数学和物理学同时证明一个自然极限问题

从数学和物理学同时证明大自然一个极限问题希望看到此文的您，请您把这个重大物理理论问题结论提示给当今全世界顶级的理论科学大家们，这是制止带有本质性错误的物理学理论继续影响人类的有效手段。要像伽利略一样敢向带有势力的具有本质性错误的理论宣战。这是在为人类后人做无法计量的大好事。

提要：大自然这个极限问题的结论是一些早期理论科学巨人冥视中的必然的必定，但，时至今日，也没有一个具有说服力的理论给予明确定论。因此，物理学人为诠释这个自然极限问题产生了一些不尽天意的理论概念意识，导致大自然一些极限物质机能的应用遭到致命的阻碍。这不是在危言耸听，这里将用一个符合数学计算形式的新的无法被否定的理论逻辑表述形式结论，从数学和物理学两个不同学科的理论角度同时证明：大自然大宇宙存在原本不变的极限界点，并阐明这个原本不变的自然极限界点的自然体现形式。当从数学和物理学两个科学理论角度对大自然大宇宙这个原本不变的极限界点同时给予明确理论定论时，希望当今的科学理论大家重视此证明结论。

关键词：大自然大宇宙整体，大自然大宇宙原本性态，大自然大宇宙理论极限界点，物质体惯性定律，光，圆，速度，自然数，π。

大自然这个极限问题关系到大自然大宇宙极限界点的物质机能是否会得到知其所以然的有效应用。同时也关系到科学理论逻辑严密性是否能时时刻刻处处存在和数学极限理论为什么会达到像数学家所说的那样：?‘最终比’、‘最终比是等量比’、‘最终也变为相等’、‘永远不会超过它’?[1]等等理论逻辑概念意识效果，数学真的是脱离自然而独树一帜的独善其身的理论科学吗？如：‘最终比’、‘最终也变为相等’、‘最终比是等量比’的‘最终’用什么标准衡量？为什么‘最终比’是‘等量比’？如果，数学家不给予诠释这些极限理论概念为什么会是这样准确无误得心应手见效，就会产生像一些数学家那样，把‘π’的无理数值无穷计算下去的理论计算现象，就会致使一些理论大家产生许多无止境的幻觉猜想理论计算

．．概念和臆想理论

计算

．．概念，造成许多不尽天意的理论计算意识，而且这些理论计算意识正在无情的影响着科学理论正确发展方向，这不是在危言耸听，如：物理一些理论计算产生‘无穷大’[2]都判断不出理论错在何处，无穷

大‘是以一种武断的方式略去的’[3]，因此，不得不产生物理的‘强力’概念体系；又如：凸显大自然大宇宙整体一致极限行为机制的微观物理的‘量子场’行为规律都讲不出所以然来；再如：绝对极小‘物粒’之间最基本的最简单的惯性行为过程：‘即吸引又排斥’也讲不出原尾，甚至产生神说：距离大于多少就产生吸力，距离小于多少就产生斥力等等怕产生无穷大的带有距离悬念的猜想理论概念；还有甚者，一些宇宙物理学人用带有非常局限性的人类宏观事物概念意识和计算度量基准，恒对大自然大宇宙整体存在说‘起源’、讲‘诞生’，而不是命题追究研判大自然大宇宙原本性态是什么样的。从这些理论行为现状和理论说道可想而知，诠释证明大自然大宇宙这个理论极限界点问题有多么的重要了。

大自然大宇宙是否存在理论极限界点和如何进行确定，是首先要分析思考的问题。根据大自然大宇宙一切事实存在都具有因果律这一自然‘长河’法则说，只要大自然大宇宙整体有极限界点存在，大自然大宇宙一定就会有行为形式体现。只要分析方法思路对头，一定就会从理论上给予严密证明。

针对大自然大宇宙整体是否存在理论极限界点这个理论问题，理论物理学大家们不妨可以自问思考一下：纯天然的‘光’，为什么传播速度是有自然极值存在？其成型的自然机制是什么？为什么‘光速’没有加速和减速过程？即：‘光速’不变速天性说明了大自然大宇宙整体有什么样的共同的不变速的行为机制存在？数学大家不妨可以自问思考回顾一下：‘数’来自何处？图形简单、形式逻辑对比单一的π为什么会身兼两种(常数、无理数)好似相悖的数性？数学的‘圆’与‘光’所做的‘圆’(如日晕、彩虹、牛顿环[4])有何区别吗？这些习以为常、自始至终不变的自然现象和图形及π身兼两种(常数、无理数)数性的理论现象，应该引起理论大物理学家和大数学家们的重视。数学‘圆’的性质与‘光’能做‘圆’的天性不是巧合，而是‘人’与‘天’瞳景的统一，是天性在人间的显像和提示。我在一本书中看到有人说：?不知要过多少年，人类才会知道当年神秘的π，原来是这个样子！?[5]，她是赋有天命的天使！她将告知我们，数学为什么会具有这么好的普适性和严密性，为什么数学极限理论可以

说：?‘最终比是等量比’、‘最终也变为相等’、‘永远不会超过它’?等等理论概念意识；她将佐证：微观物理为什么是‘量子场’行为规律的，为什么说：大自然大宇宙整体不存在‘起源’和‘诞生’概念，只存在‘原本性态’概念。

下面就以人和天瞳景一致的‘圆’进行分析，将会看到‘光’与‘π’如同孪生一样的天丽性质如何把大自然大宇宙的这个极限界点确定给我们人类，大自然大宇宙的这个极限界点的行为形式体现又是什么样的。为了在理论推理中准确无误，必须首先要建立一个新的理论立足点，在这个新的理论立足点上进行理论逻辑分析，就可有效防止：不易察觉的本末倒置式的理论定论错误产生，又可简化理论逻辑分析过程，理论逻辑概念即清晰又明确，结论对错界线即分明又易判。

要诠释大自然大宇宙的这个极限界点的理论行为形式体现，必须首先要认识到：‘光’是唯一贯穿大自然大宇宙凸显大自然大宇宙整体一致的极限行为机制的物理自然现象，因此，把现有的对‘光’的各种物理实验结论作为分析此问题的已知条件，并作为理论分析过程中的理论界桩，这些理论界桩能确保理论逻辑结论不出自然之轨。当然，分析此问题必须还要具备‘三个要素’：物(实体)、力(关系)、行为形式(实体行为变化)。这三个要素之间的关系，经典力学已有了非常明确的定理、定律和计算公式。尤其是牛顿三大定律对这‘三个要素’更有明确的定义。现已知三个要素中的两个，行为形式要素：‘光’的各种天性行为形式体现和力的要素：‘光’的‘量子’力型，另一个要素(物)由下确定：根据人类对宏观物质体的单元性、可分切性理论意识和物质不灭公理及‘数’的出生史，我们按‘日取其半[6]’分切意识去均匀切分一个物体D，如数学‘穷竭法’之理论意识，对于大自然大宇宙整体物质体D客观事实存在来说，最科学、最简洁、最直接、最一丝不苟又不忽略一点点客观事实存在又不易产生误解又符合数学计算标识的表述应该为：

{ D/(2n) } = {δi〔i=1、2、3...(2n)〕} (1)

式(1)等号(=)左侧意味着人类远近宇观宏观物质体可变化的形式表述；等号(=)右侧是物质体D无论怎样进行切分(或分解)变化，最终物质单元实体总体必须存在的形式表述。

{δi〔i=1、2、3…(2n)〕}表示在自然极致行为下的微观物质单元实体必须存在的形式表述。数学理论逻辑严密性的实质也是基于于此，π身兼两种(常数、无理数)数性这种好似有悖数学严密性的理论现象将给予严密证明。

式(1)的这种表述可以直接把‘人类远近宇观宏观物质体各种对比计量标识表述’统一到‘大自然最终必须存在标识表述’，一个新的理论立足点产生。

‘δ’表示宇观宏观物质体D被切分后必须存在的物质单元体的标识，可称：物粒或实体粒子，属于宏观‘物’的概念禀性，‘i’表示物体D被切分成各个单元客体的‘脚标’，即：‘记号’。这种用‘自然数’做标记的表述好处有：‘自然数’即显示出{δi}各个单元客体的‘顺序位置’关联，又显示出{δi}各个单元客体的‘集合’部位状态和数量，‘自然数’也有了自然主体支撑(掌管)了门面，‘数’来自自然，从这里又将有效的回归自然。从这里，也将明确阐明：π为什么要(能)身兼两种数性，数学的极限理论为什么可以说?‘最终比是等量比’、‘最终也变为相等’、‘永远不会超过它’?等等理论概念意识。从这里，也将明确阐明：微观物理为什么是‘量子场’行为规律的，为什么大物理学家爱因斯坦、.P.A.M狄拉克他们对物理一些理论产生质疑还束手无策。从这里，不易觉察的本末倒置式的理论定论错误将得到有效彻底根治。

下面站在这个新的理论立足点上，先概括分析一下：在这个小小点(δ)上，我们能看到什么？能感受到什么？首先，我们只能从理论逻辑意识上感受到物质单元实体永久存在性、极小单元实体的独立性和绝对极好的随机性能。其他，我们只能先变小，变小到同δ一样大小，这是有效防止人类宏观事物知识认知思维惯性力产生不良影响时的最佳行为做法，这样，我们就能从无法否定的理论事实角度直接站到纯真的、实打实的粒子世界。当我们变的同δ一样大小，才能感受到δ的单元性的存在，感受到周围{δi}各个单元客体的存在和与它们之间的关系点

．．．也可称分界界点

．．．．(线．)的存在，这个关系点的性质也只能想象到牛顿三大定律，尤其是牛顿第一定律（物质体的惯性定律）和牛顿第三定律(物质体间的关系极限界点定律)：作用与反作用力大

小相等，效应方向相反定律，跟着就是实打实的弹性碰撞理论。其他还能感受到什么？真的不可想象了，也只能对{δi}个数有多少进行数数了。这里，千万不要怕别人说我们像井底之蛙不知天大，只会数数。

只有这样，会数数了，当今的理论科学人才知道‘数’体现了大自然大宇宙什么，忽略‘数’的出生史产生的不良的理论后果有多么的严重，才知道当今的‘数学’意味着什么；为什么数学的数字‘1’无论进行多少次平方或开方，始终不变；才知道数字‘1’最终代表了自然界什么，才知道物质的单元性不是‘大爆炸诞(产)生的’，是原本就存在的。这些，‘光’的各种天性性质会给出最严密的理论证实，尤其是‘光速’的不变速天丽性质即：没有加速和减速过程会给出自然实质性的严密证实和诠释。π身兼两种数性的理论现象也将给出最严密的证明和诠释。

只有这样，才能在无视觉感的纯真粒子世界和遥远的太空中，分清楚这两个具有自然极限界点性质特点区别的理论极限概念，即：δ本身概念点的惯性形式体现和{δi}各个单元客体之间的关系

．．界．点．也

可称分界

．．界．点．处的概念性质特点体现，这样，就不会在对物理一些重大实验显像分析中，无意识的混淆这两个具有鲜明性质特点区别的理论概念点的形式体现，犯：无公理约束、先入为主、指鹿为马、本末倒置式的理论定论错误。

下面先从物理学理论角度：分析{δi}各个单元客体应该具有什

么样的性质和行为能力才能促成‘光’的各种天丽性质成型，才能达

到像一些理论所希望的那样‘最终比是等量比’、‘永远不会超过它’

和一些实验所显像的那样‘光速与光源运动无关’、‘光速有自然极值

存在’。

可以想象的到，人类很难！很难！再对某一个δ施加影响，施加

影响也是对{δi}的局部粒子群体而言，只有{δi}各个单元客体之间

才能达到对单个δ的影响目的。根据牛顿第一定律（物质体的惯性定

律）和牛顿第三定律(物质体间的关系极限界点定律)：作用与反作用

力大小相等效应方向相反定律，可判定{δi}各个单元客体之间都在

相互惯性运动接触碰撞影响着，其最基本的相互惯性运动接触碰撞影响形式是‘折线’惯性运动接触碰撞影响形式，放大宏观的说：如同‘布朗运动’。

下面从‘布朗运动’分析‘布朗颗粒D’趋于绝对极小的情况下{lim (min）D →＝δ}，相当于用式(1)等号(=)右侧{δi}表示‘布朗运动’所处的环境所有物粒，{δi}各个单元客体所能体现出的运动形式和状态就很容易想象和显而易见了，并与宏观事物因素条件也可建立直视直接因果关系链。

‘布朗运动’是人们早已知晓的微小物质颗粒所做的永不停止的无规则运动，前人对此，做了非常充分详细的理论研究，给出了许多非常重要宝贵的理论逻辑定论：?微粒越细小运动得越快，温度越高运动越剧烈，这是由于液体或气体分子同一时刻在各个方向对微粒的碰撞不平衡所引起的?，?布朗运动并不限于悬浮在液体或气体中的布朗微粒，一切很小的物体都会发生类似的现象?，?实际上，如果每隔一秒钟就记一次微粒的位置，那么所有的每一条直线段将是有30个折线的形状?，就像下面‘图一’所示一样。

图一布朗运动环境中基本因素关系简图

图中：‘D’代表‘布朗微粒’形体尺度大小，其中还包含质量ｍ概念，由于D大小尺度不同，内部分子原子数量不同，ｍ大小体现也不同；‘L’为布朗运动两个折转点间距离，即体现D瞬间运动限度（局限性、极限性）又体现出运动轨迹及长度，细分有〈L-D＝ΔL〉，‘L’、‘ΔL’是微观物理非常非常重要

．．．．．．的理论逻辑概念意识；‘ｎ’为公理

标准单位时间间隔内产生折转点

．．．的数量，‘ｎ’显示出环境各种因素

都对其数值有直接影响，如，温度T越高运动越剧烈，折转点数量越多，‘ｎ’数目越大，微粒D越细小运动得越快，折转点数量也会越多，‘ｎ’数目也会越大，相应L就会越短越多，ΔL随之也会更小、个数更多。‘ｎ’与宏观各种环境条件因素影响暂时用数学函数式表

达有：{ｎ＝?（D.ｍ.T. P.ρ）}，‘ｎ’在诠释微观物理为什么是‘量

子场’行为规律中，是最最为重要一环

．．．．．．．．．的理

．．．．．．．，是绝对不可有一点懈怠

论逻辑概念意识(量子数)。如，‘ｎ’即显示了宏观环境各种因素对

其数值的直接影响力度，又显示了产生数量时的依次连续性

．．．、

．．．．．、间隔性

位置性

．．．和极快速性。在进入与考量大自然大宇宙这个极限问题中，即

‘光’的极限行为机制中和在进入与考量微观物理‘量子’行为规律中，‘布朗运动’奉献给人类的这四大性必须要给予特级、极、急、

高重视。当我们从宏观物理其他理论角度向粒子(δ)的极小极限逼近中，要是分析方法不当，是无法读出‘布朗运动’奉献给人类的这四

大性，就不可能知道‘δ’的极小极限如何进行确定，极小极限体现

形式又是什么样的。

当把‘布朗微粒D’趋于绝对极小{ lim（min）D→＝δ}，与布

朗运动中的环境微粒趋于等同，分析判定：这时，L变为绝对极小，

根据(1)式，无论L有多么微小，一定存在，因为δ有绝对空间尺度

存在，根据对布朗运动追溯，可以非常明确而肯定的说：{δi}各个单

元客体之间都在高速地相互惯性运动碰撞影响着

．．．．．．．．．．．．．．．．，因此必有

〔L＝δ＋ΔL〕存在，为了区分‘L’位置和产生时的依次连续性

．．．．．及

是与{δi}的哪个客体产生的碰撞，我们把‘L’加上两个脚标{ L ij} (i＝1、2、3、…；j＝0、1、2、…n；)表示，以防在那反应速度绝对极

快又无视觉感的‘粒子’世界里，分不出‘L’产生时先后次序及连

续性，因此有：

{L ij}＝{δi}＋{ΔL ij}

〔i＝1、2、3、…；j＝0、1、2、…n；ｎ＝?（ｍ.T. P.ρ.…）〕……（2），因δ最终只能体现出物粒的实体性和实体尺度空间绝对占有性，已显

示不出实体内部结构性和实体变化性，这一点，‘光速’没有加速和

减速过程的天性会给出最严密的证实，至此，‘布朗微粒’形体变化

因素D移出‘ｎ’的函数领域，质量ｍ概念已脱离δ个体原本要素，

自动变为局部{δi}群体关系要素被保留在‘ｎ’的函数范围内。

上面已提到，对单个δ施加影响，只有{δi}各个单元客体之间才能达到。根据牛顿第三定律：物体(D)间作用与反作用力(F)大小相等效应方向相反定律和动量公式〈P(F)＝m·V〉，两个δ之间的关系

点即：力(F)的存在点可以表述为：

〔(+1)·δ1·V1（a1）＝ F(力)＝ (-1)·δ2·V2（a2）〕……(3)，再根据牛顿第二定律〔F＝m(δ)·a(ΔL）〕和球碰撞理论，我们又可以非常肯定的说：局部{L ij}各个线段之间的区别就会更加微小，有等同现象

．．．．出现：

{δi}～δ； {L ij}～L；{△L ij}～△L；

{L ij}＝{δi}＋{△L ij} ～〈L＝δ＋△L〉 (4)

{△F ij}＝{δi}.{△L ij} ～〈△F＝δ.△L〉 (5)

这时，L，ΔF，δ，ΔL都可作为绝对公理标准基本常数常量存在，

常数常量的‘量纲’要根据大多数人的理论逻辑约定

．．进行标识，‘量纲’已不是分析这里问题时的主要因素，正如，P.A.M狄拉克先生所说：“自然界向我们提供了各种各样的常数：光的速度、电子电荷、电子质量以及和这些相类似的量。这些自然常数大多数是有量纲的，也就是说，其数值取决于你所采用的单位。我们用公制单位得到的常数值和用英制单位时得到的值不一样，所以这样的常数值没有任何普遍的意义?[7]。虽然L，ΔF，δ，ΔL都可作为绝对公理标准基本常数常量存在，但在理论中是具有本质性区别的，在精细理论计算分析中绝对不能混为一谈，否则，理论将丧失理论的科学性和目的性。

根据：L，ΔF，δ，ΔL都可作为绝对公理标准基本常数常量存在、牛顿三大定律、‘三个要素’之间的关联和对{δi}各个单元客体的惯性被确定为是惯性碰撞接触影响效应运动形式，可有一个最基本的理论公式形成：

{ΔF ij} =｛（-1）i+1｝·｛（-1）j+1｝·{δi}·｛ΔL(a) ij｝

〔i=1.2.3......；j=0.1.2.......n；ｎ=?（T.P.ρ.ｍ...）〕 (6)

式中：｛（-1）i+1｝表明{δi}各个单元客体之间的效应存在都具有相对性，作用与反作用力．大小相等效应方向相反，只要有单元体概念存在，这种关系一定存在；｛（-1）j+1｝表明作力．{ΔF ij}的效应(ΔL ij)的方向

和位置在快速变化着，并具有同时性和相对性；这两个因子主要是提

醒有关理论家注意：从宏观向微观粒子世界理论逼近中，根据(6)式，正负符号(+、-、±)同时出现是代表{ΔF ij}的效应方向（双重双向性）在快速变化着，不是代表物粒δ有正反物质概念存在，也不能把求局部{ΔF ij}和差值瞬间大小变化说成是δ的形体尺度变化。{ΔL ij}可看成是δ的行为体现，如，可看成是δ的瞬时运动变动量a，也可看成是δ的一次?正碰?受力运动速度V，也可看成是δ的受力点、分界界点、连接点，这就看用什么基准（T.P.ρ.ｍ…）去度量{ΔL ij}，相应地{ΔF ij}可看成是能量子或力子（量力子）或力(F)的存在点，宏观一切‘力型

．．’都基于此力．即{ΔF ij}的存在形式，如(6)式所示。

{ΔF ij}的存在形式就是美国物理学评述委员会在20世纪90年代物理学《提要》中提到的那个基本力：?基本力之间的数学上的相似

性提示着存在一种更基本的统一的可能性：可能所有的

．．．．．

．．．．．力．是同一种基

本力的不同表现形式

．．．．．．．．．；或许整个自然可归结某种深刻的对称性。我们能找到这个基本力吗？我们能找到这一深刻的对称性吗？[8]?，这里可以肯定的说：{△F ij}就是这个基本力的体现形式。

下面将证明‘δ’的极小程度是有自然极限行为限制的，这里先取经过物理实验所证实的‘光’的不变速天性即：没有加速和减速过程作为是已知条件，即：〈速度V=C(光速)=不变速〉。

根据物理学动量公式〈P(F)＝m.V〉和牛顿第二定律〈F＝m.a〉，δ应该在此公式m位置,速度V用‘光’的不变速天性替代，有： P(F)＝δ.V （V=光速C=不变速） (7)

F＝δ.a （没有加速和减速过程） (8)

在这个不变速天性性质条件下，根据(7)式，可以有效确定要素‘力’〈P(F)〉也是不能变的，可视为〈P(F)＝1＝δ·V (V=C=不变速)〉，因此又有：要达到〈V=C=不变速〉，{δi}各个单元客体必须是绝对最小，而且型体也不能变。仅从‘光’的这个‘不变速天性性质’还不能使人十分确信这个结论是无疑的，这个结论必须要符合已知‘光’的各种天性行为要求，才能确信结论是无疑的是对的。

现在把(6)式(i=1.2.3……；j＝1)代入(3)式，有下列情况发生：δ1·△L(a)11＝△F(t=1) ＝ -δ2·△L(a) 21＝△F(t=2) ＝δ3·△L(a) 31＝

△F(t=3)＝-δ4·△L(a) 41＝……

△F(t=i) ＝ {(-1)i+1}.{δi}.{△L(a)i1} (9)

根据(7)式和弹性碰撞理论，(9)式又可表述为：

△F(t=i) ＝ {(-1)i+1}.{δi}.{V i1}（V=光速C=不变速） (10)

从(9)式(10)式可以分析到，这是一个理想条件下的一个量力子〈△F〉行进（传播、传输）过程。〈△F〉这一行进过程如同接力赛跑，速度V既可保持最快，又可跑的最远。根据弹性碰撞理论[9]：两小球碰撞后相互分离的相对速度(分离速度)等于碰撞前相互接近的相对速度(接近速度)，要速度V保持不变，{δi}各个单元客体必须要绝对刚性，才能在碰撞接触过程中完全彻底交换速度V，速度V才能被标为〈{V i1}(V=光速C=不变速）〉，〈△F〉才能以绝对最快速度{V i1}又不损耗能量(不变速)行进（进行传播）。‘光量子’应该属〈△F〉概念范畴。这是绝对保真保速过程，只有这样，‘光’即‘光量子’〈△F〉才能交叉通过，才能贯穿大宇宙，才能从粒子世界到宇宙星空形成贯穿，把大自然大宇宙串联成为一个整体，‘光速C即〈△F〉传播过程’才能彰显时时刻刻处处相等：〔{ V i1}i=1.2.3……〕不变速天性，只有这样，才能确保无论啥波色的‘光’是同一个自然极限值。至此，根据‘光’的各种天性行为性质我们可以非常肯定的说：式(1)等号(=)右侧{δi〔i=1、2、3…(2n)〕}是大自然大宇宙绝对极小极限的物质单元客体事实存在的形式表述，是绝对极小极限的物质单元客体原本就存在(不是产生于‘宇宙大爆炸’)的表述，是各种天性极致行为机制必备要素的表述，是大自然大宇宙理论极限界点的表述。

数学的极限理论所说的?‘最终比是等量比’、‘最终也变为相等’、‘永远不会超过它’?等等理论意识的实效性，都是基于{δi}各个单元客体原本不变性的存在和L、ΔF、δ、ΔL在理论上的等同性的存在，如(3)式(9)式(10)式所示。微观物理的‘量子场’行为规律也是基于等同性的存在，这一点，我有专门推述《论微观物理为什么是‘量子’规律的》。下面对π身兼两种(常数、无理数)数性的理论现象进行分析，也将证明L、ΔF、δ、ΔL在大自然大宇宙中存在等同性。

下面从数学理论角度进行分析：根据‘光’在大自然中自行做圆

的天性行为和上述一些结论，对π身兼两种(常数、无理数)数性的理论现象进行分析：

凸显数学技巧的π身兼两种(常数、无理数)数性的理论证明，聪明的数学前人都已作出，但，π为什么能(要)身兼两种数性还没有给出合理的诠释，通过下面的分析将看到π的这种好似有悖数学常理(严密性)的理论现象要引导数学家注意什么，又将证明什么。

我们都知道，π是代表了圆周长与直径最为简单的比率关系与比值，理论定义定论有：圆无论大与小，π是一个样，但，π又是无理数性质的，直线在圆内通过圆心点(0位置点)360度处处相等和不变。从这个理论定义定论延伸又有：π是极大和极小结合体的体现，大自然极大和极小结合体的体现是天与星的成像。从这一点说，π体现了天使风范，体现了大自然有一个不变样的性质存在。

我们从最简单的圆的图形可分析到：圆是不分首尾线形成，线里线外界限明，圆内直径（直线）是有限，圆外直线（直径）是无限，如图二所示，无限有限在点（圆与直线交汇点）分，点内是有限，点外是无限，这是不争和毫无质疑的理论逻辑结论事实，但，当圆缩小

图二

到绝对极小成为一个小点．时，点．内是有限，点．内的有限性最终如何确定又成为数学人的一个无法靠近的理论问题！这也是不争的理论事实。从卡瓦列里不可分量原理[10]可知，线．是由无限多个点．组成；面．是由无限多条平行线．组成；体．是由无限多个平行面．组成。自然数

．．．可以与组成线的点．依依对应，我们从数学的发展史还知道，数念起源于自然界物质的单元性、对比性、可分性等等自然界物质单元意识形态和动态，对此，古人有?刻骨?[11]记载警示后人。根据数念的出生史，这里把组成线的点．暂认为是自然界绝对极小极限界点的物质单元体{δi}的象征。π的两种(常数、无理数)数性为一身的好似有悖数学

常理(严密性)的理论现象将非常明确证明组成线的点．就是代表自然界绝对极小物质颗粒{δi}，这就是π最终要告知我们人类的天使使命——‘数（i=1、2、3…）’是{δi}绝对存在的体现。

根据数学理论‘圆’的性质定义，加上卡瓦列里不可分量原理，我们在理论逻辑上就可以毫无悬念的把绝对极小圆（点）到绝对极大圆，依次的一圆套一圆就可形成一个无限大的圆面，宇宙有多大，这个圆面就可形成多大，在这个无限大的圆面里，有一个不变的性质存在；如果我们把绝对极小圆（点）到绝对极大圆依次罗列叠加又可毫无悬念的从理论上形成一个无限大的圆锥体，宇宙有多大，这个理论圆锥体就能形成多大，无论这个理论圆锥体有多大或多小，都凸显体尖唯一性、截止性。这个无限大的理论圆锥体每一个横截面又都有‘圆’的性质、‘光’的各种天性行为性质存在，这个无限大的理论圆锥体还有一个最为关键点，圆锥体体尖唯一性、截止性如何进行确定的问题，也就是说，这个无限大的理论圆锥体所体现出最为突出最为重要一环：圆锥体体尖唯一（‘1’）性和截止性如何确定的问题，也就是上面根据(图二)所说，当圆缩小到绝对极小成为一个小点．时，点．内的有限性最终如何进行确定的理论问题，可以说，这是多少代的理论科学巨人冥视（思）中的一个必然的必定，但又是非常棘手无从靠近的科学理论问题，下面将示出这个无限大的理论圆锥体的锥体尖唯一（‘1’）性和截止性的确定方法和途径。

这个无限大的理论圆锥体每一个横截面都是‘圆’，我们根据

(图三) (图四)

〈L/D＝π〉作圆，如(图三)所示。根据(图三)，用{δi}各个单元客体去排列组成圆周长L和圆直径D可形成(图四)形式的圆，有：

L＝δ.i L （i=1、2、3...i L） (11)

D＝δ.i D （i=1、2、3...i D） (12)

注：i是δ排列成L和D所用的个数。

从(图四)可看出，因：{δi}是自然界绝对极小的物质单元实体（物质颗粒），并占有绝对空间尺度，所以用δ排列组成的圆可形成一个带有内边圆（内圆）和外边圆（外圆）的同心圆，如(图四)所示，内边圆与外边圆单边直径差值为一个δ形体距离，从(图四)还可看出，在圆周上，以δ中心点形成的点划线圆如同(图三)形式的圆，当δ与宏观物体或直径 D 对比显示出绝对极小，其形体尺度可忽略不计时，相当于点．?无大小?数学原有定义时，有：

π＝L/D≈δ.i L/δ.i D (13)

按数学计算规则，(13)式还要写成：

π＝L/D≈δ.i L/δ.i D＝i L/i D (14)

这里请大家注意：(13)式变成(14)式后，〈δ〉已无影无踪，点．(δ)真的没有大小了，数的实质性被人为镂空，只有纯数字关系了。

(13)式变成(14)式这一过程的得失，理论科学人必须要给予特级、极、急、高重视。这是‘π’两种(常数、无理数)数性为一身好似有悖数学严密性的理论现象所要产生的作为：为人类找回数学的原本。

(14)式这个分数(i L/i D)形象很像π值的渐近分数序列?3/1，22/7， 333/106， 355/113，103 993/33 102， 104 348/33 215，208 341/66 317，312 689/99 532，833 719/265 381，1146 408/364 913， 4 272 943/1 360 120，…,序列(1)?[12]的分数形式。当周长（δ·i L）和直径（δ·i D）比例合适时，可形成无数多的圆，如日晕、彩虹、牛顿环，但，用{δi}摆放的直径端点形成的线圆永远都不可能在圆周上与δ中心点形成的线圆重合(圆的两条封闭线段之比时会产生误差)，从(图四)可看出，无论直径D（δ·i D）有多长，相对圆周上δ中心点形成的线圆来说，?外边圆?、?内边圆?在直径 D 方向上，始终绝对是各差一个δ实体距离(｜1·δ｜），用数学函数式表示这个误差值有：

Δπ＝(±)｜1·δ｜/ ?(δ·i D ) ………（a）

从这个式子里可以看到，这个误差值?Δπ?始终存在，是随着圆的

直经D的大小而变化着。下面看一看这个误差值?Δπ?与π的无理数值之间的关系。

从{δi}各个单元客体绝对极小程度上，我们人类根本就分不出?外边圆?和?内边圆?，但，?外边圆?和?内边圆?存在是绝对的，当把{δi}各个单元客体视为是?组成线的点．?时，有(图四)近似于(图三)，有(14)式形式出现，从(14)式可意识到（i L/i D）相似于π值的渐近分数序列(1)的分数形式，下面就以π值的渐近分数序列(1)对(图四)进行分析。根据π值的渐近分数序列(1)，可分成二个渐近分数序列，一组是小于π值的渐近分数序列：

3/1，333/106，103 993/33 102，208 341/66 317，……序列(2) 另一组是大于π值的渐近分数序列：

22/7，355/113，104 348/33 215, 312 689/99 532,……序列(3) 从序列(2)和(3)看到，序列(2)、（3)是序列(1)按一个分数间隔分成二组渐近分数序列的，可把小于π值的渐近分数序列(2)看成是?内边圆?为主所至，把大于π值的渐近分数序列(3)看成是?外边圆?为主所至。从(图四)中还可看出，无论周长L（δ·i L）和直径D（δ·i D）有多长，?外边圆?、?内边圆?相对δ中心点形成的线圆误差距离始终是不变的，总是一个δ实体距离，用数学函数式表达这个误差值相对π值的渐近分数序列(1)有：

Δπ＝(-1)1+n.｜1.δ｜/?(δ.i Dn )（n＝1、2、3...N） (15)

注：n 是代表π值的渐近分数序列(1)的排列位序号。

如果把π值的渐近分数序列(1)的两个相邻的渐近分数用δ进行统一对比当量，最简捷而有效的方法是统一分母（统一直径），有：

Δπ＝(-1)1+n?│δ.i Ln.δ.i Dn+1－δ.i Ln+1.δ.i Dn│/δ.i Dn.δ.i Dn+1 ＝(-1)1+n?│i Ln.i Dn+1－i Ln+1.i Dn│.δ2/i Dn.i Dn+1.δ2 (16)

根据(15)式和(图四)，(16)式可直接写成：

Δπ＝(-1)1+n.1.δ2/i Dn.i Dn+1.δ2 (17)

如果按数学运算规则，（17）式要消掉δ2 写成：

Δπ＝(-1)1+n.1/ i Dn.i D(n+1) (18)

在(16)式(17)式中为什么不按数学运算法则削掉〈δ2〉呢？理由有：如果削掉〈δ2〉后，(16)式(17)式所展示出的数学物理实际意义将

无法严谨阐明，数学原本的自然实在性将荡然无存，‘数’的出生史即：‘数’的原本性将彻底被人为移出数学家的视野，大自然的极限界点将无法确定，人类多少代大数学家冥视(思)中的必然的必定根本就不可能获取和证实。从(16)式和(17)式完整的物理数学语言中，我们可以很清楚的说：统一对比当量（统一直径）是按{δi}各个单元客体的面积(δ2)进行的，也就说，δ可以体现出形体面积：〈δ2〉，具有绝对空间面积尺度，是以〈δ2〉进行当量统一的，误差绝对值是按一个δ所占居的空间面积〈δ2〉进行当量对比计量的。下面举个例题进行计算，看上述分析结论是否正确。

例题，根据（16）式，把π值的渐近分数序列(1)中第三位和第四位分数带入此式，有：

Δπ＝(-1)1+n·│（333×113－355×106）·δ2│/（106×113）·δ2 ＝(-1)1+n·│1·δ2│/11 978·δ2

请注意：在此例题中，计算所得分子形式｛(-1)1+n ·│1·δ2│｝与按(图四)分析给出(15)式(17)式的分子形式是一致，只要渐近分数序列(1)中的两个相邻的分数，用δ统一对比当量（统一直径即统一分母），所形成的圆如同(图四)形式的圆。其中，｛(-1)1+n ·│1·δ2│｝是此论题最为重要一环，也是，‘无限大的理论圆锥体’所要呈现的、从大自然绝对极小(圆锥体尖)到绝对极大(宇宙深空)都不变也不会变的项，即：{δi}各个单元客体绝对存在和不变，这是数学理论和物理学理论共同的公理极限界点型态。说明从(图四)分析出的显而易见的逻辑结论是有效的，是正确的。

从例题计算结果看出，π的渐近分数序列(1)的每一个分数都可看成是事实圆的周长与直径之比，每当前后两个相邻的渐近分数用δ统一对比当量（统一直径，统一分母）后，无论圆有多大，哪怕圆大到天际，都会形成(图四)图形的圆，分毫都不会差。绝对误差距离｜1·δ2｜始终存在和不变。从而也证明数学理论中?点．?是自然界物质单元体最小极限的象征，这也将佐证‘光’的各种天性行为特性是大自然大宇宙极限界点即：大自然大宇宙原本性态的体现，这是π身兼两种(常数、无理数)数性所要彰显出的意愿和天使使命内涵。

根据(17)式(18)式和序列(1)我们可以非常肯定的说：‘π’的无

理数性质表明‘圆’是可以无限大的，‘圆’可以无限大，证明宇宙也无限大，大自然原始（原本）不变的{δi}客体也无限多，如式(1)等号(=)右侧所示{δi〔i=1、2、3…(2n)〕}。无论‘圆’大到什么程度，因，自然界的一切事实存在都是由她们{δi〔i=1、2、3…(2n)〕}组成，以δ的始终(原本)不变的形体及单元个数衡度、对比其它，那将是最严密的衡度对比计量过程，是一切理论的绝对公理象征，同时证明{δi〔i=1、2、3…(2n)〕}各个单元客体本身是不以人的意志为转变的，是具有大自然大宇宙原本不变的物质单元实体，是大自然大宇宙一切极致行为的必备条件，不是产生于也不是诞生于宇宙大爆炸，‘诞生’概念对于大自然大宇宙整体存在来说，太狭隘了，太人(任)性化了，太不科学了，太大于天了(都能生出天来)。

根据上述可以非常明确确定：

a.渐近分数序列(1)的每一个分数可看成是实际圆的周长与直径之比，每当前后两个相邻的渐近分数用δ进行统一对比当量(统一直径,统一分母)后，无论圆有多大，哪怕大到宇宙天际，都会形成(图四)图形的圆。圆周上δ中心点形成的线圆永远都无法与组成直径D 的δ端点形成的线圆重合，绝对误差距离｜δ2·1｜始终存在和不变，这个始终存在和不变的结论佐证了‘光速’的不变速和贯穿性质。

b. 渐近分数序列(1)的第一分数和第二个分数分别示出数学理论中最小圆[13]与最大圆的比值，当我们用δ进行统一对比当量（统一直径）后，数学理论中最小圆与最大圆比值的绝对误差也只有一个δ(｜δ2·1｜)实体间隔，这就是数学严密性及‘π’的两种数性为一身所要彰显出来的大自然绝对性、唯‘1’不变性是什么及大自然大宇宙有理论极限界点存在的事实，‘最终比是等量比’、‘最终也变为相等’即{｜δ·1｜＝δ3＝δ2＝δ＝1}的事实。

c. 渐近分数序列(1)的第一个分数是这个‘无限大的理论圆锥体’的体尖极限界点的事实结构形式，渐近分数序列(1)是这个‘无限大的理论圆锥体’的主体框架形式结构趋向。证明了数学理论中?点．?的定义是在大自然绝对公理内涵实质{δi〔i=1、2、3…(2n)〕}的基础上建立的数学定义,?点．?是?数〔i=1、2、3…(2n)〕?的原本性{δi}在大自然中事实存在和个数无限多的体现，在(16)式(17)式中不削掉

〔δ2〕，这是给‘δ’在数学理论中复权或称强权：{δ=δ2=δ3=1}，给予‘数’的自然实体属性{δi〔i=1、2、3…(2n)〕}，强权‘数’来自自然必须要回归自然的重要性，?自然数N?的上、下、前、后缀（物理学称‘量纲’）是人文科学理论不同概念范围内的理论逻辑形式及对比度基准意识标识，不具有大自然绝对性。数学是人文科学理论对比技巧及量的严密表述和计量过程学问与考量，是自然绝对公理体系的体现。

d.追溯‘π’的内涵性质所形成的‘无限大的理论圆锥体’整体凸显体尖唯一（1＝δ＝δ2＝δ3）性、截止性和{δi}叠加无限性，预示着(证明了)大自然大宇宙一切存在都是由{δi〔i=1、2、3…(2n)〕}所组成，{δi}是一切科学理论论述的基石和结点即起始点，也可称为是大自然大宇宙的极限原本界点。排列δ可形成长度距离、线型线段及单元个数概念，如，数轴；平摊δ可形成面积单元〔δ2〕概念；堆积δ可形成体积单元〔δ3〕概念，这是卡瓦列里不可分量原理的自然实在性的体现，是数学微积分理论实效性的自然根基，是数学严密性的理论基石。

e.‘π’的两种数性为一身所彰显的大自然极限界点形态提示理论科学人在使用数学工具时，象(13)式变成(14)式、(17)式变成（18）式过程一样把大自然原本性(δ)丢失的话，在精细的计算，哪怕达到天文数字，也无济于事，也找不到δ的绝对存在和不变的证据：｜δ·1｜等于（δ3＝δ2＝δ＝1），必须要给予大自然大宇宙实质性即原本性态{δi〔i=1、2、3…(2n)〕}强权，强权在理论科学中的极限单元实体不变性即: {δi}各个单元客体具有自然原本不变性、个数无限性，必须对打破早期‘原子’理论概念的J.J.汤姆生的‘载荷子——电子’理论概念定论进行申诉追究。看这个理论定论错在何处，为什么理论大物理学家们发现不了这个重大的物理理论错误？

总结上述：‘光’在大自然中自行做圆及各种天性行为和数学‘圆’的性质定义即‘π’身兼两种数性所形成的‘无限大的理论圆锥体’的体尖唯一性和截止性的理论意识必须要引起全世界理论科学家的重视！在此推述中，所阐明的前人为什么无法靠近大自然极限界

点的原因，如(13)式变成(14)式的过程，也必须要引起当今所有的理论科学大家的重视，这样，可以有效的制止住错都不知是错的理论局面继续影响人类他人及人类后人。

这个‘无限大的理论圆锥体’具有‘定律’功能，因此可称为‘大自然圆锥体型定律’，这个‘定律’凸显从粒子世界到宇宙星空整体无限性、公理性质统一一致性、体尖唯一性即实体单元独立性、理论截止性即起始性和自然极限界点原本不变性。体尖截止性和自然极限界点原本不变性必须由‘光’的极限不变速天性来确定，即：由(7)式确定。

这个‘定律’强权：牛顿第三定律确定了这个‘大自然圆锥体型定律’的锥体体尖、锥体体尖顶点界面处的性质特点体现形式的本质性区别和体尖顶点界面处另一侧又是一个圆锥体体尖的事实，大自然大宇宙中不存在‘反物质’物理理论概念的事实。‘牛顿第三定律’加上‘大自然圆锥体型定律’可确定大自然大宇宙最终只有两个性质特点极鲜明的理论极限界点概念存在，一个是锥体体尖即物质单元实体本身，有自然极限原本单元不变的物性概念存在；另一个是两个锥体体尖之间，如(3)式所示的两个‘δ’之间接触点的绝对对称性质概念即力(F)的极限界点概念；因有这个绝对对称点的性质存在，决定了{δi}各个单元客体之间有等同现象存在，即：L、ΔF、δ、ΔL 的在理论上都具有常数常量概念功能。微观物理的‘量子’理论就是针对这个点的形式规律而言的理论。数学极限理论所说的：?‘最终比’、‘最终比是等量比’、‘最终也变为相等’、‘永远不会超过它’?等等理论概念的实效性也是基于这两个点的自然事实存在和L、ΔF、δ、ΔL具有等同性的事实存在。

至此，从数学的极限理论意识概念及‘圆’的性质即‘π’身兼两种数性，物理的基础理论及微观物理的只知其然不知所以然的‘量子’理论的理论事实性，在根据‘光’的各种天丽性质确定大自然大宇宙有两个性质特点界线极鲜明的理论极限界点概念存在。这是大自然大宇宙整体一致的天性极限行为机制必备的两个要素的诠释和证明与证实。‘大自然圆锥体型定律’是大物理理论统一最标准的理论模型；是一个新的理论立足点的确立。

无一点人为意识行为掺杂，贯穿大宇宙，经过物理各种实验所证实的‘光’的各种天性行为都将成为‘大自然圆锥体理论定律’的保护神（者），都将铁面无私、各司其职、严密确保‘大自然圆锥体理论定律’所彰显的大自然大宇宙原本性态结论的事实存在，即物质单元实体有绝对极小极限界点存在又具有原本不变性质存在和个数无限多可叠加的事实存在；型体明确、层次极致、位置界点界线鲜明、整体凸显体尖唯一（1＝δ＝δ2＝δ3）的圆锥体，作证数学严密性根于大自然原本性态的事实；作证牛顿三大定律是大自然大宇宙原本物质单元体最基本行为规律的写照。

在大自然大宇宙中，最平常的‘光’是唯一能贯穿环宇带有?自然极限不变速?的物理现象，这一凸显天性极限行为机制的物理现象，理论物理学大家必须要给予足够的合理的严密的理论诠释，以便使这个从粒子世界到宇宙深空形成贯穿的天性极限行为机制有效的成为人类科学理论论述极限界点结论依据和基准。这是人类发展终究要达到的科学理论的必然的必定。

2017年8月27日

参考文献

[1].李文林.数学史概论.北京：高等教育出版社，2002.8.161-162。

[2].P.A.M狄拉克著《物理学的方向》[M].19-20，35-37。

[3].P.A.M狄拉克著《物理学的方向》[M].19-20， 37。

[4].简明物理辞典.湖北人民出版社，1983.12，236.

[5]. 陈仁政.说不尽的π.北京：科学出版社，2005.5，47。

[6].陈仁政.说不尽的π.北京：科学出版社，2005.5，291。

[7]. P.A.M狄拉克著《物理学的方向》[M]. 北京，71。

[8].伍长征.等译，[美]物理学评述委员会.90年代物理学：提要.北京：科学出

版社，1992.7.3。

[9].简明物理辞典.湖北人民出版社，1983.12,100。

[10].李文林.数学史概论.北京：高等教育出版社，2002.8.12，147。

[11].李文林.数学史概论.北京：高等教育出版社，2002.8.12，12。

[12].陈仁政.说不尽的π.北京：科学出版社，2005.5，207。

李文林.数学史概论.北京：高等教育出版社，2002.8.12，85。

[13].陈仁政.说不尽的π.北京：科学出版社，2005.5，1。

高等数学求极限的常用方法附例题和详解完整版

高等数学求极限的常用 方法附例题和详解 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】

高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即 “一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （ii ） A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (iii)A x x x x A x f x x =→=→? =→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则 （v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理） （vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限 )(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下：

1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况： （i ）“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (ii)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了 无穷小的倒数形式了。通项之后，就能变成(i)中的形式了。即 )(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或；) ()(1 )(1 )(1 )()(x g x f x f x g x g x f -=- (iii)“00”“∞1”“0∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即 e x f x g x g x f ) (ln )()()(=，这样就能把幂上的函数移下来了，变成“∞?0”型未定式。 3.泰勒公式(含有x e 的时候，含有正余弦的加减的时候） 12)! 1(!!21+++++++=n x n x x n e n x x x e θ ； cos=221242)! 22(cos )1()!2()1(!4!21+++-+-+-+-m m m m x m x m x x x θ

求极限的方法总结

学号：0 学年论文 求极限的方法总结 Method of Limit 学院理学院专业班级 学生指导教师（职称） 完成时间年月日至年月日

摘要 极限的概念是高等数学中最重要、最基本的概念之一。许多重要的概念如连续、导数、定积分、无穷级数的和及广义积分等都是用极限来定义的。因此掌握好求极限的方法对学好高等数学是十分重要的。但求极限的方法因题而异，变化多端，有时甚至感到变幻莫测无从下手，通过通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。本文主要对了数学分析中求极限的方法进行一定的总结，以供参考。 关键词：极限洛必达法则泰勒展开式定积分无穷小量微分中值定理

Abstract The concept of limit is the most important mathematics,one of the most basic important concepts such as continuity,derivative,definite integral,infinite series and generalized integrals and are defined by the mater the methods the Limit learn mathematics integrals and are defined by the limit varies by title,varied,anf sometimes even impossible to start very unpredictable,and summarized through the adoption,we set out the requirements of some commonly used this paper,the mathematical analysis of the method of seeking a certain limit a summary for reference. Keyword:Limit Hospital's Rule Taylor expansion Definite integral Infinitesimal Mean Value Theorem

高等数学求极限的常用方法

高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i ）数列{} 的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （ii ）A x x f x A x f x =+∞ →=-∞ →?=∞ →lim lim lim )()( (iii) A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则 （v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理） （vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限 ) (lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况： （i ）“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (ii)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通 项之后，就能变成(i)中的形式了。即)(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或；) ()(1 )(1 )(1 )()(x g x f x f x g x g x f -=- (iii)“00”“∞1”“0 ∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即e x f x g x g x f ) (ln )()()(=， 这样就能把幂上的函数移下来了，变成“∞?0”型未定式。 3.泰勒公式(含有x e 的时候，含有正余弦的加减的时候）

高数求极限的16种方法(超经典)高彦辉总结

L .+'''+.+'''+. + 天天快乐+ '+. .+' "+.+" 爱 爱爱 爱祝爱 爱愿爱 爱你爱 爱永爱 爱远爱 爱被爱 爱爱爱 爱包爱 爱围爱 爱爱 爱爱 爱爱 爱 漂亮吧!送给你,希望你会幸福一生,梦想成真！ 高数中求极限的16种方法 假如高等数学是棵树木得话，那么极限就是他的根，函数就是他的皮。树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见这一章的重要性。

为什么第一章如此重要？各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面。首先，对极限的总结如下: 极限的保号性很重要，就是说在一定区间内函数的正负与极限一致。 1 .极限分为一般极限，数列极限（区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种） 2.解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！！！你还能有补充么？？？） 1 等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在）e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小） 2 LHopital 法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）首先他的使用有严格的使用前提！！！！！！必须是X趋近而不是N 趋近！！！！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件（还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！）必须是函数的导数要存在！！！！！！！！（假如告诉你g（x）, 没告诉你是否可导，直接用无疑于找死！！）必须是0比0 无穷大比无穷大！！！！！！！！！ 当然还要注意分母不能为0LHopital 法则分为3中情况 1 0比0 无穷比无穷时候直接用2 0乘以无穷无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了 3 0的0次方1的无穷次方无穷的0次方对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候LNX趋近于0）3泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意！！！！）E的x展开sina 展开cos 展开ln1+x展开对题目简化有很好帮助4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法取大头原则最大项除分子分母！！！！！！！！！！！看上去复杂处理很简单！！！！！！！！！！5无穷小于有界函数的处理办法面对复杂函数时候， 尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了！！！6夹逼定理（主要对付的是数列极限！） 这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。7等比等差数列公式应用（对付数列极限）（q绝对值符号要小于1）8各项的拆分相加（来消掉中间的大多数）（对付的还是数列极限）可以使用待定系数法来拆分化简函数9求左右求极限的方式（对付数列极限）例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下，xn的极限与xn+1的极限时一样的，应为极限去掉有限项目极限值不变化10 2 个重要极限的应用。这两个很重要！！！！！对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值。第2个就如果x趋近无穷大无穷小都有对有对应的形式（地2个实际上是用于函数是1的无穷的形式）（当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限）11 还有个方法，非常方便的方法 就是当趋近于无穷大时候不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！！！！！！！！！！！！！！！x的x次方快于x！快于指数函数快于幂数函数 快于对数函数（画图也能看出速率的快慢）!!!!!!当x趋近无穷的时候他们的比值的极限一眼就能看出来了12 换元法是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元，但是换

中心极限定理的内涵和应用

中心极限定理的内涵和应用 在概率论与数理统计中，中心极限定理是非常重要的一节内容，而且是概率论与数理统计之间承前启后的一个重要纽带。中心极限定理是概率论中讨论随机变量和的分布以正态分布为极限的一组定理。这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量之和近似服从于正态分布的条件。故为了深化同学们的理解并掌握其重要性，本组组员共同努力，课外深入学习，详细地介绍了中心极限定理的内涵及其在生活实践中的应用。 一、独立同分布下的中心极限定理及其应用 在对中心极限定理的研究中，我们不妨由浅入深地来学习，为此我们先来研究一下在独立同分布条件下的中心极限定理，即如下的定理1： 定理l （林德伯格-勒维中心极限定理）设{}n X 是独立同分布的随机变量序列，且0)(,)(2>==σμi i X Var X E 存在，若记 n n X Y n i i n σμ-= ∑=1 则对任意实数y ，有 {}?∞--∞→=Φ=≤y t n n t y y Y P .d e π21)(lim 22 （1） 证明：为证明(1)式，只须证}{n Y 的分布函数列弱收敛于标准正态分布。由定理可知：只须证}{n Y 的特征函数列收敛于标准正态分布的特征函数。为此,设μ-n X 的特征函数为)(t ?，则n Y 的特征函数为 n Y n t t n ??????=)()(σ?? 又因为E(μ-n X )=0，Var(μ-n X )=2σ,所以有()0?'=0，2)0(σ?-=''。 于是，特征函数)(t ?有展开式 )(2 11)(2)0()0()0()(22222t o t t o t t +-=+''+'+=σ???? 从而有 =??????+-=+∞→+∞→n n Y n n t o n t t n )(21lim )(lim 22?22t e - 而22 t e -正是N(0,1)分布的特征函数，定理得证。

高等数学求极限的14种方法(完整资料).doc

【最新整理，下载后即可编辑】 高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （1）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （2）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2. 极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。 要特别注意判定极限是否存在在： （1）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即 “一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （2）A x x f x A x f x =+∞ →=-∞ →?=∞ →lim lim lim )()( (3) A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (4) 单调有界准则 （5）两边夹挤准 （夹逼定理/夹逼原理） (6) 柯西收敛准则（不需要掌握）。极限)(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件。是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况： （1）“0 0”“∞ ∞”时候直接用 (2)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成

数学分析中求极限的方法总结

数学分析中求极限的方法总结 1 利用极限的四则运算法则和简单技巧 极限的四则运算法则叙述如下： 定理１.１: (1 (2（３)若B ≠ （(5）[] 0lim ()lim () n n n x x x x f x f x →→??==A ???? （n 为自然数) i 由上述的性质和公式我们可以看书函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商. 例1。 求225 lim 3 x x x →+-的极限 解:由定理中的第三式可以知道 ()()22222 lim 55lim 3lim 3x x x x x x x →→→++=-- 22 2 2 2 lim lim5 lim lim3x x x x x x →→→→+= + 2259 23+ ==-- 例２． 求3 x →

33 22 x x →→ = 3 x→ = 1 4 = 式子经过化简后就能得到一个只有分母含有未知数的分式，直接求极限即可例３。已知() 111 1223 1 n x n n =+++ ??-?, 解：观察 11 =1 122 - ? 111 = 2323 - ? 因此得到() 111 12231 n x n n =+++ ??-? 1111111 1 22 11 n n n =-+-+-+- -- 所以 1 lim lim11 n n n x n →∞→∞ ?? =-= ? ?? 2 利用导数的定义求极限 导数的定义：函数f(x) 如果 ()( ) 00 lim lim x x f x x f x y x x ?→?→ +?- ? = ?? 存在， 则此极限值就称函数f(x) () 'f x。 即

高等数学求极限的16种方法

高等数学求极限的16种方法 首先说下我的感觉，假如高等数学是棵树木得话，那么极限就是他的根，函数就是他的皮。树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见这一章的重要性。 为什么第一章如此重要？各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面 首先对极限的总结如下 极限的保号性很重要就是说在一定区间内函数的正负与极限一致 1 极限分为一般极限，还有个数列极限，（区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种） 2解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！！！你还能有补充么？？？）1 等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在）e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。全部熟记 （x趋近无穷的时候还原成无穷小） 2落笔他法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 首先他的使用有严格的使用前提！！！！！！ 必须是 X趋近而不是N趋近！！！！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件 （还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！）必须是函数的导数要存在！！！！！！！！（假如告诉你g（x）, 没告诉你是否可导，直接用无疑于找死！！） 必须是 0比0 无穷大比无穷大！！！！！！！！！ 当然还要注意分母不能为0 落笔他法则分为3中情况 1 0比0 无穷比无穷时候直接用 2 0乘以无穷无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了 3 0的0次方1的无穷次方无穷的0次方 对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX趋近于0） 3泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意！！！！）

(完整版)大数定律及中心极限定理

第五章大数定律及中心极限定理 【基本要求】1、了解切比雪夫不等式； 2、了解切比雪夫大数定律，Bernoulli大数定律和辛钦大数定律成立的条件及结论； 3、了解独立同分布的中心极限定理（列维—林德伯格定理）和德莫佛—拉普拉斯 中心极限定理（二项分布以正态分布为极限分布）的应用条件和结论，并会用 相关定理近似计算有关随机事件的概率。 【本章重点】切比雪夫不等式，切比雪夫大数定理及Bernoulli大数定理。 【本章难点】对切比雪夫大数定理及独立同分布的中心极限定理的理解。 【学时分配】2学时 【授课内容】 §5.1 大数定律 0.前言 在第一章我们提到过事件发生的频率具有稳定性，即随着试验次数的增加，事件发生的频率逐渐稳定于某个常数，这一事实显示了可以用一个数来表征事件发生的可能性大小，这使人们认识到概率是客观存在的，进而由频率的三条性质的启发和抽象给出了概率的定义，而频率的稳定性是概率定义的客观基础。在实践中人们还认识到大量测量值的算术平均值也具有稳定性，而这种稳定性就是本节所要讨论的大数定律的客观背景，而这些理论正是概率论的理论基础。 下面介绍三个定理，它们分别反映了算术平均值及频率的稳定性。 一、切比雪夫大数定律 1

2 事件的频率稳定于概率，能否有p n lim n n =μ∞→，答案是否定的。而是用)(0}{ ∞→→ε≥-μn p n P n [依概率收敛]来刻划 （弱）。或者用{}1n n P p n →∞ μ???→=[a.e.收敛] 来刻划（强）。 1.定义：设ΛΛ,,,,21n X X X 是一个随机变量序列，a 是一个常数，若对于任意正数ε，有 ()1lim =<-∞ →εa X P n n ， 则称序列ΛΛ,,,,21n X X X 依概率收敛于a .记为a X P n ?→? . 2．切比雪夫不等式 设随机变量ξ具有有限的期望与方差，则对0>?ε，有 2 ) ())((ε ξεξξD E P ≤ ≥-或2 ) (1))((ε ξεξξD E P - ≥<- 证明：我们就连续性随机变量的情况来证明。设~()p x ξ，则有 2 2 ()()(())(())()()x E x E x E P E p x dx p x dx ξ ε ξ ε ξξξεε -≥-≥--≥= ≤ ?? 22 2 1 () (())()D x E p x dx ξξεε+∞ -∞ ≤ -= ? 该不等式表明：当)(ξD 很小时，))((εξξ≥-E P 也很小，即ξ的取值偏离)(ξE 的可能性很小。这再次说明方差是描述ξ取值分散程度的一个量。 切比雪夫不等式常用来求在随机变量分布未知，只知其期望和方差的情况下，事件 {}E ξξε-≥概率的下限估计；同时，在理论上切比雪夫不等式常作为其它定理证明的工具。 3．定理1（切比雪夫大数定律） 设}{n ξ是相互独立的随机变量序列，每一随机变量都有有限的方差，且一致有界，即存在 常数C ，使Λ,2,1)(=≤i C D i ξ，则对任意的0>ε，有01111 =ε≥ξ-ξ∑∑==∞→})(E n n {P lim n i n i i i n [即

高等数学-求极限的各种方法

求极限的各种方法 1．约去零因子求极限 例1：求极限1 1 lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。 【解】6)1)(1(lim 1 ) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限 例2：求极限1 3lim 32 3+-∞→x x x x 【说明】 ∞ ∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 【解】3131lim 13lim 3 11323= +-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方； (2) ???? ??? =<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1ΛΛ 3．分子(母)有理化求极限 例3：求极限)13(lim 22+-++∞ →x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 【解】1 3) 13)(13(lim )13(lim 2 2 22222 2 +++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 01 32lim 2 2 =+++=+∞ →x x x

例4：求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030 +-+-=+-+→→ 41 sin tan lim 21sin tan lim sin 1tan 11 lim 30300 =-=-+++=→→→x x x x x x x x x x x 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．是解题的关键 4．应用两个重要极限求极限 两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1 0)1(lim )11(lim )11(lim ， 第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。 例5：求极限x x x x ?? ? ??-++∞→11lim 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X 1 + ，最后凑指数部分。 【解】22 212 12112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x x x x =???? ????????? ??-+???? ??+=??? ??-+=??? ??-+--+∞→+∞→+∞→ 例6：(1)x x x ??? ??-+∞→211lim ；(2)已知82lim =??? ??-++∞→x x a x a x ，求a 。 5．用等价无穷小量代换求极限 【说明】 (1)常见等价无穷小有： 当0→x 时,~)1ln(~arctan ~arcsin ~tan ~sin ~x x x x x x +1e x -, ()abx ax x x b ~11,2 1~ cos 12-+-； (2) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式．． ；

高等数学极限总结

【摘要】《高等数学》教学中对于极限部分的要求很高，这主要是因为其特殊的地位决定的。然而极限部分绝大部分的运算令很多从中学进入高校的学生感到困窘。本文立足教材的基本概念阐述，着重介绍极限运算过程中极具技巧的解决思路。希望以此文能对学习者有所帮助。 【关键词】高等数学极限技巧 《高等数学》极限运算技巧 《高等数学》的极限与连续是前几章的内容，对于刚入高校的学生而言是入门部分的重要环节。是“初等数学”向“高等数学”的起步阶段。 一，极限的概念 从概念上来讲的话，我们首先要掌握逼近的思想，所谓极限就是当函数的变量具有某种变化趋势（这种变化趋势是具有唯一性），那么函数的应变量同时具有一种趋势，而且这种趋势是与自变量的变化具有对应性。通俗的来讲，函数值因为函数变量的变化而无限逼近某一定值，我们就将这一定值称为该函数在变量产生这种变化时的极限！ 从数学式子上来讲，逼近是指函数的变化，表示为。这个问题不再赘述，大家可以参考教科书上的介绍。 二，极限的运算技巧 我在上课时，为了让学生好好参照我的结论，我夸过这样一个海口，我说，只要你认真的记住这些内容，高数部分所要求的极限内容基本可以全部解决。现在想来这不是什么海口，数学再难也是基本的内容，基本的方法，关键是技巧性。我记得blog中我做过一道极限题，当时有网友惊呼说太讨巧了！其实不是讨巧，是有规律可循的！今天我写的内容希望可以对大家的学习有帮助! 我们看到一道数学题的时候，首先是审题，做极限题，首先是看它的基本形式，是属于什么形式采用什么方法。这基本上时可以直接套用的。

1，连续函数的极限 这个我不细说，两句话，首先看是不是连续函数，是连续函数的直接带入自变量。 2，不定型 我相信所有学习者都很清楚不定型的重要性，确实。那么下面详细说明一些注意点以及技巧。 第一，所有的含有无穷小的，首先要想到等价无穷小代换，因为这是最能简化运算的。等价代换的公式主要有六个： 需要注意的是等价物穷小代换是有适用条件的，即：在含有加减运算的式子中不能直接代换，在部分式子的乘除因子也不能直接代换，那么如果一般方法解决不了问题的话，必须要等价代换的时候，必须拆项运算，不过，需要说明，拆项的时候要小心，必须要保证拆开的每一项极限都存在。 此外等价无穷小代换的使用，可以变通一些其他形式，比如： 等等。特别强调在运算的之前，检验形式，是无穷小的形式才能等价代换。 当然在一些无穷大的式子中也可以去转化代换，即无穷大的倒数是无穷小。这需要变通的看问题。 在无穷小的运算中，洛必答法则也是一种很重要的方法，但是洛必答法则适用条件比较单一，就是无穷小比无穷小。比较常见的采用洛必答法则的是无穷小乘无穷大的情况。(特别说明无穷小乘无穷大可以改写为无穷小比无穷小或者无穷大比无穷大的形式，这根据做题的需要来进行）。

数学分析求极限的方法

求极限的方法 具体方法 ⒈利用函数极限的四则运算法则来求极限 定理1①：若极限)(lim 0 x f x x →和)(lim x g x x →都存在，则函数)(x f ±)(x g ，)()(x g x f ? 当0x x →时也存在且 ①[])()()()(lim lim lim 0 .0 x g x f x g x f x x x x x →→→±=± ②[])()()()(lim lim lim 0 x g x f x g x f x x x x x x →→→?=? 又若0)(lim 0 ≠→x g x x ，则 ) () (x g x f 在0x x →时也存在，且有 )()()() (lim lim lim 0 x g x f x g x f x x x x x x →→→= 利用极限的四则运算法则求极限，条件是每项或每个因子极限存在，一般所给的变量都不满足这个条件，如 ∞ ∞、00 等情况，都不能直接用四则运算法则，必须要对变量进行变形，设法消去分子、分母中的零因子，在变形时，要熟练掌握饮因式分解、有理化运算等恒等变形。 " 例1：求24 22 lim ---→x x x 解：原式=()()()022 22lim lim 22 =+= -+-- - →→x x x x x x ⒉用两个重要的极限来求函数的极限 ①利用1sin lim =→x x x 来求极限 1sin lim 0 =→x x x 的扩展形为： 令()0→x g ，当0x x →或∞→x 时，则有

()()1sin lim 0=→x g x g x x 或()()1sin lim =∞ →x g x g x 例2：x x x -→ππ sin lim 解：令t=x -π.则sinx=sin(-π t)=sint, 且当π→x 时0→t 故 1sin sin lim lim 0 ==-→→t t x x t x ππ ~ 例3：求() 11 sin 21 lim --→x x x 解：原式=()()()()()()()211sin 1111sin 1221 21lim lim =--?+=-+-+→→x x x x x x x x x ②利用e x x =+∞→)1 1(lim 来求极限 e x x =+∞ →)1 1(lim 的另一种形式为e =+→α α α1 )1(lim .事实上，令 .1 x =α∞→x .0→?α所以=+=∞ →x x x e )11(lim e =+→ααα1 0)1(lim 例4: 求x x x 1 )21(lim +→的极限 解：原式=221 210)21()21(lim e x x x x x =?? ?+????+→ 利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限。一般常用的方法是换元法和配指数法。 ⒊利用等价无穷小量代换来求极限 所谓等价无穷小量即.1) () (lim =→x g x f x x 称)(x f 与)(x g 是0x x →时的等价无穷小量，记作)(x f )(~x g .)(0x x →.

数学分析中求极限的方法总结

数学分析中求极限的方 法总结 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】

数学分析中求极限的方法总 结 1 利用极限的四则运算法则和简单技巧 极限的四则运算法则叙述如下： 定理：如果0 x x lim f x =,lim g x =x x →→A B （）（） （1）[]0 lim ()()lim ()lim ()x x x x x x f x g x f x g x →→→±=±=A ±B （2）[]0 x x lim f x g x =lim f x)lim ()x x x x g x →→→??=A?B （）（）（ （3）若B ≠0 （4）0 x lim c ()lim ()x x x f x c f x c →→?=?=A （5） [] 0lim ()lim ()n n n x x x x f x f x →→??==A ????（n 为自然数） 上述性质对于,,x x x →∞→+∞→-∞也同样成立i 由上述的性质和公式我们可以看书函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。 例1. 求225 lim 3x x x →+-的极限 解：由定理中的第三式可以知道 例2. 求3 2 lim 3x x →-的极限 式子经过化简后就能得到一个只有分母含有未知数的分式，直接求极限即可 例3. 已知 ()1111223 1n x n n = +++ ??-?，求lim n n x →∞ 解： 观察 11 =112 2- ? 111=2323-?

因此得到 ()1111223 1n x n n = +++ ??-? 所以 1lim lim 11n n n x n →∞→∞ ?? =-= ??? 2 利用导数的定义求极限 导数的定义：函数f(x)在0x 附近有定义，χ??，则 如果 存在， 则此极限值就称函数f(x)在点0x 的导数记为 () 0'f x 。 即 在这种方法的运用过程中，首先要选好f(x)。然后把所求极限都表示成f(x)在定点0 x 的导数。 例4. 3 利用两个重要极限公式求极限 两个极限公式： （1 （2）1lim 1x x e x →∞ ?? += ??? 但我们经常使用的是它们的变形： （1，

中心极限定理与大数定理的关系

渤海大学学士学位论文 题目: 中心极限定理与大数定理的关系 系别: 渤海大学 专业: 数学系 班级: 2002级1班 姓名：于丹 指导教师：金铁英 完成日期：2006年5月19日 中心极限定理与大数定理的关系 于丹 （渤海大学数学系辽宁锦州 121000 中国） 摘要：中心极限定理是概率与数理统计的一个重要分支，大数定理和中心极限定理都是讨论的随机变量序列的极限问题，它们是概率论中比较深入的理论结果。 本篇论文从研究大数定理开始，然后由大数定理以及收敛性引出了中心极限定理，最后通过对定理在实际应用中的举例和定理的一些反例的研究使我们弄清中心极限定理的内涵与外延，进一步弄清了大数定理与中心极限定理之间的关系。 关键词：大数定理中心极限定理收敛性 The relation of the central limit theorem and large numbers law Yu Dan (Department of Mathematics Bohai University Liaoning jinzhou 121000 China) Abstract：The Central limit theorem is an important branch of probability and mathematical statistic. The large numbers law and the central limit theorem is limit question of random variable sequence .They are the quite thorough theory result in the theory of probability. This paper commences from large numbers law,then the central limit theorem is cited by large numbers law and convergence.Eventually,we can understand connotation and extension of the central limit theorem by its examples and relationship between large numbers law and the central limit theorem . Key words:large numbers law ; the central limit theorem ; convergence. 引言

中心极限定理证明

中心极限定理证明 目录 第一篇：中心极限定理证明 第二篇：大数定理中心极限定理证明 第三篇：中心极限定理 第四篇：中心极限定理应用 第五篇：中心极限定理 更多相关范文 正文 第一篇：中心极限定理证明 中心极限定理证明 一、例子 高尔顿钉板试验. 图中每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子.每排钉子等距排列,下一排的每个钉子恰在上一排两相邻钉子之间.假设有排钉子,从入口中处放入小圆珠.由于钉板斜放,珠子在下落过程中碰到钉子后以的概率滚向左边,也以的概率滚向右边.如果较大,可以看到许多珠子从处滚到钉板底端的格子的情形如图所示,堆成的曲线近似于正态分布. 如果定义:当第次碰到钉子后滚向右边,令;当第次碰到钉子后滚向左边,令.则是独立的,且 那么由图形知小珠最后的位置的分布接近正态.可以想象,当越来越大时接近程度越好.由于时,.因此,显然应考虑的是的极限分布.历史

上德莫佛第一个证明了二项分布的极限是正态分布.研究极限分布为正态分布的极限定理称为中心极限定理. 二、中心极限定理 设是独立随机变量序列,假设存在,若对于任意的,成立 称服从中心极限定理. 设服从中心极限定理,则服从中心极限定理,其中为数列. 解:服从中心极限定理,则表明 其中.由于,因此 故服从中心极限定理. 三、德莫佛-拉普拉斯中心极限定理 在重贝努里试验中,事件在每次试验中出现的概率为为次试验中事件出现的次数,则 用频率估计概率时的误差估计. 由德莫佛—拉普拉斯极限定理, 由此即得 第一类问题是已知,求,这只需查表即可. 第二类问题是已知,要使不小于某定值,应至少做多少次试验?这时利用求出最小的. 第三类问题是已知,求. 解法如下:先找,使得.那么,即.若未知,则利用,可得如下估计:. 抛掷一枚均匀的骰子,为了至少有0.95的把握使出现六点的概率与之差不超过0.01,问需要抛掷多少次? 解:由例4中的第二类问题的结论,.即.查表得.将代入,便得.由此可见,利用比利用契比晓夫不等式要准确得多.

高数数学极限总结

函数极限总结 一．极限的产生 极限理论是研究关于极限的严格定义、基本性质和判别准则等问题的基础理论。 极限思想的萌芽可以追溯到古希腊时期和中国战国时期，但极限概念真正意义上的首次出现于沃利斯的《无穷算数》中，牛顿在其《自然哲学的数学原理》一书中明确使用了极限这个词并作了阐述。但迟至18世纪下半叶，达朗贝尔等人才认识到，把微积分建立在极限概念的基础之上，微积分才是完善的，柯西最先给出了极限的描述性定义，之后，魏尔斯特拉斯给出了极限的严格定义（ε-δ和ε-N 定义）。 从此，各种极限问题才有了切实可行的判别准则，使极限理论成为了微积分的工具和基础。[1] 二．极限知识点总结 1. 极限定义 函数极限：设函数f(x)在点的x 0某一去心邻域内有定义，如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数 ，使得当x 满足不等式 时，对应的函数值 都满足不等式： 那么常数A 就叫做函数f(x)?当x →x 0时的极限，记作。[2] 单侧极限：?.左极限：或 ?.右极限：或 定理： 函数当时极限存在的充分必要条件是左、右极限各自存在且相 δ<<|x -x |00ε <-|)(|A x f A x f x x =→)(lim 0 A x f x x =- →)(lim )()(左→→x A x f A x f x x =+ →)(lim )()(右→→x A x f A x f x f A x f x x ==? =+-→)()()(lim 0 )(x f 0x x →

等 即。 2. 极限概念 函数极限可以分成以的极限为例，f(x) 在点x 0以A 为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得当x 满足不等式 时，对应的函数值f(x)都满足不 等式：|f(x)-A|<ε，那么常数A 就叫做函数f(x)当 x →x 。时的极限。 函数极限具有唯一性、局部有限性、局部保号性[2] 3. 存在准则 有些函数的极限很难或难以直接运用极限运算法则求得，需要先判定。下面介绍几个常用的判定数列极限的定理。 准则Ⅰ.如果数列，及满足以下条件： （1）从某项起，即，当时，有； （2）；， 那么数列的极限存在，且 准则Ⅰ＇如果（1）当（或）时， （2） ，， 那么存在，且等于。 夹逼定理：（1）当时，有??成立 （2） ?,那么，极限存在，且等于A 【准则Ⅰ，准则Ⅰ′合称夹逼定理】 )()()(lim 0 00x f x f x f x x →+-==0,,,x x x x x →-∞→+∞→∞→0x x →{}n x {}n y {}n z +∈?N n 00n n >n n n z x y ≤≤a y n x =∞→lim a z n x =∞ →lim {}n x a x n x =∞ →lim ),(0r x U x ο ∈M x >||)()()(x h x f x g ≤≤A x g x x x =∞→→)(lim ) (0 A x h x x x o =∞→→)(lim ) ()(lim ) (0 x f x x x ∞→→A ),(x 0r x U ο ?()0x f

数学分析中求极限的方法总结

数学分析中求极限的方法 总结 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020

数学分析中求极限的方法总结 1 利用极限的四则运算法则和简单技巧 极限的四则运算法则叙述如下： 定理：如果0 x x lim f x =,lim g x =x x →→A B （）（） （1）[]0 lim ()()lim ()lim ()x x x x x x f x g x f x g x →→→±=±=A ±B （2）[]0 x x lim f x g x =lim f x)lim ()x x x x g x →→→??=A?B （）（）（ （3）若B ≠0 （4）0 x lim c ()lim ()x x x f x c f x c →→?=?=A （5）[]00lim ()lim ()n n n x x x x f x f x →→??==A ????（n 为自然数） 上述性质对于,,x x x →∞→+∞→-∞也同样成立i 由上述的性质和公式我们可以看书函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。 例1. 求225 lim 3x x x →+-的极限 解：由定理中的第三式可以知道 例2. 求3 x →的极限

式子经过化简后就能得到一个只有分母含有未知数的分式，直接求极限即可 例3. 已知 ()1111223 1n x n n = +++ ??-?，求lim n n x →∞ 解： 观察 11=112 2-? 111=2323- ?因此得到 ()1111223 1n x n n = +++ ??-? 所以 1lim lim 11n n n x n →∞→∞ ?? =-= ??? 2 利用导数的定义求极限 导数的定义：函数f(x)在0x 附近有定义，χ??，则 如果 存在， 则此极限值就称函数f(x)在点0x 的导数记为 () 0'f x 。 即 在这种方法的运用过程中，首先要选好f(x)。然后把所求极限都表示成f(x)在定点 x 的导数。