高中数学专题四
椭圆、双曲线、抛物线
《圆锥曲线》知识点小结
一、椭圆:(1)椭圆的定义:平面内与两个定点21,F F 的距离的和等于常数(大于||21F F )的点的轨迹。
其中:两个定点叫做椭圆的焦点,焦点间的距离叫做焦距。
注意:||221F F a >表示椭圆;||221F F a =表示线段21F F ;||221F F a <没有轨迹; (2
3.常用结论:(1)椭圆)0(12222>>=+b a b
y a x 的两个焦点为21,F F ,过1F 的直线交椭圆于B A ,两点,则2ABF ?的周长=
(2)设椭圆)0(12222>>=+b a b
y a x 左、右两个焦点为21,F F ,过1F 且垂直于对称轴的直线交椭圆于Q P ,两点,则Q P ,的坐标分别是 =||PQ
二、双曲线:
(1)双曲线的定义:平面内与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数(小于||21F F )的点的轨迹。
其中:两个定点叫做双曲线的焦点,焦点间的距离叫做焦距。
注意:a PF PF 2||||21=-与a PF PF 2||||12=-(||221F F a <)表示双曲线的一支。
||221F F a =表示两条射线;||221F F a >没有轨迹;
(2
(3)双曲线的渐近线:
①求双曲线12
2
22=-b y a x 的渐近线,可令其右边的1为0,即得02222=-b
y a x ,因式分解得到
0x y
a b
±=。 ②与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222y x ;
(4)等轴双曲线为2
22t y x =-2
(4)常用结论:(1)双曲线)0,0(1222
2
>>=-b a b
y a x 的两个焦点为21,F F ,过1F 的直线交双曲线的同一支于B A ,两点,则2ABF ?的周长=
(2)设双曲线)0,0(12
222
>>=-b a b y a x 左、右两个焦点为21,F F ,过1F 且垂直于对
称轴的直线交双曲线于Q P ,两点,则Q P ,的坐标分别是
=||PQ
三、抛物线:
(1)抛物线的定义:平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。 其中:定点为抛物线的焦点,定直线叫做准线。 (2)抛物线的标准方程、图象及几何性质:0>p
四、弦长公式: |
|14)(1||1||2212212212A k x x x x k x x k AB ?
?
+=-+?+=-+= 其中,?,A 分别是联立直线方程和圆锥曲线方程,消去 y 后所得关于x 的一元二次方程的判别式和2x 的系数
五、弦的中点坐标的求法
法(一):(1)求出或设出直线与圆锥曲线方程;(2)联立两方程,消去y,得关于x 的一元二次方程,02=++C Bx Ax 设),(11y x A ,),(22y x B ,由韦达定理求出
A B
x x -
=+21;(3)设中点),(00y x M ,由中点坐标公式得2
210x x x +=;再把0x x =代入直线方程求出0y y =。
法(二):用点差法,设),(11y x A ,),(22y x B ,中点),(00y x M ,由点在曲线上,线段的中点坐标公式,过A 、B 两点斜率公式,列出5个方程,通过相减,代入等变形,求出00,y x 。
六、求离心率的常用方法:法一,分别求出a,c ,再代入公式
法二、建立a,b,c 满足的关系,消去b,再化为关于e 的方程,最后解方程求e (求e 时,要注意椭圆离心率取值范围是0﹤e ﹤1,而双曲线离心率取值范围是e ﹥1)
高考专题训练 椭圆、双曲线、抛物线
一、选择题:
1.(2011·辽宁)已知F 是抛物线y 2=x 的焦点,A ,B 是抛物线上的两点,|AF |+|BF |=3,则线段AB 的中点M 到y 轴的距离为( )
A.3
4 B .1 C.5
4
D.7
4
答案:C
2.(2011·湖北)将两个顶点在抛物线y 2=2px (p >0)上,另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ,则( )
A .n =0
B .n =1
C .n =2
D .n ≥3
答案:C
3.(2011·全国Ⅱ)已知抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ,直线y =2x -4与C 交于A ,B 两点,则cos ∠AFB =( )
A.45
B.35 C .-35 D .-45
答案:D
4.(2011·浙江)已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)与双曲线C 2:x 2
-y 24=1有公共的焦点,C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ,B 两点.若C 1恰好将线段AB 三等分,则( )
A .a 2=132
B .a 2=13
C .b 2=1
2
D .b 2=2
答案:C
5.(2011·福建)设圆锥曲线的两个焦点分别为F 1,F 2,若曲线上存在点P 满足|PF 1|:|F 1F 2|:|PF 2|=4:3:2,则曲线的离心率等于( )
A.12或32
B.23或2
C.1
2或2 D.23或32
答案:A
6.(2011·邹城一中5月模拟)设F 1,F 2是双曲线x 2a 2-y 2
b 2=1(a >0,b >0)的左、右两个焦点,若双曲线右支上存在一点P ,使(OP →+OF 2→)·F 2P →=0(O 为坐标原点),且|PF 1|=3|PF 2|,则双曲线的离心率为( )
A.2+1
2 B.2+1 C.
3+12
D.3+1
答案:D 二、填空题:
7.(2011·江西)若椭圆x 2a 2+y 2
b 2=1的焦点在x 轴上,过点????1,12作圆x 2+y 2=1的切
线,切点分别为A ,B ,直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是________.
答案:x 25+y 2
4=1
8.(2011·课标)在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的中心在原点,焦点F 1,F 2在x 轴上,离心率为
2
2
,过F 1的直线l 交C 于A ,B 两点,且△ABF 2的周长为16,那么
C 的方程为________.
答案:x 216+y 2
8=1
9.(2011·浙江)设F 1,F 2分别为椭圆x 23+y 2
=1的左、右焦点,点A ,B 在椭圆上,若F 1A →=5F 2B →
,则点A 的坐标是____________.
答案:(0,±1)
10.(2011·全国)已知F 1、F 2分别为双曲线C :x 29-y 227=1的左、右焦点,点A ∈C ,
点M 的坐标为(2,0),AM 为∠F 1AF 2的角平分线,则|AF 2|=________.
答案:6 三、解答题:
11.(12分)(2011·江西)P (x 0,y 0)(x 0≠±a )是双曲线E :x 2a 2-y 2
b 2=1(a >0,b >0)上一点,M 、N 分别是双曲线E 的左、右顶点,直线PM ,PN 的斜率之积为15.
(1)求双曲线的离心率;
(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ,B 两点,O 为坐标原点,C 为双曲线上一点,满足OC →=λOA →+OB →
,求λ的值.
解:(1) e =c a =30
5. (2)λ=0或λ=-4.
12.(13分)(2011·辽宁)如图,已知椭圆C 1的中心在原点O ,长轴左、右端点M ,N 在x 轴上,椭圆C 2的短轴为MN ,且C 1,C 2的离心率都为e .直线l ⊥MN ,l 与C 1交于两点,与C 2交于两点,这四点按纵坐标从大到小依次为A ,B ,C ,D .
(1)设e =1
2,求|BC |与|AD |的比值;
(2)当e 变化时,是否存在直线l ,使得BO ∥AN ,并说明理由. 解:(1) |BC |:|AD |=3
4.
(2)t =0时的l 不符合题意,t ≠0时,BO ∥AN 当且仅当BO 的斜率k BO 与AN 的斜率k AN 相等时成立
基础巩固题目 椭圆、双曲线、抛物线
(2) 双曲线
的实轴长是
(A )2 (B)
【解析】选C.
(5) 在极坐标系中,点 到圆 的圆心的距离为
(A )2 (B) (C) (D)
【解析】选D.
(21)(本小题满分13分)
设,点的坐标为(1,1),点在抛物线上运动,点满足,
经
过点与轴垂直的直线交抛物线于点,点满足
,求点的轨迹方程。
解:点P 的轨迹方程为
(3) 双曲线的实轴长是
(A )2
(B) (C) 4 【解析】选C.
(4) 若直线过圆的圆心,则a 的值为
(A ) 1 (B) 1 (C) 3 (D) 3
x y 22
2-=8
(,
)π
23
2cos ρθ=2
49
π+
2
19
π+
3λ>0A B y x 2
=Q BQ QA λ=uu u r uu r Q M x M P QM MP λ=u u u r u u u r
P .12-=x y x y 2
2
2-=8x y a 3++=0x y x y 2
2
++2-4=0--
【解析】.
(17)(本小题满分13分)
设直线 (I )证明与相交;
(II )证明与的交点在椭圆
证明:(I )反证法
3.在极坐标系中,圆的圆心的极坐标是 A. B.
C.
D.
【解析】:
,选B 。
19.已知椭圆G :,过点(m ,0)作圆的切线l 交椭圆G 于A ,B 两点。
(1)求椭圆G 的焦点坐标和离心率;
(2)将表示为m 的函数,并求的最大值。
解:(Ⅰ) (Ⅱ)当时,|AB|=2,所以|AB|的最大值为2.
8.已知点A (0,2),B (2,0).若点C 在函数y = x 的图像上,则使得ΔABC 的面积为2的点
C 的个数为 A A .4 B .3 C .2
D .1 19.(本小题共14分)
1a =11221212:x+1:y=k x 1k k k k +20l y k l =-?=,,其中实数满足,1l 2l 1l 2l 2
2
2x +y =1上.2sin ρθ=-(1,)2
π(1,)2π
-(1,0)(1,)π(1,)2π
-2
214
x y +=221x y +=||AB ||AB .2
3
==
a c e 3±=m
已知椭圆的离心率为,右焦点为(
),斜率为I
的直线与椭圆G 交与A 、B 两点,以AB 为底边作等腰三角形,顶点为P (-3,2).
(I )求椭圆G 的方程;(II )求的面积.
解:(Ⅰ)椭圆G 的方程为
(Ⅱ)△PAB 的面积S=
7.设圆锥曲线r 的两个焦点分别为F 1,F 2,若曲线r 上存在点P 满足=4:3:2,
则曲线r 的离心率等于 A
A .
B .或2
C . 2
D . 17.(本小题满分13分)
已知直线l :y=x+m ,m ∈R 。 (I )若以点M (2,0)为圆心的圆与直线l 相切与点P ,且点P 在y 轴上,求该圆的方程; (II )若直线l 关于x 轴对称的直线为,问直线与抛物线C :x 2=4y 是否相切?说明理由。
(I )圆的方程为
(II )当m=1时,直线与抛物线C 相切;当时,直线与抛物线C 不相切。
21.(2)(本小题满分7分)坐标系与参数方程
2222:1(0)x y G a b a b +=>>3
l PAB ?22
1.124
x y +=.2
9
||21=?d AB 1122::PF F F PF 1
322或
2312
或2332或l 'l '2
2
(2)8.x y -+='l 1m ≠'l
在直接坐标系xOy 中,直线l 的方程为x-y+4=0,曲线C 的参数方程为
. (I )已知在极坐标(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x
轴正半轴为极轴)中,点P 的极坐标为(4,
),判断点P 与直线l 的位置关系; (II )设点Q 是曲线C 上的一个动点,求它到直线l 的距离的最小值.
解:(I )点P 在直线上 (II
11.设圆锥曲线的两个焦点分别为F 1、F 2,若曲线上存在点P 满足|PF 1|:|F 1F 2|:|PF 2|
=4:3:2,则曲线的离心率等于 A
A. 12或32 B .23或2 C .12或2 D .23或32
18.(本小题满分12分)
如图,直线l :y =x +b 与抛物线C :x 2=4y 相切于点A 。 (Ⅰ)求实数b 的值;
(Ⅱ)求以点A 为圆心,且与抛物线C 的准线相切的圆的方程。
解:(I )b=-1
(II )圆A 的方程为
14.(坐标系与参数方程选做题)已知两曲线参数方程分别为
x y sin α
αα
?=??
=??(为参数)2
π
l G G G 2
2
(2)(1) 4.x y -+-=
和,它们的交点坐标为 .
19. (本小题满分14分)
设圆C 与两圆中的一个内切,另一个外切.
(1)求C 的圆心轨迹L 的方程. (2)已知点且P 为L
上动点,求的最大值及 此时点P 的坐标.
(1) 解: L 的方程为 (2)解:最大值2。
(2)设是定点,其中满足.过作的两条切线,切点分别为,与分别交于.线段上异于两端点的点集记为.证明:;
(0)sin x y θ
θπθ?=??
=??≤<25()4x t t R y t
?=?∈??=?222254,54x y x y +=-+=(+)()(
55
M F ,0),
MP FP -2
2 1.4
x y -=;
2
|
|),(),,Q(AB :B.y )0)(41,
()1(|}.
||,max{|),(,0,0,4,.4
1:L ,)
14.(21002
002122122
p q p q p L p p p A x x q p q px x x x q p q p x y xOy =≠==+-≥-=
??有上的作一点对线段证明轴于点的切线交作过点记的两根是方程满足实数给定抛物线上在平面直角坐标系分本小题满分(,)M a b ,a b 2
40a b a ->0,≠(,)M a b L 12,l l 22112211
(,
),'(,)44
E p p E P P 12,l l y ,'
F F EF X 112||(,)(,)2
P M a b X P P a b φ∈?>?=
解:
(3); .
2min max 15(,)1,(1),,44,).
D x y y x y x p q p q ?????
=≤-≥+-???
?(3)设当点()取遍D 时,求
()的最小值(记为)和最大值(记为max 5
4?∴=0min min ||12
x ?∴==