法;数与矩阵的乘法;矩阵的加减法;矩阵的转置等运算及性质 4、理解和掌握逆矩阵的概念;矩阵可逆的充分条件;伴随矩阵和逆矩阵的关系;当A 可逆时,会用伴随矩阵求逆矩阵 5、了解分块矩阵及其运算的方法 (1)在对矩阵的分法符合分块矩阵运算规则的条件下,其分块矩阵的运算在形式上与不分块矩阵的运算是一致的。 (2)特殊分法的分块矩阵的乘法,例如n m A ?,l n B ?,将矩阵B 分块为 ) (21l b b b B =,其中j b (l j 2, ,1=)是矩阵B 的第j 列, 则 又如将n 阶矩阵P 分块为) (21n p p p P =,其中j p (n j 2, ,1=)是矩阵P 的第j 列. (3)设对角分块矩阵

线性代数知识点总结汇总

线性代数知识点总结 1 行列式 (一)行列式概念和性质 1、逆序数:所有的逆序的总数 2、行列式定义:不同行不同列元素乘积代数和 3、行列式性质:(用于化简行列式) (1)行列互换(转置),行列式的值不变 (2)两行(列)互换,行列式变号 (3)提公因式:行列式的某一行(列)的所有元素都乘以同一数k,等于用数k 乘此行列式 (4)拆列分配:行列式中如果某一行(列)的元素都是两组数之和,那么这个行列式就等于两个行列式之和。 (5)一行(列)乘k加到另一行(列),行列式的值不变。 (6)两行成比例,行列式的值为0。 (二)重要行列式 4、上(下)三角(主对角线)行列式的值等于主对角线元素的乘积 5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘 6、Laplace展开式:(A是m阶矩阵,B是n阶矩阵),则 7、n阶(n≥2)范德蒙德行列式

数学归纳法证明 ★8、对角线的元素为a,其余元素为b的行列式的值: (三)按行(列)展开 9、按行展开定理: (1)任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值(2)行列式中某一行(列)各个元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和等于0 (四)行列式公式 10、行列式七大公式: (1)|kA|=k n|A| (2)|AB|=|A|·|B| (3)|A T|=|A| (4)|A-1|=|A|-1 (5)|A*|=|A|n-1 (6)若A的特征值λ1、λ2、……λn,则 (7)若A与B相似,则|A|=|B| (五)克莱姆法则 11、克莱姆法则: (1)非齐次线性方程组的系数行列式不为0,那么方程为唯一解

(2)如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解,则它的系数行列式必为0 (3)若齐次线性方程组的系数行列式不为0,则齐次线性方程组只有0解;如果方程组有非零解,那么必有D=0。 2 矩阵 (一)矩阵的运算 1、矩阵乘法注意事项: (1)矩阵乘法要求前列后行一致; (2)矩阵乘法不满足交换律;(因式分解的公式对矩阵不适用,但若B=E,O,A-1,A*,f(A)时,可以用交换律) (3)AB=O不能推出A=O或B=O。 2、转置的性质(5条) (1)(A+B)T=A T+B T (2)(kA)T=kA T (3)(AB)T=B T A T (4)|A|T=|A| (5)(A T)T=A (二)矩阵的逆 3、逆的定义: AB=E或BA=E成立,称A可逆,B是A的逆矩阵,记为B=A-1 注:A可逆的充要条件是|A|≠0 4、逆的性质:(5条) (1)(kA)-1=1/k·A-1 (k≠0) (2)(AB)-1=B-1·A-1 (3)|A-1|=|A|-1 (4)(A T)-1=(A-1)T (5)(A-1)-1=A

线性代数总结归纳

行列式 1.为何要学习《线性代数》?学习《线性代数》的重要性和意义。 答:《线性代数》是理、工、医各专业的基础课程,它是初等代数理论的继续和发展, 它的理论和方法在各个学科中得到了广泛的应用。 2.《线性代数》的前导课程。 答:初等代数。 3.《线性代数》的后继课程。 答:高等代数,线性规划,运筹学,经济学等。 4.如何学习《线性代数》? 答:掌握各章节的基本概念和解决问题的基本方法,多多体会例子的方法和技巧,多做 练习,在练习中要紧扣问题涉及的概念,不要随意扩大概念的范围,练习要自己做才能理解所学的知识。在学完一章后自己要做一个小结,理清该章内容及前后概念之间的联 系。在学完本课程后,将各章的内容做一个总结,想想各章内容之间的联系,易混淆的 概念要着重加深理解及区分它们之间的差异。 第一章行列式 5.什么是一个n阶全排列?【知识点】:n阶全排列。 答:由n个数1,2,…,n组成的一个有序数组。 6.什么是标准排列?【知识点】:n阶全排列。 答:按数字由小到大的自然顺序排列的n阶排列123, n。 7.什么是n阶全排列的逆序?【知识点】:n阶全排列的逆序。 答:在一个n阶排列中,若某个较大的数排在某个较小的数前面,则称这两个数构成一个逆序。例如:排列45312中,数4与3 ,数4与1,数4与2 ,数5与3,数5与1 ,数5与2, 数3与1,数3与2都构成逆序。数4与5,数1与2不构成逆序。 & 什么是n阶排列的逆序数?【知识点】:n阶排列的逆序数。 答:在一个n阶排列中,所有逆序的总数就是排列的逆序数。例如:上问中的排列45312 的逆序数为8。 9.什么是奇排列和偶排列?【知识点】:排列的奇偶性。

线性代数知识点总结

线性代数知识点总结 第一章行列式 (一)要点 1、 二阶、三阶行列式 2、 全排列和逆序数,奇偶排列(可以不介绍对换及有关定理) ,n 阶行列式的定义 3、 行列式的性质 4、 n 阶行列式 ^a i j ,元素a j 的余子式和代数余子式,行列式按行(列)展开定理 5、 克莱姆法则 (二)基本要求 1 、理解n 阶行列式的定义 2、掌握n 阶行列式的性质 3 、会用定义判定行列式中项的符号 4、理解和掌握行列式按行(列)展开的计算方法,即 a 1i A Ij ' a 2i A 2 j ' a ni A nj ^ 5、会用行列式的性质简化行列式的计算,并掌握几个基本方法: 归化为上三角或下三角行列式, 各行(列)元素之和等于同一个常数的行列式, 利用展开式计算 6、 掌握应用克莱姆法则的条件及结论 会用克莱姆法则解低阶的线性方程组 7、 了解n 个方程n 个未知量的齐次线性方程组有非零解的充要条件 第二章矩阵 (一)要点 1、 矩阵的概念 m n 矩阵A =(a j )mn 是一个矩阵表。当 m =n 时,称A 为n 阶矩阵,此时由 A 的 元素按原来排列的形式构成的 n 阶行列式,称为矩阵 A 的行列式,记为 A . 注:矩阵和行列式是两个完全不同的两个概念。 2、 几种特殊的矩阵:对角阵;数量阵;单位阵;三角形矩阵;对称矩阵 a i 1A j 1 ■ a i2A j 2 ? a in A jn = 〔 D '

3、矩阵的运算;矩阵的加减法;数与矩阵的乘法;矩阵的转置;矩阵的乘法 (1矩阵的乘法不满足交换律和消去律,两个非零矩阵相乘可能是零矩阵。如果两矩阵A与B相乘,有AB = BA ,则称矩阵A与B可换。注:矩阵乘积不一定符合交换 (2)方阵的幕:对于n阶矩阵A及自然数k, A k=A A A , 1 k个 规定A° = I ,其中I为单位阵. (3) 设多项式函数(J^a^ k?a1?k^l Z-心律??a k,A为方阵,矩阵A的 多项式(A) = a0A k?a1A k' …-?-a k jA ■ a k I ,其中I 为单位阵。 (4)n阶矩阵A和B ,贝U AB=IAB . (5)n 阶矩阵A ,则∣∕Λ =λn A 4、分块矩阵及其运算 5、逆矩阵:可逆矩阵(若矩阵A可逆,则其逆矩阵是唯一的);矩阵A的伴随矩阵记 * 为A , AA* = A*A = AE 矩阵可逆的充要条件;逆矩阵的性质。 6、矩阵的初等变换:初等变换与初等矩阵;初等变换和初等矩阵的关系;矩阵在等价 意义下的标准形;矩阵A可逆的又一充分必要条件:A可以表示成一些初等矩阵的乘积; 用初等变换求逆矩阵。 7、矩阵的秩:矩阵的k阶子式;矩阵秩的概念;用初等变换求矩阵的秩 8、矩阵的等价 (二)要求 1、理解矩阵的概念;矩阵的元素;矩阵的相等;矩阵的记号等 2、了解几种特殊的矩阵及其性质 3、掌握矩阵的乘法;数与矩阵的乘法;矩阵的加减法;矩阵的转置等运算及性质 4、理解和掌握逆矩阵的概念;矩阵可逆的充分条件;伴随矩阵和逆矩阵的关系;当A 可逆时,会用伴随矩阵求逆矩阵 5、了解分块矩阵及其运算的方法 (1)在对矩阵的分法符合分块矩阵运算规则的条件下,其分块矩阵的运算在形式上与不分块矩阵的运算是一致的。 (2)特殊分法的分块矩阵的乘法,例如A m n, B nl,将矩

线性代数知识点总结

大学线性代数知识点总结 第一章 行列式 二三阶行列式 N 阶行列式:行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n n n nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121) ..(∑-= τ (奇偶)排列、逆序数、对换 行列式的性质:①行列式行列互换,其值不变。(转置行列式T D D =) ②行列式中某两行(列)互换,行列式变号。 推论:若行列式中某两行(列)对应元素相等,则行列式等于零。 ③常数k 乘以行列式的某一行(列),等于k 乘以此行列式。 推论:若行列式中两行(列)成比例,则行列式值为零; 推论:行列式中某一行(列)元素全为零,行列式为零。 ④行列式具有分行(列)可加性 ⑤将行列式某一行(列)的k 倍加到另一行(列)上,值不变 行列式依行(列)展开:余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1( 定理:行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。 克莱姆法则: 非齐次线性方程组 :当系数行列式0≠D 时,有唯一解:)21(n j D D x j j ??== 、 齐次线性方程组 :当系数行列式01≠=D 时,则只有零解 逆否:若方程组存在非零解,则D等于零 特殊行列式: ①转置行列式:33 23 13 3222123121113332 31 232221 131211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a = ③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零 ④三线性行列式:33 31 2221 13 1211 0a a a a a a a 方法:用221a k 把21a 化为零,。。化为三角形行列式

线性代数知识点总结归纳

线性代数知识点总结归纳 第一章行列式 知识点1:行列式、逆序数 知识点2:余子式、代数余子式 知识点3:行列式的性质 知识点4:行列式按一行(列)展开公式 知识点5:计算行列式的方法 知识点6:克拉默法则 第二章矩阵 知识点7:矩阵的概念、线性运算及运算律 知识点8:矩阵的乘法运算及运算律 知识点9:计算方阵的幂 知识点10:转置矩阵及运算律 知识点11:伴随矩阵及其性质 知识点12:逆矩阵及运算律 知识点13:矩阵可逆的判断 知识点14:方阵的行列式运算及特殊类型的矩阵的运算知识点15:矩阵方程的求解 知识点16:初等变换的概念及其应用 知识点17:初等方阵的概念 知识点18:初等变换与初等方阵的关系

知识点19:等价矩阵的概念与判断 知识点20:矩阵的子式与最高阶非零子式 知识点21:矩阵的秩的概念与判断 知识点22:矩阵的秩的性质与定理 知识点23:分块矩阵的概念与运算、特殊分块阵的运算知识点24:矩阵分块在解题中的技巧举例 第三章向量 知识点25:向量的概念及运算 知识点26:向量的线性组合与线性表示 知识点27:向量组之间的线性表示及等价 知识点28:向量组线性相关与线性无关的概念 知识点29:线性表示与线性相关性的关系 知识点30:线性相关性的判别法 知识点31:向量组的最大线性无关组和向量组的秩的概念知识点32:矩阵的秩与向量组的秩的关系 知识点33:求向量组的最大无关组 知识点34:有关向量组的定理的综合运用 知识点35:内积的概念及性质 知识点36:正交向量组、正交阵及其性质 知识点37:向量组的正交规范化、施密特正交化方法 知识点38:向量空间(数一) 知识点39:基变换与过渡矩阵(数一)

线性代数知识点归纳

线性代数复习要点 第一部分 行列式 1. 排列的逆序数 2. 行列式按行(列)展开法则 3. 行列式的性质及行列式的计算 1.行列式的计算: ① (定义法)1212121112121222() 1212()n n n n n j j j n j j nj j j j n n nn a a a a a a D a a a a a a τ= = -∑ L L L L L M M M L 1 ②(降阶法)行列式按行(列)展开定理: 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论:行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. ③ (化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. ④ 若A B 与都是方阵(不必同阶),则 ==()mn A O A A O A B O B O B B O A A A B B O B O *==* *=-1 ⑤ 关 于 副 对角线: (1)2 1121 21 1211 1 () n n n n n n n n n n n a O a a a a a a a O a O ---* ==-K N N 1

⑥ 范德蒙德行列式:()1 22 22 12111112 n i j n j i n n n n n x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏L L L M M M L 111 ⑦ a b -型公式:1 [(1)]()n a b b b b a b b a n b a b b b a b b b b a -=+--L L L M M M O M L ⑧ (升阶法)在原行列式中增加一行一列,保持原行列式不变的方法. ⑨ (递推公式法) 对n 阶行列式n D 找出n D 与1n D -或1n D -,2n D -之间的一种关系——称为递推公式,其中 n D ,1n D -,2n D -等结构相同,再由递推公式求出n D 的方法称为递推公式法. (拆分法) 把某一行(或列)的元素写成两数和的形式,再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和, 使问题简化以例计算. ⑩ (数学归纳法) 2. 对于n 阶行列式A ,恒有:1 (1)n n k n k k k E A S λλ λ-=-=+-∑,其中k S 为k 阶主子式; 3. 证明 0A =的方法: ①、A A =-; ②、反证法; ③、构造齐次方程组0Ax =,证明其有非零解; ④、利用秩,证明()r A n <; ⑤、证明0是其特征值. 4. 代数余子式和余子式的关系:(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 第二部分 矩阵 1.矩阵的运算性质 2.矩阵求逆

=线性代数期末复习总结.docx

第一章行列式 一、行列式的性质 性质1行列式与它的转置行列式相等,即|A | = |A T |.(行列互换,行列式不变) 性质2互换行列式的两行(列),行列式变号. 推论1如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式为零. 性质3行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一个倍数k,等于用数k 乘以此行列式. a u a i2 a i3 a n a i2 ^13 ka n a i2 a i3 a 2X a 22 a 23 — ka 2x ka’2 転23 = ka 2} a 22 a 23 角1 a 32 ?33 a 3i 角2 。33 脳31 ?33 若行列式中有一行(列)为0,则行列式为0. 行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式为零. 坷 1 坷]a n 纠3 41 a n 坷 3 a 21+b l a 22+b 2 如+4 — a 21 a 22 "23 + b l b 2 S 。31 “32 。33 。31 “32 “33 。31 “32 “33 性质6把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列 (行) 对应的元素上去,行列式不变. a \\ a i2 a i3 a u a n + ka !3 a i3 a CL CL a CL + ka a W 21 u 22 w 23 ^21 "22 ' e"23 "23 “31 °32 "33 °31 “32 + 氐 °33 。33 性质7 (Laplace 定理)行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余 子式乘积之和,BP : | A| = a ix A i} + a i2A i2 + ? ? ? + a in A in (1 = 1,2,? ? ?, n ) 推论2 性质4 。21 ^22 a 31 “32 ka [{ ka {2 。 13 。 23 a 33 。 21 °3a n "12 "13 a 22 ^23 a 32 = 40 = 0 性质5 行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式为零.

线性代数总结归纳

行列式 1.为何要学习《线性代数》?学习《线性代数》的重要性和意义。 答:《线性代数》是理、工、医各专业的基础课程,它是初等代数理论的继续和发展,它的理论和方法在各个学科中得到了广泛的应用。 2.《线性代数》的前导课程。 答:初等代数。 3.《线性代数》的后继课程。 答:高等代数,线性规划,运筹学,经济学等。 4.如何学习《线性代数》? 答:掌握各章节的基本概念和解决问题的基本方法,多多体会例子的方法和技巧,多做练习,在练习中要紧扣问题涉及的概念,不要随意扩大概念的范围,练习要自己做才能理解所学的知识。在学完一章后自己要做一个小结,理清该章内容及前后概念之间的联系。在学完本课程后,将各章的内容做一个总结,想想各章内容之间的联系,易混淆的概念要着重加深理解及区分它们之间的差异。 第一章行列式 5.什么是一个n阶全排列?【知识点】:n阶全排列。 答:由n个数1,2,… ,n 组成的一个有序数组。 6.什么是标准排列?【知识点】:n阶全排列。 答:按数字由小到大的自然顺序排列的n阶排列123…n。 7.什么是n阶全排列的逆序?【知识点】:n阶全排列的逆序。 答:在一个n阶排列中,若某个较大的数排在某个较小的数前面,则称这两个数构成一个逆序。例如:排列45312中,数4与3,数4与1,数4与2,数5与3,数5与1,数5与2,数3与1,数3与2都构成逆序。数4与5,数1与2不构成逆序。 8.什么是n阶排列的逆序数?【知识点】:n阶排列的逆序数。 答:在一个n阶排列中,所有逆序的总数就是排列的逆序数。例如:上问中的排列45312的逆序数为8。 9.什么是奇排列和偶排列?【知识点】:排列的奇偶性。 答:逆序数为奇数的排列叫奇排列;逆序数为偶数的排列叫偶排列。例如:排列45312为偶排列。 10.对换一个排列中的任意两个数,该排列的奇偶性有什么变化?【知识点】:排列的对换对排列的奇偶性的影响。 答:对换一个排列中的任意两个数,奇排列就变成偶排列,偶排列就变成奇排列。例如:偶排列45312对换4与3,则变成排列35412,它的逆序数为7,排列35412是奇排列。 11.任一个n阶排列与标准排列可以互变吗?【知识点】:n阶排列与标准排列的关系。 答:可经过一系列对换互变。且所做对换的次数与排列具有相同的奇偶性。例如:排列32541的逆序数是6,因而是偶排列,它经过2次对换:3与1对换后变为12543,再对换5

线代贴吧-线性代数超强总结

线性代数公式总结

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③11a b d b c d c a ad bc --???? =????--???? T T T T T A B A C C D B D ?? ??=???????? ④1 2 11 11 2 1n a a n a a a a -???? ???? ? ???=???? ???? ??? ?? ? 2 1 1 1 12 1 1n a a n a a a a -???? ???? ? ???=???? ????????? ? ⑤1 11 11 2 21n n A A A A A A ----???? ???? ? ???=???? ???? ??? ?? ? 1 112 1 211 n n A A A A A A ----? ? ? ????? ? ???=??? ? ???? ????? ? √ 方阵的幂的性质:m n m n A A A += ()()m n mn A A = √ 设1110()m m m m f x a x a x a x a --=++ ++,对n 阶矩阵A 规定:1110()m m m m f A a A a A a A a E --=++ ++为A 的一个多项式. √ 设,,m n n s A B ??A 的列向量为12,,,n ααα???,B 的列向量为12,,,s βββ???,AB 的列向量为 12,, ,s r r r , 1212121122,1,2,,,(,,,)(,,,) ,(,,,),,,.i i s s T n n n i i i i r A i s A A A A A B b b b A b b b AB i r A AB i r B βββββββββαααβα==???=?? ==++?? ???则:即 用中简 若则 单的一个提 即:的第个列向量是的列向量的线性组合组合系数就是的各分量;高运算速度 的第个行向量是的行向量的线性组合组合系数就是的各分量 √ 用对角矩阵Λ左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量; 用对角矩阵Λ右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘, 与分块对角阵相乘类似,即:11 11 22 22 ,kk kk A B A B A B A B οοοο ?? ?? ? ??? ? ???==???????????? 11112222 kk kk A B A B AB A B ο ο ????? ?=????? ?

线性代数复习资料情况总结

线性代数复习总结大全 第一章 行列式 二三阶行列式 N 阶行列式:行列式中所有不同行、不同列的 n 个元素的乘积的和 n n n nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121) ..(∑-= τ (奇偶)排列、逆序数、对换 行列式的性质:①行列式行列互换,其值不变。(转置行列式T D D =) ②行列式中某两行(列)互换,行列式变号。 推论:若行列式中某两行(列)对应元素相等,则行列式等于零。 ③常数k 乘以行列式的某一行(列),等于k 乘以此行列式。 推论:若行列式中两行(列)成比例,则行列式值为零; 推论:行列式中某一行(列)元素全为零,行列式为零。 ④行列式具有分行(列)可加性 ⑤将行列式某一行(列)的k 倍加到另一行(列)上,值不变 行列式依行(列)展开:余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=) 1( 定理:行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。 克莱姆法则: 非齐次线性方程组 :当系数行列式0≠D 时,有唯一解:)21(n j D D x j j ??==、 齐次线性方程组 :当系数行列式01≠=D 时,则只有零解 逆否:若方程组存在非零解,则D 等于零 特殊行列式: ①转置行列式:33 23133222123121 11333231232221 131211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a = ③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零 ④三线性行列式:33 31 2221 13 1211 0a a a a a a a 方法:用221a k 把21a 化为零,。。化为三角形行列式 ⑤上(下)三角形行列式: 行列式运算常用方法(主要) 行列式定义法(二三阶或零元素多的) 化零法(比例) 化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、

线性代数总结归纳

线性代数总结归纳-标准化文件发布号:(9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

行列式 1.为何要学习《线性代数》 学习《线性代数》的重要性和意义。 答:《线性代数》是理、工、医各专业的基础课程,它是初等代数理论的继续和发展,它的理论和方法在各个学科中得到了广泛的应用。 2.《线性代数》的前导课程。 答:初等代数。 3.《线性代数》的后继课程。 答:高等代数,线性规划,运筹学,经济学等。 4.如何学习《线性代数》 答:掌握各章节的基本概念和解决问题的基本方法,多多体会例子的方法和技巧,多做练习,在练习中要紧扣问题涉及的概念,不要随意扩大概念的范围,练习要自己做才能理解所学的知识。在学完一章后自己要做一个小结,理清该章内容及前后概念之间的联系。在学完本课程后,将各章的内容做一个总结,想想各章内容之间的联系,易混淆的概念要着重加深理解及区分它们之间的差异。 第一章行列式 5.什么是一个n阶全排列【 知识点】:n阶全排列。 答:由n个数1,2,… ,n 组成的一个有序数组。 6.什么是标准排列【 知识点】:n阶全排列。 答:按数字由小到大的自然顺序排列的n阶排列123…n。 7.什么是n阶全排列的逆序【 知识点】:n阶全排列的逆序。 答:在一个n阶排列中,若某个较大的数排在某个较小的数前面,则称这两个数构成一个逆序。例如:排列45312中,数4与3,数4与1,数4与2,数5与3,数5与1,数5与2,数3与1,数3与2都构成逆序。数4与5,数1与2不构成逆序。 8.什么是n阶排列的逆序数【 知识点】:n阶排列的逆序数。 答:在一个n阶排列中,所有逆序的总数就是排列的逆序数。例如:上问中的排列45312的逆序数为8。 9.什么是奇排列和偶排列【

考研线性代数知识点归纳

1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素,展开后有!n 项,可分解为2n 行列式; 2. 代数余子式的性质: ①、ij A 和ij a 的大小无关; ②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0; ③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为A ; 3. 代数余子式和余子式的关系:(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D : 将D 上、下翻转或左右翻转,所得行列式为1D ,则(1)2 1(1) n n D D -=-; 将D 顺时针或逆时针旋转90o ,所得行列式为2D ,则(1)2 2(1)n n D D -=-; 将D 主对角线翻转后(转置),所得行列式为3D ,则3D D =; 将D 主副角线翻转后,所得行列式为4D ,则4D D =; 5. 行列式的重要公式: ①、主对角行列式:主对角元素的乘积; ②、副对角行列式:副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -; ③、上、下三角行列式( = ◥◣):主对角元素的乘积; ④、 ◤和 ◢:副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -; ⑤、拉普拉斯展开式: A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==-g ⑥、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积; ⑦、特征值; 6. 对于n 阶行列式A ,恒有:1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑,其中k S 为k 阶主子式; 7. 证明0A =的方法: ①、A A =-; ②、反证法; ③、构造齐次方程组0Ax =,证明其有非零解; ④、利用秩,证明()r A n <; ⑤、证明0是其特征值; 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵: ?0A ≠(是非奇异矩阵); ?()r A n =(是满秩矩阵) ?A 的行(列)向量组线性无关; ?齐次方程组0Ax =有非零解; ?n b R ?∈,Ax b =总有唯一解;

线性代数超强总结

√ 关于12,,,n e e e ???: ①称为 n 的标准基, n 中的自然基,单位坐标向量; ②12,,,n e e e ???线性无关; ③12,,,1n e e e ???=; ④tr()=E n ; ⑤任意一个n 维向量都可以用12,,,n e e e ???线性表示. √ 行列式的计算: ① 若A B 与都是方阵(不必同阶),则 (1)mn A A A A B B B B A A B B οο οοο * = = =* *=- ②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积. ③关于副对角线: (1)2 1121 21 1211 1 (1) n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a ο οο ---* = =- √ 逆矩阵的求法: ①1 A A A * -= ②1()()A E E A -???? →初等行变换 ③11a b d b c d c a ad bc --???? =????--???? T T T T T A B A C C D B D ?? ??=???????? ④1 2 11 11 2 1n a a n a a a a -???? ???? ? ???=???? ???? ??? ?? ? 2 1 1 1 12 1 1n a a n a a a a -???? ???? ? ???=???? ??????????

⑤1 1111 2 21n n A A A A A A ----???? ???? ? ???=???? ???? ??? ?? ? 1 112 1 211 n n A A A A A A ----? ? ? ????? ? ???=???? ???? ?????? √ 方阵的幂的性质:m n m n A A A += ()()m n mn A A = √ 设1110()m m m m f x a x a x a x a --=++ ++,对n 阶矩阵A 规定:1110()m m m m f A a A a A a A a E --=++ ++为A 的一个多项式. √ 设,,m n n s A B ??A 的列向量为12,,,n ααα???,B 的列向量为12,,,s βββ???,AB 的列向量为 12,, ,s r r r , 1212121122,1,2,,,(,,,)(,,,) ,(,,,),,,.i i s s T n n n i i i i r A i s A A A A A B b b b A b b b AB i r A AB i r B βββββββββαααβα==???=?? ==++?? ???则:即 用中简 若则 单的一个提 即:的第个列向量是的列向量的线性组合组合系数就是的各分量;高运算速度 的第个行向量是的行向量的线性组合组合系数就是的各分量 √ 用对角矩阵Λ左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量; 用对角矩阵Λ右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘, 与分块对角阵相乘类似,即:11 11 22 22 ,kk kk A B A B A B A B οοο ο ?? ?? ? ??? ? ???==???????????? √ 矩阵方程的解法:设法化成AX B XA B ==(I) 或 (II) 当0A ≠时, √ Ax ο=和Bx ο=同解(,A B 列向量个数相同),则: ① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等; ② 它们对应的部分组有一样的线性相关性; ③ 它们有相同的内在线性关系. √ 判断12,, ,s ηηη是0Ax =的基础解系的条件:

《线性代数》知识点 归纳整理

《线性代数》知识点归纳整理诚毅 学生编 01、余子式与代数余子式 ............................................................................................................................................. - 2 - 02、主对角线 ................................................................................................................................................................. - 2 - 03、转置行列式 ............................................................................................................................................................. - 2 - 04、行列式的性质 ......................................................................................................................................................... - 3 - 05、计算行列式 ............................................................................................................................................................. - 3 - 06、矩阵中未写出的元素 ............................................................................................................................................. - 4 - 07、几类特殊的方阵 ..................................................................................................................................................... - 4 - 08、矩阵的运算规则 ..................................................................................................................................................... - 4 - 09、矩阵多项式 ............................................................................................................................................................. - 6 - 10、对称矩阵 ................................................................................................................................................................. - 6 - 11、矩阵的分块 ............................................................................................................................................................. - 6 - 12、矩阵的初等变换 ..................................................................................................................................................... - 6 - 13、矩阵等价 ................................................................................................................................................................. - 6 - 14、初等矩阵 ................................................................................................................................................................. - 7 - 15、行阶梯形矩阵与行最简形矩阵 ......................................................................................................................... - 7 - 16、逆矩阵 ..................................................................................................................................................................... - 7 - 17、充分性与必要性的证明题 ..................................................................................................................................... - 8 - 18、伴随矩阵 ................................................................................................................................................................. - 8 - 19、矩阵的标准形: ..................................................................................................................................................... - 9 - 20、矩阵的秩: ............................................................................................................................................................. - 9 - 21、矩阵的秩的一些定理、推论 ................................................................................................................................. - 9 - 22、线性方程组概念 ................................................................................................................................................... - 10 - 23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组(不含向量)........................................................................................ - 10 - 24、行向量、列向量、零向量、负向量的概念 ....................................................................................................... - 11 - 25、线性方程组的向量形式 ....................................................................................................................................... - 11 - 26、线性相关与线性无关的概念 ......................................................................................................................... - 12 - 27、向量个数大于向量维数的向量组必然线性相关.............................................................................................. - 12 - 28、线性相关、线性无关;齐次线性方程组的解;矩阵的秩这三者的关系及其例题...................................... - 12 - 29、线性表示与线性组合的概念 ......................................................................................................................... - 12 - 30、线性表示;非齐次线性方程组的解;矩阵的秩这三者的关系其例题.......................................................... - 12 - 31、线性相关(无关)与线性表示的3个定理 ....................................................................................................... - 12 - 32、最大线性无关组与向量组的秩 ........................................................................................................................... - 12 - 33、线性方程组解的结构 ........................................................................................................................................... - 12 -

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