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直线与圆题型总结

直线与圆题型总结
直线与圆题型总结

高中数学圆的方程典型例题

类型一:圆的方程

1 求过两点、且圆心在直线上的圆的标准方程并判断点与圆的关系.

2、设圆满足:(1)截轴所得弦长为2;(2)被轴分成两段弧,其弧长的比为,在满足条件(1)(2)的所有圆中,求圆心到直线的距离最小的圆的方程.

类型二:切线方程、切点弦方程、公共弦方程

1 已知圆,求过点与圆相切的切线.

2 两圆与相交于、两点,求它们的公共弦所在直线的方程.

3、过圆122=+y x 外一点)3,2(M ,作这个圆的两条切线MA 、MB ,切点分别是A 、B ,求直线AB 的方程。 练习:

1.求过点(3,1)M ,且与圆22(1)4x y -+=相切的直线l 的方程

2、过坐标原点且与圆0252422=+

+-+y x y x 相切的直线的方程为 3、已知直线0125=++a y x 与圆0222=+-y x x 相切,则a 的值为.

类型三:弦长、弧问题

1、求直线063:=--y x l 被圆042:22=--+y x y x C 截得的弦AB 的长

2、直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为

3、求两圆0222=-+-+y x y x 和522=+y x 的公共弦长

类型四:直线与圆的位置关系

1、若直线m x y +=与曲线24x y -=

有且只有一个公共点,实数m 的取值范围 2圆上到直线的距离为1的点有个?

3、直线1=+y x 与圆)0(022

2>=-+a ay y x 没有公共点,则a 的取值范围是

4、若直线2+=kx y 与圆1)3()2(22=-+-y x 有两个不同的交点,则k 的取值范围是.

5、 圆上到直线的距离为的点共有(). (A )1个(B )2个(C )3个(D )4个

6、 过点作直线,当斜率为何值时,直线与圆有公共点 类型五:圆与圆的位置关系

1、判断圆02662:221=--++y x y x C 与圆0424:2

22=++-+y x y x C 的位置关系

2圆0222=-+x y x 和圆0422=++y y x 的公切线共有条。 )4,1(A )2,3(B 0=y )4,2(P y x 1:302=-y x l :42

2=+y x O :()42,P O 0111221=++++F y E x D y x C :0222222=++++F y E x D y x C :A B AB 9)3()3(22=-+-y x 01143=-+y x 034222=-+++y x y x 01=++y x 2()43--,P l l ()()4212

2=++-y x C :

类型六:圆中的对称问题

1、圆22

2690x y x y +--+=关于直线250x y ++=对称的圆的方程是

类型七:圆中的最值问题

1、圆0104422=---+y x y x 上的点到直线014=-+y x 的最大距离与最小距离的差是

2、 (1)已知圆,为圆上的动点,求的最大、最小值. (2)已知圆,为圆上任一点.求

的最大、最小值,求的最大、最小值.

3、已知)0,2(-A ,)0,2(B ,点P 在圆4)4()3(22=-+-y x 上运动,则22PB PA +的最小值是. 练习:

1:已知点),(y x P 在圆1)1(22=-+y x 上运动.

(1) 求

21--x y 的最大值与最小值;(2)求y x +2的最大值与最小值.

类型八:轨迹问题

1、已知点M 与两个定点)0,0(O ,)0,3(A 的距离的比为2

1,求点M 的轨迹方程. 2、已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3),端点A 在圆4)1(22=++y x 上运动,求线段AB 的中点M 的轨迹

方程.

练习:

1、由动点P 向圆12

2=+y x 引两条切线PA 、PB ,切点分别为A 、B ,APB ∠=600,则动点P 的轨迹方程是 类型九:圆的综合应用

1、已知圆与直线相交于、两点,为原点,且,求实数的值.

2、已知对于圆上任一点,不等式恒成立,求实数的取值范围. 1)4()3(221=-+-y x O :

),(y x P O 22y x d +=1)2(222=++y x O :),(y x P 1

2--x y y x 2-0622=+-++m y x y x 032=-+y x P Q O OQ OP ⊥m 1)1(22=-+y x ),(y x P 0≥++m y x m

数学必修2 直线与方程典型 例题

第三章直线与方程 3.1 直线的倾斜角与斜率 3.1.1 倾斜角与斜率 【知识点归纳】 1.直线的倾斜角: 2.直线的斜率: 3.直线的斜率公式: 【典型例题】 题型一求直线的倾斜角 例 1 已知直线的斜率的绝对值等于,则直线的倾斜角为(). A. 60° B. 30° C. 60°或120° D. 30°或150° 变式训练: 设直线过原点,其倾斜角为,将直线绕原点沿逆时针方向旋转45°, 得到直线,则的倾斜角为()。 A. B. C. D. 当0°≤α<135°时为,当135°≤α<180°时,为 题型二求直线的斜率 例2如图所示菱形ABCD中∠BAD=60°,求菱形ABCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率. 变式训练:已知过两点, 的直线l的倾斜角为45°,求实数的值. 题型三直线的倾斜角与斜率的关系 例3右图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3,则(). A .k1<k2<k3 B. k3<k1<k2 C. k3<k2<k1 D. k1<k3<k2

拓展一三点共线问题 例4 已知三点A(a,2)、B(3,7)、C(-2,-9a)在一条直线上,求实数a的值. 变式训练: 若三点P(2,3),Q(3,),R(4,)共线,那么下列成立的是(). A. B. C. D. 拓展二与参数有关问题 例 5 已知两点A (-2,- 3) , B (3, 0) ,过点P (-1, 2)的直线与线段AB始终有公共点,求直线的斜率的取值范围. 变式训练: 已知两点,直线过定点且与线段AB相交,求直线的斜率的取值范围.

拓展三利用斜率求最值 例 6 已知实数、满足当2≤≤3时,求的最大值与最小值。 变式训练:利用斜率公式证明不等式:且 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定 【知识点归纳】 1.直线平行的判定 2.两条直线垂直的判定(注意垂直与x轴和y轴的两直线): 【典型例题】 题型一两条直线平行关系 例 1 已知直线经过点M(-3,0)、N(-15,-6),经过点R(-2,)、S(0,),试判断与是否平行? 变式训练:经过点和的直线平行于斜率等于1的直线,则的值是(). A.4 B.1 C.1或3 D.1或4

(完整word版)初中的圆题型总结.doc

圆的基本题型 纵观近几年全国各地中考题,圆的有关概念以及性质等一般以填空题,选择 题的形式考查并占有一定的分值;一般在 10 分- 15 分左右,圆的有关性质,如垂径定理,圆周角,切线的判定与性质等综合性问题的运用一般以计算证明的形 式考查;利用圆的知识与其他知识点如代数函数,方程等相结合作为中考压轴题将会占有非常重要的地位,另外与圆有关的实际应用题,阅读理解题,探索存在性问题仍是热门考题,应引起注意 . 下面究近年来圆的有关热点题型,举例解析如下。 一、圆的性质及重要定理的考查 基础知识链接:( 1)垂径定理;( 2)同圆或等圆中的圆心角、弦、弧之间的关 系 .(3) 圆周角定理及推论(4)圆内接四边形性质 【例 1】(江苏镇江)如图, AB 为⊙ O直径, CD 为弦,且 CD AB ,垂足为 H .(1)OCD 的平分线 CE 交⊙ O于 E ,连结 OE .求证: E 为弧 ADB的中点; (2)如果⊙ O的半径为 1,CD 3 , ①求 O 到弦 AC 的距离; ②填空:此时圆周上存在个点到直线 AC 的距离为1.2 【解析】(1)OC OE ,E OCE C 又OCE DCE,E DCE.O E∥C.D A B O H E D 又 CD AB ,AOE BOE 90 .E 为弧 ADB的中点. (2)①CD AB , AB 为⊙ O的直径, CD 3 , 1 CD 3 .又OC CH 3 3 . CH 1 ,sin COB 2 2 2 OC 1 2 COB 60 ,BAC 30 . 作 OP AC于 P,则 OP 1 OA 1 .2 2 ②3.

【点评】本题综合考查了利用垂径定理和勾股定理及锐角三角函数求解问题的 能力 . 运用垂径定理时,需添加辅助线构造与定理相关的“基本图形”. 几何上把圆心到弦的距离叫做弦心距, 本题的弦心距就是指线段OD的长 . 在圆中解有关弦心距半径有关问题时, 常常添加的辅助线是连半径或作出弦心距, 把垂 径定理和勾股定理结合起来解题. 如图 , ⊙O的半径为r , 弦心距为 d , 弦长 a 之间 d 2a 2 的关系为 r 2 . 根据此公式 , 在 a 、r、d 三个量中 , 知道任何两个量就可 2 以求出第三个量 . 平时在解题过程中要善于发现并运用这个基本图形 . 【例】(安徽芜湖)如图,已知点 E 是圆 O上的点, 2 B、C分别是劣弧 AD 的三等分点,BOC 46 , 则 AED 的度数为. 【解析】由B、C 分别是劣弧 AD 的三等分点知,圆心角∠∠∠ AOB= BOC= COD, 又 BOC 46 ,所以∠AOD=138o. 根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。从而有AED =69o. 点评本题根据同圆或等圆中的圆心角、圆周角的关系。 【强化练习】 【1】. 如图,⊙O是 ABC的外接圆, BAC 60 ,AD,CE分别是 BC,AB上的高,且 AD, CE交于点 H,求证: AH=AO 1 (1)如图,在⊙ O中,弦 AC⊥BD, OE⊥AB,垂足为 E,求证: OE= CD 2 1 2 2 (2)如图, AC, BD是⊙ O的两条弦,且 ACBD,⊙ O的半径为,求 AB+CD 的值。 2

直线与圆题型总结

高中数学圆的方程典型例题 类型一:圆的方程 1求过两点A(1,4)、B(3,2)且圆心在直线y 0上的圆的标准方程并判断点 2、设圆满足:(1)截y 轴所得弦长为2; (2)被x 轴分成两段弧, 求圆 心到直线I : x 2y 0的距离最小的圆的方程. 类型二:切线方程、切点弦方程、公共弦方程 1已知圆O : x 2 y 2 4,求过点P 2,4与圆0相切的切线. 2两圆C 1: x 2 y 2 D 1x E 1 y F 1 0与C 2: x 2 y 2 D 2x E 2y F 2 0相交于A 、B 两点,求它们的公共 弦AB 所在直线的方程. 3、过圆x 2 y 2 1外一点M(2,3),作这个圆的两条切线 MA 、MB ,切点分别是 A 、B ,求直线AB 的方程。 练习: 2 2 1?求过点 M(3,1),且与圆(x 1) y 4相切的直线I 的方程 __________________ 2 2 5 2、 过坐标原点且与圆 x y 4x 2y 0相切的直线的方程为 _________ 2 2 2 3、 已知直线5x 12y a 0与圆x 2x y 0相切,则a 的值为 _________________________ . 类型三:弦长、弧问题 2 2 1、 求直线I : 3x y 6 0被圆C : x y 2x 4y 0截得的弦AB 的长 ________________________________ 2、 直线 3x y 2 3 0截圆x 2 y 2 4得的劣弧所对的圆心角为 _________________________ 3、求两圆x 2 y 2 x y 2 0和x 2 y 2 5的公共弦长 __________________________ 类型四:直线与圆的位置关系 I 1、若直线y x m 与曲线y 4 x 2有且只有一个公共点,实数 m 的取值范围 _________________________________ 4、 若直线y kx 2与圆(x 2)2 (y 3)2 1有两个不同的交点,贝U k 的取值范围是 ________________________ . 5、 圆x 2 y 2 2x 4y 3 0上到直线x y 1 0的距离为 2的点共有(). (A ) 1 个 (B ) 2 个 (C ) 3 个 (D ) 4 个 2 2 6、 过点P 3, 4作直线l ,当斜率为何值时,直线I 与圆C: x 1 y 2 4有公共点 类型五:圆与圆的位 置关系 2 2 2 2 1、判断圆C 1 : x y 2x 6y 26 0与圆C 2 : x y 4x 2y 4 0的位置关系 ___________________________________ 2 2 2 2 2圆x y 2x 0和圆x y 4y 0的公切线共有 ___________________________条。 P(2,4)与圆的关系. 其弧长的比为3:1 ,在满足条件(1)(2)的所有圆中, 2 圆(x 3)2 (y 3)2 9上到直线3x 4y 11 0的距离为1的点有 _________ 个? 2 2 3、直线 x y 1 与圆 x y 2ay 0 (a 0)没有公共点,则a 的取值范围是 __________

圆周运动题型总结

一.角速度 线速度 周期之间的关系 1.做匀速圆周运动的物体,10s 内沿半径是20m 的圆周运动了100m ,试求物体做匀速圆周运动时: (1)线速度的大小; (2)角速度的大小; (3)周期的大小. 【答案】(1)10/m s ;(2)0.5/rad s ;(3)12.56s 2.如图所示,两个小球固定在一根长为l 的杆的两端,绕杆上的O 点做圆周运动,当小球A 的速度为v A 时,小球B 的速度为v B .则轴心O 到小球B 的距离是( ) A . B A B v l v v + B .A A B v l v v + C .A B A v v L v + D .A B B v v L v + 【答案】A 3.转笔(Pen Spinning )是一项用不同的方法与技巧、以手指来转动笔的休闲活动,如图所示.转笔深受广大中学生的喜爱,其中也包含了许多的物理知识,假设某转笔高手能让笔绕其上的某一点O 做匀速圆周运动,下列有关该同学转笔中涉及到的物理知识的叙述正确的是( ) A .笔杆上的点离O 点越近的,角速度越大 B .笔杆上的点离O 点越近的,做圆周运动的向心加速度越大 C .笔杆上的各点做圆周运动的向心力是由万有引力提供的 D .若该同学使用中性笔,笔尖上的小钢珠有可能因快速的转动做 离心运动被 甩走 【答案】D 二.传动装置 4.如图所示,A 、B 是两个靠摩擦传动且接触面没有相对滑动的靠背轮,A 是主动轮,B 是从动轮,它们的半径R A =2R B , a 和b 两点在轮的边缘,c 和d 分别是A 、B 两 轮半径的中点,下列判断正确的有 A .v a = 2 v b B .ωb = 2ωa C .v c = v a D .a c =a d 【答案】B 5.某变速箱中有甲、乙、丙三个齿轮,如图所示,其半径分别为r 1、r 2、r 3,若甲轮的角速度为ω,则丙轮边缘上某点的向心加速度为 A .32 21r r ω B. 12223r r ω C 。22223r r ω D 。 32 21r r r ω 【答案】A 6.如图所示的皮带传动装置中,轮A 和B 同轴,A 、B 、C 分别是三个轮边缘的质点,且RA=RC=2RB ,

直线与方程(经典例题)

直线与方程 知识点复习: 一、直线与方程 (1)直线的倾斜角 定义:x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此,倾斜角的取值围是0°≤α<180° (2)直线的斜率 ①定义:倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k 表示。即tan k α=。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当[ ) 90,0∈α时,0≥k ; 当( ) 180,90∈α时,0

《圆》题型总结

《圆》题型总结 【圆的定义与确定】 一、选择题 1.(2015春?张掖校级月考)有下列四个说法:①半径确定了,圆就确定了;①直径是弦;①弦是直径;①半圆是弧,但弧不一定是半圆⑤长度相等的弧是等弧⑥经过圆内一定点可以作无数条直径⑦半径不等的圆叫做同心圆⑧优弧一定大于劣弧⑨不同的圆中不可能有相等的弦.其中错误说法的个数是( ) A .4 B .5 C . 6 D .7 2. 平面上的一个点到圆的最小距离是4cm,最大距离是9cm ,则圆的半径是( ). A.2.5cm B.6.5cm C. 2.5cm 或6.5cm D. 5cm 或13cm 4.如图,已知①O 的半径为5,点O 到弦AB 的距离为3,则①O 上到弦AB 所在直线的距离为2的点有( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 5.已知:A ,B ,C ,D ,E 五个点中无任何三点共线,无任何四点共圆,那么过其中的三 点作圆,最多能作出( ). A .5个圆 B .8个圆 C .10个圆 D .12个圆 6. 如图,点A 、D 、G 、M 在半圆O 上,四边形ABOC ,DEOF ,HMNO 均为矩形,设BC=a,EF=b,NH=c, 则下列各式正确的是( ) A.a >b >c B.b >c >a C.c >a >b D.a=b=c 第6题 第7题 二、填空题 7.如图,P(x ,y)是以坐标原点为圆心,5为半径的圆周上的点,若x 、y 都是整数,猜想这样的P 点一共有 . 8.若①ABC 中,①C=90°,AC=10cm ,BC=24cm ,则它的外接圆的直径为___________. 10.如图,在半径不等的同心圆中,圆心角①AOB 所对的 的长度有__ ___关 5 5 -5 -5 P x y O

必修2直线与圆典型题型总结

直线与圆方程复习专题 注:标*的为易错题,标**为有一定难度的题。 一:斜率与过定点问题 1.已知点(1,3)A 、(2,6)B 、(5,)C m 在同一条直线上, 那么实数m 的值为_______直线的斜率=_____. 2.已知0m ≠,则过点(1,1)-)的直线320ax my a ++=的斜率为________ **3.已知线段PQ 两端点的坐标分别为(1,1)-、(2,2),若直线:0l mx y m +-=与线段PQ 有交点,求m 的范围. 二:截距问题: 4.若三点(2,2)A ,B(,0)a ,(0,)C b (0ab ≠)共线,则11a b +=______ **5.已知0,0ab bc <<,则直线ax by c +=通过( ) A. 一、二、三象限 B. 一、二、四象限 C. 一、三、四象限 D. 二、三、四象限 *6.(1)过点(1,2)A 且在x 轴,y 轴上截距相等的直线方程是 . (2)过点(1,2)A 且在x 轴,y 轴截距互为相反数的直线方程是 . 三:平行垂直: 7、已知过点()2A m -,和()4B m ,的直线与直线210x y +-=平行,则m =______ 8、若直线1210l x my ++=:  与直线231l y x =-:平行,则m =___ (若垂直呢) 9、过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为__________ 10、已知直线12:(3)453,:2(5)8l m x y m l x m y ++=-++=, (1)若12l l ⊥,则________m =*(2)若12//l l ,则________m = 五:交点问题: 11、过直线0323:,0532:21=--=-+y x l y x l 的交点且平行于直线032=-+y x 的直线方程.是____________(垂直呢?) **12.若直线:1l y kx =-与直线10x y +-=的交点位于第一象限,求实数k 的取值范围. 六:距离问题 13.已知点(3,)m 到直线340x y +-=的距离等于1,则m =_________ 14.已知直线0323=-+y x 和016=++my x 互相平行,则它们之间的距离是_________ 15. ①平行于直线34120x y +-=,且与它的距离是7的直线的方程是________________________ ②垂直于直线350x y +-=, 且与点(1,0)P -)的距离是105 3的直线的方程是___________

(完整版)初中圆题型总结

②3. 圆的基本题型 纵观近几年全国各地中考题, 圆的有关概念以及性质等一般以填空题, 选择 题的形式考查并占有一定的分值;一般在 10 分-15分左右,圆的有关性质,如 垂径定理,圆周角,切线的判定与性质等综合性问题的运用一般以计算证明的形 式考查;利用圆的知识与其他知识点如代数函数, 方程等相结合作为中考压轴题 将会占有非常重要的地位, 另外与圆有关的实际应用题, 阅读理解题, 探索存在 性问题仍是热门考题,应引起注意 . 下面究近年来圆 的有关热点题型,举例解析 如下。 一、圆的性质及重要定理的考查 基础 知识链接:( 1)垂径定理;( 2)同圆或等圆中的圆心角、弦、弧之间的关 系 .(3) 圆周角定理及推论 (4)圆内接四边形性质 【例 1】(江苏镇江)如图, AB 为⊙ O 直径, CD 为弦,且 CD AB ,垂足为 H . (1) OCD 的平分线 CE 交⊙O 于 E ,连结OE .求证: E 为弧 ADB 的中点; 2)如果⊙ O 的半径为 1,CD 3 , ①求 O 到弦 AC 的距离; E 为弧 ADB 的中点. 2)①Q CD AB , AB 为⊙ O 的直径, CD 3 , 3 CH 1CD 3 .又OC 1, sin COB CH 2 3 . 2 2 OC 1 2 COB 60o , BAC 30o . 11 作OP AC 于 P ,则 OP OA . ②填空:此时圆周上存在 解析】(1)Q OC OE , 又 OCE DCE , OE ∥CD . 又CD AB , AOE BOE 90o . E B DCE .

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且 AD ,CE 交于点 H ,求证: AH=AO 1 OE=2CD 【点评】 本题综合考查了利用垂径定理和勾股定理及锐角三角函数求解问题的 能力. 运用垂径定理时,需添加辅助线构造与定理相关的“基本图形”. 几何上把圆心到弦的距离叫做弦心距 , 本题的弦心距就是指线段 OD 的长. 在圆中 解有关弦心距半径有关问题时 , 常常添加的辅助线是连半径或作出弦心距 ,把垂 径定理和勾股定理结合起来解题 .如图, ⊙O 的半径为 r ,弦心距为 d,弦长a 之间 2 的关系为 r 2 d 2 a .根据此公式 ,在a 、r 、d 三个量中,知道任何两个量就可 2 以求出第三个量 . 平时在解题过程中要善于发现并运用这个基本图形 . 【例 2】 (安徽芜湖)如图,已知点 E 是圆 O 上的点, B 、 C 分别是劣弧 A D 的三等分点, BOC 46o , 则 AED 的度数为 . 【解析】由 B 、C 分别是劣弧 AD 的三等分点知,圆心角∠ AOB=∠BOC=∠COD, 又 BOC 46o ,所以 ∠AOD=13o8. 根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。从而有 AED =69o. 点评 本题根据同圆或等圆中的圆心角、圆周角的关系。 强化练习】 1】. 如图, ⊙O 是 ABC 的外接圆, BAC 60 ,AD , CE 分别是 BC ,AB 上的高, ,求 AB 2+CD 2 的值。

直线与圆锥曲线题型总结

直线与圆锥曲线题型总结标准化文件发布号:(9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-

直线和圆锥曲线基本题型 题型一:数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22 :14x y C m +=始终有交点,求m 的取值范 围 解:根据直线:1l y kx =+的方程可知,直线恒过定点(0,1),椭圆 22 :14x y C m +=过动点04m ±≠(,且,如果直线:1l y kx =+和椭圆22 :14x y C m +=始 终有交点,则 14m ≥≠,且,即14m m ≤≠且。 题型二:弦的垂直平分线问题 例题2、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N :2y x =交于A 、B 两点,在x 轴上是否存在一点E(0x ,0),使得ABE ?是等边三角形,若存在,求出0x ;若不存在,请说明理由。 解:依题意知,直线的斜率存在,且不等于0。 设直线:(1)l y k x =+,0k ≠,11(,)A x y ,22(,)B x y 。 由2 (1) y k x y x =+?? =?消y 整理,得 2222(21)0k x k x k +-+= ① 由直线和抛物线交于两点,得2242(21)4410k k k ?=--=-+> 即21 04 k << ② 由韦达定理,得:212221 ,k x x k -+=-121x x =。则线段 AB 的中点为 22 211(,)22k k k --。 线段的垂直平分线方程为:2 2 1112()22k y x k k k --=-- 令y=0,得021122 x k = -,则211( ,0)22 E k -

2019中考数学辅导:圆的考点总结及题型分析

2019中考数学辅导:圆的考点总结及题型分析 各位读友大家好,此文档由网络收集而来,欢迎您下载,谢谢 一、考点分析考点 考点一、点和圆的位置关系 设⊙O的半径是r,点P到圆心O 的距离为d,则有: d d=r点P在⊙O上; d>r点P在⊙O外。 考点二、过三点的圆 1、过三点的圆 不在同一直线上的三个点确定一个圆。 2、三角形的外接圆 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。 3、三角形的外心

三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点,它叫做这个三角形的外心。 4、圆内接四边形性质 圆内接四边形对角互补。 考点三、直线与圆的位置关系 直线和圆有三种位置关系,具体如下: 相交:直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线,公共点叫做交点; 相切:直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线, 相离:直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离。 如果⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,那么: 直线l与⊙O相交d 直线l与⊙O相切d=r; 直线l与⊙O相离d>r; 考点四、圆内接四边形

圆的内接四边形定理:圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角。 1、切线的判定定理:过半径外端且垂直于半径的直线是切线; 两个条件:过半径外端且垂直半径,二者缺一不可 2、性质定理:切线垂直于过切点的半径 推论1:过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2:过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理: 即:①过圆心;②过切点;③垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。 考点五、切线长定理 切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆

数学必修2---直线与方程典型例题

第三章直线与方程 【典型例题】 题型一求直线的倾斜角与斜率 设直线I斜率为k且1

3.1.2两条直线平行与垂直的判定 【 【典型例题】 题型一两条直线平行关系 例1 已知直线l i 经过点M (-3, 0)、N (-15,-6), 12 经过点R (-2, - )、S (0, 2 5),试判断^与12是否平行? 2 变式训练:经过点P( 2,m)和Q(m,4)的直线平行于斜率等于1的直线,贝U m的值是(). A . 4 B. 1 C. 1 或3 D. 1 或4 题型二两条直线垂直关系 例2已知ABC的顶点B(2,1), C( 6,3),其垂心为H( 3,2),求顶点A的坐标. 变式训练:(1) h的倾斜角为45 ° 12经过点P (-2,-1 )、Q (3,-6),问h与12是否垂直? (2)直线11,12的斜率是方程x2 3x 1 0的两根,则h与12的位置关系是—. 题型三根据直线的位置关系求参数 例3已知直线h经过点A(3,a)、B (a-2,-3),直线S经过点C (2,3)、D (-1,a-2) (1)如果I1//I2,则求a的值;(2)如果11丄12,则求a的值 题型四直线平行和垂直的判定综合运用 例4四边形ABCD的顶点为A(2,2 2 2)、B( 2,2)、C(0,2 2.. 2)、D(4,2),试判断四边形ABCD的形状.

直线和圆【概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结】

概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结 直线和圆 一.直线的倾斜角: 1.定义:在平面直角坐标系中,对于一条与x 轴相交的直线l ,如果把x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l 重合时所转的最小正角记为α,那么α就叫做直线的倾斜角。当直线l 与x 轴重合或平行时,规定倾斜角为0; 2.倾斜角的范围[)π,0。如 (1)直线023cos =-+y x θ的倾斜角的范围是____ (答:5[0][ )6 6 ,,πππ ) ; (2)过点),0(),1,3(m Q P -的直线的倾斜角的范围m 那么],3 2, 3 [π πα∈值的范围是 ______ (答:42≥-≤m m 或) 二.直线的斜率: 1.定义:倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ,即k =tan α(α≠90°);倾斜角为90°的直线没有斜率;( 2.斜率公式:经过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率为()212 121x x x x y y k ≠--= ; 3.直线的方向向量(1,)a k = ,直线的方向向量与直线的斜率有何关系? 4.应用:证明三点共线: AB BC k k =。如 (1) 两条直线钭率相等是这两条直线平行的____________条件 (答:既不充分也不必要); (2)实数,x y 满足3250x y --= (31≤≤x ),则 x y 的最大值、最小值分别为______ (答:2 ,13-) 三.直线的方程: 1.点斜式:已知直线过点00(,)x y 斜率为k ,则直线方程为00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴的直线。 2.斜截式:已知直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ,则直线方程为y kx b =+,它不包括垂直于x 轴的直线。 3.两点式:已知直线经过111(,)P x y 、222(,)P x y 两点,则直线方程为1 211 21x x x x y y y y --=--, 它不包括垂直于坐标轴的直线。 4.截距式:已知直线在x 轴和y 轴上的截距为,a b ,则直线方程为 1=+b y a x ,它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。 5.一般式:任何直线均可写成0Ax By C ++=(A,B 不同时为0)的形式。如 (1)经过点(2,1)且方向向量为v =(-1,3)的直线的点斜式方程是___________ (答:12)y x -=-); (2)直线(2)(21)(34)0m x m y m +----=,不管m 怎样变化恒过点______

必修2直线与方程知识点总结与题型

必修2直线与方程知识点总 结与题型 -标准化文件发布号:(9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

第三章:直线与方程的知识点 倾斜角与斜率 1. 当直线l 与x 轴相交时,我们把x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角.当直线l 与x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°. 则直线l 的倾斜角α的范围是0απ≤<. 2. 倾斜角不是90°的直线的斜率,等于直线的倾斜角的正切值,即tan k θ=. 如果知道直线上两点1122(,),(,)P x y P x y ,则有斜率公式21 21 y y k x x -= -. 特别地是,当12x x =,12y y ≠时,直线与x 轴垂直,斜率k 不存在;当12x x ≠,12y y =时,直线与y 轴垂直,斜率k=0. 注意:直线的倾斜角α=90°时,斜率不存在,即直线与y 轴平行或者重合. 当α=90°时,斜率k =0;当090α?<,随着α的增大,斜率k 也增大;当90180α?<

初三数学圆的知识点总结及例题详解

圆的基本性质 1.半圆或直径所对的圆周角是直角. 2.任意一个三角形一定有一个外接圆. 3.在同一平面内,到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半径的圆. 4.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等. 5.同弧所对的圆周角等于圆心角的一半. 6.同圆或等圆的半径相等. 7.过三个点一定可以作一个圆. 8.长度相等的两条弧是等弧. 9.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等. 10.经过圆心平分弦的直径垂直于弦。 直线与圆的位置关系 1.直线与圆有唯一公共点时,叫做直线与圆相切. 2.三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心. 3.弦切角等于所夹的弧所对的圆心角. 4.三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心. 5.垂直于半径的直线必为圆的切线. 6.过半径的外端点并且垂直于半径的直线是圆的切线. 7.垂直于半径的直线是圆的切线. 8.圆的切线垂直于过切点的半径. 圆与圆的位置关系 1.两个圆有且只有一个公共点时,叫做这两个圆外切. 2.相交两圆的连心线垂直平分公共弦. 3.两个圆有两个公共点时,叫做这两个圆相交. 4.两个圆内切时,这两个圆的公切线只有一条. 5.相切两圆的连心线必过切点. 正多边形基本性质 1.正六边形的中心角为60°. 2.矩形是正多边形. 3.正多边形都是轴对称图形. 4.正多边形都是中心对称图形.

圆的基本性质 1.如图,四边形ABCD 内接于⊙O,已知∠C=80°,则∠A 的度数是 . A. 50° B. 80° C. 90° D. 100° 2.已知:如图,⊙O 中, 圆周角∠BAD=50°,则圆周角∠BCD 的度数是 . A.100° B.130° C.80° D.50° 3.已知:如图,⊙O 中, 圆心角∠BOD=100°,则圆周角∠BCD 的度数是 . A.100° B.130° C.80° D.50° 4.已知:如图,四边形ABCD 内接于⊙O ,则下列结论中正确的是 . A.∠A+∠C=180° B.∠A+∠C=90° C.∠A+∠B=180° D.∠A+∠B=90 5.半径为5cm 的圆中,有一条长为6cm 的弦,则圆心到此弦的距离为 . A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm 6.已知:如图,圆周角∠BAD=50°,则圆心角∠BOD 的度数是 . A.100° B.130° C.80° D.50 7.已知:如图,⊙O 中,弧A B 的度数为100°,则圆周角∠ACB 的度数是 . A.100° B.130° C.200° D.50 8. 已知:如图,⊙O 中, 圆周角∠BCD=130°,则圆心角∠BOD 的度数是 . A.100° B.130° C.80° D.50° 9. 在⊙O 中,弦AB 的长为8cm,圆心O 到AB 的距离为3cm,则⊙O 的半径为 cm. A.3 B.4 C.5 D. 10 点、直线和圆的位置关系 1.已知⊙O 的半径为10㎝,如果一条直线和圆心O 的距离为10㎝,那么这条直线和这个圆的位置关系为 . A.相离 B.相切 C.相交 D.相交或相离 2.已知圆的半径为6.5cm,直线l 和圆心的距离为7cm,那么这条直线和这个圆的位置关系是 . A.相切 B.相离 C.相交 D. 相离或相交 3.已知圆O 的半径为6.5cm,PO=6cm,那么点P 和这个圆的位置关系是 A.点在圆上 B. 点在圆内 C. 点在圆外 D.不能确定 4.已知圆的半径为6.5cm,直线l 和圆心的距离为4.5cm,那么这条直线和这个圆的公共点的个数是 . A.0个 B.1个 C.2个 D.不能确定 5.一个圆的周长为a cm,面积为a cm 2,如果一条直线到圆心的距离为πcm,那么这条直线和这个圆的位置关系是 . A.相切 B.相离 C.相交 D. 不能确定 6.已知圆的半径为6.5cm,直线l 和圆心的距离为6cm,那么这条直线和这个圆的位置关系是 . A.相切 B.相离 C.相交 D.不能确定 7. 已知圆的半径为6.5cm,直线l 和圆心的距离为4cm,那么这条直线和这个圆的位置关系是 . ? ? C B A O ? B O C A D ? B O C A D ? B O C A D ? D B C A O ? D B C A O ? D B C A O

直线与圆位置关系知识点与经典例题

直线与圆位置关系 一.课标要求 1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系; 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题; 3.在平面解析几何初步的学习过程中,体会用代数方法处理几何问题的思想。 二.知识框架 相离 几何法 弦长 直线与圆的位置关系 相交 代数法 切割线定理 相切 直线与圆 代数法 求切线的方法 几何法 圆的切线方程 过圆上一点的切线方程 圆的切线方程 切点弦 过圆外一点的切线方程 方程 三.直线与圆的位置关系及其判定方法 1.利用圆心0),(=++C By Ax b a O 到直线的距离2 2 B A C Bb Aa d +++=与半径r 的大小来判 定。 (1)?r d 直线与圆相离 2.联立直线与圆的方程组成方程组,消去其中一个未知量,得到关于另外一个未知量的一元二次方程,通过解的个数来判定。 (1)有两个公共解(交点),即?>?0直线与圆相交 (2)有且仅有一个解(交点),也称之为有两个相同实根,即0=??直线与圆相切 (3)无解(交点),即????r d 练习

(位置关系)1.已知动直线5:+=kx y l 和圆1)1(:2 2=+-y x C ,试问k 为何值时,直线与圆相切、相离、相交? (位置关系)2.已知点),(b a M 在圆1:2 2 =+y x O 外,则直线1=+by ax 与圆O 的位置关系是() A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定 (最值问题)3.已知实数x 、y 满足方程0142 2 =+-+x y x , (1)求 x y 的最大值和最小值; (2)求y x -的最大值和最小值; (3)求2 2 y x +的最大值和最小值。 〖分析〗考查与圆有关的最值问题,解题的关键是依据题目条件将其转化为对应的几何问题求解,运用数形结合的方法,直观的理解。①转化为求斜率的最值;②转化为求直线b x y +=截距的最大值;③转化为求与原点的距离的最值问题。 (位置关系)4.设R n m ∈,,若直线02)1()1(=-+++y n x m 与圆1)1()1(2 2 =-+-y x 相切,则n m +的取值围是() (位置关系)5.在平面直角坐标系xoy 中,已知圆224x y +=上有且仅有四个点到直线 1250x y c -+=的距离为1,则实数c 的取值围是 6.直线0323=-+y x 截圆x 2+y 2=4得的劣弧所对的圆心角是 ( C ) A 、 6π B 、4π C 、3π D 、2 π (位置关系)7.圆01222 2 =+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是( ) A .2 B .21+ C .2 2 1+ D .221+ (最值问题)8.设A 为圆1)2()2(22=-+-y x 上一动点,则A 到直线05=--y x 的最大距离为______. 9.已知圆C 的半径为2,圆心在x 轴的正半轴上,直线0443=++y x 与圆C 相切,则圆 C 的方程为( ) A .0322 2 =--+x y x B .042 2=++x y x C .0322 2 =-++x y x D .042 2 =-+x y x

(完整版)必修二第3章直线与方程题型总结

必修2 第3章 直线与方程 理论知识: 1直线的倾斜角和斜率 1、倾斜角: 2、 倾斜角α的取值范围: .. 3、直线的斜率: k = 记住特殊角的正切值 ⑴当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 4、 直线的斜率公式: 给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率: 斜率公式: k = 2两条直线的平行与垂直 1,L1∥L2则 注意: 2、 则 注意: 3.直线方程 1、 直线的点斜式方程: 2、、直线的斜截式方程: 3 直线的一般式方程: 4.了解斜率和截距的性质 4.两条直线的交点坐标求法:联立方程组。 5.距离 1.两点间的距离公式: . 2.点到直线距离公式: 3、两平行线间的距离公式: 6.对称问题 1.中点坐标公式:已知两点P 1 (x 1,y 1)、P 1(x 1,y 1),则线段的中点M 坐标为 2.若点11(,)M x y 及(,)N x y 关于(,)P a b 对称;求解方法: 3.点关于直线的对称: 若111(,)P x y 与222(,)P x y 关于直线:0l Ax By C ++=对称,求解方法:

直线与方程测试题 题型一(倾斜角与斜率) 1.直线053=-+y x 的倾斜角是( ) A.120° B.150° C.60° D.30° 2.若直线x =1的倾斜角为 ,则( ). A .等于0 B .等于 C .等于2π D .不存在 3.图中的直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则( ). A .k1<k2<k3 B .k3<k1<k2 C .k3<k2<k1 D .k1<k3<k2 4.求直线3x +ay =1的斜率为 题型二(直线位置关系) 1.已知直线l1经过两点(-1,-2)、(-1,4),直线l2经过两点(2,1)、(x ,6),且l1∥l2,则x =( ). A .2 B .-2 C .4 D .1 2.已知直线l 与过点M(-3,2),N(2,-3)的直线垂直,则直线l 的倾斜角是( ). A .3π B .32π C .4π D .43π 3.设直线 l1经过点A(m ,1)、B(—3,4),直线 l2经过点C(1,m)、D(—1,m+1), 当(1) l1/ / l2 (2) l1⊥l1时分别求出m 的值 4.已知两直线l1: x+(1+m) y =2—m 和l2:2mx+4y+16=0,m 为何值时l1与l2①相交②平行 5.. 已知两直线l1:(3a+2) x+(1—4a) y +8=0和l2:(5a —2)x+(a+4)y —7=0垂直,求a 值。 题型三(直线方程) 1:根据下列各条件写出直线的方程,并且化成一般式: (1)斜率是1 2-,经过点A(8,—2); . (2)经过点B(4,2),平行于x 轴; . (3)在x 轴和y 轴上的截距分别是3 ,32-; . 4)经过两点P 1(3,—2)、P 2(5,—4); .

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