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三角形四心的向量特征及应用

本文发表于中国数学会主办的《数学通报》2010年第12期 三角形“四心”的向量特征及应用 浙江省上虞市春晖中学 林国夫(邮编:312353) 翻阅近几年各省的竞赛、模拟和高考试题,笔者发现有关三角形的“四心”(即重心,垂心,内心和外心)的向量特征的试题频频出现.考虑到比较熟悉的三角形的重心的向量形式0=++GC GB GA 具有很好的完美性,出于兴趣,笔者对三角形的其余“三心”的向量特征进行了探究,得到了类似于重心的优美的向量表达式,并撰此拙文供读者参考. 1 三角形重心的向量特征 定理1 已知为G ABC Δ的重心,记CGA BGC AGB ΔΔΔ,,的面积为 ,,,CGA BGC AGB S S S ΔΔΔ则=++,且.CGA BGC AGB S S S ΔΔΔ== 证明 如图1,为的重心,为边上的中线,则G ABC ΔAD BC 32= )(31)(2132+=+×=.即)(3 1?+?=?. 故0=++GC GB GA . 由于3:1)32(:22:2::=×===ΔΔΔΔAD AG S S S S ABD AGB ABC AGB . 即ABC AGB S S ΔΔ=31,同理ABC BGC S S ΔΔ=31,ABC CGA S S ΔΔ=3 1, 故 .CGA BGC AGB S S S ΔΔΔ==说明 我们还可以得到更进一步的结果: (1)为G ABC Δ的重心的充要条件为 =++.(2)与+共线.并可以得到下面一个有用的推论. 推论1 已知是不共线三点,点是平面内一点,且C B A ,,P ABC PB PA 21λλ+3λ+=, 其中0321≠??λλλ.记CPA BPC APB ΔΔΔ,,:||:|2的面积为则,,,CPA BPC APB S S S ΔΔΔCPA BPC S S ΔΔ:|APB S Δ|:|13λλλ=. 证明 如图2,记PC PC PB PB PA PA 3'2'1',,λλλ===,根据定理1可知, 点P 是的重心,且'''C B A Δ1:1:1::''''''=ΔΔΔPA C PC B PB A S S S . 由于)''sin ''2 1(:)sin 21 (:''PB A PB PA APB PB PA S S PB A APB ∠??∠??=ΔΔ | |||1'21'λλ?=?=PB PB PA PA ,即||||21''λλ?=ΔΔPB A APB S S ,

三角形四心的向量性质

三角形“四心”的向量性质及其应用 一、三角形的重心的向量表示及应用 命题一 已知A B C ,,是不共线的三点,G 是ABC △内一点,若 GA GB GC ++=0.则G 是ABC △的重心. 证明:如图1所示,因为GA GB GC ++=0, 所以 ()GA GB GC =-+. 以GB ,GC 为邻边作平行四边形BGCD , 则有GD GB GC =+, 所以GD GA =-. 又因为在平行四边形BGCD 中,BC 交GD 于点E , 所以BE EC =,GE ED =. 所以AE 是ABC △的边BC 的中线. 故G 是ABC △的重心. 点评:①解此题要联系重心的定义和向量加法的意义;②把平面几何知识和向量知识结合起来解决问题是解此类问题的常用方法. 例1 如图2所示,ABC △的重心为G O ,为坐标原点,OA =a ,=OB b , =OC c ,试用a b c ,,表示OG . 解:设AG 交BC 于点M ,则M 是BC 的中点, ?? ? ??=-=-=-GC OG c GB OG b GA OG a GC GB GA OG c b a ++=-++∴ 而03=-++∴OG c b a 图2

3 c b a OG ++= ∴ 点评:重心问题是三角形的一个重要知识点,充分利用重心性质及向量加、减运算的几何意义是解决此类题的关键. 变式:已知D E F ,,分别为ABC △的边BC AC AB ,,的中点.则 AD BE CF ++=0. 证明:如图的所示, ??? ? ? ???? -=-=-=GC CF GB BE GA AD 232323 )(23 GC GB GA CF BE AD ++-=++∴ 0=++GC GB GA AD BE CF ∴++=0.. 变式引申:如图4,平行四边形ABCD 的中心为O ,P 为该平面上任意一点, 则1 ()4 PO PA PB PC PD =+++. 证明:1()2PO PA PC =+,1()2 PO PB PD =+, 1()4 PO PA PB PC PD ∴=+++. 点评:(1)证法运用了向量加法的三角形法则,证法2运用了向量加法的平行四边形法则.(2)若P 与O 重合,则上式变为OA OB OC OD +++=0. 二、三角形的外心的向量表示及应用 命题二:已知G 是ABC △内一点,满足MC MB MA ==,则点M 为△ABC 的外心。 例2 已知G 、M 分别为不等边△ABC 的重心与外心,点A ,B 的坐标分别为A (-1,0),B (1,0),且GM ∥AB ,(1)求点C 的轨迹方程;(2)若直线l 过 图3

三角形的特性教学设计

三角形的特性教学设计(总12 页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 -CAL-本页仅作为文档封面,使用请直接删除

《三角形的特性》教学设计 教学内容: 三角形的特性,人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》四年级下册第80~81页内容。 教材分析: 《三角形的特性》是人教版义务教育课程标准实验教科书四年级数学下册第80——81页的内容。学生通过第一学段以及四年级上册对空间与图形的学习,对三角形已经有了直观的认识,能够从平面图形中分辨出三角形。本节内容的设计是在上述的基础上进行的,教材的编写注意从学生已有的经验出发,创设丰富多彩的与现实生活联系紧密的情境和动手实验活动,以帮助学生理解三角形概念,构建数学知识。教学设想: 定义是揭示概念内涵的逻辑方法。在这节课的教学中,我遵循概念教学的规律,及时地把学生头脑中形成的初始概念进行反思、对比,从而形成新的正确概念。《三角形的特性》是在学生已经直观的认识了三角形,并且认识了平行四边形、梯形的底和高的基础上进行学习的,因为学生已经有了生活中积累的对三角形认识的丰富体验。所以我通过学生画三角形、判断三角形到说说三角形,让学生在已有经验的基础上认识三角形。这样学生通过独立探索、合作交流、实践

操作相结合的学习方法,让学生经历知识的学习过程。真正理解和掌握基本的数学知识和技能。 落实教学重点和难点。三角形高的教学是本节课的重点,也是难点。而学生对平行四边形和梯形的高已经学习过,所以我先利用平行四边形的高的知识迁移到三角形的高,让学生对认识三角形的高由无从下手到有手可下。学生很快地随着自学提纲的提示,通过合作学习自然地发现了三角形的高。此时,很多学生已对三角形高有了一定的认识,然后我在黑板上直观、形象地演示三角形的高,并提醒学生画高应该注意的地方。这样的教学设计符合学生的认知规律,体现了教师为主导,教师为主体的教学原则。当学生明确了三角形高的定义以及高的画法后,学生第一次练习画高。由于有了前面教学环节的铺设,部分学生自然地画出了三角形的三条高,继而小结出三角形有三条高的结论。然后通过判断高和画指定底边的高的练习,不仅巩固了学生所学的知识,而且再现了学生画高时常出现的几种错误,再次明确了三角形底和高的对应关系,突破了教学的难点。 三角形在生活中的广泛应用,就在于它具有稳定性。为使学生亲身感受三角形稳定性这一特性,我不是简单地让学生拉拉三角形,然后得出结论。而是先让学生拉四边形和三角形,让学生经历“从已有经验为基础——动手实验发现数学结论——体会应用”的认识全过程,做到“以思考指导实践,实践验证思考”的科学态度。学生从探索实践中得到的不仅是知识,更有思考的习惯和解决问题的方法。

三相电的星形接法和三角形接法

把三相电源三个绕组的末端、X、Y、Z连接在一起,成为一公共点O,从始端A、B、C 引出三条端线,这种接法称为“星形接法”又称“Y形接法”。三相电源是由频率相同、振幅相等而相位依次相差120°的三个正弦电源以一定方式连接向外供电的系统。三相电源的联接方式有Y形和△形两种。下图为星形接法 三相电的星形接法 是将三相电源绕组或负载的一端都接在一起构成中性线,由于均衡的三相电的中性线中电流为零,故也叫零线:三相电源绕组或负载的另一端的引出线,分别为三相电的三个相线。远程输电时,只使用三根相线,形成三相三线制。到达用户的电路,往往涉及220V 和380V两种电压,需三根相线和一根零线,形成三相四线制。用户为避免漏电形成的触电事故,还要添加一根地线,这时就有三根相线,一根零线和一根地线,故也有三相五线制的说法。 常用的接法对称三相四线Y-Y系统是常见常用的系统,有三条火线、一条中线。星形接法的三相电,线电压是相电压的根号3倍,而线电流等于相电流。当三相负载平衡时,即使连接中性线,其上也没有电流流过。三相负载不平衡时,应当连接中性线,否则各相负载将分压不等。 星形接法主要应用在高压大型或中型容量的电动机中,定子绕组只引出三根线。对于星形接法,各相负载平衡,则任何时刻流经三相的电流矢量和等于零。 星形(Y)接法和三角形(△)接法关系密切,其负载相电压、相电流与对称三相线电压、线电流关系如下:

下图为星形接法和三角形接法 星形接法: I线=I相,U线=√3×U相, P相=U相×I相, P=3P相=√3×U线×I相=√3×U线×I线; 三角接法: I线=√3×I相,U线=U相, P相=I相×U相, P=3P相=√3×I线×U相=√3×I线×U线。 说明:三角(△)联接,Iab=Ia向量+Ib向量=(Ia+Ib)×cos30°=2Ia×√3/2=√3×Ia,线电流是相电流的根号三倍。 另一个重要的应用是电阻的星形联接。 电阻若构成星—三角式(Y —△)联接,则不能用串、并联公式进行等效化简,但它们之间可以用互换等效公式进行等效变换:(1、2、3是节点,R12表示1、2节点之间的电阻,是三角形联接的电阻。) 星到三角: R12=R1+R2+R1R2/R3,规律:(ab)=a+b+ab/c ……再加上R

【新整理】三角形“四心”向量形式的结论及证明(附练习答案)

三角形“四心”向量形式的充要条件应用 在学习了《平面向量》一章的基础内容之后,学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有关三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。现归纳总结如下: 一. 知识点总结 1)O 是ABC ?的重心?=++; 若O 是ABC ?的重心,则 ABC AOB AOC BOC S 31 S S S ????= ==故0OC OB OA =++; 1()3 PG PA PB PC =++?G 为ABC ?的重心. 2)O 是ABC ?的垂心?OA OC OC OB OB OA ?=?=?; 若O 是ABC ?(非直角三角形)的垂心,则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC :: ::=??? 故C tan B tan A tan =++ 3)O 是ABC ?的外心?|OC ||OB ||OA |==(或2 2 2 ==) 若O 是ABC ?的外心 则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=???:: :: 故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++ 4)O 是内心ABC ?的充要条件是 | CB || CA || BC || BA |AC | AB |( =- ?=- ?=- ? 引进单位向量,使条件变得更简洁。如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ,则刚才O 是 ABC ?内心的充要条件可以写成:0)e e (OC )e e (OB )e e (OA 322131=+?=+?=+? O 是ABC ?内心的充要条件也可以是c b a =++ 若O 是ABC ?的内心,则c b a S S S AOB AOC BOC ::::=??? 故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或; ||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=?ABC ?的内心; 向量()(0)|||| AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ?的内心(是BAC ∠的角平分 线所在直线); 二. 范例 (一).将平面向量与三角形内心结合考查 例1 .O 是平面上的一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足+ +=λ,[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ?的( ) (A )外心(B )内心(C )重心(D )垂心

平面向量中的三角形四心问题

平面向量中的三角形四心问题 向量是高中数学中引入的重要概念,是解决几何问题的重要工具。本文就平面向量与三角形四心的联系做一个归纳总结。在 给出结论及证明结论的过程中,可以体现数学的对称性与推论的相互关系。 一、重心(baryce nter) 三角形重心是三角形三边中线的交点。重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。在重心确定上,有著名的帕普斯定理。 结论1 : 若G为ABC所在平面内一点,则G 是三角形的重心 证明:设BC中点为D,则2GD GA GB GC 0 GA GB GA 2GD, 这表明,G在中线AD上 同理可得G在中线BE,CF上 故G为ABC的重心

结论2: 1 —. 若P 为 ABC 所在平面内 点,贝S PG (PA PB 3 G 是ABC 的重心 PC) - 1 — 证明:PG (PA PB PC) (PG PA) (PG PB) (PG PC) 0 GA GB GC 0 G 是ABC 的重心 二、垂心(orthocenter) 三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。 结论3: H 是ABC 的垂心 证明:HA HB HB HC HB ? S- HB AC 0 HB AC 同理,有 HA CB,HC AB 故H 为三角形垂心 若H 为ABC 所在平面内一点,则HA HB HB HC HC HA (HA

结论4: 2 ------ 2 ------ 2 ------ 2 -------- 2 ------ 2 若H 为 ABC 所在平面内一点,贝U HA BC HB AC HC AB H 是ABC 的垂心 2 2 2 2 HB CA 得,HA (HB HC)2 HB (HC HA)2 HB HC HC HA 同理可证得,HA HB HB HC HC HA 由结论3可知命题成立 三、外心(circumcenter) 三角形三条边的垂直平分线(中垂线)的相交点。用这个点 做圆心可以画三角形的外接圆。 结论5: 若0是ABC 所在平面内一点,则 OA OB OC 0是ABC 的外心 证明:由外心定义可知 命题成立 2 2 证明:由HA BC 结论6: 若0是ABC 所在平面内一点,则

星形接法和三角接法区别

星形接法 基本简介 把三相电源三个绕组的末端、X、Y、Z连接在一起,成为一公共点O,从始端A、B、C引出三条端线,这种接法称为“星形接法”又称“Y形接法”。三相电源是由频率相同、振幅相等而相位依次相差120°的三个正弦电源以一定方式连接向外供电的系统。三相电源的联接方式有Y形和△形两种。 星形接法 三相电的星形接法 是将三相电源绕组或负载的一端都接在一起构成中性线,由于均衡的三相电的中性线中电流为零,故也叫零线:三相电源绕组或负载的另一端的引出线,分别为三相电的三个相线。 远程输电时,只使用三根相线,形成三相三线制。到达用户的电路,往往涉及220V和380V 两种电压,需三根相线和一根零线,形成三相四线制。用户为避免漏电形成的触电事故,还要添加一根地线,这时就有三根相线,一根零线和一根地线,故也有三相五线制的说法。 2常用的接法编辑 对称三相四线Y-Y系统是常见常用的系统,有三条火线、一条中线。星形接法的三相电,线电压是相电压的根号3倍,而线电流等于相电流。当三相负载平衡时,即使连接中性线,其上也没有电流流过。三相负载不平衡时,应当连接中性线,否则各相负载将分压不等。

星形接法主要应用在高压大型或中型容量的电动机中,定子绕组只引出三根线。对于星形接法,各相负载平衡,则任何时刻流经三相的电流矢量和等于零。 星形(Y)接法和三角形(△)接法关系密切,其负载相电压、相电流与对称三相线电压、线电流关系如下: 星形接法和三角形接法 星形接法 I线=I相,U线=√3×U相, P相=U相×I相, P=3P相=√3×U线×I相=√3×U线×I线; 三角接法 I线=√3×I相,U线=U相, P相=I相×U相, P=3P相=√3×I线×U相=√3×I线×U线。 说明:三角(△)联接,Iab=Ia向量+Ib向量=(Ia+Ib)×cos30°=2Ia×√3/2=√3×Ia,线电流是相电流的根号三倍。 另一个重要的应用是电阻的星形联接。 电阻若构成星—三角式(Y —△)联接,则不能用串、并联公式进行等效化简,但它们之间可以用互换等效公式进行等效变换:(1、2、3是节点,R12表示1、2节点之间的电阻,是三角形联接的电阻。)

向量与三角形四心的一些结论

【一些结论】:以下皆是向量 1 若P是△ABC的重心PA+PB+PC=0 2 若P是△ABC的垂心PA?PB=PB?PC=PA?PC(内积) 3 若P是△ABC的内心aPA+bPB+cPC=0(abc是三边) 4 若P是△ABC的外心|PA|2=|PB|2=|PC|2(AP就表示AP向量|AP|就是它的模) 5 AP=λ(AB/|AB|+AC/|AC|),λ∈[0,+∞) 则直线AP经过△ABC内心 6 AP=λ(AB/|AB|cosB+AC/|AC|cosC),λ∈[0,+∞) 经过垂心 7 AP=λ(AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC),λ∈[0,+∞)或AP=λ(AB+AC),λ∈[0,+ ∞) 经过重心 8.若aOA=bOB+cOC,则0为∠A的旁心,∠A及∠B,C的外角平分线的交点 【以下是一些结论的有关证明】 1.O是三角形内心的充要条件是aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量充分性:已知aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量,延长CO交AB于D,根据向量加法得:OA=OD+DA,OB=OD+DB,代入已知得:a(OD+DA)+b(OD+DB) +cOC=0,因为OD与OC共线,所以可设OD=kOC,上式可化为(ka+kb+c) OC+( aDA+bDB)=0向量,向量DA与DB共线,向量OC与向量DA、DB不共线,所以只能有:ka+kb+c=0,aDA+bDB=0向量,由aDA+bDB=0向量可知:DA与DB的长度之比为b/a,所以CD为∠ACB的平分线,同理可证其它的两条也是角平分线。必要性:已知O是三角形内心,设BO与AC相交于E,CO与

人教版数学《三角形的特性》教学设计

《三角形的特性》教学设计 一、教学内容:义务教育课程标准实验教科书数学四年级下册 80~81页的例1、例2。 二、教学目标: 1、通过动手操作和观察比较,使学生认识三角形,知道三角形 的特性及三角形的高和底的含义,会在三角形内画高。 2、培养学生观察、操作和应用数学知识解决实际问题的能力。 3、体验数学和生活得联系,培养学生学习数学的兴趣。 三、教学重点: 1、建立三角形的概念,认识三角形各部分的名称,知道三角形 的底和高。 2、在观察、实践中发现三角形有稳定性。 四、教学难点:会画三角形指定底边上的高。 五、教学准备:多媒体课件、投影、三角板、吸管、图钉、三角形和 四边形框架。 六、教学过程: (一)谈话导入:出示三角形的框架,并提问:这是什么图形? 你知道有关它的什么知识? 这就是今天我们要研究的内容,并板书课题: 三角形的特性 (二)操作感知,理解概念: 1、画一画:画出一个三角形。

画三角形时要注意什么问题? 2、想一想:①三角形有几条边?有几个角?有几个顶点? ②三角形有几条线段?线段与线段之间是怎样 连接的? ③怎样表示这个三角形? 根据学生的汇报,标出三角形各部分的名称。 3、说一说:用自己的语言说说什么样的图形是三角形? 汇报之后再翻开课本读一读,画出最重要的词。 4、判一判:下面的图形是不是三角形? 5、找一找:在生活中还有哪些物体上有三角形? 为什么要把这些部分做成三角形呢?它具有 什么特性? 6、做一做:每个小组做一个三角形和一个四边形。 这三根吸管能围其它不同三角形?这四根吸 管能围其它不同的四边形? 怎样才能让四边形稳定呢? 完成课本86页的2、3两题。 7、认识三角形的底和高:

电动机三角形接法和星形接法有什么区别讲解

电动机三角形接法和星形接法有什么区别? 三角形接线时,三相电机每一个绕组承受线电压(380V),而星形接线时,电机每一承受相电压(220V)。在电机功率相同的情况,角线电机的绕组电流较星接电机电流小。 当电机接成Y型运行时起动转矩仅是三角形接法的一半,但电流仅仅是三角形起动的三分之一左右。三角形起动时电流是额定电流的4-7倍,但转矩大。转速是一样的,但转矩不一样。 三角形接法 电机的三角形接法是将各相绕组依次首尾相连,并将每个相连的点引出,作为三相电的三个相线。三角形接法时电机相电压等于线电压;线电流等于根号3倍的相电流。 星形接法 电机的星形接法是将各相绕组的一端都接在一点上,而它们的另一端作为引出线,分别为三个相线。星形接时,线电压是相电压的根号3倍,而线电流等于相电流。 星形接法由于起输出功率小,常用于小功率,大扭矩电机,或功率较大的电机起步时候用,这样对机器损耗较小,正常工作后再换用三角形接法。这就是常常说到的星——三角启动。 电动机接法选择 是三相电机,单相电机没有以上两种接法的说法。一般3KW以下的电动机星型接法的较多,3千瓦以上的电动机一般都角型接法。按规定,大于15kw的电动机需要星型启动角型运行,以降低启动电流。 还有小型电动机角型启动的,如果要接在三相220V电源电压上,必须接成星型。

在我国一般3-4KW(千瓦)以下较小电机都规定接成星形,以上较大电机都规定接成三角形。 电机接线盒连接 从电机接线盒里可以看出:三个进线接线端子U1、V1、W1的另一端U2、V2、W2如用同一铁片短接,那就是星形(Y)接法,三个进线接线端子U1和W2短接、V1和U2短接、W1和V2短接、那就是三角形接法(接线盒里三根平形铁条),星接时线电压等于相电压的1.732倍,相电流等于线电流,角接时相电压等于线电压,线电流等于相电流的1.732倍。 上图三根桩接一起是星形,上下桩依次联结是角形,如电机无接结盒,第一相绕组头尾标上1.4,第二相绕组头尾标上2.5,第三相绕组头尾标上3.6,星形接法:135接一起,246接电源,三角形接法:1联结6,2联结4,3联接5,成为电机的三根出线, 1电机三角形接法时因为没有中性点,具体方法是电机的三相绕组的头与尾分别连接,这时只有一种电压等级,线电压等于相电压,线电流等于相电流的约1,73倍, 2电机星形接法时因为有中性点(电机一般都是三相对称负载所以一般不引出中性线),具体方法是电机的三相绕组的三条尾连接在一起,三条头接电源,这时有两种电压等级,即线电压和相电压,且线电压等于相电压的约1.73倍,线电流等于相电流。 3需要注意的是本来星形接法的电机不能接成三角形,(如果接成三角形,这时相电压升高到约1.73倍,长时间运行必然烧毁电机)。 4同样本来三角形接法的电机不能接成星形,(如果接成星形,这时相电压降低到约1.73倍,达不到正常功率,如果带额定负载,那么这时属于过载状态,时间一长也必然烧毁电机)。 5在我国一般3-4KW(千瓦)以下较小电机都规定接成星形,以上较大电机都规定接成三角形。 6为什么较大功率电机都接成三角形,好处是轻载启动时,为了方便降压启动(启动时接成星形,运行时换接成三角形,电机启动时间极短接成星形没关系,好处是启动电流可以降低到1/3等)。 星型接法相电流等于线电流,线电压是相电压的根号3倍,三角形连接,线电压等于相电压,线电流是相电流的根号3倍,对于三相对称负载接成某种连接可以提高每相工作电压,提高功率, 三角形接法,有助于提高电机功率,缺点,启动电流大,绕组承受电压(380V)大!增大了绝缘等级! 行星接法,有助于降低绕组承受电压(220V),降低绝缘等级!降低了启动电流,缺点,电机功率减小!所以,小功率电机4KW以下的大部分采用行星接法!大于4KW的采用三角形接法!三角形接法的电机在轻载启动时采用Y-△启动,以降低启动电流!轻载是条件,因为Y接法转矩会变小,降低启动电流是目的,利用Y接法降低了启动电流!

(完整版)三角形四心与向量.docx

三角形“四心 ”向量形式的充要条件应用 知识点总结 1.O 是 ABC 的重心 OA OB OC 0 ; 若 O 是 S BOC S AOC S AOB 1 S ABC OA OB OC 0 ; ABC 的重心,则 3 故 uuur uuur uuur uuur G 为 ABC 的重心 . PG 1 ( PA PB PC ) 3 2.O 是 ABC 的垂心 OA OB OB OC OC OA ; 若 O 是 ABC (非直角三角形 )的垂心,则 S BOC : S : S tan A : : AOC AOB tan B tan C 故 tan AOA tan BOB tan C OC 0 2 2 2 3.O 是 ABC 的外心 | OA | | OB | | OC | (或 OA OB OC ) 若 O 是 : : sin : : ABC 的外心则 S BOC S AOC S AOB BOC sin AOC sin AOB sin2A : sin2B: sin2C 故 sin 2A OA sin 2BOB sin 2C OC OA ( AB AC OB BA BC OC CA CB ) 0 4. O 是内心 ABC 的充要条件是 ) ( ) ( | AB | AC | BA | | BC | | CA | | CB | 引进单位向量,使条件变得更简洁。如果记 AB , BC , CA 的单位向量为 e 1 , e 2 ,e 3 ,则刚才 O 是 ABC 内心的充要条件 可以写成 OA (e 1 e 3 ) OB (e 1 e 2 ) OC (e 2 e 3 ) , O 是 ABC 内心的充要条件也可以是 aOA b OB cOC 0 。若 O 是 ABC 的内心,则 S BOC : S AOC : S AOB a : b : c 故 aOA bOB cOC 0或 sin A OA sin BOB sin COC 0 ; uuur uuur uuur uuur uuur uuur r ABC 的内心 ; A | AB | PC | BC | PA |CA | PB 0 P 是 e 1 e 2 uuur uuur 向量 AB AC )( 0) 所在直线过 ABC 的内心 ( 是 BAC 的角平分线所在直 B C ( uuur uuur | AB | | AC | 线) ; P 范 例 ( 一)将平面向量与三角形内心结合考查 例 1.O 是平面上的一定点, A,B,C 是平面上不共线的三个点, 动点 P 满足 OP OA ( AB AC ) , 0,则 AB AC P 点的轨迹一定通过 ABC 的( ) (A )外心( B )内心( C )重心( D )垂心 AB uuur uuur uuur 又 OP OA AP ,则原 解析:因为 是向量 AB 的单位向量设 AB 与 AC 方向上的单位向量分别为 e 1和 e 2 , AB

三角形“四心”向量表示

三角形四心的向量问题 三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件的向量形式 一. 知识点总结 1)O 是ABC ?的重心?0OC OB OA =++; 若O 是ABC ?的重心,则 ABC AOB AOC BOC S 31 S S S ????= == 故0OC OB OA =++; 1()3 PG PA PB PC =++?G 为ABC ?的重心. 2)O 是ABC ?的垂心??=?=?; 若O 是ABC ?(非直角三角形)的垂心, 则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC :: ::=??? 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++ 3)O 是ABC ?的外心?|OC ||OB ||OA |==(或2 2 2 OC OB OA ==) 若O 是ABC ?的外心 则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=???:: :: 故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++ 4)O 是内心ABC ?的充要条件是 | CB || CA |OC | BC || BA |( OB AC | AB |OA =-?=-?=-? 引进单位向量,使条件变得更简洁。如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ,则 刚 才 O 是 ABC ?内心的充要条件可以写成 0)e e ()e e ()e e (322131=+?=+?=+? O 是ABC ?内心的充要条件也可以是c b a =++

《三角形的特性》(名师教学设计)

《三角形的特性》 【教学内容】义务教育课程标准实验教科书数学四下第80~81页的例1、例2【教学目标】 1.通过动手操作和观察比较,使学生认识三角形,知道三角形的特性及三角形高和底的含义,会画三角形的高。 2.通过实验,了解三角形的稳定性,体验数学在生活中的应用价值,培养学生观察、操作、自学的能力和应用数学知识解决实际问题的能力。 3.经历观察、比较、分析和操作的过程,体验数学与生活的联系,感受数学的美,培养了学生学习数学的兴趣。 【教学重点】理解三角形的意义和画三角形的高 【教学难点】画三角形的高 } 【教具、学具准备】课件、若干平面图形、三角板、、练习纸。 【教学流程】 一、创设情境,激趣导入。 今天老师给同学们带来了一些漂亮的图片,你们想看吗好,但是你们在看的过程中要想一想这些图片都有哪种平面图形。(播放课件1-7) 二、摸一摸,初步感知。 师:谁来说一说这些图片都有哪种平面图形看完你有什么感受 师:现在请同学们玩个小游戏:老师这里有个纸盒子,里面装着一些我们以前学过的平面图形,谁能闭上眼睛从纸盒里摸出一个三角形来。有信心吗 师:好,你很勇敢,请你来。 : 师:同学们看,他摸对了吗好,掌声送给她。 师:请你告诉大家,你是怎么从这么多的平面图形中摸出三角形的 师:谁还想来试一下又是个大胆的好孩子。 师:说说你又是怎么摸出来的 师:刚才这两位同学能从这么多平面图形中摸出三角形,看来三角形一定有和其他平面图形不一样的特点,这节课我们就进一步来学习三角形,提高对三角形

的认识。揭示课题(播放课件8)并板书:三角形的特性 三、构建三角形的概念 ? 1.练习画三角形。 师:刚才我们通过摸三角形,已经知道了它的一些特征,现在请同学们在练习本上画一个三角形。(播放课件9) 师:谁来说一说你是怎样画的 师:我认为刚才这位同学说的都很有条理,但是直线是无法度量的,你们画的线,准确的讲应该是线段。 师:现在我们一起合作,在黑板上再来画一个三角形。(板书一个三角形到黑板) 2.引导学生理解掌握三角形的意义。 师:根据刚才我们画三角形的2次经验,你们觉得什么样的图形才能叫三角形 师:刚才这位同学说有三条边,三个角的图形叫三角形,我们现在再仔细看看黑板上画的三角形的三条边是怎样在一起的。谁来说一说 、 师:“围在一起的。”你真了不起!你说的“围”准确而简洁地说出了三角形三条边也可以说是三条线段之间的关系。现在请同学们把书翻到80页看看课本是怎样说的。 师:大家一起读一遍。教师板书:由三条线段围成的图形叫三角形。 师:同学们认为哪一个词比较重要,请加上重点符号。 师:好,你来说。你很会抓重点,那你说一说你是怎么理解“围成”的 师:现在请同学们用能突出重点的语气再把三角形的定义读一遍。 3. 运用三角形的定义判断哪些图形是三角形。 师:你们已经知道了什么样的图形是三角形,下面请同学们利用你们的火眼金睛判断下面哪些图形是三角形。(播放课件10)

《三角形的特性》教学设计

义务教育实验标准教材小学数学四年级下册《三角形的特性》第一课时教学设计 教材与学情分析: 《三角形的特性》是人教版新课程标准实验教材小学数学第八册第五单元的内容。三角形 是平面图形中最基本的图形,一切多边形都可以分割成若干个三角形,并借助三角形来推导 有关的性质。因此,三角形的认识是学习平面图形知识的起点,为学习平面几何立体几何打下基础。在学习本课之前学生对三角形已经有了直观的认识,能够从平面图形中分辨出三角 形。在生活中已经积累了许多平面图形的表象,他们对周围事物的感知和理解的能力有了提 高,具备了一定的抽象思维能力,可以比较抽象地认识图形,并进行探索。 学生分析: 四年级的学生正处在小学学习阶段的关键期,该班学生学习态度端正,但方法欠缺,不 喜欢思考。在教学中,教师需要通过各种形式激发学生的学习兴趣,培养学生创新意识。 教学内容: 三角形的特性(1 (教材第60至61页例1、例2。 教学目标:

1. 在观察?操作活动中感受并发现三角形是由三条线段围成的图形,认识三角形的各部分名称 及三角形的字母表示法,知道什么是三角形的底和高。 2. 在观察、实验中发现三角形具有稳定性,知道三角形的稳定性在实践中有广泛的应用。 3. 积累认识图形的经验和方法。 4. 在学习活动中,进一步产生对数学的好奇心,锻炼动手能力,增强创新意识。 教学重点.难点: 1. 重点:建立三角形的概念,认识三角形的各部分名称,知道三角形的底和高;在观察、实验中发现三角形具有稳定性。 2. 难点:画高。 教学准备: 多媒体课件,实物投影,三角形. 平行四边形教具,三角板,小棒等。教学过程: .创设情景,激发兴趣 1. 出示主题图:

(完整版)平面向量与三角形四心问题.docx

平面向量基本定理与三角形四心 已知 O 是ABC 内的一点,BOC ,AOC , AOB 的面积分别为S A, S B, S C,求证:S A? OA S B? OB S C? OC 0 A 如图 2延长 OA 与 BC 边相交于点 D 则 O B C 图 1 BD S A BD S BOD S ABD S BOD S C DC S ACD S COD S ACD S COD S B OD DC OB BD OC BC BC A O S B OB S C OC S B S C S B S C B D C OD S BOD S COD S BOD S COD S A OA S BOA S COA S BOA S COA S B S C 图2 OD S A OA S B S C S A OA S B OB S C OC S C S B S B S C S B S C S A? OA S B? OB S C? OC 0 推论 O 是 ABC 内的一点,且 x?OA y?OB z?OC0 ,则S BOC: S COA: S AOB x : y : z

有此定理可得三角形四心向量式O 是ABC 的重心 S BOC: S COA: S O 是ABC 的内心 S BOC: S COA: S O 是ABC 的外心 S BOC: S COA: S AOB AOB AOB 1:1:1OA OB OC0 a : b : c a ?OA b ?OB c ?OC0 sin 2A :sin 2B : sin 2C sin 2A ? OA sin 2B ? OB sin 2C ?OC0 O 是ABC 的垂心 S BOC: S COA: S AOB tan A: tan B : tan C tan A ?OA tan B ? OB tan C ?OC0 C O A D B 证明:如图 O 为三角形的垂心, tan A CD , tan B CD tan A: tan B DB : AD AD DB S BOC: S COA DB : AD S BOC: S COA tan A : tan B 同理得 S COA: S AOB tan B : tan C , S BOC: S AOB tan A : tan C S BOC: S COA: S AOB tan A: tan B : tan C 奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一

三角形的特性教学设计说明

《三角形的特性》教学设计 教学容: 三角形的特性,人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》四年级下册第80~81页容。 教材分析: 《三角形的特性》是人教版义务教育课程标准实验教科书四年级数学下册第80——81页的容。学生通过第一学段以及四年级上册对空间与图形的学习,对三角形已经有了直观的认识,能够从平面图形中分辨出三角形。本节容的设计是在上述的基础上进行的,教材的编写注意从学生已有的经验出发,创设丰富多彩的与现实生活联系紧密的情境和动手实验活动,以帮助学生理解三角形概念,构建数学知识。 教学设想: 定义是揭示概念涵的逻辑方法。在这节课的教学中,我遵循概念教学的规律,及时地把学生头脑中形成的初始概念进行反思、对比,从而形成新的正确概念。《三角形的特性》是在学生已经直观的认识了三角形,并且认识了平行四边形、梯形的底和高的基础上进行学习的,因为学生已经有了生活中积累的对三角形认识的丰富体验。所以我通过学生画三角形、判断三角形到说说三角形,让学生在已有经验的基础上认识三角形。这样学生通过独立探索、合作交流、实践操作相结合的学习方法,让学生经历知识的学习过程。真正理解和掌握基本的数学知识和技

能。 落实教学重点和难点。三角形高的教学是本节课的重点,也是难点。而学生对平行四边形和梯形的高已经学习过,所以我先利用平行四边形的高的知识迁移到三角形的高,让学生对认识三角形的高由无从下手到有手可下。学生很快地随着自学提纲的提示,通过合作学习自然地发现了三角形的高。此时,很多学生已对三角形高有了一定的认识,然后我在黑板上直观、形象地演示三角形的高,并提醒学生画高应该注意的地方。这样的教学设计符合学生的认知规律,体现了教师为主导,教师为主体的教学原则。当学生明确了三角形高的定义以及高的画法后,学生第一次练习画高。由于有了前面教学环节的铺设,部分学生自然地画出了三角形的三条高,继而小结出三角形有三条高的结论。然后通过判断高和画指定底边的高的练习,不仅巩固了学生所学的知识,而且再现了学生画高时常出现的几种错误,再次明确了三角形底和高的对应关系,突破了教学的难点。 三角形在生活中的广泛应用,就在于它具有稳定性。为使学生亲身感受三角形稳定性这一特性,我不是简单地让学生拉拉三角形,然后得出结论。而是先让学生拉四边形和三角形,让学生经历“从已有经验为基础——动手实验发现数学结论——体会应用”的认识全过程,做到“以思考指导实践,实践验证思考”的科学态度。学生从探索实践中得到的不仅是知识,更有思考的习惯和解决问题的方法。

三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质70409

三角形“四心”向量形式的充要条件应用 1.O 是ABC ?的重心?=++; 若O 是ABC ?的重心,则 AB C AOB AOC BOC S 31 S S S ????= ==故=++; 1()3 PG PA PB PC =++u u u r u u u r u u u r u u u r ?G 为ABC ?的重心. 2.O 是ABC ?的垂心?OA OC OC OB OB OA ?=?=?; 若O 是ABC ?(非直角三角形)的垂心,则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC :: ::=??? 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++ 3.O 是ABC ?的外心?|OC ||OB ||OA |==(或2 2 2 OC OB OA ==) 若O 是ABC ?的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=???:: :: 故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++ 4.O 是内心ABC ?的充要条件是 ( ( ( =?=?=-? 引进单位向量,使条件变得更简洁。如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ,则刚才O 是 ABC ?内心的充要条件可以写成 0)e e ()e e ()e e (322131=+?=+?=+? ,O 是 ABC ?内心的充要条件也可以是c b a =++ 。若O 是ABC ?的内心,则 c b a S S S AOB AOC BOC ::::=??? 故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或; ||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=?u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r 是ABC ?的内心; 向量()(0)|||| AC AB AB AC λλ+≠u u u r u u u r u u u r u u u r 所在直线过ABC ?的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线); (一)将平面向量与三角形内心结合考查 例1.O 是平面上的一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满 足 OA OP + +=λ,[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ?的( ) (A )外心(B )内心(C )重心(D )垂心 解析:因为 是向量AB u u u r 的单位向量设AB u u u r 与AC u u u r 方向上的单位向量分别为21e e 和, 又

《三角形的特性》教学设计

《三角形的特性》教学设计 教学内容: 三角形的特性,人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》四年级下册第80~81页内容。 教材分析: 《三角形的特性》是人教版义务教育课程标准实验教科书四年级数学下册第80——81页的内容。学生通过第一学段以及四年级上册对空间与图形的学习,对三角形已经有了直观的认识,能够从平面图形中分辨出三角形。本节内容的设计是在上述的基础上进行的,教材的编写注意从学生已有的经验出发,创设丰富多彩的与现实生活联系紧密的情境和动手实验活动,以帮助学生理解三角形概念,构建数学知识。 教学设想: 定义是揭示概念内涵的逻辑方法。在这节课的教学中,我遵循概念教学的规律,及时地把学生头脑中形成的初始概念进行反思、对比,从而形成新的正确概念。《三角形的特性》是在学生已经直观的认识了三角形,并且认识了平行四边形、梯形的底和高的基础上进行学习的,因为学生已经有了生活中积累的对三角形认识的丰富体验。所以我通过学生画三角形、判断三角形到说说三角形,让学生在已有经验的基础上认识三角形。这样学生通过独立探索、合作交流、实践操作相结合的学习方法,让学生经历知识的学习过程。真正理解和掌握基本的数学知识和

技能。 落实教学重点和难点。三角形高的教学是本节课的重点,也是难点。而学生对平行四边形和梯形的高已经学习过,所以我先利用平行四边形的高的知识迁移到三角形的高,让学生对认识三角形的高由无从下手到有手可下。学生很快地随着自学提纲的提示,通过合作学习自然地发现了三角形的高。此时,很多学生已对三角形高有了一定的认识,然后我在黑板上直观、形象地演示三角形的高,并提醒学生画高应该注意的地方。这样的教学设计符合学生的认知规律,体现了教师为主导,教师为主体的教学原则。当学生明确了三角形高的定义以及高的画法后,学生第一次练习画高。由于有了前面教学环节的铺设,部分学生自然地画出了三角形的三条高,继而小结出三角形有三条高的结论。然后通过判断高和画指定底边的高的练习,不仅巩固了学生所学的知识,而且再现了学生画高时常出现的几种错误,再次明确了三角形底和高的对应关系,突破了教学的难点。 三角形在生活中的广泛应用,就在于它具有稳定性。为使学生亲身感受三角形稳定性这一特性,我不是简单地让学生拉拉三角形,然后得出结论。而是先让学生拉四边形和三角形,让学生经历“从已有经验为基础——动手实验发现数学结论——体会应用”的认识全过程,做到“以思考指导实践,实践验证思考”的科学态度。学生从探索实践中得到的不仅是知识,更有思考的习惯和解决问题的方法。

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