南航矩阵论2013研究生试卷及答案
南京航空航天大学2012级硕士研究生
二、(20分)设三阶矩阵，，. ????? ??--=201034011A ????? ??=300130013B ???? ? ??=3003003a a C (1) 求的行列式因子、不变因子、初等因子及Jordan 标准形； A (2) 利用矩阵的知识，判断矩阵和是否相似，并说明理由. λB C 解答: (1)的行列式因子为;…(3分)A 2121)1)(2()(,1)()(--===λλλλλD D D 不变因子为; …………………(3分)2121)1)(2()(,1)()(--===λλλλλd d d 初等因子为;……………………(2分) 2)1(,2--λλJordan 标准形为. ……………………(2分) 200011001J ?? ?= ? ??? (2) 不相似,理由是2阶行列式因子不同; …………………(5分) 0,a = 相似,理由是各阶行列式因子相同. …………………(5分) 0,a ≠共 6 页 第 4 页
三、(20分)已知线性方程组不相容. ?? ???=+=+++=++1,12,1434321421x x x x x x x x x (1) 求系数矩阵的满秩分解； A (2) 求广义逆矩阵； +A (3) 求该线性方程组的极小最小二乘解. 解答:(1) 矩阵,的满秩分解为 ???? ? ??=110021111011A A . …………………(5分)10110111001101A ??????=?????????? (2) . ……………………(10分)51-451-41-52715033A +?? ? ?= ? ??? (3) 方程组的极小最小二乘解为. …………(5分)2214156x ?? ? ?= ? ??? 共 6 页 第 5 页
研究生矩阵论课后习题答案(全)习题二
习题二 1．化下列矩阵为Smith 标准型： （1）222211λλλλ λλλλλ?? -?? -????+-?? ; （2）2222 00 000 00(1)00000λλλλλλ ?? ?? -? ? ??-?? -?? ; （3）2222 232321234353234421λλλλλλλλλλλλλλ?? +--+-??+--+-????+---?? ; (4)23014360220620101003312200λλλλλλλλλλλλλλ????++??????--????---?? . 解：（1）对矩阵作初等变换 23221311(1)100 10 000000(1)00(1)c c c c c c r λλλλλλλλλ+--?-???????????→-???→? ??? ????-++???? ， 则该矩阵为Smith 标准型为 ???? ? ?????+)1(1λλλ； （2）矩阵的各阶行列式因子为 44224321()(1),()(1),()(1),()1D D D D λλλλλλλλλλ=-=-=-=, 从而不变因子为 22 2341234123()()() ()1,()(1),()(1),()(1)()()() D D D d d d d D D D λλλλλλλλλλλλλλλλ== =-==-==-故该矩阵的Smith 标准型为
2210000(1)0000(1)00 00(1)λλλλλλ?? ??-????-?? -??； （3）对矩阵作初等变换 故该矩阵的Smith 标准型为 ?? ?? ??????+--)1()1(112 λλλ; (4)对矩阵作初等变换 在最后的形式中，可求得行列式因子 3254321()(1),()(1),()()()1D D D D D λλλλλλλλλ=-=-===, 于是不变因子为 2541234534()() ()()()1,()(1),()(1)()() D D d d d d d D D λλλλλλλλλλλλλ==== =-==-故该矩阵的Smith 标准形为 2 1 0000 010 0000100000(1)00 00 0(1)λλλλ?????????? -?? ??-?? . 2.求下列λ-矩阵的不变因子： （1） 21 0021002λλλ--????--????-??； （2）100 1000 λαββλα λαββ λα+????-+? ???+??-+?? ；
研究生矩阵论课后习题答案全习题三
习题三 1．证明下列问题： （1）若矩阵序列{}m A 收敛于A ，则{}T m A 收敛于T A ，{} m A 收敛于A ； （2）若方阵级数∑∞ =0m m m A c 收敛，则∑∑∞ =∞==?? ? ??00)(m m T m T m m m A c A c . 证明：（1）设矩阵 ,,2,1,)() ( ==?m a A n n m ij m 则 ,)()(n n m ji T m a A ?=,)()(n n m ij m a A ?=,,2,1 =m 设 ,)(n n ij a A ?= 则 n n ji T a A ?=)(，,)(n n ij a A ?= 若矩阵序列{}m A 收敛于A ，即对任意的n j i ,,2,1, =，有 ij m ij m a a =∞ →) (lim ， 则 ji m ji m a a =∞ →)(lim ，ij m ij m a a =∞ →)(lim ，n j i ,,2,1, =， 故{} T m A 收敛于T A ，{} m A 收敛于A . (2)设方阵级数 ∑∞ =0 m m m A c 的部分和序列为 ,,,,21m S S S ， 其中m m m A c A c c S +++= 10.
若 ∑∞ =0 m m m A c 收敛，设其和为S ，即 S A c m m m =∑∞ =0 ，或S S m m =∞ →lim ， 则 T T m m S S =∞ →lim . 而级数∑∞ =0 )(m m T m A c 的部分和即为T m S ，故级数∑∞ =0 )(m m T m A c 收敛，且其和为T S ， 即 ∑∑∞ =∞==?? ? ??00)(m m T m T m m m A c A c . 2.已知方阵序列{}m A 收敛于A ，且{} 1-m A ，1 -A 都存在，证明： （1）A A m m =∞ →lim ；（2）{}1 1 lim --∞ →=A A m m . 证明：设矩阵 ,,2,1,)() ( ==?m a A n n m ij m ,)(n n ij a A ?= 若矩阵序列{}m A 收敛于A ，即对任意的n j i ,,2,1, =，有 ij m ij m a a =∞ →) (lim . (1) 由于对任意的n j j j ,,,21 ，有 ,lim ) (k k kj m kj m a a =∞ → n k ,,2,1 =， 故 ∑-∞ →n n n j j j m nj m j m j j j j m a a a 2121)()(2)(1) ()1(lim τ ＝ ∑-n n n j j j nj j j j j j a a a 21212121) ()1(τ ， 而 ∑-= n n n j j j m nj m j m j j j j m a a a A 2121) ()(2)(1)()1(τ，
硕士研究生课程考试试题矩阵论答案
华北电力大学硕士研究生课程考试试题（A 卷） 2013～2014学年第一学期 课程编号：50920021 课程名称：矩阵论 年 级：2013 开课单位：数理系 命题教师： 考核方式：闭卷 考试时间：120分钟 试卷页数： 2页 特别注意：所有答案必须写在答题册上，答在试题纸上一律无效 一、判断题（每小题2分，共10分） 1. 方阵 A 的任意一个特征值的代数重数不大于它的几何重数。 见书52页，代数重数指特征多项式中特征值的重数，几何重数指不变子空间的维数，前者加起来为n ，后者小于等于n 2. 设12,,,m αααL 是线性无关的向量,则12dim(span{,,,})m m ααα=L . 正确，线性无关的向量张成一组基 3.如果12,V V 是V 的线性子空间,则12V V ?也是V 的线性子空间. 错误，按照线性子空间的定义进行验证。 4. n 阶λ-矩阵()A λ是可逆的充分必要条件是 ()A λ的秩是n . 见书60页，需要要求矩阵的行列式是一个非零的数 5. n 阶实矩阵A 是单纯矩阵的充分且必要条件是A 的最小多项式没有重根. 二、填空题（每小题3分，共27分） （6）210021,003A ?? ?= ? ???则A e 的Jordan 标准型为223e 1 00e 0 ,00 e ?? ? ? ?? ?。 首先写出A e 然后对于若当标准型要求非对角元部分为1. （7）301002030λλλ-?? ?+ ? ?-??的Smith 标准型为10003000(3)(2)λλλ?? ?- ? ?-+?? 见书61-63页，将矩阵做变换即得
研究生矩阵论试题与答案
中国矿业大学 级硕士研究生课程考试试卷 考试科目矩阵论 考试时间年月 研究生姓名 所在院系 学号 任课教师
一（15分）计算 (1) 已知A 可逆，求 10 d At e t ? （用矩阵A 或其逆矩阵表示） ； （2）设1234(,,,)T a a a a =α是给定的常向量，42)(?=ij x X 是矩阵变量，求T d()d X αX ； （3）设3阶方阵A 的特征多项式为2(6)I A λλλ-=-，且A 可对角化，求k k A A ??? ? ??∞→)(lim ρ。
二（15分）设微分方程组 d d (0)x Ax t x x ?=???? ?=?，508316203A ?? ?= ? ?--??，0111x ?? ? = ? ??? （1）求A 的最小多项式)(λA m ； （3）求At e ； （3）求该方程组的解。
三（15分）对下面矛盾方程组b Ax = 312312 111x x x x x x =?? ++=??+=? （1）求A 的满秩分解FG A =； （2）由满秩分解计算+A ； （3）求该方程组的最小2－范数最小二乘解LS x 。
四（10分）设 11 13A ?=?? 求矩阵A 的QR 分解（要求R 的对角元全为正数，方法不限）。 五（10分） 设(0,,2)T n A R n αβαβ=≠∈≥ （1）证明A 的最小多项式是2 ()tr()m A λλλ=-； （2）求A 的Jordan 形（需要讨论）。
六（10分）设m n r A R ?∈， （1）证明rank()n I A A n r + -=-； （2）0Ax =的通解是(),n n x I A A y y R +=-?∈。 七（10分）证明矩阵 21212123 111222222243333 33644421(1)(1)n n n n n n n n n n ---? ? ? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ?+++? ? A （1）能与对角矩阵相似；（2）特征值全为实数。
矩阵论华中科技大学课后习题答案
习题一 1.判断下列集合对指定的运算是否构成R 上的线性空间 （1）11 {()| 0}n ij n n ii i V A a a ?====∑，对矩阵加法和数乘运算； （2）2{|,}n n T V A A R A A ?=∈=-，对矩阵加法和数乘运算； （3）33V R =；对3R 中向量加法和如下定义的数乘向量：3 ,,0R k R k αα?∈∈=； （4）4{()|()0}V f x f x =≥，通常的函数加法与数乘运算。 解： （1）、（2）为R 上线性空间 （3）不是，由线性空间定义，对0α?≠有1α=α，而题（3）中10α= （4）不是，若k<0，则()0kf x ≤，数乘不满足封闭性。 2.求线性空间{|}n n T V A R A A ?=∈=的维数和一组基。 解：一组基 100 010 10 101010000000100............ ......0010010?? ???? ?????? ???? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ? ?????? dim W =n ( n +1)/2 3.如果U 1和U 2都是线性空间V 的子空间，若dim U 1=dim U 2，而且12U U ?，证明：U 1=U 2。 证明：因为dim U 1=dim U 2，故设 {}12,,,r ααα为空间U 1的一组基，{}12,,,r βββ为空间U 2的一组基 2U γ?∈，有 ()12 r X γγβββ= 而 ()()12 12r r C αααβββ=，C 为过渡矩阵，且可逆 于是 ()()()112 12121r r r X C X Y U γγγγβββαααααα-===∈ 由此，得 21 U U ?
矩阵论考试试题(含答案)
矩阵论试题 、（10 分）设函数矩阵 sin t cost At cost sin t 求： A t dt 和( 0 t 0 A t dt )'。 解： A t dt = 0 tt sin t dt 00 t costdt cost dt t sin tdt = 1 cost sint sint 1 cost t2 ( A t dt )' 2 = A t 2 2t sint2 2t cost 2 cost cost2 sint2 、（15分）在R3中线性变换将基 1 0 1 1 1 ， 2 2 ，30 1 1 1 1 0 0 变为基 1 1 ， 2 1 ，33 0 1 2 (1 )求在基 1, 2, 3 下的矩阵表示A； (2 ) 求向量1,2,3 T及在基1, 2, 3下的坐标； (3 ) 求向量1,2,3 T及在基1, 2, 3下的坐标。解：（1）不难求得： 1 1 1 2
因此 在 1, 2, 3 下矩阵表示为 1 1 1 A 1 1 2 011 k 1 (2) 设 1 , 2 , 3 k 2 ，即 k 3 0 1 k 1 解之得： k 1 10, k 2 4, k 3 9 解：容易算得 在 1, 2 , 3下坐标可得 y 1 1 1 1 10 23 y 2 1 1 2 4 32 y 3 0 1 1 9 13 (3) 在基 1, 2 , 3下坐标为 10 10 1 10 1 A 1 4 11 14 15 9 11 09 6 在基 1, 2 , 3 下坐标为 23 10 1 23 10 A 1 32 11 1 32 4 13 11 0 13 9 0 02 三、（20 分）设 A 0 1 0 ，求 e At 。 1 03 2 , 3下坐标为 10, 4, 9 T 。 所以 在 1,
10-11(1)-10级-矩阵论试题与答案
参考答案 ‘1 0 0、 一(15 分〉、设 A= 0 3 1 , - b (1)求可逆矩阵P使得P'AP=J ,其中丿为A的Jordan标准形； (2)计算0； (3)求微分方程组斗卩=Ax(t), x(0) = 的解。 解：(1) |27-4| = (2-1)(2-2)2 ‘1 0(P 21 — A= 0 —1 -1 , rank(2/ — A) = 2, dim N(2/ — A) = 3 — 2 = 1 w 1 1 > 故A的Jordan标准形为 <1 、 J= 2 1 <1 、 记P = [a^a2,a3],由P~l AP = J = 2 1 得 1 2 丿 Aa x = a x T r 0、了 Aa2 = 2a2=> ?)=0 ,0 = J 1 ,巾= 0 Aa, =G2+ 2a30 、一 1丿 1 ‘1 0 0、 p =0 1 0 (不唯一)9P-}AP = J = 2 1 1 ° -1 b < J （2）根据
te 严=p e J,p-1 0 (T 2 、0 0、'e!0 0 0 1 0 e" te210 1 0 = 0 e"(l+f) te21 -1 1 / X e21 z 1 b 0 -te2'戶(1-?(3) x(t) = e At x(0) = e2t 二（15分人设 5 1 0、0 A = 1 2 1 ,b = 1 <0 1 1> kb （1）求A的满秩分解A = FG, （2）求A的广义逆矩阵?r： （3）求Ax=b的最小2—范数最小二乘解X”。 (2) fl 2 (3) x Ls. = A'b = — 2 9b r (1 o -n 1 2 '0 1 0 , <0 1> \ / FG（不唯一） 解：(1) A = 5
矩阵论考试试题(含答案)
矩阵论试题 一、(10分)设函数矩阵 ()??? ? ??-=t t t t t A sin cos cos sin 求：()?t dt t A 0和(()?2 0t dt t A )'。 解：()?t dt t A 0=()???? ? ??-????t t t t tdt tdt dt t dt t 0 sin cos cos sin =??? ? ??---t t t t cos 1sin sin cos 1 (()?2 t dt t A )'=()??? ? ? ?-=?22 22 2sin cos cos sin 22t t t t t t t A 二、(15分)在3R 中线性变换σ将基 ????? ??-=1111α，????? ??-=1202α，??? ?? ??-=1013α 变为基 ????? ??-=0111β，????? ??-=1102β，??? ? ? ??-=2303β (1)求σ在基321,,ααα下的矩阵表示A ； (2)求向量()T 3,2,1=ξ及()ξσ在基321,,ααα下的坐标； (3)求向量()()ξσξ及T 3,2,1=在基321,,βββ下的坐标。 解：(1)不难求得： ()2111ααβασ-== ()32122αααβασ++-== ()321332αααβασ++-==
因此σ在321,,ααα下矩阵表示为 ??? ? ? ??---=110211111A (2)设()??? ?? ??=321321,,k k k αααξ，即 ??? ? ? ??????? ??---=????? ??321111021101 321k k k 解之得：9,4,10321-=-==k k k 所以ξ在321,,ααα下坐标为()T 9,4,10--。 ()ξσ在321,,ααα下坐标可得 ???? ? ??--=????? ??--????? ??---=????? ??1332239410110211111321y y y (3)ξ在基321,,βββ下坐标为 ??? ? ? ??-=????? ??--????? ??--=????? ??---61519410011111101 94101A ()ξσ在基321,,βββ下坐标为 ????? ??--=????? ??--????? ??--=????? ??---94101332230111111011332231A 三、(20分)设??? ? ? ??-=301010200A ，求At e 。 解：容易算得 ()()()()212--=-=λλλλ?A I
矩阵理论试题参考答案
矩阵理论2007年考试参考答案 一、判断题（40分）（对者打∨，错者打?） 1、设,n n A B C ?∈的奇异值分别为120n σσσ≥≥ ≥>，'' ' 120n σσσ≥≥ ≥>， 如果'(1,2, ,)i i i n σσ>=，则22||||||||A B ++>. ( ? ) 2、设n n A C ?∈为正规矩阵，则矩阵的谱半径2()||||r A A =. ( ∨ ) 3、设n n C A ?∈可逆，n n C B ?∈，若对算子范数有1||||||||1A B -?<，则B A +可逆. ( ∨ ) 4、设323 12 1 00a a A a a a a -?? ?=- ? ?-?? 为一非零实矩阵，则2221123()a a a A --++为A 的一个广义逆矩阵 ( ∨ ) 5、设A 为m n ?矩阵，P 为m 阶酉矩阵, 则P A 与A 有相同的奇异值. ( ∨ ) 6、设n n A C ?∈，且A 的所有列和都相等，则()r A A ∞=. ( ? ) 7、如果12(,, ,)T n n x x x x C =∈，则1||||min i i n x x ≤≤=是向量范数. ( ? ) 8、00101 40110620 1 1 8A ????? ?=?????? 至少有2个实特征值. ( ∨ ) 9、设,n n A C ?∈则矩阵范数m A ∞ 与向量的1-范数相容. ( ∨ ) 10、设n n A C ?∈是不可逆矩阵， 则对任一自相容矩阵范数 有1I A -≥, 其中I 为单位矩 阵. ( ∨ ) 二、计算与证明（60分） 1. (10分)设矩阵n n A C ?∈可逆, 矩阵范数||||?是n C 上的向量范数||||v ?诱导出的算子范数, 令()L x Ax =, 证明: ||||11||||1 max ||()||||||||||min ||()||v v v x v y L x A A L y =-==?. 证明: 根据算子范数的定义, 有||||1 max ||()||||||x L x A ==, 1 11 00||||1||||1 0||||||||111||||max max ||||||||||||min ||||min ||()||min |||| y A x x y y y y A x y A Ay x Ay Ay L y y --=-≠≠==≠===== ,
矩阵论简明教程课后复习题与答案解析
习 题 一 13. 设A ∈ C n n ?是Hermite 矩阵。证明A 是Hermite 正定矩阵的充分必要条件是，存在Hermite 正定矩阵B ，使得A=B 2。 解：若A 是Hermit 正定矩阵,则由定理1.24可知存在n 阶酉矩阵U , 使得 U H AU =???? ?? ? ? ?n λλλO 2 1, i λ﹥0, I =1, 2, ,Λn . 于是 A =U ?? ??? ?? ??n λλλO 21U H = U ??????? ??n λλλO 2 1U H U ?????? ? ? ?n λλλO 2 1U H 令 B =U ?????? ? ? ?n λλλO 2 1 U H 则 A =B 2. 反之,当 A =B 2且B 是Hermit 正定矩阵时,则因Hermit 正定矩阵的乘积仍为Hermit 正定矩阵,故A 是Hermit 正定的. 14. 设A ∈ C n n ?是Hermite 矩阵，则下列条件等价:（1）A 是Mermit 半正定矩阵。（2）A 的特征值全为非负实数。（3）存在矩阵P ∈ C n n ?,使得A=P H P 解：(1)?(2). 因A 是Hermit 矩阵,则存在酉矩阵U,使得 U H AU =diag(n λλλ,,,21Λ) 令x =Uy , 其中 y =e k . 则 x ≠0. 于是 x H Ax =y H (U H AU )y =k λ≧0 (k =1, 2, ,Λn ). (2)?(3). A =U diag(n λλλ,,,21Λ)U H =U diag(n λλλ,,,21Λ)diag(n λλλ,,,21Λ)U H 令 P =diag(n λλλ,,,21Λ)U H , 则 A =P H P . (3)?(1). 任取x ≠0, 有 x H Ax =x H P H Px =22 Px ≧0. 习 题 二
矩阵论课后习题 1.1
习 题 1.1 1. 解： 除了由一个零向量构成的集合{}θ可以构成线性空间外，没有两个和有限（m ）个向量构成的线性空间，因为数乘不封闭（k α有无限多个，k ∈p 数域）. 2. 解：⑴是；⑵不是，因为没有负向量；⑶不是，因为存在两向量的和向量处在第二或第四象限，即加法不封闭；⑷是；⑸不是，因为存在二个不平行某向量的和却平行于某向量，即加法不封闭. 3. 解：⑴ 不是，因为 当k ∈Q 或R 时，数乘k α不封闭；⑵ 有 理域上是；实数域上不是，因为当k ∈R 时，数乘k α不封闭.⑶ 是；⑷ 是；⑸ 是；⑹ 不是，因为加法与数乘均不封闭. 4. 解：是，因为全部解即为通解集合，它由基础解系列向量乘以相应常数组成，显然对解的加法与数乘运算满足二个封闭性和八条公理. 5. 解：（1）是线性空间；（2）不是线性空间（加法不封闭；或因无零向量）. 6. 解：（1）设A 的实系数多项式()A f 的全体为 (){} 正整数m R a A a A a I a A f i m m , 1 ∈++=
显然，它满足两个封闭性和八条公理，故是线性空间. （2）与（3）也都是线性空间. 7. 解：是线性空间.不难验证t sin ，t 2sin ，…，nt sin 是线性无关的，且任一个形如题中的三角多项式都可由它们惟一地线性表示，所以它们是V 中的一个组基.由高等数学中傅里叶（Fourier ）系数知 ? = π π 20 sin 1 itdt t c i . 8. 解：⑴ 不是，因为公理2)'不成立：设r=1, s=2, α=(3, 4), 则 (r+s) (3, 4)= (9, 4), 而 r (3, 4) ⊕ s (3, 4)=(3,4) ⊕(6, 4)= (9, 8), 所以 (r+s) α≠r α⊕s α. ⑵ 不是，因为公理1）不成立：设α= (1,2) , β= (3,4) , 则α⊕β=(1,2) ⊕ (3,4) = (1,2), β⊕α= (3,4) ⊕ (1,2) = (3,4) , 所以 α⊕β≠β⊕α. ⑶ 不是，因为公理2)'不成立：设 r=1, s=2, α=(3,4) , 则 (r+s) α=3 (3, 4)= (27, 36) 而 r α⊕s α=1 (3,4)⊕2 (3,4)=(3, 4)⊕(12, 16)= (15, 20), 于是 (r+s) α≠ r α⊕s α. ⑷ 是. 9. 证 若∈βα,V ，则 ()()()()()()()β βααββααββααβαβαβα+++=+++=+++=+++=+=+) 11(111111222
级研矩阵论试题与答案
中国矿业大学 08级硕士研究生课程考试试卷 考试科目矩阵论 考试时间2008年12月 研究生姓名 所在院系 学号 任课教师 中国矿业大学研究生培养管理科印制
一（15分）计算 (1) 已知A 可逆，求 10 d At e t ? （用矩阵A 或其逆矩阵表示） ； （2）设1234(,,,)T a a a a =α是给定的常向量，42)(?=ij x X 是矩阵变量，求T d()d X αX ； （3）设3阶方阵A 的特征多项式为2(6)I A λλλ-=-，且A 可对角化，求k k A A ??? ? ??∞→)(lim ρ。
二（15分）设微分方程组 d d (0)x Ax t x x ?=???? ?=?，508316203A ?? ?= ? ?--??，0111x ?? ? = ? ??? （1）求A 的最小多项式)(λA m ； （3）求At e ； （3）求该方程组的解。
三（15分）对下面矛盾方程组b Ax = 312312 111x x x x x x =?? ++=??+=? （1）求A 的满秩分解FG A =； （2）由满秩分解计算+A ； （3）求该方程组的最小2－范数最小二乘解LS x 。
四（10分）设 11 13A ?=?? 求矩阵A 的QR 分解（要求R 的对角元全为正数，方法不限）。 五（10分） 设(0,,2)T n A R n αβαβ=≠∈≥ （1）证明A 的最小多项式是2 ()tr()m A λλλ=-； （2）求A 的Jordan 形（需要讨论）。
六（10分）设m n r A R ?∈， （1）证明rank()n I A A n r + -=-； （2）0Ax =的通解是(),n n x I A A y y R +=-?∈。 七（10分）证明矩阵 21212123 111222222243333 336 44421(1)(1)n n n n n n n n n n ---? ? ? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ?+++? ? A L L L M M M M L （1）能与对角矩阵相似；（2）特征值全为实数。
博士试题2011-矩阵论_最终版_
矩阵论考试试题 一 ( 20 分)已知23012012[]{()|,,}F t f t a a t a t a a a R ==++∈为所有次数小于3的实系数多项式所成的线性空间，对于任意的3[]F t 中的元素2012()f t a a t a t =++，定义3[]F t 上的线性变换T ： 2122001[()]()()()T f t a a a a t a a t =+++++ 1.求T 在基21,,t t 下的矩阵A ； 2.求象子空间3([])T F t 和核1(0)T ?的维数； 3.是否可以求出3[]F t 的一组基，使得线性变换T 在这组基下的矩阵为对角阵？如果不可以，请说明原因。 二（20分） 已知1010011,11011A b ???? ????==???? ???????? ， 1.求矩阵A 的满秩分解; 2.求 ; 3.用广义逆矩阵方法判断方程组Ax b =是否有解; 4.求方程组Ax b =的最小二乘解，并求其极小最小二乘解。 三 (15分)已知矩阵308316205A ????=????????? 。 1.求A 的行列式因子，不变因子，初级因子； 2.求A 的Jordan 标准形； 3.求A 的最小多项式。
四 (15分)已知126103114A ?????? =????????? 。 1.求sin At ； 2.计算sin d At dt 。 五 (10分)求矩阵121001121A ????=?????? 的QR 分解。 六（10分）设T 是n 维线性空间V 上的线性变换，证明： 1()(0)T V T ?? 的充要条件是20T =。 七 (10分) 设?是n n C ×上的F-范数。证明：若1A <, E 为n 阶单位 阵，则矩阵E A ?可逆，且 1 11()1E A E A A ?≤?≤??。
2015年矩阵论试题
第 1 页 共 5 页 （A 卷） 学院 系 专业班级 姓名 学号 (密封线外不要写姓名、学号、班级、密封线内不准答题，违者按零分计) …………………………………………密…………………………封……………………………………线………………………………… 考试方式：闭卷 太原理工大学 矩阵分析 试卷（A ） 适用专业：2015级硕士研究生 考试日期：2016.1.18 时间：120 分钟 共 8页 一、填空选择题（每小题3分，共30分） 1-5题为填空题： 1. 已知??? ?? ??-=5221001i i A ，1-=i ，则___||||1=A ，___||||2=A ，___||||=F A 。 2. 若矩阵?? ? ? ? ? ? ? ?=03211032 21033210A ，则矩阵A 的谱半径____)(=A ρ 3．已知矩阵函数??? ? ??+-+---=--------t t t t t t t t At e e e e e e e e e 22222222，则______=A 4. 设矩阵??? ? ??=1101A ，则______=A 5．若矩阵n m C A ?∈，且列向量组是两两正交的单位向量，则____=+A 6-10题为单项选择题： 6．设A 是正规矩阵，则下列说法不正确的是 （ ）. (A) A 一定可以对角化； （B ）?=H A A A 的特征值全为实数 题 号 一 二 三 四 总 分 得 分 得 分
第 2 页 共 5 页 （A 卷） (C) 若E AA H =，则 1=A （D ）?-=H A A A 的特征值全为零或纯虚数 7．设A 是幂等矩阵（即A A =2），则下列命题不正确的是 （ ） （A ）A 与对角矩阵相似 （B ）A 的特征值只可能是1或0 （C ）A A )1(sin sin = （D ）幂级数10)(-∞ =-=∑A E A k k 8．设V 为酉空间，,,,,C V z y x ∈∈?λ则有 （ ） (A) ),(),(x y y x = (B) ),(),(y x y x λλ= (C) 0≠x 但0),(=x x (D) ),(),(),(z x y x z y x +=+ 9. 设T 是线性空间V 上的一个线性变换，则下列命题正确的是 （ ） （A ）V T T R =+)ker()( （B ）V T T R dim ))dim(ker())(dim(=+ （C ）}0{)ker()(=T T R （D ）)ker()()ker()(T T R T T R ⊕=+. 10. 与命题“n 阶矩阵B A ,相似”不等价的命题是 （ ） (A) B A ,具有相同的特征多项式 (B) B A ,具有相同的初级因子 (C) B A ,具有相同的不变因子 (D) B A ,的特征矩阵B E A E --λλ,等价 二、解答题（10分） 11. 设??? ? ??-=02212A ，判断∑+∞ =02m m m A 是否收敛，若收敛求其和. 三、证明题（每小题10分， 共20分） 12. 设21,e e 是线性空间2V 的基，21,T T 是2V 上的两个线性变换：221111)(,)(εε==e T e T ，且2121221212)(,)(εεεε-=-+=+e e T e e T . （1）证明：21T T =. 得 分 得 分
