收集环境振动能微压电悬臂梁的制作工艺与测试_褚金奎

2011年1月褚金奎等：收集环境振动能微压电悬臂梁的制作工艺与测试··第9卷第1期2011年1月

纳米技术与精密工程

Nanotechnology and Precision Engineering

Vol．9No．1

Jan．2011

收集环境振动能微压电悬臂梁的制作工艺与测试

褚金奎，李

涛，韩冰峰，熊叶胜

（大连理工大学辽宁省微纳米技术及系统重点实验室，大连116023）

摘

要：研制长寿稳定电源已经成为微型无线传感网络中亟待解决的关键技术问题，现有的化学电池容量有限，需

要不断地逐个更换耗尽的电池，难以满足无线传感网络的实际应用．提出了利用压电材料的机电耦合特性收集环境振动能，设计了一种用来收集环境振动能的压电微悬臂梁结构，介绍了用MEMS 工艺制作带质量块的硅基压电悬臂梁微电源的工艺流程．质量块可以降低器件的谐振频率，并提高输出电功率．最后，对制作的微压电悬臂梁进行了固有频率测试以及静态和准静态标定实验．关键词：微电源；压电悬臂梁；MEMS ；PZT 中图分类号：TH117.2

文献标志码：A

文章编号：1672-

6030（2011）01-0001-05Manufacturing Technique and Measurement of Micro-Piezoelectric

Cantilever Beam for Ambient Vibration Energy Collection

CHU Jin-kui ，LI Tao ，HAN Bing-feng ，XIONG Ye-sheng

（Key Laboratory for Micro Nano Technology and System of Liaoning Province ，Dalian University of Technology ，

Dalian 116023，China ）

Abstract ：Long life and stable batteries in the wireless sensors nodes of the micro system are urgently de-manded as the chemical batteries are limited in capacity and have to be replaced constantly ，which cannot meet the requirement of practical applications．A new type of micro generator which utilizes electric-me-chanical coupling characteristics of piezoelectric materials to collect ambient vibration energy was pro-posed and a micro piezoelectric cantilever structure was designed to collect ambient vibration energy．The MEMS fabrication process for the micro piezoelectric cantilever beam with the mass block was introduced ，which could help decrease the natural frequency of the device and improve the output electric power．Fi-nally ，the natural frequency of the manufactured piezoelectric micro-cantilevers was measured and the static and quasi-static calibrations were carried out．

Keywords ：micro-power ；piezoelectric cantilever ；MEMS ；PZT

收稿日期：2009-

11-19．基金项目：辽宁省科学技术基金资助项目（20072183）；教育部新世纪优秀人才计划资助项目（NEC-04-0266）．作者简介：褚金奎（1965—

），男，教授．

通讯作者：褚金奎，

chujk@dlut．edu．cn．随着无线传感器网络、嵌入式智能结构以及可穿

戴式健康监测等功耗低、独立工作系统的迅速发展，对

长寿命的独立电源供应技术的需求越来越强烈［1］

．现有的化学电池容量有限，需要不断地逐个更换耗尽的

电池，难以满足无线传感网的实际应用．电池的可用能

量是有限的，这将影响到系统的使用寿命，对于生物植

入等微传感器尤其重要

［2-3］

．振动机械能是一种存在范围很广的能量形式，尤其在许多人们难以进入的地方都有振动源存在，

研究振动能量收集技术具有更普遍的意义［4-5］

．收集振动能方式有压电转换、电磁转换和静电转换3种．其中，电磁转换输出电流大但电压较

低，为后续电能管理电路的设计带来了困难；静电转换

DOI:10.13494/j.npe.2011.001

·2·纳米技术与精密工程第9卷第1期

工作时需要额外的电压源，实际应用时较难实现；压电转换具有机电转换效率高、输出电压高的优点，因而获得了广泛的关注．环境振动驱动的微型压电发电工作原理是利用环境振动使压电悬臂梁发电系统产生受迫振动，从而引起压电体在激振力作用下发生机械应变，经材料内部的机电耦合转换将机械应变能转换为电能输出．以压电陶瓷机电耦合性能作为换能基础设计制作的微型压电发电装置具备结构简单、能量密度高、与MEMS加工工艺兼容等特点［6］．大连理工大学杜小振等人［3］已经研究过压电悬臂梁微电源的制作工艺，并制作出带质量块的微压电悬臂梁结构．但是，由于制作工艺的限制，悬臂梁质量块被严重侧蚀从而体积变小，得不到更低谐振频率的压电悬臂梁．本文在杜小振等人的研究基础上，对微型硅基压电悬臂梁加工工艺进行了改进，解决了悬臂梁质量块的侧蚀问题，得到了几何尺寸完整的悬臂梁质量块结构，大大降低了悬臂梁的固有频率，同时对压电悬臂梁进行了固有频率分析以及静态和准静态标定［7］．

1微压电悬臂梁的结构设计

根据压电材料的特性，微型压电发电装置的结构具有多种形式，而能够实现集成制作的结构主要是硅基压电薄膜结构．设计合理的发电装置结构一方面要求满足微加工技术要求，另一方面能获得较高的电量输出．

环境振动驱动的微型压电发电装置要求对振动敏感、拾振性能好．在MEMS器件中，以悬臂梁作为拾振结构得到广泛应用．1931年Sawyer［8］发明了压电双晶片（bimorph）结构并将其成功地应用到声学器件中．当压电悬臂梁结构的自由端受到外力作用时，就可以在压电晶体的上下自由表面产生电荷．

传感器所用的压电悬臂梁结构设计要求具有较高的频率和灵敏度，以达到提高测量信号信噪比的目的．作为压电执行器要求在电场作用下，悬臂梁的自由端输出较大的力和位移．而作为微型电源设备的压电悬臂梁结构与上述设计要求不同，微电源压电悬臂梁结构的设计目的是为了使悬臂梁在振动环境中能够实现共振模式，因此需要使悬臂梁的振动频率与环境振动频率接近．由于环境中普遍存在着主振频率在100 500Hz之间的低频振动源，如洗衣机、微波炉、室内地板等，因此，我们设计的压电悬臂梁的谐振频率必须在100 500Hz之间，才能使悬臂梁在这些振动源中达到共振，最大程度地输出电能．

然而，微型压电悬臂梁的固有频率一般很高，如大连理工大学微系统中心刘梦伟［9］制作的微力压电传感器，其压电悬臂梁的固有频率为几千乃至上万赫兹．因此，为了获得更低的谐振频率，我们在悬臂梁的自由端增加了质量块，同时适当增加了自由端宽度．在压电悬臂梁的自由端增加集中质量块，具有以下两个优点：①能够降低悬臂梁的固有频率，使结构的固有频率与环境振动频率相同或接近，从而使压电发电的振动系统在接近共振状态下工作；②自由端集中质量增加惯性力，从而增加悬臂梁的变形，即增加输入压电层的机械能，输出电能也就相应提高，最终设计的硅基压电悬臂梁结构如图1所示

．

图1硅基压电悬臂梁示意

2微压电悬臂梁的制作工艺

目前制作压电悬臂梁的常用方法是体硅加工工艺和面硅加工工艺．本文选用体硅工艺，通过湿法刻蚀与干法刻蚀相结合实现悬臂梁的释放和表面图形化．对文献［3］中的体硅工艺进行了改进，进一步优化了制作悬臂梁的工艺流程．

压电悬臂梁制作工艺流程如图2所示．首先，将双面抛光5.08cm单晶硅片清洗后放入高温氧化炉中，在表面生长约1.4μm厚的SiO2薄膜（见图2（a））．然后，利用干法刻蚀机刻蚀背面SiO2硅杯窗口，再用SiO

2

做掩膜干法刻蚀硅杯（见图2（b）），刻蚀深度为160μm．刻蚀后，在背面形成一个凸起的硅岛部分，即悬臂梁质量块结构．

由于干法刻蚀具有刻蚀精度高、大面积刻蚀均匀性好、高刻蚀纵宽比和高选择比、保持侧壁陡直等优点，因此本文采用干法刻蚀进行悬臂梁质量块的刻蚀，可得到形状规则的质量块结构，避免了侧蚀问题．光刻，双面对准，采用湿法腐蚀正面SiO2窗口（见图

2（c））．由于背面SiO

2

氧化层对后续工艺没有影响，因此在此工艺中背面SiO2层没有保护，在腐蚀过程中直接被腐蚀液腐蚀掉．正面溅射Ti/Pt底电极，溅射功率为300W，并用王水和HF酸腐蚀Ti/Pt，使底电极图形

2011年1月褚金奎等：收集环境振动能微压电悬臂梁的制作工艺与测试·3·

化（见图2（d ））．Sol-Gel 法制备PZT 溶胶，通过旋涂甩

胶的方法在Ti /Pt 底电极上制备PZT 压电层（见图2（e ））．溅射Ti 和Pt 上电极，溅射功率为150W ，利用剥离法使上电极图形化（见图2（f ））．制作PZT 绝缘保护层，在上电极旋涂PZT 前驱体溶胶，经过350?热处理，得到不定型的PZT 薄膜做绝缘层．然后用PZT 腐蚀液腐蚀正面SiO 2窗口内及上下电极焊盘处的

PZT 图2压电悬臂梁制作工艺流程

层（见图2（g ））．正面ICP 干法刻蚀悬臂梁（见图2（h ）），刻蚀深度即悬臂梁的厚度．背面ICP 释放悬臂

梁（见图2（i ））．从背面刻蚀直到完全释放悬臂梁，

最终制作的压电悬臂梁结构如图3和图4所示，得到的质量块接近设计的几何形状

．

图3

压电悬臂梁照片

图4PZT 悬臂梁的侧视SEM 图

3压电悬臂梁测试

压电悬臂梁尺寸为1800μm ?300μm ?8μm ，质量块尺寸为600μm ?450μm ?150μm．对该压电悬臂梁样品进行了固有频率分析、静态和准静态的标定实验．3.1

压电悬臂梁固有频率测试

利用压电陶瓷叠堆作为冲击源，悬臂梁在瞬时冲击作用下产生脉冲振动，悬臂梁上压电薄膜层产生的电压信号经电荷放大器放大，然后经模数（A /D ）转换

后保存响应信号，

对采集的时域信号作傅里叶分析，得到悬臂梁振动的频谱．对尺寸为1800μm ?300μm ?

8μm 的悬臂梁进行测试，其冲击响应频谱如图5所示，可以看出悬臂梁的固有频率为352

Hz．

图5硅基压电悬臂梁冲击响应频谱

·4·纳米技术与精密工程第9卷第1期

3.2

压电悬臂梁的静态测试

在进行压电悬臂梁的静态标定时，需要用电子天平对施加于悬臂梁尖端的微力进行检测．实验中采用瑞士梅特勒公司的AG245精密电子天平进行力的标定，其精度为0.01mg （0.1μN ），量程为0 42g．对悬臂梁进行静态测试，计算出梁的力常数．图6

给出了压电微悬臂梁的静态测量原理［8］

．将压电悬臂梁固定在电子天平上，使压电双晶片尖端探针与悬臂

梁尖端接触，

将直流电源施加于双晶片上使其向下弯曲，从而使悬臂梁尖端产生位移，同时用电子天平记录

悬臂梁尖端所受的力

．

图6压电微悬臂梁的静态测量原理

已知已经标定的压电双晶片的位移s 与电压U 之

间的关系曲线斜率为K sU =0.522μm /V．压电微悬臂梁的力常数为其尖端受力F 与位移s 之比，可以表示为

k =

F s =

mg

K sU U

（1）

式中：m 为微悬臂梁的质量；g 为重力加速度．

图7为压电微悬臂梁的静态测试结果．可以看到，在所加电压范围内，悬臂梁尖端所受的力与压电双晶片上所加载的电压呈线性关系，加载与卸载时均出现迟滞性，符合PZT 压电材料的特性，其平均斜率K mU =0.001685g /V ，根据式（1）可求得梁的力常数为k =31.63N

/m．

图7

压电微悬臂梁的质量与电压实验曲线

3.3压电悬臂梁的准静态测试

利用压电晶体的正压电效应，通过在悬臂梁尖端

施加一载荷F ，

悬臂梁表面就能产生压电电荷Q ，可计算出悬臂梁的灵敏度S =Q /F．同时，灵敏度的大小也间接反映出压电梁发电能力的大小．

压电微悬臂梁的准静态测量原理如图8所示．首

先，

将悬臂梁芯片固定在基座上，将交流电压施加于压电双晶片上使其振动，带动探针使微悬臂梁随其上下

振动并在上下电极上产生电荷，

通过电荷放大器将电荷采集并转化为电压信号，再通过锁相放大器读取电

压信号，得到灵敏度

S =

Q F =K QU U mg =K QU

gK mU

（2）

式中K QU 为电荷与电压曲线的斜率

．

图8

压电微悬臂梁的准静态测量原理

图9为压电微悬臂梁的准静态测试结果．可以看到，在所加电压范围内，压电电荷与压电双晶片上所加电压呈线性关系，其斜率K QU =0.1422pC /V．由式（2）计算可得S =8.44?103pC

/N．

图9压电微悬臂梁的电荷与电压实验曲线

4结语

本文设计了一种微型压电悬臂梁结构用于收集环

境振动能．首先，设计了微型悬臂梁的结构；然后，对硅

基压电悬臂梁的制作工艺进行了摸索和改进，解决了压电悬臂梁质量块的侧蚀问题，为压电悬臂梁的频率调节提供了条件，大大降低了结构的固有振动频率，使

2011年1月褚金奎等：收集环境振动能微压电悬臂梁的制作工艺与测试·5·

制作的悬臂梁固有振动频率可以降低到环境振动频率的范围，满足了收集振动能的结构设计要求；最后，利用体硅微加工工艺制作了收集环境振动能的压电微悬臂梁，同时对制作的压电悬臂梁样品进行了固有频率分析以及静态和准静态标实试验．实验结果表明，所制作的压电悬臂梁的固有频率降到300Hz左右，能够在日常振动环境中实现共振，可产生较大的弹性变形，提高了电能输出．

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nology，2006（in Chinese）．

说明：在下面的数据处理中，如1 A，11d T，1δ，1ξ，1n T，1nω：表示第一次实 1 验中第一、幅值、对应幅值时间、变化率、阻尼比、无阻尼固有频率。第二 次和和三次就是把对应的1改成2或3.由于在编缉公式时不注意２，３与平 方，三次方会引起误会，请老师见谅！！ Ap0308104 陈2006-7-1 实验题目：悬臂梁一阶固有频率及阻尼系数测试 一、实验要求以下： 1. 用振动测试的方法，识别一阻尼结构的（悬臂梁）一阶固有频率和阻尼系数； 2. 了解小阻尼结构的衰减自由振动形态； 3. 选择传感器，设计测试方案和数据处理方案，测出悬臂梁的一阶固有频率和阻尼 根据测试曲线，读取数据，识别悬臂梁的一阶固有频率和阻尼系数。 二、实验内容 识别悬臂梁的二阶固有频率和阻尼系数。 三、测试原理概述： 1，瞬态信号可以用三种方式产生，有脉冲激振，阶跃激振，快速正弦扫描激振。 2，脉冲激励用脉冲锤敲击试件，产生近似于半正弦的脉冲信号。信号的有效频率取决于脉冲持续时间τ，τ越小则频率范围越大。 3.幅值：幅值是振动强度的标志，它可以用峰值、有效值、平均值等方法来表示。 频率：不同的频率成分反映系统内不同的振源。通过频谱分析可以确定主要频率成分及其幅值大小，可以看到共振时的频率，也就可以得到悬臂梁的固有频率 4、阻尼比的测定 自由衰减法: 在结构被激起自由振动时，由于存在阻尼，其振幅呈指数衰减波形，可算出阻尼比。一阶固有频率和阻尼比的理论计算如下：

11 3 3 44 4 2 3.515(1) 2=210 ;70;4;285;7800 ; ,12 12 ,, Ix = 11.43 c m Iy= 0.04 c m 0.004 2.810,,1x y y f k g E p a b m m h m m L m m m a b a b I I I m m E L π ρρ-----------?===== = ?=?固x y ＝ 式惯性矩：把数据代入I 后求得 载面积：S ＝b h =0.07m 把S 和I 及等数据代入（）式， 求得本41.65() H Z 固理悬臂梁理论固有频率f ＝ 阻尼比计算如下： 2 2 2 1 111 220, 2,........ln , ,22;n d n n n d n d n T i i i j j i i i i j i i i j i n d i j n d n d d d d x d x c k x d t d t c e A A A A A T A T T ξωξωωξωωωξωωηη δξωωωωωπδπξ++ -++ +++ + ++=++===≈== ? ?? ==≈2 二阶系统的特征方程为S 微分方程：m 当很少时，可以把。A 减幅系数＝而A A A A A 1则：＝ j 又因为所以＝＝，所以＝即可知δξπ ＝ 2 在这个实验中，我们使用的是自由衰减法，以下是实验应该得到的曲线样本及物理模型。

实验题目：悬臂梁固有频率测试实验数据处理 一、实验要求以下： 1. 用振动测试的方法，识别一阻尼结构的（悬臂梁）一阶固有频率和阻尼系数； 2. 了解小阻尼结构的衰减自由振动形态； 3. 选择传感器，设计测试方案和数据处理方案，测出悬臂梁的一阶固有频率和阻尼 根据测试曲线，读取数据，识别悬臂梁的一阶固有频率和阻尼系数。 二、实验内容 识别悬臂梁的二阶固有频率和阻尼系数。 三、测试原理概述： 1，瞬态信号可以用三种方式产生，有脉冲激振，阶跃激振，快速正弦扫描激振。 2，脉冲激励用脉冲锤敲击试件，产生近似于半正弦的脉冲信号。信号的有效频率取决于脉冲持续时间τ，τ越小则频率范围越大。 3.幅值：幅值是振动强度的标志，它可以用峰值、有效值、平均值等方法来表示。 频率：不同的频率成分反映系统内不同的振源。通过频谱分析可以确定主要频率成分及其幅值大小，可以看到共振时的频率，也就可以得到悬臂梁的固有频率 实验步骤及内容 1，按要求，把各实验仪器连接好接入电脑中，然后在悬臂梁上粘紧压电式加速度传感器打开计算机，。。 2，打开计算机，启动计算机上的“振动测试及谱分析.vi ”。 3，选择适当的采样频率和采样点数以及硬件增益。点击LabVIEW 上的运行按钮（Run ）观察由脉冲信号引起梁自由衰减的曲线的波形和频谱。 4，尝试输入不同的滤波截止频率，观察振动信号的波形和频谱的变化。 5，尝试输入不同的采样频率和采样点数以及硬件增益，观察振动信号的波形变化。 6，根椐最合适的参数选择，显示最佳的结果。然后按下“结束按钮，完成信号采集。最后我选择的参数是：采样频率 f为512HZ,采样点数N为512点。 s 7，记录数据，copy读到数据的程序，关闭计算机。

悬臂梁固有频率的计算 试求在0x =处固定、x l =处自由的等截面悬臂梁振动的固有频率（求解前五阶）。 解：法一：欧拉-伯努利梁理论 悬臂梁的运动微分方程为：4242(,)(,)+0w x t w x t EI A x t ρ??=??； 悬臂梁的边界条件为：2222(0)0(1),(0)0(2)0(3),(EI )0(4)x l x l dw w w w x x dx x x x ==???======???，； 该偏微分方程的自由振动解为(x,t)W(x)T(t)w =，将此解带入悬臂梁的运动微分方程可得到 1234(x)C cos sin cosh sinh W x C x C x C x ββββ=+++，(t)Acos t Bsin t T w w =+；其中2 4 A EI ρωβ= 将边界条件（1）、（2）带入上式可得13C 0C +=，24C 0C +=；进一步整理可得 12(x)C (cos cosh )(sin sinh )W x x C x x ββββ=-+-；再将边界条件（3）、（4）带入可得 12(cos cosh )C (sin sinh )0C l l l l ββββ-+-+=；12(sin sinh )C (cos cosh )0C l l l l ββββ--+-+=要 求12C C 和有非零解，则它们的系数行列式必为零，即 (cos cosh ) (sin sinh ) =0(sin sinh )(cos cosh ) l l l l l l l l ββββββββ-+-+--+-+ 所以得到频率方程为：cos()cosh()1n n l l ββ=-； 该方程的根n l β表示振动系统的固有频率：12 2 4 ()(),1,2,...n n EI w l n Al βρ==满足上式中的各 n l β（1,2,...n =）的值在书P443表8.4中给出，现罗列如下：123451.875104 4.6940917.85475710.99554114.1372l l l l l βββββ=====，，，，； 若相对于n β的2C 值表示为2n C ，根据式中的1n C ，2n C 可以表示为21cos cosh ()sin sinh n n n n n n l l C C l l ββββ+=-+；

实验 等截面悬臂梁模态测试实验 一、 实验目的 1. 熟悉模态分析原理； 2. 掌握悬臂梁的测试过程。 二、 实验原理 1. 模态分析基本原理 理论上，连续弹性体梁有无限多个自由度，因此需要无限多个连续模型才能描述，但是在实际操作中可以将连续弹性体梁分为n 个集中质量来研究。简化之后的模型中有n 个集中质量，一般就有n 个自由度，系统的运动方程是n 个二阶互相耦合（联立）的常微分方程。这就是说梁可以用一种“模态模型”来描述其动态响应。 模态分析的实质，是一种坐标转换。其目的在于把原在物理坐标系统中描述的响应向量，放到所谓“模态坐标系统”中来描述。这一坐标系统的每一个基向量恰是振动系统的一个特征向量。也就是说在这个坐标下，振动方程是一组互无耦合的方程，分别描述振动系统的各阶振动形式，每个坐标均可单独求解，得到系统的某阶结构参数。 多次锤击各点，通过仪器记录传感器与力锤的信号，计算得到第ｉ个激励点与定响应点（例如点2）之间的传递函数 ω ，从而得到频率响应函数矩阵中的一行 频响函数的任一行包含所有模态参数，而该行的r 阶模态的频响函数 的比值，即为r 阶模态的振型。 2. 激励方法 为进行模态分析，首先要测得激振力及相应的响应信号，进行传递函数分析。传递函数分析实质上就是机械导纳，i 和j 两点之间的传递函数表示 [] ∑==N r iN r i r i r H H H 1 21 ... [] Nr r r N r r r r ir k c j m ???ωω? (2112) ∑ =++-=[]{}[] T r ir N r r iN i i Y H H H ??∑==1 21 ...

实验二十八悬臂梁固有频率测量实验 1. 简介 悬臂梁实验台主要是针对高校工程测试课程实验教学需要而设计的，结合drvi快速可重组虚拟仪器开发平台、振动测量传感器和数据采集仪，可以开设悬臂梁固有频率测量实验。 2. 结构组成 悬臂梁实验台的结构示意如图1所示，结构总体尺寸为120×110×150mm(长×宽×高)，主要包括的零件有： 图1 悬臂梁实验台结构示意图 1. 悬臂 2. 底座 3. 操作说明 3.1 实验准备 运用悬臂梁实验台进行实验教学所需准备的实验设备为： 1. 悬臂梁实验台（lxbl-a）1套 2. 加速度传感器（yd-37）1套 3. 加速度传感器变送器（lbs-12-a）1台 4. 蓝津数据采集仪（ldaq-epp2）1台 5. 开关电源（ldy-a）1套 6. 脉冲锤1只 7. 5芯对等线1条 备齐所需的设备后，将加速度传感器安装在悬臂梁前端的安装孔上，然后将加速度传感器与变送器相连，变送器通过5芯对等线与数据采集仪1通道连接，数据采集仪通过并口电缆与pc机并口连接，加速度传感器调理电路模块接线如图2所示。在保证接线无误的情况下，可以开始进行实验。

图2 加速度传感器调理电路接线示意图 3.2 实验操作 悬臂梁固有频率测量实验利用加速度传感器来测量悬臂振动的信号，经过频谱变换（fft）处理后得到悬臂梁的一阶固有频率，需要注意的是该实验数据采集采用预触发方式，数据采集仪的触发电平要根据现场情况进行设置，实验过程如下： 1. 启动服务器，运行drvi主程序，开启drvi数据采集仪电源，然后点击drvi快捷工具条上的“联机注册”图标，进行服务器和数据采集仪之间的注册。联机注册成功后，启动drvi内置的“web服务器功能”，开始监听8500端口。 图3 悬臂梁固有频率测量实验样本图 2. 启动drvi中的“悬臂梁固有频率测量”实验脚本，然后设定数据采集仪的工作模式为外触发采样，同时设置触发电平(如800)和预触发点数（如20），然后点击“运行”按钮启动采样过程（由于采用外触发采样方式，此时处于等待状态）。 3. 用脉冲锤敲击悬臂梁，产生脉冲激振。敲击的力幅要适当，着力点要准确，迅速脱开。如检测不到冲击振动信号，则适当修改采集仪中的预触发电平，然后点击面板中的“开始”按钮再次进行测量，此时，信号分析窗口中应显示出悬臂梁受瞬态激励后输出的信

悬臂梁固有频率的计 算

悬臂梁固有频率的计算 试求在0x =处固定、x l =处自由的等截面悬臂梁振动的固有频率（求解前五阶）。 解：法一：欧拉-伯努利梁理论 悬臂梁的运动微分方程为：4242(,)(,)+0w x t w x t EI A x t ρ??=??； 悬臂梁的边界条件为：2222(0)0(1),(0)0(2)0(3),(EI )0(4)x l x l dw w w w x x dx x x x ==???======???，； 该偏微分方程的自由振动解为(x,t)W(x)T(t)w =，将此解带入悬臂梁的运动微分方程可得到1234(x)C cos sin cosh sinh W x C x C x C x ββββ=+++，(t)Acos t Bsin t T w w =+；其中2 4A EI ρωβ= 将边界条件（1）、（2）带入上式可得13C 0C +=，24C 0C +=；进一步整理可得12(x)C (cos cosh )(sin sinh )W x x C x x ββββ=-+-；再将边界条件（3）、（4）带入可得12(cos cosh )C (sin sinh )0C l l l l ββββ-+-+=；12(sin sinh )C (cos cosh )0C l l l l ββββ--+-+=要求12C C 和有非零解，则它们的系数行列式必为零，即 (cos cosh ) (sin sinh )=0(sin sinh )(cos cosh ) l l l l l l l l ββββββββ-+-+--+-+ 所以得到频率方程为：cos()cosh()1n n l l ββ=-；该方程的根 n l β表示振动系统的固有频率：1224 ()(),1,2,...n n EI w l n Al βρ==满足上式中的各n l β（1,2,...n =）的值在书P443表8.4中给出，现罗列如下：123451.875104 4.6940917.85475710.99554114.1372l l l l l βββββ=====，，，，；

实验五 悬臂梁各阶固有频率及主振形的测定试验 一、实验目的 1、用共振法确定悬臂梁横向振动时的各阶固有频率。 2、熟悉和了解悬臂梁振动的规律和特点。 3、观察和测试悬臂梁振动的各阶主振型。分析各阶固有频率及其主振型的实测值与理论计算值的误差。 二、基本原理 悬臂梁的振动属于连续弹性体的振动，它具有无限多自由度及其相应的固有频率和主振型，其振动可表示为无穷多个主振型的叠加。对于梁体振动时，仅考虑弯曲引起的变形，而不计剪切引起的变形及其转动惯量的影响，这种力学分析模型称为欧拉-伯努利梁。 运用分离变量法，结合悬臂梁一端固定一端自由的边界条件，通过分析可求得均质、等截面悬臂梁的频率方程 1 L Lch cos -=ββ （5-1） 式中：L ——悬臂梁的长度。 梁各阶固有园频率为 A EI i i n 2 ρβω= （5-2） 对应i 阶固有频率的主振型函数为 ) ,3,2,1() sin (sin cos cos )( =-++- -=i x x sh L L sh L L ch x x ch x X i i i i i i i i i ββββββββ （5-3） 对于（5-1）式中的β，不能用解析法求解，用数值计算方法求得的一阶至四阶固有园频率和主振型的结果列于表5-1。 各阶固有园频率之比 1f ﹕1f ﹕1f ﹕1f ﹕… = 1﹕6.269﹕17.56﹕34.41﹕… （5-4） y A B x h L b 图5-1 悬臂梁振动模型 表（5-1）给出了悬臂梁自由振动时i =1～4阶固有园频率及其相应主振型函数。除了悬臂梁固定端点边界位移始终为零外，对于二阶以上主振型而言，梁上还存在一些点在振动过程中位移始终为零的振型节点。i 阶振型节点个数等于i -1，即振型节点个数比其振型的阶数小1。 实验测试对象为矩形截面悬臂梁（见图5-2所示）。在实验测试时，给梁体施加一个大小适当的激扰作用力，其频率正好等于梁体的某阶固有频率，则梁体便会产生共振，这时梁体变形即为该阶固有频率所对应的主振型，其它各阶振型的影响很小可忽略不计。用共振法确定悬臂梁的各阶固有频率及振型，我们只要连续调节激扰力，当悬臂梁出现某阶主振型且振动幅值最大即悬臂梁产生共振时，这时激扰力的频率就可以认为是悬臂梁的这一阶振动的固有频率。在工程实践中，最重要是确定振动系统最低的几阶固有频率及其主振型。本实验主要运用共振法测定悬臂梁一、二、三、四阶固有频率及其相应的主振型。

报告四报告四 悬臂梁振动参数测试试验 一 实验目的实验目的 1.了解机械振动测试的基本原理 方法 技能 2.掌握自由共振法确定系统的固有频率和阻尼比的方法 3.了解机械振动数据处理方法 二 要仪器设备 要仪器设备 1.悬臂梁—被测 象 2.DASP 数据采集 分析系统 该系统集成 信号发生器示波器 信号分析仪 和 频响函数测试仪 种仪器， 有多通道同 采集 能，并 采集到的信号实 时域 频域多种分析 能， 有 被测振动系统的频响函数测试的 能 3.电荷放大器—前置放大器 4. 速度计 自由共振法自由共振法 1.1.时域法测梁的振动频率和阻时域法测梁的振动频率和阻时域法测梁的振动频率和阻尼尼 本实验中，圆频率 d ωω=当ξ很小时，有 d d ,2/n T ωωωπ≈= 中，正由测量得到 所示，当ξ很小时，有 1 定d n ωω≈ 2 确定ξ ξ= ln i n i n M M δ+= 2.2.频域法测梁的振动频率 阻尼频域法测梁的振动频率 阻尼频域法测梁的振动频率 阻尼 因 d ωω=当ξ很小时，有 r n ωω≈ 1 由()A ω减掉ω 的共振峰来确定n ω

2 212n ωωξω?= ，12(1)(1)n n ωξωωξω=?=+ 12()()A A ωω≈≈ 四 按理论 式计算按理论 式计算 梁的固有频率梁的固有频率 已知 ()n f HZ = 式中 E ——梁的弹性模量 0I ——梁横截面惯性矩 L ——悬臂梁长度 S ——梁的横截面积 A ——振型常数 3.52A = 一阶 ρ——梁材料单位体积质量 五 悬臂梁振动参数的测试悬臂梁振动参数的测试 图1 实验测试悬臂梁

悬臂梁固有频率测量

上海第二工业大学 名称：传感器与测试技术技能实习 专业：机械电子工程 班级：13机工A1 姓名： 学号：2013481 指导老师：杨淑珍孙芳方 实训地点：14#407

目录 一、技能实习内容及要求 (1) 二、总体方案设计 (2) 2-1. 测量原理 (2) 2-2. 测试系统组成 (2) 2-3. 激励方法 (3) 三、实验硬的件选用 (3) 3-1、悬臂梁 (3) 3-2.传感器 (4) 3-3、电荷放大器 (5) 3-4、采集卡 (6) 四、硬件电路的设计 (6) 五、测量软件设计 (9) 六、小结和体会 (16)

一、技能实习内容及要求 1-1. 内容： 设计一个测试悬臂梁固有频率的自动测试系统，悬臂梁如下所示： 具体技术要求： 能显示相应所采集到的波形图、频谱图等相关图 能显示固有频率 能对固有频率进行超限报警，上下限制用户可设定 生成当前测试报告，（包括相应波形图和固有频率值以及合格状态） 1-2. 实训要求： 1、提出设计方案（提出测量原理，传感器选用和安装，构建测试系统） 2、设计测量电路（包括放大，滤波电路，制作滤波电路） 3、测试软件设计：利用Labview或其它开发程序（VB、VC等），设计测量软件进行数据采集和分析 4、调试 5、撰写实训报告 1-3. 报告要求： 1．实训内容 2.撰写总体设计方案 3.硬件选用（包括传感器、采集卡的选用和安装等） 4.电路设计（包括测量电路设计，系统总电路）

5.测量软件设计（包括软件设计流程图，各功能实现方法和代码，包括个主程序，子程序描述以及相应的重要参数设置如采样通道，采样频率，采样点数） 6.小结和体会（可包含调试中遇到的问题） 二、总体设计方案 2-1．测量原理： 在测试的过程中，通过脉冲锤敲击悬臂梁的横梁产生一个脉冲信号。信号会逐渐衰减，在衰减过程中会有一个时刻衰减到的频率和悬臂梁的固有频率相同，我们要找到的就是这个相同的频率，这个频率与悬臂梁固有频率形成共振，那时候的复制达到最大，用labview分析这个值，就可以测出悬臂梁的固有频率。 2-2．测试系统的组成： 图1测试系 测试系统包括下述三个主要部分： 激励部分：

上海第二工业大学 名称：传感器与测试技术技能实习 专业：机械电子工程 班级：13机工A1 姓名： 学号：2013481 指导老师：杨淑珍孙芳方 实训地点：14#407

目录 一、技能实习内容及要求 (1) 二、总体方案设计 (2) 2-1. 测量原理 (2) 2-2. 测试系统组成 (2) 2-3. 激励方法 (3) 三、实验硬的件选用 (3) 3-1、悬臂梁 (3) 3-2.传感器 (4) 3-3、电荷放大器 (5) 3-4、采集卡 (6) 四、硬件电路的设计 (6) 五、测量软件设计 (9) 六、小结和体会 (16)

一、技能实习内容及要求 1-1. 内容： 设计一个测试悬臂梁固有频率的自动测试系统，悬臂梁如下所示： 具体技术要求： 能显示相应所采集到的波形图、频谱图等相关图 能显示固有频率 能对固有频率进行超限报警，上下限制用户可设定 生成当前测试报告，（包括相应波形图和固有频率值以及合格状态） 1-2. 实训要求： 1、提出设计方案（提出测量原理，传感器选用和安装，构建测试系统） 2、设计测量电路（包括放大，滤波电路，制作滤波电路） 3、测试软件设计：利用Labview或其它开发程序（VB、VC等），设计测量软件进行数据采集和分析 4、调试 5、撰写实训报告 1-3. 报告要求： 1．实训内容 2.撰写总体设计方案 3.硬件选用（包括传感器、采集卡的选用和安装等） 4.电路设计（包括测量电路设计，系统总电路） 5.测量软件设计（包括软件设计流程图，各功能实现方法和代码，包括个主程序，子程序描述以及相应的重要参数设置如采样通道，采样频率，采样点数） 6.小结和体会（可包含调试中遇到的问题）

精品资料 悬臂梁各阶固有频率及主振形的测定试验 一、实验目的 1、用共振法确定悬臂梁横向振动时的前五阶固有频率； 2、熟悉和了解悬臂梁振动的规律和特点； 3、观察和测试悬臂梁振动的各阶主振型，分析各阶固有频率及其主振型的实测值与理论计算值的误差。 二、仪器和设备 悬臂梁固定支座；脉冲锤1个；圆形截面悬臂钢梁标准件一个；加速度传感器一个；LMS振动噪声测试系统。 三、实验基本原理 瞬态信号可以用三种方式产生,分述如下： 一是快速正弦扫频法.将正弦信号发生器产生的正弦信号,在幅值保持不变的条件下,由低频很快地连续变化到高频.从频谱上看,该情况下,信号的频谱已不具备单一正弦信号的特性,而是在一定的频率范围内接近随机信号. 二是脉冲激励.用脉冲锤敲击试件,产生近似于半正弦的脉冲信号.信号的有效频率取决于脉冲持续时间τ,τ越小则频率范围越大. 三是阶跃激励.在拟定的激振点处,用一根刚度大、重量轻的弦经过力传感器对待测结构施加张力,使其产生初始变形,然后突然切断张力弦,相当于给该结构施加一个负的阶跃激振力. 用脉冲锤进行脉冲激振是一种用得较多的瞬态激振方法,它所需要的设备较

少,信号发生器、功率放大器、激振器等都可以不要,并且可以在更接近于实际工作的条件下来测定试件的机械阻抗. 四、实验结果记录 前五阶固有频率表 阶数固有频率（Hz） 1 8.491 2 54.216 3 154.607 4 304.354 5 494.691 实验测得的前五阶振型图如下： 1阶振型图

2阶振型图 3阶振型图 4阶振型图

5阶振型图 五、理论计算悬臂梁固有频率 圆截面悬臂钢梁有关参数可取：Pa E 11101.2?=,7850=ρkg/3 m 。用直尺测 量悬臂梁的梁长L=1000mm 、梁直径D=12mm 。计算简支梁一、二、三、四阶固有频率和相应的振型，并将理论计算结果填入表。 悬臂梁的振动属于连续弹性体的振动，它具有无限多自由度及其相应的固有频率和主振型，其振动可表示为无穷多个主振型的叠加。对于梁体振动时，仅考虑弯曲引起的变形，而不计剪切引起的变形及其转动惯量的影响，这种力学分析 模型称为欧拉-伯努利梁。 运用分离变量法，结合悬臂梁一端固定一端自由的边界条件，通过分析可求得均质、等截面悬臂梁的频率方程 1 L Lch cos -=ββ （5-1） 式中：L ——悬臂梁的长度。 梁各阶固有频率为 4 2 2(Al EI l f i i ρπ β）= （5-2） 悬臂梁固有圆频率及主振型函数

堆取料机悬臂梁的振动特性思考 在推动我国经济建设的过程之中，建筑领域在我国实现了快速的发展。不可否认，作为我国国民经济中的重要组成部分，建筑业对实现我国的稳定建设有着关键的作用和价值，与其他的行业相比，建筑业的整个运作模式更为复杂涉及许多不同的设备和工艺，堆取料机是各类工程施工之中的重要设备，作为应用相对比较广泛的散料装卸设备，堆取料机的操作非常的简单，同时工作效率比较高，能够保障操作的安全性和可靠性，因此许多国家以及地区在推动经济建设的过程之中，不断的将其运用于现有的工程建设中。文章以堆取料机悬臂梁的振动特性为切入点，对这一特点进行进一步的分析以及研究，一起为发挥堆取料机应有的作用提供一定的借鉴。 标签：堆取料机；悬臂梁；振动特性 Abstract：In the process of promoting China’s economic construction，the rapid development of the field of architecture in our country. Undeniably，as an important part of our national economy，the construction industry has a key role and value to achieve the stability of the construction of our country. Compared with other industries，the construction industry has a key role and value. The whole operation mode of construction industry is more complicated，which involves many different equipments and processes. The stacker and reclaimer is important equipment in all kinds of engineering construction. As a widely used bulk loading and unloading equipment，the operation of stacker and reclaimer is very simple. Work efficiency is relatively high enough to ensure the safety and reliability of the operation，so many countries and regions，in the process of promoting economic construction，continue to apply it to the existing project construction. Based on the vibration characteristics of the cantilever beam of the stacker-reclaimer，this paper makes further analysis and research on this characteristic，and provides some references for giving full play to the function of the stacker-reclaimer. Keywords：stacker and reclaimer；cantilever beam；vibration characteristics 引言 隨着我国城镇化进程的不断加快，现代工业技术在我国实现了快速的发展，在一些大型工程建设的过程之中，堆取料机的使用尤为普遍，同时在建材，冶金，矿山，交通，电力等不同的部门和领域之中，堆取料机的应用备受社会各界的广泛关注。与其他的设备和工艺相比，堆取料机在整个操作的过程之中需要以较为熟练的操作技巧为切入点，结合工程建设的实施情况充分的发挥堆取料机的作用和价值，促进生产效率的提升，更好的保障堆取料机结构的优化升级，提高使用寿命和安全性，积极的降低设备的重量。 1 堆取料机

悬臂梁各阶固有频率及主振形的测定试验 一、实验目的 1、用共振法确定悬臂梁横向振动时的前五阶固有频率； 2、熟悉和了解悬臂梁振动的规律和特点； 3、观察和测试悬臂梁振动的各阶主振型，分析各阶固有频率及其主振型的实测值与理论计算值的误差。 二、仪器和设备 悬臂梁固定支座；脉冲锤1个；圆形截面悬臂钢梁标准件一个；加速度传感器一个；LMS振动噪声测试系统。 三、实验基本原理 瞬态信号可以用三种方式产生,分述如下： 一是快速正弦扫频法.将正弦信号发生器产生的正弦信号,在幅值保持不变的条件下,由低频很快地连续变化到高频.从频谱上看,该情况下,信号的频谱已不具备单一正弦信号的特性,而是在一定的频率范围内接近随机信号. 二是脉冲激励.用脉冲锤敲击试件,产生近似于半正弦的脉冲信号.信号的有效频率取决于脉冲持续时间τ,τ越小则频率范围越大. 三是阶跃激励.在拟定的激振点处,用一根刚度大、重量轻的弦经过力传感器对待测结构施加张力,使其产生初始变形,然后突然切断张力弦,相当于给该结构施加一个负的阶跃激振力. 用脉冲锤进行脉冲激振是一种用得较多的瞬态激振方法,它所需要的设备较少,信号发生器、功率放大器、激振器等都可以不要,并且可以在更接近于实际工作的条件下来测定试件的机械阻抗. 四、实验结果记录

前五阶固有频率表 阶数固有频率（Hz） 1 8.491 2 54.216 3 154.607 4 304.354 5 494.691 实验测得的前五阶振型图如下： 1阶振型图 2阶振型图

3阶振型图 4阶振型图 5阶振型图

五、理论计算悬臂梁固有频率 圆截面悬臂钢梁有关参数可取：Pa E 11101.2?=,7850=ρkg/3 m 。用直尺测 量悬臂梁的梁长L=1000mm 、梁直径D=12mm 。计算简支梁一、二、三、四阶固有频率和相应的振型，并将理论计算结果填入表。 悬臂梁的振动属于连续弹性体的振动，它具有无限多自由度及其相应的固有频率和主振型，其振动可表示为无穷多个主振型的叠加。对于梁体振动时，仅考虑弯曲引起的变形，而不计剪切引起的变形及其转动惯量的影响，这种力学分析 模型称为欧拉-伯努利梁。 运用分离变量法，结合悬臂梁一端固定一端自由的边界条件，通过分析可求得均质、等截面悬臂梁的频率方程 1 L Lch cos -=ββ （5-1） 式中：L ——悬臂梁的长度。 梁各阶固有频率为 4 2 2(Al EI l f i i ρπ β）= （5-2） 悬臂梁固有圆频率及主振型函数 频率方程 A EI f L Lch ρπββ211 cos *= -= i 固有圆频率i n f 主振型函数 )(x X i 1 * 21 1 f f β= 2 *2 22f f β= 3 *2 33f f β= 4 *2 44f f β= 5 *2 55f f β=

悬臂梁固有频率的计算

若相对于n β的2C 值表示为2n C ，根据式中的1n C ，2n C 可以表示为21cos cosh ( )sin sinh n n n n n n l l C C l l ββββ+=-+；因此1cos cosh (x)C (cos x cosh x)(sin x sinh x),1,2,...sin sinh n n n n n n n n n n l l W n l l ββββββββ??+=---=??+??由此可得 到悬臂梁的前五阶固有频率，分别将n=1,2,3,4,5带入可得： 111 2 22 222123444 1.875104() 4.694091()7.854757()EI EI EI Al Al Al ωωωρρρ===，，， 112 22 24544 10.995541()14.1372()EI EI Al Al ωωρρ==，； 法二、铁摩辛柯梁梁理论 1.悬臂梁的自由振动微分方程： 4242442224(,)(,)(1)0 w x t w x t E w I w EI A I kG kG x t x t t ρρρ????+-++=?????； 边界条件：(0)(0)0w x x φ====（1），0x l x l w x x φ φ ==??-==??（2） ； 设方程的通解为：(,)Csin cos n n x w x t w t l π=；易知边界条件（1）满足此通解，将通解带入上面的微分方程可得到频率方程为：4 2222222444 2224 r ()(1)0n n n r n r E n w w kG l l kG l ρππαπ-+++=；其中22 I EI r A A αρ==，；若 转动惯量与剪切变形的影响均忽略，上式的频率方程简化为22 22 22 =n n EI n w l A l αππρ= ；当n=1,2,3,4,5时可分别求得固有频率为： 22222 1234522222 491625EI EI EI EI EI w w w w w A l A l A l A l A l πππππρρρρρ=====

现罗列如下： 1丨=1.875104,讨=4.694091, '丨=7.854757, ■ 4^ 10.995541，冷丨=14.1372 ； 若相对于哨C 2 值表示为C 2n ，根据式中的C 1 "，C 2 ^可以表示为 C 2" = 6（册刖）； 悬臂梁固有频率的计算 试求在X = 0处固定、X =1处自由的等截面悬臂梁振动的固有频率（求解前五阶） 解：法一：欧拉-伯努利梁理论 悬臂梁的运动微分方程为： EI 叫刀+ Jw^t ）二o & a 悬臂梁的边界条件为: dw c w w(x=0)=0(1),￡(x=0)= 0(2)，x 2 w = 0(3), (El —2- X ± :X :' X 该偏微分方程的自由振动解为 w （x, t ）二W （x ）T （t ），将此解带入悬臂梁的运动微分方程可得到 W(x)二 G cos : x C 2sin : x C 3cosh : x C 4 sinh : x ，T(t)二 Acos wt Bsin wt ；其中：4 :：A 2 EI 将边界条件（1）、（ 2）带入上式可得 C 1+C 3=0，C 2 + C 4=0 ；进一步整理可得 W （x ） =G （cos Px —cosh 卩 x ）+C 2（s in Px —si nh ?x ）；再将边界条件（3 ）、（ 4）带入可得 -C 1 （cos : l cosh ：丨）- C 2（sin :丨 sinh ：丨）=0 ； -Cd - sin 11 sinh ：丨） - C 2（cos : l cosh ：丨） =0 要 求C i 和 C 2有非零解，贝尼们的系数行列式必为零，即 -(cosBl +cosh B l) -(sin B l+sinhBl) -(-sin P l+sinhPl) -(cos P l+cosh P l) 所以得到频率方程为.COS (:n l)COSh (:n l) =-1 .该方程的根n l 表示振动系统的固有频率: W n =( :n l)2 (-TA7)2 ,n =12…满足上式中的各 'n l （n 二1,2 ,…）的值在书P443表8.4中给出,

悬臂梁固有频率测试 一、实验目的 (1) 了解加速度传感器的工作原理和安装方式 (2) 了解振动参量的测试 (3) 掌握信号的频谱分析 二、实验原理 瞬态信号可以用三种方式产生，分述如下： 一是快速正弦扫频法。将正弦信号发生器产生的正弦信号，在幅值保持不变的条件下，由低频很快地连续变化到高频。从频谱上看，该情况下，信号的频谱已不具备单一正弦信号的特性，而是在一定的频率范围内接近随机信号。 是脉冲激励。用脉冲锤敲击试件，产生近似于半正弦的脉冲信号。信号的有效频率取决于脉冲持续时间τ，τ越小则频率范围越大。 三是阶跃激励。在拟定的激振点处，用一根刚度大、重量轻的弦经过力传感器对待测结构施加张力，使其产生初始变形，然后突然切断张力弦，相当于给该结构施加一个负的阶跃激振力。 用脉冲锤进行脉冲激振是一种用得较多的瞬态激振方法，它所需要的设备较少，信号发生器、功率放大器、激振器等都可以不要，并且可以在更接近于实际工作的条件下来测定试件的机械阻抗。 二、结构组成 悬臂梁实验台的结构示意如图１所示，结构总体尺寸为375×37×2.75mm(长×宽×高)，主要包括的零件为悬臂和底座。 运用悬臂梁实验台进行实验教学所需准备的实验设备为：

(1)、悬臂梁实验台1套 (2)、加速度传感器1套 (3)、加速度传感器变送器1台 (4)、数据采集仪1台 (5)、开关电源1套 (6)、脉冲锤1只 三、实验步骤 (1) 备齐所需的设备后，将加速度传感器安装在悬臂梁前端； (2) 将加速度传感器与信号调理模块相连，通过接线盒1通道连接，数据采集仪与PC机连接。在保证接线无误的情况下，可以开始进行实验。 (3) 设定数据采集仪的工作模式为外触发采样，同时设置触发电平(如800)和预触发点数（如20），然后点击“运行”按钮启动采样过程（由于采用外触发采样方式，此时处于等待状态）。 (4) 用脉冲锤敲击悬臂梁，产生脉冲激振。敲击的力幅要适当，着力点要准确，迅速脱开。如检测不到冲击振动信号，则适当修改采集仪中的预触发电平，然后点击面板中的“开始”按钮再次进行测量，此时，信号分析窗口中应显示出悬臂梁受瞬态激励后输出的信号波形。 (5) 进行功率谱分析，移动光标至基频的峰值点，读出该处的频率值X和谱高Y，再移动光标，测处该基频处谱峰的谱宽。 四、实验报告要求 (1) 简述实验原理和目的 (2) 根据实验原理和要求整理出本实验的设计原理图。 (3) 根据所给悬臂梁尺寸，计算出其前三阶固有频率。梁的各阶固有频率可按下式计算： 式中：E-梁的弹性模量；I0-梁的截面惯性矩；l-悬臂梁长度；ρ-悬臂梁的体积质量密度；F-梁横截面积；A n-振型系数（A1=3.52，A2=22.4，A3=61.7，A4=121.0）

单自由度系统强迫振动（悬臂梁） 　 一、实验目的　 １、　测定带有集中荷重的悬臂梁系统，在自由端部位移激励下引起的强迫振动的振幅频率特性曲线；借助幅频特性曲线，求出系统的固有频率及阻尼常数；　２、　初步了解振动测试的一些仪器设备及测试方法。 二、实验装置及原理　１、　实验装置　 一个单层框架结构的悬臂梁系统，固定端固定在底板上，自由端与激振器连接，其简图如图１所示。这个系统可看作如图２所示的，有阻尼的单自由度弹簧质量系统。　其中：　 ｍ：为悬臂梁系统的等效质量；　 ｋ：为悬臂梁系统的等效弹簧常数；　ｃ：为悬臂梁系统的阻尼常数；　 ｘ（ｔ）：为激振器激振器（谐振动）位移，ｘ（ｔ）＝Ａｓｉｎωｔ。 ２、　实验原理 图３　 　 测试系统的框图如图３所示。信号发生器可调节激振器的激振频率，激振器的激振频率由计数器读得，悬臂梁自由端的幅值由传感器经电荷放大器转换并放大，由电压表读得。　 　 三、实验步骤　１、　开机，注意开机顺序依次为：信号发生器、功率放大器、频率计数器和测振仪。　２、　调节信号发生器（其振幅一般保持不变）和功率放大器，使激振器以较小的振幅激振； 激振器

然后调节信号发生器的频率，从１０－４０Ｈｚ扫频，使振幅达到最大，即找到系统的共振频率，再轻微调节功率放大器的振幅峰Ｆ０，使共振时的位移达到所需振幅。　３、　然后从低频段各点扫描，找出各点频率下对应的位移振幅，频率间隔根据不同情况选取 （最好以位移振幅选取），并把各点数据记录表中和填入方格纸中，完成幅频曲线的绘制。　４、　检查幅频曲线的正确与否，偏差较大时，重新找取相应点的数据。根据图示幅频曲线， 由如下关系式计算系统的固有频率和阻尼常数。　５、　关机，把功率放大器的振幅调至最小，然后关闭仪器的电源，关机顺序正好与开机顺序 相反。 四、实验数据记录及计算结果 序号　频率　振幅　１ ２ …．　 　 　 　 按照幅频曲线，运用半功率原理得到：　 10 36 Frequency Response Function Curve A /A max f (Hz) 1 固有频率：m n f f =，　带宽：12f f f ?=?　相对阻尼系数：n f f 2?= ζ　五、实验要求　 １、　实验前必须带好方格纸，在实验过程中，将所测数据填入方格纸中，画出曲线的草图，并让老师检查方可离开。　 ２、　实验报告中必须达到实验报告基本要求，具备基本的数据表格和曲线图，认真做好实验报告。　 3、 认真完成实验，注意实验安全事项。