2011年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)
数学(理工农医类)
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共6页,时量120分钟,满分150分。 参考公式:(1)()()()
P AB P B A P A =
,其中,A B 为两个事件,且()0P A >,
(2)柱体体积公式V Sh =,其中S 为底面面积,h 为高。 (3)球的体积公式3
43
V R π=
,其中R 为求的半径。
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.若,a b R ∈,i 为虚数单位,且()a i i b i +=+则
A .1a =,1b = B. 1,1a b =-= C.1,1a b =-=- D. 1,1a b ==- 2.设集合{}{}21,2,,M N a ==则 “1a =”是“N M ?”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分又不必要条件 3.设图1是某几何体的三视图,则该几何体的体积为
A. 9
122
π+ B. 9182π+
C. 942π+
D. 3618π+
通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表:
由()
()()()()
2
2n ad bc k a b c d a c b d -=
++++算得,()
2
2110403020207.8
60506050
k ??-?=
≈??
?.
参照附表,得到的正确结论是
A . 再犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”
B . 再犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关” C.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” D.有99%一上的把握人物“爱好该项运动与性别无关” 5.设双曲线
()22
2
109
x y
a a
-
=>的渐近线方程为320x y ±=,则a 的值为
A.4
B.3
C.2
D.1 6.由直线,,03
3
x x y π
π
=-=
=与曲线cos y x =所围成的封闭图形的面积为
A.
12
B.1
C.
32
D. 3
7.设m >1,在约束条件1y x y m x x y ≥??
≤??+≤?
下,目标函数Z=X+my 的最大值小于2,则m 的取值范围为
A.(1,12+)
B.(12+,+∞)
C.(1,3 )
D.(3,+∞)
8.设直线x=t 与函数2()f x x = ()ln g x x = 的图像分别交于点M,N,则当M N 达到最小时t 的值为
A.1
B. 12
C.
52
D.
22
填空题:本大题共8小题,考生作答7小题,每小题5分,共35分,把答案填在答题卡中对
应号后的横线上。
(一)选做题(请考生在9、10、11三题中任选一题作答,如果全做,则按前两题记分) 9.在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为cos ,1sin x y αα
=??
=+?(α为参数)在极坐标系(与直角
坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴中,曲线C 2的方程为
()cos sin 10p θθ-+=,则C 1与C 2的交点个数为
10.设,x y R ∈,则22
2
2
11()(4)x y y
x
+
+的最小值为 。
11.如图2,A,E 是半圆周上的两个三等分点,直径BC=4, AD ⊥BC,垂足为D,BE 与AD 相交与点F ,则AF 的长为 。 (二)必做题(11~16题)
12.设n S 是等差数列{}n a ()n N *∈,的前n 项和,且411,7a a ==,则9S = .
13.若执行如图3所示的框图,输入11x =,232,3,2x x x ==-=,则输出的数等于 。
14.在边长为
1的正三角形
ABC 中, 设
2,3,
BC BD C A C E == 则3,
A D
B E
C E ?=
=__________________.
15.如图4,EFGH 是以O 为圆心,半径为1的圆的内接正方形。
将一颗豆子随机
地扔到该院内,用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”, B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴C 影部分)内”,则
(1)P(A)= _____________; (2)P(B|A)= .
16.对于n N +∈ ,将n 表示12100121222...22k k k k k n a a a a a ---=?+?+?++?+? ,当i o =时,1i a =,当1i k ≤≤时, 1a 为0或1.记()I n 为上述表示中a i 为0的个数(例如:
2
1
12,4120202
I =?=?+?+?),故(1)0I =, (4)2I =),则
(1)(12)I =________________;(2) ()1
2m
f n n =∑________________;
三、解答题:本大题共6小题,东75分,解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤 17.(本小题满分12分)
在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ,且满足csinA=acosC. (Ⅰ)求角C 的大小; (Ⅱ)求3sinA-cos (B+
4
π
)的最大值,并求取得最大值时角A 、B 的大小。
18. (本小题满分12分)
某商店试销某种20天,获得如下数据: 日销售量(件) 0 1 2 3 频数
1
5
9
5
试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变),设某天开始营业时有该商品3件,当天营业结束后检查存货,若发现存货少于2件,则当天进货补充..至3件,否则不进货...,将频率视为概率。 (Ⅰ)求当天商品不进货的概率;
(Ⅱ)记x 为第二天开始营业时该商品的件数,求x 的分布列和数学期型。
19.(本小题满分12分)
如图5,在圆锥P O中,已知P O=2,O
Θ的直径2
A B=,C是的中点,D为A C的中点. (Ⅰ)证明:平面P O D⊥平面PAC;
(Ⅱ)求二面角B P A C
--的余弦值。
20.(本小题满分13分)
如图6,长方形物体E在雨中沿面P(面积为S)的垂直方向作匀速移动,速度为v(v>0),雨速沿E移动方向的分速度为()
e e R
∈。E移动时单位时间
....内的淋雨量包括两部分:(1)P或P的平行
面(只有一个面淋雨)的淋雨量,假设其值与v c
-×S成正比,比例系数为
1
10
;(2)其它面的淋
雨量之和,其值为1
2,记y为E移动过程中的总淋雨量,当移动距离d=100,面积S=3
2
时。
(Ⅰ)写出y的表达式
(Ⅱ)设0<v≤10,0<c≤5,试根据c的不同取值范围,确定移动速度v,使总淋雨量y最少。
21.(本小题满分13分)
如图7,椭圆
2212
2
:
1(0)
x y C a b a
b
+
= 的离心率为3
2,x 轴被曲线2
2:C y x b =- 截得的线段长等
于1C 的长半轴长。 (Ⅰ)求1C ,2C 的方程;
(Ⅱ)设2C 与y 轴的焦点为M ,过坐标原点O 的直线l 与2C 相交于点A,B,直线MA,MB 分别与1C 相交与D,E.
(i)证明:MD ⊥ME;
(ii)记△MAB,△MDE 的面积分别是1
S ,2S .问:是否存
在
直线l,使得21
S S =3217
? 请说明理由。
22.(本小题满分13分)
已知函数f (x ) =3x ,g (x )=x +x 。
(Ⅰ)求函数h (x )=f (x )-g (x )的零点个数。并说明理由;
(Ⅱ)设数列{ n a }(n n N ∈)满足1(0)a o a =>,1()()n n f a g a +=,证明:存在常熟M,使得 对于任意的n n N ∈,都有n a ≤ M .