牛顿迭代法、二分法,定点法的区别与联系

牛顿迭代法、二分法，定点法的区别与联系

牛顿迭代法

牛顿迭代法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要

Newton法是求解方程f(x)=0的最著名的和最有效的数值方法之一，其基本思想可以是将方程转化为线性方程来求解,设f(x)连续可微,则将函数f(x)在x k点处进行taylor展开,即

f x=f x k+f′x k x?x k+f′′x k x?x k2

2!

+?

如果f′(x k)≠0,取taylor展开式的线性部分近似代替f(x),得到f(x)=0的近似方程f x≈f x k+f′x k x?x k=0，将此方程的根记作x k+1，则得到

x k+1=x k?f(x k) f′(x k)

这就是Newton迭代公式迭代函数为

φx=x?f(x）f′(x）

不动点迭代

将方程f(x)=0改写成等价方程

x=φ(x)

则方程的根又称为函数φ的不动点.

为了求φ的不动点,取一个初始近似值x0,用迭代格式

x k=φ(x k?1),k=1,2

产生序列{x k},这种迭代法我们称之为不动点迭代,或简单迭代φ(x）又称为迭代函数.假设一个迭代法产生的序列{x k},k=0,1,2,,收敛,lim k→∞x k=x?，X*是方程f(x)=0的一个解.

区间对分法

区间对分法是求解方程f(x)=0的一种直观而又简单的迭代法,它是建立在介值定理的理论基础之上的，第一个取值点取在含优区间的1/2处,然后逐渐逼近最优值的单因素试验设计方法。

联系

都是用来近似求方程根的方法，利用数列收敛于方程的根。在应用方面，区间对分法可用来求根的初始近似值,以供其它对初始值要求严格的迭代法使用，牛顿法和不定点迭代法都有局限性，收敛有方向性，如果初始值选的不恰当，则方程不收敛，也就不能得到方程的根。另外，方程f(x)=0和x=φ(x）是等价的，于是Newton迭代公式也属于不动点迭代。

区别

对分法每次50%的区间舍弃，试验选值跨跃的幅度过大，会使对分法漏掉了最佳值。从此误差估计式看出,近似解的误差下降速度较慢.但此方法比较简单,且安全可靠.在实际应用中,.需要注意的是此方法只能求单实根,而不能求复根或偶数重根.

在牛顿迭代和不动点迭代中，对不动点方程x=φ(x），它导出的迭代过程有可能发散，也可能收敛得非常缓慢，注意到x=x和x=φ(x）都是不动点方程，它们的加权平均h(x)=λx+λφ(x）也是不动点方程，而h(x)和φ(x）有完全相同的不动点。适当选取λ的值，可以使发散的迭代过程变得收敛，使收敛慢的迭代过程变得收敛迅速。

MAAB计算方法迭代法牛顿法二分法实验报告

姓名 实验报告成绩 评语： 指导教师（签名） 年 月 日 说明：指导教师评分后，实验报告交院（系）办公室保存。 实验一 方程求根 一、 实验目的 用各种方法求任意实函数方程0)(=x f 在自变量区间[a ，b]上，或某一点附近的实根。并比较方法的优劣。 二、 实验原理 (1)、二分法 对方程0)(=x f 在[a ，b]内求根。将所给区间二分，在分点 2a b x -=判断是否0)(=x f ；若是，则有根2a b x -=。否则，继续判断是否0)()(

+)(0x f 0))(('0=-x x x f 设0)('0≠x f ,则=x -0x )(') (00x f x f 。取x 作为原方程新的近似根1x ，然后将1x 作为0x 代入上式。迭代公式为：=+1 k x -0x )(')(k k x f x f 。 三、 实验设备：MATLAB 软件 四、 结果预测 （1）11x = （2）5x = （3）2x =0,09052 五、 实验内容 （1）、在区间[0,1]上用二分法求方程0210=-+x e x 的近似根，要求误差不超 过3105.0-?。 （2）、取初值00=x ，用迭代公式=+1 k x -0x )(') (k k x f x f ，求方程0210=-+x e x 的近似根。要求误差不超过3105.0-?。 （3）、取初值00=x ，用牛顿迭代法求方程0210=-+x e x 的近似根。要求误差 不超过3105.0-?。 六、 实验步骤与实验程序 （1） 二分法 第一步：在MATLAB 软件，建立一个实现二分法的MATLAB 函数文件如下： function x=agui_bisect(fname,a,b,e) %fname 为函数名，a,b 为区间端点，e 为精度 fa=feval(fname,a); %把a 端点代入函数，求fa fb=feval(fname,b); %把b 端点代入函数，求fb if fa*fb>0 error('两端函数值为同号'); end

牛顿迭代法

牛顿迭代法 李保洋 数学科学学院信息与计算科学学号：060424067 指导老师：苏孟龙 摘要：牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法，即牛顿迭代法.迭代法是一种不断用变量的旧值递推新值的过程.跟迭代法相对应的是直接法或者称为一次解法，即一次性解决问题.迭代法又分为精确迭代和近似迭代.“牛顿迭代法”属于近似迭代法，本文主要讨论的是牛顿迭代法，方法本身的发现和演变和修正过程，避免二阶导数计算的Newton迭代法的一个改进，并与中国古代的算法，即盈不足术，与牛顿迭代算法的比较. 关键词：Newton迭代算法；近似求解；收敛阶；数值试验；中国古代数学； 九章算术；Duffing方程；非线性方程；收敛速度；渐进性 0 引言： 迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，跟迭代法相对应的是直接法或者称为一次解法，即一次性解决问题.迭代法又分为精确迭代和近似迭代.“二分法”和“牛顿迭代法”属于近似迭代法. 迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法.它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）进行重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值.具体使用迭代法求根时应注意以下两种可能发生的情况： (1)如果方程无解，算法求出的近似根序列就不会收敛，迭代过程会变成死循环，因此在使用迭代算法前应先考察方程是否有解，并在程序中对迭代的次数给予限制. (2)方程虽然有解，但迭代公式选择不当，或迭代的初始近似根选择不合理，也会导致迭代失败. 所以利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作： 1、确定迭代变量.在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量. 2、建立迭代关系式.所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式(或关系).迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成. 3、对迭代过程进行控制，在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题.不能让迭代过程无休止地重复执行下去.迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来;另一种是所需的迭代次数无法确定.对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制;对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件. 1牛顿迭代法：

数值分析报告-二分法和牛顿法方程求根

《数值分析》实验报告一 姓名: 周举 学号: PB09001046

实验一 一、实验名称 方程求根 二、实验目的与要求： 通过对二分法和牛顿法作编程练习和上机运算，进一步体会它们在方程求根中的不同特点； 比较二者的计算速度和计算精度。 三、实验内容： 通过对二分法和牛顿迭代法作编程练习和上机运算，进一步体会它们在方程求根中的不同特点 。 （一）二分法 算法：给定区间[a,b]，并设f （a ）与f （b ）符号相反，取δ为根的容许误差，ε为值的容许误差。 （1）令c=(a+b)/2 （2）如果(c-a)< δ或)(c f <ε，则输出c ，结束；否则执行（3） （3）如果f(a)f(c)<0，则令)()(,c f b f c b ←←；否则，则令 )()(,c f a f c a ←←，重复（1），（2），（3）。 （二）牛顿迭代法：给定初值0x ，ε为根的容许误差，η为)(x f 的容 许误差，N 为迭代次数的容许值。 （1）如果)(x f <η或迭代次数大于N ，则算法结束；否则执行（2）。

（2）计算)('/)(0001x f x f x x -= （3）若 < 或 < ，则输出 ，程序结束；否则执行（4）。 （4）令 = ，转向（1）。 四、实验题目与程序设计 1、二分法 3.1.1、用二分法求方程 a. f(x)= x x tan 1--在区间[0，π/2]上的根, c. f(x)=6cos 22-++-x e x x 在区间[1，3]上的根。 源程序： 3.1.1.a #include #include void main() { float a,b;double c,y,z; printf("plese input two number a and b:\n"); scanf("%f%f",&a,&b); c=(a+b)/2; y=1/c-tan(c); printf("a=%f,b=%f,b-a=%f,c=%f,f(c)=%f\n",a,b,b-a,c,y); while(fabs(b-a)>0.00001|| fabs(y)>0.00001) { z=1/a-tan(a); if(z*y<0) b=c; else a=c; c=(a+b)/2; y=1/c-tan(c); printf("a=%f,b=%f,b-a=%f,c=%f,f(c)=%f\n",a,b,b-a,c,y); } } x x 01-ε)(1x f ηx 1x 0x 1

数值方法C++代码大全上(包括二分法迭代法牛顿法等等)

1.二分法 #include #include #include //调用fabs函数。 double f(double x) //定义函数F(x)。 { return 2*x*x*x-x-1; } void main() { double a,b,w,x; cout<<"请输入方程根的区间[a,b]及误差w："; cin>>a>>b>>w; x=(a+b)/2; while(fabs(f(x))>w&&fabs(a-b)>w){ //用while循环控制中值折算的条件。if(f(x)*f(b)<0) a=x; //进行二分，缩小求值范围。else if(f(a)*f(x)<0) b=x; x=(a+b)/2; } cout< #include #include #include using namespace std; typedef double (*pFun)(double x); double getIterativeValue(double x) {

return pow((x+1)/2,(double)1.0/3); } double Solve(pFun f,double x,double e,int n) { double res; while(n--) { res = f(x); if(fabs(res - x) < e) { outPrint("第%d次次迭代以后返回值为：%0.7lf \n",10-n,res); break; } else x = res; outPrint("第%d次迭代以后x值为：%0.7lf\n ",10-n,x); } return res; } int main() { cout << setprecision(7); double x,e; cout << "输入初值和精度:" << endl; cin >> x >> e; cout << Solve(getIterativeValue,x,e,10) << endl; system("pause"); return 0; } 3.牛顿法 #include #include #include #include using namespace std;

数值计算(二分法、简单迭代法、Newton迭代法、弦截法(割线法、双点弦法))

本科生实验报告 实验课程数值计算方法 学院名称信息科学与技术学院 专业名称计算机科学与技术 学生姓名 学生学号 指导教师 实验地点 实验成绩 二〇一六年五月二〇一六年五月

实验一非线性方程求根 1.1问题描述 实验目的：掌握非线性方程求根的基本步骤及方法，。 实验内容：试分别用二分法、简单迭代法、Newton迭代法、弦截法(割线法、双点弦法)，求x5-3x3+x-1= 0 在区间 [-8,8]上的全部实根，误差限为10-6。 要求：讨论求解的全过程，对所用算法的局部收敛性，优缺点等作分析及比较， 第2章算法思想 2.1二分法 思想：在函数的单调有根区间内，将有根区间不断的二分，寻找方程的解。 步骤： 1.取中点mid=(x0+x1)/2 2.若f(mid)=0,则mid为方程的根，否则比较与两端的符号，若与 f(x0) 异号，则根在[x0,mid]之间，否则在[mid,x1]之间。 3并重复上述步骤，直达达到精度要求，则mid为方程的近似解。

2.2 简单迭代法 思想：迭代法是一种逐次逼近的方法，它是固定公式反复校正跟的近似值，使之逐步精确，最后得到精度要求的结果。 步骤：1.构造迭代公式f(x)，迭代公式必须是收敛的。 2.计算x1,x1=f(x0). 3.判断|x1-x0|是否满足精度要求，如不满足则重复上述步骤。 4．输出x1,即为方程的近似解。

开始 输入x0,e X1=f(x0)|x1-x0|

求一个整数开根号--二分法和牛顿迭代法(求根)

求一个整数开根号--二分法和牛顿迭代法（求根） 问题叙述 求解1232cos 0x x -+=的解；通过编写matlab 程序分别用分析二分法和牛顿迭代法求解方程，通过两种方法的比较，分析二者求解方程的快慢程度。 一、问题分析 由matlab 画图命令，容易得到此方程解的范围为（2，4）；两种迭代方法，在使用相同的误差（0.00001）的情况下，得出matlab 迭代次数，通过次数的比较得出二者求解速度快慢比较。 二、实验程序及注释 （1）、二分法程序： clear; %清除所有内存数据； f=inline('12-3*x+2*cos(x)'); format long %数据显示格式设为长型； a=2;b=4; %求解区间； er=b-a;ya=f(a);k=0;er0=0.00001; %误差分析； while er>er0 x0=.5*(a+b); y0=f(x0); if ya*y0<0 b=x0; %二分法求解程序； else a=x0; ya=y0; end disp([a,b]);er=b-a;k=k+1 %显示各个区间值和求解次数； end disp([a,b]); %显示最后一个区间值； （2）、牛顿迭代法程序： clear; %清除所有内存数据； f=inline('12-3*x+2*cos(x)'); format long %数据显示格式设为长型； b=3;a=4;k=0; %求解区间； y0=f(b);y=f(a); while abs(b-a)>0.00001 t=a-y*(a-b)/(y-y0); b=a;y0=y; %牛顿迭代法求解程序； a=t;y=f(a); k=k+1; disp([b,a]);k %显示各个区间值和求解次数； end disp([b,a]); %显示最后一个区间值；

数值分析——二分法和牛顿法

二分法和牛顿法的比较 二分法的基本思想是对有根区间[a,b]逐次分半，首先计算区间[a,b]的中间点x0，然后分析可能出现的三种情况：如果f(x0)f(a)<0，则f(x)在区间[a,x0]内有零点；如果f(x0)f(b)<0，则f(x)在区间[x0,b]内有零点；如果f(x0)=0，则x0是f(x)在区间[a,b]内所求零点。但是二分法的缺点是收敛速度慢且不能求复根。牛顿迭代法的基本思想是将方程f(x)=0中函数f(x)线性化，以线性方程的解逼近非线性方程的解其迭代函数为) (') ()(x f x f x x -=?。牛顿迭代法的缺点是可能发生被零除错误，且可能出现死循环。 用二分法和牛顿法分别计算多项式02432 3 =-+-x x x 的解。该多项式的解为1、1+i 和1-i ，使用二分法计算时，区间为(-1,2)，使用牛顿法计算时取初始值为0。误差都为0.0001。 编程如下 二分法(erfen.m)： syms x ; fun=x^3-3*x^2+4*x-2; a=-1; b=2; d=0.0001; f=inline(fun); e=b-a; k=0; while e>d c=(a+b)/2; if f(a)*f(c)<0 b=c; elseif f(a)*f(c)>0 a=c; else a=c;b=c; end e=e/2; k=k+1; end k x=(a+b)/2 牛顿法(newton.m)： function [k,x,wuca] = newton() k=1; x0=0; tol=0.0001; yx1=fun(x0); yx2=fun1(x0); x1=x0-yx1/yx2; while abs(x1-x0)>tol x0=x1; yx1=fun(x0); yx2=fun1(x0); k=k+1; x1=x1-yx1/yx2; end k x=x1 wuca=abs(x1-x0)/2 end function y1=fun(x) y1=x^3-3*x^2+4*x-2; end function y2=fun1(x) y2=3*x^2-6*x+4; end 分析结果得知，在相同的误差精度下，二分法需要计算15次，而牛顿法只需计算5次，得知牛顿法比二分法优越。

二分法和牛顿法求解非线性方程(C语言)

(1)二分法求解非线性方程： #include #include #define f(x)((x*x-1)*x-1) void main() {float a,b,x,eps; int k=0; printf("intput eps\n");/*容许误差*/ scanf("%f",&eps); printf("a,b=\n"); for(;;) {scanf("%f,%f",&a,&b); if(f(a)*f(b)>=0)/*判断是否符合二分法使用的条件*/ printf("二分法不可使用,请重新输入:\n"); else break; } do {x=(a+b)/2; k++; if(f(a)*f(x)<0)/*如果f(a)*f(x)<0，则根在区间的左半部分*/ b=x; else if(f(a)*f(x)>0)/*否则根在区间的右半部分*/ a=x; else break; }while(fabs(b-a)>eps);/*判断是否达到精度要求,若没有达到,继续循环*/ x=(a+b)/2;/*取最后的小区间中点作为根的近似值*/ printf("\n The root is x=%f,k=%d\n",x,k); } 运行结果： intput eps 0.00001 a,b= 2,-5 The root is x=1.324721,k=20 Press any key to continue 总结：本题关键在于两个端点的取值和误差的判断，此程序较容易。二分法收敛速度较快，但缺点是只能求解单根。 (2)牛顿法求解非线性方程： #include #include float f(float x)/*定义函数f(x)*/ {return((-3*x+4)*x-5)*x+6;} float f1(float x)/*定义函数f(x)的导数*/

二分法 牛顿迭代法

2014级硕士研究生数值分析上机实习 (第一次) 姓名：乔永亮 学号：14S030125 学院：船舶与海洋工程学院 实习题目：分别用二分法和Newton 迭代法求方程02010223=-++x x x 的根. 实习目的：掌握两种解法，体会两种解法的收敛速度. 实习要求：用C 程序语言编程上机进行计算，精确到8位有效数字. 报告内容： 1. 确定实根的个数以及所在区间. 解：对函数3 2 ()21020f x x x x =++-求导，得2 ()34100f x x x '=++=。 易知()0f x '>恒成立，所以函数(x)f 没有极值，只有一个实根。又可以知道(1)0f <,(2)0f >方程在区间(1,2)有一个实根，且为奇数重根，可以二分法和Newton 求解 2. 将最后两次计算结果填入下表（保留8位数字）： 3. 实习过程中遇到哪些问题？如何解决？有何心得体会？ 在编程的过程中由于对基本计算原理的理解有一定不足，同时对编程语言的不熟悉，导致在编程过程中错误百出，耗费了大量时间。但是通过课本以及网络对所需知识的不断学习，通过尝试不同的方法，最终还是得到了几种不同的思路与方法。通过这次编程，深深的感受到自己的不足，同时也明白了数学与计算机编程的紧密结合，不努力提高自己在当今社会就要被淘汰。

4. 两种解法的计算程序（此页写不下时可以加页）： 二分法（Fortran 语言） program Analysis1 real::a,b,c,m real::fa,fc a=1. b=2. m=0.0001 !-------------------- do while(abs(b-a)>=m) c=(a+b)/2 fa=a**3+2.*a*a+10.*a-20 fc=c**3+2.*c*c+10.*c-20 if(fa*fc<0) then b=c else a=c end if write(*,"(f10.7)")c end do pause end program Anslysis1 牛顿迭代法（Fortran语言） program Analysis2 implicit none !定义变量---------------------------------------------------------------external f,df real m,x0,x1,f,df integer i !初始化变量-------------------------------------------------------------m=0.0001 x0=1.5 !牛顿迭代法-------------------------------------------------------------do while(abs(f(x0))>=m) x1=x0-f(x0)/df(x0) x0=x1 i=i+1 write(*,"(i4,f10.7)")i,x0 end do

牛顿法和割线法

作业十（第五章）：1. 在区间(0,1.5)上分别用二分法、牛顿法和割线法编程求下面的函数的零点，精度要求10-10。 22 ()=cos(2) f x x x 二分法 function [X]=bisection(fx,xa,xb,n,delta) % 二分法解方程 % fx是由方程转化的关于x的函数，有fx=0。 % xa 解区间上限 % xb 解区间下限 %解区间人为判断输入 % n 最多循环步数，防止死循环。 %delta 为允许误差 x=xa;fa=eval(fx); x=xb;fb=eval(fx); for i=1:n xc=(xa+xb)/2;x=xc;fc=eval(fx);

X=[i,xc,fc]; if fc*fa<0 xb=xc; else xa=xc; end if (xb-xa)

return end while k<=m x=x0;g=eval(diff(fx)); x1=x0-F/g; x=x1;F=eval(fx);k=k+1; if abs(F)<=e X=[x1 F k];return end if k>m fprintf('牛顿法迭代M次没有找到方程的根') return end x0=x1; end fprintf('\n%s%.4f\t%s%d','X=',X,'k=',k) %输出结果牛顿法结果： 迭代5次结果0.5149 割线法：function [X]=gx9(fx,x0,x1,m,e)

二分法和牛顿迭代法求解方程的比较

二分法和牛顿迭代法求解方程的比较 200822401018 徐小良 一、问题叙述 求解1232cos 0x x -+=的解；通过编写matlab 程序分别用分析二分法和牛顿迭代法求解方程，通过两种方法的比较，分析二者求解方程的快慢程度。 二、问题分析 由matlab 画图命令，容易得到此方程解的范围为（2，4）；两种迭代方法，在使用相同的误差（0.00001）的情况下，得出matlab 迭代次数，通过次数的比较得出二者求解速度快慢比较。 三、实验程序及注释 （1）、二分法程序： clear; %清除所有内存数据； f=inline('12-3*x+2*cos(x)'); format long %数据显示格式设为长型； a=2;b=4; %求解区间； er=b-a;ya=f(a);k=0;er0=0.00001; %误差分析； while er>er0 x0=.5*(a+b); y0=f(x0); if ya*y0<0 b=x0; %二分法求解程序； else a=x0; ya=y0; end disp([a,b]);er=b-a;k=k+1 %显示各个区间值和求解次数； end disp([a,b]); %显示最后一个区间值； （2）、牛顿迭代法程序： clear; %清除所有内存数据； f=inline('12-3*x+2*cos(x)'); format long %数据显示格式设为长型； b=3;a=4;k=0; %求解区间； y0=f(b);y=f(a); while abs(b-a)>0.00001 t=a-y*(a-b)/(y-y0); b=a;y0=y; %牛顿迭代法求解程序； a=t;y=f(a); k=k+1; disp([b,a]);k %显示各个区间值和求解次数； end disp([b,a]); %显示最后一个区间值；

数值分析求解非线性方程根的二分法,简单迭代法和牛顿迭代法

实验报告一：实验题目 一、 实验目的 掌握求解非线性方程根的二分法、简单迭代法和牛顿迭代法，并通过数值实验比较两种方法的收敛速度。 二、 实验内容 1、编写二分法、牛顿迭代法程序，并使用这两个程序计算 02)(=-+=x e x x f 在[0, 1]区间的解，要求误差小于 4 10- ，比较两种方法收敛速度。 2、在利率问题中，若贷款额为20万元，月还款额为2160元，还期为10年，则年利率为多少？请使用牛顿迭代法求解。 3、由中子迁移理论，燃料棒的临界长度为下面方程的根cot x =(x 2?1)/2x ，用牛顿迭代法求这个方程的最小正根。 4、用牛顿法求方程f (x )=x 3?11x 2+32x ?28=0的根，精确至8位有效数字。比较牛顿迭代法算单根和重根的收敛速度，并用改进的牛顿迭代法计算重根。 三、 实验程序 第1题： 02)(=-+=x e x x f 区间[0,1] 函数画图可得函数零点约为0.5。 画图函数： function Test1() % f(x) 示意图, f(x) = x + exp(x) - 2; f(x) = 0 r = 0:0.01:1; y = r + exp(r) - 2 plot(r, y); grid on 二分法程序： 计算调用函数：[c,num]=bisect(0,1,1e-4) function [c,num]=bisect(a,b,delta) %Input –a,b 是取值区间范围 % -delta 是允许误差 %Output -c 牛顿迭代法最后计算所得零点值 % -num 是迭代次数

ya = a + exp(a) - 2; yb = b + exp(b) - 2; if ya * yb>0 return; end for k=1:100 c=(a+b)/2; yc= c + exp(c) - 2; if abs(yc)<=delta a=c; b=c; elseif yb*yc>0 b=c; yb=yc; else a=c; ya=yc; end if abs(b-a)

二分法-牛顿法-梯形法原理及流程图

二分法-牛顿法-梯形法原理 及流程图 -标准化文件发布号：（9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

1：二分法流程图： 二分法基本思路：

一般地，对于函数f(x),如果存在实数c,当x=c 时，若f(c)=0,那么把x=c 叫做函数f(x)的零点。 解方程即要求f(x)的所有零点。 假定f(x)在区间（x ，y ）上连续 先找到a 、b 属于区间（x ，y ），使f(a)，f(b)异号，说明在区间(a,b)内一定有零点，然后求f[(a+b)/2], 现在假设f(a)<0,f(b)>0,a=a ，从①开始继续使用 ② 中点函数值判断。 如果f[(a+b)/2]>0，则在区间(a,(a+b)/2)内有零点，(a+b)/2<=b ，从①开始继续使用 中点函数值判断。 这样就可以不断接近零点。 通过每次把f(x)的零点所在小区间收缩一半的方法，使区间的两个端点逐步迫近函数的零点，以求得零点的近似值，这种方法叫做二分法。 从以上可以看出，每次运算后，区间长度减少一半，是线形收敛。另外，二分法不能计算复根和重根。 二分法步骤： 用二分法求方程()0f x =的根*x 的近似值k x 的步骤 ① 若对于a b <有()()0f a f b <，则在(,)a b 内()0f x =至少有一个根。 ② 取,a b 的中点12 a b x +=计算1()f x ③ 若1()0f x =则1x 是()0f x =的根，停止计算， 运行后输出结果*1x x = 若1()()0f a f x <则在1(,)a x 内()0f x =至少有一个根。取111,a a b x ==； 若1()()0f a f x >，则取111,a x b b ==； ④ 若12k k b a ε -≤（ε为预先给定的要求精度）退出计算，运行后输出结果 *2k k a b x +≈，反之，返回步骤1，重复步骤1,2,3 二分法Mtalab 程序 syms x; fun=input('(输入函数形式)fx='); a=input('（输入二分法下限）a=');

1 牛顿迭代法的简介

1 牛顿迭代法的简介 1.1 牛顿迭代法的概述 牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。 设r是f(x) = 0的根，选取x0作为r初始近似值，过点 （x0,f(x0)）做曲线y = f(x)的切线L，L的方程为y = f(x0) f'(x0)(x-x0)，求出L与x轴交点的横坐标x1 = x0-f(x0)/f'(x0)，称x1为r的一次近似值。过点（x1,f(x1)）做曲线y = f(x)的切线，并求该切线与x轴的横坐标x2 = x1-f(x1)/f'(x1)，称x2为r的二次近似值。重复以上过程，得r的近似值序列，其中x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))，称为r的n+1次近似值，上式称为牛顿迭代公式。 解非线性方程f(x)=0的牛顿法是把非线性方程线性化的一种近似方法。把f(x)在x0点附近展开成泰勒级数f(x) = f(x0)+(x －x0)f'(x0)+(x－x0)^2*f''(x0)/2! +… 取其线性部分，作为非线性方程f(x) = 0的近似方程，即泰勒展开的前两项，则有

f(x0)+f'(x0)(x－x0)=f(x)=0 设f'(x0)≠0则其解为x1=x0－ f(x0)/f'(x0) 这样，得到牛顿法的一个迭代序列：x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))。 1.2 牛顿迭代法的优点 迭代法是求方程近似根的一个重要方法，也是计算方法中的一种基本方法，它的算法简单，是用于求方程或方程组近似根的一种常用的算法设计方法。 牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根。 牛顿法是方程求根的一个有力方法，常常能快速求出其他方法求不出或者难以求出的解。假定有一个函数y=f（x），方程f(x)=0在x = r 处有一个根，对于此根，先估计一个初始值Xo（可以是猜测的）。得到一个更好的估计值X1。为此f(X)=Xo处作该曲线的切线，并将其延长与x 轴相交。切线与x轴的交点通常很接近r ，我们用它作为下一个估计值X1，求出X1后，用X1代替Xo。重复上述过程，在x=X1处作曲线的另一条切线，并将其延长至与x轴相交，用切线的x轴截距作为下一个近似值X2……这样继续下去，所得出的这个x轴截距的序列通常迅速接近根r。

MATLAB计算方法迭代法牛顿法二分法实验报告要点

姓名实验报告成绩 评语： 指导教师（签名） 年月日

说明：指导教师评分后，实验报告交院（系）办公室保存。 实验一 方程求根 一、 实验目的 用各种方法求任意实函数方程0)(=x f 在自变量区间[a ，b]上，或某一点附近的实根。并比较方法的优劣。 二、 实验原理 (1)、二分法 对方程0)(=x f 在[a ，b]内求根。将所给区间二分，在分点2a b x -= 判 断是否0)(=x f ；若是，则有根 2a b x -= 。否则，继续判断是否0)()(

（1）11x =0.09033 （2）5x =0.09052 （3）2x =0,09052 五、 实验内容 （1）、在区间[0,1]上用二分法求方程0210=-+x e x 的近似根，要求误差不 超过 3 105.0-?。 （2）、取初值00=x ，用迭代公式=+1k x -0x )(') (k k x f x f ，求方程0210=-+x e x 的 近似根。要求误差不超过 3 105.0-?。 （3）、取初值00=x ，用牛顿迭代法求方程0210=-+x e x 的近似根。要求误 差不超过 3 105.0-?。 六、 实验步骤与实验程序 （1） 二分法 第一步：在MATLAB 7.0软件，建立一个实现二分法的MATLAB 函数文件agui_bisect.m 如下： function x=agui_bisect(fname,a,b,e) %fname 为函数名，a,b 为区间端点，e 为精度 fa=feval(fname,a); %把a 端点代入函数，求fa fb=feval(fname,b); %把b 端点代入函数，求fb if fa*fb>0 error('两端函数值为同号'); end %如果fa*fb>0，则输出两端函数值为同号 k=0 x=(a+b)/2 while(b-a)>(2*e) %循环条件的限制

二分法-牛顿法-梯形法原理及流程图

1：二分法流程图： 二分法基本思路：

一般地，对于函数f(x),如果存在实数c,当x=c 时，若f(c)=0,那么把x=c 叫做函数f(x)的零点。 解方程即要求f(x)的所有零点。 假定f(x)在区间（x ，y ）上连续 先找到a 、b 属于区间（x ，y ），使f(a)，f(b)异号，说明在区间(a,b)内一定有零点，然后求f[(a+b)/2], 现在假设f(a)<0,f(b)>0,a=a ，从①开始继续使用 ② 中点函数值判断。 如果f[(a+b)/2]>0，则在区间(a,(a+b)/2)内有零点，(a+b)/2<=b ，从①开始继续使用 中点函数值判断。 这样就可以不断接近零点。 通过每次把f(x)的零点所在小区间收缩一半的方法，使区间的两个端点逐步迫近函数的零点，以求得零点的近似值，这种方法叫做二分法。 从以上可以看出，每次运算后，区间长度减少一半，是线形收敛。另外，二分法不能计算复根和重根。 二分法步骤： 用二分法求方程()0f x =的根*x 的近似值k x 的步骤 ① 若对于a b <有()()0f a f b <，则在(,)a b 内()0f x =至少有一个根。 ② 取,a b 的中点12 a b x +=计算1()f x ③ 若1()0f x =则1x 是()0f x =的根，停止计算，

运行后输出结果*1x x = 若1()()0f a f x <则在1(,)a x 内()0f x =至少有一个根。取111,a a b x ==； 若1()()0f a f x >，则取111,a x b b ==； ④ 若12k k b a ε-≤（ε为预先给定的要求精度）退出计算，运行后输出结果 *2k k a b x +≈，反之，返回步骤1，重复步骤1,2,3 二分法Mtalab 程序 syms x; fun=input('(输入函数形式)fx='); a=input('（输入二分法下限）a='); b=input('（输入二分法上限）b='); d=input('输入误差限 d=')%二分法求根 %f=inline(x^2-4*x+4); %修改需要求解的inline 函数的函数体 f=inline(fun);%修改需要求解的inline 函数的函数体 e=b-a; k=0 ; while e>d c=(a+b)/2; if f(a)*f(c)<0 b=c; elseif f(a)*f(c)>0 a=c;

牛顿迭代法与二分法1

用二分法和牛顿迭代法编程 一. 实验课题 用二分法和牛顿迭代法编程求方程 sinx-x2/2=0 的实根，要求误差不超过0.00001。输出迭代次数，初始值和根的近似值；再构造不同的迭代函数，用迭代法求解，并进行比较。 二. 实验步骤 (一) 用matlab作函数y=sinx-x2/2的图，步骤如下： 先作一个名为fun1.m的 M文件 function y1=fun1(x) y1=sinx-x2/2； 接着使用下列命令在区间[-0.5，2]上作该函数的图象，并估计y1=0时x的根的大致区间。 x=-0.5:0.01:2; plot (x,fun1(x),‘b’) hold on plot(x,zeros(size(x))) hold off grid

由图象的结果观察可知：上述方程在（1，1.5）上有一实根。 （二）用二分法求方程的近似根 由|b-a|/(2^(n+1))≤ε可以得到n≥13， 故预定最大计算次数为15次。 作一个名为fun2.m的M文件，步骤如下：function X=fun2(a,b) n=15; ε=0.01; k=1; X=(a+b)/12; while fabs(a-b)≥ε if fun1(X)==0; break end

if fun1(a)*fun1(X)<0; b=X; else a=X; end k=k+1; if k>n,k, error(‘fail’) else X=(a+b)/2; end end [‘Iterative times=’,int2str(k)] 在命令窗口输入命令：r=fun2(1,1.5) 运行后得到结果为：ans=Iterative times=13 r=1.4408 （三）用牛顿迭代法求方程的近似根 具体步骤如下： 1. 选择迭代函数φ(x)=x-f(x)/f’(x)。 2.选定初始值x0与x1，并算出相应的f(x0)与f(x1),并保证迭代算出的x1比x0更接近所求的根。 3.对于预定的精度ε>0，取x0=0.5，当|x k+1-x k|≥ε时，停止迭代过程并取x k+1,则 x k+1即为方程根的近似值。否则转回去继续算，若迭代次数超过预先给定的次数仍达不到精度要求，则输出迭代失败的标志。 定义一个名为fun3.m的M文件

二分法-牛顿法-梯形法原理及流程图

1：二分法流程图：

Y 二分法基本思路： 一般地，对于函数f(x),如果存在实数c,当x=c时，若f(c)=0,那么把x=c叫做函数f(x)的零点。解方程即要求f(x)的所有零点。假定f(x)在区间（x，y）上连续 先找到a、b属于区间（x，y），使f(a)，f(b)异号，说明在区间(a,b)内一定有零点，然后求f[(a+b)/2], 现在假设f(a)<0,f(b)>0,a=a，从①开始继续使用 ②中点函数值判断。 如果f[(a+b)/2]>0，则在区间(a,(a+b)/2)内有零点，(a+b)/2<=b，

从①开始继续使用 中点函数值判断。 这样就可以不断接近零点。 通过每次把f(x)的零点所在小区间收缩一半的方法，使区间的两个端点逐步迫近函数的零点，以求得零点的近似值，这种方法叫做二分法。 从以上可以看出，每次运算后，区间长度减少一半，是线形收敛。另外，二分法不能计算复根和重根。 二分法步骤： 用二分法求方程()0f x =的根*x 的近似值k x 的步骤 ① 若对于a b <有()()0f a f b <，则在(,)a b 内()0f x =至少有一个根。 ② 取,a b 的中点12a b x +=计算1()f x ③ 若1()0f x =则1x 是()0f x =的根，停止计算， 运行后输出结果*1x x = 若1()()0f a f x <则在1(,)a x 内()0f x =至少有一个根。取111,a a b x ==； 若1()()0f a f x >，则取111,a x b b ==； ④ 若12k k b a ε -≤（ε为预先给定的要求精度）退出计算，运行后

数值分析实验五(二分法,牛顿迭代法)

实验五 一、实验目的与要求： 1、通过对二分法和牛顿迭代法作编程练习和上机运算，进一步体会它们在方程求根中的不同特点； 2、比较二者的计算速度和计算精度。 二、实验内容： 通过对二分法和牛顿迭代法作编程练习和上机运算，进一步体会它们在方程求根中的不同特点。 二分法 算法：给定区间[a,b]，并设与符号相反，取为根的容许误差，为的容许误差。 （1）令c=(a+b)/2 （2）如果(c-a)<或，则输出，结束；否则执行（3） （3）如果，则令；否则则令，重复（1），（2），（3）。 牛顿迭代法 算法：给定初值 ， 为根的容许误差，为 的容许误差，N 为 迭代次数的容许值。 （1）如果 =0或迭代次数大于N ，则算法失败，结束；否则执行 （2）。 （2）计算 = - （3）若 < 或 < ，则输出 ，程序结束；否则执行（4）。 x 0εη)(x f )(' x f x 1x 0)()('0x x o f f x x 01-ε)(1x f ηx 1

x0x1 （4）令= ，转向（1）。 三、实验题目： 1、用二分法求方程f(x)=x^3+4*x*x-10在区间[1，1.5]上的根，要求求出具有3位有效数的近似根。 2、用牛顿法求方程x^3-3x-1=0在x=2附近的根。 四、程序： 一、二分法 #include float f(float x) { return x*x*x+4*x*x-10; } void main() { float a,b,c; a=1.0; b=1.5; for(;b-a>=0.01;) { c=(a+b)/2; if(f(a)*f(c)==0) break;