1
4arccos()arccos(2
2
-<-x x x
∴???
?
?
?
???
->-≤-≤-≤-≤-41414141112
222x x x x x x 解不等式组得6121<<-x ∴不等式的解集为)61,21(-
简单的三角方程
例1.写出下列三角方程的解集 (1)2
sin()8
2
x π
-
=
; (2)2cos310x +=; (3)cot 3x =
解集{x|x=(k π+arctg3)2,k ∈Z}
例2.求方程tan(3)34
x π
+
=在[]0,2π上的解集.
说明 如何求在指定区间上的解集?(1)先求出通解,(2)让k 取适当的整数,一一求出在指定区间上的特解,(3)写指定区间上的解.
例3.解方程2
2sin 3cos 10x x ++= 解:方程化为22cos 3cos 30x x --=
说明 可化为关于某一三角函数的二次方程,然后按二次方程解. 例4. 解方程①3sin 2cos 0x x -= ②2
2
2sin 3sin cos 2cos 0x x x x --=
②除以cos 2x 化为2tg 2x-3tgx-2=0.
说明 关于sinx ,cosx 的齐次方程的解法:方程两边都除cos n x(n=1,2,3,…)(∵cosx=0不是方程的解),转化为关于tgx 的方程来解.
例5.解方程:(1)3sin 2cos21x x -= (2)5sin 312cos3 6.5x x -= 思考:引入辅助角,化为最简单的三角方程
2x-30°=k180°+(-1)k 30°
∴x=k90°+(-1)k15°+15°(k ∈Z)所以解集是 {x|x=k90°+(-1)k15°+15°,k ∈Z}
于是x=k60°+(-1)k 10°+22°38′,(k ∈Z)
∴原方程的解集为{x|x=k60°(-1)k 10°+22°38′,k ∈Z}
最简单的三角方程.
例6.解方程2
2sin 3cos 0x x +=.
解 原方程可化为 2
2(1c o s )
3c o s 0
x x -+=, 即 2
2cos 3cos 20x x --=.
解这个关于cos x 的二次方程,得
cos 2x =,1
cos 2
x =-.
由cos 2x =,得解集为φ;
由1cos 2x =-
,得解集为22,3x x k k Z ππ??=±∈????
. 所以原方程的解集为22,3x x k k Z ππ??
=±
∈????
. [说明]方程中的2sin x 可化为21cos x -,这样原方程便可看成以cos x 为未知数的一元二次方程,当0?≥时,可用因式分解将原方程转化成两个最简方程,从而求得它们的解. 例7.解方程:tan()tan()2cot 44
x x x π
π
++-=
解:tg(x +
4π)+tg(x -4
π
)=2ctg x ………① ∴ x x tg 1tg 1-++x x tg 1tg 1+-=x tg 2………②,
去分母整理得tg 2x =
31
, tg x =±33, ∴ x =k π±6
π, k ∈Z ,
由①根据定义知x +4π≠k π+2π, x -4π≠k π+2
π
, x ≠k π, k ∈Z ,
即 x ≠k π+4π, x ≠k π+43π, x ≠k π, 而②中又增加了限制条件x =k π+2
π
, k ∈Z ,
即从①到②有可能丢根,x =k π+2π, 经验算x =k π+2π
是原方程的根,
∴ 原方程的解集是{x | x = x =k π±6π或x =k π+2
π
, k ∈Z }
例8.已知方程sin 3cos 0x x a ++=在区间[]0,2π上有且只有两个不同的解,求实数a 的取值范围。 解:由sin x +3cos x +a =0得2sin(x +3π)=-a , sin(x +3π)=-2
a
, -2≤a ≤2 ∵ x ∈[0, 2π], ∴ x +
3π∈[3π, 2π+3
π
], 又原方程有且只有两个不同的解,∴ a ≠2, a ≠-2, 即|a |=2时,原方程只有一解; 又当a =-3时,sin(x +3π)=23,得x +3π=3
π或32π或37π
,
解得x =0或x =
3
π
或x =2π,此时原方程有三个解,∴ a ∈(-2, -3)∪(-3, 2). 【拓展提高】
例1.若方程cos 22sin 10x x m -+-=存在实数解,求m 的取值范围.
解一 由原方程,得 2
2sin 2sin 0x x m +-=,
即 2
sin sin 02
m
x x +-
= 解这个以sin x 为未知数的一元二次方程,因为1sin 1x -≤≤
要使方程有解,只需14()02
110
2
m m ?
?=-?-≥????+-≥??
解得1
42
m -
≤≤. 所以m 的取值范围为1,42??
-
????
. [说明] 有关三角方程的实数解问题,不仅要考虑以sin x 为
未知数的一元二次方程的0?≥,而且必须考虑sin x 的值在
[]1,1-内.
解二 由原方程得 2
2sin 2sin 0x x m +-=,
得22
112sin 2sin 2(sin )22
m x x x =+=+-
因为1sin 1x -≤≤,所以1
42
m -≤≤. 所以m 的取值范围为1,42??
-
????
. [说明] 当方程sin (x t t =为常数)有解时,必须满足1t ≤,
则原题就转化为求[]2
11
2(),1,122
m t t =+-
∈-的最大值、最小值问题. 例2.求方程sin 2cos()x x π=-的解集. 解一 由原方程得2sin cos cos x x x ?=-, 得 cos 0x =,1sin 2
x =-
. 由cos 0x =,得解集为,2x x k k Z π
π??=+
∈???
?
; 由1sin 2x =-
,得解集为(1),6K x x k k Z ππ??=--∈????
.
所以原方程的解集为(1),2
6K
x x k x k k Z π
π
ππ??
=+
=--∈???
?
或.
解二 由原方程得sin 2cos x x =-, 即3sin 2sin()2
x x π
=+ 得3222x k x ππ=+
+或322()2x k x π
ππ=+-+, 即322x k ππ=+或236
k x ππ
=
-,k Z ∈. 所以原方程的解集为322,236k x x k x k Z ππππ??
=+
=-∈????
或. 解三 由原方程得sin 2cos x x =-, 即cos(2)cos 2
x x π
+= 得222
x k x π
π+
=+或222
x k x π
π+
=-,
即22
x k π
π=-
或236
k x ππ
=
-,k Z ∈. 所以原方程的解集为22,2
36k x x k x k Z π
πππ??
=-
=
-∈???
?
或. [说明] 由于转化方法的不同,所得解集的表达形式不同,通过验证这些解集是相等的集合.对于两个相等
的同名三角函数所组成的三角方程,可直接利用以下关系得到方程的解. (1)sin sin αβ=,则2k απβ=+或2,k k Z αππβ=+-∈; (2)cos cos αβ=,则2k απβ=+或2,k k Z απβ=-∈; (3)tan tan αβ=,则,k k Z απβ=+∈.
【巩固练习】
反三角函数
1.3arctan(tan
)5
π
的值是 ( C ) A.35π- B. 25π C.25
π- D.35π
2.下列关系式中正确的是 ( C ) A. 55cos cos 44arc ππ??
??-
=- ???
????
B. sin arcsin 33ππ??= ???
C. cos cos
cos cos 44arc arc ππ?
?
?
?= ? ??
??
? D.1tan(2)cot()2arc arc -=-
3.函数()arcsin(tan )f x x =的定义域是 ( B ) A.,44ππ??
-
????
B.(),44k k k Z ππππ??-+∈????
C.(),(1)44k k k Z π
πππ??+
+-∈???
? D.()2,244k k k Z ππππ?
?-+∈???
? 4.在31,2
??-???
?
上和函数y x =相同的函数是 ( B )
A.arccos(cos )y x =
B.arcsin(sin )y x =
C.sin(arcsin )y x =
D.cos(arccos )y x = 5.函数arctan 2
x
y π=+的反函数是 . 6.求sin y x =在3,22ππ??
????
上的反函数.
7.比较5arccos 4??
-
? ???
与1cot()2arc -的大小. 51arccos cot()42arc ??->- ? ???
8.研究函数()
2
arccos y x x =-的定义域、值域及单调性.
9.计算:45cos arccos
arccos 513????-- ???????
10.求下列函数的定义域和值域: (1) y =arccos
x
1; (2) y =arcsin(-x 2+x ); (3) y =arccot(2x -1),
解:(1) y =arccos
x
1, 0<
x
1≤1, ∴ x ≥1, y ∈[0,
2
π).
(2) y =arcsin(-x 2+x ), -1≤-x 2+x ≤1, ∴
251-≤x ≤2
5
1+, 由于-x 2+1=-(x -21
)2+41, ∴ -1≤-x 2+x ≤41, ∴ -2
π≤y ≤arcsin 41.
(3) y =arccot(2x -1), 由于2x -1>-1, ∴ 0< arccot(2x -1)<43π, ∴ x ∈R , y ∈(0, 4
3π
).
11.求函数y =(arccos x )2-3arccos x 的最值及相应的x 的值。
解:函数y =(arccos x )2-3arccos x , x ∈[-1, 1], arccos x ∈[0, π]
设arccos x =t , 0≤t ≤π, ∴ y =t 2-3t =(t -
23)2-4
9, ∴ 当t =23时,即x =cos 23时, 函数取得最小值-4
9
,
当t =
π时,即x =-1时,函数取得最大值π2-3π.
简单的三角方程 1.解下列方程.
(1)2
tan 1x = (2)sin 5sin 3x x =
(2)5x=2k π+3x 或5x=2k π+π-3x
x k π∴=或21
8
k x π+=
()k Z ∈
2.方程sin2x =sin x 在区间(0, 2π)内的解的个数是 3个 .
解:作出函数y =sin2x 和y =sin x 的图象,由图象知,它们的交点有3个。
3.(1) 方程tan3x =tg x 的解集是{x | x =k π, k ∈Z }.
(2) 方程sin x +cos x =
2
2
在区间[0, 4π]上的所有的解的和是 9π . 解:(1) ∵tan3x =tan x , ∴ 3x =x +k π, x =2πk , 由于定义域为3x ≠k π+2π, x ≠k π+2
π
,
∴ 原方程的解集为{x | x =k π, k ∈Z }.
(2) ∵sin x +cos x =
22, ∴ sin(x +4π)=21
, x +4π=2k π+6π或x +4π=2k π+6
5π, ∴ x =2k π-12
π
或x =2k π+127π, k ∈Z , 又x ∈[0, 4π], ∴所有的的解为127π, 2π+127π,
2π-12π, 4π-12
π, 它们的和为9π.
x
y
O
|D
2|D
4.解方程2223
sin sin cos cos 03
x x x x -
-=. 解一 因为cos 0x ≠(使cos 0x =的x 的值不可能满足原方程),所以在方程的两边同除以2cos x ,得 223
tan tan 103
x x -
-=. 解关于tan x 的二次方程,得
tan 3x =,3tan 3
x =-
. 由tan 3x =,得解集为,3x x k k Z π
π??=+
∈???
?
; 由3
tan 3x =-
,得解集为,6x x k k Z ππ??=-∈????
. 所以原方程的解集为,,3
6x x k x k k Z π
π
ππ??
=+
=-
∈???
?
或. [说明]若方程的每一项关于sin cos x x 及的次数都是相同的(本题都是二次),那么这样的方程叫做关于
sin cos x x 及的齐次方程.它的解法一般是,先化为只含有未知数的正切函数的三角方程,然后求解.
解二 降次得
1c o s 231c o s 2
s i n 20232x x x -+--=, 化简得
3
s i n 2c o s 20
3
x x +=. 因为cos 20x ≠(使cos 20x =的x 的值不可能满足原方程),所以在方程的两边同除以cos 2x ,得
t a n23x =-.
由tan 23x =-,得 2,3
x k k Z π
π=-∈,即,26
k x k Z ππ
=
-∈. 所以原方程的解集为,26k x x k Z ππ??=
-∈????
. [说明]由于转化方法的不同,所得解集的表达形式不同,但当k 是偶数2n 时,26k ππ-变成n 6
π
π-;当k 是奇数2n+1时,
26k ππ-变成n 3
π
π+,所以实质上,,36x x k x k k Z ππππ??
=+=-∈????
或与
,26k x x k Z ππ??=-∈????
是相等的集合.
解三 降次得
1c o s 231c o s 2s i n 20232x x x -+--=, 化简得 3
s i n 2c o s 20
3
x x +=, 即 sin(2)03
x π
+
=,得 2,3
x k k Z π
π+
=∈,即,26
k x k Z ππ
=
-∈. 所以原方程的解集为,26k x x k Z ππ??=
-∈????
.
三角函数,反三角函数公式大全
三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1 cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A = A tan 12tanA 2 - Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π -a) 半角公式 sin( 2A )=2cos 1A - cos(2A )=2cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2 A )= A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2b a - cosa+cos b = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgB=sin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgB=sin(A+B)/sinAsinB 积化和差 sinasinb = - 21[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 2 1 [cos(a+b)+cos(a-b)]
三角和反三角函数图像
三角、反三角函数图像 六个三角函数值在每个象限的符号: sinα·cscα cosα·secα tanα·cotα 三角函数的图像和性质: 1-1y=sinx -3π2 -5π2 -7π2 7π2 5π 2 3π2 π2 -π2 -4π-3π -2π4π 3π 2ππ -π o y x 1-1y=cosx -3π 2 -5π2 -7π 2 7π2 5π2 3π2 π2 -π2 -4π-3π-2π4π 3π 2π π -π o y x y=tanx 3π2 π π2 - 3π2 -π - π2 o y x y=cotx 3π2 π π2 2π -π - π2 o y x
函数 y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx 定义域R R {x|x∈R且x≠kπ+ 2 π ,k∈Z} {x|x∈R且x≠kπ,k∈Z}值域 [-1,1]x=2kπ+ 2 π 时y max=1 x=2kπ- 2 π 时y min=-1 [-1,1] x=2kπ时y max=1 x=2kπ+π时y min=-1 R 无最大值 无最小值 R 无最大值 无最小值 周期性周期为2π周期为2π周期为π周期为π 奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数 单调性 在[2kπ- 2 π ,2kπ+ 2 π ]上都是增函数;在 [2kπ+ 2 π ,2kπ+ 3 2 π]上都是减函数(k∈Z) 在[2kπ-π,2kπ]上都是增函数; 在[2kπ,2kπ+π]上都是减函 数(k∈Z) 在(kπ- 2 π ,kπ+ 2 π )内都是增函数 (k∈Z) 在(kπ,kπ+π)内都是减函数 (k∈Z)
反三角函数
第二章 三角、反三角函数 一、考纲要求 1.理解任意角的概念、弧度的意义,能正确进行弧度和角度的互换。 2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义,了解余切、正割、余割的定义,掌握同角三角函数的基本关系式,掌握正弦、余弦的诱导公式,理解周期函数与最小正周期的意义。 3.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式,掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。 4.能正确运用三角公式,进行简单三角函数式的化简,求值和恒等式的证明。 5.了解正弦函数、余弦函数,正切函数的图像和性质,会用“五点法”画正弦函数,余弦函数和函数y=Asin(wx+?)的简图,理解A 、w 、?的物理意义。 6.会由已知三角函数值求角,并会用符号arcsinx 、arccosx 、arctgx 表示。 7.掌握正弦定理、余弦定理,并能初步运用它们解斜三角形,能利用计算器解决三角形的计算问题。 8.理解反三角函数的概念,能由反三角函数的图像得出反三角函数的性质,能运用反三角函数的定义、性质解决一些简单问题。 9.能够熟练地写出最简单的三角方程的解集。 二、知识结构 1.角的概念的推广: (1)定义:一条射线OA 由原来的位置OA ,绕着它的端点O 按一定方向旋转到另一位置OB ,就形成了角α。其中射线OA 叫角α的始边,射线OB 叫角α的终边,O 叫角α的顶点。 (2)正角、零角、负角:由始边的旋转方向而定。 (3)象限角:由角的终边所在位置确定。 第一象限角:2k π<α<2k π+2 π ,k ∈Z 第二象限角:2k π+ 2 π <α<2k π+π,k ∈Z 第三象限角:2k π+π<α<2k π+2 3π ,k ∈Z 第四象限角:2k π+2 3π <α<2k π+2π,k ∈Z (4)终边相同的角:一般地,所有与α角终边相同的角,连同α角在内(而且只有这样的角),可以表示为k 2360°+α,k ∈Z 。 (5)特殊角的集合: 终边在坐标轴上的角的集合{α|α= 2 π k ,k ∈Z } 终边在一、三象限角平分线上角的集合{α|α=k π+4π ,k ∈Z } 终边在二、四象限角平分线上角的集合{α|α=k π-4π ,k ∈Z } 终边在四个象限角平分线上角的集合{α|α=k π-4 π ,k ∈Z } 2.弧度制: (1)定义:用“弧度”做单位来度量角的制度,叫做弧度制。 (2)角度与弧度的互化: 1°= 180 π 弧度,1弧度=( π 180 )° (3)两个公式:(R 为圆弧半径,α为圆心角弧度数)。 弧长公式:l=|α|R
三角和反三角函数图像
三角和反三角函数图像 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020
三角、反三角函数图像 六个三角函数值在每个象限的符号: sinα·cscα cosα·secα tanα·cotα 三角函数的图像和性质: 1-1y=sinx -3π2 -5π2 -7π2 7π2 5π 2 3π2 π2 -π2 -4π-3π -2π4π 3π 2ππ -π o y x 1-1y=cosx -3π 2 -5π2 -7π 2 7π2 5π2 3π2 π2 -π2 -4π-3π-2π4π 3π 2π π -π o y x y=tanx 3π2 π π2 - 3π2 -π - π2 o y x y=cotx 3π2 π π2 2π -π - π2 o y x
函数 y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx 定义域 R R {x |x ∈R 且x≠kπ+ 2 π ,k ∈Z } {x |x ∈R 且x≠kπ,k ∈Z } 值域 [-1,1]x=2kπ+ 2 π 时y max =1 x=2kπ- 2 π 时y min =-1 [-1,1] x=2kπ时y max =1 x=2kπ+π时y min =-1 R 无最大值 无最小值 R 无最大值 无最小值 周期性 周期为2π 周期为2π 周期为π 周期为π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 单调性 在[2kπ- 2π,2kπ+2 π ]上都是增函数;在[2kπ+2 π ,2kπ+32π]上都是减函数(k ∈Z) 在[2kπ-π,2kπ]上都是增函数;在[2kπ,2kπ+π]上都是减函数(k ∈Z) 在(kπ- 2π,kπ+2 π )内都是增函数(k ∈Z) 在(kπ,kπ+π)内都是减函数(k ∈Z)
三角及反三角函数
三角、反三角函数 一、考纲要求 1.理解任意角的概念、弧度的意义,能正确进行弧度和角度的互换。 2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义,了解余切、正割、余割的定义,掌握同角三角函数的基本关系式,掌握正弦、余弦的诱导公式,理解周期函数与最小正周期的意义。 3.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式,掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。 4.能正确运用三角公式,进行简单三角函数式的化简,求值和恒等式的证明。 5.了解正弦函数、余弦函数,正切函数的图像和性质,会用“五点法”画正弦函数,余弦函数和函数y=Asin(wx+?)的简图,理解A 、w 、?的物理意义。 6.会由已知三角函数值求角,并会用符号arcsinx 、arccosx 、arcotx 表示。 7.掌握正弦定理、余弦定理,并能初步运用它们解斜三角形,能利用计算器解决三角形的计算问题。 8.理解反三角函数的概念,能由反三角函数的图像得出反三角函数的性质,能运用反三角函数的定义、性质解决一些简单问题。 9.能够熟练地写出最简单的三角方程的解集。 二、知识结构 1.角的概念的推广: (1)定义:一条射线OA 由原来的位置OA ,绕着它的端点O 按一定方向旋转到另一位置OB ,就形成了角α。其中射线OA 叫角α的始边,射线OB 叫角α的终边,O 叫角α的顶点。 (2)正角、零角、负角:由始边的旋转方向而定。 (3)象限角:由角的终边所在位置确定。 第一象限角:2k π<α<2k π+2 π ,k ∈Z 第二象限角:2k π+ 2 π <α<2k π+π,k ∈Z 第三象限角:2k π+π<α<2k π+2 3π ,k ∈Z 第四象限角:2k π+2 3π <α<2k π+2π,k ∈Z (4)终边相同的角:一般地,所有与α角终边相同的角,连同α角在内(而且只有这样的角),可以表示为k 2360°+α,k ∈Z 。 (5)特殊角的集合: 终边在坐标轴上的角的集合{α|α= 2 π k ,k ∈Z } 终边在一、三象限角平分线上角的集合{α|α=k π+4π ,k ∈Z } 终边在二、四象限角平分线上角的集合{α|α=k π-4π ,k ∈Z } 终边在四个象限角平分线上角的集合{α|α=k π-4 π ,k ∈Z } 2.弧度制: (1)定义:用“弧度”做单位来度量角的制度,叫做弧度制。 (2)角度与弧度的互化:
常用反三角函数公式表
反三角函数公式
反三角函数图像与特征 1 :
反三角函数的定义域与主值范围 式中n为任意整数.
反三角函数的相互关系 sin x = x-x3/3!+x5/5!-...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+... (-∞= -1 And x < -0.5 Then ArcSin = -Atn(Sqr(1 - x * x) / x) - 2 * Atn(1) If x >= -0.5 And x <= 0.5 Then ArcSin = Atn(x / Sqr(1 - x * x))
If x > 0.5 And x <= 1 Then ArcSin = -Atn(Sqr(1 - x * x) / x) + 2 * Atn(1) End Function ArcCos(x) 函数 功能:返回一个指定数的反余弦值,以弧度表示,返回类型为Double。 语法:ArcCos(x)。 说明:其中,x的取值范围为[-1,1],x的数据类型为Double。 程序代码: Function ArcCos(x As Double) As Double If x >= -1 And x < -0.5 Then ArcCos = Atn(Sqr(1 - x *x) / x) + 4 * Atn(1) If x >= -0.5 And x <= 0.5 Then ArcCos = -Atn(x/ Sqr(1 - x * x)) + 2 * Atn(1) If x> 0.5 And x <= 1 Then ArcCos = Atn(Sqr(1 - x*x) / x) End Function
.反三角函数例题
§6.4.1 反三角函数(1)——反正弦函数 [教学过程] 一.反正弦函数的引入 1.回忆 sin y x =的图像及反函数的条件,可知sin ,y x x =∈R 不存在反函数 2.若,22x ππ??∈-????,则sin y x =是单调函数,,x y 一一对应,故在,22x ππ?? ∈-???? 上sin y x =存在反函数 3.定义 ()sin ,,22f x x x ππ?? =∈-???? ,其反函数()1arcsin f x x -=,称为反正弦函数 二.反正弦函数的图像 反函数的图像与原函数的图像关于y x =对称,即x 改y ,y 改x 三.根据解析式与图像研究反正弦函数的性质 sin ,,22y x x ππ?? =∈-???? []arcsin ,1,1y x x =∈- 1.值域 []1,1y ∈- ,22y ππ??∈-???? 2.奇偶性 奇函数(过原点) 奇函数(过原点) 3.单调性 增函数 增函数 4.周期性 非周期函数 非周期函数 5.()11arcsin sin arcsin 2 2 x x x x π π -≤≤?-≤≤ ?= 6.()1sin 1arcsin sin 2 2 x x x x π π -≤≤ ?-≤≤?= arcsin 是反正弦的 符号,是一个整体 数形结合,从图像上看反正弦函数的性 质 ()()1 f f x x x A -??=∈??()()1f f x x x D -=∈????
三.例题与练习 例1 求值: (1);(2)()arcsin 1- ;(3)arcsin ? ?? (4)()arcsin 0.5;(5)arcsin0;(6)()arcsin 0.72-≈; (7)arcsin sin 9π?? ???;(8)5arcsin sin 6π?? ?? ? ; (8)()arcsin sin 3.49π 例2 用反正弦函数表示下列各式的: (1)sin x =,22x ππ?? ∈-???? (ii)[]0,2x π∈ (2)1sin 4x =-, (i),22x ππ?? ∈-???? (ii)[]0,2x π∈ (3)sin x =,22x ππ?? ∈-???? (ii)[]0,2x π∈ 例3 求下列函数的定义域和值域: (1)()3arcsin 21y x =- ;(2)6 y π =+ y =-. 四.布置作业 注意的不同范围 ()arcsin y f x =???? ()f x 定义域为A , 由()11f x -≤≤得 B ,则D A B = x x
三角函数和反三角函数图像性质知识点总结
三角函数 1. 特殊锐角(0°,30°,45°,60°,90°)的三角函数值 2. 角度制与弧度制 设扇形的弧长为l ,圆心角为a (rad ),半径为R ,面积为S 角a 的弧度数公式 2π×(a /360°) 角度与弧度的换算 ①360°=2π rad ②1°=π/180rad ③1 rad=180°/π=57° 18′≈57.3° 弧长公式 l a R = 扇形的面积公式 12 s lR = 3. 诱导公式:(奇变偶不变,符号看象限) 所谓奇偶指是整数k 的奇偶性(k ·π/2+a ) 所谓符号看象限是看原函数的象限(将a 看做锐角,k ·π/2+a 之和所在象限) 注: ①:诱导公式应用原则:负化正、大化小,化到锐角为终了
4. 三角函数的图像和性质:(其中z k ∈) ①: 三角函数 x y sin = x y cos = x y tan = cot y x = 函 数 图 象 定义域 R R 2 x k π π≠+ x k π ≠ 值域 [-1,1] [-1,1] R R 周期 2π 2π π π 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 单 调 性 2,222k k ππππ? ?-+↑????2,222k k ππππ??-+↑???? []2,2k k πππ-↑ []2,2k k πππ+↓ ,22k k ππππ? ?-+↑???? [],k k πππ+↓ 对 称 性 :2 x k π π=+ 对称轴 对称中心:(,0)k π :x k π =对称轴 : 对称中心(+ ,0) 2k π π : 对称中心( ,0)2 k π 零值点 πk x = 2 π π+ =k x πk x = 2 π π+ =k x 最 值 点 2 π π+ =k x ,1max =y 2 π π- =k x ,1min -=y πk x 2=,1max =y ; 2y k ππ=+,1min -=y
三角函数与反三角函数图像性质、知识点总结
三角函数 1.特殊锐角( 0°, 30°, 45°, 60°, 90°)的三角函数值 2.角度制与弧度制 设扇形的弧长为l ,圆心角为 a (rad ), 半径为 R,面积为 S 角a 的弧度数公式2π×(a /360 °) ①360°=2π rad 角度与弧度的换算②1°=π/180rad ③1 rad= 180°/π=57° 18′≈ 57.3 ° 弧长公式l a R 扇形的面积公式s1lR 2 3.诱导公式:(奇变偶不变,符号看象限)所谓 奇偶指是整数 k 的奇偶性( k· /2+ a) 所谓符号看象限是看原函数的象限(将a 看做锐角, k· /2+ a 之和所在象限)注: ①:诱导公式应用原则:负化正、大化小,化到锐角为终了 学习指导参考
4. 三角函数的图像和性质: (其中 k z ) ①: 三角 函数 函 数 图 象 定义域 值域 周期 奇偶性 单 调 性 对 称 y sin x R [-1,1] 2 奇 2k , 2k 2 2 2k , 2k 2 2 对称轴 : x k 2 y cosx R [-1,1] 2 偶 2k ,2 k 2k ,2 k 对称轴 : x k y tanx y cotx x k x k 2 R R 奇 非奇非偶 k , k k , k 2 2 对称中心: ( k 2 , 0) 性 对称中心 : ( k , 0) 对称中心 : ( k + 2 , 0) 零值点 x k x k 2 最 x k , y max 1 x 2k , y max 1 ; 2 值 x k , y min 1 y 2k , y min 1 x k x 2 k
反三角函数公式(完整)
反三角函数 分类 反正弦 反余弦 余弦函数x y cos =在]0[π,上的反函数,叫做反余弦函数。记作x cos arc ,表示一个 余弦值为x 的角,该角的范围在]0[π,区间内。定义域]11[, - , 值域]0[π,。 反正切 反余切 余切函数y=cot x 在)0(π,上的反函数,叫做反余切函数。记作x arc cot ,表示一个余切值为x 的角,该角的范围在)0(π,区间内。定义域R ,值域)0(π,。
反正割 反余割 运算公式 余角关系 2 arccos sin arc π = +x x 2 cot tan arc π =+x arc x 2 csc ec a π = +x arc x rcs 负数关系 x x sin arc )sin(arc -=- x x rc arccos )cos(a -=-π x x tan arc )tan(arc -=- x rc x c cot a )(ot arc -=-π
x rc x sec a )(arcsec -=-π x arc x c sec )(sc arc -=- 倒数关系 x arc x csc )1 arcsin(= x arc x sec )1 arccos(= x arc x arc x cot 2cot )1arctan(-==π x x x arc arctan 23arctan )1cot(-=+=ππ x x arc arccos )1 sec(= x x arc arcsin )1 csc(= 三角函数关系
加减法公式 1. ) 10,0()11arcsin(arcsin arcsin ) 10,0()11arcsin(arcsin arcsin ) 10()11arcsin(arcsin arcsin 22222 2 222222>+<<-+---=+>+>>-+--=+≤+≤-+-=+y x y x x y y x y x y x y x x y y x y x y x xy x y y x y x ,,或ππ 2. ) 10,0()11arcsin(arcsin arcsin ) 10,0()11arcsin(arcsin arcsin ) 10()11arcsin(arcsin arcsin 22222 2 222222>+><-----=->+<>----=-≤+≥---=-y x y x x y y x y x y x y x x y y x y x y x xy x y y x y x ,,或ππ 3. ) 0() 11arccos(2arccos arccos ) 0() 11arccos(arccos arccos 2 2 22<+----=+≥+---=+y x x y xy y x y x x y xy y x π 4. ) () 11arccos(arccos arccos ) () 11arccos(arccos arccos 2 2 22y x x y xy y x y x x y xy y x <--+=-≥--+-=- 5. ) 1,0(1arctan arctan arctan ) 1,0(1arctan arctan arctan ) 1(1arctan arctan arctan ><-++-=+>>-++=+<-+=+xy x xy y x y x xy x xy y x y x xy xy y x y x ππ
三角和反三角函数图像性质总结
反三角函数的图像和性质 yx,arccos yx,arctanyx,arcsin ,1,1,1,1,,,,R 定义域 ,,,,,,,, ,,,,值域 [0,π] ,,,,2222,,,, 在上单调递增在上单调递减 ,1,1,1,1,,,,在R上单调递增单调性 无减区间无减区间无增区间 3奇偶性奇函数非奇非偶函数奇函数 32, 32,,21212,-1 图象 -22468-224682O11 -1,-1-,2-2 -22468-1 -1O2-2 -1 arcsin()arcsin,,,xxarccos()arccos,,,xx,arctan()arctan,,,xx 运算公x,,[1,1]x,,[1,1] xR,式1 运算公,,,, arccos(cos),[0,]xxx,,, arctan(tan),(,)xxx,,,arcsin(sin),[,]xxx,,,2222式2 运算公 sin(arcsin),[1,1]xxx,,,cos(arccos),[1,1]xxx,,,tan(arctan),xxxR,, 式3 , arctancotxarcx,,运算公,2 arcsinarccos,[1,1]xxx,,,,2式4 xR, 三角函数的图像和性质 4 yx,cosy,tanx yx,sin kZ,343 3222 1一个周11(((113,,2,,,期的图-22468,-22468(-4-2246823,,O,2,O2O--12-12-1-1-1 22像 -2-2 -2
-3,,,x|x,k,,k,Z ,定义域 R R ,,2,, [1,1],[1,1], 值域 R 奇偶性奇函数偶函数奇函数 , 2,2,周期 对 ,直线xk,kZ, ,,,称直线,无 xk,,kZ,2 轴对 称对 性称k,,(,0)k,,kZ, 点,kZ, 点(,0)k,(,0)点,kZ, ,22中 心 ,,,,,在上 [2,2]kk,,[2,22]kk,,,,,,,,,上在,上在(,)kk,,,,2222单调性 ,,3,在上,,[2,2]kk,,,,,[2,2]kk,,在上无减区间 22
反三角函数的概念和性质
反三角函数的概念和性质 . 一.基础知识自测题: 1.函数y=arcsin x的定义域是 [-1, 1] ,值域是. 2.函数y=arccos x的定义域是 [-1, 1] ,值域是 [0, π] . 3.函数y=arctg x的定义域是R,值域是. 4.函数y=arcctg x的定义域是R,值域是 (0, π) . 5.arcsin(-)=; arccos(-)=; arctg(-1)=; arcctg(-)=. 6.sin(arccos)=; ctg[arcsin(-)]=; tg(arctg)=; cos(arcctg)=. 7.若cos x=-, x∈(, π),则x=. 8.若sin x=-, x∈(-, 0),则x=. 9.若3ctg x+1=0, x∈(0, π),则x=. 二.基本要求: 1.正确理解反三角函数的定义,把握三角函数与反三角函数的之间的反函数关系;
2.掌握反三角函数的定义域和值域,y=arcsin x, x∈[-1, 1], y∈[-,], y= arccos x, x∈[-1, 1], y∈[0, π], 在反三角函数中,定义域和值域的作用更为明显,在研究问题时,一定要先看清楚变量的取值范围; 3.符号arcsin x可以理解为[-,]上的一个角或弧,也可以理解为区间[-,] 上的一个实数;同样符号arccos x可以理解为[0,π]上的一个角或弧,也可以理解为区间[0,π]上的一个实数; 4.y=arcsin x等价于sin y=x, y∈[-,], y=arccos x等价于cos y=x, x∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据; 5.注意恒等式sin(arcsin x)=x, x∈[-1, 1] , cos(arccos x)=x, x∈[-1, 1], arcsin(sin x)=x, x∈[-,], arccos(cos x)=x, x∈[0, π]的运用的条件; 6.掌握反三角函数的奇偶性、增减性的判断,大多数情况下,可以与相应的三角函数的图象及性质结合起来理解和应用; 7.注意恒等式arcsin x+arccos x=, arctg x+arcctg x=的应用。 例一.下列各式中成立的是(C)。 (A)arcctg(-1)=-(B)arccos(-)=- (C)sin[arcsin(-)]=-(D)arctg(tgπ)=π 解:(A)(B)中都是值域出现了问题,即arcctg(-1)∈(0, π), arccos(-)∈[0, π], (D)中,arctg(tgπ)∈[-, ], 而π[-,], ∴ (A)(B)(D)都不正确。
反三角函数及性质
y=arcs inx. 函数y=sinx , x€ [- n /2 , n /2]的反函数叫做反正弦函数,记作x=arcsiny. 习惯上用x表示自变量,用y表示函数,所以反正弦函数写成y=arcsinx.的形式 请注意正弦函数y=sinx,x € R因为在整个定义域上没有一一对应关系,所以不存在反函数。 反正弦函数只对这样一个函数y=sinx , x€ [- n /2 , n /2]成立,这里截取的是正弦函数靠近原点的一个单调区间,叫做正弦函数的主值区间。 理解函数y=arcsinx中,y表示的是一个弧度制的角,自变量x是一个正弦值。这点必须牢记 性质 根据反函数的性质,易得函数y=arcsinx的,定义域[-1 , 1],值域[-n /2 , n /2],是单调递增函数 图像关于原点对称,是奇函数 所以有arcsin(-x)=-arcsinx ,注意x的取值范围:x € [-1 , 1] 导函数: arcsinx = (土匚(-1,1)) vl-x2,导函数不能取|x|=1 * / fim (arcsinx) =-oo lim {arcsinx) = +oo - . ,:T 1 反正弦恒等式 sin(arcsinx)=x , x € [-1 , 1] (arcsinx)'=1/ V (1-x A2) arcsin x=-arcs in(-x) arcs in ( sin x)=x , x 属于[0, n /2]
arccosx 反三角函数中的反余弦。意思为:余弦的反函数,函数为y=arccosx,函数图像如右下图。 就是已知余弦数值,反求角度,如cos(a) = b,贝U arccos(b) = a ; 它的值是以弧度表达的角度。定义域:【-1 , 1】。 由于是多值函数,往往取它的单值支,值域为【0, n ],记作y=arccosx,我们称它叫 做反三角函数中的反余弦函数的主值, arcta n x 反三角函数中的反正切。意思为:tan(a) = b;等价于arctan(b) = a fflil 定义域:{x lx € R},值域:y € (- n/2,冗/2) 计算性质: tan( arcta na)=a arcta n(-x)=-arcta nx arctan A + arctan B=arcta n(A+B)/(1-AB) arctan A - arctan B=arcta n(A-B)/(1+AB) 反三角函数在无穷小替换公式中的应用:当x T 0时,arctanx~x
大学高数 函数与反三角函数图像
三角函数公式和图象总结 1.与角α终边相同的角,连同角α在内,都可以表示为S={β|β=α+k ×360,k ∈Z} 2.弧长公式:α?=r l 扇形面积公式lR S 21 = 其中l 是扇形弧长,R 是圆的半径。 3.三角函数定义: sin ,cos ,tan y x y r r x ααα===,其中P (,)x y 是α终边上一点,||r OP = 4.同角三角函数的两个基本关系式 22 sin sin cos 1 tan cos ααααα +== sin sin αsin β tan tan α
sin cos), a x b x x? +=+其中tan b a ?=,?所在的象限与点(,) a b所在的象限一 致。
12.①sin()(0)y A x b A ω?=++>、cos()(0)y A x b A ω?=++>的最小正周期为 || ω,最大值为A+b ,最小值为-A+b. ②tan()(0)y A x b A ω?=++>的最小正周期为|| π ω 13.正弦定理: A a sin = B b sin =C c sin = 2R (R 为三角形外接圆半径) 14.余弦定理:2 2 2 2cos a b c bc A =+- bc a c b A 2cos 2 22-+= 15.S ⊿= 21a a h ?=21ab C sin =21bc A sin =2 1ac B sin =R abc 4=2R 2 A sin B sin C sin =))()((c p b p a p p ---(其中)(2 1 c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 反三角函数图像与反三角函数特征 反正弦曲线 反余弦曲线 拐点(同曲线对称中心):,该点切线斜率为1 拐点
反三角函数及最简三角方程.docx
标准实用 反三角函数及最简三角方程 一、知识回顾: 1、反三角函数: 概念:把正弦函数y sin x , x,时的反函数,成为反正弦函数,记作 22 y arcsin x . y sin x( x R) ,不存在反函数. 含义: arcsin x 表示一个角;角,;sin x . 22 反余弦、反正切函数同理,性质如下表. 名称函数式定义域值域奇偶性单调性 反正弦函数y arcsin x1,1 增, 2奇函数增函数 2 y arccosx arccos( x)arccosx 反余弦函数1,1 减0,减函数 非奇非偶 反正切函数y arctanx R增, 2奇函数增函数 2 y arc cot x arc cot( x)arc cot x 反余切函数R减0,减函数 非奇非偶 其中: ().符号 arcsin x 可以理解为-, ] 上的一个角弧度,也可以理解为 1[ 2 () 2 区间[- , ] 上的一个实数;同样符号 arccos x 可以理解为 [0 ,π 上的一个角2 ] 2
(弧度 ),也可以理解为区间 [0 ,π]上的一个实数; (2). y =arcsin x 等价于 sin y=x, y∈ [-,], y= arccos x 等价于 cos y 22 =x, x ∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据; (3).恒等式 sin(arcsin x)=x, x∈ [- 1, 1] , cos(arccos x)=x, x∈ [-1, 1], tan(arctanx)=x,x ∈ R arcsin(sin x) = x, x ∈ [ -,], arccos(cos x) = x, x ∈ [0, 22 π],arctan(tanx)=x, x∈(-,)的运用的条件; 22 (4).恒等式 arcsin x+arccos x=, arctan x+arccot x=的应用。 22 2、最简单的三角方程 方程方程的解集 a1x | x2k arcsin a, k Z sin x a a1x | x k 1 k arcsin a, k Z a1x | x2k arccos a, k Z cos x a a1x | x2k arccos a, k Z tan x a x | x k arctana, k Z cot x a x | x k arc cot a, k Z 其中: (1 ).含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。解三角方程就是确定三 角方程是否有解,如果有解,求出三角方程的解集; (2).解最简单的三角方程是解简单的三角方程的基础,要在理解三角方程的
角、反三角函数图像及性质与三角公式
三角、反三角函数图像 (附:资料全部来自网络,仅对排版做了改动,以方便打印及翻阅,其中可能出现错误,阅者请自行注意。) 1.六个三角函数值在每个象限的符号: sinα·cscα cosα·secα tanα·cotα 2.三角函数的图像和性质: 1-1y=sinx -3π2 -5π2 -7π2 7π2 5π 2 3π2 π2 -π2 -4π-3π -2π4π 3π 2ππ -π o y x 1-1y=cosx -3π 2 -5π2 -7π 2 7π2 5π2 3π2 π2 -π2 -4π-3π-2π4π 3π 2π π -π o y x y=tanx 3π2 π π2 - 3π2 -π - π2 o y x y=cotx 3π2 π π2 2π -π - π2 o y x 函数 y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx 定义域 R R {x |x∈R 且x≠kπ+2 π ,k∈Z } {x |x∈R 且x≠kπ,k∈Z} 值域 [-1,1]x=2kπ+ 2 π 时y max =1 x=2kπ-2 π 时y min =-1 [-1,1] x=2kπ时y max =1 x=2kπ+π时y min =-1 R 无最大值 无最小值 R 无最大值 无最小值 周期性 周期为2π 周期为2π 周期为π 周期为π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数
单调性 在 [2kπ- 2 π ,2kπ+ 2 π ] 上都是增函数;在 [2kπ+ 2 π ,2kπ+ 3 2 π]上都是减函数 (k∈Z) 在[2kπ -π, 2kπ]上都是增 函数;在[2kπ, 2kπ+π]上都是 减函数(k∈Z) 在(kπ- 2 π , kπ+ 2 π )内都是 增函数(k∈Z) 在(kπ,kπ+π) 内都是减函数 (k∈Z) 3.反三角函数的图像和性质: arcsinx arccosx arctanx arccotx 名称反正弦函数反余弦函数反正切函数反余切函数 定义 y=sinx(x∈ 〔- 2 π , 2 π 〕的反 函数,叫做反正弦 函数,记作 x=arsiny y=cosx(x∈ 〔0,π〕)的反函 数,叫做反余弦 函数,记作 x=arccosy y=tanx(x∈(- 2 π , 2 π )的反函数,叫 做反正切函数,记作 x=arctany y=cotx(x∈(0, π))的反函数, 叫做反余切函 数,记作 x=arccoty 理解 arcsinx表示属于 [- 2 π , 2 π ] 且正弦值等于x的 角 arccosx表示属 于[0,π],且 余弦值等于x的 角 arctanx表示属于 (- 2 π , 2 π ),且正切 值等于x的角 arccotx表示属 于(0,π)且余切 值等于x的角 性 质 定义域[-1,1][-1,1](-∞,+∞)(-∞,+∞) 值域[- 2 π , 2 π ][0,π](- 2 π , 2 π )(0,π)单调性 在〔-1,1〕上是增 函数 在[-1,1]上是 减函数 在(-∞,+∞)上是增 数 在(-∞,+∞)上 是减函数
三角函数及反三角函数
三角函数及反三角函数集团文件版本号:(M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988)
函数变换 反三角函数
三角函数的,是多值函数。它们是反正弦Arcsin x,反余弦Arccos x,反正切Arctan x,反余切Arccot x等,各自表示其正弦、余弦、正切、余切、正割、余割为x的角。为限制为单值函数,将反正弦函数的值y限在y=-π/2≤y≤π/2,将y为反正弦函数的主值,记为y=arcsin x;相应地,反余弦函数y=arccos x的主值限在0≤y≤π;反正切函数y=arctan x的主值限在-π/2反三角函数
例 试判断下列函数的定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性,并画出大致图像。 (1)()sin arcsin y x =。 (2)()arcsin sin y x =。 解:(1)()()sin arcsin y f x x x ===。 定义域为[]1,1-。值域为[]1,1-。奇函数。 ()f x 不是周期函数,且再[]1,1-上单调递增,如图。 (2)()()arcsin sin y f x x ==。 定义域为R 。值域为,22ππ?? -????。奇函数。 ()f x 是周期函数,周期为2π。 下面讨论单调性: ① 当,22x ππ?? ∈- ???? 时,()()arcsin sin f x x x ==,为增函数。 ② 当3,22x ππ?? ∈? ??? 时,()()()arcsin sin arcsin sin f x x x x ππ==-=-????,为减函数。 由函数的周期性,得 ① 区间2,22 2k k π πππ?? - + ??? ? (k Z ∈)为函数()f x 的递增区间,此时 ()()()arcsin sin arcsin sin 22f x x x k x k ππ==-=-????,k Z ∈。 ② 区间32,22 2k k π πππ? ? + + ??? ? (k Z ∈)为函数()f x 的递减区间,此时 ()()()arcsin sin arcsin sin 22f x x k x k x ππππ==+-=+-????,k Z ∈。 所以()2,2,222arcsin sin 32,2,222x k x k k y x k x x k k πππππππππππ???-∈-+????? ?==??? ?+-∈++?????? ,k Z ∈。如图。
反三角函数的概念和性质
反三角函数的概念和性质
反三角函数的概念和性质 一.基本知识: 1.正确理解反三角函数的定义,把握三角函数与反三角函数的之间的反函数关系; 2.掌握反三角函数的定义域和值域,y=arcsin x, x∈[-1, 1], y∈[-,], y=arccos x, x∈[-1, 1], y∈[0, π], 在反三角函数中,定义域和值域的作用更为明显,在研究问题时,一定要先看清楚变量的取值范围; 3.符号arcsin x可以理解为[-,]上的一个角或弧,也可以理解为区间[-,]上的一个实数;同样符号arccos x可以理解为[0,π]上的一个角或弧,也可以理解为区间[0,π]上的一个实数; 4.y=arcsin x等价于sin y=x, y∈[-,], y=arccos x等价于cos y=x, x∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据;
1)∈(0, π), arccos(-)∈[0, π], (D)中,arctg(tgπ)∈[-, ], 而π[- ,], ∴ (A)(B)(D)都不正确。 例二.下列函数中,存在反函数的是(D)。 (A)y=sin x, x∈[-π, 0](B)y=sin x, x∈[, ] (C)y=sin x, x∈[,] (D)y=sin x, x∈[,] 解:本题是判断函数y=sin x在哪个区间上是单调函数,由于y=sin x在区间[,]上是单调递减函数,所以选D。 例三. arcsin(sin10)等于(C)。 (A)2π-10 (B)10-2π(C)3π-10 (D)10-3π 解:本题是判断哪个角度的正弦值与sin10相