[探讨]正二十面体的顶点取值
![[探讨]正二十面体的顶点取值](https://img.sodocs.net/imgc3/05v7ufps2cqwgzvuprcz-31.webp)
![[探讨]正二十面体的顶点取值](https://img.sodocs.net/imgc3/05v7ufps2cqwgzvuprcz-82.webp)
[探讨]正二十面体的坐标取值
编辑:523066680@https://www.sodocs.net/doc/c54239955.html, from: https://www.sodocs.net/doc/c54239955.html,
红皮书中举了个绘制正二十面体的例子,部分代码如下
（参见“2.10 创建多边形表面模型的一些提示”）
An Example: Building an Icosahedron:
#define X .525731112119133606
#define Z .850650808352039932
static GLfloat vdata[12][3] = {
{-X, 0.0, Z}, {X, 0.0, Z}, {-X, 0.0, -Z}, {X, 0.0, -Z},
{0.0, Z, X}, {0.0, Z, -X}, {0.0, -Z, X}, {0.0, -Z, -X},
{Z, X, 0.0}, {-Z, X, 0.0}, {Z, -X, 0.0}, {-Z, -X, 0.0}
};
static GLuint tindices[20][3] = {
{1,4,0}, {4,9,0}, {4,5,9}, {8,5,4}, {1,8,4},
{1,10,8}, {10,3,8}, {8,3,5}, {3,2,5}, {3,7,2},
{3,10,7}, {10,6,7}, {6,11,7}, {6,0,11}, {6,1,0},
{10,1,6}, {11,0,9}, {2,11,9}, {5,2,9}, {11,2,7}
};
int i;
glBegin(GL_TRIANGLES);
for (i = 0; i < 20; i++) {
/* color information here */
glVertex3fv(&vdata[tindices[i][0]][0]);
glVertex3fv(&vdata[tindices[i][1]][0]);
glVertex3fv(&vdata[tindices[i][2]][0]);
}
glEnd();
========================================
#define X .525731112119133606
#define Z .850650808352039932
原版以及中文版关于这两个常量的注释：
The strange numbers X and Z are chosen so that the distance from the origin to any of the vertices of the icosahedron is 1.0.
我们为X 和Y 选择了两个似乎很奇怪的数，其用意在于使原点到这二十面体的每个顶点的距离均为1.0。
至于这两个常量怎么来的，只能自己查了。
在wikipedia找到了完整的注释，以及更多的扩展图形
英文的解释要全面的多 https://www.sodocs.net/doc/c54239955.html,/wiki/Icosahedron
中文对照（页面未完善） https://www.sodocs.net/doc/c54239955.html,/wiki/正二十面體
若以正二十面体的中心为原点，
各顶点的坐标分别为
(0,±1,±Φ)
(±1,±Φ,0)
(±Φ,0,±1)
在此Φ = (1+√5)/2，即黄金分割数。
因此，这些顶点能组成一些黄金矩形。
黄金分割数计算公式的源头可以参考百科 https://www.sodocs.net/doc/c54239955.html,/view/45073.htm
一种是通过斐波那契数列算得近似值 一种是通过几何代数的方式求出公式 黄金比=(√5-1)/2 (√5+1)/2 和(√5-1)/2互为倒数 所以 1 : (√5+1)/2 =(√5-1)/2
这是一组黄金分割数
取其中一个黄金矩形片面作为分析：
x=1 , y=(√5+1)/2
L
L2
中心(0,0)
这里 L=sqrt(x*x+y*y) ≈ 1.90211303259031
为了使得顶点距离中心的距离 L2= 1，
将x,y取值分别/ L
得:
常量X=1/L≈0.525731112119134
Y=(√5+1)/2/L≈0.85065080835204
和红皮书实例中给出的X,Y基本一致，精度值不同
立方体的绘制：顶点,顶点数组
立方体的绘制：顶点，顶点数组 提高绘制立方体的时效率： 1、直接采用顶点绘制：24个顶点，6个面 glBegin( GL_QUADS ); glColor3f( 1.0, 0.0, 0.0 ); glVertex3f( 0.0, 0.0, 0.0 ); glVertex3f( 0.5, 0.0, 0.0 ); glVertex3f( 0.5, 0.5, 0.0 ); glVertex3f( 0.0, 0.5, 0.0 ); ...... glEnd(); 2、采用数组，把数据和代码进行分离：循环实现 // 将立方体的八个顶点保存到一个数组里面 /*static const GLfloat vertex_lists[][3]= { //里面四个顶点 -0.5f, -0.5f, -0.5f, 0.5f, -0.5f, -0.5f, 0.5f, 0.5f, -0.5f, -0.5f,0.5f,-0.5f, //外面四个顶点 -0.5f,-0.5f, 0.5f, 0.5f, -0.5f, 0.5f, 0.5f, 0.5f, 0.5f, -0.5f, 0.5f, 0.5f}; // 将要使用的顶点的序号保存到一个数组里面 static const GLint face_lists[][4]= { 0, 3, 2, 1, 6, 5, 1, 2, 3, 0, 4, 7, 3, 7, 6, 2, 0, 4, 5, 1, 7, 4, 5, 6, };//注意每个面绘制的顺序，背面采用顺时针方向。 glBegin(GL_QUADS); for(int i=0; i<6; ++i) // 有六个面，循环六次 for(int j=0; j<4; ++j) // 每个面有四个顶点，循环四次 glVertex3fv(vertex_lists[face_lists[i][j]]); glEnd(); 3、采用顶点数组：减少函数的调用次数。 //启用顶点数组 glEnableClientState( GL_VERTEX_ARRAY ); //指定顶点数组的位置1、表示每个顶点由(x,y,z)三个分量构成,2、分量的类型,3、数据之间
三角形内三个顶点分别在三角形三边上且周长最小的三角形(垂足三角形)
三角形内三个顶点分别在三角形三边上且周长最小的三角形 如图1所示，做一个任意锐角△ABC,分别以AC 、AB 为对称轴向外做△ABC 的轴对称图形△CAN 、△ABM ，G 、H 分别为D 的对称点，连接G 、H ，则(1)GH=FD+ED+EF （2)GH 是BC 上别于D 点用同样方法所得的线段中最短的，也即△DEF 为△内三个顶点分别在三角形三边上周长最小的三角形。（3）当△ABC 为锐角三角形时，△DEF 周长为 8()()() p p a p b p c abc ---(其中p= 12 ()a b c ++) 证明(1)首先证明G 、F 、E 、H 在一直线上。 连接GH ，分别与AC 、AB 交于E ′、F ′， ∵∠AEN=AGN=90°∴∠AEGN 四点共圆∴∠1=∠2， ∵∠BAN ＝2∠BAC ，AB=AN ∴ ∠1=90°-∠BAC 。 ∵∠HAG ＝2∠BAC ，AH=AG ∴ ∠AGE ′=90°-∠BAC 。 ∴∠AGE ′=∠2，∴E 与E ′重合。 同理 F 与F ′重合。 所以，G 、F 、E 、H 在一直线上。 根据作图知，FD=FH,ED=EG,∴GH=FD+ED+EF, 也即△DEF 为△内三个顶点分别在三角形三边上周长最小的三角形。 （2）如图2，D ′是异于D 点（不与B 、C 重合）的任意一点 M B C E ′ D F A N G H ’ D ’ G ’ H E F ′ 图 2 M B C E D F A N G H O 1 2 图1
G ′、H ′分别为D ′的对称点，连接G ′、H ′， G ′H ′，分别与AC 、AB 交于E ′、F ′，△D ′E ′F ′的周长等于G ′H ′的长 在△HAG 与△H ′AG ′中，∵∠HAG=∠H ′AG ′=2∠BAC,AH=AG=AD, AH ′=AG ″=AD ″,且AD ＜AD ″ ∴GH ＜G ′H ′ 因此GH 最短，也即△DEF 为△内三个顶点分别在三角形三边上周长最小的三角形。 （3）∵11sin 2 2A B C S bc A a A D == ?△ ∴sin bc A D A a = 过A 做AQ 与GH 交于Q, ∵AH=AG=AD ，∠HAG ＝2∠BAC ，∴ GH=2QG 在Rt △AQG 中，GQ=AG ·sinA=AD ·sinA= sin bc A a ·sinA= b c a 2 sin A ………………..① 由余弦定理得： cos A = 2 2 2 2b c a bc +- 两边平方得： 2 2222 cos 2b c a A bc ??+-= ??? 则22 sin 1cos A A =-=1-2 2222b c a bc ??+- ???=222222 1122b c a b c a bc bc ????+-+-+- ? ????? = () 2 2 2 222 2222bc b c a bc b c a bc bc -+-++-? = ()() 2 2 2 2 2 2 2222bc b c a a b c bc bc bc ++--+-? M B C E D F A N G H 图 3 Q
人教版八年级数学下册专题复习(十四) 顶点在正方形顶点上的45°角
思维特训(十四)顶点在正方形顶点上的45 °角 方法点津 基本模型： 图14－S－1 解题思维切入角度： 利用旋转的思想构造全等三角形解题． 典题精练 1．如图14－S－2，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF＝45°，延长CD到点G，使DG＝BE，连接EF，AG. 求证：EF＝FG. 2．如图14－S－3，已知正方形ABCD的边长为1，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF＝45°，求△CEF的周长． 图14－S－3
3．如图14－S－4，四边形ABCD是正方形，∠MAN＝45°，它的两边AM，AN与CB，DC分别交于点M，N，连接MN，作AH⊥MN，垂足为H，如图14－S－4，猜想AH与AB 有什么数量关系，并证明． 图14－S－4 4．如图14－S－5，在正方形ABCD中，∠EAF＝45°，点E，F在BD上，求证：BE2＋FD2＝EF2. 图14－S－5 图14－S－6 5．如图14－S－6，已知M，N两点在正方形ABCD的对角线BD上移动，∠MCN＝45°，连接AM，AN，并延长与BC，CD分别交于E，F两点，则∠CME＋∠CNF＝________．
典题讲评与答案详析 1．证明：在正方形ABCD中， ∠ABE＝∠ADC＝90°，AB＝AD， ∴∠ABE＝∠ADG＝90°. 又∵BE＝DG， ∴△ABE≌△ADG(SAS)， ∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG， ∴∠EAG＝90°，∴∠EAF＝∠GAF＝45°. 又∵AF＝AF，∴△F AE≌△F AG(SAS)， ∴EF＝FG. 2．解：延长CD到点H，使DH＝BE，连接AH，易证△ABE≌△ADH， ∴AH＝AE，∠DAH＝∠BAE， ∴∠F AH＝∠DAH＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝90°－∠EAF. ∵∠EAF＝45°，∴∠F AH＝90°－45°＝45°， ∴∠F AH＝∠EAF. 又∵AF＝AF， ∴△AEF≌△AHF(SAS)，∴EF＝FH， ∴△CEF的周长＝EF＋CF＋CE＝FH＋CF＋CE＝DF＋DH＋CF＋CE＝DF＋BE＋CF ＋CE＝(BE＋CE)＋(DF＋CF)＝BC＋CD. ∵正方形ABCD的边长为1， ∴△CEF的周长为1＋1＝2. 3．解：猜想：AH＝AB. 证明：如图，延长CB至点E，使BE＝DN，连接AE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠ABC＝∠D＝90°， ∴∠ABE＝∠D＝90°， ∴△ABE≌△ADN(SAS)， ∴∠1＝∠2，AE＝AN. ∵∠BAD＝90°，∠MAN＝45°， ∴∠2＋∠3＝90°－∠MAN＝45°， ∴∠1＋∠3＝45°， 即∠MAE＝∠MAN＝45°. 又∵AM＝AM，∴△EAM≌△NAM(SAS)． 又∵EM和NM是对应边， ∴AB＝AH(全等三角形对应边上的高相等)． 4．证明：过点A作F A的垂线，并在垂线上截取AG＝AF，连接BG，EG. ∵四边形ABCD是正方形，
长方体和正方体的面棱顶点及体积公式的妙用
巧用长方体和正方体的面、棱、顶点及体积、表面积公式 在九年制义务教育六年制小学教科书，苏教版小学数学第十册第34页，有这样一道思考题： 把一个六面都涂上颜色的正方体木块，切成64块大小相等的小正方体木块（如图）。其中： （1）三面涂色的小正方体有多少块？ （2）两面涂色的小正方体有多少块？ （3）一面涂色的小正方体有多少块？ 我们不妨再加一个问题（4）六面都不涂色的小正方体有多少块？ 这个问题看起来好象很棘手，如果我们换个角度来考虑的话，问题便会迎刃而解。我们不妨从正方体的顶点、棱、面和体积公式的角度去解决这几个看似棘手的问题。 首先我们来看第一个小问题：三面涂色的小正方体有多少个？这个问题假如我们从正方体的顶点来看就很简单，三面都涂色的小正方体只出现在未分割的大正方体的顶点上，而正方体又只有8个顶点，所以在分割成的64个小正方体中就会有8个三面涂色的小正方体（如下图）。 在这里图（1）是涂色的大正方体，图（2）是从（1）上取下的处在顶点位置的一个小正方体。图（3）是成品演示（由于只研究顶点所以其他的面没有涂色以示区别，在解决下面的问题时，我们只给要研究的小正方体的面涂色以示区别，下同。）。 其次我们来看第二个问题：两面涂色的小正方体有多少块？这个问题我们可以从正方体的棱来考虑，如下图，我们从图中可以看出只有处在每条棱上的（顶点除外）2个小正方体是两面都涂色的。 所以两面涂色的小正方体有（4－2）×12＝24个。（这里的4是表示把棱长分成的份数，根据题义和图一可得知，由于是把大正方体分成64块大小相等的小正方体，所以大正方体的棱是被平均分成了4份；减去2，是把顶点上的三面涂色的去掉；12是棱的条数。）我们也可以用一个公式来表达两面涂色的小正方体的块数：（a－2）×12＝两面涂色的小正方体的块数（a是根据不同的分割情况得到的大正方体的棱长被平均分成的
形的各顶点均在三角形三边上
形的各顶点均在三角形三边上) 思考：（1）与同学交流,你们的内接三角形位置相同吗? （2）你能作多少个不同的内接等边三角形? 2、小试牛刀：如图,你能作出已知?ABC的内接正方形吗? 思考：（1）你能作几个不同的内接正方形? （2）若?ABC为直角三角形呢？（点A为直角顶点） 考考你：若此直角?ABC尺寸如图所示(单位:m),你能判断哪个内接正方形面积更大吗?说说你的方法 三、合作探究 轻轨时代：(1) 如果列车截面看成宽、高度之比为14:19的长方形,你能画出此隧道内可行驶最大尺寸的列车示意图吗? A D H G A B D G A D F
(2)经测算知： B′C′=3.36m ,FG=2.8m，你能求出实际列车的高度吗? 四、谈谈你的收获: ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ 五、课后作业： 1、完成《综合与实践活动》P27活动创新 2、如图，已知Rt?ABC中，AB=4，AC=3，BC=5，请在图中作出有一边与BC边平行的内接等边三角形，并求出其边长（结果保留根号） B C 3、探究题： 问题1：如图,在直角坐标系里有?AOB,各顶点坐标:A（1，2）、 O（0，0）、B（3，1），以原点O为位似中心将?AOB放大为原来的3倍，并读出放大后三顶点的坐标。 规律：原?AOB上任 一点P （a,b）经过此变 化后坐标是 ____________ 问题2：如图，若现以B为位似中心将?ABC放大为原来的3倍，得?A′B′C′，则：点A′（_____ ，______）,点B′（_____ ，______），点C′（_____ ，______）
三角形顶点绕着图形的一点旋转
三角形顶点绕着图形的一点旋转 Ⅰ．三角形绕着矩形的对称中心旋转 原型题1：一次数学兴趣活动，小明提出这样三个问题，请你解决： （1）把正方形ABCD 与等腰Rt △P AQ 如图（a ）所示重叠在一起，其中∠P AQ ＝90°，点Q 在边BC 上，连接PD ，求证：△ADP ≌△ABQ ． （2）如图（b ），O 为正方形ABCD 对角线的交点，将一直角三角板FPQ 的直角顶点F 与点O 重合，转动三角板使两直角边始终与BC 、AB 相交于点M 、N ，求证：OM ＝ON ． （3）试探究四边形ONBM 的面积是一个定值，并求出这个定值． 变式1：某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶点绕着矩形ABCD 的对角线交点O 旋转（如图所示）．已知AB ＝8，BC ＝10，图中M 、N 分别为直角三角板的直角边与矩形ABCD 的边CD 、BC 的交点．问：是否存在某一旋转位置，使得CM +CN 等于445？ 若存在，请求出此时DM 的长；若不存在，请说明理由． 变式2：如图所示，O 为矩形ABCD 的对称中心，将直角三角板的指教顶点与O 点重合，转动三角板使两直角边始终与BC 、AB 相交，交点分别为M 、N ．如果AB ＝6，AD ＝8，OM ＝x ，ON ＝y ，则y 与x 的关系是 ．（不填x 的取值范围）
表示出所有可能的OF的值． Ⅱ．三角形的顶点在矩形对角线交点上移动 原型题2．如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q． （1）如图①，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系；并加以证明；（2）如图②，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，请证明你的猜想． 变式1：如图1，直角∠EPF的顶点和正方形ABCD的顶点C重合，两直角边PE，PF分别和AB，AD所在的直线交于点E和F．易得△PBE≌△PDF，故结论“PE＝PF”成立； （1）如图2，若点P在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？说明理由； （2）如图3将（2）中正方形ABCD改为矩形ABCD其他条件不变，若AB=m，BC=n，直接写 出PE PF的值．
长方体与正方体易错题
一、填空题： 1、一瓶色拉油约4.2_____。 2、一个橱柜的容积约2_____。 3、一个长方体相交于一个顶点的三条棱分别长9 cm、7 cm和0.7 dm，这个长方体的表面积是（），体积是（）。 4、做一个长为5分米，宽为4分米，高为2分米的长方体框架，要用铁丝（）分米，如果做一个同样大的无盖铁盒需铁皮（）平方分米，该铁盒最多可装（）升水。 5、把棱长为2厘米的正方体切成棱长为1厘米的小正方体，可切成（）块。 6、把棱长为5厘米的正方体切成棱长为1厘米的小正方体，可切成（）块。 7、体积为8.1 dm3的石块放进棱长3 dm的水槽里，水面会上升( )。 8、底面周长为4 dm的正方体，它能装水_____ L，折合_____ ml。 9、在括号里填上合适的数。 500 ml = _____ dm3 = _____ L 960 cm3 = _____ dm3 = _____ L 400 dm2 = _____ cm2 = _____ m2 100 ml = _____ dm3 = _____ L 195 cm3 = _____ L = _____ dm3 1 m3 = _____ L = _____ cm3 9、2个表面积为6 dm2的正方体拼成一个稍微大一点的长方体，它的体积是_____ cm3。 二、判断题。（每题1分） 1、一个长方体中，最多有8条棱完全相等、6个面完全相同。( ) 2、容积的计算方法是把物体外面的长、宽、高测量出来，再相乘。( ) 3、把两个完全一样的正方体拼成一个长方体，体积和表面积都不变。（） 三、选择题。（每题1分） 1、用长64 cm的铁丝可焊一个长10 cm，宽4 cm，高( )的长方体框架。 A、1 cm B、2 cm C、3 cm D、4 cm 2、棱长1 m的正方体可以切成( )个棱长为1 dm的正方体。 A、100 B、1000 C、100000 D、1000000 3、体积为8.1 dm3的石块放进棱长3 dm的水槽里，水面会上升( )。
几种正多面体的相互呼应
几种正多面体的相互呼应 南师附中江宁分校 韦恩培 近年来，在高考中常考查以某一正多面体为背景的立体几何题，此类问题运用不同的方法解决效果是显然不同的。 1、 常用的三种正多面体的呼应 众所周知，正多面体只有五种：正四面体，正六面体，正八面体，正十二面体，正 二十面体。 正四面体，正六面体，正八面体之间可以相互呼应。 在正方体中可以产生正四面体；（正方体对面的一对异面对角线的顶点是正四面体的顶点）如图（1） 在正方体中可以产生正八面体；（正方体六个面的中心是正八面体的顶点）如图（2） 在正八面体中可以产生正方体；（正八面体的八个面的中心是正方体的顶点）如图（3） 在正八面体中可以产生正四面体；（正八面体的两对对面的中心，连线异面的四个面的中心是正四面体的顶点）如图（4） 在正四面体中可以产生正八面体；（正四面体六条棱的中点是正八面面体的顶点）如图（5） 在图（5）的基础上，结合图（4）就能在正四面体中产生正方体。 图（1） 图（2） 图（3） 图（4） 图（6） 相互转化的目的。 2、应用呼应解题
在高考的考查中经常会利用它们之间的相互转化而达到巧解的目的。 例1、一个四面体的所有棱长都为2，四个项点在同一球面上，则此球的表面积为（ ） A ．3π B ．4π C ．3π3 D ．6π 提示：利用图（1）正方体产生正四面体具有共同的外接球，即求棱长为1的正方体的外接球的表面积，易求得为π3，选A 。 例2、有一棱长为a 的正四面体骨架（架的粗细忽略不计），其内放置一气球，对其充气，使其尽可能地膨胀（成为一个球）则气球表面积的最大值为 （ ） A ．2 a π B ． 22 2a π C ．2 2 1a π D ． 24 1a π 提示：利用图（2）正方体可以产生正八面体，正八面体可以产生正四面体知，符合条件的球即为棱长为 a 2 2 的正方体的内切球，易求得其表面积为221a π，故选C 。 例3、如图（6）棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -，过11BC A 的平面截去正方体一角（三棱锥111BC A B -），象这样依次截去正方体所有角，则剩下的几何体的体积为 。 提示：根据图（2）在正方体中可以产生正八面体得，所剩下几何体为 正方体的六个面中心作为顶点的正八面体，易求得其体积为 3 6 1a 。 例4、在甲烷的分子式4CH 中，四个H 位于一个正四面体的四个顶点上，C 位于该正四面体的中心，现已知H 与H 之间的距离为a ，则C 与H 之间的距离为 。 提示：由图（1）易知：该问题等价于已知正方体的面对角线长为a ，求正方体对角线长的一半。易求得结果为 a 4 6 。 例5、正三棱锥S —ABC 的侧棱与底面边长相等，如果E 、F 分别为SC 、AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于 （ ） A ． 90 B ． 60 C ． 45 D ． 30 提示：根据图（1）易知答案为C 。
【Unity】Mesh网格编程(一)正二十面体
【Unity】Mesh网格编程（一）正二十面体 本文以自定义编译器菜单的方式，实现了Unity创建正二十面体的功能扩展。本文分享自蓝鸥科技杜老师。 Mesh类是Unity用脚本创建和修改3D模型的重要脚本类。 添加了各种Shader材质球+Halo的效果图： 关于Mesh编程相关内容网上有很多资料，这里就不再赘述了。 步骤一： 创建Editor文件夹（若有就不用），将以下源代码保存为MyEditor.cs文件，存入文件夹中。 源代码： 1.///
正二十面体&&正十二面体
展开图如下所示： 若以正二十面体的中心为原点，各顶点的坐标分别为Φ,0,±1)}，在此Φ = (1+
正十二面体是正二十面体的对偶多面体。 建立模型的基本过程如下： void CTestView::ReadPoint()//点表 { double a=180;//长方形的宽 double b=a*(1+sqrt(5))/2;//黄金分割的矩形的长 double half=0.5; //第一个长方形的各个顶点 P[0].x=half*a;P[0].y=0;P[0].z=half*b; P[1].x=-half*a;P[1].y=0;P[1].z=half*b; P[2].x=half*a;P[2].y=0;P[2].z=-1/2.0*b; P[3].x=-1/2.0*a;P[3].y=0;P[3].z=-half*b; //第二个长方形的各个顶点 P[4].x=half*b;P[4].y=-half*a;P[4].z=0; P[5].x=half*b;P[5].y=half*a;P[5].z=0; P[6].x=-half*b;P[6].y=half*a;P[6].z=0; P[7].x=-half*b;P[7].y=-half*a;P[7].z=0; //第三个长方形的各个顶点 P[8].x=0;P[8].y=-half*b;P[8].z=half*a; P[9].x=0;P[9].y=-half*b;P[9].z=-half*a; P[10].x=0;P[10].y=half*b;P[10].z=half*a; P[11].x=0;P[11].y=half*b;P[11].z=-half*a; } void CTestView::ReadFace()//面表 { //面的边数、面的顶点编号 F[0].SetEN(3) ;F[0].p[0]=0 ;F[0].p[1]=5 ;F[0].p[2]=10 ; F[1].SetEN(3) ;F[1].p[0]=5 ;F[1].p[1]=2 ;F[1].p[2]=11 ; F[2].SetEN(3) ;F[2].p[0]=11 ;F[2].p[1]=3 ;F[2].p[2]=6 ; F[3].SetEN(3) ;F[3].p[0]=6 ;F[3].p[1]=1 ;F[3].p[2]=10 ; F[4].SetEN(3) ;F[4].p[0]=7 ;F[4].p[1]=1 ;F[4].p[2]=6 ; F[5].SetEN(3) ;F[5].p[0]=1 ;F[5].p[1]=0 ;F[5].p[2]=10 ; F[6].SetEN(3) ;F[6].p[0]=8 ;F[6].p[1]=0 ;F[6].p[2]=1 ; F[7].SetEN(3) ;F[7].p[0]=0 ;F[7].p[1]=4 ;F[7].p[2]=5 ; F[8].SetEN(3) ;F[8].p[0]=4 ;F[8].p[1]=2 ;F[8].p[2]=5 ; F[9].SetEN(3) ;F[9].p[0]=2 ;F[9].p[1]=3;F[9].p[2]=11 ;
三角形知识点归纳
【三角形】 1、三角形的定义：由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连或重合），叫三角形。 2、从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。 三角形有3条高，3个顶点，3个角。 3、三角形具有稳定性。 4、边的特性：任意两边之和大于第三边。 5、为了表达方便，用字母A、B、C分别表示三角形的三个顶点，三角形可表示成三角形ABC。 6、三角形的分类： 按照角分：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形。 按照边分：不等边三角形、等腰三角形（包括等边三角形）。 7、三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形。 8、有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。（其他两个角必定是锐角） 9、有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。（其他两个角必定是锐角） 10、每个三角形至少有两个锐角；每个三角形至多有1个直角；每个三角形至多有1个钝角。 11、两条边相等的三角形叫做等腰三角形。(等腰三角形的特点：两腰相等，两个底角相等) 12、三条边都相等的三角形叫等边三角形（正三角形) （三边相等，三个角相等，都是60度) 13、等边三角形是特殊的等腰三角形。 14、三角形的内角和等于180°；四边形的内角和是360°；五边形的内角和是540°。 多边形的内角和=180度×(多边形的边数-2) 15、用2个相同的三角形可以拼成一个平行四边形。 16、用2个相同的直角三角形可以拼成一个长方形、一个平行四边形、一个大等腰三角形。 17、用2个相同的等腰直角的三角形可以拼成一个正方形、一个平行四边形、一个大的等腰的直角的三角形。
锐角三角形的三条高（三条虚线） 直角三角形的三条高 （一条虚线加两条直角边） 钝角三角形的三条高（三条虚线） 多边形内角和问题 三角形：180° 四边形：360° 在四边形内部画一条线， 将其分成两个三角形， 内角和=180°×2=360° 五边形:540° 在五边形内部画两条线， 将其分成三个三角形， 内角和=180°×3=540° 六边形:720° 在六边形内部画三条线， 将其分成四个三角形， 内角和=180°×4=720° 底 直角边 C B 直角边 C B A C B A 底 边 等边三角形（三条边都相等，每个角都是60°） 等腰三角形（两条边相等，两个底角相等）
求三角形内一点到三个顶点距离之和的最小值
求三角形内一点到三个顶点距离之和的最小值 1、已知三角形ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，P是三角形ABC内一点，求PA+PB+PC的最小值. 解：由题意三角形ABC为直角三角形，以直角顶点C为原点，CB为x轴，CA为y轴建立坐标系（如图） 则C（0，0）A（0，3）B（4，0） 以B为旋转中心，将△BPC绕点B逆时钟旋转60°至△BP'C'，连接PP'、CC'、AC' 则△BPP'，△BCC'均为等边三角形 所以PB=PP'，PC=P'C' 所以PA+PB+PC=AP+PP'+P'C'≥AC' 而C'（2，-2√3） 所以AC'=√[（0-2）2+（3+2√3）2]=√（25+12√3）. 即PA+PB+PC的最小值等于AC'的长√（25+12√3）.
2、已知三角形ABC中，AB=10，AC=17，BC=21，P 是三角形ABC内一点，求PA+PB+PC的最小值. 解：过A作AD⊥BC于D，设BC=x，则CD=21-x 由勾股定理得AD2=102-x2=172-(21-x）2，解得x=6，AD=8，DC=15 以D为坐标原点，BC为x轴，DA为y轴建立坐标系（如图） 则A（0，8）B（-6，0）C（15，0） 以C为旋转中心，将△CPB绕点C逆时钟旋转60°至△CP'B'，连接PP'、BB'、AB' 则△CPP'，△CBB'均为等边三角形 所以PC=PP'，PB=P'B'
所以PA+PB+PC=AP+PP'+P'B'≥AB' 而B'（9/2，-21√3/2） 所以AB'=√[（0-9/2）2+（8+21√3/2）2]=√ （415+168√3）. 即PA+PB+PC的最小值等于AB'的长√（415+168√3）. 【补充说明】（1）如图，以△ABC的三边为边，分别向外作等边三角形BCD、ACE、ABF，连接AD、BE、CF，则（1）AD、BE、CF交于一点P，且∠APB=∠APC=∠BPC=120°，（2）P到A、B、C三顶点距离的和最小，且PA+PB+PC=AD=BE=CF。 证明：∵AF=AB，∠FAC=∠BAE，AC=AE ∴△AFC≌ABE ∴CF=BE 同理可证△BCF≌BDA，CF=AD
正多面体
正多面体 有一次一个平常的英国孩子詹姆斯，在醉心于制作多面体模型时，写信给父亲：“……我做了四面体、十二面体以及两个不知道名称的多面体．”他当时还是一个毫无名气的孩子．这些话意味着伟大物理学家詹姆斯·克拉克·麦克斯韦尔诞生了．想象一下，你们自己和你们亲人醉心于制作几何物体模型的情形． 本书的这几页是家庭作业．新年临近，这是最欢乐和美丽的节日．除了传统的枫树装饰（炮仗和小挂灯）外，你们可以制作几何玩具．这是用彩色纸做成的正多面体模型．考察下图，在这图上画着四面体、正方体、八面体、十二面体和二十面体．它们的形状是完美的典型！ 你们能觉察到一系列有趣的特点，也正是这些性质使它们得到了相应的名称．每一个正多面体的所有面都是相同的正多边形，在每一个顶点集聚着同样数量的棱，而相邻的面在相等角下毗连． 数一下每一个多面体具有的顶点数（V）、棱数（E）和面数（F），并且把结果记入表中． 在最后一栏，这些多面体得到的是同一个结果：V+F－E＝2．最令人惊奇的是它不仅对正多面体，而且对所有多面体都正确！ 若有兴趣你们可以对某些胡乱取得的多面体进行验证．最伟大的数学家之一列昂纳德·欧拉（1707－1783）证明了这一令人惊叹的关系式，因此公式以他命名：欧拉公式．这位出生于瑞士的天才学者几乎整个一生居住在俄罗斯，我们完全有理由和自傲地将他引为自己的同胞． 正多面体还有一个特点．我们发现：正四面体有一性质：如果把它的每个面的中心作为新的多面体的顶点，那么我们重新得到一个正四面体．余下的4个正多面体恰可分成两对．正方体各面的中心组成一个正八面体，而正八面体各面的中心则组成正方体．同样，可以发生的另一对类似联系是正十二面体和正二十面体． 正多面体所具有的完美的形状和漂亮的数学规律使这五种几何物体具有某种神秘色彩，以致于很久以前它们就是神术者和占星家的必要伴侣．如果你们致力于正多面体的研究和制作，那么肯定会使你们感到欢乐和满意，甚至有可能在新的一年里给你带来好运气！ 在下图中给出这些枞树上玩具的展开图．在制作模型时不要忘记在需要的地方留一片瓣膜为粘接用．
正多面体与平面展开图
正多面体与平面展开图 By Laurinda..201604开始总结，网络搜集 正四面体正六面体正八面体正十二面体正二十面体正四面体正六面体 正八面体正十二面体 正二十面体
正方体展开图 相对的两个面涂上相同颜色，正方体平面展开图共有以下11种。
邻校比我们学校早了几天举行段考，拿他们的数学卷子提供给学生充做模拟考，其中有一题作图题，不好做，它要求将右图，一个由正方形和等腰直角三角形组成的五边形，以两条线切割，重组成一个等面积的等腰直角三角形。 这题让学生和我「奋战」了几节课，却总是画不成。理论上它是可以成立的，因为等腰直角三角形可以和一个正方形等面积，而且由商高定理可以知道，存在一个正方形A，它的面积等于任意两个正方形B、C的面积和。只要A的边长是这两个正方形B、C的边长平方和的正平方根即可。而正方形当然可以等积于一个等腰直角三角 形。 但是如何以两条直线完成这道题呢? 今天(5/19)，我利用周休继续思考这道题，终于完成了，做法如左。
多面体之Euler's 公式(V - E + F = 2) V =顶点数( number of vertices) ; E = 边数(number of edges) ; F = 面数(number of faces) 正四面体(Tetrahedron) V=4,E=6,F=4, 4 - 6 + 4 = 2 正六面体(Cube) V=8,E=12,F=6, 8 - 12 + 6 = 2 正八面体(Octahedron) V=6,E=12,F=8, 6 - 12 + 8 = 2 正十二面体(Dodecahedron) V=20,E=30,F=12, 20 - 30 + 12 = 2 正二十面体(Icosahedron) V=12,E=30,F=20,12 - 30 + 20 = 2
三角形知识点总结
三角形知识点总结 一、基础知识 1、三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形. （三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点） 2、三角形的表示 三角形ABC用符号表示为△ABC，三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c 表示，AC可用b表示，BC可用a表示.三个顶点用大写字母A,B,C来表示。 （1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；（2）三角形是一个封闭的图形；（3）注意： △ABC是三角形ABC的符号标记，单独的△没有意义 3、三角形的分类：（1）按边分类：等腰三角形、等边三角形、不等边三角形 （2）按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 4、三角形的主要线段的定义： （1）三角形的中线：三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段． 如图：（1）AD是△ABC的BC上的中线.（2）BD=DC=BC. 注意：①三角形的中线是线段； ②三角形三条中线全在三角形的内部且交于三角形内部一点（重心） ③中线把三角形分成两个面积相等的三角形． （2）三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段 如图：（1）AD是△ABC的∠BAC的平分线. （2）∠1=∠2= ∠BAC. 注意：①三角形的角平分线是线段； ②三角形三条角平分线全在三角形的内部且交于三角形内部一点（内心） ③角平分线上的点到角的两边距离相等 （3）三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 如图：①AD是△ABC的BC上的高线；②AD⊥BC于D；③∠ADB=∠ADC=90°. 注意：①三角形的高是线段； ②锐角三角形的三条高的交点在三角形内部；钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部：直角三角形的三条高的交点在直角顶点上。三角形三条高所在直线交于一点（垂心） ③由于三角形有三条高线，所以求三角形的面积的时候就有三种（因为高底不一样）（4）三角形的中垂线：过三角形一条边中点所做的垂直于该条边的线段 如图：DE是△ABC的边BC的中垂线；DE⊥BC于D；BD=DC 注意：①三角形的中垂线是直线； ②三角形的三条中垂线交于一点（外心） 小总结：内心：三条角平分线的交点,也是三角形内切圆的圆心. 性质：到三边距离相等. 外心：三条中垂线的交点,也是三角形外接圆的圆心. 性质：到三个顶点距离相等. 重心：三条中线的交点. 性质：三条中线的三等分点,到顶点距离为到对边中点距离的2倍. 垂心：三条高所在直线的交点.
三角形顶点绕着图形的一点旋转
三角形顶点绕着图形的 一点旋转 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
三角形顶点绕着图形的一点旋转 Ⅰ．三角形绕着矩形的对称中心旋转 原型题1：一次数学兴趣活动，小明提出这样三个问题，请你解决： （1）把正方形ABCD与等腰Rt△PAQ如图（a）所示重叠在一起，其中∠PAQ＝90°，点Q在边BC上，连接PD，求证：△ADP≌△ABQ． （2）如图（b），O为正方形ABCD对角线的交点，将一直角三角板FPQ的直角顶点F与点O重合，转动三角板使两直角边始终与BC、AB相交于点M、N，求证：OM＝ON． （3）试探究四边形ONBM的面积是一个定值，并求出这个定值． 变式1：某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶点绕着矩形ABCD的对角线交点O旋转（如图所示）．已知AB＝8，BC＝10，图中M、N分别为直角三角板的直角边与矩形ABCD的边CD、BC的交点．问：是否存在 某一旋转位置，使得CM+CN 等于 44 5若存在，请求出此时DM的长；若不存在，请 说明理由． 变式2：如图所示，O为矩形ABCD的对称中心，将直角三角板的指教顶点与O点重合，转动三角板使两直角边始终与BC、AB相交，交点分别为M、N．如果AB＝6，AD＝8，OM＝x，ON＝y，则y与x的关系是．（不填x的取值范围） 变式3：矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AD＝2AB＝4，现有一直角三角 2
3 板的直角顶点放在点O 处，直角三角板的两边与矩形ABCD 的边交于点E ，F ，如果OE ＝a ，用a 的代数式表示出所有可能的OF 的值 ． Ⅱ．三角形的顶点在矩形对角线交点上移动 原型题2．如图，正方形ABCD 中，AC 是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B ，直角顶点P 在射线AC 上移动，另一边交DC 于Q ． （1）如图①，当点Q 在DC 边上时，猜想并写出PB 与PQ 所满足的数量关系；并加以证明； （2）如图②，当点Q 落在DC 的延长线上时，猜想并写出PB 与PQ 满足的数量关系，请证明你的猜想． 变式1：如图1，直角∠EPF 的顶点和正方形ABCD 的顶点C 重合，两直角边PE ，PF 分别和AB ，AD 所在的直线交于点E 和F ．易得△PBE ≌△PDF ，故结论“PE ＝PF ”成立； （1）如图2，若点P 在正方形ABCD 的对角线AC 上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立说明理由； （2）如图3将（2）中正方形ABCD 改为矩形ABCD 其他条件不变，若AB =m ， BC =n ，直接写出PE PF 的值．
正十二面体从制作到理解
正十二面体：从制作到理解 常文武 正十二面体是一种以正五边形为面的多面体。 这种不寻常的别致多面体数学内涵非常丰富。柏拉 图曾认为我们的宇宙就是正十二面体的。虽然这只 是一个美丽的错误，但是正十二面体对于普通大众 至今仍充满神秘色彩。 制作正十二面体 为了探究正十二面体，有必要亲手制作一个。 显然，纸模型是最方便的实现方式。 制作正十二面体纸模型的方法很多，这里用组合折纸的方式制作。通过组合拼接而成的结构便于在需要的时候重新调整各面相对位置。 材料：宽度4CM -5CM 的平行长纸带100CM 步骤1 制作一个正五边形的纸带结 用长约8倍宽度的纸带打个结，轻拉两端至最紧，压平（图2左）。数学上可以严格证明这个结是正五边形。 图 2 正五边形结及108°折叠 步骤2 制作插合正十二面体所需的零件 用长约3倍宽度的纸带折叠一道折痕，使其形成的内角 正好符合五边形纸带结的顶角（图2右）。 折叠后的纸带重叠区域有一个36°为底角的等腰三角 形。现在请将它的两腰以外的纸带贴着边折到背后，然后再 把底边以外的部分剪去（图3）。 打开重新将两侧翼藏在夹层内，并且让它们在内部彼此勾起来，压平。我们得到了一个有108°顶角的等腰三角形（图4左）。 图 1古罗马正十二面体青铜器 图 3 修剪多余的纸
图4三角形内部构造以及内嵌五边形的折痕 折叠找到每一腰所对角的角分线与该腰的交点，将相应锐角折到这个点。可以证明，这两道折痕与三角形三边围成一个正五边形（图4右）。 至此我们就完成了第一个插接件。 请再做11个这样的零件。 步骤3 插合正十二面体 眼：两锐角前端是榫头，两腰靠近顶点的缝隙 是卯眼。插合时有一定规则，为了保证这个规 则不被破坏，我们给每个插接件上标注一些记 号。 作标记的规律：在每片插接件的里侧左下 角标为红点榫头，左腰缝隙标为红点卯眼；相 应地，右下角为蓝点榫头，右腰缝隙为蓝点卯 眼（图5上左）。 插合时只要保证榫头插入同色的卯眼（图 5上右），就可以顺利完成一个完美的十二面体 （图5下）。 图 5 正十二面体的插合过程
共顶点的等腰三角形解题技巧专题
解题技巧专题：共顶点的等腰三角形 ——形成精准思维模式，快速解题 ◆类型一共顶点的等腰直角三角形 1．如图，已知△ABC和△DBE均为等腰直角三角形． (1)求证：AD＝CE； (2)猜想：AD和CE是否垂直？若垂直，请说明理由；若不垂直，则只要写出结论，不用写理由． 2．如图，在△ABC和△BCD中，∠BAC＝∠BCD＝90°，AB＝AC，CB＝CD，延长CA 至点E，使AE＝AC，延长CB至点F，使BF＝BC.连接BD，AD，AF，DF，EF.延长DB 交EF于点N.求证： (1)AF＝AD； (2)EF＝BD. ◆类型二共顶点的等边三角形
3．如图，△APB与△CDP是两个全等的等边三角形，且P A⊥PD，有下列四个结论：①∠PBC＝15°；②AD∥BC；③直线PC与AB垂直．其中正确的有() A．0个B．1个C．2个D．3个 第3题图第4题图 4．如图，在△ABC中，分别以AC，BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，BD，交于点O，则∠AOB的度数为________． 5．如图①，等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE. (1)△DBC和△EAC全等吗？请说明理由； (2)试说明AE∥BC的理由； (3)如图②，将(1)中动点D运动到边BA的延长线上，其他条件不变，请问是否仍有AE∥BC？证明你的猜想．
参考答案与解析 1．(1)证明：∵△ABC 和△DBE 均为等腰直角三角形，∴AB ＝BC ，BD ＝BE ，∠ABC ＝∠DBE ＝90°，∴∠ABC －∠DBC ＝∠DBE －∠DBC ，即∠ABD ＝∠CBE ，∴△ABD ≌△CBE ，∴AD ＝CE . (2)解：垂直．理由如下：延长AD 分别交BC 和CE 于G 和F .由(1)知△ABD ≌△CBE ，∴∠BAD ＝∠BCE .∵∠BAD ＋∠ABC ＋∠BGA ＝∠BCE ＋∠AFC ＋∠CGF ＝180°，∠BGA ＝∠CGF ，∴∠AFC ＝∠ABC ＝90°，∴AD ⊥CE . 2．证明：(1)∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°，∴∠ABF ＝180°－∠ABC ＝135°，∠ACD ＝∠ACB ＋∠BCD ＝135°，∴∠ABF ＝∠ACD .∵CB ＝CD ，CB ＝BF ，∴BF ＝CD ，∴△ABF ≌△ACD (SAS)，∴AF ＝AD . (2)由(1)知△ABF ≌△ACD ，AF ＝AD ，∴∠F AB ＝∠DAC .∵∠BAC ＝∠BAD ＋∠DAC ＝90°，∠EAB ＝∠EAF ＋∠F AB ＝90°，∴∠EAF ＝∠BAD .∵AE ＝AC ，AB ＝AC ，∴AE ＝AB ，∴△AEF ≌△ABD (SAS)，∴EF ＝BD . 3．D 4．120° 解析：设AC 与BD 交于点H .∵△ACD ，△BCE 都是等边三角形，∴CD ＝CA ，CB ＝CE ，∠ACD ＝∠BCE ＝60°，∴∠ACD ＋∠ACB ＝∠BCE ＋∠ACB ，即∠DCB ＝∠ACE ，∴△DCB ≌△ACE ，∴∠CDB ＝∠CAE .∵∠DCH ＋∠CHD ＋∠BDC ＝180°，∠AOH ＋∠AHO ＋∠CAE ＝180°，∠DHC ＝∠OHA ，∴∠AOH ＝∠DCH ＝60°，∴∠AOB ＝180°－∠AOH ＝120°. 5．解：(1)△DBC 和△EAC 全等．理由如下：∵△ABC 和△EDC 都是等边三角形，∴AC ＝BC ，DC ＝EC ，∠ACB ＝60°，∠DCE ＝60°，∴∠BCD ＝60°－∠ACD ，∠ACE ＝60°－∠ACD ， ∴∠BCD ＝∠ACE .在△DBC 和△EAC 中，∵?????BC ＝AC ，∠BCD ＝∠ACE ，DC ＝EC ， ∴△DBC ≌△EAC (SAS)． (2)由(1)知△DBC ≌△EAC ，∴∠EAC ＝∠B ＝60°.又∵∠ACB ＝60°，∴∠EAC ＝∠ACB ，∴AE ∥BC . (3)仍有AE ∥BC .证明如下：∵△ABC ，△EDC 为等边三角形，∴BC ＝AC ，DC ＝CE ，∠BCA ＝∠DCE ＝60°，∴∠BCA ＋∠ACD ＝∠DCE ＋∠ACD ，即∠BCD ＝∠ACE .在△DBC 和△EAC 中，∵?????BC ＝AC ，∠BCD ＝∠ACE ，CD ＝CE ， ∴△DBC ≌△EAC (SAS)，∴∠EAC ＝∠B ＝60°.又 ∵∠ACB ＝60°，∴∠EAC ＝∠ACB ，∴AE ∥BC .
相关文档
- 正二十面体&&正十二面体
- 正多面体与平面展开图
- 第五节 正十二二十面体与碳-60
- 如何证明正多面体只有正四面体 正六面体 正十二面体 和正二十面体
- 正十二面体与正二十面体互为对偶 作法
- 正12面体画法
- 正二面体正四面体
- 正多面体
- 【Unity】Mesh网格编程(一)正二十面体
- 数学问题解决——正十二面体的制作与涂色问题
- 正多面体的有关历史
- 正二十面体金刚石的形成及其计算机模拟
- 用CAD画正二十面体的方法
- 正多面体
- 正十二面体从制作到理解
- 常见正多面体总结-六面体八面体十二面体和二十面体
- 几种正多面体的相互呼应
- 正多面体与平面展开图
- 简单正多面体问题探究
- 正多面体与平面的展开图