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2018全国高中数学联赛安徽省初赛试卷(含答案)

2018全国高中数学联赛安徽省初赛试卷(含答案)
2018全国高中数学联赛安徽省初赛试卷(含答案)

2018全国高中数学联赛安徽省初赛试卷

一、填空题(每题8分,共64分,结果须化简)

1、设三个复数1,i,z 在复平面上对应的三点共线,且|z|=5,则z=

2、设n 是正整数,且满足n 5

=438427732293,则n=

3、函数f(x)=sin(2x)+sin(3x)+sin(4x)的最小正周期=

4.设点P,Q 分别在函数y=2x 和y=log 2x 的图象上,则|PQ|的最小值=

5、从1,2,…,10中随机抽取三个各不相同的数字,其样本方差s 2≤1的概率=

6、在边长为I 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1内部有一小球,该小球与正方体的对角线

段AC 1相切,则小球半径的最大值=7、设H 是△ABC 的垂心,且3450HA HB HC ++= ,则cos∠AHB=

8、把1,2,…,n 2按照顺时针螺旋方式排成n 行n 列的表格T n ,第一行是1,2,…,n.

例如:3123894765T ??

??=??????设2018在T 100的第i 行第j 列,则(i,j)=·

二、解答题(第9-10题每题21分,第11-12题每题22分,共86分)

9、如图所示,设ABCD 是矩形,点E,F 分别是线段AD,BC 的中点,点G 在线段EF 上,点D,H 关于线段AG 的垂直平分线L

对称.求证:∠HAB=3∠GAB.

10、设O 是坐标原点,双曲线C:上动点M 处的切线交C 的两条渐近线于A,B 两点。(1)减B 两点:`(1)求证:△AOB 的面积S 是定值。(2)求△AOB 的外心P 的轨迹方程.

11、(1)求证:对于任意实数x,y,z 都有:)222x 23y z xy yz zx ++≥++.

(2)是否存在实数,使得对于任意实数x.y,z 下式恒成立?

()222x 23y z k xy yz zx ++≥++,试证明你的结论.

12.在正2018边形的每两个顶点之间均连一条线段,并把每条线段染成红色或蓝色.求此图形中三边颜色都相同的三角形的最小个数.

2018年全国高中数学联合竞赛(A卷)

2018年全国高中数学联赛竞赛 一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,满分64分。 1.设集合{1,2,3,99}A =…,{2|},{|2}B x x A C x x A =∈=∈,则B C I 的元素个数为______. 2.设点P 到平面α Q 在平面α上,使得直线PQ 与α所成角不小于30?且不大于60?,则这样的点Q 所构成的区域的面积为______. 3.将1,2,3,4,5,6随机排成一行,记为,,,,,a b c d e f ,则abc def +是偶数的概率为______. 4.在平面直角坐标系xOy 中,椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别是12F F 、,椭圆C 的弦ST 与UV 分别平行于x 轴与y 轴,且相交于点P 。已知线段,,,PU PS PV PT 的长分别为1,2,3,6,则12PF F ?的面积为______. 5.设()f x 是定义在R 上的以2为周期的偶函数,在区间[0,1]上严格递减,且满足()1,(2)2f f ππ==,则不等式组121()2x f x ≤≤??≤≤? 的解集为______. 6.设复数z 满足||1z =,使得关于x 的方程2220zx zx ++=有实根,则这样的复数z 的和为______. 7.设O 为ABC ?的外心,若2AO AB AC =+u u u r u u u r u u u r ,则sin BAC ∠的值为______. 8.设整数数列1210,,,a a a …满足1012853,2a a a a a =+=,且 1{1,2},1,2,,9i i i a a a i +∈++=…, 则这样的数列的个数为______。 二、解答题:本大题共3小题,满分56分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 9.(本题满分16分)已知定义在R + 上的函数()f x 为 3|log 1|,09,()49x x f x x -<≤??=?->?? 设,,a b c 是三个互不相同的实数,满足()()()f a f b f c ==,求abc 的取值范围。 10.(本题满分20分)已知实数列123,,,a a a …满足:对任意正整数n ,有(2)1n n n a S a -=,其中n S 表示数列的前n 项和。证明: 1)对任意正整数n ,有n a < 2)对任意正整数n ,有11n n a a +<。 11.在平面直角坐标系xOy 中,设AB 是抛物线2 4y x =的过点(1,0)F 的弦,AOB ?的外接圆交抛物线于点P (不同于点,,O A B )。若PF 平分APB ∠,求||PF 的所有可能值。 加试(A 卷) 一、(本题满分40分)设n 是正整数,1212,,,,,,,n n a a a b b b ?…,,A B 均为正实数,满足 ,,1,2,,i i i a b a A i n ≤≤=…,且 1212n n b b b B a a a A ≤……。 二、(本题满分40分)如图,ABC ?为锐角三角形,AB AC <,M 为BC 边的中点,点D 和E 分别为 ABC ?的外接圆?BAC 和?BC 的中点,F 为ABC ?的内切圆在AB 边上的切点,G 为AE 与BC 的交点,N 在线段EF 上,满足NB AB ⊥。 证明:若BN EM =,则DF FG ⊥。(答题时请将图画在答卷纸上)

2018年全国高中数学联合竞赛(B卷)

2018全国高中数学联赛(B卷) 一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,满分64分. 1.设集合A={2,0,1,8} ,B={2a|a^A},则AUB的所有元素之和是 ______________ . 2?已知圆锥的顶点为P,底面半径长为2,高为1.在圆锥底面上取一点Q,使得直线PQ与底面所成角不大于45。,则满足条件的点Q所构成的区域的面积为_____________ . 3. ___________________________________________________________________________ 将1,2,3,4,5,6随机排成一行,记为a,b,c,d,e,f,则abc + def是奇数的概率为_____________________________ . 4. __________________________________________________________ 在平面直角坐标系xOy中,直线l通过原点,n =(3,1)是丨的一个法向量.已知数列{a n}满足:对任意正整数n,点(a n+,a n)均在I上.若a2 =6,则a-ia2a3a4a5的值为 __________________________________________________ . 5. 设。.戶满足tan(?+—) = -3,tan(0 —巴)=5,则tan(a -P、的值为 3 6 6. 设抛物线C: y2 =2x的准线与x轴交于点A,过点B(-1,0)作一直线l与抛物线C相切于点K,过点A 作丨的平行线,与抛物线C交于点M , N,则△KMN的面积为________ . 7.设f (x)是定义在R上的以2为周期的偶函数,在区间[1,2]上严格递减,且满足f (二)=1, f (2二) =0, 0兰x兰1 则不等式组《一一'的解集为______________ . [0 兰f(x)兰1 8.已知复数乙厶:满足| Z| AZ |=| Z31,|乙Z2 Z3 r,其中r是给定实数,则△?匕?生的实部 Z2 Z3 Z1 是______ (用含有r的式子表示). 二、解答题:本大题共3小题,满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 9. (本题满分16分)已知数列{a n} : a1=7,勺」=a n? 2, n =1,2,3,….求满足耳-42018 a n 10. (本题满分20分)已知定义在R ■上的函数f (x)为 | Iog3x -1|,0 ::: X 乞9, 4 -、、x,x 9. 11. (本题满分20分)如图所示,在平面直角坐标系xOy中,A B与C、D分别是椭圆 2 2 x y C:二2=1(a b 0的左、右顶点与上、下顶点.设P、Q是C上且位于第一象限的两点,满足 a b OQ//AP , M是线段AP的中点,射线OM与椭圆交于点R. 证明:线段OQ、OR、BC能构成一个直角三角形. ir 冬二f ” \ c—r ■X? 加试(B卷) 9 的最小正整数n. f (x)二 设a,b, c是三个互不相同的实数,满足 f (a) = f (b) = f (c),求abc的取值范围

2018年全国各省高中数学竞赛预赛试题汇编(含答案) 精品

2018各省数学竞赛汇集 2018高中数学联赛江苏赛区初赛试卷 一、填空题(70分) 1、当[3,3]x ∈-时,函数 3()|3|f x x x =-的最大值为__18___. 2、在ABC ?中,已知12,4,AC BC AC BA ?=?=-则AC =___4____. 3、从集合 {}3,4,5,6,7,8中随机选取3个不同的数,这3个数可以构成等差数列的概率为 _____ 3 10 _______. 4、已知a 是实数,方程2 (4)40x i x ai ++++=的一个实根是b (i 是虚部单位) ,则 ||a bi +的值为_____5、在平面直角坐标系xOy 中,双曲线:C 22 1124 x y -=的右焦点为F ,一条过原点O 且 倾斜角为锐角的直线l 与双曲线C 交于,A B 两点.若FAB ?的面积为,则直线的斜 率为___1 2 ____. 6、已知a 是正实数,lg a k a =的取值范围是___[1,)+∞_____. 7、在四面体ABCD 中,5AB AC AD DB ====,3BC =,4CD =该四面体的 体积为_____8 、 已 知 等 差 数 列 {} n a 和等比数列 {} n b 满足: 11223,7,a b a b +=+=334415,35,a b a b +=+=则n n a b +=___132n n -+___. (* n N ∈) 9、将27,37,47,48,557175, ,这7个数排成一列,使任意连续4个数的和为3的倍数,则这样的排列有___144_____种. 10、三角形的周长为31,三边,,a b c 均为整数,且a b c ≤≤,则满足条件的三元数组 (,,)a b c 的个数为__24___.

2018全国高中数学联赛试题

2018年全国高中数学联合竞赛一试试题(A 卷) 一、填空题:本大题共 8小题,每小题 8分,共64分. 1.设集合{1,2,3,,99}A = ,{2}B x x A =∈,{2}B x x A =∈,则B C 的元素个数 . 解析:因为{1,2,3,,99}A = ,所以{2,4,6,,198}B = ,{1,2,3,,49}C = ,于是 {2,4,6,,48}B C = ,共24个元素. 2.设点P 到平面α Q 在平面α上,使得直线PQ 与α所成角不小于30 且不大于60 ,则这样的点Q 所构成的区域的面积为 . 解析:过点P 作平面α的垂线,这垂足为O ,则点Q 的轨迹是以O 为圆心,分别以1ON =和3OM =为半径的扇环,于是点Q 所构成的区域的面积为21S S S =-= 9 8πππ-=. 3. 将1,2,3,4,5,6随机排成一行,记为,,,,,a b c d e f ,则abc def +是偶数的概率为 . 解析:(直接法)将1,2,3,4,5,6随机排成一行,共有6 6720A =种不同的排法,要使 abc def +为偶数,abc 为与def 同为偶数或abc 与且def 同为奇数. (1)若,,a b c 中一个偶数两个奇数且,,d e f 中一个奇数两个偶数. 共324种情形; (2)若,,a b c 中一个奇数两个偶数且,,d e f 中一个偶数两个奇数. 共324种情形; 共有648种情形.综上所述,abc def +是偶数的概率为 6489 72010 =. (间接法)“abc def +是偶数”的对立事件为“abc def +是偶数”, abc def +是偶数分成两种情况:“abc 是偶数且def 是奇数”或“abc 是奇数且def 是偶数”,每 P O M N α

2018全国高中数学联赛安徽省初赛试卷(含答案)

2018全国高中数学联赛安徽省初赛试卷 (考试时间:2018年6月30日上午9:00) 一、填空题(每题8分,共64分,结果须化简) 1、设三个复数1, i, z在复平面上对应的三点共线,且|z|=5,则z= 2、设n是正整数,且满足n5=438427732293,则n= 3、函数f(x) =sin(2x) + sin(3x) + sin(4x)的最小正周期= 4.设点P,Q分别在函数y=2x和y=log 2 x的图象上,则|PQ|的最小 值= 5、从1,2,…,10中随机抽取三个各不相同的数字,其样本方差s2≤1的概率= 6、在边长为I的正方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 内部有一小球,该小球与正方体的对角线段AC 1 相切,则小球半径的最大值= 7、设H是△ABC的垂心,且3450 HA HB HC ++=,则cos∠AHB= 8、把1,2,…,n2按照顺时针螺旋方式排成n行n列的表格T n ,第一行是1,2,…,n.例如:3 123 894 765 T ?? ?? =?? ?? ??设2018在T 100 的第i行第j列,则(i,j)=· 二、解答题(第9-10题每题21分,第11-12题每题22分,共86分) 9、如图所示,设ABCD是矩形,点E, F分别是线段AD, BC的中点,点G在线段EF上,点D, H关于线段AG的垂直平分线L对称.求证:∠HAB=3∠GAB.

10、设O是坐标原点,双曲线C:上动点M处的切线交C的两条渐近线于A,B两点。(1)减B 两点:`(1)求证:△AOB的面积S是定值。(2)求△AOB的外心P的轨迹方程. 11、(1)求证:对于任意实数x,y,z都有: ) 222 x23 y z xy yz zx ++≥++ . (2)是否存在实数x.y,z下式恒成立? () 222 x23 y z k xy yz zx ++≥++ ,试证明你的结论. 12.在正2018边形的每两个顶点之间均连一条线段,并把每条线段染成红色或蓝色.求此图形中三边颜色都相同的三角形的最小个数.

2018年全国高中数学联合竞赛试题(B卷)

2018年全国高中数学联合竞赛一试(B 卷) 一、填空题:本大题共8个小题,每小题8分,共64分。 1、设集合{}8,1,0,2=A ,集合{}A a a B ∈=|2,则集合B A 的所有元素之和是 2、已知圆锥的顶点为P ,底面半径长为2,高为1.在圆锥底面上取一点Q ,使得直线PQ 与底面所成角不大于045,则满足条件的点Q 所构成的区域的面积为 3、将6,5,4,3,2,1随机排成一行,记为f e d c b a ,,,,,,则def abc +是奇数的概率为 4、在平面直角坐标系xOy 中,直线l 通过原点,)1,3(=是l 的一个法向量.已知数列{}n a 满足:对任意正整数n ,点),(1n n a a +均在l 上.若62=a ,则54321a a a a a 的值为 5、设βα,满足3)3tan(-=+ πα,5)6tan(=-πβ,则)tan(βα-的值为 6、设抛物线x y C 2:2=的准线与x 轴交于点A ,过点)0,1(-B 作一直线l 与抛物线C 相切于点K ,过点A 作l 的平行线,与抛物线C 交于点N M ,,则KMN ?的面积为为 7、设)(x f 是定义在R 上的以2为周期的偶函数,在区间[]2,1上严格递减,且满足1)(=πf ,0)2(=πf ,则不等式组???≤≤≤≤1 )(010x f x 的解集为 8、已知复数321,,z z z 满足1321===z z z ,r z z z =++321,其中r 是给定的实数,则1 33221z z z z z z ++的实部是 (用含有r 的式子表示)

二、解答题:本大题共3小题,共56分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 9、(本题满分16分)已知数列{}n a 满足:71=a , 21+=+n n n a a a , ,3,2,1=n ,求满足20184>n a 的最小正整数n 。 10、(本题满分20分)已知定义在+R 上的函数)(x f 为???--=x x x f 41log )(39,90,>≤>b a )的左、右顶点与上、下顶点.设Q P ,是椭圆上且位于第一象限的两点,满足AP OQ //,M 是线段AP 的中点,射线OM 与椭圆交于点R . 证明:线段BC OR OQ ,,能构成一个直角三角形。

2018年全国高中数学联合竞赛

26 中 等 数 学 20 1 8 年 全 国 高 中 数学 联 合 竞 赛 中图分类号 : G424 79 文献标识码 : A 文章编号 : 1 005 64 1 6 ( 2018 ) 1 1 0026 06 8. 设整数数列 a i , a2 , , 。 满足 : … 第 一 试 , 一 、 填空题( 每小题 8 分, 共 64 分 ) 1. 设集合 ^ = { 1 , 2 . . . , , 99 | , B = \ 2x x ^ A \ , C - \ x 2x A \ . 则fi n e 的元素个数为 2. 设点 / > 到平面 a 的距离为V 5 , 点 ( ? 在 平面 a 上 , 使得直线 与平面 a 所成 角 不小于 30 。 且不大于 60 。 . 则这样的点 所构成 的区域的面积为 . 3 . 将 1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 随机排成一 行 , 记 为a 、 6 、 c 、 《 f 、 e 、 / 则 a6 c + c ef / 是偶数 的 概 率为 4. 在平面直角 坐标 系 中, 椭 圆 C : % + & = l ( a > 6 > 0 ) 的 左、 右焦点 分别 为 a 〇 心、 F2 , 弦 S 7\ C/F 分别平行于 * 轴 、 y 轴 , 且交 于点 R 已知线段 / ^ 、 朽 、 / ^ 、 /^ 的长分别 为 1 、2 、3 、6. 则 的面积为 . 5. 设/( * ) 是定义在 R 上的 以 2 为周期 的偶函数 , 在区间 [ 0 , 1 ] 上严格递减 , 且满足 /( 7C ) = l , /( 27t ) = 2 . 则不等式组 1 ^ * ^ 2 , 1 矣/〇 ) 矣2 的解集为 6. 设复数 z 满足 I z = 1 , 使得关于 * 的方 程za + 2z* + 2 = 0 有实根. 则这样 的复数z 2 的和为 ? 7. 设 为△ABC 的外心. 若 AO ^ = AB + 2 AC , 则si n Z: 似 C 的值为 . 且 a i + 1 6 U + a £ , 2 + a J ( i = l , 2 , … , 9 ) . 则这样的数列的 个数为 ? 二、 解答题 ( 共 56 分) 9. ( 16 分) 已 知定义在 R + 上的函数 f log3 % - 1 , 0 <% 矣9 ; /( * ) = 厂 1 4 - a / 尤 , x > 9 . 设( * 、 6 、 < ; 为三个互不相同 的实数 , 满足 /( a ) = /( 6 ) = /( c ) . 求 Me 的取值范围 . 1 0 .(20分 )已知实数列a i,a2,… 满足对任意正整数  ̄ 均有 a n ( 2S n^ a n ) = 1 , 其中 表示数列 的前 n 项和. 证明 : ( 1 ) 对任意正整数 / I , 均有 an < 2 A ; ⑵ 对任意正整数 ? 均有 a? a ? + f 1 . 11 . ( 20 分) 在平面直角 坐标系 中 , 为抛物线 y2 = 4* 的 过点F ( 1 , 0 ) 的 弦 , △ AOB 的外接圆与抛物线交于点 P ( 不 同于 点0 人5 ) ? 若 平分Z 求 仲 的 所有可能值 . 加 试 一 、 ( 40 分) 设 71 为正整数 , a! , a2 , . . . , an , h ,6 2,… A 及4 、if均为正实数 ,满足 : a ; 斗 , a; ^4 “ = 1 , 2 , … , n ) , 且 丛 ^f 证明 . :… a A n ( fe ! + l ) ( 62 + l ) - ( 6 n + l ) B + l ( o 1 + l ) ( a2 + l ) - * - ( a n + l ) A+ \ 二、 ( 40 分) 如 图 1 , △ 狀C 为锐角 三角 形, AS < 4C , M 为边 BC 的 中点 , D、 E 分别为 △ A5C 的 外接 圆 弧 2、 & 的 中 点 , f 为

2018年泉州市普通高中数学学科竞赛试题印刷.doc

2018 年泉州市普通高中数学学科竞赛试题 (总分 200 分,考试时间: 150 分钟) 学校 姓名 准考证号 一、填空题:本大题共 15 小题,每小题 6 分,共 90 分.请将答案填写在答题卡的相应位置. 1.已知全集 U R ,集合 M { x | x 2 x 2 0} , N { x | x 3} , 则 ( e U M ) N ___________. x y 4 0, 2.实数 x , y 满足约束条件 x y 2 0, 则 z 3x 2 y 的最小值为 ___________. x 3, 3.若 sin cos 3 ,且 2 ,则 cos sin 的值为 ___________. 8 4 4.已知等差数列 a n 满足 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 40 ,则 4a 6 a 9 ___________. 5.若 x log 4 2 log 2 9 log 4 9 ,则 2x 2 x ___________. 6.在 ABC 中, AB AC 2, BAC 90 , BP BC (0 1) , 则 ( AB AC) AP ___________ . 7.设函数 f ( x) ax 2 2x 1,当 x [0, 2] 时, f (x) 0恒成立,则 a 的取值范围是 . 8.四棱锥 P ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,侧面 PCD 为等边三角形, AB=2 3 ,BC =2 , PA 4 ,则 P ABCD 外接球的表面积为 ___________. 9.已知 P 为圆 x 2 y 2 4 上的动点, A(0, 2 2) ,B( 2, 2) ,则 PB 的最大值为 ________. PA 10.已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) 满足 f (x 2) f (x) ,且当 x [0,1] 时, f ( x) 3x . 函数 g( x) f (x) kx 2k (k 0) 的所有零点为 n x 1 , x 2 , x 3 , , x n ,若 8 x i 12 , i 1 则 k 的取值范围是 ___________.

2018全国高中数学联赛广东赛区选拔赛 含答案

2018年全国高中数学联合竞赛广东赛区选拔赛试卷 一、填空题:本大题共8个小题,每小题8分,共64分. 1. 函数1()1x x ae f x e --+=+(1a ≠)的值域为 . 2.设集合2{|[]2}A x x x =-=和{|||2}B x x =<,其中符号[]x 表示不大于x 的最大整数,则 A B = . 3.已知方程20x xe k -+=在区间(2,2)-内恰有两个实根,则k 的取值范围是 . 4.已知ABC ?的三个角A 、B 、C 成等差数列,对应的三边为a 、b 、c ,且a 、c 成等比数列,则2:ABC S a ?= . 5.已知点(1,1)A ,(1/2,0)B ,(3/2,0)C ,经过点A ,B 的直线和经过A ,C 的直线与直线 y a =(01a <<)所围成的平面区域为G ,已知平面矩形区域{(,)|02,01} x y x y <<<<中的任意一点进入区域G 的可能性为 1 16 ,则a = . 6.袋中装有m 个红球和n 个白球,4m n >≥.现从中任取两球,若取出的两个球是同色的概率等于取出的两个球是异色的概率,则满足关系40m n +≤的数组(,)m n 的个数为 . 7.已知关于x 的实系数方程2 220x x -+=和2 210x mx ++=的四个不同的根在复平面上对应的点共圆,则m 的取值范围是 . 8.已知圆2 2 8x y +=围成的封闭区域上(含边界)的整点(坐标均为整数的点)数是椭圆 22 214 x y a +=围成的封闭区域上(含边界)整点数的15,则正实数a 的取值范围是 . 二、解答题 :本大题共3小题,共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 9.设函数()1x f x e x =--, (1)求()f x 在区间1[0,]n (n 为正整数)的最大值n b ; (2)令1 1n n n a e b =--,1421321 k k k a a a p a a a -= (n ,k 为正整数),求证:

2018年全国高中数学联赛A卷真题word版

一试 一、填空题 1. 设集合{}99,,3,2,1Λ=A ,{}A x x B ∈=2,{} A x x C ∈=2,则C B I 的元素个数为 . 2. 设点P 到平面α的距离为3,点Q 在平面α上,使得直线PQ 与α所成角不小于?30且不大于?60, 则这样的点Q 所构成的区域的面积为 . 3. 将6,5,4,3,2,1随机排成一行,记为f e d c b a ,,,,,,则def abc +是偶数的概率为 . 4. 在平面直角坐标系xOy 中,椭圆()01:2222>>=+b a b y a x C 的左、右焦点分别是21,F F ,椭圆C 的弦ST 与UV 分别平行于x 轴与y 轴,且相交于点P .已知线段PT PV PS PU ,,,的长分别为6,3,2,1, 则21F PF ?的面积为 . 5. 设()x f 是定义在R 上的以2为周期的偶函数,在区间[]1,0上严格递减,且满足()()22,1==ππf f , 则不等式组()?? ?≤≤≤≤2 121x f x 的解集为 . 6. 设复数z 满足1=z ,使得关于x 的方程0222=++x z zx 有实根,则这样的复数z 的和为 . 7. 设O 为ABC ?的外心,若2+=,则BAC ∠sin 的值为 . 8. 设整数数列1021,,,a a a Λ满足1103a a =,5822a a a =+,且{}9,,2,1,2,11Λ=++∈+i a a a i i i , 则这样的数列的个数为 . 二、解答题 9. 已知定义在+R 上的函数()x f 为()???? ?--=, 4,1log 3x x x f .9. 90>≤

2017-2018学年全国高中数学联赛(吉林赛区)预赛试题 Word版含答案

2017-2018学年全国高中数学联赛(吉林赛区)预赛试题 第Ⅰ卷(共30分) 一、选择题:本大题共6个小题,每小题5分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.集合{}2log 2A x Z x =∈≤的真子集个数为( ) A .7 B .8 C .15 D .16 2.三棱锥P ABC -的底面ABC ?是边长为3的正三角形,3,4,5PA PB PC ===,则三棱锥P ABC -的体积为( ) A .3 B . 3.已知函数()f x 满足:()1 14 f =,()()()()()4,f x f y f x y f x y x y R =++-∈,则()2019f =( ) A . 12 B .12- C .14 D .14 - 4.已知()sin 2cos x f x x = +,则对x R ?∈,下列说法中错误的是( ) A .()1 sin 3 f x x ≥ B .()f x x ≤ C .()f x ≤ D .()()0f x f x ππ++-= 5.已知()() 2 2112x x f x x += +?在[)(]2018,00,2018-?上的最大值为M ,最小值为N ,则M N += ( ) A .3 B .2 C .1 D .0 6.设0,0,0x y z >>>,满足,x y xy x y z xyz +=++=,则z 的取值范围是( ) A .( B .( C .40,3?? ??? D .41,3?? ??? 第Ⅱ卷(共120分) 二、填空题(每题5分,满分30分,将答案填在答题纸上) 7.函数 23log 21x y x +?? = +- ?-??的定义域为 . 8.已知圆C 的方程为228150x y x +-+=,若直线()2y kx k R =-∈上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有公共点,则k 的最大值等于 .

全国高中数学联赛山西省预赛试卷试题及参考标准答案.doc

2018 年全国高中数学联赛山西省预赛试题解答 一、填空题(每小题8 分,共 64 分) 1. 集合 M1,2,L ,2018中,末尾数字为8 的元素之和是 ________. 答案: 204626 解:若将所有的这种数划去其尾数8,剩下的数就是0,1,2,, 201,共计划去202 个 8,因此所求的和值为S 10 0 1 2 L 201 8 202 204626 . 2. 将全体正整数按自小到大的顺序排列,然后这样分段,使得第一段有 1 个数,第二段有 3 个数,,第n 段有2n 1个数;那么,第20 段中的第18 个数是 ________. 答案: 379 解:显然,前 n 段共有 1 3 5 L2n 1 n2个数,即第 n 段中最大数为n 2;于是第 19 段中的最大数为 19 2 ,则第20 段中第18 个数为361 18 379 . 361 3. 函数 y 1 x2 的值域是 ________. 2 x 答案: 0, 3 3 1 x 2 1 t 2 2 解:因 x 1,1 , y 0 ;又据 y2 ,令t x 2 ,则y2 ,即 x 2 2 t 2 y 2 1 t 2 4t 3 0 ,视为t 的二次方程,其判别式16 12 y 2 1 0 ,得 y 2 1 , 3 y 3 ,因 y 0 ,所以 y 0, 3 . 3 3 另解:x 1,1 ,令x cos ,0, ,则y sin ,y 0 ,2 cos 2 y sin y cos 1 y2 sin 1 y2 ,所以1 y2 4 y2,即 y2 1 ,因 y 0 ,3 则 y 0, 3 . 3 4. 若正整数 n 使得 3 恒介于 1 3 与 1 3 之间,则 n ________. n n 1 答案: 4 解:当 n 为正整数时,易知 3 3 ,由 3 1 3 ,得 n 3 3 3 3 ;由 3 1 3 , n 1 n n 3 1 2 n 1 得 n 1 3 3 ,所以 n 1 3 3 , 3 3 3 ,此区间长度为1,其中只有唯一的整数4,所以 2 2 2

2018年高中数学竞赛初赛试题

2018年高中数学竞赛初赛 一、填空题(每题7分,共10题,共70分) 1. 函数y=│cos x │-cos 2x (x ∈R )的值域 2. 已知(a+bi )2=3+4i ,其中a,b ∈R ,i 是虚数单位,则a 2+b 2= 3. 圆心在抛物线x 2=2y 上,并且和该抛物线的准线及y 轴都相切的圆的方程 4. 设函数f (x )=x 2 4-1x -x ,则不等式f (1-x 2)+f (5x-7)<0的解集为 5. 已知等差数列{a n }的前12项的和为60,则321a a a +++...+12a 的最小值 6. 已知正四面体内切球的半径是1,则该四面体的体积为 7. 在△ABC 中,AB=5,AC=4,且=12,设P 为平面ABC 上一点,则的最小值为 8. 设g (n )=∑=n k n k 1 ),(,其中n ∈N *,(k,n )表示k 与n 的最大公约数,则g (100)的值为 9. 将1,2,3,4,5,6,7,8,9,这九个数随机填入3×3的方格表中,每个小方格填一个数,且所填各 部相同,则使每行,每列所填数之和都是奇数的概率是 10. 在1,2,3,4,...1000中,能写出a 2-b 2+1(a,b ∈N )的形式,且不能被3整除的数有 个 二、解答题(每题20分,共4题,共80分) 11. 如图,在平面直角坐标系xoy 中,已知圆O 的方程为x 2+y 2=4,过P (0,1)点的直线l 与圆O 交于A,B ,与x 轴交于Q ,设,,求证:μλ与为定值. 12. 已知{a n } 是公差为d 的等差数列,且a 1+t 223(1). 求实数t,d 的值;

【竞赛试题】2018全国高中数学联赛安徽省初赛试卷

1 【竞赛试题】2018全国高中数学联赛安徽省初赛试卷 (考试时间:2018年6月30日上午9:00) 一、填空题(每题8分,共64分,结果须化简) 1、设三个复数1, i, z 在复平面上对应的三点共线,且|z|=5,则z= 2、设n 是正整数,且满足n 5=438427732293,则n= 3、函数f(x) =sin(2x) + sin(3x) + sin(4x)的最小正周期= 4.设点P,Q 分别在函数y=2x 和y=log 2x 的图象上,则|PQ|的最小 值= 5、从1,2,…,10中随机抽取三个各不相同的数字,其样本方差s 2≤1的概率= 6、在边长为I 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1内部有一小球,该小球与正方体的对角线段AC 1相切,则小球半径的最大值= 7、设H 是△ABC 的垂心,且3450HA HB HC ++=,则cos ∠AHB= 8、把1,2,…,n 2按照顺时针螺旋方式排成n 行n 列的表格T n ,第一行是1,2,…,n. 例如:3123894765T ????=?????? 设2018在T 100的第i 行第j 列,则(i,j)= · 二、解答题(第9-10题每题21分,第11-12题每题22分,共86分) 9、如图所示,设ABCD 是矩形,点E, F 分别是线段AD, BC 的中点,点G 在线段EF 上,点D, H 关于线段AG 的垂直平分线L 对称.求证:∠HAB=3∠GAB. 10、设O 是坐标原点,双曲线C:上动点M 处的切线交C 的两条渐近线于A,B 两点。(1)减B 两点:`(1)求证:△AOB 的面积S 是定值。(2)求△AOB 的外心P 的轨迹方程 .

最新-2018年全国高中数学联赛试题及参考答案 精品

2018年全国高中数学联赛试题及参考答案 试题 一、选择题(本题满分36分,每小题6分) 1、函数f (x)=log1/2(x2-2x-3)的单调递增区间是()。 (A)(-∞,-1)(B)(-∞,1)(C)(1,+∞)(D)(3, +∞) 2、若实数x,y满足(x+5)2+(y-12)2=142,则x2+y2的最小值为()。 (A)2 (B)1 (C)√3(D)√2 3、函数f(x)=x/1-2x-x/2() (A)是偶函数但不是奇函数(B)是奇函数但不是偶函数 (C)既是偶函数又是奇函数(D)既不是偶函数也不是奇函数 4、直线x/4+y/3=1与椭圆x2/16+y2/9=1相交于A,B两点,该椭圆上点P,使得ΔPAB面积等于3,这样的点P共有()。 (A)1个(B)2个(C)3个(D)4个 5、已知两个实数集合A={a1,a2,…,a100}与B={b1,b2,…,b50},若从A到B的映射f使得B中每个元素都有原象,且f(a1)≤f(a2)≤…≤f(a100)则这样的映射共有()。 (A)C50100(B)C4899(C)C49100(D)C4999 6、由曲线x2=4y,x2=-4y,x=4,x=-4围成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V1;满足x2+y2≤16,x2+(y-2)2≥4,x2+(y+2)2≥4的点(x,y)组成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V2,则()。 (A)V1=(1/2)V2 (B)V1=(2/3)V2 (C)V1=V2 (D)V1=2V2 二、填空题(本题满分54分,每小题9分)

7、已知复数Z1,Z2满足∣Z1∣=2,∣Z2∣=3,若它们所对应向量的夹角为60°,则∣(Z1+ Z2)/(Z1+Z2)∣=。 8、将二项式(√x+1/(24√x))n的展开式按x的降幂排列,若前三项系数成等差数列,则该展开式中x的幂指数是整数的项共有个。 9、如图,点P 1,P2,…,P10分别是四面体顶点或棱的中点,那么在同一平 面上的四点组(P1,P i,P j,P k)(1<i<j<k≤10)有个。 10、已知f(x)是定义在R上的函数,f(1)=1且对任意x∈R都有 f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1。若g(x)=f(x)+1-x,则g(2018)= 。 11、若log4(x+2y)+log4(x-2y)=1,则∣x∣-∣y∣的最小值是。 12、使不等式sin2x+acosx+a2≥1+cosx对一切x∈R恒成立的负数a的取值范围是。 三、解答题(本题满分60分,每小题20分) 13、已知点A(0,2)和抛物线y2=x+4上两点B,C使得AB⊥BC,求点C的纵坐标的取值范围。 14、如图,有一列曲线P0,P1,P2……,已知P0所围成的图形是 面积为1的等边三角形,P k+1是对P k进行如下操作得到:将P k的每条 边三等分,以每边中间部分的线段为边,向外作等边三角形,再将中 间部分的线段去掉(k=0,1,2,)。记S n为曲线P n所围成图形的面积。 (1)求数列{S n}的通项公式; (2)求limS n. n→∞ 15、设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R,a≠0)满足条件: (1)当x∈R时,f(x-4)=f(2-x),且f(x)≥x; (2)当x∈(0,2)时,f(x)≤((x+1)/2)2; (3) f(x)在R上的最小值为0. 求最大的m(m>1),使得存在t∈R,只要x∈[1,m],就有f(x+t)≤x。 参考答案 一、选择题

2018年全国高中数学联赛试题

2018年全国高中数学联赛一试 一、填空题 1. 设集合{1,2,3,...,99},{2|},{|2},A B x x A C x x A ==∈=∈ 则B C 的元素个数为 __________. 2. 设点P 到平面α 点Q 在平面α上,使得直线PQ 与α所成角不小于30 且不大于60,则这样的点Q 所构成的区域的面积为__________. 3. 将1,2,3,4,5,6随机排成一行,记为,,,,,,a b c d e f 则abc def +是偶数的概率为________. 4. 在平面直角坐标系xOy 中,椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12F F 、, 椭圆C 的弦ST 与UV 分别平行于x 轴与y 轴,且相交于点P .已知线段,,,PU PS PV PT 的长分别为1,2,3,6,则12PF F 的面积为_________. 5. 设()f x 是定义在R 上的以2为周期的偶函数,在区间[]0,1上严格递增,且满足 ()1,(2)2f f ππ== ,则不等式组121()2 x f x ≤≤??≤≤?的解集为________. 6. 设复数z 满足1z =,使得关于x 的方程2 220zx zx ++=有实根,则这样的复数z 的和 为__________. 7. 设O 为ABC 的外心,若2,AO AB AC =+ 则sin BAC ∠的值为__________. 8. 设正整数数列1210,,...a a a 满足1012853,+2,a a a a a ==且 1{1,2},1,2,...,9i i i a a a i +∈++=, 则这样的数列的个数为__________. 二、解答题 9.已知定义在R + 上的函数()f x 为3log 1,09()49x x f x x ?-<≤?=?>?? ,设,,a b c 是三个互不相同的实数,满足()()()f a f b f c ==,求abc 的取值范围

【数学竞赛】2018高一数学竞赛试题及答案

【数学竞赛】2018高一数学竞赛试题及答案 一、选择题(每题5分,共60分) 1.已知集合A ={x||x|≤2,x ∈R },B ={x|x ≤4,x ∈Z },则A ∩B =( ) A .(0,2) B .[0,2] C .{0,2} D .{0,1,2} 2.若,,,,b a R c b a >∈则下列不等式成立的是( ) A .b a 11< B .22 b a > C . 1 122+>+c b c a D .c b c a > 3.下列函数为偶函数,且在)0,(-∞上单调递减的函数是( ) A .3 2)(x x f = B .3)(-=x x f C .x x f )2 1()(= D .x x f ln )(= 4. 已知m ,n 是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列命题中正确的是( ) A .若α⊥γ,α⊥β,则γ∥β B .若m ∥n ,m ⊥α,n ⊥β,则α∥β C .若m ∥n ,m ∥α,则n ∥α D .若m ∥n ,m ?α,n ?β,则α∥β 5. 等比数列{}n a 的前项和为n S ,且321,2,4a a a 依次成 等差数列,且11=a , 则10S =( ) A .512 B. 511 C .1024 D .1023 6.已知f(x)=2tanx -2sin 2x 2-1 sin x 2cos x 2,则f(π 12)的值为( ) A. 83 3 B. 8 C .4 D. 4 3 7.设变量x ,y 满足约束条件???y ≥x , x +3y ≤4,x ≥-2, 则z =x -3y 的最大值为( ) A .10 B .8- C .6 D .4 8.已知0,0>>y x ,且 11 2=+y x ,若m m y x 222+>+恒成立,则实数m 的取

2018高二数学竞赛试题及答案

2018高二数学竞赛试题及答案 一、选择题(本题满分60分,每题5分) 1.复数() ()2 12z i i =++的虚部为( ) A. 2i - B. 2- C. 4i D. 4 2.已知集合A ={(x ,y)|x +a 2y +6=0},集合B ={(x ,y)|(a -2)x +3ay +2a =0},若A ∩B =?,则a 的值是( ) A. 3或-1 B. 0 C. -1 D. 0或-1 3.()4 23a b c +-的展开式中2abc 的系数为( ) A. 208 B. 216 C. 217 D. 218 4.某公司在2013-2017年的收入与支出情况如下表所示: 根据表中数据可得回归直线方程为0.8y x a ∧ ∧ =+,依此估计如果2018年该公司收入为7亿元时的支出为( ) A. 4.5亿元 B. 4.4亿元 C. 4.3亿元 D. 4.2亿元 5. 在如图所示的正方形中随机投掷10000个点,则落入阴影部分(曲线C 的方程为20x y -= )的点的个数的估计值为( ) A. 5000 B. 6667 C. 7500 D. 7854 6. 函数2cos cos y x x x =在区间,64ππ?? - ???? 上的值域是( ) A. 1,12?? - ???? B. 12?-??? C. 0,32?? ???? D. 0???? 7.小方,小明,小马,小红四人参加完某项比赛,当问到四人谁得第一时,回答如下:小方:“我得第一名”;小明:“小红没得第一名”;小马:“小明没得第一名”;小红:“我得第一名”.已知他们四人中只有一人说真话,且只有一人得第一.根据以上信息可以判断出得第一名的人是( )

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