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高中立体几何证明方法及例题

1. 空间角与空间距离在高考的立体几何试题中，求角与距离是必考查的问题，其中最主要的是求线线角、线面角、面面角、点到面的距离，求角或距离的步骤是“一作、二证、三算”，即在添置必要的辅助线或辅助面后，通过推理论证某个角或线段就是所求空间角或空间距离的相关量，最后再计算。

2. 立体几体的探索性问题立体几何的探索性问题在近年高考命题中经常出现，这种题型有利于考查学生归纳、判断等方面的能力，也有利于创新意识的培养。近几年立体几何探索题考查的类型主要有：（1）探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么？（2）探索结论，即在给定的条件下命题的结论是什么。对命题条件的探索常采用以下三种方法：（1）先观察，尝试给出条件再证明；（2）先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性；（3）把几何问题转化为代数问题，探索出命题成立的条件。对命题结论的探索，常从条件出发，再根据所学知识，探索出要求的结论是什么，另外还有探索结论是否存在，常假设结论存在，再寻找与条件相容还是矛盾。

（一）平行与垂直关系的论证

由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，在应用中：低一级位置关系判定高一级位置关系；高一级位置关系推出低一级位置关系，前者是判定定理，后者是性质定理。 1. 线线、线面、面面平行关系的转化：

αβ

αγβγ

//,// ==????

a b a b

面面平行性质

αγβγαβ

//////??

2. 线线、线面、面面垂直关系的转化：

a a OA a PO a PO a AO

?⊥?⊥⊥?⊥αα

在内射影则

面面垂直判定

线面垂直定义

l a l a

⊥

??⊥?

??α

面面垂直性质，推论2

αβ

αββα⊥=?⊥?⊥???

? b a a b a , αγβγαβ

γ⊥⊥=?⊥?

? a a

面面垂直定义

αβαβαβ =--?⊥?

l l ，且二面角成直二面角

3. 平行与垂直关系的转化：

面面∥面面平行判定2 面面平行性质3

a b a b //⊥?⊥???

a b a b

⊥⊥????

αα//

a a ⊥⊥??

αβα

β//a a ⊥⊥???

4. 应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。”

5. 唯一性结论：

1. 三类角的定义：

（1）异面直线所成的角θ：0°＜θ≤90°

（2）直线与平面所成的角：0°≤θ≤90° （时，∥或）θαα=??0b b

（3）二面角：二面角的平面角θ，0°＜θ≤180°

2. 三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算” 即：（1）找出或作出有关的角；（2）证明其符合定义；（3）指出所求作的角；（4）计算大小。

（三）空间距离：求点到直线的距离，经常应用三垂线定理作出点到直线的垂线，然后在相关三角形中求解。求点到面的距离，一般找出（或作出）过此点与已知平面垂直的平面利用面面垂直的性质求之也可以利用“三棱锥体积法”直接求距离，直线与平面的距离，面面距离都可转化为点到面的距离。

【典型例题】

（一）与角有关的问题

例1. （1）如图，E 、F 分别为三棱锥P —ABC 的棱AP 、BC 的中点，PC ＝10，AB ＝6，EF ＝7，则异面直线AB 与PC 所成的角为（）

A. 60°

B. 45°

C. 30°

D. 120°

解：取AC 中点G ，连结EG 、FG ，则

EG PC FG AB

∥∥，==1212

∴∠EGF 为AB 与PC 所成的角

在△EGF 中，由余弦定理，

cos ∠··EGF EG FG EF EG FG =+-=+-??=-

222222

25372531

∴AB 与PC 所成的角为180°－120°＝60°

∴选A

（2）已知正四棱锥以棱长为1的正方体的某个面为底面，且与该正方体有相同的全面积，则这一正四棱锥的侧棱与底面所成的角的余弦值为（）

A B C D .

1313

2626

解：

设正四棱锥的高为，斜高为h h h '=

+?? ???

由题意：1241121612

22??+?? ???

???+=?h

∴h 26=

∴侧棱长PB h OB =+=+?? ??

62226

∴∠cos PBO OB

==2

226

213

∴选A

（）如图，在正方体中，为上的一个定点，为3111111ABCD A B C D P A D Q -

A B E F CD EF 11上的任意一点，、为上任意两点，且的长为定值，有下列命题：

①点P 到平面QEF 的距离为定值；

②直线PQ 与平面PEF 所成的角为定值； ③二面角P —EF —Q 的大小为定值； ④三棱锥P —QEF 的体积为定值

其中正确命题的序号是___________。

解：平面即是平面QEF A B CD 11

∴上定点到面的距离为定值A D P A B CD 1111

∴①对，②错

二面角——，即面与面所成的角，且平面角∠为定P EF Q PDF A B CD PDA 111

值，∴③对因为∥，且为定值，∴为定值A B DC EF S QEF 11?

又点到平面的距离为定值，∴为定值，∴④对P QEF V P QEF -

综上，①③④正确。

例2. 图①是一个正方体的表面展开图，MN 和PQ 是两条面对角线，请在图（2）的正方体中将MN ，PQ 画出来，并就这个正方体解答下列各题：（1）求MN 和PQ 所成角的大小；（2）求四面体M —NPQ 的体积与正方体的体积之比；（3）求二面角M —NQ —P 的大小。

解：（1）如图②，作出MN 、

∵PQ ∥NC ，又△MNC 为正三角形 ∴∠MNC ＝60°

∴PQ 与MN 成角为60°

（）·21

3V V S MQ M NPQ Q PMN PMN --==

==1621

6···正方体

S MQ S MQ V PMN PMDN ?

即四面体M —NPQ 的体积与正方体的体积之比为1：6

（3）连结MA 交PQ 于O 点，则MO ⊥PQ

又NP ⊥面PAQM ，∴NP ⊥MO ，则MO ⊥面PNQ 过O 作OE ⊥NQ ，连结ME ，则ME ⊥NQ ∴∠MEO 为二面角M —NQ —P 的平面角在Rt △NMQ 中，ME ·NQ ＝MN ·MQ

设正方体的棱长为a

ME a a a

a MO a =

==23632

2·，又在中，∠Rt MEO MEO MO

a ?sin =

==226332

∴∠MEO ＝60°

即二面角M —NQ —P 的大小为60°。

例3. 如图，已知四棱锥P —ABCD ，PB ⊥AD ，侧面PAD 为边长等于2的正三角形，底面ABCD 为菱形，侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角为120°。（1）求点P 到平面ABCD 的距离；（2）求面APB 与面CPB 所成二面角的大小。

解：（1）作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，连结OB 、OA 、OD ，OB 与AD 交于点E ，连结PE

∵AD ⊥PB ，∴AD ⊥OB （根据___________） ∵PA ＝PD ，∴OA ＝OD

于是OB 平分AD ，点E 为AD 中点 ∴PE ⊥AD

∴∠PEB 为面PAD 与面ABCD 所成二面角的平面角

∴∠PEB ＝120°，∠PEO ＝60°

又，∴·

PE PO PE o ====36033232sin

即为P 点到面ABCD 的距离。

（2）由已知ABCD 为菱形，及△PAD 为边长为2的正三角形 ∴PA ＝AB ＝2，又易证PB ⊥BC 故取PB 中点G ，PC 中点F 则AG ⊥PB ，GF ∥BC 又BC ⊥PB ，∴GF ⊥PB

∴∠AGF 为面APB 与面CPB 所成的平面角 ∵GF ∥BC ∥AD ，∴∠AGF ＝π－∠GAE 连结GE ，易证AE ⊥平面POB

又，为中点PE BE G PB ==3

∴∠∠PEG PEB o =

260

∴GE PE o ==?=cos6031232

在中，Rt AGE AE AD ?=

∴∠tan GAE GE AE =

=32

∴∠GAE =arctan

∴∠AGF =-πarctan

所以所求二面角的大小为π-arctan

（2）解法2：如图建立直角坐标系，其中O 为坐标原点，x 轴平行于DA

P B （，，

），（，，）003203320

PB G AG 的中点的坐标为（，

，），连结03343

又（，

，），（，，）A C 1320233

20-

由此得到（，，），（，，），GA PB →

=--→=-1343403323

BC →

=-（，，）200

于是·，·GA PB BC PB →→=→→

=00 ∴⊥，⊥GA PB BC PB →→→→

∴、的夹角为所求二面角的平面角GA BC →→

于是··cos ||||θ=→→→→=-GA BC GA BC 27

∴所求二面角大小为π-arccos

（二）与距离有关的问题

例4. （1）已知在△ABC 中，AB ＝9，AC ＝15，∠BAC ＝120°，它所在平面外一点P 到△ABC 三个顶点的距离都是14，那么点P 到平面ABC 的距离是（） A. 13 B. 11 C. 9 D. 7 解：设点P 在△ABC 所在平面上的射影为O

∵PA ＝PB ＝PC ，∴O 为△ABC 的外心

△ABC 中，AB ＝9，AC ＝15，∠BAC ＝120°

∴BC o

=+-???=91529151202122cos

由

，∴a

R R sin ==?=221232

()

∴PO =-=14

（）在直三棱柱中，，，∠2221111ABC A B C AB BC BB ABC -====

90E F o

，、分别为、的中点，沿棱柱的表面从到两点的最短路径的AA C B E F 111

长度为___________。

解：（采用展开图的方法）

将平面沿旋转使两矩形与在同一平面内B BCC B B A ABB B BCC 1111111

连接，则为所求的最短路径EF EF

如图①，EF A E A F =+=+?? ?

121222

132222

如图②展开，EF =++?? ??

+()212272222

如图③展开，EF =?? ???++?? ?

321213222

比较这三种方式展开，可见沿表面从到的最短路径长度为

。E F 3

点评：此类试题，求沿表面运动最短路径，应展开表面为同一平面内，则线段最短。但必须注意的是，应比较其各种不同展开形式中的不同的路径，取其最小的一个。

（3）在北纬45°圈上有甲、乙两地，它们的经度分别是东经140°与西经130°，设地球半径为R ，则甲、乙两地的球面距离是（）

A R

B R

C R

D R .

13ππππ

解：

()

由题意∠AO B o o o o

136014013090=-+=

（O 1为小圆圆心）

又由题意O A O B R 112

2==

则中，?O 1AB AB R =

∴△AOB 为正三角形（O 为球心）

∴∠AOB =

π3

∴、两点球面距离为

A B R π3

∴选D

例5. 如图，四棱锥P —ABCD ，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是AB 、PD 中点。（1）求证：AF ∥平面PEC ；

（）若＝，，二面角——为，求点到平面2AD 2CD P CD B F PEC o =2245

距离。

解：G 为PC 中点，连结FG 、EG 又∵F 为PD 中点

∴，又∥∥FG CD AE CD

==121

∴∥FG AE =

∴四边形AEGF 为平行四边形

∴∥，又面，面AF EG EG PEC AF PEC ??

∴AF ∥平面PEC

（2）∵CD ⊥AD ，又PA ⊥面ABCD ∴AD 为PD 在面ABCD 上射影 ∴CD ⊥PD

∴∠PDA 为二面角P —CD —B 的平面角，且∠PDA ＝45° 则△PAD 为等腰直角三角形 ∴AF ⊥PD ，又CD ⊥平面PAD ∴CD ⊥AF ∴AF ⊥面PCD

作FH ⊥PC 于H ，则AF ⊥FH 又EG ∥AF ，∴EG ⊥FH

∴FH ⊥面PEC ，∴FH 为F 到面PEC 的距离

在Rt △PEG 中，FH ·PG ＝PF ·FG

∴FH =

?+=2222

方法2：（体积法）

∵AF ∥面PEC ，故只要求点A 到面PEC 的距离d

由即

··V V S d S PA A PEC P AEC PEC AEC --==131

3??

易证AF ⊥面PCD ，∴EG ⊥面PCD

∴EG ⊥PC

()

∴·S PC EG PEC

?==++?=1212

2222222

S AE BC AEC ?=

?=??=121

2222

∴·d S PA S AEC PEC =

=?=??22

221

（三）对命题条件的探索

例6. （1）如图已知矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝a ，若PA ⊥平面ABCD ，在BC 边上取点E ，使PE ⊥DE ，则满足条件E 点有两个时，a 的取值范围是（

）

A a

B a ..>≥66

C a

D a ..06

06<<<≤

解：∵PA ⊥面ABCD ，PE ⊥DE

由三垂线定理的逆定理知PE 的射影AE ⊥BE

所以满足条件的点E 是以AD 为直径的圆与BC 的交点，要有两个交点，则 AD ＞2AB ＝6

∴选A

（2）如图，在三棱柱ABC －A'B'C'中，点E 、F 、H 、K 分别为AC'、CB'、A'B 、B'C'的中点，G 为△ABC 的重心，从K 、H 、G 、B'中取一点作为P ，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF 平行，则P 为（）

A. K

B. H

C. G

D. B

分析：从题目中的“中点”条件，联想到“中位线”。而平面PEF 中，EF 为定直线，连BC'则F 为BC'中点

故中，∥∥平面，∥平面?AC B EF AB AB PEF A B PEF '''?

考虑到若P 为K 点，则还有AA'、BB'、CC'都平行于FK 即它们也都平行于平面PEF ，不合题意。同理P 也不能为H 点，若P 为B'点时，EF 与B'A'共面也不符合题意（这时只有一条棱平行于平面PEF ），可见只能取G 点。故选C

例7. 如图，是棱长为的正方体11111ABCD A B C D -

（）线段上是否存在一点使得⊥平面若存在，确定的位

111A B P A B PAC P ?置；若不存在，说明理由。

（）点在线段上，若二面角——的大小是，求点位221P A B C AP B P arctan

置；

（）点在对角线上，使∥平面，求

。3111Q B D A B QAC B Q

解：（1）（用反证法）

假设⊥面，则⊥BA PAC A B AC 11

∵∥，易知与成A C AC A B A C o

1111160 即与成角，与⊥矛盾A B AC A B AC o

1160 ∴不垂直于平面A B PAC 1

∴不存在点P 满足题目条件

（2）过B 作BH ⊥AP 于H ，连

由于⊥面，故⊥CB ABB A CH AP 11

即∠BHC 是二面角C —AP —B 的平面角

∴∠tan BHC BC

BH ==2

即AB

BH =2

即在中，

Rt BHA BH AB ?=1

∴∠BAH ＝30°

在中，

，又?ABP PB AB

AB sin sin 301051

?=?=

∴PB =

+=-12624

622

（）由于∥，∴∥面31111A B D C A B D AC ∴点是直线与面的交点Q B D D AC 11

下面求Q 点的位置。

设∩，显然∽AC BD O QOD QD B =??11

∴

B Q QD B D DO 111

2==

（四）对命题结论的探索例

（）正方体中，点在侧面及其边界上运动，1111111ABCD A B C D P BCC B

并且总保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是（） A B C .线段1

B B

C .线段1

C BB CC .11中点与中点连成的线段

D BC B C .中点与中点连成的线段1

分析：从条件AP ⊥BD 1出发，可知AP 必在过A 点且与BD 1垂直的平面B 1AC 上 ∴点P 必在B 1C 上

∴选A

（2）如图，斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，BC 1⊥AC ，则C 1在底面ABC 上的射影H 必在（）

A. 直线AB 上

B. 直线BC 上

C. 直线CA上

D. △ABC内部

解：连结AC1

∵AC⊥AB，又AC⊥BC1

∴AC⊥面ABC1

又面，∴面⊥面且为交线

AC ABC ABC ABC AB

则C在面ABC上的射影必在交线AB上

∴选A

例9. 在四面体ABCD中，AB⊥BC，AB⊥BD，BC⊥CD，且AB＝BC＝1。

（1）求证：平面CBD⊥平面ABD；

（2）是否存在这样的四面体，使二面角C—AD—B的平面角为30°？如果存在，求出CD的长；如果不存在，请找出一个角θ，使得存在这样的四面体，使二面角C—AD—B的平面角为θ。

解：（1）∵AB⊥BC，AB⊥BD

∴⊥平面，又面

AB BCD AB ABD

∴面ABD⊥面

CBD

（2）设CD＝x，在面CBD内作CE⊥BD于E

由（1）知平面ABD⊥面BCD，且BD为交线

∴CE⊥平面ABD

作EF⊥AD于F，连结CF，则CF⊥AD

∴∠CFE为“二面角”C—AD—B的平面角，且∠CFE＝30°

又在Rt△BCD中，CE·BD＝CB·CD

∴CE

x x

+ 1

11 22

又∵CD⊥BC，又BC为AC在面BCD上射影

∴CD ⊥AC

则在Rt △ACD 中，CF ·AD ＝AC ·CD

∴CF x x =

+222

在中，∠·Rt CEF CFE CE

x x x x x ?sin ==

++=++=

22122

221

解出，无实数解。x 23=-

故不存在这样的四面体，使二面角C —AD —B 的平面角为30°

又∠·，sin CFE x x x =

++=

+∈?? ???22

221

1221

∴∠，CFE ∈?? ???

π42

故θ可以取45°～90°之间的任意角。

点评：本题是一道存在性的探索问题。常常假定结论成立，再判断它与已知条件是否符合。

【模拟试题】

一. 选择题。

1. PA 、PB 、PC 是从P 引出的三条射线，两两成60°，则PC 与平面PAB 所成角的余弦值是（）

A. 12

B. 32

C. 33

D. 63

2. 在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，将菱形沿对角线AC 折起，使折起后BD ＝1，则二面角B —AC —D 的余弦值为（）

A. 13

B. 12

C. 223

D. 32

3. 三棱锥的三条侧棱两两垂直，底面上一点到三个侧面的距离分别是2，3，6，则这个点到三棱锥顶点的距离是（）

C. 7

4. 已知A 、B 、C 是球面上的三点，且AB ＝6，BC ＝8，AC ＝10，球心O 到平面ABC 的距离为11，则球的表面积为（）

A. 36π

B. 72π

C. 144π

D. 288π

5. △ABC 边上的高线为AD ，BD a CD b ==，，且a b <，将△ABC 沿AD 折成大小

为θ的二面角B —AD —C ，若

cos θ=

b ，则三棱锥A —BCD 的侧面△ABC 是（）

A. 锐角三角形

B. 钝角三角形

C. 直角三角形

D. 形状与a ，b 的值有关的三角形

6. 有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体的下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点，已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积（含最底层正方体的底面积）超过39，则该塔中正方体的个数至少是（）

A. 4

B. 5

C. 6

D. 7

二. 填空题。

7. 如图，在三棱锥P —ABC 中，PA PB PC BC ===，且∠BAC =

2，则PA 与底

面ABC 所成角的大小为___________。

8. 如图，矩形ABCD 中，AB BC ==43，，沿AC 把△DAC 折起，当四面体的体积最大时，直线AD 与平面ABG 所成角的正弦值是___________。

9. 如图，正方体ABCD A B C D

1111棱长为1，M、N分别为

B C D C

1111

、中点，则点

C到截面MNDB的距离是___________。

三. 解答题。

10. 如图，正三角形ABC的边长为3，过其中心G作BC边的平行线，分别交AB、AC

于B C

、，将?AB C

11沿

B C

11折起到

?A B C

111的位置，使点

1在平面

BB C C

11上的射

影恰是线段BC的中点M，求：

（1）二面角A B C M

111

--的大小；

（2）异面直线A B

11与

1所成角的大小。（用反三角函数表示）

11. 如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=2，AF＝1，M是线段EF的中点。

（1）求证：AM∥平面BDE；

（2）求二面角A—DF—B的大小；

（3）试在线段AC上确定一点P，使得PF与BC所成的角是60°。

11.解：（1）记AC与BD交于点O，连结OE

∵O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形

∴四边形AOEM是平行四边形

∴AM∥OE，OE?平面BDE，AM?平面BED ∴AM∥平面BDE

立体几何证明题定理推论汇总

立体几何公理、定理推论汇总一、公理及其推论公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈?? 作用： ① 用来验证直线在平面内； ② 用来说明平面是无限延展的。公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线）符号语言：P l P l α βαβ∈?=∈且！作用：① 用来证明两个平面是相交关系； ② 用来证明多点共线，多线共点。公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。符号语言：,,,,A B C A B C ?不共线确定一个平面推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。符号语言：A a A a a αα??∈?有且只有一个平面，使，推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面。符号语言：a b P a b ααα?=???有且只有一个平面，使，）推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面。符号语言：//a b a b ααα???有且只有一个平面，使，公理3及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。

符号语言：//////a b a c c b ???? 图形语言：作用：用来证明线线平行。二、平行关系 - 公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。（1）符号语言：//////a b a c c b ???? 图形语言： 1.线面平行的判定定理如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。（2）符号语言： ////a b a a b ααα???????? 图形语言：线面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。（3）符号语言：////a b a a b βαβα??????=? 图形语言： 2.面面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（4）符号语言：//(/,///),a b b b O a a ββαααβ??=?????? 图形语言： ! 面面平行的判定如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。（5）符号语言：,,//oo oo ααββ???? ⊥⊥ 图形语言：

高中数学立体几何证明定理及性质总结

一．直线和平面的三种位置关系： 1. 线面平行 2. 线面相交 l 符号表示：符号表示： 3. 线在面内符号表示：二．平行关系： 1.线线平行：方法一：用线面平行实现。方法二：用面面平行实现。 m l m l l // // ? ? ? ? ? ? = ? ? β α β α m l m l// // ? ? ? ? ? ? = ? = ? β γ α γ β α 方法三：用线面垂直实现。若α α⊥ ⊥m l,，则m l//。 2.线面平行：方法一：用线线平行实现。 α α α// // l l m m l ? ? ? ? ? ? ? ? 方法二：用面面平行实现。 α β β α // // l l ? ? ? ? ? 3.面面平行：方法一：用线线平行实现。方法二：用线面平行实现 β α α β // ' ,' , ' // ' // ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 且相交且相交 m l m l m m l l 。β α β α α // , // // ? ? ? ? ? ? ?且相交 m l m l 三．垂直关系： l

1. 线面垂直：方法一：用线线垂直实现。方法二：用面面垂直实现。 α α⊥??? ????? ?=?⊥⊥l AB AC A AB AC AB l AC l , αββαβα⊥???? ???⊥=?⊥l l m l m , 2. 面面垂直：方法一：用线面垂直实现。方法二：计算所成二面角为直角。 βαβα⊥?? ?? ?⊥l l 3. 线线垂直：方法一：用线面垂直实现。 m l m l ⊥?? ?? ?⊥αα 方法二：三垂线定理及其逆定理。 PO l OA l PA l αα⊥? ? ⊥?⊥????

(完整版)高中立体几何证明垂直的专题训练

高中立体几何证明垂直的专题训练深圳龙岗区东升学校—— 罗虎胜立体几何中证明线面垂直或面面垂直都可转化为线线垂直，而证明线线垂直一般有以下的一些方法：（1）通过“平移”。（2）利用等腰三角形底边上的中线的性质。（3）利用勾股定理。（4）利用三角形全等或三角行相似。 (5) 利用直径所对的圆周角是直角，等等。 (1) 通过“平移”,根据若αα平面则平面且⊥⊥a b b a ,,// 1．在四棱锥P-ABCD 中，△PBC 为正三角形，AB ⊥平面PBC ，AB ∥CD ，AB= 2 1 DC ，中点为PD E .求证：AE ⊥平面PDC. 分析：取PC 的中点F ，易证AE//BF ，易证 B F ⊥平面PDC 2．如图，四棱锥P －ABCD ABCD ，∠PDA=45°，点E 为棱AB 的中点．求证：平面PCE ⊥平面PCD ；分析：取PC 的中点G ，易证EG//AF ，又易证A F 于是E G ⊥平面PCD,则平面PCE ⊥平面PCD （第2题图）

3、如图所示，在四棱锥P ABCD -中， AB PAD ⊥平面,//AB CD ,PD AD =,E 是PB 的中点，F 是CD 上的点，且 1 2 DF AB = ,PH 为PAD ?中AD 边上的高。（1）证明：PH ABCD ⊥平面；（2）若121PH AD FC ===，，，求三棱锥E BCF -的体积；（3）证明：EF PAB ⊥平面. 分析：要证EF PAB ⊥平面，只要把FE 平移到DG ，也即是取AP 的中点G ，易证EF//GD, 易证D G ⊥平面PAB 4.如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形 ,,2,BA AD CD AD CD AB PA ⊥⊥=⊥底面ABCD , E 为PC 的中点, P A ＝AD 。证明: BE PDC ⊥平面; 分析：取PD 的中点F ，易证AF//BE, 易证A F ⊥平面PDC （2）利用等腰三角形底边上的中线的性质 5、在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=o ，AP BP AB ==， PC AC ⊥．（Ⅰ）求证：PC AB ⊥；（Ⅱ）求二面角B AP C --的大小； A C B P

必修二立体几何常考证明题

必修二立体几何常考证明题一．证明线线平行，线面平行，面面平行 1．利用三角形中位线 2. 利用平行四边形考点1：线面平行的判定（利用三角形中位线）例1：如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E 是1AA 的中点，求证： 1//AC 平面 BDE 。考点2：线面平行的判定（利用平行四边形）例2：已知正方体111 1 ABCD A BC D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；练习： 1、如图，在底面是矩形的四棱锥ABCD P -中，⊥PA 面ABCD ，E 、F 为别为PD 、 AB 的中点，求证：直线AE ∥平面PFC A E D 1 C B 1 D C B A D 1O D B A C 1 B 1 A 1 C

2正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为8，侧棱长为6，D 为AC 中点。（1）求证：直线AB 1∥平面C 1DB ； 3、如图，已知ABCD PA 矩形所在平面，N M 、分别为PC AB 、的中点；（Ⅰ）求证：PAD MN 平面//； 4、如图，在三棱锥D-ABC 中，已知△BCD 是正三角形，AB ⊥平面BCD ，AB=BC=a ，E 为 BC 的中点，F 在棱AC 上，且AF=3FC ．（1）求三棱锥D-ABC 的表面积；（2）求证AC ⊥平面DEF ；（3）若M 为BD 的中点，问AC 上是否存在一点N ，使MN ∥平面DEF ？若存在，说明点N 的位置；若不存在，试说明理由． A 1 C 1 C B A B 1

考点3：面面平行的判定例7：如图，在正方体111 1 ABCD A BC D 中，E 、F 、G 分别是AB 、AD 、1 1 C D 的中点. 求证：平面1D EF ∥平面BDG . 5、棱长为a 的正方体AC 1中，设M 、N 、E 、F 分别为棱A 1B 1、A 1D 1、C 1D 1、B 1C 1的中点．（1）求证：E 、F 、B 、D 四点共面；（2）求证：面AMN ∥面EFBD ．

高中数学立体几何专项练习

立体几何简答题练习 1、正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB,在AE 、BD 上各有一点P 、Q,且AP=DQ 。求证:PQ ∥平面BCE.（用两种方法证明） 2、如图所示,P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点,E 、F 分别在PA 、BD 上,且PE:EA=BF:FD,求证:EF ∥平面PBC. 3、如图，E ，F ，G ，H 分别是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱BC ，CC 1，C 1D 1，AA 1的中点。求证：（1）EG ∥平面BB 1D 1D ；（2）平面BDF ∥平面B 1D 1H ．

4、如图所示，已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别为AB 、PC 的中点，平面PAD ∩平面PBC ＝l. (1)求证：l ∥BC ； (2)MN 与平面PAD 是否平行？试证明你的结论。 5、如图，在四棱锥S-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，SA ⊥底面ABCD ，SA=SB ，点M 是SD 的中点，AN ⊥SC ，且交SC 于点N 。（1）求证：SB ∥平面ACM ；（2）求证：平面SAC ⊥平面AMN ；（3）求二面角D-AC-M 的余弦值。 6、如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是边长为2的正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD,且PA=PD= 2 2 AD,E 、F 分别为PC 、BD 的中点. 求证:(1) 求证:EF ∥平面PAD; (2) 求证:平面PAB ⊥平面PDC; (3) 在线段AB 上是否存在点G,使得二面角C-PD-G 的余弦值为3 1 ?说明理由.

高中立体几何证明方法及例题

1. 空间角与空间距离在高考的立体几何试题中，求角与距离是必考查的问题，其中最主要的是求线线角、线面角、面面角、点到面的距离，求角或距离的步骤是“一作、二证、三算” ，即在添置必要的辅助线或辅助面后，通过推理论证某个角或线段就是所求空间角或空间距离的相关量，最后再计算。 2. 立体几体的探索性问题立体几何的探索性问题在近年高考命题中经常出现，这种题型有利于考查学生归纳、判断等方面的能力，也有利于创新意识的培养。近几年立体几何探索题考查的类型主要有：（ 1）探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么？（2）探索结论，即在给定的条件下命题的结论是什么。对命题条件的探索常采用以下三种方法：（1 ）先观察，尝试给出条件再证明；（2）先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性；（ 3）把几何问题转化为代数问题，探索出命题成立的条件。对命题结论的探索，常从条件出发，再根据所学知识，探索出要求的结论是什么，另外还有探索结论是否存在，常假设结论存在，再寻找与条件相容还是矛盾。（一）平行与垂直关系的论证由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，在应用中：低一级位置关系判定高级位置关系；高一级位置关系推出低一级位置关系，前者是判定定理，后者是性质定理。 1. 线线、线面、面面平行关系的转化：

公理4 (a//b,b// c a I Ic ) 面面平行性质I I a, a II b a ,b 线线//| 疋 a II线面平行判定 ----------------- > 线面// | 疋 / / 线面平行性质 a II a II a II 2.线线、线面、面面垂直关系的转化: 三垂线定理、逆定理 PA , A0为PO 在内射影 a 则a OA a PO a PO a AO 线线丄 a, b a // b a b A a II ,b II // 面面平行判定1 面面平行性质1 I I / / / / O I a, I I 线面垂直判定1 a b 线面丄屯面面垂直判定推论2 l，且二面角I 线面垂直定义面面垂直性质, 成直二面角 3.平行与垂直关系的转化:

立体几何垂直证明(基础)

立体几何垂直的证明类型一：线线垂直证明（共面垂直、异面垂直）（1）共面垂直：掌握几种模型 ①等腰（等边）三角形中的中线 ②菱形（正方形）的对角线互相垂直 ③勾股定理中的三角形 ④ 直角梯形 ⑤利用相似或全等证明直角。【例1】在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为底面ABCD 的中心， E 为1CC 中点,求证： (1) 1A O OE ⊥ (2) 1A O BDE ⊥平面（2）异面垂直（利用线面垂直来证明）【例2】在正四面体ABCD 中，求证：AC BD ⊥ 【变式1】如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，已知 ο60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ．证明：AD PB ⊥；

【变式2】如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将△AED,△DCF分别沿, DE DF折起，使,A C两点重合于'A. 求证:'A D EF ⊥；【变式3】如图，在三棱锥P ABC -中，⊿PAB是等边三角形，∠P AC=∠PBC=90 o。证明：AB⊥PC 类型二：直线与平面垂直证明方法○1利用线面垂直的判断定理【例3】在正方体 1111 ABCD A B C D -中，,求证： 11 AC BDC ⊥平面【变式1】如图：直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC=BC=AA1=2，∠ACB=90?.E为BB1的中点，D点在AB上且DE= 3 . 求证：CD⊥平面A1ABB1； B E ' A D F G

P C B A D E 【变式2】如图，在四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，2, 2.CA CB CD BD AB AD ====== 求证：AO ⊥平面BCD ；【变式3】如图，在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD -中，AD BC ∥，90ABC ∠=°，PA ⊥平面ABCD ．3PA =，2AD =，23AB =6BC = ()1求证：BD ⊥平面PAC ○ 2利用面面垂直的性质定理【例4】在三棱锥P-ABC 中，PA ABC ⊥底面,PAC PBC ⊥面面，BC PAC ⊥求证：面。【变式1】在四棱锥P ABCD -，底面ABCD 是正方形，侧面PAB 是等腰三角形，且 PAB ABCD ⊥面底面,求证：BC PAB ⊥面

高中立体几何证明方法及例题

1. 空间角与空间距离在高考的立体几何试题中，求角与距离是必考查的问题，其中最主要的是求线线角、线面角、面面角、点到面的距离，求角或距离的步骤是“一作、二证、三算”，即在添置必要的辅助线或辅助面后，通过推理论证某个角或线段就是所求空间角或空间距离的相关量，最后再计算。 2. 立体几体的探索性问题立体几何的探索性问题在近年高考命题中经常出现，这种题型有利于考查学生归纳、判断等方面的能力，也有利于创新意识的培养。近几年立体几何探索题考查的类型主要有：（1）探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么？（2）探索结论，即在给定的条件下命题的结论是什么。对命题条件的探索常采用以下三种方法：（1）先观察，尝试给出条件再证明；（2）先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性；（3）把几何问题转化为代数问题，探索出命题成立的条件。对命题结论的探索，常从条件出发，再根据所学知识，探索出要求的结论是什么，另外还有探索结论是否存在，常假设结论存在，再寻找与条件相容还是矛盾。（一）平行与垂直关系的论证由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，在应用中：低一级位置关系判定高一级位置关系；高一级位置关系推出低一级位置关系，前者是判定定理，后者是性质定理。 1. 线线、线面、面面平行关系的转化： ?a c //) αβ αγβγ //,// ==???? a b a b 面面平行性质线面平行性质 a a b a b ////αβαβ?=???? ? ? 面面平行性质1 αβαβ ////a a ??? ? ? 面面平行性质 αγβγαβ //////?? ?? 2. 线线、线面、面面垂直关系的转化：

高中数学立体几何专题证明题训练

A P B C F E D 立体几何专题训练 1．在四棱锥P －ABCD 中，PA ＝PB ．底面ABCD 是菱形，且∠ ABC ＝60°．E 在棱PD 上，满足DE ＝2PE ，M 是AB 的中点．（1）求证：平面PAB ⊥平面PMC ；（2）求证：直线PB ∥平面EMC ． 2．如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各棱长都相等， D 、 E 分别是CC 1和AB 1的中点，点 F 在BC 上且满足BF ∶FC =1∶3. (1)若M 为AB 中点，求证：BB 1∥平面EFM ； (2)求证：EF ⊥BC 。 3.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，,E P 分别是 11,BC A D 的中点，M 、N 分别是1,AE CD 的中点，1,2AD AA a AB a === （1）求证：//MN 面11ADD A （2）求三棱锥P DEN -的体积 4如图1，等腰梯形ABCD 中，AD ∠ο 60⊥⊥⊥ 4a 2a （1）求证：平面PCF ⊥平面PDE ；（2）求四面体PCEF 的体积. 6如图，等腰梯形ABEF 中，//AB EF ，AB =2， 1AD AF ==，AF BF ⊥，O 为AB 的中点，矩形ABCD 所在的平面和平面ABEF 互相垂直. （Ⅰ）求证：AF ⊥平面CBF ；（Ⅱ）设FC 的中点为M ，求证：//OM 平面DAF ；（Ⅲ）求三棱锥C BEF -的体积. 7在直三棱柱111C B A ABC -中，,900=∠ABC E 、F 分别为 11A C 、11B C 的中点,D 为棱1CC 上任一点. （Ⅰ）求证：直线EF ∥平面ABD ；（Ⅱ）求证：平面ABD ⊥平面11BCC B 8已知正六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -的所有棱长均为2，G 为 AF 的中点。（1）求证：1F G ∥平面11BB E E ；（2）求证：平面1F AE ⊥平面11DEE D ； D A B C P E M A B D C E A B C D E P F A B C D E F M O C 1 A B C D E F A 1 B 1

立体几何平行证明题复习过程

立体证明题（2） 1.如图，直二面角D﹣AB﹣E中，四边形ABCD是正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥ 平面ACE．（1）求证：AE⊥平面BCE；（2）求二面角B﹣AC﹣E的余弦值． 2.等腰△ABC中，AC=BC=，AB=2，E、F分别为AC、BC的中点，将△EFC沿EF折起，使得C到P，得到四棱锥P﹣ABFE，且AP=BP=．（1）求证：平面EFP⊥平面ABFE；（2）求二面角B﹣AP﹣E的大小．

3.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且 PA=PD=AD，若E、F分别为PC、BD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）求证：EF⊥平面PDC． 4.如图：正△ABC与Rt△BCD所在平面互相垂直，且∠BCD=90°，∠CBD=30°．（1）求证：AB⊥CD；（2）求二面角D﹣AB﹣C的正切值． 5.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是等边三角形，四边形ABCD 是平行四边形，∠ADC=120°，AB=2AD．（1）求证：平面PAD⊥平面PBD；（2）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．

6.如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ACB=90°，AC=CB=CC 1=2，E 是AB 中点．（Ⅰ）求证：AB 1⊥平面A 1CE ；（Ⅱ）求直线A 1C 1与平面A 1CE 所成角的正弦值． 7.如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，∠DAB 为直角，AB ∥CD ，AD=CD=2AB=2，E ，F 分别为PC ，CD 的中点．（Ⅰ）证明：AB ⊥平面BEF ；（Ⅱ）若PA= ，求二面角E ﹣BD ﹣C ． 8.如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=AD=2，四边形ABCD 满足AB ⊥AD ，BC ∥AD 且BC=4，点M 为PC 中点．（1）求证：DM ⊥平面PBC ；（2）若点E 为BC 边上的动点，且λ=EC BE ，是否存在实数λ，使得二面角P ﹣DE ﹣B 的余弦值为 3 2 ？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由．

重点高中立体几何证明平行的专题

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2

3 F G G A B C D E C A B D E F D E B 1 A 1 C 1C A B F M 立体几何——平行的证明【例1】如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分别为棱AB 、 PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ；分析：取PC 的中点G ，连EG .，FG ，则易证AEGF 是平行四边形【例2】如图，已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝1 ＋3，过A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，G 、F 分别为AD 、CE 的中点，现将△ADE 沿AE 折叠，使得DE ⊥EC 。（Ⅰ）求证：BC ⊥面CDE ；（Ⅱ）求证：FG ∥面BCD ；分析：取DB 的中点H ，连GH,HC 则易证FGHC 是平行四边形【例3】已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点， M 为BE 的中点, AC ⊥BE. 求证：（Ⅰ）C 1D ⊥BC ；（Ⅱ）C 1D ∥平面B 1FM. 分析：连EA ，易证C 1EAD 是平行四边形，于是MF//EA E F B A C D P （第1

4 【例4】如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形, ,,AD CD AD BA ⊥⊥CD=2AB, E 为PC 的中点, 证明: //EB PAD 平面; 分析:：取PD 的中点F ，连EF,AF 则易证ABEF 是平行四边形 (2) 利用三角形中位线的性质【例5】如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证：AM ∥平面EFG 。分析：连MD 交GF 于H ，易证EH 是△AMD 的中位线【例6】如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，E 是PC 的中点。求证： PA ∥平面BDE 【例7】如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， D 为AC 的中点. 求证：AB 1//面BDC 1；分析：连B 1C 交BC 1于点E ，易证ED 是 △B 1AC 的中位线 A B C D E F G M

高中数学-立体几何位置关系-平行与垂直证明方法汇总

高中数学-立体几何位置关系-平行与垂直证明方法汇总（一）立体几何中平行问题证明直线和平面平行的方法有： ①利用定义采用反证法； ②平行判定定理； ③利用面面平行，证线面平行。主要方法是②、③两法在使用判定定理时关键是确定出面内的与面外直线平行的直线. 常用具体方法：中位线和相似例1、P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点. 求证：PC∥面BDQ. 证明：如图，连结AC交BD于点O. ∵ABCD是平行四边形， ∴A O=O C.连结O Q，则O Q在平面BDQ内，且O Q是△APC的中位线， ∴PC∥O Q. ∵PC在平面BDQ外， ∴PC∥平面BDQ. 例2、在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，设M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、C1D1、B1C1的中点.求证： (1)E、F、B、D四点共面；（2）面AMN∥面EFBD.

证明:(1)分别连结B 1D 1、ED 、FB ，如图，则由正方体性质得 B 1D 1∥BD. ∵E 、F 分别是D 1C 1和B 1C 1的中点， ∴EF ∥ 21B 1D 1.∴EF ∥2 1 BD. ∴E 、F 、B 、D 对共面. （2）连结A 1C 1交MN 于P 点，交EF 于点Q ，连结AC 交BD 于点O ，分别连结PA 、Q O . ∵M 、N 为A 1B 1、A 1D 1的中点， ∴MN ∥EF ，EF ?面EFBD. ∴MN ∥面EFBD. ∵PQ ∥A O , ∴四边形PA O Q 为平行四边形. ∴PA ∥O Q. 而O Q ?平面EFBD ， ∴PA ∥面EFBD.且PA ∩MN=P ，PA 、MN ?面AMN ， ∴平面AMN ∥平面EFBD. 例3如图（1），在直角梯形P 1DCB 中，P 1D//BC ，CD ⊥P 1D ，且P 1D=8，BC=4，DC=4 6， A 是P 1D 的中点，沿A B 把平面P 1AB 折起到平面PAB 的位置（如图（2）），使二面角P —CD —B 成45°，设E 、F 分别是线段AB 、PD 的中点. 求证：AF//平面PE C ；证明：如图，设PC 中点为G ，连结FG ，

必修二立体几何证明题

C B A D C 1 A 1 必修二立体几何经典证明试题 1. 如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=1 2AA 1，D 是棱AA 1的中点 (Ｉ)证明：平面BDC 1⊥平面BDC （Ⅱ）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比. 1. 【解析】（Ⅰ）由题设知BC ⊥1CC ,BC ⊥AC ，1CC AC C ?=,∴BC ⊥面11ACC A , 又∵1DC ?面11ACC A ， ∴1DC BC ⊥, 由题设知0 1145A DC ADC ∠=∠=,∴1CDC ∠=090,即1DC DC ⊥, 又∵DC BC C ?=, ∴1DC ⊥面BDC , ∵1DC ?面1BDC ， ∴面BDC ⊥面1BDC ；（Ⅱ）设棱锥1B DACC -的体积为1V ，AC =1，由题意得，1V =1121132 +???=1 2，由三棱柱111ABC A B C -的体积V =1， ∴11():V V V -=1:1， ∴平面1BDC 分此棱柱为两部分体积之比为1:1. 2. 如图5所示，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面PAD ，//AB CD ，PD AD =，E 是PB 的中点，F 是 CD 上的点且1 2 DF AB = ，PH 为△PAD 中AD 边上的高. （1）证明：PH ⊥平面ABCD ；（2）若1PH =，2AD = 1FC =，求三棱锥E BCF -的体积；（3）证明：EF ⊥平面PAB . 【解析】（1）证明：因为AB ⊥平面PAD ，所以PH AB ⊥。因为PH 为△PAD 中AD 边上的高，所以PH AD ⊥。因为AB AD A =I ，所以PH ⊥平面ABCD 。（2）连结BH ，取BH 中点G ，连结EG 。因为E 是PB 的中点，所以//EG PH 。因为PH ⊥平面ABCD 所以EG ⊥平面ABCD 。则1122EG PH = =， 111 332 E BC F BCF V S E G FC AD EG -?=?=????=2。（3）证明：取PA 中点M ，连结MD ，ME 。因为E 是PB 的中点，所以1 // 2ME AB =。因为1 // 2DF AB =，所以//ME DF = ，所以四边形MEDF 是平行四边形，所以//EF MD 。因为PD AD =，所以MD PA ⊥。因为AB ⊥平面PAD ，所以MD AB ⊥。因为PA AB A =I ，所以MD ⊥平面PAB ，所以EF ⊥平面PAB 。 3. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B AC =，D E ，分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F ⊥，为11B C 的中点．

高中立体几何证明方法及例题

由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，在应用中：低一级位置关系判定高一级位置关系；高一级位置关系推出低一级位置关系，前者是判定定理，后者是性质定理。 1. 线线、线面、面面平行关系的转化： αβ αγβγ //,// ==???? a b a b 面面平行性质 ??? ? ? 面面平行性质 αγβγαβ //////?? ?? 2. 线线、线面、面面垂直关系的转化： a a OA a PO a PO a AO ?⊥?⊥⊥?⊥αα 在内射影则面面垂直判定线面垂直定义 l a l a ⊥??⊥? ??α α 面面垂直性质，推论2 αβ αββα⊥=?⊥?⊥??? ? ? b a a b a , αγβγαβ γ⊥⊥=?⊥? ?? ? ? a a 面面垂直定义 αβαβαβ =--?⊥? ?? l l ，且二面角成直二面角

面面∥面面平行判定2 线面垂直性质2a b a b //⊥?⊥??? α α a b a b ⊥ ⊥???? αα// a a ⊥⊥?? ?? αβα β // αβα β//a a ⊥⊥? ?? a 4. 应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。” 5. 唯一性结论： 1. 三类角的定义：（1）异面直线所成的角θ：0°＜θ≤90 ° （2）直线与平面所成的角：0°≤θ≤90° （3）二面角：二面角的平面角θ，0°＜θ≤180° 2. 三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算” 即：（1）找出或作出有关的角；（2）证明其符合定义；（3）指出所求作的角；（4）计算大小。

高中立体几何证明线垂直的方法(学生).doc

高中立体几何证明线线垂直方法（ 1）通过“平移” , 根据若a // b,且b 平面 , 则 a 平面 1．在四棱锥 P-ABCD中，△ PBC为正三角形， AB⊥平面 PBC， AB∥ CD， AB=1 DC，E为PD中点 . 求证： AE 2 ⊥平面 PDC. D A E B C P 2．如图，四棱锥 P－ ABCD的底面是正方形， PA⊥底面 ABCD，∠ PDA=45°，点 E 为棱 AB 的中点．求证：平面 PCE⊥平面 PCD； P F E A D B C （第 2 题图） 3. 如图所示，在四棱锥P ABCD 中，AB 平面PAD ,AB//CD,PD AD , E是 PB的中点， F 是 CD 上的点，且DF 1 AB,PH为PAD 中 AD 边上的高。2 （ 1）证明：PH 平面 ABCD ；（ 2）若PH 1，AD 2， FC 1，求三棱锥 E BCF 的体积；（ 3）证明：EF 平面 PAB .

4.如图所示 , 四棱锥P ABCD底面是直角梯形BA AD , CD AD , CD 2AB, PA底面ABCD, E为 PC的中点, PA＝ AD。证明:BE平面PDC; 5. 在三棱锥P ABC 中， AC BC 2，ACB 90o，AP BP AB， PC AC ． P （Ⅰ）求证：PC AB ；（Ⅱ）求二面角 B AP C 的大小； A B C 6. 如图，在三棱锥P ABC 中，⊿ PAB是等边三角形，∠PAC=∠ PBC=90 o 证明： AB⊥ PC （ 3）利用勾股定理 7. 如图，四棱锥P ABCD 的底面是边长为 1 的正方形，PA CD , PA 1,PD 2. 求证 : PA平面ABCD； P D A B C

完整word版,高中立体几何证明平行的专题

1 D B A 1 A F 立体几何——平行的证明【例1】如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分别为棱AB 、 PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ；分析：取PC 的中点G ，连EG .，FG ，则易证AEGF 是平行四边形【例2】如图，已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝1＋3，过A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，G 、F 分别为AD 、CE 的中点，现将△ADE 沿AE 折叠，使得DE ⊥EC 。（Ⅰ）求证：BC ⊥面CDE ；（Ⅱ）求证：FG ∥面BCD ；分析：取DB 的中点H ，连GH,HC 则易证FGHC 是平行四边形【例3】已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点， M 为BE 的中点, AC ⊥BE. 求证：（Ⅰ）C 1D ⊥BC ；（Ⅱ）C 1D ∥平面B 1FM. 分析：连EA ，易证C 1EAD 是平行四边形，于是MF//EA （第1题图）

2 【例4】如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形, ,,AD CD AD BA ⊥⊥CD=2AB, E 为PC 的中点, 证明: //EB PAD 平面; 分析:：取PD 的中点F ，连EF,AF 则易证ABEF 是平行四边形 (2) 利用三角形中位线的性质【例5】如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证：AM ∥平面EFG 。分析：连MD 交GF 于H ，易证EH 是△AMD 的中位线【例6】如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，E 是PC 的中点。求证： PA ∥平面BDE 【例7】如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， D 为AC 的中点. 求证：AB 1//面BDC 1；分析：连B 1C 交BC 1于点E ，易证ED 是 △B 1AC 的中位线 A B C D E F G M

高中空间几何所有证明题图形汇总

空间几何证明 1、如图，在正方体1111ABCD A BC D -中， E 是1AA 的中点，求证： 1//AC 平面 BDE 。 2、已知ABC ?中90ACB ∠=,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：AD ⊥面SBC ． 3、已知正方体1111ABCD A BC D -， O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)1AC ⊥面11AB D ． A E D 1 C B 1 D C B A S D C B A D 1O D B A C 1 B 1 A 1 C

N M P C B A 4、正方体''''ABCD A B C D -中，求证：（1）''AC B D DB ⊥平面；（2）''BD ACB ⊥平面. 5、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中．(1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ； (2)若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD ． 6、如图P 是ABC ?所在平面外一点，,PA PB CB =⊥平面PAB ，M 是PC 的中点，N 是AB 上的点， 3AN NB = （1）求证：MN AB ⊥；（2）当90APB ∠=，24AB BC ==时，求MN 的长。 A 1

7、如图，在正方体1111ABCD A BC D -中， E 、 F 、 G 分别是AB 、AD 、11C D 的中点. 求证：平面1D EF ∥平面BDG . 8、如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E 是1AA 的中点. （1）求证：1//AC 平面 BDE ；（2）求证：平面1A AC ⊥平面BDE . 9、已知ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，4PA AD ==，E 为BC 的中点．（1）求证：DE ⊥平面PAE ；（2）求直线DP 与平面PAE 所成的角．

高中数学立体几何经典常考题型

高中数学立体几何经典常考题型题型一:空间点、线、面的位置关系及空间角的计算空间点、线、面的位置关系通常考查平行、垂直关系的证明，一般出现在解答题的第(1)问，解答题的第(2)问常考查求空间角，求空间角一般都可以建立空间直角坐标系，用空间向量的坐标运算求解. 【例1】如图，在△ABC 中，∠ABC ＝ π4 ，O 为AB 边上一点，且3OB ＝3OC ＝2AB ，已知PO ⊥平面ABC ，2DA ＝2AO ＝PO ，且DA ∥PO. (1)求证：平面PBD ⊥平面COD ； (2)求直线PD 与平面BDC 所成角的正弦值. (1)证明 ∵OB ＝OC ，又∵∠ABC ＝π 4， ∴∠OCB ＝π4，∴∠BOC ＝π 2. ∴CO ⊥AB. 又PO ⊥平面ABC ， OC ?平面ABC ，∴PO ⊥OC. 又∵PO ，AB ?平面PAB ，PO ∩AB ＝O ， ∴CO ⊥平面PAB ，即CO ⊥平面PDB. 又CO ?平面COD ， ∴平面PDB ⊥平面COD. (2)解以OC ，OB ，OP 所在射线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 设OA ＝1，则PO ＝OB ＝OC ＝2，DA ＝1. 则C(2，0，0)，B(0，2，0)，P(0，0，2)，D(0，－1，1)， ∴PD →＝(0，－1，－1)，BC →＝(2，－2，0)，BD →＝(0，－3，1).

设平面BDC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， ∴?????n ·BC →＝0，n · BD →＝0，∴???2x －2y ＝0，－3y ＋z ＝0，令y ＝1，则x ＝1，z ＝3，∴n ＝(1，1，3). 设PD 与平面BDC 所成的角为θ，则sin θ＝????? ? ??PD →·n |PD →||n | ＝??????1×0＋1×（－1）＋3×（－1）02＋（－1）2＋（－1）2×12＋12＋32＝222 11. 即直线PD 与平面BDC 所成角的正弦值为22211. 【类题通法】利用向量求空间角的步骤第一步：建立空间直角坐标系. 第二步：确定点的坐标. 第三步：求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标. 第四步：计算向量的夹角(或函数值). 第五步：将向量夹角转化为所求的空间角. 第六步：反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范. 【变式训练】如图所示，在多面体A 1B 1D 1-DCBA 中，四边形AA 1B 1B ，ADD 1A 1，ABCD 均为正方形，E 为B 1D 1的中点，过A 1，D ，E 的平面交CD 1于F . (1)证明：EF ∥B 1C . (2)求二面角E -A 1D -B 1的余弦值. (1)证明由正方形的性质可知A 1B 1∥AB ∥DC ，且A 1B 1＝AB ＝DC ，所以四边形A 1B 1CD 为平行四边形，从而B 1C ∥A 1D ，又A 1D ?面A 1DE ，B 1C ?面A 1DE ，于是B 1C ∥面A 1DE.又B 1C ?面B 1CD 1，面A 1DE ∩面B 1CD 1＝EF ，所以EF ∥B 1C.

高中立体几何证明线垂直的方法(学生)

高中立体几何证明线线垂直方法（1）通过“平移”,根据若αα平面则平面且⊥⊥a b b a ,,// 1．在四棱锥P-ABCD 中，△PBC 为正三角形，AB ⊥平面PBC ，AB ∥CD ，AB= 2 1 DC ，中点为PD E .求证：AE ⊥平面PDC. 2．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，∠PDA=45°，点E 为棱AB 的中点．求证：平面PCE ⊥平面PCD ； 3.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，AB PAD ⊥平面,//AB CD ,PD AD =,E 是PB 的中点，F 是 CD 上的点，且1 2 DF AB = ,PH 为PAD ?中AD 边上的高。（1）证明：PH ABCD ⊥平面；（2）若11PH AD FC == =，，求三棱锥E BCF -的体积；（3）证明：EF PAB ⊥平面. （第2题图）

4.如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形,,2,BA AD CD AD CD AB PA ⊥⊥=⊥底面ABCD , E 为 PC 的中点, PA ＝AD 。证明: BE PDC ⊥平面; 5.在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠= ，AP BP AB ==，PC AC ⊥．（Ⅰ）求证：PC AB ⊥；（Ⅱ）求二面角B AP C --的大小； 6.如图，在三棱锥P ABC -中，⊿PAB 是等边三角形，∠PAC =∠PBC =90 o 证明：AB ⊥PC （3）利用勾股定理 7.如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为1 的正方形，,1,PA CD PA PD ⊥== 求证:PA ⊥平面ABCD ； _ D _ C _ B _ A _ P A C B P

立体几何证明简单例题

考点：线面垂直，面面垂直的判定 2、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。求证：（1）⊥AB 平面CDE; （2）平面CDE ⊥平面ABC 。考点：线面平行的判定 3、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点，求证： 1//AC 平面 BDE 。考点：线面垂直的判定 4、已知ABC ?中90ACB ∠=,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：AD ⊥面SBC ．考点：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定 5、已知正方体1111ABCD A BC D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)1AC ⊥面11AB D ． A E D 1 C B 1 D C B A S D C B A D 1O D C 1 B 1 A 1 C

N M P C B A 考点：线面垂直的判定 6、正方体''''ABCD A B C D -中，求证：（1）''AC B D DB ⊥平面；（2）''BD ACB ⊥平面. 考点：线面平行的判定（利用平行四边形） 7、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中．(1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ； (2)若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD ．考点：线面垂直的判定,三角形中位线，构造直角三角形 8、四面体ABCD 中，,,AC BD E F =分别为,AD BC 的中点，且2 2 EF AC = ， 90BDC ∠=，求证：BD ⊥平面ACD 考点：三垂线定理 9、如图P 是ABC ?所在平面外一点，,PA PB CB =⊥平面PAB ，M 是PC 的中点，N 是AB 上的点， 3AN NB = 求证：MN AB ⊥；（2）当90APB ∠=，24AB BC ==时，求MN 的长。 A 1 A B 1 B C 1 C D 1 D G E F

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