求解对流扩散方程的一类显示交替分组方法

广西科学ＧｕａｎｇｘｉＳｃｉｅｎｃｅｓ２００８，１５（２）：１４５～１４７，１５０

求解对流一扩散方程的一类显示交替分组方法

ＡＣｌａｓｓＡｌｔｅｒｎａｔｉｎｇＳｅｇｍｅｎｔｆｏｒＳｏｌｖｉｎｇＣｏｎｖｅｃｔｉｏｎ‘－ＤｉｆｆｕｓｉｏｎＥｑｕａｔｉｏｎ

王晨，徐安农，赵富强

ＷＡＮＧＣｈｅｎ，ＸＵＡｎ—ｎｏｎｇ，ＺＨＡＯＦｕ—ｑｉａｎｇ

（桂林电子科技大学计算科学与数学学院，广西桂林５４１００４）

（ＳｃｈｏｏｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌＳｃｉｅｎｃｅ，ＧｕｉｌｉｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＥｌｅｃｔｒｏｎｉｃＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｇｕｉｌｉｎ，Ｇｕａｎｇｘｉ，５４１００４，Ｃｈｉｎａ）

摘要：对求解对流一扩散方程初边值问题的第二类Ｓａｕｌ’ｙｅｖ非对称格式以及古典显、隐格式进行组合，提出一种新的求解对流一扩散方程的显示交替分组方法，并对新方法进行稳定性分析和数值实验．新方法针对内点为偶数的情况，在节点两端点处用分组格式进行处理，所得解的精度高，稳定性好，容易在并行机上实现．

关键词：对流一扩散方程交替分组方法Ｓａｕｌ’ｙｅｖ格式并行计算

中图法分类号：０２４１．８文献标识码：Ａ文章编号：１００５—９１６４（２００８）０２－０１４５－０３

Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＡｎｅｗｋｉｎｄｏｆＡＧＥｓｃｈｅｍｅｆｏｒｃｏｎｖｅｃｔｉｏｎ—ｄｉｆｆｕｓｉｏｎｅｑｕａｔｉｏｎｉｓｐｒｏｐｏｓｅｄｂｙｃｏｍｂｉｎｇｔｈｅＳａｕｌ’ｙｅｖａｓｙｍｍｅｔｒｉｃｗｉｔｈｃｌａｓｓｉｃａｌｉｍｐｌｉｃｉｔｍｅｔｈｏｄａｎｄｔｈｅｃｌａｓｓｉｃａｌｅｘｐｌｉｃｉｔｍｅｔｈｏｄ．ＴｈｅｓｉｔｕａｔｉｏｎｏｆｏｄｄｉｎｔｅｒｔｎａｌｐｉｔｈｐｏｉｎｔｕｓｅｄｉｆｆｅｒｅｎｔｗａｙｔｏｄｅａｌｗｉｔｈｔｈｅｂｏｕｎｄａｒｉｅｓｉＳｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．Ｆｏｒｔｈｅｅｘａｍｐｌｅｓｓｏｌｖｅｄｔｈｅｍｕｍｅｒｉｃａｌｒｅｓｕｌｔｓｏｂｔａｉｎｅｄｂｙ

ｔｈｅｐｒｅｓｅｎｔｍｅｔｈｏｄａｒｅｉｎｓａｔｉｓｆａｃｔｏｒｙａｇｒｅｅｍｅｎｔｗｉｔｈｔｈｅｅｘａｃｔｓｏｌｕｔｉｏｎ．

Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｃｏｎｖｅｃｔｉｏｎ—ｄｉｆｆｕｓｉｏｎｅｑｕａｔｉｏｎ，ａｌｔｅｒｎａｔｉｎｇｇｒｏｕｐｍｅｔｈｏｄ，Ｓａｕｌ’ｙｅｖｔｙｐｅａｓｙｍｍｅｔｒｉｃｄｉｆｆｅｒｅｎｔｓｃｈｅｍｅ。ｐａｒａｌｌｅｌｃｏｍｐｕｔｉｎｇ

扩散方程

塑３ｔ＋点磊Ｏｕ一￡舅，ｏ＜ｚ＜１，ｏ＜ｆ＜７’，￡＞０，

（Ｏ．１）甜（ｚ，Ｏ）一／’（ｚ），０＜ｚ＜１，（Ｏ．２）ｕ（０，ｆ）一ｇｌ（ｆ），“（１，ｆ）＝９２（￡），０＜ｔ＜Ｔ

（Ｏ．３）的初边值问题的数值解法己有很多种，如古典显格式、古典隐格式、Ｃｒａｎｋ－＇Ｎｉｃｏｌｓｏｎ格式、有限元方法等．这些方法可归结为两大类：一类是显格式，适合在并行计算机上使用，如古典显式，但是这类格式是条件稳定的，对时间步长有很强限制；另一类是隐格式，这类格式无条件稳定，但需要解联立方程组，如古典隐式、Ｃｒａｎｋ—Ｎｉｃｏｌｓｏｎ格式．这类格式不便在并行计算机上直接使用，特别是复杂的多维问题，计算规模特别大，需要在多处理器的并行机上计算，因此构造

收稿日期：２００７—０６—０１

修回日期：２００７—１０一２３

作者简介：王晨（１９８１一），男，硕士研究生，主要从事对角系统与偏微分方程的并行算法研究工作。

广西科学２００８年５月第１５卷第２期具有并行本性的差分法，有重要的意义和价值．Ｄ．Ｊ．Ｅｖａｎｓ和Ａ．Ｒ．Ｂ．Ａｂｄｕｌｌａｈ［１’２３巧妙地利用第一类Ｓａｕｌ’ｙｅｖ非对称格式，设计适合于并行计算的交替分组显式（ＡＧＥ）方法．张宝琳等［３“１提出交替分段、分块的显一隐方法．本文对第二类Ｓａｕｌ’ｙｅｖ格式旧“ｏ以及古典显式、古典隐式、Ｃｒａｎｋ～Ｎｉｃｏｌｓｏｎ格式进行组合，得到一种新的求解对流一扩散方程的显示交替分组方法．数值试验结果比较理想．该方法适合并行计算的本性，易于在并行机上实现．

１差分和分组格式

１．１几种差分格式

将区域（ｏ，１）×（Ｏ，丁）进行剖分，记空间步长ｈ一１／ｍ，时间步长为Ａｔ，ｚ，＝ｉｈ（ｉ＝０，１，…，优），ｔ。一ｎＡｔ（ｎ一０，１，…，［７’／Ａｔ３，节点为（ｚ，，ｔ。）．计算问题（Ｏ．１）～（０．３）的解在节点（ｚ，，“）处的数值解“７．定义

蹦一血≯

嘲一盟茅

１４５

万方数据

逼近方程（Ｏ．１）的两个第二类Ｓａｕｌ’ｙｅｖ非对称

格式为盈Ｍ？十睾（丝学＋乱“？）一ｈ＿１（以ｕ７＋１一如“？）），号（以嘞）？＋

（１．１）

３，ｕ？＋睾（学＋蹦）一号（以（㈨∥＋ｈ叫（允“？一如ｕ７＋１））；（１．２）古典隐式为

坑“？＋ｋ＃＝ｕ７＋１一￡（赴（３＝ｕ７＋１））；（１．３）古典显式为

８，ｕ７＋ｋ３＝ｕ７一ｅ（赴（以ｕＴ））．（１．４）

记ｒ＝出／＾２，那么（１．１）～（１．４）式可以对应写成（１．５）～（１．８）式．

（１＋丢ｒｅ）“？＋１一丢ｒ（ｅ一警）％ｎ＋＋。ｌ一号ｒ（２ｅ＋ｋｈ）“㈠ｎ＋（１一号ｒｅ）甜？＋丢ｒ（￡一等）Ⅳ～。，（１．５）一丢，．（２￡＋ｋｈ）“２ｆ＋（１＋号ｒｅ）钟ｉ＋１一丢，．（ｅ一警Ｍｎ＋＋，ｌ一（１一号ｒ￡）“？＋号ｒ（ｅ一警）“耳。，

（１．６）一￡ｒ“生｝＋（１一ｈｋｒ＋２ｅｒ）ｕ７＋１＋（ｈｋｒ—ｃｒ）ｕ７＋｝＝ｕ＇ｌ，（１．７）“？＋１＝ｅｒ“，ｎ１＋（１＋ｈｋｒ一２ｅｒ）ｕ７＋（ｅｒ—ｈｋｒ）ｕＴ＋１．（１．８）１．２几种分组格式

（１）４点组：假设已知ｕ（ｘ，￡）在第ｎ层的值“？，为了求第７＂１＋１层的值“？＋１，在内点为（ｉ＋歹，ｎ＋１）（＿『一０，１，２，３）的４个内点上，分别应用（１．５）～（１．８）式，其差分格式是：

１４６（１＋丢ｒ￡）“？＋１一虿１ｒ（ｅ一警）磁ｎ＋＋。ｌ一

丢ｒ（２￡＋ｋｈ）“Ｌ。＋（１一虿３ｒｅ）甜？＋

专心一警豫。，

一ｃｒｕ７＋１＋（１一ｈｋｒ＋２盯）“譬？一（￡一

ｈｋ）ｒｕＴ＋＋ｊ＝Ｕ。ｎ＋１，

一丢（２￡＋ｋｈ）“肆ｆ＋（１＋导ｒ￡）“Ⅲｎ＋ｌ一

丢ｒ（￡一警）甜搿一（１一丢ｒ￡）“～。＋

ｌｒ（ｅ一等牖。，

“件ｎ＋３ｌ—ｅｒｕＴ＋２＋（１＋ｈｋｒ一２ｅｒ）ｕＴ＋３＋

（￡一ｈｋ）ｒｕ～４．

ｒ１０、

（２）２点组：靠近左边界３Ｌ＂一０的两个内点（ｉ，行＋

１）（ｉ一１，２）其中（ｏ，咒＋１）为左边界点，在这两内点

上，分别应用（１．６）式和（１．８）式，可得靠近左边界处

的２点的差分格式：

一ｉ１，．（２ｅ＋ｋｈ）“：＋１＋（１＋虿３ｒｅ）“ｎ。＋ｌ一

虿１ｒ（ｅ一警）“ｎ：＋１一（１一虿１ｒｅ）“：＋

虿１ｒ（￡一ｋ－－－挚）“；，

“ｎ２＋１＝Ｅｒｕ：＋（１＋ｈｋｒ一２ｅｒ）ｕ：＋

（￡一ｈｋ）ｒｕ］．

（１．１０）

靠近右边界的２个点为（ｍ一歹，，ｚ＋１）（歹一１，

２），则（ｍ，ｎ＋１）为右边界点，且“，１的值由边界条

件给出，在这２个内点处分别应用（１．５）式和（１．７）

式，可得靠近右边界处的２点差分格式是：

（１＋Ｉｒｅ）“鹄一吉ｒ（￡一等）“２＼＝

ｌｒ（２ｅ＋ｋｈ）“：一３＋（１一ｒｅ）“：一２＋

丢ｍ一等减…

一ｅｒ“甚ｋ＋（１一ｈｋｒ＋２ｅｒ）“甚、一

（￡一ｈｋ）ｒｕ篡＋１＝“。ｎ一１．

（１．１１）

由于对流一扩散方程边界条件己知，故以上几种分组

均可以显式求出第（咒＋１）层的未知量．

２交替分组方法

只考虑分点数ｍ为奇数的情况，此时内点数ｍ

一１是偶数．按上述四点组（１．９）划分，则在边界节点

有可能剩余０点或２点．

（１）当ｍ一１—４ｋ＋２（忌为整数）时，设行为偶

数，４点一组，并把ｔ计。层上的内点划分为（是＋１）组．

从左至右，前４忌个内点，用４点组（１．９）式，靠近右边

界２个内点，用２点组（１．１１）式；在第ｔ。＋。层划分为（五

＋１）组，从左至右，第１组为靠近左边界的２个内点，

用两点组（１．１０）式，接下来的４志个内点，用４点组

（１．９）式．上述两层格式交替使用，得到差分格式的

矩阵形式是：

ｆ（Ｊ＋躬１）【，计１一（，一ｒＧ２）【，“＋ｂ１，

１（，＋心２）ｕ计２一（，一佑１）ｕ计１＋ｂ２，（２＿’

其中

Ｕ”一（“：，“ｎ２，…，“：一１）Ｔ，Ｇ１＝ｄｉａｇ（Ａ１，Ａ２，…，

Ａｌ，Ａ”），Ｇ２一ｄｉａｇ（Ａ７，Ａ１，…，ＡＤ，

ＧｕａｎｇｘｉＳｃｉｅｎｃｅｓ，Ｖ０１．１５Ｎｏ．２，Ｍａｙ２００８

万方数据

６，一（虿１ｒ（２ｅ＋胁）嬲０，ｏ，…，ｏ，ｒ（￡一ｈｋ）“寸１）Ｔ，

３

稳定性分析

ｂ２一（妻ｒ（２￡＋ｋｈ）ｕ］＋１，０，…，０，厂（￡一＾矗）“，１）Ｔ，

ｂ，和ｂ：是与边界条件有关的（研一１）维向量．

（２）当ｍ一１＝４ｋ时，设，ｚ为偶数，同样，在ｔ。＋。层上划分ｋ组，用４点组（１．９）式；在ｔ什：层划分为（五＋１）组，靠近左边界的２个内点，用２点式（１。１０），靠近右边界的２个内点，用２点组（１．１１）式，两层格式交替使用得到差分格式的矩阵形式是：

｛｛；：茗！；≥：：：三｛；二茗：；孑：０；；：．ｃ２．２，

ｌ（，＋危：）ｕ什２一（Ｊ一前】）ｕ”＋１＋占２．…～其中

Ｕ”＝（“：，“；，…，“：一１）７，０１＝ｄｉａｇ（Ａ１，Ａ２，…，

Ａ＾），ｅ２＝ｄｉａｇ（Ａ’，Ａｌ＇．．．，Ａ—ｌ，Ａ”），

５ｌ＝（去ｒ（２ｅ＋ｋｈ）ｕｇ，０，…，０，ｒ（￡一ｈｋ）ｕ２）Ｔ，玩

一（ｉ１ｒ（２ｅ＋ｋｈ）ｕ：＋２，０，…，０，ｒ（ｅ一＾是）“寸２）Ｔ，云１和

５。是与边界条件有关的（ｍ一１）维向量．

号ｅ一号ｃｅ一警，

ｏ

—ｅ

２ｅ—ｈｋ一（￡一ｈｋ）ｏ

一÷像＋㈨

号ｅ

００

Ｏ

Ｏ

Ｏ

一专ｃ一警，

Ｏ

（ｚ

２

１，Ｚ，…，意），

Ａ，一『＿号ｅ一号ｃｅ一等，］，Ａ。一Ｌ０

０

．Ｊ

Ｌ

Ｊ

『÷ｓ一号ｃｓ一等，］．

１一￡

２ｅ一＾量

ｊ

从矩阵的构造可以看出，格式（２．１）和格式（２．２）式在（咒＋１）层或（ｎ＋２）层建立了若干个可以独立计算的子系统，因此可以在并行计算机上直接使用．另外，还可以在相邻的４个时间层上组合使用（２．１）式或（２．２）式，可得到双交替分组四点方法（２．３）和（２．４），该方法稳定，且数值试验结果较好．

Ｊ＋形ｌ

Ｊ＋ｒＧ２Ｊ＋ｒＧ２，＋ｒＧｌＪ＋危，Ｊ＋前：Ｊ＋前２Ｊ＋前。

【，计

Ｕ计【，一＋【，”＋

Ｕ”＋Ｕ”＋【，计【，一＋

广西科学

２００８年５月

（，一以２）Ｕ“＋ｂｌ，

‘：一誓ｐ芝＋６ｚ’（２．３）（，一心１）Ｕ卅２＋ｂ３，

（Ｊ—ｒＧ２）Ｕ计３＋ｂ４．

（，一ｒ岛）ｕ”＋占，，

‘：一嘎一芝＋ｂ～２像４）（，一前１）Ｕ计２＋５３，…“

（，一ｒｅ２）Ｕ”＋３＋占４．

第１５卷第２期

事实上，矩阵Ａｉ，Ｍ，Ｍ７，肘”为非负实阵，则易证

Ｇｉ，ｅｉ（ｉ一１，２，３，４）均为非负实阵，所以满足Ｋｅｌｌｏｇｇ引理‘３￣５３条件．

在齐次边界条件下有

Ｕ“一ＧＵ”１．

（３．１）

其中Ｇ为增长矩阵，

Ｇ一（Ｊ＋ｒＧ２）－１（Ｊ—ｒＧｌ）（，＋ｒＧｌ）＿１（Ｊ—

ｒＧ２）．

（３．２）

记

Ｇ一（Ｊ＋ｒＧ２）Ｇ（Ｊ＋ｒＧ２）＿一（Ｊ—ｒＧｌ）（Ｊ＋ｒＧｌ）＿１（，一ｒＧ２）（Ｊ＋ｒＧ２）－－１．

（３．３）

利用Ｋｅｌｌｏｇｇ引理可得ＪＤ（Ｇ）＝ＩＤ（Ｇ）≤｜｜（Ｊ＋

ｒＧ。）Ｇ（Ｊ＋ｒＧ：）１ｌＩ：≤１，所以该方法是稳定的．

４

数值实验

对方程

丝３ｔ＋志荔３ｕ＝￡荔，ｏ＜ｚ＜１，ｏ＜ｆ＜队＞ｏ，

及其初始条件和边界条件：

“（ｚ，０）一０，０＜ｚ＜１

ｏ

“（０，￡）一０。“（１，￡）一１，０＜ｔ＜Ｔ．

用文献１－２３的方法和格式（２．４），取ｍ一１１，ｈ＝１／１１，出一０．００１，网比ｒ一１．２１，ｔ。一０．５进行计算，数值解的绝对误差（Ａ．Ｅ，取ｅ；＝｛“；一ｕ（ｘ，，￡。）１）和

ｄ＂ｌ

相对误差（Ｐ?Ｅ，取Ｅ；２瓦南×ｌＯＯ）的结果如

表１所示．

表１数值解的绝对误差（Ａ．Ｅ）和相对误差（Ｐ．Ｅ）比较

Ｔａｂｌｅ１

Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎｏｆ

ｔｈｅａｂｓｏｌｕｔｅａｎｄｔｈｅ

ｐｅｒｃｅｎｔａｇｅ

ｅｒｒｏｒ

ｏｆ

ｔｈｅｎｕｍｅｒｉｃａｌ

ＳＯＩｕｔｉｏｎ

由表１结果可以看出，本文方法比文献［２］方法得到解的精度更高，并且可直接在并行机上实现．

（下转第１５０页Ｃｏｎｔｉｎｕｅ

ｏｎ

ｐａｇｅ

１５０）

１４７

万方数据

献［６］格式进行计算（在ｍａｔｌａｂ环境下）的数值结果见表１和表２．表１和表２中的第１列是ｔ一１时刻网格结点的空间坐标，第２列是精确解，后３列是取不同时间步长所得数值结果的绝对误差．

表１ＳＳＰＩ格式所得的数值结果（＾一１／２０，ｆ一１）

Ｔａｂｌｅ１ＴｈｅｎｕｍｅｒｉｃａｌｒｅｓｕＩｔｓｏｆＳＳＰＩｓｃｈｅｍＩ

表２文献［６］格式所得的数值结果（＾一１／２０，ｆ一１）

Ｔａｂｌｅ２Ｔｈｅｎｕｍｅｒｉｅａｌｒｅｓｕｌｔｓｏｆｒｅｆｅｒｅｎｃｅ［６］

从表１的数值结果可以看出，ＳＳＰＩ格式对求解对流方程是非常有效的，而且具有很高的精度，其局部截断误差为Ｏ（ａｒ２＋ｒ２＋ｈ４）．与表２的结果比较，ＳＳＰＩ格式比文献［６］格式的精度有所提高．

可以利用（２）式将（１５）式变为包含一阶导数的形式

（百ｈ＋ｒ）ｍ譬｝＋４ｍ７＋１＋（ｉｈ—ｒ）“件ｎ＋１ｌ一要（ｍ卫１ｏｏＯ

＋４ｍ７＋ｍ～１），（１９）其中ｒ一口（１—６）／柏．当函数的一阶导数以未知量形式出现，包含导数边界条件可以直接纳入求解过程之中，然后利用样条基本关系式，可得出各网格结点的函数值，避免了在通常的有限差分法中处理带有导数的边界条件时所遇到的困难．显然，这非常类似于文献［９］的三次样条配置法．

４结束语

本文提出的ＳＳＰＩ格式不仅能够方便的求解对流方程的第一类边值问题，也能很方便地利用格式（１９）求解第二、三类边值问题，能广泛的应用于流体力学、水动力学和传热学领域，是一种非常有效的算法．

参考文献：

［１］曾文平．对流方程的一类新的恒稳差分格式［Ｊ］．华侨大学学报：自然科学版，１９９７，１８（３）：２２５—２３０．

［２］郑兴华，曾文平．对流方程的分组显式方法［Ｊ］．华侨大学学报：自然科学版，１９９８，１９（２）：１１１－１１４．

［３］陆金甫，肖世江．对流方程的ＧＥ方法ｒＪ］．计算物理，１９９５，１２（３）：３５５—３６２．

ｒ４］金承日，刘家琦．对流方程的交替分组显式方法［Ｊ］．哈尔滨工业大学学报，２０００，３２（１）：４８—５０．

［５］钟万勰．子域精细积分及偏微分方程数值解［Ｊ］．计算结构力学及其应用，１９９５，１２（３）：２５３—２６０．

［６］金承Ｅｔ．解对流方程的子域精细积分并行算法Ｉ－ｊ］．计算力学学报，２００２，１９（４）：４２３—４２６．

［７］金承Ｅｌ，刘明珠．解对流扩散方程的子域精细积分ＡＧＥＩ方法［Ｊ］．高等学校计算数学学报。２００２（４）：３０７—３１２．［８］傅凯新，黄云清，舒适．数值计算方法［Ｍ］．湖南：湖南科学技术出版社，２００２，６９—８０．

［９］王璞．流体力学问题的三次样条配置法［Ｊ］．力学进展，１９９０，２０（３）：３１６－３２７．

［１０］ＦｙｆｅＤＪ．ＴｈｅｕｓｅｏｆｃｕｂｉｃｓｐｌｉｎｅｉｎｔｈｅｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｔＷＯ—ｐｏｉｎｔｂｏｕｎｄａｒｙｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍｓ［Ｊ］．ＣｏｍｐｕｔｅｒＪｏｕｒｎａｌ，

１９６９。１２（２）：１８８—１９２．

（责任编辑：尹闯）

（上接第１４７页Ｃｏｎｔｉｎｕｅｆｒｏｍ

ｐａｇｅ

１４７）参考文献：

［１］［２］ＥｖａｎｓＤＪ，ＡｂｄｕｌｌａｈＡＲＢ．ＧｒｏｕｐｅｘｐｌｉｃｉｔｍｅｔｈｏｄｓｆｏｒｐａｒａｂｏｌｉｃｅｑｕａｔｉｏｎｓＩ－Ｊ］．ＩｎｔｅｒｎＪＣｏｍｐｕｔｅｒＭａｔｈ，１９８３，１４：７３—１０５．

ＥｖａｎｓＤＪ，ＡｂｄｕｌｌａｈＡＲＢ．Ａｎｅｗｅｘｐｌｉｃｉｔｍｅｔｈｏｄｆｏｒｔｈｅｄｉｆｆｕｓｉｏｎ—ｃｏｎｖｅｃｔｉｏｎｅｑｕａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｃｏｍｐ＆Ｍａｔｈ

１５０

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［３］张宝琳，谷同样，莫则尧．数值并行计算原理与方法［Ｍ］．北京：国防工业出版社，１９９９．

［４］张宝琳，袁国兴，刘兴平，等．偏微分方程并行有限差分法［Ｍ］．北京：科学出版社，１９９４．

［５］王文洽，靳聪明．求解扩散方程的一类交替分组四点方法［Ｊ］．计算物理，２００２（６）：５３２—５３６．

（责任编辑：尹闯）

ＧｕａｎｇｘｉＳｃｉｅｎｃｅｓ，Ｖ０１．１５Ｎｏ．２，Ｍａｙ２００８

万方数据

扩散方程稳态扩散与非稳态扩散

扩散方程稳态扩散与非稳态扩散 1．稳态扩散下的菲克第一定律（一定时间内，浓度不随时间变化dc/dt=0） 单位时间内通过垂直于扩散方向的单位截面积的扩散物质流量（扩散通量）与该面积处的浓度梯度成正比 即J=－D（dc/dx） 其中D：扩散系数，cm2/s，J：扩散通量，g/cm2〃s ，式中负号表明扩散通量的方向与浓度梯度方向相反。 可见，只要存在浓度梯度，就会引起原子的扩散。 x轴上两单位面积1和2，间距dx，面上原子浓度为C1、C2 则平面1到平面2上原子数n1=C1dx ，平面2到平面1上原子数n2=C2dx 若原子平均跳动频率f, dt时间内跳离平面1的原子数为 n1f〃dt 跳离平面2的原子数为n2fdt，但沿一个方向只有1/2的几率，则单位时间内两者的差值即扩散原子净流量。 令，则上式 2．扩散系数的测定：

其中一种方法可通过碳在γ-Fe中的扩散来测定纯Fe的空心园筒，心部通渗碳气氛，外部为脱碳气氛，在一定温度 下经过一定时间后，碳原子从内壁渗入，外壁渗出达到平衡，则为稳态扩散单位时单位面积中碳流量： A：圆筒总面积，r及L：园筒半径及长度，q：通过圆筒的碳量 则： 即： 则： q可通过炉内脱碳气体的增碳求得，再通过剥层法测出不同r处的碳含量，作出C-lnr曲线可求得D。 第一定律可用来处理扩散中浓度不因时间变化的问 3．菲克第二定律：解决溶质浓度随时间变化的情况，即dc/dt≠0

两个相距dx垂直x轴的平面组成的微体积，J1、J2为进入、流出两平面间的扩散通量，扩散中浓度变化为，则单元体积中溶质积累速率为 （Fick第一定律） （Fick第一定律） （即第二个面的扩散通量为第一个面注入的溶质与在这一段距离内溶质浓度变化引起的扩散通量之和） 若D不随浓度变化，则 故： 4．Fick第二定律的解：很复杂，只给出两个较简单但常见问题的解 a. 无限大物体中的扩散

对流扩散方程

徐州工程学院 课程设计报告 课程名称偏微分方程数值解 课题名称对流扩散方程 的迎风格式的推导和求解专业信息与计算科学 班级10信计3 姓名学号 指导教师杨扬 2013年 5 月23 日

一、实验目的： 进一步巩固理论学习的结果，学习双曲型对流扩散方程的迎风格式的构造 方法，以及稳定的条件。从而进一步了解差分求解偏微分方程的一些基本概念，掌握数值求解偏微分方程的基本过程。在此基础上考虑如何使用Matlab 的软件进行上机实现，并针对具体的题目给出相应的数值计算结果。 二、实验题目： ?? ? ??-=-==<<<<+=+);2/1exp(),1();exp(),0();2/exp()0,(10,10,11t t u t t u x x u t x f u b u a u xx x t 其中a1=1,b1=2, ) 2/exp(),(t x t x f --=。 用迎风格式求解双曲型对流扩散方程,观差分解对真解的敛散性()2/exp(t x u -= 三、实验原理： 1、用迎风格式求解双曲型对流扩散方程，迎风格式为： ) 01(21 1 )01(2112 1 1112 1 11 1<++-=-+->++-=-+--+++-+-+a f h u u u b h u u a u u a f h u u u b h u u a u u n j n j n j n j n j n j n j n j n j n j n j n j n j n j n j n j τ τ 若令,/*1,/*12h b h a r τμτ== 则迎风格式可整理为： > <<++-+-+=><>++++--=-+++-+2)01()()21(1)01()()21(111111a f u u r u r u a f u u r u r u n j n j n j n j n j n j n j n j n j n j τμμμτμμμ2、稳定条件： ） （） （01),*11*2/(01),*11*2/(2 2<-≤>+≤a h a b h a h a b h ττ（*） 四、数值实验的过程、相关程序及结果： 本次的实验题目所给出的边界条件是第一边界条件，直接利用所给的边界条件，我们可以给出界点处以及第0层的函数值，根据a1的正负性，使用相应的<1>或者<2>式，求出其他层的函数值。误差转化成图的形式，并输出最大值。 针对三种不同的输入对应输出结果 ：

对流扩散方程引言

对流扩散方程的定解问题是指物质输运与分子扩散的物理过程和黏性流体流动的数学模型，它可以用来描述河流污染、大气污染、核污染中污染物质的分布，流体的流动和流体中热传导等众多物理现象。关于对流扩散方程的求解很也备受关注，因此寻找一种稳定实用的数值方法有着重要的理论与实际意义。 求解对流扩散方程的数值方法有多种，尤其是对流占优扩散方程，这些方法有迎风有限元法，有限体积法，特征有限体积法，特征有限差分法和特征有限元法，广义差分法，流线扩散法，以及这些方法与传统方法相结合的方法如迎风广义差分法，迎风有限体积法有限体积——有限元法等这些方法数值求解效果较好，及有效的避免了数值震荡，有减少了数值扩散，但是一般计算量偏大 近年，许多研究者进行了更加深入的研究，文献提出了对流扩散方程的特征混合元法，再次基础上，陈掌引入了特征间断混合元方法，还有一些学者将特征线和有限体积法相结合，提出了特征有限体积元方法（非线性和半线性），于此同时迎风有限元也得到较大的发展，胡建伟等人研究了对流扩散问题的Galerkin 部分迎风有限元方法和非线性对流扩散问题的迎风有限元，之后又有人对求解发展型对流扩散问题的迎风有限元法进行了理论分析 有限差分法和有限元是求解偏微分方程的常用数值方法，一般情况下考虑对流占优的扩散方程，当对流项其主导作用时，其解函数具有大梯度的过渡层和边界层，导致数值计算困难，采用一般的有限元或有限体积方法虽然具有形式上的高精度，不能解决数值震荡的问题，虽然我们不能简单的将对流占优扩散方程看做对流方程，但由于次方程中含有一阶不对称的导数，对流扩散方程仍会表现出“对流效应”，从而采用迎风格式逼近，尽量反应次迎风特点，此格式简单，克服了锋线前沿的数值震荡，计算结果稳定，之前的迎风格式只能达到一阶精度，我们采用高精度的广义迎风格式，此格式是守恒的，精度高，稳定性好，具有单调性，并且是特征线法的近似，有效的避免了锋线前沿的数值震荡。 有限体积是求解偏微分方程的新的离散技术，日益受到重视。有限体积与有限差分、有限元法最大的区别及优点在于有限体积将求解区域内的计算转化到控制体积边界上进行计算，而后二者均是直接（或间接）在域内计算，故有限体积有着明显的物理涵义，在很大程度上减少计算工作量又能满足计算精度要求，加快收敛速度。由于此方法讲散度的积分化为子域边界积分后子啊离散，数值解满足离散守恒，而且可以采用非结构网格，所以在计算物理特别是计算流体力学领域上有限体积有广阔的前景。 间断Galerkin（DG）方法是在1973年，Reed和Hill在求解种子迁移问题时，针对一阶双曲问题的物理特点提出的。之后C.Johnson，G.R.Richter等人对双曲问题的DG方法做了进一步的研究，并且得到了该机的误差分析结果，由于这种方法具有沿流线从“上游”到“下游”逐层逐单元计算的显示求解的特点，并且可以进行并行计算，所以被广泛应用于各类方程的求解。最近Douglas等人在{25}中处理二阶椭圆问题时，得到DG方法的有限元空间不需要满足任何连续性条件，因此空间构造简单，具有较好的局部性和并行性。DG发展的一个重要方面是对对流占优扩散方程的应用。G.R.Richter等在1992年提出利用DG方法求解定长对流扩散问题 近年DG方法有了新的发展，其中YeXiu提出间断体积元方法备受人们关注，2004年，她将有限体积法与DG相结合，提出了椭圆问题的间断有限体积法，此方法解除了逼近函数在跨越边界上连续的限制，之后更多的研究者应用到Stokes问题，抛物问题，双曲问题，并得到了较好的结果，该方法不但继承了有限体积的高精度计算简单及保持物理间局部守恒等优点，而且有限元空间无需满足任何连续性要求，空间构造简单，有较好的局部和并行性。 当对流扩散方程中的对流项占主导地位时，方程具有双曲方程的特点，这是由于对流扩散方程中的非对称的对流项所引起的迎风效应使对流扩散方程的数值求解更困难，用传统的中心差分法和标准的有限元求解会差生数值的震荡，从而使数值模拟失真，为了克服这一困难，早在20世纪50年代，就有人提出了迎风思想，由于使用迎风技巧可以有效的消除数值解不稳定性，因此吸引了众多学者的关注，从1977年，Tabata等人就针对对流扩散方程提出了三角形网格上的迎风格式{42,38}，并进行了深入的研究，梁栋基于广义差分法，提出并分析了一类建立在三角网格上的广义迎风差分格式，袁益让2001年就多层渗流方程组合系统提出并分析了迎风分数步长差分方法，以上均是讨论的线性对流扩散问题，胡建伟等通过引入质量集中算子，构造并分析了一类基于三角网格的质量集中型的部分有限元方法处理线性和非线性对流扩散问

fick定律扩散方程

扩散方程 扩散方程稳态扩散与非稳态扩散 1．稳态扩散下的菲克第一定律（一定时间内，浓度不随时间变化dc/dt=0） 单位时间内通过垂直于扩散方向的单位截面积的扩散物质流量（扩散通量）与该面积处的浓度梯度成正比 即J=－D（dc/dx） 其中D：扩散系数，cm2/s，J：扩散通量，g/cm2·s ，式中负号表明扩散通量的方向与浓度梯度方向相反。 可见，只要存在浓度梯度，就会引起原子的扩散。 x轴上两单位面积1和2，间距dx，面上原子浓度为C1、C2 则平面1到平面2上原子数n1=C1dx ，平面2到平面1上原子数n2=C2dx 若原子平均跳动频率f, dt时间内跳离平面1的原子数为n1f·dt 跳离平面2的原子数为n2fdt，但沿一个方向只有1/2的几率，则单位时间内两者的差值即扩散原子净流量。 令，则上式 2．扩散系数的测定： 其中一种方法可通过碳在γ-Fe中的扩散来测定纯Fe的空心园筒，心部通渗碳气氛，外部为脱碳气氛，在一定温度

下经过一定时间后，碳原子从内壁渗入，外壁渗出达到平衡，则为稳态扩散单位时单位面积中碳流量： A：圆筒总面积，r及L：园筒半径及长度，q：通过圆筒的碳量 则： 即： 则： q可通过炉内脱碳气体的增碳求得，再通过剥层法测出不同r处的碳含量，作出C-lnr曲线可求得D。 第一定律可用来处理扩散中浓度不因时间变化的问 3．菲克第二定律：解决溶质浓度随时间变化的情况，即dc/dt≠0 两个相距dx垂直x轴的平面组成的微体积，J1、J2为进入、流出两平面间的扩散通量，扩散 中浓度变化为，则单元体积中溶质积累速率为 （Fick第一定律） （Fick第一定律） ，，， （即第二个面的扩散通量为第一个面注入的溶质与在这一段距离内溶质浓度变化引起的扩散通

一类反应扩散方程解的长时间行为

I 一类反应扩散方程解的长时间行为 摘 要 本文主要在一个有界光滑区域中讨论了一类带有齐次Dirichlet 边值条件的反应扩散方程解的长时间行为，其方程的形式如下： 其中 偏微分算子是一致抛物的， ，满足一定条件。 对于以上方程，我们首先定义了该方程的弱解，之后我们在有限维空间中构造了一系列该方程的近似解，并证明了在维数趋于无穷时，存在子列收敛于该方程的弱解。最后，我们利用先验估计得到了该方程弱解的存在唯一性。 在获得方程弱解的存在唯一性后，我们便能定义伴随方程的解半群，并由此研究伴随方程解半群的全局吸引子。 为了证明解半群在 中存在全局吸引子，我们证明 了伴随方程的解半群在 与中有界吸收集的存在性，并利用Sobolev 紧嵌入定理得到了全局吸引子的存在性。 关 键 词：反应扩散方程；Galerkin 方法；全局吸引子；弱解

II ABSTRACT In this thesis, we mainly consider the long-time behavior of solutions for the following reaction-diffusion equation with homogeneous Dirichlet boundary condition in a bounded smooth domain : where The partial differential operator is uniformly parabolic, and satisfies some additional assumptions. First of all, we give the definition of weak solutions, and then, we construct a sequence of approximate solution in a n dimension subspace and show that there exists a subsequence will convergent to a weak solution of this problem when n goes to infinite. Finally, we establish the existence and uniqueness of weak solution by some aprior estimates. With the help of the existence and the uniqueness of weak solutions, we define the solution semigroup associate with the problem and investigate the existence of a global attractor for the semigroup. To prove the existence of a global attractor, we show that there exist bounded absorbing sets in and and obtain existence of a global attractor in by using the Sobolev compactness embedding theorem. KEY WORDS: Reaction-diffusion equation; Galerkin’s method ; Global attractor; Weak solution

对流扩散方程有限差分方法.

对流扩散方程有限差分方法 求解对流扩散方程的差分格式有很多种，在本节中将介绍以下3种有限差分格式：中心差分格式、Samarskii 格式、Crank-Nicolson 型隐式差分格式。 3.1 中心差分格式 时间导数用向前差商、空间导数用中心差商来逼近，那么就得到了（1）式的中心差分格式]6[ 2 1 11 1122h u u u v h u u a u u n j n j n j n j n j n j n j -+-+++-=-+-τ （3） 若令 h a τ λ=，2h v τ μ=，则（3）式可改写为 )2()(2 111111 n j n j n j n j n j n j n j u u u u u u u -+-+++-+--=μλ （4） 从上式我们看到，在新的时间层1+n 上只包含了一个未知量1 +n j u ，它可以由时间层n 上的值n j u 1-，n j u ，n j u 1+直接计算出来。因此，中心差分格式是求解对 流扩散方程的显示格式。 假定),(t x u 是定解问题的充分光滑的解，将1 +n j u ，n j u 1+，n j u 1-分别在),(n j t x 处 进行Taylor 展开： )(),(),(211ττO t u t x u t x u u n j n j n j n j +??? ?????+==++ )(2),(),(3 22211 h O x u h x u h t x u t x u u n j n j n j n j n j +????????+????????+==++ )(2),(),(3 22211 h O x u h x u h t x u t x u u n j n j n j n j n j +????????+????????-==-- 代入(4)式，有 2 111 1122),(h u u u v h u u a u u t x T n j n j n j n j n j n j n j n j -+-+++---+-= τ )()()(2222 h O v x u v h O a x u a O t u n j n j n j ?-????????-?+????????++????????=τ )()()(222h O v a O x u v x u a t u n j n j n j ?-++????????-??? ?????+????????=τ

基于Peclet数判别法的一维对流扩散方程分类研究

基于Peclet 数判别法的一维对流扩散方程分类研究 摘要：采用Peclet 数的绝对值大小来判别一维对流扩散方程为对流占优型或是扩散占优型方程，运用三种隐式差分格式—中心隐式格式、对流C-N 型格式和扩散C-N 格式，对不同Peclet 数的算例进行离散和求解。然后，将计算区域中所有节点的解析解与数值解表示成矩阵形式，并求解出它们的矩阵2范数之后作比较，两者越接近则代表差分格式精度越高。通过比较得出了当方程Peclet 数的绝对值小于等于0.5时，方程为扩散占优型方程。在离散方法选取方面，针对扩散项的离散可以采用更高精度的差分格式，如扩散C-N 格式；当Peclet 数的绝对值大于等于20时，方程为对流占优型方程。此时，针对对流项可以采用更高精度的差分格式，如对流C-N 格式；当Peclet 数的绝对值介于0.5与20之间时，无法用Peclet 数判断方程类型,不过可以选择折衷的离散格式减小误差，如中心隐式格式。 关键字：一维对流扩散方程 Peclet 数判别法 有限差分方法 数值模拟 MR(2010)主题分类号：39A14；65M06 中图分类号：O242.2 文献标识码： A 1.引言 一维对流扩散方程是描述流体流动和传热问题的一类线性化模型方程。土壤、大气等多孔介质中水、盐分、温度以及污染物质的对流扩散问题都会遇到此类方程。在一维对流扩散方程的求解过程中，反映流体对流和扩散两种物理作用的分别是对流项和扩散项。所以，根据方程中对流项还是扩散项占主导作用，通常可将方程分为对流占优型和扩散占优型两类方程。然而，要想得到精确度较高的数值结果，这两种类型方程的离散方法不能采用相同的离散格式。因此，需要有一种判别方法来判断方程的类型，关于对流占优型和扩散占优型方程的判别方法一直是近年来研究的热点问题。这对研究不同类型的方程使用合适的差分格式进行离散具有实际的意义。由于Peclet 数的绝对值表示了对流作用相对扩散作用的大小，即绝 大，扩散所起的作用就可以忽略。反之，当Peclet 数为零时，方程就为纯扩散方程。本文选用一维定解非稳态对流扩散方程为例，通过考察Peclet 数的绝对值大小来对方程进行分类，方程一般形式如下： 2(,),,0 122(1)(,0)()(,)(),(,)()12(,) u u u a f x t x x x t t x x u x g x u x t t u x t t u u x t υ?φ???? ?? ?? ????+=+≤≤≥???==== 其中a 和υ分别代表对流项系数和扩散项系数。假定求解区间长度为s ， Peclet 数的绝对值

剖面二维非恒定悬移质泥沙扩散方程的数值方法.

剖面二维非恒定悬移质泥沙扩散方程的数值方法< 1 引言 数学模拟方法正在成为研究河流泥沙问题的重要手段。目前，一维数学模型发展较成熟，已广泛应用于模拟长河段的长期变形，但它只能给出河段平均冲淤深度的沿程变化，如需了解短河段的河床变形细节，则要采用二维以至三维数学模型。不论是一维数学模型还是平面二维维数学模型，都不能反映含沙量沿垂线的分布状况，并忽略了含沙量沿垂线分布对垂线平均含沙量变化过程的影响。要解决这类问题，必须建立剖面二维数学模型。这种模型主要通过解剖面二维泥沙扩散方程来研究悬移质泥沙沿水深的分布及含沙量的变化过程，对水电站进口和其它引水工程的引水口高程的确定都能提供较好的数值模拟。 泥沙扩散方程实际上是一个变系数的二阶线性偏微分方程，这样的方程在各种复杂边界条件下求解是极为困难的。求扩散方程的解析解在数学上存在着难以克服的困难，往往只能通过对方程的简化，才能得到一些简单边界条件下的解析解，在这方面， A.A.Kalinske 、野满隆治、 W.E.Dobbins 、俞维强、张启舜、韦直林 [ ２ ] 等都做了有益的尝试；求扩散方程的数值解曾经因为缺乏高效率的计算工具而难以实现，直到 60 年代后，随着计算机的广泛应用，在各种复杂边界条件下求扩散方程的数值解不但成为可能，而且得到迅速的发展，在这方面，曹志先、崔侠 [ ４ ] 等做了大量工作，取得了很多成果。 数值方法相对于解析方法在求解偏微分方程上有着明显的优势，即简单灵活、计算方便快捷，但要寻找一种精度高、稳定性好、计算方便的差分格式也并非易事。本文拟在前人研究的基础上着重讨论剖面二维泥沙扩散方程的数值解问题，希望能提供一种精度高、稳定性好、计算方便的数值解。 2 基本方程 剖面二维泥沙扩散方程的形式为

一维对流扩散方程的稳定性条件推导

一维稳态对流扩散方程稳定性条件的推导 姓名： 班级：硕5015 学号： 2015/12/15

证明： 一维稳态对流扩散方程： 22u x x φφρ??=Γ?? 采用控制容积积分法，对上图P 控制的容积作积分，取分段线性型线，对均分网格可得下列离散方程： ()()()()()()()()11112222e w e w P E W e w e w w w e e u u u u x x x x φρρφρφρδδδδ??????ΓΓΓΓ+-+=-++????????????????记：()()()()1122e w P e w w e a u u x x ρρδδΓΓ=+-+ ()()12 e E e e a u x ρδΓ=- ()()12w W w w a u x ρδΓ= + 定义通过界面的流量u ρ记为F ,界面上单位面积扩散阻力的倒数x δΓ记为D ,则原式简化为： P P E E W W a a a φφφ=+ 12 E e e a D F =- 12 W w w a D F =+ ()P E W e w a a a F F =++- 令 u x F Pe D ρδ==Γ 则 1111222 E W P Pe Pe φφφ????-++ ? ?????=

当Pe 大于2以后，数值解出现了异常；P φ小于其左右邻点之值，在无源项情 况下是不可能的。因为当2Pe >时系数12 E e e a D F =-小于零，即右边点的通过对流及扩散作用对中间点所产生的影响是负的，这会导致物理上产生不真实的解，所以2u x Pe ρδ=≤Γ 证毕。

二维扩散方程

一、用有限差分法求解二维扩散方程的初边值问题 该问题的精确解为1 ()2 (,,)x y t u x y t e +-= 二、用下列差分格式编程计算，并比较计算速度、精度、稳定性。 1． 古典显式格式： 1,,1,,1,,1,,1 2 2 22n n n n n n n n j l j l j l j l j l j l j l j l u u u u u u u u h h τ ++-+---+-+= + 2． 交替方向隐式格式（P-R 格式）： 1111 2222 ,,1,,1,,1,,1 22 1111 1111 2222,,1,,1,,1,,122 222 222 n n n n n n n n j l j l j l j l j l j l j l j l n n n n n n n n j l j l j l j l j l j l j l j l u u u u u u u u h h u u u u u u u u h h ττ+++++-+-+++++++++-+-?--+-+?=+?????--+-+?=+??? 3． 局部一维格式： 1111 2222 ,,1,,1,1,,1,221111 11112222 ,,,1,,1,1,,122 2211()222 2211()222 n n n n n n n n j l j l j l j l j l j l j l j l n n n n n n n n j l j l j l j l j l j l j l j l u u u u u u u u h h u u u u u u u u h h ττ+++++-+-++++ +++++-+-?--+-+?=+?????--+-+?=+??? 4． 预测-校正格式： 第一步：1111 4444 ,,1,,1,2 11111 24222 ,,,1,,1222 22 n n n n n j l j l j l j l j l n n n n n j l j l j l j l j l u u u u u h u u u u u h ττ+++++-++++++-?--+?=?????--+?=??? ， 122 ()2221 ()2 11 (1)2211 (1)223,(0,1,01) 2(,,0)(0,1)(0,,),(1,,)(01,01) (,0,),(,1,)(01,01)x y t x y y t y t x t x t u u u e x y t t x y u x y e x y u y t e u y t e y t u x t e u x t e x t +-+-+--+-?????-+=-<<<≤??????=<

一维对流扩散方程的数值解法

一维对流扩散方程的数值解法 对流-扩散方程是守恒定律控制方程的一种模型方程，它既是能量方程的表示形式，同时也可以认为是把压力梯度项隐含到了源项中去的动量方程的代表。因此，以对流-扩散方程为例，来研究数值求解偏微分方程的相容性、收敛性和稳定性具有代表性的意义。 1 数学模型 本作业从最简单的模型方程，即一维、稳态、无源项的对流扩散方程出发，方程如下： 22, 02f f f U D x t x x ???+=≤≤??? (1) 初始条件 (),0sin(2)f x t A kx π== (2) 解析解 ()()()224,sin 2Dk t f x t e A k x Ut ππ-=- (3) 式中，1,0.05,0.5,1U D A k ==== 函数(3)描述的是一个衰减波的图像，如图1所示 t=0 t=0.5 t=1 图1 函数()()()224,sin 2Dk t f x t e k x Ut ππ-=- 的图像（U=1，D=0.05，k=1） 2 数值解法 2.1 数值误差分析 在网格点(),i n 上差分方程的数值解n i f 偏离该点上相应的偏微分方程的精确解 (),f i n 的值，称为网格节点上的数值误差。 当取定网格节点数21N =时，观察差分方程的解与微分方程的解在不同时间步长下的趋近程度，其中时间步长分别取值0.05,0.025,0.0125,0.0005t ?=。

（a ）21,0.05N t =?= （b ）21,0.025N t =?= （c ）21,0.0125N t =?= （d ）201,0.0005N t =?= 图2 数值误差随步长的变化情况 从图2的(a)~(d)可以定性的看出，数值误差与步长的大小有关。在满足稳定性条件的前提下，数值误差随着时间步长的减小而减小，同时，图（d ）表示增大网格的分辨率也有助于减小网格误差。 为了对数值误差有一个定量的认识，接下来取定时间步长为0.0005t ?=，分别算出 11,21,41,61,81,101,121,161N =时，指标E =1所示。 表1 不同网格节点数下指标E 的值

对流扩散方程背景

对流扩散方程背景 提出一种隐格式用于解决二维时间依赖的Burgers型方程。迎风单边差分格式被用于对流项离散；对扩散项用二阶中心差分格式离散。我们建立了全隐的数值有限差分格式，分析了无条件稳定性和严格推导了收敛性，在空间是二阶收敛的和时间一阶收敛的。给出数值结果验证理论正确性。 关键词：隐格式，单边差分逼近，Burgers方程，稳定性，收敛阶 对流扩散方程背景 对流扩散方程描述黏性流体的动力学行为，这在许多工程应用中发挥了重要作用。对流占优型扩散方程一般具有对流比扩散的系数大得多的特点，通常数值模拟具有一定难度，因为一方面，扩散系数比传输速度小，并且在另一方面，由于数值扰动容易出现边界层现象。许多格式已用于这些问题的模拟，并有大量成功的数值方法[1-3]。通过离散方法来解决对流扩散问题时，一般运用标准Galerkin有限元方法求解，但此方法会导致非物理特征扰动。为了解决这类缺陷，几种稳定的有限元方法已经在[4]中被提出了。 我们感兴趣的是建立非耗散方法来克服数值扰动，并有鲁棒性和二阶精度，尤其是对Burgers问题。Burgers问题通常被认为非线性流体的流动和扰动的经典模型。在二维非线性的情况下，可以描述对流和扩散的现象，Burgers方程代表一种最基本的非线性模型方程。从一个数值格式出发研究是相当有趣的，因为Burgers已出现在众多的流体方程中[5-7]。并已经由霍普夫-科尔计算出多种组合的初始条件和边界条件下的结果[10,11]。此外，对于非线性Burgers方程的解析解也可以通过Homotop Perturbation法[12]得到。 众所周知，单独的选择一种基本差分格式如中心差分或者迎风格式，来计算纯对流式的方程，扩散项通常只是中心近似。而解决问题的关键在于对流方面构造稳定的离散结构来克服数值扰动。虽然单边差分近似格式已经被提出了30年之久[13]，人们却很少关注他们在计算流动问题。一阶或者二阶单边迎风有限差分

对流方程及算法介绍

1 引言 2 对流方程及算法介绍 2.1对流方程的概述 对流：是指由于流体的宏观运动，从而使流体各部分之间发生相对位移，冷热流体相互掺混所引起的热量传递过程。 对流仅发生在流体中，对流的同时必伴随有导热现象。 人们研究对流扩散方程，主要的研究对象是流体在流动过程中，流体所携带的某种物质的物理量的变化规律，例如传热过程中温度的变化规律或者溶解于流体中溶质的物质浓度等物理量的变化规律。这些变化通常包括对流、扩散以及由于某种物理或者化学的因素而引起的物理量的自身衰减或增长。 最简单的一维对流扩散方程形如(2-1)式: （2-1） 其中C 是常数，它属于双曲型方程，可以被用来描述流体的运动等物理现象。 2.2水对流现象的简易演示 2.2.1 基本步骤 用两只相同的小烧杯，各装上冷水，再如图1所示插入长短两根吸管，虹吸管由普通化学实验用玻璃管在酒精灯上加热弯成，一根查到被子底部，一根只插入水的表面，再在右杯中滴入几滴墨水并搅拌均匀，现在开始用酒精灯加热左边的烧杯，一段时间后就可以明显的看到染了颜色的水从右杯源源不断的流入左杯，左杯的水源源不断的流入右杯，最后两杯水都变成了墨水的颜色，与此同时用手摸右边的杯子，右边的水也热了起来，这就是冷热水发生了对流的缘故。 2.2.2 实验注意事项 短虹吸管只插入水的表面，不能过深。 玻璃管宜选壁较厚一些的，这样绝热性好一些，效果也好一些。 0=??+??x u C t u

2.2.3 实验原理分析 对左边的水杯用酒精灯加热，水受热密度变小开始上升，右边水杯的 冷水从下边的吸管流向左边的水杯进行补充，左边水杯的热水从上边的吸管流向右边的水杯，这样一会儿两杯水都变成墨水的颜色了[1]。 在冷水里面掺热水也是一样的道理，在不搅拌的情况下，最后水温基本都是一个温度，这就是水的对流，除了水的对流还有刮风是空气的对流，气压高的一方向气压低的一方补充空气，这就形成了对流，就会产生风；还有冬天在家里开空调，形成空气对流，最后整个房间的温度都升了起来。 2.3对流方程及其现有算法 1.针对常系数对流扩散方程，我们利用指数变换， 构造四阶紧致差分格式。 2.针对一维变系数对流扩散方程，将其转化为扩散方程，并构造四阶紧致差分格式。 3.对于常系数二维对流扩散方程，构造出四阶紧致差分方程，以及特殊的变系数 对流扩散方程的四阶紧致差分格式。 4.针对一维常系数对流扩散方程 和一维变系数对流扩散方程，分别构造了几种基于线性和双线性插值 的特征差分格式。 5.针对二维对流扩散方程 ，构造了几种基于线性和双线性插值的特征差分格式。 2.3影响物理量?的三个过程 用),,,(t z y x ??=来表示流体中单位体积的流体所携带的某种物理量，它可以是流体的质量或温度。流体的温度可以用?来表示，流体的密度ρ也可以用? ),(22t x f x u x u a t u +??=??+??ε2 2),(x u x u t x a t u ??=??+??εf y u x u a y u q x u p t u =??+??-??+??+??)(2222) ,()()()(2222y x f y u y q x u x p y u x u =??+??+??+??22x u x u v t u ??=??+??ε) ,()()()(22t x f x x a x u x b x u x c u =??-??+??) ,())(,(),(),(),(222221y x f y u x u y x a y u y x b x u y x b t u y x c =??+??-??+??+??

对流扩散方程.

A

对流扩散方程的求解 对流扩散问题的有效数值解法一直是计算数学中重要的研究内容，求解对流扩散方程的数值方法主要是有限差分法(FDM)、有限元法(FEM)、有限体积法(FVM)、有限解析法(FAM)、边界元法(BEM)、谱方法(SM) 等多种方法。但是对于对流占优问题，用通常的差分法或有限元法进行求解将出现数值震荡。 为了克服数值震荡，80年代，J.Douglas,Jr.和T.F.Russell 等提出特征修正技术求解对流扩散占优的对流扩散问题，与其它方法相结合，提出了特征有限元方法、特征有限差分方法、特征混合元方法；T.J.Hughes和A.Brooks提出过一种沿流线方向附加人工黏性的间断有限元法，称为流线扩散方法(SDM)。有限差分法、有限元法、有限体积法是工程应用中的主要方法。 对流扩散方程的特点 对流扩散方程右端第一项为扩散项，左端第二项则是对流项。由于其方程本身的特点，给建立准确有效的数值求解方法带来一定的困难。对流和扩散给流体中由流体携带的某种物理量的变化过程，可以通过一个无量纲的特征参数(Peclet数)来描述，Peclet数Pe的定义为：Pe=|ν|L/D。这里v是来流速度，L是特征长度，D是物质的扩散系数。如果Pe数较小，即对流效应相对较弱，这类问题中，扩散占主导地位，方程是椭圆型或抛物线型；

如果Pe数较大，即溶质分子的扩散相对于流体速度而言是缓慢的，这类问题中，对流占优，方程具有双曲型方程的特点。 对于对流占优问题的求解，采用常规的Galerkin有限元方法，为了避免求解结果产生数值振荡，获得稳定解，则应使每个单元的局部Peclet数，Peh=|ν|h/D≤2，这里h为单元的最大尺寸，|v|为单元中的最大速度分量值。因此，用本文方法求解对流占优对流扩散问题，要得到稳定解，则要通过加密有限元网格来实现。

二维扩散方程

一、 用有限差分法求解二维扩散方程的初边值问题 该问题的精确解为1 ()2 (,,)x y t u x y t e +-= 二、 用下列差分格式编程计算，并比较计算速度、精度、稳定性。 1． 古典显式格式： 1,,1,,1,,1,,1 2 2 22n n n n n n n n j l j l j l j l j l j l j l j l u u u u u u u u h h τ ++-+---+-+= + 2． 交替方向隐式格式（P-R 格式）： 1111 2222 ,,1,,1,,1,,1 22 1111 1111 2222,,1,,1,,1,,122 222 222 n n n n n n n n j l j l j l j l j l j l j l j l n n n n n n n n j l j l j l j l j l j l j l j l u u u u u u u u h h u u u u u u u u h h ττ+++++-+-++++ +++++-+-?--+-+?=+?????--+-+?=+??? 3． 局部一维格式： 1111 2222 ,,1,,1,1,,1,22 1111 11112222 ,,,1,,1,1,,122 2211()222 2211() 222 n n n n n n n n j l j l j l j l j l j l j l j l n n n n n n n n j l j l j l j l j l j l j l j l u u u u u u u u h h u u u u u u u u h h ττ+++++-+-++++ +++++-+-?--+-+?=+?????--+-+?=+??? 4． 预测-校正格式： 第一步：1111 4444 ,,1,,1,2 11111 24222 ,,,1,,12 22 22 n n n n n j l j l j l j l j l n n n n n j l j l j l j l j l u u u u u h u u u u u h ττ+++++-++++++-?--+?=?????--+?=??? ， 第二步： 1111111 22 222 2,,1,,1,,1 ,,1 2 2 22n n n n n n n n j l j l j l j l j l j l j l j l u u u u u u u u h h τ + + + + + + ++-+---+-+= + 122 ()222 1 ()2 11 (1)2211 (1)223,(0,1,01)2(,,0)(0,1)(0,,),(1,,)(01,01)(,0,),(,1,)(01,01)x y t x y y t y t x t x t u u u e x y t t x y u x y e x y u y t e u y t e y t u x t e u x t e x t +-+-+--+-?????-+=-<<<≤??????=<

对流占优扩散方程的差分法

摘要 对流占优扩散方程主要包含对流项和扩散项，其中对流项系数远远大于扩散项系数。在数值计算中，方程中的扩散项一般采用具有优良物理特性和计算精度的中心差分离散格式，而关于对流项的处理就稍显困难，若处理不当便会产生数值震荡或数值弥散，给数值计算带来困难。因此，需要对求解的方法做出改进。 本文主要讨论迎风差分格式，迎风加权差分格式，以及特征有限差分格式。三种方法都能够消除数值震荡，但各种方法间又各有差异。迎风格式计算量较小，能够消除数值震荡，但是数值解的精度不高。特征有限差分格式中含有多个未知的点，计算量特别大，从误差分析中可以看出，其数值解拥有较高的精度。迎风加权差分格式，是在迎风格式的基础上改进得到的，精度较高，其数值解不仅受到时间和空间步长的影响，还受到不同参数的影响。可以选取不同的参数是迎风加权格式的一个优点。 关键词：对流占优扩散方程；迎风格式；迎风加权差分格式；特征有限差分法

Abstract Convection-dominated diffusion problems mainly contain convection and diffusion terms, which the convection coefficient is much larger than the diffusion coefficient. In the numerical calculation, diffusion terms in the equation commonly used central difference discretization scheme with excellent physical properties and calculation accuracy. However, the method of the convective terms slightly difficult. It would produce numerical shock or numerical dispersion if not handled properly. Therefore, we need to make some improvements. This article focuses on upwind difference scheme, upstream weighted scheme, as well as characteristic finite difference method. The numerical oscillation can be eliminated by all three methods, but there are differences between each method. Upwind difference scheme has smaller amount of calculation, to eliminate the numerical oscillation, but the accuracy of numerical solution is not as good as we expect. Characteristic finite difference method which contains a number of unknown point, with a large amount of calculation, and we can see from the error analysis, the accuracy of numerical solution is much higher. Upstream weighted scheme, which improved based on upwind scheme, is not only influenced by the time and space step, but also affected by different parameter of . To choose a different parameter of is also an advantage of upstream weighted scheme. Key Words: Convection-dominated diffusion problem; Upwind difference scheme; Upstream weighted scheme; Characteristic finite difference method