高中数学第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理课堂探究新人教A版选修4_1-含答案

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一 圆周角定理

课堂探究

探究一求线段的长

求圆中线段长时，常先利用圆周角定理及其推论得到相似三角形，从而得到成比例线段，再列方程求得线段长．

【典型例题1】如图，△ABC 的三个顶点都在⊙O 上，∠BAC 的平分线与BC 边和⊙O 分别交于点D ，E

.

(1)指出图中相似的三角形，并说明理由；

(2)若EC ＝4，DE ＝2，求AD 的长．

解：(1)∵AE 平分∠BAC ，

∴∠BAD ＝∠EAC .

又∵∠B ＝∠E ，

∴△ABD ∽△AEC .

∵∠B ＝∠E ，∠BAE ＝∠BCE ，

∴△ABD ∽△CED ，△AEC ∽△CED .

(2)∵△CED ∽△AEC ，

∴CE AE ＝ED EC .

∴CE 2＝ED ·AE ，

∴16＝2AE ，∴AE ＝8.

∴AD ＝AE －DE ＝6.

点评 (1)本题证三角形相似，要用三角形相似的判定定理，而其中角的条件由同弧所对的圆周角相等得出；(2)要求线段长度，先由三角形相似得线段成比例，然后再求其长度．

探究二证明线段相等

有关圆的题目中，圆周角与它所对的弧经常相互转化，即欲证圆周角相等，可转化为证明它们所对的弧相等，这是证明圆中线段相等的常见策略．

【典型例题2】如图，BC 为圆O 的直径，AD ⊥BC ，AF ＝AB ，BF 和AD 相交于E ，求

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证：AE ＝BE

.

思路分析：要证AE ＝BE ，只需在△ABE 中证明∠ABE ＝∠EAB ，而要证这两个角相等，只需借助∠ACB 即可．

证明：∵BC 是⊙O 的直径，

∴∠BAC 为直角．

又AD ⊥BC ，∴Rt △BDA ∽Rt △BAC .

∴∠BAD ＝∠ACB .

∵AB ＝AF ，∴∠FBA ＝∠ACB .

∴∠BAD ＝∠FBA .

∴△ABE 为等腰三角形．∴AE ＝BE .

点评 若已知条件中出现直径，则常用到“直径所对的圆周角为直角”这一性质解决问题．

探究三易错辨析

易错点：误认为同弦或等弦所对圆周角相等

【典型例题3】如图所示，∠BAD ＝75°，则∠BCD ＝

__________.

错解：∵∠BAD 和∠BCD 所对的弦都是BD ，∴∠BAD ＝∠BCD .

∴∠BCD ＝75°.

错因分析：错解中，没有注意到圆周角∠BAD 和∠BCD 所对的弧不相等，导致得到错误的结论∠BAD ＝∠BCD .

正解：∠BAD 是BCD 所对的圆周角，∠BCD 是BAD 所对的圆周角，则BCD 所对的圆心角为2×75°＝150°.又BCD 和BAD 所对圆心角的和是周角360°，

∴BAD 所对圆心角是360°－150°＝210°，

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∴BAD 所对圆周角∠BCD ＝12

×210°＝105°.

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