导数与不等式的证明(高考真题)【含答案】

导数与不等式的证明

1.【2013湖南文科】已知函数f （x ）=

x

e x

2

1x 1+-. （Ⅰ）求f （x ）的单调区间；

（Ⅱ）证明：当f （x 1）=f （x 2）(x 1≠x 2)时，x 1+x 2＜0.

【解析】 (Ⅰ) .)

123)12)1()1)11()('2

22

222x x x xe x x e x x e x x f x x x ++--?=+?--+?-+-=（（（ ;

)(,0)(']0-02422单调递增时，，（当x f y x f x =>∞∈∴

单调递减）时，，当)(,0)('0[x f y x f x =≤∞+∈.

所以，）上单调递减，上单调递增；在，在（∞+∈∞=0[]0-)(x x f y 。

（Ⅱ）由(Ⅰ)知，只需要证明：当x>0时f(x) < f(-x)即可。

]1)1[(11111)()(22

22x e x x

e e x x e x x x

f x f x

x x x ---+=++-+-=----。 1)21()('0,1)1()(22--=?>---=x x e x x g x x e x x g 令。

,04)21()('1)21()(222<-=-=?--=x x x xe e x x h e x x h 令

0)0()(0)(=

)0()(0)(=

.000]1)1[(122

==∞+---+=?-y x x e x x

e y x x

时）上单调递减，但，在（ )()(0)()(x f x f x f x f -

.0)()(212121<+≠=x x x x x f x f 时，且所以，当（证毕）

2.【2013天津理科】已知函数.

(Ⅰ) 求函数f (x )的单调区间;

(Ⅱ) 证明: 对任意的t >0, 存在唯一的s , 使.

(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s 关于t 的函数为, 证明: 当时, 有. (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．

2

l ()n f x x x =()t f s =()s g t =2>e t 2ln ()15ln 2

g t t <<

f ′(x )＝2x ln x ＋x ＝x (2ln x ＋1)，令f ′(x )＝0

，得x =. 当x

－

＋

所以函数f (x )的单调递减区间是? ?，单调递增区间是?

+∞??

. (2)证明：当0＜x ≤1时，f (x )≤0.

设t ＞0，令h (x )＝f (x )－t ，x ∈[1，＋∞)． 由(1)知，h (x )在区间(1，＋∞)内单调递增． h (1)＝－t ＜0，h (e t )＝e 2t ln e t －t ＝t (e 2t －1)＞0. 故存在唯一的s ∈(1，＋∞)，使得t ＝f (s )成立．

(3)证明：因为s ＝g (t )，由(2)知，t ＝f (s )，且s ＞1，从而

2ln ()ln ln ln ln ln ()ln(ln )2ln ln(ln )2ln g t s s s u

t f s s s s s u u

====

++， 其中u ＝ln s . 要使

2ln ()15ln 2g t t <<成立，只需0ln 2

u u <<. 当t ＞e 2时，若s ＝g (t )≤e ，则由f (s )的单调性，有t ＝f (s )≤f (e)＝e 2，矛盾． 所以s ＞e ，即u ＞1，从而ln u ＞0成立． 另一方面，令F (u )＝ln 2u u -

，u ＞1.F ′(u )＝11

2

u -，令F ′(u )＝0，得u ＝2. 当1＜u ＜2时，F ′(u )＞0；当u ＞2时，F ′(u )＜0.

故对u ＞1，F (u )≤F (2)＜0. 因此ln 2

u

u <

成立． 综上，当t ＞e 2时，有2ln ()15ln 2

g t t <<.

3【2013天津文科】设[2,0]a ∈-, 已知函数332

(5),

03,0(,).

2

x f a x x a x x x x x a -+≤+-

+>??

=???

(Ⅰ) 证明()f x 在区间(－1,1)内单调递减, 在区间(1, + ∞)内单调递增;

(Ⅱ) 设曲线()y f x =在点(,())(

1,2,3i i i x f x i P =处的切线相互平行, 且1230,x x x ≠证明1231

3

x x x ++>.

(1)设函数f 1(x )＝x 3

－(a ＋5)x (x ≤0)，f 2(x )＝3

2

32

a x x ax +-

+(x ≥0)， ①f 1′(x )＝3x 2

－(a ＋5)，由a ∈[－2,0]，从而当－1＜x ＜0时，f 1′(x )＝3x 2

－(a ＋5)＜3－a －5≤0，所以函数f 1(x )在区间(－1,0]内单调递减．

②f 2′(x )＝3x 2

－(a ＋3)x ＋a ＝(3x －a )(x －1)，由于a ∈[－2,0]，所以当0＜x ＜1时，f 2′(x )＜0；当x ＞1时，f 2′(x )＞0.即函数f 2(x )在区间[0,1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增．

综合①，②及f 1(0)＝f 2(0)，可知函数f (x )在区间(－1,1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增．

(2)由(1)知f ′(x )在区间(－∞，0)内单调递减，在区间306a +??

???

，

内单调递减，在区间36a +??

+∞ ???

，内单调递增． 因为曲线y ＝f (x )在点P i (x i ，f (x i ))(i ＝1,2,3)处的切线相互平行，从而x 1，x 2，x 3互不相等，且f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝f ′(x 3)．不妨设x 1＜0＜x 2＜x 3，由213x －(a ＋5)＝2

23x －(a ＋3)x 2＋a ＝2

33x －(a ＋3)x 3＋a ，

可得22

2333x x -－(a ＋3)(x 2－x 3)＝0，解得x 2＋x 3＝33a +，从而0＜x 2＜3

6

a +＜x 3. 设g (x )＝3x 2

－(a ＋3)x ＋a ，则36a g +??

???＜g (x 2)＜g (0)＝a . 由2

13x －(a ＋5)＝g (x 2)＜a

，解得x 1＜0，

所以x 1＋x 2＋x 3

＞3

3

a +， 设t

a ＝235

2t -，

因为a ∈[－2,0]，所以t

∈??

， 故x 1＋x 2＋x 3＞2231111

(1)6233

t t t +-+=--≥-，即x 1＋x 2＋x 3＞13-.

4【2014天津理科】已知函数()x

f x x ae =-()a R ?，x R ?.已知函数()y f x =有两个

零点12,x x ，且12x x <. （Ⅰ）求a 的取值范围； （Ⅱ）证明

2

1

x x 随着a 的减小而增大； （Ⅲ）证明12x x +随着a 的减小而增大.

（Ⅰ）解：由()x

f x x ae =-，可得()1x

f x ae ￠=-.

下面分两种情况讨论： （1）0a ￡时

()0f x ￠>在R 上恒成立，可得()f x 在R 上单调递增，不合题意.

（2）0a >时，

由()0f x ￠=，得ln x a =-.

当x 变化时，()f x ￠，()f x 的变化情况如下表：

这时，()f x 的单调递增区间是(),ln a -?；单调递减区间是()ln ,a -+￥.

于是，“函数()y f x =有两个零点”等价于如下条件同时成立： 1°()ln 0f a ->；2°存在()1,ln a s ??，满足()10f s <；

3°存在()2ln ,a s ?

+?，满足()20f s <.

由()ln 0f a ->，即ln 10a -->，解得1

0a e -<<，而此时，取10s =，满足

()1,ln a s ??，且()10f s a =-<；取222

ln s a a

=

+，满足()2ln ,a s ?+?，且

()22222ln 0a a f s e e a a

骣骣鼢珑鼢=-+-<珑鼢珑鼢珑桫桫.所以，a 的取值范围是()10,e -. （Ⅱ）证明：由()0x

f x x ae =-=，有x x a e

=

. 设()x x g x e =

，由()1x

x

g x e -￠=，知()g x 在(),1-￥上单调递增，在()1,+￥上单调递减.

并且，当(],0x ?

?时，()0g x ￡；当()0,x ??时，()0g x >.

由已知，12,x x 满足()1a g x =，()2a g x =. 由()1

0,a e -?，及()g x 的单调性，可得

()10,1x ?，()21,x ??.

对于任意的()1

120,,a a e -?，设12a a >，()()121g g a x x ==，其中1201x x <<<；

()()122g g a h h ==，其中1201h h <<<.

因为()g x 在()0,1上单调递增，故由12a a >，即()()11g g x h >，可得11x h >；类似可得

22x h <.

又由11,0x h >，得

222

111

x h h x x h <<. 所以，2

1

x x 随着a 的减小而增大.

（Ⅲ）证明：由11x x ae =，22x

x ae =，可得11ln ln x a x =+，22ln ln x a x =+. 故2

21211

ln ln ln

x x x x x x -=-=. 设

21

x t x =，则1t >，且2121,ln ,

x tx x x t ì=?

?í?-=??解得1ln 1t x t =-，2

ln 1t t x t =-.所以， ()121ln 1

t t

x x t ++=

-. ①

令()()1ln 1

x x

h x x +=

-，()1,x ??，则()()

2

1

2ln 1x x x h x x -+-

￠=

-.

令()1

2ln u x x x x

=-+-，得()2

1x u x x

骣-÷?￠=÷?÷?桫. 当()1,x ??

时，()0u x ￠>.因此，()u x 在()1,+￥上单调递增，故对于任意的

()1,x ??，()()10u x u >=，由此可得()0h x ￠>，故()h x 在()1,+￥上单调递增.

因此，由①可得12x x +随着t 的增大而增大.

而由（Ⅱ），t 随着a 的减小而增大，所以12x x +随着a 的减小而增大

高考导数解答题中常见的放缩大法

高考导数解答题中常见的 放缩大法 Prepared on 22 November 2020

(高手必备）高考导数大题中最常用的放缩大法 相信不少读者在做高考导数解答题时都有这样的感悟，将复杂的函数求导，再对导函数求导，再求导，然后就没有然后了......如果懂得了最常见的放缩，如：人教版课本中常用的结论 ⑴sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为 sin 1x x <，其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1. ⑵1x e x >+⑶ln(1)x x >+⑷ln ,0x x x e x <<>. 将这些不等式简单变形如下： ex x ex e x e x x x x x 1ln ,,1,1ln 11-≥≥+≥-≤≤-那么很多问题将迎刃而解。 例析：（2018年广州一模）x e x x f x x ax x f 2)(,0,1ln )(?≤>++=若对任意的设恒成立，求a 的取值范围。 放缩法：由可得：1+≥x e x 高考中最常见的放缩法可总结如下，供大家参考。 第一组：对数放缩 （放缩成一次函数）ln 1x x ≤-，ln x x <，()ln 1x x +≤ （放缩成双撇函数）()11ln 12x x x x ??<-> ???，()11ln 012x x x x ??>-<< ??? ， ) ln 1x x <>，)ln 01x x ><<， （放缩成二次函数）2ln x x x ≤-，()()21ln 1102 x x x x +≤--<<，()()21ln 102 x x x x +≥->

（放缩成类反比例函数）1ln 1x x ≥-，()()21ln 11x x x x ->>+，()()21ln 011 x x x x -<<<+， ()ln 11x x x +≥+，()()2ln 101x x x x +>>+，()()2ln 101x x x x +<<+ 第二组：指数放缩 （放缩成一次函数）1x e x ≥+，x e x >，x e ex ≥， （放缩成类反比例函数）()101x e x x ≤ ≤-，()10x e x x <-<， （放缩成二次函数）()21102x e x x x ≥++>，2311126x e x x x ≥+++， 第三组：指对放缩 第四组：三角函数放缩 ()sin tan 0x x x x <<>，21sin 2x x x ≥-，22111cos 1sin 22 x x x -≤≤-. 第五组：以直线1y x =-为切线的函数 ln y x =，11x y e -=-，2y x x =-，11y x =-，ln y x x =.

高考导数解答题中常见的放缩大法

高考导数解答题中常见 的放缩大法 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

(高手必备）高考导数大题中最常用的放缩大法 相信不少读者在做高考导数解答题时都有这样的感悟，将复杂的函数求导，再对导函数求导，再求导，然后就没有然后了......如果懂得了最常见的放缩，如：人教版课本中常用的结论 ⑴sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为sin 1x x <，其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1. ⑵1x e x >+⑶ln(1)x x >+⑷ln ,0x x x e x <<>. 将这些不等式简单变形如下： ex x ex e x e x x x x x 1ln ,,1,1ln 11-≥≥+≥-≤≤-那么很多问题将迎刃而解。 例析：（2018年广州一模）x e x x f x x ax x f 2)(,0,1ln )(?≤>++=若对任意的设恒成立，求a 的取值范围。 放缩法：由可得：1+≥x e x 2)1(ln 1ln 2)1(ln )1(ln 1ln ln 22=+-++≥+-=+-=+-+x x x x x x e x x xe x x e x x x x 高考中最常见的放缩法可总结如下，供大家参考。 第一组：对数放缩 （放缩成一次函数）ln 1x x ≤-，ln x x <，()ln 1x x +≤ （放缩成双撇函数）()11ln 12x x x x ??<-> ???，()11ln 012x x x x ??>-<< ??? ， ) ln 1x x <>，)ln 01x x ><<， （放缩成二次函数）2ln x x x ≤-，()()21ln 1102 x x x x +≤--<<，()()21ln 102 x x x x +≥->

高考导数题型大全及答案

高考导数题型大全及答案

第三讲 导数的应用 研热点（聚焦突破） 类型一 利用导数研究切线问题 导数的几何意义 (1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)就是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝f ′(x 0)； (2)曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． [例1] (2012年高考安徽卷改编)设函数f (x )＝a e x ＋ 1 a e x ＋b (a >0)．在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝32x ，求a ，b 的值． [解析] ∵f ′(x )＝a e x －1a e x ， ∴f ′(2)＝a e 2－ 1a e 2＝32， 解得a e 2＝2或a e 2＝－12 (舍去)， 所以a ＝2e 2，代入原函数可得2＋12＋b ＝3， 即b ＝1 2， 故a ＝2e 2，b ＝12 . 跟踪训练 已知函数f (x )＝x 3－x . (1)求曲线y ＝f (x )的过点(1，0)的切线方程； (2)若过x 轴上的点(a ，0)可以作曲线y ＝f (x )的三条切线，求a 的取值范围． 解析：(1)由题意得f ′(x )＝3x 2－1.曲线y ＝f (x )在点M (t ，f (t ))处的切线方程为y －f (t )＝f ′(t )(x － t )，即y ＝(3t 2－1)·x －2t 3，将点(1，0)代入切线方程得2t 3－3t 2＋1＝0，解得t ＝1或－ 1 2，代入y ＝(3t 2－1)x －2t 3得曲线y ＝f (x )的过点(1，0)的切线方程为y ＝2x －2或y ＝－14x ＋1 4 . (2)由(1)知若过点(a ，0)可作曲线y ＝f (x )的三条切线，则方程2t 3－3at 2＋a ＝0有三个相异的实根，记g (t )＝2t 3－3at 2＋a .

(完整版)导数有关知识点总结、经典例题及解析、近年高考题带答案

导数及其应用 【考纲说明】 1、了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。 2、熟记八个基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。 3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。 【知识梳理】 一、导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。如果当0→?x 时，x y ??有极限，我们 就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。 即f （x 0）=0lim →?x x y ??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。 说明：

（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→?x 时，x y ??有极限。如果x y ??不存在极限，就说函数在点x 0处不可导， 或说无导数。 （2）x ?是自变量x 在x 0处的改变量，0≠?x 时，而y ?是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤： （1）求函数的增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）； （2）求平均变化率x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00； （3）取极限，得导数f’(x 0)=x y x ??→?0lim 。 二、导数的几何意义 函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f/（x 0）（x －x 0）。 三、几种常见函数的导数 ①0;C '= ②() 1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a '=; ⑦ ()1ln x x '= ; ⑧()1 l g log a a o x e x '=. 四、两个函数的和、差、积的求导法则 法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： ( .)' ''v u v u ±=± 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数， 即： .)('''uv v u uv += 若C 为常数,则' ''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)(''Cu Cu = 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方： ? ?? ??v u ‘=2' 'v uv v u -（v ≠0）。 形如y=f [x (?])的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y ＇|x = y ＇|u ·u ＇|x 五、导数应用 1、单调区间： 一般地，设函数)(x f y =在某个区间可导，

高考导数大题大全理科答案

一、解答题 1. 解:(Ⅰ) 函数()f x 的定义域为(0,)+∞，'11 2()e ln e e e .x x x x a b b f x a x x x x --=+-+ 由题意可得' (1)2,(1) e.f f ==故1,2a b ==. （Ⅱ）由(Ⅰ)知1 2e ()e ln ,x x f x x x -=+ 从而()1f x >等价于2 ln e .e x x x x ->- 设函数()ln g x x x =，则()1ln g x x '=+，所以当1 (0,)e x ∈时，' ()0g x <; 当1 (,)e x ∈+∞时，' ()0g x >,故()g x 在1(0,)e 单调递减，在1(,)e +∞单调递增， 从而()g x 在(0,)+∞的最小值为1 1().e e g =-. 设函数2 ()e e x h x x -=-，则'()e (1)x h x x -=-，所以当(0,1)x ∈时，'()0h x >； 当(1,)x ∈+∞时，' ()0h x <，故()h x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，从而()h x 在(0,)+∞的最大值为1(1)e h =- . 综上，当0x >时，()()g x h x >，即()1f x >. 2. 解题指南（1）根据导数公式求出函数的导数，利用分类讨论思想求解；（2）根据函数的单调性以及函数极值与导数的关系式确定函数的极值点，代入函数中求解. 解析（1）2/ 22 2(2)24(1) ()1(2)(1)(2)a x x ax a f x ax x ax x +-+-=-=++++ （*） 当1a ≥时，/ ()0f x >，此时，()f x 在区间(0,)+∞上单调递增． 当01a <<时，由/ ()0f x = 得1 x = （2x =-舍去）． 当1(0,)x x ∈时，/()0f x <；当1(,)x x ∈+∞时，/ ()0f x >． 故()f x 在区间1(0,)x 上单调递减，在区间1(,)x +∞上单调递增． 综上所述，当1a ≥时，()f x 在区间(0,)+∞上单调递增． 当01a <<时，()f x 在区间(0, 上单调递减，在区间)+∞上单调递增． 由（*）式知，当1a ≥时，/ ()0f x >，此时()f x 不存在极值点，因而要使得()f x 有两个极值点， 必有01a <<．又()f x 的极值点只可能是1 x = 和2x =-，且由定义可知，1 x a >- 且2x ≠- ，所以1a ->- 且2-≠-，解得1 2 a ≠- 此时，由（*）式易知，12,x x 分别是()f x 的极小值和极大值点，而 令21a x -=，则01a <<且12a ≠-知：当102 a <<时，10x -<<；当112a <<时，01x <<． 记2 2 ()ln 2g x x x =+-， （Ⅰ）当10x -< <时，2()2ln()2g x x x =-+-，所以/22 2222 ()0x g x x x x -=-=< 因此，()g x 在区间(1,0)-上单调递减，从而()(1)40g x g <-=-<，故当1 02 a << 时， 12()()0f x f x +<． （Ⅱ）当01x <<时，2()2ln 2g x x x =+ -，所以/222222 ()0x g x x x x -=-=< 因此，()g x 在区间(0,1)上单调递减，从而()(1)0g x g >=，故当时 1 12 a <<，12()()0f x f x +>． 综上所述，满足条件的a 的取值范围为1 (,1)2． 3. (1)证明：因为对任意x ∈R ，都有() ()e e e e ()x x x x f x f x -----=+=+=，所以f (x )是R 上的偶函数． (2)解：由条件知(e e 1)e 1x x x m --+-≤-在(0，+∞)上恒成立． 令t = e x (x >0)，则t >1，所以m ≤211 11111 t t t t t -- =--+-++-对于任意t >1成立． 因为11111t t -+ +≥- = 3，所以1113111 t t - ≥--++-， 当且仅当t = 2，即x = ln2时等号成立．

2016年高考导数试题及答案(精选)

1.(新课标1)已知函数 有两个零点. (I)求a 的取值范围；(II)设x 1，x 2是的两个零点，证明： +x 2<2. 解：（Ⅰ） '()(1)2(1)(1)(2)x x f x x e a x x e a =-+-=-+． （i ）设0a =，则()(2)x f x x e =-，()f x 只有一个零点．（ii ）设0a >，则当(,1)x ∈-∞时，'()0f x <；当(1 ,)x ∈+∞时，'()0f x >．所 以 ()f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增．又(1)f e =-，(2)f a =，取b 满足0 b <且ln 2a b <，则22 3()(2)(1)()022 a f b b a b a b b >-+-=->，故()f x 存在两个零点． （iii ）设0a <，由'()0f x =得1x =或ln(2)x a =-．若2 e a ≥-，则ln(2)1a -≤，故当 (1,)x ∈+∞时，'()0f x >，因此()f x 在(1,)+∞上单调递增．又当1x ≤时，()0f x <，所以() f x 不存在两个零点． 若2 e a <- ，则ln(2)1a ->，故当(1,ln(2))x a ∈-时，'()0f x <；当(ln(2),)x a ∈-+∞时，'()0f x >．因此()f x 在(1,ln(2))a -单调递减，在(ln(2),)a -+∞单调递增．又当1x ≤时，()0f x <，所以()f x 不存在两个零点．综上，a 的取值范围为(0,)+∞． （Ⅱ）不妨设1 2x x <，由（Ⅰ）知12(,1),(1,)x x ∈-∞∈+∞，22(,1)x -∈-∞，()f x 在(,1) -∞上单调递减，所以122x x +<等价于12()(2)f x f x >-，即2(2)0f x -<． 由于 222222(2)(1)x f x x e a x --=-+-，而22222()(2)(1)0x f x x e a x =-+-=，所以 222222(2)(2)x x f x x e x e --=---． 设 2()( 2 ) x x g x xe x e -=---， 则 2'()(1)()x x g x x e e -=--．所以当1x >时，'()0g x <，而(1)0g =，故当1x >时，()0g x <．从 而22()(2)0g x f x = -<，故122x x +<． 2(新课标2)(I)讨论函数x x 2f (x) x 2 -= +e 的单调性，并证明当x >0时，(2)20;x x e x -++> (II)证明：当[0,1)a ∈ 时，函数2 x =(0)x e ax a g x x -->（） 有最小值.设g （x ）的最小值为()h a ， 求函数()h a 的值域.

(word完整版)高考导数解答题中常见的放缩大法

(高手必备）高考导数大题中最常用的放缩大法 相信不少读者在做高考导数解答题时都有这样的感悟，将复杂的函数求导，再对导函数求导，再求导，然后就没有然后了......如果懂得了最常见的放缩，如：人教版课本中常用的结论 ⑴sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为 sin 1x x <，其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1. ⑵1x e x >+⑶ln(1)x x >+⑷ln ,0x x x e x <<>. 将这些不等式简单变形如下： ex x ex e x e x x x x x 1ln ,,1,1ln 11-≥≥+≥-≤≤-那么很多问题将迎刃而解。 例析：（2018年广州一模）x e x x f x x ax x f 2)(,0,1ln )(?≤>++=若对任意的设恒成立，求a 的取值范围。 放缩法：由可得：1+≥x e x 2)1(ln 1ln 2)1(ln )1(ln 1ln ln 22=+-++≥+-=+-=+-+x x x x x x e x x xe x x e x x x x 高考中最常见的放缩法可总结如下，供大家参考。 第一组：对数放缩 （放缩成一次函数）ln 1x x ≤-，ln x x <，()ln 1x x +≤ （放缩成双撇函数）()11ln 12x x x x ??<-> ???，()11ln 012x x x x ??>-<< ??? ， ) ln 1x x <>，)ln 01x x ><<， （放缩成二次函数）2ln x x x ≤-，()()21ln 1102 x x x x +≤--<<，()()21ln 102 x x x x +≥-> （放缩成类反比例函数）1ln 1x x ≥-，()()21ln 11x x x x ->>+，()()21ln 011x x x x -<<<+， ()ln 11x x x +≥+，()()2ln 101x x x x +>>+，()()2ln 101x x x x +<<+ 第二组：指数放缩

(完整版)高考导数专题(含详细解答)

导数及其应用 导数的运算 1. 几种常见的函数导数： ①、c '= （c 为常数）； ②、n (x )'= （R n ∈）； ③、)(sin 'x = ；④、)(cos 'x = ； ⑤、 x (a )'= ； ⑥、x (e )'= ； ⑦、a (log x )'= ； ⑧、(ln x )'= . 2. 求导数的四则运算法则： ()u v u v '''±=±；v u v u uv '+'=')(；2)(v v u v u v u '-'=' )0(2 ''' ≠-=??? ??v v u v vu v u 注：① v u ,必须是可导函数. 3. 复合函数的求导法则： )()())((x u f x f x ??'?'=' 或 ' ?'='x u x u y y 一、求曲线的切线（导数几何意义） 导数几何意义：0()f x '表示函数()y f x =在点(0x ，0()f x )处切线L 的斜率； 函数()y f x =在点(0x ，0()f x )处切线L 方程为000()()()y f x f x x x '-=- 1.曲线 在点处的切线方程为（ ）。 A: B: C: D: 答案详解B 正确率: 69%, 易错项: C 解析:本题主要考查导数的几何意义、导数的计算以及直线方程的求解。 对求导得 ，代入 得 即为切线的斜率，切点为 ，所以切线方 程为 即 。故本题正确答案为B 。 2. 变式一：

3.设函数2 ()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1)) f 处切线的斜率为 ( ) A ．4 B ．14- C ．2 D ．1 2- 4.已知函数()f x 在R 上满足2 ()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是 ( ) A .21y x =- B .y x = C .32y x =- D .23y x =-+ 变式二： 5.在平面直角坐标系xoy 中，点P 在曲线3 :103C y x x =-+上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的 斜率为2，则点P 的坐标为 .

导数高考解答题专题

导数高考解答题专题 1、（2018北京文）设函数()()23132e x f x ax a x a ??=-+++??． （1）若曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线斜率为0，求a ； （2）若()f x 在1x =处取得极小值，求a 的取值范围． 2、（2018全国新课标Ⅰ文）已知函数()e ln 1x f x a x =--．设2x =是()f x 的极值点，求a ， 并求()f x 的单调区间 3、（2018全国新课标Ⅱ文）已知函数()()32113 f x x a x x = -++．若3a =，求()f x 的单调区间 4、（2018全国新课标Ⅲ文）已知函数21()e x ax x f x +-=．求曲线()y f x =在点(0,1)-处的切线方程 5、(2017北京文、理)已知函数 ()e cos x f x x x =-． （1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）求函数()f x 在区间π[0,]2 上的最大值和最小值．

6、（2017全国新课标Ⅰ文）已知函数()f x =e x (e x ?a )?a 2x ．讨论()f x 的单调性 7、（2017全国新课标Ⅱ文）设函数2()(1)e x f x x =-.讨论()f x 的单调性 8、（2017全国新课标Ⅲ文）已知函数()f x =ln x +ax 2+(2a +1)x ．讨论()f x 的单调性 9、（2017天津文）设,a b ∈R ，||1a ≤.已知函数32()63(4)f x x x a a x b =---+，求()f x 的 单调区间

20122017年全国高考文科导数大题官方解答

2012--2017全国卷高考真题导数大题 1．（2012新课标全国卷1文21，本小题满分12分） 设函数()2x f x e ax =--． （Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）若1a =，k 为整数，且当0x >时，()()10x k f x x '-++>，求k 的最大值． 解：（Ⅰ）()f x 定义域为(,)-∞+∞，()x f x e a '=-， 若0a ≤，则()0f x '>，所以()f x 在(,)-∞+∞单调递增； 若0a >，则当(,ln )x a ∈-∞时，()0f x '<；当(ln ,)x a ∈+∞时，)0f x '>（ ， 所以()f x 在(,ln )a -∞，单调递减，在(ln ,)a +∞单调递增； （Ⅱ）由于1a =，所以()()1()(1)1x x k f x x x k e x '-++=--++， 故当0x >时，()()10x k f x x '-++>等价于1 (0)1 x x k x x e +< +>-，① 令1 ()1 x x g x x e +=+-，则22 1(2)()1(1)(1)x x x x x xe e e x g x e e ----'=+=--， 由（Ⅰ）知，函数()2x h x e x =--在(0,)+∞单调递增，而(1)0h <，(2)0h >， 所以()h x 在(0,)+∞存在唯一零点，故()g x '在(0,)+∞存在唯一零点， 设此零点为α，则(1,2)α∈， 当(0,)x α∈时，()0g x '<；当(,)x α∈+∞时，)0g x '>（ ， 所以()g x 在(0,)+∞的最小值是()g α， 又()0g α'=，可得2e α α=+，所以()1(2,3)g αα=+∈， 由于①等价于()k g α<，故整数k 的最大值为2． 2．（2013新课标全国卷1文21，本小题满分12分） 已知函数2 ()()4x f x e ax b x x =+--，曲线()y f x =在点(0,(0))f 处切线方程为

(完整版)高考导数解答题中常见的放缩大法.doc

( 高手必备）高考导数大题中最常用的放缩大法 相信不少读者在做高考导数解答题时都有这样的感悟， 将复杂的函数求导， 再对导函数 求导，再求导，然后就没有然后了 ......如果懂得了最常见的放缩，如：人教版课本中常用的 结论 ⑴ sin x x, x (0, ) ，变形即为 sin x 1，其几何意义为 y sin x, x (0, ) 上的的点与 原点连线斜率小于 1. x ⑵ e x x 1 ⑶ x ln( x 1) ⑷ ln x x e x , x 0 . 将这些不等式简单变形如下： 1 1 ln x x 1,e x x 1,e x ex,ln x 1 那么很多问题将迎刃而解。 x ex 例析：（ 2018 年广州一模） 设 f ( x) ax ln x 1, 若对任意的 x 0, f ( x) x e 2 x 恒成立， 求 a 的取值范围。 放缩法：由 e x x 1可得： e 2 x ln x 1 xe x (ln x 1) e 2x ln x (ln x 1) 2x ln x 1 (ln x 1) 2 x x x x 高考中最常见的放缩法可总结如下，供大家参考。 第一组：对数放缩 （放缩成一次函数） ln x x 1， ln x x ， ln 1 x x （放缩成双撇函数） ln x 1 x 1 x 1 ， ln x 1 x 1 0 x 1 ， 2 x 2 x ln x x 1 x 1 ， ln x x 1 ， 0 x 1 x x （放缩成二次函数） ln x x 2 x ， ln 1 x x 1 x 2 1 x 0 ， 1 x 2 2 ln 1 x x x 0 2 ln x 1 1 ，ln x 2 x 1 1 ， ln x 2 x 1 （放缩成类反比例函数） x 1 x x 0 x 1 ， x 1 ln 1 x x ， ln 1 x 2x ， ln 1 x 2x x 0 1 1 x 0 1 x x x 第二组：指数放缩

高考导数大题汇编理科答案

高考导数大题汇编理科答 案 Last revision date: 13 December 2020.

一、解答题 1. 解:(Ⅰ) 函数()f x 的定义域为(0,)+∞，' 112()e ln e e e .x x x x a b b f x a x x x x --=+-+ 由题意可得' (1)2,(1) e.f f ==故1,2a b ==. （Ⅱ）由(Ⅰ)知12e ()e ln ,x x f x x x -=+从而()1f x >等价于2 ln e .e x x x x ->- 设函数()ln g x x x =，则()1ln g x x '=+，所以当1 (0,)e x ∈时，' ()0g x <; 当1(,)e x ∈+∞时，' ()0g x >,故()g x 在1(0,)e 单调递减，在1(,)e +∞单调递增， 从而()g x 在(0,)+∞的最小值为11 ().e e g =-. 设函数2()e e x h x x -=-，则'()e (1)x h x x -=-，所以当(0,1)x ∈时，'()0h x >； 当(1,)x ∈+∞时，' ()0h x <，故()h x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，从而()h x 在(0,)+∞的最大值为1(1)e h =- . 综上，当0x >时，()()g x h x >，即()1f x >. 2. 解题指南（1）根据导数公式求出函数的导数，利用分类讨论思想求解；（2）根据函数的单调性以及函数极值与导数的关系式确定函数的极值点，代入函数中求解. 解析（1）2/ 2 2 2(2)24(1) ()1(2)(1)(2)a x x ax a f x ax x ax x +-+-=-=++++ （*） 当1a ≥时，/ ()0f x >，此时，()f x 在区间(0,)+∞上单调递增． 当01a <<时，由/ ()0f x = 得1 x = ，（2x =-舍去）． 当1(0,)x x ∈时，/ ()0f x <；当1(,)x x ∈+∞时，/ ()0f x >． 故()f x 在区间1(0,)x 上单调递减，在区间1(,)x +∞上单调递增． 综上所述，当1a ≥时，()f x 在区间(0,)+∞上单调递增． 当01a <<时，()f x 在区间(0, 上单调递减，在区间)+∞上单调递增． 由（*）式知，当1a ≥时，/ ()0f x >，此时()f x 不存在极值点，因而要使得()f x 有两个极值点， 必有01a <<．又()f x 的极值点只可能是1x = 2x =-，且由定义可知，1 x a >- 且2x ≠- ，所以1a ->- 且2-≠-，解得1 2 a ≠- 此时，由（*）式易知，12,x x 分别是()f x 的极小值和极大值点，而 令2a - 01x <<． 记(g x （Ⅰ）当1 - 因此，g 1()( f x f +（Ⅱ）当0 因此，(g x 1()( f x f + 综上所 3. (1)证明函数． (2)解：由条 令t = 因为 当且 因此 (3)解：令函 当x ≥1时， 因此g (x )在 由于存在x 0故1 e+e 2 --令函数() h x 当(0,e x ∈

高考导数题型大全及答案

第三讲导数的应用 研热点（聚焦突破） 类型一利用导数研究切线问题 导数的几何意义 (1)函数y＝f(x)在x＝x 0处的导数f′(x )就是曲线y＝f(x)在点(x ，f(x ))处的切线的斜率，即k＝f′(x )； (2)曲线y＝f(x)在点(x 0，f(x ))处的切线方程为y－f(x )＝f′(x )(x－x )． [例1](2012年高考卷改编)设函数f(x)＝a e x＋ 1 a e x＋b(a>0)．在点(2，f(2))处的切线方程为y ＝3 2x，求a，b的值．[解析]∵f′(x)＝a e x－ 1 a e x， ∴f′(2)＝a e2－ 1 a e2＝ 3 2，解得a e 2＝2或a e2＝－ 1 2(舍去)， 所以a＝ 2 e2，代入原函数可得2＋ 1 2＋b＝3，即b＝ 1 2，故 a＝ 2 e2 ，b＝ 1 2 . 跟踪训练 已知函数f(x)＝x3－x. (1)求曲线y＝f(x)的过点(1，0)的切线方程； (2)若过x轴上的点(a，0)可以作曲线y＝f(x)的三条切线，求a的取值围． 解析：(1)由题意得f′(x)＝3x2－1.曲线y＝f(x)在点M(t，f(t))处的切线方程为y－f(t)＝f′(t)(x－t)， 即y＝(3t2－1)·x－2t3，将点(1，0)代入切线方程得2t3－3t2＋1＝0，解得t＝1或－1 2 ，代入y ＝(3t2－1)x－2t3得曲线y＝f(x)的过点(1，0)的切线方程为y＝2x－2或y＝－1 4 x＋ 1 4 . (2)由(1)知若过点(a，0)可作曲线y＝f(x)的三条切线，则方程2t3－3at2＋a＝0有三个相异的实 根，记g(t)＝2t3－3at2＋a. 则g′(t)＝6t2－6at＝6t(t－a)． 当a>0时，函数g(t)的极大值是g(0)＝a，极小值是g(a)＝－a3＋a，要使方程g(t)＝0有三个相异的实数根，需使a>0且－a3＋a<0，即a>0且a2－1>0，即a>1； 当a＝0时，函数g(t)单调递增，方程g(t)＝0不可能有三个相异的实数根；

高考导数题型及解题方法

导数题型分析及解题方法 一、考试内容 导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数； 两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。 二、热点题型分析 题型一：利用导数研究函数的极值、最值。 1． 32 ()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是 2 2．已知函数2)()(2 =-==x c x x x f y 在处有极大值，则常数c ＝ 6 ； 3．函数3 31x x y -+=有极小值 －1 ,极大值 3 题型二：利用导数几何意义求切线方程 1．曲线3 4y x x =-在点 ()1,3--处的切线方程是 2y x =- 2．若曲线x x x f -=4 )(在P 点处的切线平行于直线03=-y x ，则P 点的坐标为 （1，0） 3．若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为 430x y --= 4．求下列直线的方程： （1）曲线123++=x x y 在P(-1,1)处的切线； （2）曲线2 x y =过点P(3,5)的切线； 解：（1） 123|y k 23 1)1,1(1x /2/23===∴+=∴++=-=－上，在曲线点－x x y x x y P 所以切线方程为02 11=+-+=-y x x y 即， （2）显然点P （3，5）不在曲线上，所以可设切点为),(00y x A ，则2 00x y =①又函数的导数为x y 2/ =， 所以过),(00y x A 点的切线的斜率为 / 2|0x y k x x ===，又切线过),(00y x A 、P(3,5)点，所以有 3 52000--= x y x ②，由①②联立 方程组得，??????====25 5 110000y x y x 或，即切点为（1，1）时，切线斜率为;2201==x k ；当切点为（5，25）时，切线斜率为10202==x k ；所以所求的切线有两条，方程分别为2510 12 )5(1025)1(21-=-=-=--=-x y x y x y x y 或即， 或 题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值 1．已知函数 ))1(,1()(,)(2 3f P x f y c bx ax x x f 上的点过曲线=+++=的切线方程为y=3x+1 （Ⅰ）若函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值； （Ⅲ）若函数)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围

2019届高考导数解答题中常见的放缩大法

2019届高考导数大题中最常用的放缩大法 相信不少读者在做高考导数解答题时都有这样的感悟，将复杂的函数求导，再对导函数求导，再求导，然后就没有然后了......如果懂得了最常见的放缩，如：人教版课本中常用的结论 ⑴sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为sin 1x x <，其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1. ⑵1x e x >+ ⑶ln(1)x x >+ ⑷ln ,0x x x e x <<>. 将这些不等式简单变形如下： ex x ex e x e x x x x x 1 ln ,,1,1ln 11-≥≥+≥-≤≤- 那么很多问题将迎刃而解。 例析：（2018年广州一模）x e x x f x x ax x f 2)(,0,1ln )(?≤>++=若对任意的设恒成立，求a 的取值范围。 放缩法：由可得：1+≥x e x 2)1(ln 1ln 2)1(ln )1(ln 1ln ln 22=+-++≥+-=+-=+-+x x x x x x e x x xe x x e x x x x 高考中最常见的放缩法可总结如下，供大家参考。 第一组：对数放缩 （放缩成一次函数）ln 1x x ≤-，ln x x <，()ln 1x x +≤ （放缩成双撇函数）()11ln 12x x x x ??<-> ???，()11ln 012x x x x ?? >-<< ???， )ln 1x x <> ，)ln 01x x ><<， （放缩成二次函数）2ln x x x ≤-，()()21ln 1102x x x x +≤- -<<，()()21 ln 102 x x x x +≥-> （放缩成类反比例函数）1 ln 1x x ≥-，()()21ln 11x x x x ->>+，()()21ln 011x x x x -<<<+， ()ln 11x x x +≥ +，()()2ln 101x x x x +>>+，()()2ln 101x x x x +<<+ 第二组：指数放缩 （放缩成一次函数）1x e x ≥+，x e x >，x e ex ≥， （放缩成类反比例函数）()101x e x x ≤≤-，()1 0x e x x <-<， （放缩成二次函数）()21102x e x x x ≥++>，2311 126 x e x x x ≥+++， 第三组：指对放缩 ()()ln 112x e x x x -≥+--= 第四组：三角函数放缩 ()sin tan 0x x x x <<>，21sin 2x x x ≥-，2211 1cos 1sin 22 x x x -≤≤-. 第五组：以直线1y x =-为切线的函数 ln y x =，11x y e -=-，2y x x =-，1 1y x =- ，ln y x x =. 拓展阅读：为何高考中总是考这些超越函数呢？和x e x ln 因为高考命题专家是大学老师，他们站在高观点下看高中数学，一览无遗。作为学生没有多大必要去去了解大学的知识，但是作为老师却是有很大的必要去理解感悟高考题命题的背景。超越函数本质上就是高等数学中的泰勒公式。即从某个点0x 处，我们可以构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值，如果这个点是0，就是形式比较简单的麦克劳林级数。简而言之，它的功能就是把超越式近似表示为幂函数。常见的幂级数展示式有：

导数及其应用高考题精选(含答案)

导数及其应用高考题精选 1.（2010 ·海南高考·理科T3）曲线2 x y x =+在点()1,1--处的切线方程为（ ） （A ）21y x =+ （B ）21y x =- （C ）23y x =-- （D ）22y x =-- 【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解. 【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程. 【规范解答】选 A.因为 2 2 (2)y x '=+，所以，在点()1,1--处的切线斜率1 2 2 2(12) x k y =-' == =-+，所以，切线方程为12(1)y x +=+，即21y x =+，故选A. 2.（2010·山东高考文科·Ｔ8）已知某生产厂家的年利润y （单位： 万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为3 1812343 y x x =-+-， 则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为（ ） (A) 13万件 (B) 11万件 (C) 9万件 (D) 7万件 【命题立意】本题考查利用导数解决生活中的优化问题，考查了考生的分析问题解决问题能力和运算求解能力. 【思路点拨】利用导数求函数的最值. 【规范解答】选C ，2'81y x =-+,令0y '=得9x =或9x =-（舍去），当9x <时'0y >；当9x >时'0y <，故当9x =时函数有极大值，也是最大值，故

选C. 3.（2010·山东高考理科·Ｔ7）由曲线y=2 x ,y=3 x 围成的封闭图形面积为（ ） （A ） 1 12 (B) 1 4 (C) 13 (D) 712 【命题立意】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积,考查了考生的想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【思路点拨】先求出曲线y=2x ,y=3x 的交点坐标，再利用定积分求面积. 【规范解答】选A,由题意得: 曲线y=2x ,y=3x 的交点坐标为 (0,0)，(1,1)，故所求封闭图形的面积为123 0x -x )dx= ?（111 1-1=3412 ??,故选A. 4.（2010·辽宁高考理科·Ｔ10）已知点P 在曲线y=4 1 x e +上，α为 曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（ ） (A)[0,4 π) (B)[,)42 ππ 3(, ]24 ππ (D) 3[ ,)4 π π 【命题立意】本题考查了导数的几何意义，考查了基本等式，函数的值域，直线的倾斜角与斜率。 【思路点拨】先求导数的值域，即tan α的范围，再根据正切函数的性质求α的范围。 【规范解答】选D.

2018年全国高考卷数学导数解答题含答案

2018年全国I-III 文理数学卷导数解答题 1、(2018年全国I 理）已知函数1()ln f x x a x x = -+． （1）讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：()()1212 2f x f x a x x -<-- 解:（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，222 11()1a x ax f x x x x -+'=--+=-. （i ）若2a ≤，则()0f x '≤，当且仅当2a =，1x =时()0f x '=，所以()f x 在(0,) +∞单调递减. （ii ）若2a >，令()0f x '= 得，x = 或x =. 当)x ∈+∞U 时，()0f x '<； 当(22a a x ∈时，()f x '>.所以()f x 在)+∞ 单调递减，在单调递增. （2）由（1）知，()f x 存在两个极值点当且仅当2a >. 由于()f x 的两个极值点12,x x 满足2 10x ax -+=，所以121x x =，不妨设12x x <，则21x >.由于 12121221212121222()()ln ln ln ln 2ln 11221f x f x x x x x x a a a x x x x x x x x x x ----=--+=-+=-+----， 所以1212()()2f x f x a x x -<--等价于222 12ln 0x x x -+<. 设函数1()2ln g x x x x = -+，由（1）知，()g x 在(0,)+∞单调递减，又(1)0g =，从

而当(1,)x ∈+∞时，()0g x <. 所以22212ln 0x x x -+<，即1212 ()()2f x f x a x x -<--. 2、(2018年全国I 文）已知函数()e ln 1x f x a x =--． （1）设2x =是()f x 的极值点．求a ，并求()f x 的单调区间； （2）证明：当1e a ≥时，()0f x ≥． 解：（1）f （x ）的定义域为(0)+∞，，f ′（x ）=a e x –1x ． 由题设知，f ′（2）=0，所以a = 212e ． 从而f （x ）=21e ln 12e x x --，f ′（x ）=211e 2e x x -． 当02时，f ′（x ）>0． 所以f （x ）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增． （2）当a ≥1e 时，f （x ）≥e ln 1e x x --． 设g （x ）=e ln 1e x x --，则e 1()e x g x x '=-． 当01时，g ′（x ）>0．所以x =1是g （x ）的最小值点． 故当x >0时，g （x ）≥g （1）=0． 因此，当1e a ≥时，()0f x ≥． 3、(2018年全国II 理）已知函数2()e x f x ax =-． （1）若1a =，证明：当0x ≥时，()1f x ≥； （2）若()f x 在(0,)+∞只有一个零点，求a ． 解：（1）当1a =时，()1f x ≥等价于2(1)e 10x x -+-≤． 设函数2()(1)e 1x g x x -=+-，则22()(21)e (1)e x x g'x x x x --=--+=--． 当1x ≠时，()0g'x <，所以()g x 在(0,)+∞单调递减． 而(0)0g =，故当0x ≥时，()0g x ≤，即()1f x ≥． （2）设函数2()1e x h x ax -=-．