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高级中学数学资讯自然科能力竞赛第六区中投分区复赛

101學年度高級中學數學,資訊,自然科能力競賽第六區(中投)分區複賽

物理科理論試題編號___________

**本試題共四頁,請連同答案卷一起繳回**

(一) 12分

一個L 形物體，由橫向與直向之極細均勻木棒所組成，邊長分別為d 及2d ，質量分別為m 及2m ，右上角懸吊於一個細釘子支架上，如下圖所示可在一平面上自然擺動。已知極細均勻長棒對端點轉軸之轉動慣量為

1 m ，其

中m 為長棒之質量，為長度。試推算

(a) 此L 形物體之質心座標 (以細釘子支架處為原點)為何? (4分)

(b) 物體剛開始擺動瞬間之質心角加速度為何? (4分)

(二) 14分

一剛性球質量為m ，半徑為r ，從球心高度h 處垂直落下（h>r ）。假設該球的初速為零，且重力加速度為g 。以下的計算皆忽略摩擦力與空氣阻力，並且球未作任何旋轉。

(a) 若地板為剛性體，且球與地板間為彈性碰撞，則球的運動周期為何？(4分) (b) 若地板為一彈性體，則當球接觸地板後，地板會施一力F 於球上，假設該

力正比於地板的變形(凹陷)量y ，即F=ky ，其中y=0對應於未形變的地板，且k 為一正的常數。若地板變形時無能量損耗，則當地板變形量達最大時，球心的位置與變形前的地板面之距離為何？(5分)

(三) 12分

一個工廠的響笛發出720Hz 的聲音。當風從北方吹來，風速為15m/s ，

(a) 請求出觀察者靜止地位於響笛的正北方時，所聽到的響笛聲頻率為何？(3分) (b) 請求出觀察者靜止地位於響笛的正東方時，所聽到的響笛聲頻率為何？(3分) - 1 -

觀察者聽到的響笛頻率為何？(3分)

(d) 當觀察者以12m/s的速度騎著腳踏車，車頭朝西方正對著警笛方向前進時，

觀察者聽到的響笛頻率為何？(假設溫度20℃時，聲音的傳播速度為343m/s) (3分)

(四) 12分

小明到平溪放天燈，天燈下方開口保持內外壓力相同，利用熱源加熱天燈內部空氣達到升空目的。設此天燈容積保持固定為1m3，淨重300gw 。已知在0℃、1 atm時空氣密度為1.3kg/m3，假設大氣為理想氣體。

(a) 當大氣溫度為27℃、1 atm時，欲使天燈升空至少需加熱至攝氏幾度? (3分)

(b) 在最靠近地球表面的大氣層稱為對流層，對流層的厚度大約為10 ~ 12公里。

對流層內氣溫與壓力會隨高度增高而下降，平均每增高1公里，溫度約降低攝氏6.5度，壓力約降0.1 atm。試求在高度為2公里處的空氣密度? (3分)

(d) 估計天燈升空的高度極限為多少公里? (3分)

(五) 12分

氦氖雷射的發光區集中於一毛細管，其管徑約2 mm。

(a) 試估算從管口端面射出的氦氖雷射光束，其繞射發散角為何?假設波長為633

nm。(4分)

(b) 若此光束射至10 m遠的屏幕上，其光斑尺寸為何? (4分)

(月球與地球相距平均距離約三十八萬公里)

(六) 12分

ㄧ長度為l無伸縮性的輕繩,下端連著一個質量為m的小球擺錘,上端連著一個質量為3m/2的小環,已知此環穿在一根被固定的水平的粗糙金屬絲上.在小環和小

球處於平衡狀態下, 給予小球一個沿水平方向的速度gl

2.若金屬絲與小環間的摩擦係數為μ，輕繩與鉛錘線間的夾角為θ.試求

(a) 當小環不在金屬絲上滑動時繩子的張力大小為何? (6分)

(b) 摩擦係數μ值至少要多大，小環才不會在金屬絲上滑動? (6分)

(七) 14分

有一真空圓柱狀光學共振腔，其直徑0.5 cm，長度10 cm，光波在其中來回震盪，並以駐波(standing wave)的形式存在，又因其共振腔長度，使得可容許之不同光

- 2 -

波波長或頻率可以有許多且數目是限定的，最後由共振腔的一端發射出光波，即是簡單的雷射光學共振腔系統。(以下請計算至 10-15 m 或fm 的小數位) (a) 請問腔中最接近550 nm 的駐波波長為多少? (3分)

(b) 在波長550 nm 附近可容許多個不同波長駐波，彼此間的波長差距約為多少? (3分)

(c) 假設有多個發光粒子以1000 m/s 的移動速度(u x )在此光學共振腔中左右移動，並同時放射出550 nm 的光波，根據都卜勒效應，其所觀測到的放射光波長將會受到壓縮與伸張，使其涵蓋一可容許波長範圍。假設其放射光在中心波長(λo )與中心頻率(νo )的展延都呈現高斯分布如下圖所示，而可容許放射光頻率之涵蓋範圍可以均方根頻寬Δνrms = 2νo u x /c 來表示，請問光學共振腔此時會放出幾種波長的光?其波長分別為多少? (4分)

(d) 若在此共振腔的前端再加上一真空光學共振腔，其直徑0.5 cm ，長度2 cm ，即形成耦合共振腔，請問此時最接近550 nm 的可容許發射光波長為何? (4分)

(八) 12分

- 3 -

許多質量為m 的小球以細繩串聯起來，放在地面上，任意相鄰兩球間細繩長度為a ，重力加速度為g ，現將首端的第一顆球以速度v 垂直往上拋，求第一顆球能達到的最大高度。【有用公式：()()1216

13212222++=

+????+++n n n n 】

- 4 -

物理科實驗試題編號___________

**本試題共一頁,請連同實驗報告一起繳回**

(一)題目: 錶玻璃曲率半徑的測量.

(二)問題說明: 試使用下列器材設計出直接(幾何)量測法,力學量測法與光

學量測法,分別測量並求出一給定之錶玻璃曲率半徑.

(三)器材: 蠟紙一張,不同大小鋼珠六顆,碼錶一個,橡皮筋三條,直尺一支,螺

旋測微器一支,游標尺一支,夾子三個,油性細字速乾筆一支,鐵架附S形

轉接頭及鐵夾一套,方格紙三張,白紙三張,LED手電筒一支,電子秤(每間

實驗室各一具).

(四) 實驗內容: 50分

(1)設計出適當的直接(幾何)量測,力學量測法與光學量測法,並詳細論述其

合理的數學或物理論點,繪圖說明之.

(2)對於三種量測法分別選擇適當量測變數進行測量,經適當繪出數據圖,即

可得到線性相關圖,由其最佳符合直線之斜率或截距即可求得錶玻璃曲

率半徑.(例如以密度測量為例,測量物體質量M及體積V,然後在方格紙

上以M為縱軸V為橫軸繪圖,用一最佳符合直線符合數據點,其直線斜

率即密度D.)

(3)數據分析必定包含誤差分析.

(五) 實驗結果及討論: 50分

(1) 推導出三種量測法所必須使用的數學或物理公式.

(2) 由三種方法之數據圖所求得之錶玻璃曲率半徑分別為何?

(3) 討論此三種方法之誤差來源分別為何?何者較準確?原因為何?

(4)是否還有其它方法可用來測量彎曲表面之曲率半徑?試討論之.

物理科理論題參考答案

(一)

(a) 質心座標 r cm = (d/6, 2d/3)

(b) 質心角加速度 α= g/6d

(二)

(a) T = 2g

r h )(2- (b) Δy ＝0y －r +k r h mg k mg )(2)(

2-+ (c) ΔT = 2

)](cos [01A y k m --π, A =k

r h mg k mg )(2)(2-+

(三)

(a) 720 Hz

(b) 720 Hz

(d) 745 Hz

(四)

(a) 密度 ρ ~ T -1， 1m 3 的空氣重 1.3 × 273/(273+27) kg = 1.18kg

天燈內空氣重必須小於 1.18kg - 0.3kg = 0.88 kg.

此時溫度為 273 × 1.3/0.88 = 403K = 130℃

(b) 高度為2公里處的空氣 P ~ 0.8 atm, T ~ 27-13=14℃

密度 ρ ~ P T -1，ρ = 1.3 × ( 0.8 ) × (300)/(300-2×6.5) = 1.087 kg/m 3

- 1 -

(d) 令升高 x 公里則

0.330010.23(10.1)8.11.3300 6.50.10.005x x x -??=-?== ?--??

Km 。

(五)

(a) 1.22 × 633 nm/2 mm = 3.86×10-4 (rad)

(b) 10 m × (3.86×10-4) = 3.86 mm

(六)

(a) T = 3mgcosθ

(b) 由μN ≧Tsinθ, N ＝mg 23+Tcosθ, 即得 μ≧θθθ2cos 21cos sin 2+, 當cos2θ＝－21時μ值最小,即μ=

(七)

a. 550.00055 nm

b. 0.001512 nm or 1.512 pm

c. 3種，549.999037 nm, 550.00055 nm, 550.002062 nm (Δλrms = 3.667 pm)

d. 549.9945 nm

(八)

第二顆小球剛開始地面時，系統的動能為原動能減去重力位能，再考慮第一顆與第二顆昇空之後動能的損失，

1)21(2)

2(?-=mga mv E k 第三顆小球剛開始離開地面時，動能為

- 2 -

2)2()2()3(?-=mga E E k k 以此類推，

)()()1(+?

?-=+n n mga n E E n k n k 可解 mga n n n mv n n mga mv n E n k ?+?-+=+????+++-+=+)12(6

1)1(2)21(1

)1(2122222)1( 在第一顆可達最大高度前

mga n E n k ?+≤≤+)1(0)1(

此時，最大高度

n E a n h n k )1()1(++?=+

- 3 -

101學年度高級中學數學,資訊,自然科能力競賽第六區(中投)分區複賽

物理科實驗題參考答案

(一) 直接(幾何)量測法: 使用畢氏定理可得錶玻璃曲率半徑R 如下式

R = δ

δ22

2+r , δ為錶玻璃平放之高度, r 為錶玻璃半徑,

可測得R = 11.78 ± 0.45 cm.

(二) 力學量測法: 使用鋼珠在錶玻璃凹面上的來回滾動周期如下式

T = 2πg

r R 5)(7-, g 為重力加速度,r 為鋼珠半徑.繪出2T 對r 之數據圖及最佳符合直線,則最佳符合直線在r 軸上的截距即為錶玻璃曲率半徑R 值,

可測得R = 11.85 ± 0.67 cm.

(三) 光學量測法: 使用錶玻璃的凹面反射成像公式如下

q p 111=+, p 為物距, q 為像距, f 為焦距, R = 2f , 繪出p 1對q 1之數據圖及最佳符合直線,則最佳符合直線在橫軸或縱軸上的截距即為f 1,

可測得R = 11.92 ± 0.76 cm.

高中数学解题思想之分类讨论思想

分类讨论思想方法在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。引起分类讨论的原因主要是以下几个方面： ①问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。 ②问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。 ③解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。 Ⅰ、再现性题组： 1．集合A＝{x||x|≤4,x∈R}，B＝{x||x－3|≤a，x∈R}，若A?B，那么a的范围是_____。 A. 0≤a≤1 B. a≤1 C. a<1 D. 00且a≠1，p＝log a (a3＋a＋1)，q＝log a (a2＋a＋1)，则p、q的大小关系是 _____。 A. p＝q B. pq D.当a>1时，p>q；当0

高中数学三角函数基础知识点及答案

高中数学三角函数基础知识点及答案 1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 3. 终边相同的角的表示： (1)α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k k αθπ=+∈Z ，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角 1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。弧度：一周的弧度数为2πr/r=2π，360°角=2π弧度，因此，1弧度约为57.3°，即57°17'44.806''， 1°为π/180弧度，近似值为0.01745弧度，周角为2π弧度，平角（即180°角）为π弧度，直角为π/2弧度。（答：25-；5 36 π- ） (2)α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ?()k k αθπ=+∈Z . (3)α终边与θ终边关于x 轴对称?2()k k αθπ=-+∈Z . (4)α终边与θ终边关于y 轴对称?2()k k απθπ=-+∈Z . (5)α终边与θ终边关于原点对称?2()k k απθπ=++∈Z . (6)α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈； α终边在y 轴上的角可表示为：,2k k Z παπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2 k k Z π α=∈. 如α的终边与 6 π 的终边关于直线x y =对称，则α＝____________。（答：Z k k ∈+ ,3 2π π） 4、α与2α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若α是第二象限角，则2 α 是第_____象限角（答：一、三） 5.弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22 S lR R α==，1弧度 (1rad)57.3≈. 如已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。（答：22cm ） 6、任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是220r x y =+>，那么 s i n ,c o s y x r r αα==，()tan ,0y x x α=≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r x α=()0x ≠， ()csc 0r y y α=≠。三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。

2018年高中数学会考题

2018届吉林省普通高中学业模拟考试（数学）注意事项: 1.答题前将自己的姓名、考号、考籍号、科考号、试卷科目等项目填写或涂在答题卡在试卷规定的位置上。考试结束时,将试卷和答题卡一并交回。 2.本试题分两卷,第Ⅰ卷为选择题,第Ⅱ卷为书面表达题。试卷满分为120分。答题时间为100分钟。 3.第Ⅰ卷的选择题答案都必须涂在答题卡上。每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后·再选涂其他答案标号。选择题答案写试卷上无效。 4.第Ⅱ卷的答案直接写在试卷规定的位置上，注意字迹清楚，卷面整洁。第Ⅰ卷选择题（共50分) 一、选择题:本大题共15小题，只有一项是正确的.第1-10每小题3分，第11-15 每小题4分，共50分） 1．已知集合{0,2},{|02}M N x x ==≤<，则M ∩N 等于（） A ．{0，1，2} B ．{0，1} C ．{0，2} D ．{0} 2．下列结论正确的是（） A ．若 ac>bc ，则 a>b B ．若a 2>b 2，则a>b C ．若a>b,c<0，则 a+c

C ．65π D ．32π 4．已知奇函数()f x 在区间[3，7]上是增函数，且最小值为5，那么函数()f x 在区间 [-7，-3]上（） A ．是减函数且最小值为-5 B ．是减函数且最大值为-5 C ．是增函数且最小值为-5 D ．是增函数且最大值为-5 5. 函数2 ()1log f x x =-的零点是（） A. 1 B. (1,1) C. 2 D. (2,0) 6．在等比数列{}n a 中，若3 2 a =，则12345 a a a a a = （） A. 8 B. 16

高中数学知识点总结(精华版)

高中数学知识点总结 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 3.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+. 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1 个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(210时，若[]q p a b x ,2∈- =，则{}min max max ()(),()(),()2b f x f f x f p f q a =-=； []q p a b x ,2?- =，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(),()f x f p f q =.

人教版高中数学基础知识归类

高中数学基础知识归类——献给2012年高三(理科)考生一.集合与简易逻辑 1.注意区分集合中元素的形式.如：{|lg }x y x =—函数的定义域；{|lg }y y x =—函数的值域； {(,)|lg }x y y x =—函数图象上的点集. 2.集合的性质： ①任何一个集合A 是它本身的子集,记为A A ?. ②空集是任何集合的子集,记为A ??. ③空集是任何非空集合的真子集；注意:条件为A B ?,在讨论的时候不要遗忘了A =?的情况如：}012|{2=--=x ax x A ,如果A R + =?,求a 的取值.(答：0a ≤) ④()U U U C A B C A C B =,()U U U C A B C A C B =；A B C A B C =（）（）； A B C A B C =（）（）. ⑤A B A A B B =?=U U A B C B C A ????U A C B ?=?U C A B R ?=. ⑥A B 元素的个数：()()card A B cardA cardB card A B =+-. ⑦含n 个元素的集合的子集个数为2n ；真子集(非空子集)个数为 21n -；非空真子集个数为22n -. 3.补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。如：已知函数12)2(24)(22+----=p p x p x x f 在区间]1,1[-上至少存在一个实数c ,使 0)(>c f ,求实数p 的取值范围.(答：32 (3,)-) 4.原命题: p q ?；逆命题: q p ?；否命题: p q ???；逆否命题: q p ???；互为逆否的两个命题是等价的.如：“βαsin sin ≠”是“βα≠”的条件.(答：充分非必要条件) 5.若p q ?且q p ≠>,则p 是q 的充分非必要条件(或q 是p 的必要非充分条件). 6.注意命题p q ?的否定与它的否命题的区别: 命题p q ?的否定是p q ??；否命题是p q ???. 命题“p 或q ”的否定是“p ?且q ?”；“p 且q ”的否定是“p ?或q ?”. 如：“若a 和b 都是偶数，则b a +是偶数”的否命题是“若a 和b 不都是偶数,则b a +是奇数” 否定是“若a 和b 都是偶数,则b a +是奇数”. 二.函数 1.①映射f :A B →是：⑴ “一对一或多对一”的对应；⑵集合A 中的元素必有象且A 中不同元素在B 中可以有相同的象；集合B 中的元素不一定有原象(即象集B ?). ②一一映射f :A B →： ⑴“一对一”的对应；⑵A 中不同元素的象必不同,B 中元素都有原象. 2.函数f : A B →是特殊的映射.特殊在定义域A 和值域B 都是非空数集！据此可知函数图像与x 轴

[精品]新高三数学第二轮专题复习分类讨论思想优质课教案

高三数学第二轮专题复习：分类讨论思想高考要求分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论” 重难点归纳分类讨论思想就是依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则分类讨论常见的依据是 1由概念内涵分类如绝对值、直线的斜率、指数对数函数、直线与平面的夹角等定义包含了分类 2由公式条件分类如等比数列的前n项和公式、极限的计算、圆锥曲线的统一定义中图形的分类等 3由实际意义分类如排列、组合、概率中较常见，但不明显、有些应用问题也需分类讨论在学习中也要注意优化策略，有时利用转化策略，如反证法、补集法、变更多元法、数形结合法等简化甚至避开讨论典型题例示范讲解

例1已知{a n }是首项为2，公比为2 1的等比数列，S n 为它的前n 项和（1）用S n 表示S n +1; （2）是否存在自然数c 和k ，使得21>--+c S c S k k 成立命题意图本题主要考查等比数列、不等式知识以及探索和论证存在性问题的能力知识依托解决本题依据不等式的分析法转化，放缩、解简单的分式不等式；数列的基本性质错解分析第2问中不等式的等价转化为学生的易错点，不能确定出k k S c S <<-223 技巧与方法本题属于探索性题型，是高考试题的热点题型在探讨第2问的解法时，采取优化结论的策略，并灵活运用分类讨论的思想即对双参数k ,c 轮流分类讨论，从而获得答案解（1）由S n =4(1–n 21），得221)2 11(411+=-=++n n n S S ，(n ∈N *) （2）要使21>--+c S c S k k ，只要0)223(<---k k S c S c 因为4)211(4<-=k k S 所以0212)223(>-=--k k k S S S ，(k ∈N *)故只要23S k –2＜c ＜S k ，（k ∈N *）因为S k +1＞S k ，(k ∈N *) ① 所以23S k –2≥2 3S 1–2=1 又S k ＜4，故要使①成立，c 只能取2或3 当c =2时，因为S 1=2，所以当k =1时，c ＜S k 不成立，从而①不

2016年普通高中数学会考真题

2016年普通高中数学会考真题第Ⅰ卷选择题（共50分) 一、选择题:本大题共15小题，只有一项是正确的.第1-10每小题3分，第11-15 每小题 4分，共50分） 1．已知集合{0,2},{|02}M N x x ==≤<，则M ∩N 等于（） A ．{0，1，2} B ．{0，1} C ．{0，2} D ．{0} 2．下列结论正确的是（） A ．若ac>bc ，则a>b B ．若a 2>b 2 ，则a>b C ．若a>b,c<0，则 a+c

7.甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是（） A. 16 B. 1 3 C. 12 D. 23 8.一个几何体的三视图如图，则组成该组合体的简单几何体为 ( ) A ．圆柱和圆锥 B ．正方体和圆锥 C ．四棱柱和圆锥 D ．正方体和球 9．若sin α2＝3 3 ，则cos α＝( ) A ．13 B ．－1 3 C. －23 D. 23 10．要得到)4 2sin(3π +=x y 的图象只需将y=3sin2x 的图象（） A ．向左平移 8 π 个单位 B ．向右平移 8 π 个单位

高中数学知识点完全总结(绝对全)

高中数学概念总结一、函数 1、若集合A 中有n )(N n ∈个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为n 2，所有非空真子集的个数是22-n 。二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴方程是a b x 2-=，顶点坐标是??? ? ? ?--a b ac a b 4422，。用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即（一般式）c bx ax x f ++=2)(，（零点式）)()()(21x x x x a x f -?-=和n m x a x f +-=2)()( （顶点式）。 2、幂函数n m x y = ，当n 为正奇数，m 为正偶数， m

),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则sin α= r y ，cos α=r x ，tg α=x y ，ctg α=y x ，sec α=x r ，csc α=y r 。 2、同角三角函数的关系中，平方关系是：1cos sin 2 2 =+αα，αα22sec 1=+tg ，αα22csc 1=+ctg ；倒数关系是：1=?ααctg tg ，1csc sin =?αα，1sec cos =?αα；相除关系是：αααcos sin = tg ，α α αsin cos =ctg 。 3、诱导公式可用十个字概括为：奇变偶不变，符号看象限。如：=-)23sin( απαcos -，)2 15(απ -ctg =αtg ，=-)3(απtg αtg -。 4、函数B x A y ++=)sin(?ω），（其中00>>ωA 的最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ω π 2= T ，频率是πω2= f ，相位是?ω+x ，初相是?；其图象的对称轴是直线)(2 Z k k x ∈+=+π π?ω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。 5、三角函数的单调区间： x y s i n =的递增区间是??? ?? ? + -222 2πππ πk k ，)(Z k ∈，递减区间是????? ? ++23222ππππk k ，)(Z k ∈；x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈，tgx y =的递增区间是 ??? ? ? +-22ππππk k ，)(Z k ∈，ctgx y =的递减区间是()πππ+k k ，)(Z k ∈。 6、=±)sin(βαβαβαsin cos cos sin ± =±)c o s (βαβαβαs i n s i n c o s c o s = ±)(βαtg β αβ αtg tg tg tg ?± 1 7、二倍角公式是：sin2α=ααcos sin 2? cos2α=αα2 2 sin cos -=1cos 22 -α=α2 sin 21- tg2α= α α 2 12tg tg -。

高中数学基础知识汇总

第一部分集合 1．理解集合中元素的意义．．．．．是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？… ； 2.研究集合问题，一定要抓住集合的代表元素，如：{}x y x lg |=与{}x y y lg |=及 {}x y y x lg |),(= 3．数形结合．．．．是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决； 4．（1）含n 个元素的集合的子集个数为2n ，真子集（非空子集）个数为2n －1；（2）;B B A A B A B A =?=?? 注意：讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况。 5．φ是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。第二部分函数与导数 1．映射：注意 ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。

2．函数值域的求法：①分析法；②配方法；③判别式法；④利用函数单调性； ⑤换元法；⑥利用均值不等式 2222b a b a ab +≤+≤； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（x a 、x sin 、x cos 等）；⑨导数法 3．复合函数的有关问题（1）复合函数定义域求法： ① 若f(x)的定义域为［a ，b ］,则复合函数f[g(x)] 的定义域由不等式a≤g(x)≤b 解出 ② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x ∈[a,b]时，求g(x)的值域。（2）复合函数单调性的判定： ①首先将原函数)]([x g f y =分解为基本函数：内函数)(x g u =与外函数)(u f y =； ②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性； ③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。

分类讨论思想在高中数学中的应用

分类讨论思想在高中数学中的应用摘要：分类讨论是是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。在近几年的高考试题中，他都被列为一种重要的思维方法来考察。因此在平时的教学中，应该注重分类思想的教学，注重培养学生的逻辑性思维。在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置，在近几年的高考试题中，他都被列为一种重要的思维方法来考察。因此在平时的教学中，应该注重分类思想的教学，注重培养学生的逻辑性思维。分类讨论实质是“化整为零，各个击破，再积零为整”的思维策略。分类讨论的思想方法的步骤：(1)确定标准；(2)合理分类；(3)逐类讨论；(4)归纳总结.其关键是“为什么分类，怎样分类”。一、分类讨论的几个注意点 1. 明确分类讨论的对象分类讨论的对象是用字母表示的数,一般为变量, 当然也不排除为常量的可能。例1、设k 为实常数，问方程)4()8()4()8(22-?-=-+-k k y k x k 表示的曲线是何种曲线？解析：方程表示何种曲线主要取决于k 的取值，可对k 分以下三种情形讨论：（1）当k 4=时，方程变为0,042==x x 即，表示直线；（2）当k 8=时，方程变为0042==y y 即，表示直线；（3）当84≠≠k k 且时，方程变为1842 2=-+-k y k x ，又有以下五种情形讨论： ①当4

高中数学会考真题分类集合

集合 1、已知集合A={}|(1)0x x x -=，那么下列结论正确的是（） .0.1.1.0A A B A C A D A ∈?-∈? 2、设集合M={1，2，3，4，5}，集合N={2，4，6}，集合T={4，5，6}，则（M∩T ）∪N 是（） A.{2，4，5，6} B.{4，5，6} C.{1，2，3，4，5，6} D.{2，4，6} 3. 已知全集I={1，2，3，4，5，6}，A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，那么C I （A∩B ）等于（） A.{3，4} B.{1，2，5，6} C.{1，2，3，4，5，6} D. ? 4. 设集合M={－2，0，2}，N={0}，那么下列结论正确的是（） A ．N 为空集 B.N ∈M C.N M D.M N 1．设集合U =｛-2，-1，1，3，5｝，集合A =｛-1，3｝，那么U A e = ． 1、已知集合S={a,b,c,d,e},A={b,d},那末C S A=( ) A. {a,c,e} B. {a,b,c} C.{b,c,d} D.{c,d,e,} 1.已知几个{}{}0,1,3,0,1,2A B ==，那么A B ?等于（） A. {}0,1 B. {}0,1,2 C. {}3 D. {}0,1,2,3 1．如果集合{}0,1A =，{} 2 1B x x ==，那么集合A B 等于( ) A ．{1} B ．{}0,1 C ．{}1,1- D ．{}1,0,1- 1．如果集合{1,2}A =-，{|0}B x x =>，那么集合A B 等于（） 1.已知集合A={1,2,3}，B={2，3，6,}，那么集合A B=（） A. {1，6} B. {2,3} C. {1,2,3} D. {1,2,3，6} 1．已知集合{}0,1,2M =，{}1,4B =，那么集合A B 等于（）（A ）{}1 （B ）{}4 （C ）{}2,3 （D ）{}1,2,3,4 1.已知集合A={1,2,3}，B={2，3，4,}，那么集合A ?B=（） A. {2} B. {2,3} C.. {1,2,3} D. {1,2,3，4} 1．已知集合{}1,2,3A =，{}1,4B =，那么集合A B 等于（A ）{}1 （B ）{}4 （C ）{}2,3 （D ）{}1,2,3,4 1.已知集合A={1,2,3}，B={3,4,5}，那么集合A ?B=（） A. {3} B. {1,2,3,4,5} C.. {1,2,4,5} D..? 1. 已知全集为R ，集合{|1}A x x =≥，那么集合A R e等于 A. {|1}x x > B. {|1}x x >- C. {|1}x x < D. {|1}x x <- （A ）? （B ）{1}- （C ）{2} （D ）{1,2}-

新课标人教A版高中数学全部知识点归纳总结

高三第一轮复习资料（注意保密）引言 1.课程内容：必修课程由5个模块组成：必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数）必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。必修3：算法初步、统计、概率。必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。必修5：解三角形、数列、不等式。以上是每一个高中学生所必须学习的。上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。选修课程有4个系列：系列1：由2个模块组成。选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图系列2：由3个模块组成。选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。系列3：由6个专题组成。选修3—1：数学史选讲。选修3—2：信息安全与密码。选修3—3：球面上的几何。选修3—4：对称与群。选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。选修3—6：三等分角与数域扩充。系列4：由10个专题组成。选修4—1：几何证明选讲。选修4—2：矩阵与变换。选修4—3：数列与差分。选修4—4：坐标系与参数方程。选修4—5：不等式选讲。选修4—6：初等数论初步。选修4—7：优选法与试验设计初步。选修4—8：统筹法与图论初步。选修4—9：风险与决策。选修4—10：开关电路与布尔代数。 2．重难点及考点：重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数难点：函数、圆锥曲线高考相关考点： ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件 ⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用 ⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用 ⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用 ⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用 ⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用 ⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系 ⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用

高一数学上册基础知识点总结

数学必修一基础要点归纳第一章集合与函数的概念一、集合的概念与运算： 1、集合的特性与表示法：集合中的元素应具有：确定性、互异性、无序性；集合的表示法有：列举法、描述法、文氏图等。 2、集合的分类：①有限集、无限集、空集。 ②数集：{ } 2 2y y x =- 点集： (){},1x y x y += 3、子集与真子集：若x A ∈则x B ∈?A B ? 若A B ?但A ≠B ?A B 若{}123,n A a a a a = ，，，则它的子集个数为2n 个 4、集合的运算：①{} A B x x A x B =∈∈ 且，若A B A = 则A B ? ②{}A B x x A x B = ∈∈ 或，若A B A = 则B A ? ③ { } U C A x x U x A =∈?但 5、映射：对于集合A 中的任一元素a,按照某个对应法则f ,集合B 中都有唯一的元素b 与之对应，则称:f A B →为A 到的映射，其中a 叫做b 的原象，b 叫a 的象。二、函数的概念及函数的性质： 1、函数的概念：对于非空的数集A 与B ，我们称映射:f A B →为函数，记作()y f x =，其中,x A y B ∈∈,集合A 即是函数的定义域，值域是B 的子集。定义域、值域、对应法则称为函数的三要素。 2、函数的性质： ⑴ 定义域：0 1 简单函数的定义域：使函数有意义的x 的取值范围，例： y = 的定义域为：25053302x x x ->??<? 2 复合函数的定义域：若()y f x =的定义域为[),x a b ∈，则复合函数 ()y f g x =????的定义域为不等式()a g x b ≤<的解集。 0 3 实际问题的定义域要根据实际问题的实际意义来确定定义域。

高中数学会考真题分类统计

统计 63.简单随机抽样、系统抽样、分层抽样之间的共同点是（） A ．都是从总体中逐个抽样 B ．将总体分成几部分，按事先预定的规则在各部分抽取 C ．抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等 D ．抽样过程中，将总体分成几层，按比例分层抽取 64.一个单位有职工160人，其中有业务员104人，管理人员32人，后勤服务人员24人，要从中抽取一个容量为20的样本，用分层抽样的方法抽取样本，则在20人的样本中应抽取管理人员的人数为（） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 65.要从已编号(1～60)的60枚最新研制的某型导弹中随机抽6枚来进行发射试验,用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的6枚导弹的编号可能是( ) A. 5,10,15,20,25,30 B. 3,13,23,33,43,53 C. 1,2,3,4,5,6 D.2,4,8,16,32,48 66.用样本的频率分布来估计总体情况时,下列选项中正确的是( ) A. 估计准确与否与样本容量无关 B. 估计准确与否只与总体容量有关 C.样本容量越大,估计结果月准确 D. 估计准确与否只与所分组数有关 67.某住宅小区有居民2万户,从中随机抽取200户,调查是否已安装电话,调查结果如下表所示: 电话动迁户原住户已安装 65 30 未安装 40 65 则该小区已安装电话的住户估计有( ) A. 6500户 B. 3000户 C. 19000户 D. 9500户 68.设有一个回归方程2 1.5y x ∧ =-,当变量x 增加一个单位时( ) A. y 平均增加1.5个单位 B. y 平均增加2个单位 C. y 平均减少1.5个单位 . D.y 平均减少2个单位 11．假设某种设备使用的年限x （年）与所支出的维修费用y （元）有以下统计资料：使用年限x 2 3 4 5 6 维修费用y 2．2 3．8 5．5 6．5 7．0 参考数据： 905 1 2=∑=i i x ，3.1125 1 =∑=i i i y x ，如果由资料知y 对x 呈线性相关关系．试求：（1）, x y ；（2）线性回归方程a bx y +=∧ ；（3）估计使用10年时，维修费用是多少？ 22.校园歌手大奖赛中，甲、乙两组同学（每组5人）的成绩用茎叶图表示如下图所示。如果用 s s 乙甲，分别表示两组同学的成绩的标准差，那么s 甲＿＿＿ s 乙（填<，>，=）。

高中数学知识大全(完整)

第一章集合和命题 1. 集合及其表示法能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合，简称集；集合中的各个对象叫做这个集合的元素；集合的元素具有确定性、互异性和无序性；集合常用大写字母A 、B 、 C …表示，集合中的元素用小写字母a 、b 、c …表示；如果a 是集合A 的元素，就记作A a ∈，读作“a 属于A ”，如果a 不是集合A 的元素，就记作A a ?，读作“a 不属于A ” 数的集合简称数集；全体自然数组成的集合，即自然数集，记作N ，不包括零的自然数组成的集合，记作N*；全体整数组成的集合即整数集，记作Z ；全体有理数组成的集合即有理数集，记作Q ；全体实数组成的集合即实数集，记作R ；另外正整数集、负整数集、正有理数集、负有理数集、正实数集、负实数集分别表示为+Z 、-Z 、+Q 、-Q 、+R 、 -R ；点的集合简称点集，即以直角坐标平面内的点作为元素构成的集合；含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集；规定空集不含元素，记作?；集合的表示方法常用列举法和描述法；将集合中的元素一一列出来，并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法；在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所共同具有的特性，即{}p x x A 满足性质|=，这种表示集合的方法叫做描述法；

2. 集合之间的关系对于两个集合A 和B ，如果集合A 中任何一个元素都属于集合B ，那么集合A 叫做集合B 的子集，记作B A ?或A B ?，读作“A 包含于B”或“B 包含A”；空集包含于任何一个集合，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；所以若B A ?，不要遗漏?=A 的情况；对于一个含有n 个元素的集合P ，它的子集个数为n 2真子集个数为12-n ，非空子集个数为12-n ，非空真子集的个数为22-n ；用平面区域来表示集合之间关系的方法叫做集合的图示法，所用图叫做文氏图；对于两个集合A 和B ，如果B A ?且A B ?，那么叫做集合A 与集合B 相等，记作B A =，读作“集合A 等于集合B ”，因此，如果两个集合所含的元素完全相等，那么这两个集合相等；对于两个集合A 和B ，如果B A ?，并且B 中至少有一个元素不属于A ，那么集合A 叫做集合的B 真子集，记作B A ≠ ?或 A B ≠ ?，读作“A 包含于B ”或“B 真包含A ”；对于数集N 、Z 、Q 、R 来说，有R Q Z N ≠ ≠ ≠ ???； 3. 集合的运算一般地，由集合A 和集合B 的所有公共元素组成的集合叫做A 与B 的交集，记作B A ，读作“A 交B ”，即{}B x A x x B A ∈∈=且| ；由所有属于集合A 或者属于集合B 的元素组成的集合叫做集合A 、B 的并集，记作B A ，读作“A 并B ”，即{}B x A x x B A ∈∈=或| ；在研究集合与集合之间的关系时，这些集合往往是某个给定集合的子集，这个确定的集合叫做全集，常用符合U 表示；即全集含有我们所要研究的各个集合的全部元素；设U 为全集，A 是U 的子集，则由U 中所有不属于A 的元素组成的集合叫做集合A 在全集U 中的补集，记作A C U ，读作“A 补”，即{}A x U x x A C U ?∈=,| 德摩根定律：()B C A C B A C U U U =；()B C A C B A C U U U = 容斥原理：用A 表示集合A 的元素个数，则B A B A B A -+=； C B A A C C B B A C B A C B A +---++=；

(完整版)高中数学知识点体系框架超全超完美

高中数学基础知识整合函数与方程区间建立函数模型抽象函数复合函数分段函数求根法、二分法、图象法；一元二次方程根的分布单调性：同增异减赋值法，典型的函数零点函数的应用 A 中元素在 B 中都有唯一的象；可一对一（一一映射），也可多对一，但不可一对多函数的基本性质单调性奇偶性周期性对称性最值 1.求单调区间：定义法、导数法、用已知函数的单调性。 2.复合函数单调性：同增异减。 1.先看定义域是否关于原点对称，再看f (-x )=f (x )还是-f (x ). 2.奇函数图象关于原点对称，若x =0有意义，则f (0)=0. 3.偶函数图象关于y 轴对称，反之也成立。 f (x +T)=f (x )；周期为T 的奇函数有：f (T)=f (T/2)= f (0)=0.二次函数、基本不等式，对勾函数、三角函数有界性、线性规划、导数、利用单调性、数形结合等。函数的概念定义列表法解析法图象法表示三要素使解析式有意义及实际意义常用换元法求解析式观察法、判别式法、分离常数法、单调性法、最值法、重要不等式、三角法、图象法、线性规划等定义域对应关系值域函数常见的几种变换平移变换、对称变换翻折变换、伸缩变换基本初等函数正（反）比例函数、一次（二次）函数幂函数指数函数与对数函数三角函数定义、图象、性质和应用函数映射第二部分映射、函数、导数、定积分与微积分退出上一页第二部分映射、函数、导数、定积分与微积分导数导数概念函数的平均变化率运动的平均速度曲线的割线的斜率函数的瞬时变化率运动的瞬时速度曲线的切线的斜率 ()()的区别与0x f x f ' '0 t t t v a S v ==，() 0' x f k =导数概念基本初等函数求导导数的四则运算法则简单复合函数的导数()()()()()()()().ln 1ln ln 1 log sin cos cos sin 01x x x x a n n e e a a a x x a x x x x x x nx x c c ==== -====-；；；；；；；为常数()()()()[]()() ()()[]()()()()()()()()()()()[]2)3()2()1(x g x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f -=? ? ????+=?±=±是可导的，则有：，设()()[]()() x u u f x g f ' ' ' ?=1.极值点的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点； 2.闭区间一定有最值，开区间不一定有最值。导数应用函数的单调性研究函数的极值与最值曲线的切线变速运动的速度生活中最优化问题 ()()()(). 00''在该区间递减在该区间递增，x f x f x f x f ?1.曲线上某点处切线，只有一条；2.过某点的曲线的切线不一定只一条，要设切点坐标。一般步骤：1.建模，列关系式；2.求导数，解导数方程；3.比较区间端点函数值与极值，找到最大（最小）值。定积分与微积分定积分概念定理应用性质定理含意微积分基本定理曲边梯形的面积变力所做的功 ()的极限和式i n i i x f ?∑-=1 1 ξ定义及几何意义 1.用定义求：分割、近似代替、求和、取极限； 2.用公式。 ()()()()[]()()()()()()()() c b a dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x g dx x f dx x g x f dx x f k dx x kf c b b a c a a b b a b a b a b a b a b a <<=-=±=±=?????????? .；；；()()()()()() 莱布尼兹公式牛顿则若--==?a F b F dx x f x f x F b a ,'1.求平面图形面积；2.在物理中的应用（1）求变速运动的路程：（2）求变力所作的功； ()?=b a dx x F W ()dt t v s a b ?=