二次根式第三课时

21.1 二次根式(3)

第三课时

教学内容

a （a ≥0）

教学目标

（a ≥0）并利用它进行计算和化简．

（a ≥0），并利用这个结论解决具体问题． 教学重难点关键

1a （a ≥0）．

2．难点：探究结论．

3．关键：讲清a ≥0a 才成立．

教学过程

一、复习引入

老师口述并板收上两节课的重要内容；

1a ≥0）的式子叫做二次根式；

2a ≥0）是一个非负数；

3．2＝a （a ≥0）．

那么，我们猜想当a ≥0是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题．

二、探究新知

（学生活动）填空：

=_______=______；

=________． （老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：

=0.01=1102337．

例1 化简

（1 （2 （3 （4

分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，

（4）（-3）2=32（a≥0）?去化简．

解：（1=3 （2=4

（3（4=3

三、巩固练习

教材P7练习2．

四、应用拓展

例2 填空：当a≥0；当a<0，?并根据这一性质回答下列问题．

（1，则a可以是什么数？

（2，则a可以是什么数？

（3，则a可以是什么数？

分析（a≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应

变形，使“（）2”中的数是正数，因为，当a≤0-a≥0．（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）

│a│，而│a│要大于a，只有什么时候才能保证呢？a<0．

解：（1，所以a≥0；

（2，所以a≤0；

（3）因为当a≥0，，即使a>a所以a不存在；当a<0，

，即使-a>a，a<0综上，a<0

例3当x>2

分析：(略)

五、归纳小结

（a≥0）及其运用，同时理解当a<0a的应用拓展．

六、布置作业

1．教材P8习题21．1 3、4、6、8．

2．选作课时作业设计．

3.课后作业:《同步训练》

第三课时作业设计

一、选择题

1）．

A．0 B．2

3

C．4

2

3

D．以上都不对

2．a≥0比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（）．

A

C．

二、填空题

1．．

2m的最小值是________．

三、综合提高题

1．先化简再求值：当a=9时，求

甲的解答为：原式=a+（1-a）=1；

乙的解答为：原式=a+（a-1）=2a-1=17．

两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．

2．若│1995-a│，求a-19952的值．

（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a?的值是正数还是负数，去掉绝对值）

3. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│

【新华东师大版】九年级数学上册：21.2《二次根式的乘除法》第3课时教案+导学案

二次根式的乘除法 第三课时 教学内容 最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算． 教学目标 理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式． 通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求． 重难点关键 1．重点：最简二次根式的运用． 2．难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式． 教学方法三疑三探 教学过程 一、设疑自探——解疑合探 自探1.（学生活动）请同学们完成下列各题（请三位同学上台板书） 计算（1 （2 ，（3 自探2.观察上面计算题的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有什么特点？（有如下两个特点：1．被开方数不含分母； 2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．）我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 合探1.把下面的二次根式化为最简二次根式： (1) 合探2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的长． B A C 13 2 ====6.5（cm） 因此AB的长为6.5cm． 三、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！

四、应用拓展 观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式： = -1， = ， ，…… 从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算 +））的值． 分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的． 五、归纳小结（师生共同归纳） 本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用． 六、作业设计 一、选择题 1y>0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（ ）． A （y>0） B y>0） C （y>0） D ．以上都不对 2．把（a-1a-1）移入根号内得（ ）． A ．． 3．在下列各式中，化简正确的是（ ） A ± 12 C 2 D ． 4的结果是（ ） A ． B ．．． 二、填空题 1．（x ≥0） 2．化简_________．

八年级数学上册2.7二次根式第3课时二次根式的混合运算练习(新版)北师大版(最新整理)

1 3 2 3 18＋ 8 2 a 3 第 3 课时 二次根式的混合运算 基础题 知识点 二次根式的混合运算 1．计算 24× ＋ 18的结果是( ) A. B ．5 2 C ．5 D ．6 4. 在算式(－ )□(－ )的□中填上运算符号，使结果最大，这个运算符号是( ) 2 2 A. 加号 B ．减号 C ．乘号 D ．除号 5 ．小马虎做了下列四道题：① 3＋ 2＝ 5；② 27＝±3 3；③ 52－32＝ 52－ 32 ＝5－3＝2；④ 3－ 12＝－ 3. 他 拿给好朋友聪聪看，聪聪告诉他只做对了( ) A.1 道 B ．2 道 C ．3 道 D ．3 道 1 6．(包头中考)计算：( 27－ )÷ 3＝ . 3 7．(聊城中考)计算：( 2＋ 3)2 － 24＝ . 8．(盘锦中考)计算 （1－ 2）2＋ 18的值是 ． 9．用“*”表示一种新运算：对于任意正实数 a ，b ，都有 a*b ＝ b －1.例如 3*4＝ 4－1＝1，那么 15*196＝ ， m*(m*16)＝ . 10. 计算： (1)( 12＋ 27)÷ 3； (2) 27× 3－ ； (3)( 3a －3 27a 3 )÷ ； 2 2．(宁夏中考)下列计算正确的是( ) A. 3＋ 2＝ 5 B. 12÷ 3＝2 C ．( 5)－1 ＝ 5 3．(白银中考)下列计算错误的是( ) D ．( 3 －1)2＝2 A. 2× 3＝ 6 B. 2＋ 3＝ 5 C. 12÷ 3＝2 D. 8＝ 2 2 2 2

1 2－1 45 3 (4) ＋ 3( 3－ 6)＋ 2. 11. 小华家楼房前有一直角三角形空地，小华的爸爸想把它开垦出来，经测量，一直角边为 m ，斜边长为 3 m ．现要用篱笆把这块地围起来，小华的爸爸至少要买多少米篱笆？( 15≈3.873， 5≈2.236，结果精确到 0.01 m) 中档题 1 1 12．计算 2 －6 2 ＋ 8的结果是( ) 3 A ．3 2－2 3 B ．5－ C ．5－ D ．2 13．计算： 2 (1) 18－ 2 ＋|1－ 2|； 1 (2)( 3 27＋2 － 24)×2 3； (3)(2 3－1)2 ＋( 3＋2)( 3－2)． 1 14．先化简，再求值：(a － 3)(a ＋ 3)－a(a －6)，其中 a ＝ 5＋ . 2 20 2 2 2 3

北师大8上教案：2.7 第3课时 二次根式的混合运算1

第3课时二次根式的混合运算 1．熟练掌握二次根式的综合运算．(重点、难点) 一、情境导入 已知一个直角三角形的两条直角边长分别为(3－2)cm、(3＋2)cm，求这个三角形的面积和周长． 二、合作探究 探究点一：二次根式的混合运算 计算： (1)ab(a3b＋ab3－ab)(a≥0，b≥0)； (2)(23 2 － 1 2 )×( 1 2 8＋ 2 3 )； (3)(32＋48)×(18－43)． 解：(1)原式＝ab(a ab＋b ab－ab)＝a ab×ab＋b ab×ab－ab ab＝a2b＋ab2－ab ab；

(2)原式＝(6－ 2 2 )(2＋ 6 3 )＝6×2＋6× 6 3 － 2 2 ×2－ 2 2 × 6 3 ＝23 ＋2－1－ 3 3 ＝1＋ 5 3 3； (3)原式＝(32＋43)(32－43)＝(32)2－(43)2＝18－48＝－30. 方法总结：二次根式的混合运算，一般先将二次根式转化为最简二次根式，再灵活运用乘法公式等知识来简化计算． 探究点二：二次根式的化简求值 已知a＝1 5－2 ，b＝ 1 5＋2 ，求a2＋b2＋2的值． 解析：先化简已知条件，再利用乘法公式变形，即a2＋b2＝(a＋b)2－2ab，最后代入求解． 解：∵a＝1 5－2 ＝ 5＋2 （5－2）（5＋2） ＝5＋2，b＝ 1 5＋2 ＝ 5－2 （5＋2）（5－2） ＝5－2，∴a＋b＝25，ab＝1.∴a2＋b2＋2＝（a＋b）2－2ab＋2＝（25）2－2＋2＝20＝2 5. 方法总结：解此类问题时，直接代入求值很麻烦，要先化简已知条件，再用乘法公式变形代入即可求得． 探究点三：运用二次根式的运算解决实际问题 教师节就要到了，李欣同学准备做两张大小不同的正方形贺卡送给老师以表示祝

1.2二次根式的性质第2课时同步练习

1.2 二次根式的性质（第2课时） 课堂笔记 1. 二次根式的性质：ab = （a ≥0，b ≥0）；b a = （a ≥0，b ＞0）. 2. 在根号内不含 ，不含 . 这样的二次根式称为最简二次根式. 课时训练 A 组 基础训练 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. 9 B. 7 C. 20 D. 31 2. 下列化简错误的是（ ） A. 97=97=37 B. 49.001.0?=01.0×49.0=0.1×0.7=0.07 C. 361 1=1×361 =1×61=61 D. 112=1111112??=111 22 3. 下列二次根式中，化简后能与3进行合并的是（ ） A. 8 B. 18 C. 23 D. 12 4. 等式21 -+x x =21 -+x x 成立的条件是（ ） A. x ≥-1 B. x ＜2 C. x ＞2 D. x ≥-1且x ≠2 5. 设2=a ，3=b ，若用含a ，b 的式子表示54.0，则下列表示正确的是（ ） A. 0.3ab B. 3ab C. 0.1ab2 D. 0.1a2b

6. 已知n 20是整数，则满足条件的最小正整数n 为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 2 7. 化简：（1）48= ； （2）12 5= ； （3）2236+= ； （4）)25()10(-?-= . 8. 已知等边三角形的边长为42cm ，则它的高为 cm. 9. 若)2)(1(--x x =1-x ×2-x ，则x 的取值范围是 . 10. 已知：322=23 2；833=383；1544=4154；2455=5245…如果n 是大于1的正整数，那么请用含n 的式子表示你发现的规律 ． 11. 化简： （1）2416?； （2）)75()3(-?-； （3）3 11； （4）3532?. 12. 化简：

16.1《二次根式》(第1-3课时)教案 新人教版

16.1 二次根式教案 第一课时二次根式的概念教学目标 知识与技能 1 理解二次根式的概念 2 a≥0）的意义求被开方数中字母的取值范围． 过程与方法从具体实例中建立二次根式模型，探索二次根式被开方数中字母的取植范围 情感态度与价值观经历观察比较总结和应用等数学活动，体验发现的快乐 教学重难点关键 1 a≥0）的式子叫做二次根式的概念； 2． a≥0）的意义求被开方数中字母的取值范围 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们独立完成下列三个问题： 问题1：已知反比例函数y=3 x ，那么它的图象在第一象限横、?纵坐标相等的点的 坐标是___________． 问题2：在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是__________． 问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S2，那么S=_________． 老师点评： 问题1：横、纵坐标相等，即x=y，所以x2=3．因为点在第一象限，所以 ， ．问题2：由勾股定理得 问题3：由方差的概念得 . 二、探索新知 ，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平 a≥0）?的式子叫做二次根式， ”称为二次根号． （学生活动）议一议： 1．-1有算术平方根吗？ 2．0的算术平方根是多少？ 3．当a<0 老师点评: 有意义的条件 例1．下列式子，哪些是二次根式， 、 1 x x>0） 、 、 、 1 x y + x≥0，y?≥0）． 分析 ”；第二，被开方数是正数或0． x>0） 、 x≥0，y≥0）；不是二 、 1 x 、 1 x y + ． 例2．当x是多少时，2 - x在实数范围内有意义？ 分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以x-2≥0，2 - x?才能有意义． 解：由x-2≥0，得：x≥2 当x≥2时，2 - x在实数范围内有意义． 三、巩固练习 教材练习1、2、3． 四、应用拓展

二次根式的乘除(第2课时)教案

二次根式的乘除教案 第二课时 教学内容 a b = a b （a≥0，b>0），反过来 a b = a b （a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简． 教学目标 理解a b = a b （a≥0，b>0）和 a b = a b （a≥0，b>0）及利用它们进行运算． 利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简． 教学重难点关键 1．重点：理解a b = a b （a≥0，b>0）， a b = a b （a≥0，b>0）及利用它们进行计算 和化简． 2．难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定．教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们完成下列各题： 1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式． 2．填空 （1） 9 16 =________， 9 16 =_________； （216 36 =________ 16 36 ； （3 4 16 =________ 4 16 ； （436 81 =________ 36 81 ． 9 16 9 16 16 36 16 36 4 16 4 16 36 8136 81 3．利用计算器计算填空:

（1）3 4 =_________，（2） 2 3 =_________，（3） 2 5 =______，（4） 7 8 =________． 规律：3 4 ______ 3 4 ； 2 3 _______ 2 3 ； 2 5 _____ 2 5 ； 7 8 _____ 7 8 。 每组推荐一名学生上台阐述运算结果． （老师点评） 二、探索新知 刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们可以得到： 一般地，对二次根式的除法规定： a b = a b （a≥0，b>0）， 反过来，a b = a b （a≥0，b>0） 下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目． 例1．计算：（112 3 （2 31 28 （3 11 416 （4 64 8 分析：上面4a b a b a≥0，b>0）便可直接得出答案． 解：（112 3 12 3 4=2 （231 28 313 834 282 ÷=?=?33 （311 416 111 16 4164 ÷=?4=2 （464 8 64 8 82 例2．化简： （13 64 （2 2 2 64 9 b a （3 2 9 64 x y （4 2 5 169 x y a b a b a≥0，b>0）就可以达到化简之目的．

人教版八年级下册数学第2课时 二次根式的性质教案与教学反思

第十六章二次根式 原创不容易，为有更多动力，请【关注、关注、关注】，谢谢！ 随风潜入夜，润物细无声。出自杜甫的《春夜喜雨》 上大附中何小龙 16.1二次根式 第2课时二次根式的性质 【知识与技能】 理解并掌握二次根式的性质，正确区分 =a（a≥0）与2a=a（a ≥0），并利用它们进行化简和计算. 【过程与方法】在探索二次根式性质的学习活动中，进一步增强学生的参与意识，培养学生的计算能力和解决问题的能力. 【情感态度】通过创设问题情境，激发学生学习兴趣，培养学生主动探究意识和创新精神，形成良好的心理品质，促进身心健康发展. 【教学重点】()2a=a（a≥0），2a=a（a≥0）及其应用. 【教学难点】用探究的方法探索()2a=a（a≥0）及2a=a（a≥0）的结论. 一、情境导入,初步认识 试一试：请根据算术平方根填空， .猜一猜：通过对上述问题的思考，你能猜想出(2a（a≥0）的结论是什么？说说你的理由. 【教学说明】让学生通过具体实例所展示的特征，猜想出结果，然后再利用算术平方根的意义对所猜测结论进行分析，由感性认识到理性思考，培养学生利用代数语言进行推理的能力.

二、思考探究，获取新知 在学生相互交流的基础上可归纳出： ()2a=a（a≥0）. 进一步地，引导学生探究新的问题. 探究 （1）填空： （2）通过（12a a≥0）的化简结果吗？说说你的理由. 【教学说明】教师应尽力引导学生积极主动进行探究思考，让学生经历知识的发现与完善的过程，深化对所学知识的理解和记忆，最后师生共同完成对知识的归纳总结. 2 a（a≥0）. 最后，教师给出代数式的概念.代数式： 用运算符号（加、减、乘除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子称为代数式.（代数式的定义只要求学生了解就行，不必深究.）三、典例精析，掌握新知 例1 计算： （1） 1.5）2；（2）（5）2

第2课时—二次根式的性质

第十六章二次根式 第2课时二次根式的性质知识点1：（√a）2=a（a≥0） 【例1】计算： （1）（√5）2=____； （2）（√1.2）2=____； （32=____； （4）（2√2）2=____. 同步练习 1.计算： （1）（√3）2=____； （2）（√3.6）2=____； （32=____； （4）（3√7）2=____. 知识点2：√a2=|a| 【例2】利用√a2=|a|的性质化简： （1）√82=_____； （2）√（?2）2 =_____； （3； （4）√（x2+1）2 =_____.

同步练习 2.化简： （1）√22=_____； （2）√（?0.5）2 =_____； （3）√（3?π）2 =_____. 【例3】使√（x?1）2=1-x成立的x的取值范围是______. 同步练习 3. 已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简√a2?|a-b|的结果为_____. 【课时过关】 4.计算：（1）（√7）2=_____； （2） 2 7 3 ?? ? ?? =_____； （3）√（?4）2 =_____. 5. 利用a=(√a)2(a≥0),把下列非负数分别写成一个非负数的平方的形式:（1）9=____； （2）5=____； （3）2.5=____； （4）0.25=____； （5）1 2 =____；

（6）0=____. 6.若a ＜2,化简√（a ?2）2-3=___________. 7.若√a +1+√b ?1=0，a 2021+b 2022的值. 8.化简：√1?2a +a 2（a ＜1）. 【课时提升】 9. 若a 为正数，则有（ ） A.a ＞√a B.a ＜√a C.a=√a D.a 与√a 的大小无法确定 10. 已知a 为实数，若√?a 2在实数范围内有意义，那么√?a 2=_____. 11. 实数a 、b 在数轴上对应的如图所示，化简：√a 2-√b 2+√（a ?b ）2 . 12.若|b-1|+√b 2?10b +25=4，求b 的取值范围.

2.7二次根式(第3课时)5案

2.7二次根式（第三课时） 精讲案 第一环节：复习引入 （1）最简二次根式的概念； （2）二次根式化简过程中，你有哪些体会？ （3）上节课课后作业：若414.12≈，732.13≈，449.26≈，求2 3．你是怎样解决的？ 第二环节：知识巩固 1.巩固提升 例4 计算： （1）3223-；（2）8 1818+-； 2．以上过程每位同学都是怎样化简的，方法好不好，能做到快而准确吗？ 3练习 化简： （1）10152-；（2）31312+-；（3）8)2 118(?-． 第三环节：知识提升 1.知识探索 问题：2a （0>a ）等于多少？ 根据算术平方根的定义，可知a a =2（0>a ）． 2.知识运用 例5 化简： （1）3325b a （0>a ，0>b ）；（2）3)(y x +（0≥+y x ）；（3） a b b a （0>a ，0>b ）． 3.课堂练习 1.当0>a ，0>b 时化简： （1）)(a b b a ab +；（2）324b a ；（3）ab b a ?-)1(；

（4）b a a b ab a 155102÷?． 4.求代数式ab b a ?-)1(的值，其中3=a ，2=b ． 解：由题知0>a ，0>b ． ab b a ?-)1(＝ab b ab a ?-?1＝ab b ab a ?-?1＝2ab b - ＝a b b -． 当3=a ，2=b 时，a b b -＝322-． 第四环节：课堂小结 （1）二次根式的化简： 二次根式的化简一定要化成最简二次根式． （2）利用式子a a =2（0>a ）可将根号内含字母的二次根式化简，结果也要化成最简二次根式． 第五环节：课后作业 习题 2．11 1， 3 预习案 1.a b ?= （ ），=b a （ ） 2.二次根式加减的条件：化为 后，被开方数 的二次根式才能加减。 3.二次根式的加减法则：将化简后被开方数相同的二次根式前面的系数 ，根号和被开方数 。 精练案 一、计算： （1） 3223-； （2）81818+-；

九年级数学上册21.1二次根式第3课时教案新人教版

21.1 二次根式教案 教学内容 2a ＝a （a ≥0） 教学目标 理解2a =a （a ≥0）并利用它进行计算和化简． 通过具体数据的解答，探究2a =a （a ≥0），并利用这个结论解决具体问题． 教学重难点关键 1．重点：2a ＝a （a ≥0）． 2．难点：探究结论． 3．关键：讲清a ≥02a a 才成立． 教学过程 一、复习引入 老师口述并板收上两节课的重要内容； 1a a ≥0）的式子叫做二次根式； 2a a ≥0）是一个非负数； 3．a )2＝a （a ≥0）． 那么，我们猜想当a ≥02a 是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题． 二、探究新知 （学生活动）填空： 2220.0121()10 =______； 22 ()3 =________2023 ()7=_______． （老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到： 2220.0121()1011022()3=2320=023()7=37． 因此，一般地：2a =a （a ≥0） 例1 化简 （19（22(4)-（325（42 (3)-

分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52 ， （4）（-3）2=32，所以都可运用2a =a （a ≥0）?去化简． 解：（1）9=23=3 （2）2(4)-=2 4=4 （3）25=25=5 （4）2(3)-=23=3 三、巩固练习 教材P 7练习2． 四、应用拓展 例2 填空：当a ≥0时，2a =_____；当a<0时，2a =_______，?并根据这一性质回答下列问题． （1）若2a =a ，则a 可以是什么数？ （2）若2a =-a ，则a 可以是什么数？ （3）2a >a ，则a 可以是什么数？ 分析：∵2a =a （a ≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（ ）2”中的数是正数，因为，当a ≤0时，2a =2 ()a -，那么-a ≥0． （1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）可知2a =│a │，而│a │要大于a ，只有什么时候才能保证呢？a<0． 解：（1）因为2a =a ，所以a ≥0； （2）因为2a =-a ，所以a ≤0； （3）因为当a ≥0时2a =a ，要使2a >a ，即使a>a 所以a 不存在；当a<0时，2a =-a ，要使2a >a ，即使-a>a ，a<0综上，a<0 例3当x>2，化简2(2)x --2(12)x -． 分析：(略) 五、归纳小结 本节课应掌握：2a =a （a ≥0）及其运用，同时理解当a<0时，2a ＝－a 的应用拓展． 六、布置作业 1．教材P 8习题21．1 3、4、6、8． 2．选作课时作业设计．

二次根式的性质(第2课时)

二次根式的性质（第2课时） 学生姓名： 教学目标1 a ≥0）是一个非负数2 2=a （a ≥0 （a ≥0）。3、会运用上述两个性质进行有关计算和化简。 重点：理解二次根式的上述两个性质；难点：灵活运用上述两个性质进行有关计算。 学习过程 一、知识准备 二次根式的概念： 二、探究 探究（—）当a>0 a 0; 当a=0 0. 概括: 探究（二） 根据算术平方根的意义填空： 2=_______； 4的算术平方根，根据算术平方根的意义， 4 2=4． 2=_______；2=______；2=_______． 概括: 例题与练习： 计算 （1） ）2 （2） （ 2 （3） （2 ）2 ；)3(2-= ； )21(2-= ；=_____。 例题与练习： 化简

（1） 22 （2 三、课堂小结 二次根式的性质： 四、课后作业 1、数a 没有算术平方根，则a 的取值范围是（ ）． A 、a>0 B 、a ≥0 C 、a<0 D 、a=0 2x 的取值范围为 A 、x>3 B 、x ≥3 C 、x<3 D ．x=3 3、（）2=________； 4x 的取值范围是_______ 5m 的最小值是________． 6、计算 （1）2 （2）-）2 （3）（ 122 7，求x y 的值． 8、在实数范围内分解下列因式: （1）x 2-2 （2）x 2 x+3 9、先化简再求值：当a=9时，求的值，甲乙两人的解答如下： 甲的解答为：原式=a+（1-a ）=1； 乙的解答为：原式=a+（a-1）=2a-1=17． 两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．

二次根式第1课时二次根式的概念教案

16．1 二次根式 第1课时二次根式的概念 1．能用二次根式表示实际问题中的数 量及数量关系，体会研究二次根式的必要 性；(难点) 2．能根据算术平方根的意义了解二次 根式的概念及性质，会求二次根式中被开方 数中字母的取值范围．(重点) 一、情境导入 问题1：你能用带有根号的式子填空 吗？ (1)面积为3的正方形的边长为 ________，面积为S的正方形的边长为 ________． (2)一个长方形围栏，长是宽的2倍， 面积为130m2，则它的宽为________m. (3)一个物体从高处自由落下，落到地 面所用的时间t(单位：s)与落下的高度h(单 位：m)满足关系h＝5t2，如果用含有h的式 子表示t，则t＝______． 问题2：上面得到的式子3，S，65， h 5 分别表示什么意义？它们有什么共同 特征？ 二、合作探究 探究点一：二次根式的定义 下列各式中，哪些是二次根式， 哪些不是二次根式？ (1)11；(2)－5；(3)（－7）2； (4)3 13；(5) 1 5 － 1 6 ；(6)3－x (x≤3)； (7)－x(x≥0)；(8)（a－1）2； (9)－x2－5； (10)（a－b）2(ab≥0)． 解析：要判断一个根式是不是二次根式，一是看根指数是不是2，二是看被开方数是不是非负数． 解：因为11，（－7）2， 1 5 － 1 6 ＝ 1 30 ，3－x(x≤3)，（a－1）2，（a－b）2(ab≥0)中的根指数都是2，且被开方数为非负数，所以都是二次根式. 3 13的根指数不是2，－5，－x (x≥0)，－x2－5的被开方数小于0，所以不是二次根式． 方法总结：判断一个式子是不是二次根式，要看所给的式子是否具备以下条件：(1)带二次根号“”；(2)被开方数是非负数． 探究点二：二次根式有意义的条件 【类型一】根据二次根式有意义求字母的取值范围 求使下列式子有意义的x的取值范围． (1) 1 4－3x ；(2) 3－x x－2 ；(3) x＋5 x . 解析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0且分母不等于0，列不等式(组)求解． 解：(1)由题意得4－3x＞0，解得x＜ 4 3 .当x＜ 4 3 时， 1 4－3x 有意义； (2)由题意得 ?? ? ??3－x≥0， x－2≠0， 解得x≤3且

八年级数学上册2.7二次根式第3课时二次根式的混合运算练习(新版)北师大版

第3课时二次根式的混合运算 基础题 知识点二次根式的混合运算 1．计算24×1 3 ＋18的结果是( ) A. 2 B．5 2 C．5 3 D．6 2 2．(宁夏中考)下列计算正确的是( ) A.3＋2＝ 5 B.12÷3＝2 C．(5)－1＝ 5 D．(3－1)2＝2 3．(白银中考)下列计算错误的是( ) A.2×3＝ 6 B.2＋3＝ 5 C.12÷3＝2 D.8＝2 2 4．在算式(－ 2 2 )□(－ 2 2 )的□中填上运算符号，使结果最大，这个运算符号是( ) A．加号 B．减号 C．乘号 D．除号 5．小马虎做了下列四道题：①3＋2＝5；②27＝±33；③52－32＝52－32＝5－3＝2；④3－12＝－ 3.他拿给好朋友聪聪看，聪聪告诉他只做对了( ) A．1道 B．2道 C．3道 D．3道 6．(包头中考)计算：(27－1 3 )÷3＝________. 7．(聊城中考)计算：(2＋3)2－24＝________. 8．(盘锦中考)计算（1－2）2＋18的值是________． 9．用“*”表示一种新运算：对于任意正实数a，b，都有a*b＝b－1.例如3*4＝4－1＝1，那么15*196＝________，m*(m*16)＝________. 10．计算： (1)(12＋27)÷3； (2)27×3－18＋8 2 ； (3)(3a－327a3)÷a 3；

(4)12－1＋3(3－6)＋ 2. 11．小华家楼房前有一直角三角形空地，小华的爸爸想把它开垦出来，经测量，一直角边为45 m ，斜边长为320 m ．现要用篱笆把这块地围起来，小华的爸爸至少要买多少米篱笆？(15≈3.873，5≈2.236，结果精确到0.01 m) 中档题 12．计算212－613＋8的结果是( ) A ．32－2 3 B ．5－ 2 C ．5－ 3 D ．2 2 13．计算： (1)18－22 ＋||1－2； (2)(13 27＋223－24)×23； (3)(23－1)2＋(3＋2)(3－2)． 14．先化简，再求值：(a －3)(a ＋3)－a(a －6)，其中a ＝5＋12 .

八年级数学下册第16章二次根式161二次根式课时提升作业人教版

二次根式 (第1课时) (30分钟50分) 一、选择题(每小题4分,共12分) 1.下列式子(1),(2),(3),(4)中, 是二次根式的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】选B.其中(1)(2)是二次根式. 2.(2017·济宁中考)若++1在实数范围内有意义,则x满足的条件是( ) 导学号42684187 A.x≥ B.x≤ C.x= D.x≠ 【解析】选C.由题意知:解得x=. 3.若是整数,则正整数n的最小值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【解析】选C.因为20n=22×5n,所以整数n的最小值为5. 二、填空题(每小题4分,共12分) 4.(2017·衢州中考)二次根式中字母a的取值范围是________. 【解析】由题意得a-2>0.解得a>2. 答案:a>2 【变式训练】无论x取任何实数,代数式都有意义,则m的取值范围为________. 【解析】由题意,得x2-6x+m≥0,即(x-3)2-9+m≥0,则(x-3)2≥9-m.∵(x-3)2≥0,∴9-m≤0,∴m≥9.

答案:m≥9 5.若y=++2,则x y=________. 导学号42684188 【解题指南】对于二次根式,根号下的被开方数必须是非负数才有意义,那么一对相反数同时为二次根式的被开方数,则被开方数为0,通过计算得x的值,进而得到y的值,然后代入求值即可. 【解析】因为y=++2, 所以x-3=0, 故x=3,y=2, 则x y=32=9. 答案:9 【变式训练】x取什么实数时,式子+有意义? 【解析】由3x-4≥0,且4-3x≥0.解得x≥,且x≤,所以x=. 所以当x=时,式子+有意义. 6.已知一个球的表面积是84π,那么它的半径是________.(球的表面积公式为S=4πr2) 【解析】根据题意可知S=4πr2=84π,即r2=21, 可得r=(根据题意,取正值). 答案: 三、解答题(共26分) 7.(8分)阅读下列材料:我们在学习二次根式时,式子 有意义,则x≥0;式子有意义,则x≤0;若式子 +有意义,求x的取值范围.这个问题可以转化为不等式组来解决,即求关于x的不等式组 的解集,解这个不等式组得x=0.

(完整版)16.1二次根式(第二课时)教学设计.doc

《16.1 二次根式（第二课时）》教学设计 教学目标 1.理解二次根式的基本性质，能运用二次根式的性质计算和化简，正 确区分 a 2 a a 0 ，了解代数式的概念与特 a a 0 和a2 征. 2.在观察、比较、总结归纳二次根式的基本性质的过程中，增强学生的参与意识，发展学生的归纳概括能力，通过对二次根式的性质的探究，提高学生的思维能力、探究能力、分析问题和解决问题的能力. 3.通过小组合作学习，经历观察、比较、总结归纳和应用等数学活动，感受数学学习的探索性和创造性，利用小组交流体验发现问题的乐趣，激发学生的学习兴趣，并提高对二次根式性质的应用意识. 教学重点与难点 教学重点 :二次根式基本性质的探究 教学难点 :二次根式基本性质的应用 教材与学情分析 教材分析 : 在“实数”一章中，学生已经学习了平方根及算术平方根的概念，以及利用平方运算与开平方运算的互逆关系，求解非负数的平方根和算术平方根的方法 . 而本节课是在学生了解了二次根式的概念的基础上学习二次根式的基本性质，并为之后学习二次根式的 加、减、乘、除四则运算与最简二次根式打下基础，是本章最基础的知识点之一，并为勾股定理、一元二次方程、二次函数等内容的学习打下基础 . 同时，本章以二次根式这一典型的“式”为载体，进一步

学习对数字、符号进行运算的方法，体会通过符号运算所得结果的一般性，进而培养符号意识和运算能力 . 学情分析 : 在这节课之前，学生刚刚学习了二次根式的概念，理解起来有一定的难度，所以通过利用算术平方根的意义等知识，进行探究、计算，得出二次根式的基本性质 . 利用二次根式的基本性质进行简单计算加深印象，并在此基础上将习题变形，提高学生的应用能力 . 二、教学过程 ( 一) 、新知引入： 1.指出下列式子中的二次根式： 5，- 3 3， x 2 1，a 2(a 2), a b(a b) 3，21，2 2.什么样的式子我们称之为二次根式？（二次根式的概念） 二次根式：形如 a (a0) 的式子叫做二次根式. 其中 a 0 ，a 0. 【设计意图：】通过辨别二次根式的练习，回顾二次根式的概念. ( 二) 、探究新知： 一、性质 1 的探究： 1.问题 1 根据算术平方根的意义填空，你有什么发现？ 4 2 2 2 ______ ______ 1 2 ______ 0 2 3 ______ 小组合作学习，进行探究，并得出猜想和结论： 2 a a(a0)

二次根式 公开课教案 教师

课题：二次根式的加减 ——第一课时 教学目标 知识技能：会进行二次根式加减法运算 数学思考：通过整式加减法运算与二次根式加减法运算体会类比思想. 解决问题：通过加减运算，培养学生的运算能力 情感态度：通过对二次根式加减法的探究，激发学生的探索热情，让学生充分参与到数学学习的过程中来，使他们体验到成功的乐趣. 教学重点、难点 重点：二次根式加减运算 难点：探索二次根式加减运算的方法和准确地进行二次根式加减运算 教学准备 PPT 课件学案 教学方法 启发式探究式 教学过程 一、新课导入 如图，从小明家到学校的距离为_________km ，从学校到图书馆的距离为____________km ，那么从小明家到图书馆的距离是__________km （通过变换不同的三组数据【3与8，3x 与8x ，2823与】，让学生从中感受总结规律特点：） 【活动方略】教师通过PPT 放映，学生观察 【设计意图】通过观察不同数据的变化，找寻其中的特点 二、探究新知 2823+3x+8x=11x 5853+ 【设计意图】通过变换不同的x 值，更直观的感受被开方数相同的二次根式可以合并这一特点 教师小结：被开方数相同的二次根式可以进行合并---（黑板板书） 三、跟踪练习（抢答题） 35371+）（57-5122） （66-3+）（3124+）（ 【活动方略】教师出题，学生用眼动脑 【设计意图】巩固小结知识内容，加深理解记忆，抛出新问题 四、互动小游戏 小明家 学校 图书馆

通过直观互动游戏方式让学生更快更容易地掌握知识点 游戏规则：每个组根据你手中拿到的卡片设计一道二次根式加减法的计算题（不超过三项加减），随机抽取部分组上黑板展示本组的题目，再由其他组（只要不是出题组）上黑板写出计算过程，最后由出题组做点评...... 【活动方略】学生课前准备活动卡片，由学生分组讨论，每个组出一道题，再从其中抽取部分组到黑板将本组出好的题目展示出来，由其它组上黑板解答 【设计意图】通过活动加深知识的掌握程度，同时使学生更加深刻的体会小组合作的能力，并且锻炼学生上台的勇气，给学生大胆展示自己的机会 五、小结归纳（黑板板书） 二次根式加减法的基本步骤： 1、将二次根式化为最简二次根式 2、找出其中被开方数相同的二次根式（同类二次根式） 3、将被开方数相同的二次根式进行合并 【活动方略】引导学生小结归纳，反思本节课所学知识 【设计意图】通过总结，概括本节课重点内容，巩固知识 六、巩固检测 1、判断题 是最简二次根式）（481 2（ 222-233=）（224）（2、选择题 进行合并的是（）与）下列二次根式中，能（3127、A 32、B 18、C 24、D ）的结果是（）（）计算（1-2-22 A 、-1B 、0C 、1D 、2 3、计算题 45-801）（27-98182+）（4、能力提升 ) (________ m m 751数也相同的二次根式指被开方数相同、根指提示：同类二次根式是是同类二次根式，则与）已知（=-n n n 243-3-12-822）（）计算：（【活动方略】学生独立思考、独立解题。教师巡视、指导，并让学生上台展示自己的解题过程 【设计意图】检查学生对知识的掌握程度 七、课堂小结 这节课你学到了什么？ 二次根式加减法的基本步骤--一化、二找、三合并 八、课后作业布置 必做题：课本15页2（1）、（3）、（4）4（1） 选做题：）（）计算（2-323?+ 【活动方略】学生课后独立思考完成，教师批改、总结

21.1 二次根式(第3课时)教案

21.1 二次根式(3) 第三课时 教学内容 a （a ≥0） 教学目标 （a ≥0）并利用它进行计算和化简． （a ≥0），并利用这个结论解决具体问题． 教学重难点关键 1a （a ≥0）． 2．难点：探究结论． 3．关键：讲清a ≥0a 才成立． 教学过程 一、复习引入 老师口述并板收上两节课的重要内容； 1a ≥0）的式子叫做二次根式； 2a ≥0）是一个非负数； 3．2＝a （a ≥0）． 那么，我们猜想当a ≥0是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题． 二、探究新知 （学生活动）填空： =_______=______； =________． （老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到： =0.01=11023=037． 例1 化简 （1 （2 （3 （4

分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52， （4）（-3）2=32（a≥0）?去化简． 解：（1=3 （2=4 （3（4=3 三、巩固练习 教材P7练习2． 四、应用拓展 例2 填空：当a≥0；当a<0，?并根据这一性质回答下列问题． （1，则a可以是什么数？ （2，则a可以是什么数？ （3，则a可以是什么数？ 分析（a≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应 变形，使“（）2”中的数是正数，因为，当a≤0-a≥0．（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2） │a│，而│a│要大于a，只有什么时候才能保证呢？a<0． 解：（1，所以a≥0； （2，所以a≤0； （3）因为当a≥0，，即使a>a所以a不存在；当a<0， ，即使-a>a，a<0综上，a<0 例3当x>2 分析：(略) 五、归纳小结 （a≥0）及其运用，同时理解当a<0a的应用拓展． 六、布置作业 1．教材P8习题21．1 3、4、6、8． 2．选作课时作业设计．

(完整word版)人教版第十六章二次根式教案

第十六章 二次根式 课题：16.1二次根式 课型：新授课 教学目标： 1、理解二次根式的定义，会用算术平方根的概念解释二次根式的意义 2、会确定二次根式有意义的条件，知道a (a ≥0)是非负数，并会运用会进行二次根式的平方运算， 3、会对被开方数为平方数的二次根式进行化简通过探究()2 a 和 2a 所含运算、运算顺序、运算结 果分析，归纳并掌握性质 教学重点： 1.a 有意义的条件. 2.a ≥0时 a ≥0的应用. 3. ()2 a 和 2a 的运算、化简 教学难点： 当a <0时2a 的化简 教学过程： 一、复习引入 在七年级实数中，已经用到过简单的二次根式，在本章中将系统地学习二次根式的运算。 二、探究新知 （一）定义及非负性 活动1、填空，完成课本思考1： 65，S ，2，5 h 活动2、观察其形式上的共同点，被开方数的共同点，说明各式所表示的共同意义. 活动3、给出二次根式的定义，介绍二次根式的读法. 活动4、思考下列问题： ①9的运算结果是3，9是不是二次根式？3是不是？ ②定义中为什么要加a ≥0？若a<0，a 表示什么？有无意义？ ③当 a=0时，a 表示什么？结果是什么？当 a>0时，a 表示什么？可不可能为负数？a (a ≥0)是什么样的数呢？ 例1、当x 是怎样的实数时，下列二次根式有意义？在下列二次根式有意义的情况下，其运算结果是怎 样的实数？ 2-x ， 1 1+x ， 32+x 练习：1、课本思考2：当x 是怎样的实数时， 2x ，3x 有意义？ 1、若 m x -=-2，则x 和m 的取值范围是x_____；m______.

2、已知053=-++y x ，求y x ,的值各是多少？ （二）两个运算性质 活动5、完成课本探究1 活动6、对 ()2 a 中的运算顺序、运算结果进行分析，归纳出：一个非负数先开方再平方，结果不变. 练习：课本例2 活动7、完成课本探究2 活动8、对2a 中的运算顺序、运算结果进行分析，归纳出：一个非负数先平方再开方，结果不变；一个 负数先平方再开方结果为相反数. 练习：课本例3 补充练习： 1、化简：2 )4(-π，2 )32(-； 2、直角三角形的三边分别为a ，b ，c ，其中c 为斜边，则式子()2 a -() 2 c 与式子2)(c a -有什么关系？ 三、课堂训练 完成课本中两个练习. 1、m m =-1 成立的条件是_______. 2、m m =+1成立的条件是_______. 四、小结归纳 1、二次根式的概念及“被开方数非负”的条件和“运算结果非负”的性质. 2、二次根式的两个运算性质，平方为“父对象”，开方为“子对象”. 3、简单介绍代数式的概念. 4、重复演示课件呈现练习题，供学生记录. 五、作业设计 必做：P5：1、2、3、4、5、6 选做：P5：7、8、9、10 教学反思

二次根式第三课时教案.

16.1 二次根式（第3课时） 使学生理解并掌握 =,并能利用这一结论进行计算. 通过对的化简，培养学生分类讨论的思想. 解决了这一类问题的化简问题. 利用=（≥0）进行计算 当<0时，=-这一结论的推导和应用. 课题16.1 二次根式 问题1，2 结论：当（≥0）时= 归纳小结例2.计算:

活动一复习旧知识 1.()2 2.()2=_______ =_______； 活动二探索填空 _____==______； _____==______； _____==______；_____==______；_____==______； 求的是22算术平方 根，即求4的算术平方根是2； 同理依次可得 4，0.1，，0； 因此，总结出 当（≥0）时=. 例1 化简: 学生口答第（1）小题 （2）小题学生考虑应考 虑什么?怎样填写? 与学生一起分析填空， 同时讲清（≥0）的 意义并总结出规律. （1）（2）两小题学生自 己解决； （3）小题提醒学生应注 意考虑x的取值范围. 学生独自完成，在全体 订正答案. 这两道小题的设计目 的是复习旧知识,使学生 与本节课的内容分开. 使学生理解（ ≥0）实际上是求2的算 术平方根. 培养学生的归纳能力 虽然x可以取全体实 数，但要养成习惯对字母 进行讨论. 对负指数的化简学生 应多加注意.

（1）； （2）； （3）. 解：（1）=8；（2）==4；（3）=x2+1. 练习.计算： （1）； （2） （3）； （4）. 解：（1）=0.3；（2）=； （3）=5； （4）=10-1=0.1=.

问题与情境设计意图活动三拓展提高 议一议： =_______=______； =_______=______； =______=______； 由上可知,需要a 的范围吗？为什么？ 当a<0时，=？ =＿＿＿(≥0) =＿＿＿(<0). 例2.计算: （1）； （2）； （3）. 从特殊到一般归纳完整的化简的结论. 利用这三个小题进一步使学生对的化简有更深刻的理解. 介绍代数式的定义为今后的学习代数式化简做好准备. 训练学生的语言表达能力,勇于表达出自己的意见和想法.