单桩水平动力阻抗计算模型研究

第39卷　第8期

2007年8月

哈　尔　滨　工　业　大　学　学　报

JOURNAL OF HARB I N I N STI T UTE OF TECHNOLOGY

Vol 139No 18Aug .2007

单桩水平动力阻抗计算模型研究

孔德森

1,2

,栾茂田3,凌贤长1,杜　政

4

(1.哈尔滨工业大学土木工程学院,哈尔滨150090,E 2mail:dskong@s ohu .com;2.山东科技大学土木建筑学院,

山东青岛266510;3.大连理工大学土木水利学院,辽宁大连116024;

4.滕州市建兴基础工程有限责任公司,山东滕州277500)

摘　要:运用土动力学和结构动力学原理,同时考虑地基土的成层非均质性、桩土界面的相对脱离效应和桩侧土的弱化效应,采用数理方程方法分别求解桩与土的振动方程,建立了水平荷载作用下单桩动力阻抗函数的计算方法,同时提出了一种改进的非线性动力W inkler 计算模型,确定了模型中各物理元件的参数,通过对比分析验证了计算模型的合理性,从而为桩-土-上部结构耦合系统的非线性分析奠定了基础.关键词:桩基;水平动力阻抗;相对脱离;桩-土动力相互作用中图分类号:T U435

文献标识码:A

文章编号:0367-6234(2007)08-1220-05

Study on co m put a ti ona l m odel of l a tera l dynam i c i m pedance of si n gle p ile

K ONG De 2sen

1,2

,LUAN Mao 2tian 3,L I N G Xian 2zhang 1,DU Zheng

4

(1.School of Civil Engineering,Harbin I nstitute of Technol ogy,Harbin 150090,China,E 2mail:dskong@s ohu .co m;2.School

of Civil and A rchitectural Engineering,Shandong University of Science and Technol ogy,Q ingdao 266510,China;

3.I nstitute of Geotechnical Engineering,Dalian University of Technol ogy,Dalian 116024,China;

4.Tengzhou J ianxing Base Engineering C O.,LT D.,Tengzhou,277500,China )

Abstract:A si m p lified mechanical model for computing the lateral dyna m ic i m pedance functi on of single p ile in layered s oils is established based on a certain assump ti ons and the i m p r oved dyna m ic model of bea m -on -W inkler f oundati on by using the p rinci p le of s oil dyna m ics and structural dyna m ics .Both non -homogeneity of s oil strata and s oftening effect of s oil layers ar ound p ile during vibrati on t ogether with relative separati on of p ile -s oil interface are si m ultaneously taken int o account .The characteristics of the frequency -dependency of lateral dyna m ic stiffness and da mp ing of p ile are rep r oduced .It is shown thr ough the comparative study on an exa mp le that the nu merical results of dyna m ic i m pedance of p ile computed by the p r oposed dyna m ic W inkler model are relatively rati onal .A ll these p r ovide the base for the nonlinear analysis of dyna m ic p ile -s oil -structure interacti on syste m.

Key words:p ile f oundati on;lateral dyna m ic i m pedance;relative separati on;dyna m ic p ile -s oil interacti on

收稿日期:2006-01-09.

基金项目:国家自然科学基金资助项目(50378031);中国博士后

科学基金资助项目(20060390806;20060400241);山东科技大学科学发展基金资助项目(05g002).

作者简介:孔德森(1977—),男,博士,博士后;

栾茂田(1962—),男,博士,教授,博士生导师;凌贤长(1963—),男,博士,教授,博士生导师.

桩基础在各种建筑工程中得到了普遍应用.

动荷载作用下,桩基的工作状况与承载机理取决于桩周土的工作性态,因此,在结构动力响应分析

中必须考虑桩-土相互作用的影响[1]

.运用子结构方法对桩-土-结构相互作用体系进行动力分析时遇到的关键问题之一是合理地确定桩基的动力阻抗.

目前的研究一般限于均质土层等比较理想的情况,然而实际中所遇到的场地一般是成层非均质的,在振动中桩侧土将会发生部分的弱化而使其刚度降低,同时桩-土界面在振动中将不一定完全处于理想粘结状态,在横向荷载作用下可能会发生局部的脱开与分离.因此,在桩基动力阻抗

计算中应合理考虑这些因素的影响.

本文同时考虑地基土的层状非均质性、桩-土界面的相对分离效应和桩侧土的弱化效应,研究了水平荷载作用下单桩动力阻抗函数的求解方法,并提出了一种改进的非线性动力W inkler 计算模型,确定了模型中各物理元件的参数,通过对比分析验证了计算模型的合理性,从而为桩-土-上部结构耦合系统的非线性分析奠定了基础.

1　基本假定

水平动力荷载作用下的桩-土相互作用系统

计算模型[2]

见图1,为简化分析,引入假定:1)桩侧地基由一系列相互独立的水平极薄土层组成,即土层内符合平面应变条件.2)在桩长范围内,每层土都由桩周弱化土内域和外围土域两部分组成.内域和外域的土都是均质各向同性的线粘弹性介质,其中弱化土域的土性参数取为常数,其刚度一般比外域土的刚度低,各土层间的力学特性可以是不同的.3)桩是线弹性体,具有圆形截面.4)水平振动时,桩和土仅发生横向位移而忽略竖向位移.5)在外加荷载作用下系统达到了稳态振动

.

图1　单桩水平动力阻抗函数计算模型

2　桩周土的动力反应

当土层处于水平振动状态时,引入平面应变

假设后,根据波动理论[3]

,不计体力时,在圆柱坐标系中外域和内域土的水平运动方程分别为对于外域

(λ3+2G 3)55r (Δe i ωt )-2r G

355

θ(ωz e i ωt

)= ρ52

5t 2(u e i ω

t ).(1)(λ3+2G 3)5r 5θ(Δe i ωt )+2G 355r

(ωz e i ωt

)= ρ52

5t

2(v e i ωt ).(2)对于内域

(λ3

r +2G 3

r )

55r (Δe i ωt )-2r G 3r

55

θ(ωz e i ωt

)=0,(3)(λ3r +2G 3

r )5r 5θ(Δe i ωt )+2G 3r

55r

(ωz e i ωt )=0.(4)式中:

Δ=1r 55r (ru )+1r 5v 5θ,ωz =12r 55r (rv )-5u 5

θ,

(5)

λ3=λ(1+i D v ),　G 3=G (1+i D s ),

λ3r

=λr (1+i D v r ),　G 3

r =G r (1+i D sr ).(6)式中:u 和v 分别为土的径向和切向位移幅值,ω

为激振频率,ρ为土的质量密度,λ与G 、

λr 与G r 分别为外域和内域土的两个Lam e 常数,D v 与D s 以及D vr 与D sr 分别为外域和内域土材料的与体应变和剪切应变有关的粘性阻尼比,下标r 表示弱化区内降低后的有关参数.为了避免在内、外域两种不同的土介质界面上发生波的折射和反射,内域土的质量忽略不计.

将内域、外域土体的位移幅值u 和v 分别用势函数<(r ,θ,t )和ψ(r ,θ,t )表示为

u =5<5r +1r 5ψ5θ,(7)v =1r 5<5

θ-5ψ5r .(8) 将式(7)与式(8)代入方程(1)～(4),得到如下以势函数表达的桩侧内域土和外域土的振动方程.

对于外域

(λ

3

+2G 3

) 2<=-ρω2

<,(9)G 3

2

ψ=-ρω2

ψ.

(10)对于内域

(λ3

r

+2G 3

r ) 2

<=0,(11)G 3

r 2

ψ=0.

(12)

式中:

2

=52

5r 2+1r 55r +1r 252

5

θ2.(13) 利用分离变量法求解方程(9)～(12),可分别得到内域土和外域土的势函数表达式为对于外域

<=[A 1K m (qr )+B 1I m (qr )]

[A 2sin (m θ

)+B 2cos (m θ)],(14)

ψ=[A 3K m (sr )+B 3I m (sr )] [A 4sin (m θ

)+B 4cos (m θ)].(15)对于内域

<=[A 5K m (0)+B 5I m (0)]

[A 6sin (m θ

)+B 6cos (m θ)],(16)

ψ=[A 7K m (0)+B 7I m (0)].?

1221?第8期孔德森,等:单桩水平动力阻抗计算模型研究

[A

8

sin(mθ)+B8co s(mθ)].(17)式中:

q2=

-

ω

v l

2

1+i

[(η2-2)D v+2D s]

η2

,s2=

-(ω/v s)2

1+i D s

式中:I

m

()和K m()分别为第一类和第二类m阶

修正Bessel函数,v

l 和v

s

分别为弹性介质中纵波

和剪切波的传播速度,η为波速比,A

1～A

8

和B

1

～B

8

为待定系数,可以利用无限远处的Sommer2 feld边界条件和土介质内域与外域界面处的应力和位移连续条件确定,即

1)在无穷远处(r→∞),u=0,v=0,σr= 0,τrθ=0;

2)在内域和外域界面处的连续条件为:u= u r,v=v r,σr=σr r,τrθ=τrθr.

根据势函数<(r,θ,t)和ψ(r,θ,t)可求得内域土体和外域土体的水平位移,再根据几何关系和物理方程可以确定内域和外域中的应变与应

力.根据弱化内域的径向应力σ

r 和剪应力τ

rθ

,通

过积分求和可以求得桩周土对桩的横向动反力,其幅值p(z)为

p(z)=-πr0ω

v sr

2

G r∑

∞

n=1

[(1+i D sr)ω2n r-1]?

[A n K1(q n r a0)+B n K1(s n r a0)]sin ω

n

z

v sr

.

(18)

式中:

q2n r=

(1+i D sr)

ω

n r

ω

2

-1

η2

r

+i[(η2r-2)D v r+2D sr]

,

s2n r=(1+i D sr)

ω

n r

ω

2

-1

1+i D sr

,

ω

n r =

(2n-1)πv sr

2H

,(n=1,2,…).

式中:r

0为桩的半径,H为土层厚度即桩长,ω

n r

为

弱化内域土层的自振频率,K

1()为第二类一阶修

正B essel函数,a

=

ωr

v sr

为无量纲频率,η

r

=

v l r

v sr

为

弱化内域土中的纵波和剪切波波速之比,v

l r

=

λ

r

+2G r

ρ

r

和v

sr

=

G r

ρ

r

分别为弱化内域土中的

纵波波速和剪切波波速,A

n

和B

n

为积分常数.

3　单桩的水平振动响应

考虑某一土层i内厚度为dz的桩身薄层微

单元体的动力平衡条件,可以建立单桩的水平振

动方程

E P I P

54u P i(z,t)

5z4+

m P

52u P i(z,t)

5t2=-p(z,t).(19)

式中:u

P i

(z,t)为土层i中深度为z处的桩身水平

位移,E

P

,I P和m P分别为桩体的弹性模量、转动

惯性矩和单位桩长的质量,p(z,t)为桩周土对桩

的动反力,其幅值为p(z).

对于稳态振动,桩身水平位移可表示为

u P i(z,t)=U P i e iωt,同时考虑式(18)给出的桩周

土反力,利用分离变量法可得到单桩振动方程

(19)的解为

U P i=C i eλz sinλz+D i eλz co sλz+E i e-λz sinλz+

F i e-λz cosλz+∑

∞

n=1

a n sin

ω

n

z

v sr

.(20)

式中:λ=(mω2/E

P

I P)

1

4,a n是由式(18)给定的一

个常数,C

i

,D i,E i和F i为积分系数,由桩顶和桩尖

的边界条件和土层交界面处的连续条件确定.

考虑层间的连续条件,即在土层i和土层i+

1的交界面处,桩身的横向位移、转角、弯矩和剪

力都是连续的,由此可得到相邻两层的待定系数

之间的递推关系

{X i+1}=[T i+1(z i)]-1[T i(z i)]{X i}.(21)

式中:{X

i

}=A

i

B i

C i

D i T,为第i层内的待

定系数向量,T

i

(z

i

)为层间特性系数递推矩阵,且

T i(z i)=

t i1t i2t i3t i4

λ

i

(t

i1

-t i2)λi(t i1+t i2)-λi(t i3+t i4)λi(t i3-t i4) -2λ2i t i22λ2i t i12λ2i t i4-2λ2i t i3

-2λ3i(t i1+t i2)2λ3i(t i1-t i2)2λ3i(t i3-t i4)2λ3i(t i3+t i4)

.

式中:t

i1

=eλi z i co sλi z i,t i2=eλi z i sinλi z i,

t

i3

=e-λi z i co sλi z i,t i4=e-λi z i sinλi z i.

根据递推关系式(21),可以求得顶层与底层

待定系数向量{X

1}和{X n}之间的相互关系,与

桩顶的受力条件和桩端的约束条件联立,求解可

得到顶层待定参数向量{X

1

},然后再利用式(21)

就可以求解出各层的待定系数向量{X

i

},进而可

以确定桩身的横向位移分布u

P i

(z,t)=U

P i

e iωt.

?

2

2

2

1

?哈　尔　滨　工　业　大　学　学　报 第39卷　

4　单桩水平动力阻抗的计算

在桩顶水平动荷载作用下桩发生横向振动时,桩-土界面上将产生辐射应力,当辐射应力超过桩和土之间界面的粘结强度时,桩体在与承载侧土体挤压的同时而与后侧土体发生分离,桩-土界面的变形和应力将不再连续.

为了反映这一复杂的物理现象,下面采用混合边值问题计算理论[4]

求解单桩的水平动力阻抗函数.

假定在时刻t,桩沿x 轴方向的水平位移为

u P (z,t )=U P e i ωt

,桩与土的接触区为右半圆周

AB ,记为域Ω,如图2所示,作用在域Ω内任一点

处的应力为

σ(θ,t )=σ(θ)e -i ωt ,　τ(θ,t

)=τ(θ

)e -i ωt

.(22)桩-土接触面处的混合边界条件为在接触区Ω内

u r

r =r 0

=u (t )cos θ,u θ

r =r 0

=-u (t )sin θ.

(23)

在接触区Ω外

σrr

r =r 0

=0,σr

θr =r 0

=0.(24)

图2　桩-土水平动力相互作用的辐射应力

考虑到径向辐射正应力σ(θ)与剪应力τ(θ

)分别为极角θ的偶函数和奇函数,因此可分别用下列级数表达式给出,即

σ(θ)=

∑∞

c m

cos m θ

,τ(θ)=

∑∞

d

m

sin m θ.(25)

式中:c m 和d m 为待定系数,可由混合边界条件确定.从而可以确定接触面上沿x 方向的合力为

S P (z )=r 0∫π

2

-π2σ(θ)cos θd θ-

r 0

∫π2

-π2

τ(θ)sin θd θ

.(26)

经积分化简可求得桩侧土的水平方向的抗力S P (z ),从而可求得单桩的水平动力阻抗函数为

K h =

S p U p

=G r (k h +ic h ).

(27)

式中:k h 与c h 分别为单桩无量纲水平动刚度与阻

尼,其表达式为

k h =∑∞

m =0

(c m r

γ

m

+d m r δm ),c h =

∑∞

m =0

(c m i

γ

m

+d m i δm ).

式中:

c m r =Re r 0G r U p c m ,　c m i =I m r 0G r U p

c m ,

d m r =Re

r 0G r U p

d m ,　d m i =I

m r 0G r U p

d m ,

γm =1

m +1sin m +12π+1

m -1sin m -12π,δm

=1

m +1sin m +12π-1

m -1sin m -12π.

5　单桩水平动力阻抗的简化计算模型

当在时域上对桩-土-结构相互作用系统进

行非线性分析时,由于桩基与上部结构之间的相互作用力表现为动力阻抗与相应的有效输入激励之卷积的形式,因此,采用与频率有关的动力阻抗进行桩-土-结构相互作用的逐步积分计算就变得十分复杂和困难,解决这一问题的有效途径是对桩基阻抗建立某种简化力学模型,即动力W in 2kler 模型,使其既能反映动力阻抗的频率相关性,又能使桩-土-结构耦合系统的动力响应时域分析得以有效的实施.

基于以上桩基动力阻抗的计算方法和现有的动力W inkler 计算模型的研究成果,本文提出了一种能较全面地描述桩基动力阻抗随激振频率变化特征的改进非线性动力W inkler 模型,见图3.

该模型分为内域和外域两部分,内域由频率无关

图3　改进的动力W inkler 模型示意图

?

3221?第8期孔德森,等:单桩水平动力阻抗计算模型研究

的弹簧、阻尼器和滑动元件组成,可以模拟桩周弱

化土域的变形非线性和桩-土界面的相对分离效应,外域采用经典的Noga m i 动力W inkler 模型中的远场模型部分,用以模拟远场土域的变形和动力阻抗效应.上部结构离散为集中质量系,地基土的质量分别用内域和外域的集中质量元件表示.滑动元件用来模拟桩-土接触界面的相对分离现象,且忽略水平振动与摇摆振动之间的耦联效应.

k 1=k 2=2

πF (v sr )G sr /ln R 0

r 0-η

01-η0

,k 3=31518F (v s )G s ,　k 4=31581F (v s )G s ,

k 5

=51529F (v s )G s ,　c 1=1761259

F (v sr )

G sr r 0

v sr ,c 2=1131097F (v s )G s r 0

v s ,c 3=251133

F (v s )

G s r 0

v s

,

c 4=91362

F (v s )

G s r 0

v s

.

式中:G s r 和G s 分别为内域和外域土的剪切模量,

v sr 和v s 分别为内域和外域土的剪切波速,r 0和R 0分别为桩的半径和桩轴到弱化土内域外边界的距

离,η0=τ0

τu ,τ0为桩表面的应力,τu 为桩表面的粘结强度,F (v s )是一个关于泊松比的函数,其值随泊松比的变化列于表1.

表1　函数F (v s )的值

v s

F (v s )

v s

F (v s )

0.50 2.0000.40 1.5800.49 1.9400.365 1.4760.48 1.8830.25 1.351

0.47 1.8310.20 1.3110.46 1.7840.10 1.2520.45

1.741

0.00

1.213

6　单桩水平动力阻抗的对比分析

为了验证本文提出的单桩水平动力阻抗的计

算方法与改进的非线性动力W inkler 模型的合理

性,选用某试验桩作为算例[5,6]

进行对比分析.试验桩桩长为16m ,截面为圆形,桩直径为018m ,桩的弹性模量为E P =25000MPa,质量密度为ρ

P

=215t/m 3

.土介质是层状分布的,考虑桩周土

的弱化效应,弱化土内域和外域各土层的特性参数参见文献[1].

对于算例给定的条件,分别运用本文提出的简化解析方法和改进的非线性动力W inkler 模型进行了计算,得到的单桩水平动力阻抗随激振频率的变化关系如图4所示,由图可见,利用动力W inkler 模型计算得到的单桩水平动力阻抗能较好地逼近简化解析方法计算得到的结果,从而验证了本文提出的简化解析方法和改进的非线性动力W inkler 模型的合理性.

图4　单桩水平动力阻抗的对比

7　结　语

通过对比分析验证了计算模型的合理性,从

而为桩-土-上部结构耦合系统的非线性分析奠定了基础.

参考文献:

[1]　NOVAK M ,NOG AM I T .S oil -p ile interacti on in hor 2

izontal vibrati on [J ].

Earthquake Engineering and

Structural Dyna m ics,1977,5(5):263-281.[2]　孔德森,栾茂田.考虑桩土相对分离效应的单桩水

平动力阻抗计算方法[C ]//现代土木工程理论与实践.南京:河海大学出版社,2003.

[3]　N I E LSE N M T .Resistance of a s oil layer t o horizontal

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[5]　雷文军,魏德敏.分层土中单桩和群桩的水平动力

阻抗计算[J ].工程力学,2004,21(5):36-40.

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ment t o si m ulate the p ile -s oil ’s reci p r ocity [J ].Rock and SoilMechanics,2005,27(1):127-130.

(编辑　姚向红)

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