不确定线性中立时滞系统的时滞相关鲁棒H_控制_张友
第37卷第2期东北师大学报自然科学版Vol.37No.2 2005年6月JOURNAL OF NORTHEAST NORMAL UN IV ERSIT Y J une2005
[文章编号]100021832(2005)022*******
不确定线性中立时滞系统的
时滞相关鲁棒H∞控制
张 友1,李晓月1,张嗣瀛2
(11东北师范大学数学与统计学院,吉林长春130024;
21东北大学信息科学与工程学院自动化研究所,辽宁沈阳110004)
[摘 要] 研究了一类线性参数不确定中立时滞系统的时滞依赖型鲁棒H∞控制问题.首先建立了一个时滞依赖型稳定准则;其次基于LM I正定解的存在性,给出了一个使该中立时滞系统的标称系统达到渐近稳定且保持给定H∞范数的充分条件;最后给出参数不确定系统的鲁棒H∞控制器存在的充分条件与设计方案.
[关键词] H∞控制;中立时滞系统;线性矩阵不等式;无记忆状态反馈;渐近稳定性
[中图分类号] TP13 [学科代码] 120?3040 [文献标识码] A
0 引言
时滞现象在实际工程问题中是普遍存在的,如气、液体的长管路传输,各种化工生产过程以及加热温度控制问题中均存在时滞.时滞的存在使得系统的分析与综合变得更加复杂和困难,同时时滞的存在也往往是导致系统不稳定和系统性能变差的根源.由于H∞控制具有有效的性能指标,因此时滞系统的H∞控制问题的研究具有十分重要的理论意义和应用价值.自从1994年韩国学者J1H1Lee在时域中基于状态空间模型,利用Riccati方法提出时滞系统无记忆H∞控制器设计问题以来[1],时滞系统的H∞控制问题的研究取得了长足的进步[2,3],成为近年来H∞控制领域的热点研究课题之一,并取得了丰硕的研究成果.
目前诸多学者开始致力于中立系统稳定性的研究,作为时滞系统的一个特例,中立型微分系统具有理论和实践上的重要性.例如,中立型泛函微分方程是输电线中电压与电流波动的自然模型,同时中立系统也经常出现在自动控制、人口动态中.许多作者利用各种分析技术,如Lyapunov方法,特征方程法及状态方程解,建立了许多中立系统渐进稳定的稳定性准则[4-6],然而,关于中立系统的分析与综合方面的文献却较少.Xu等解决了线性中立时滞系统的H∞和正实控制问题,并发展了相应的控制器设计方案[7].Mahmoud考虑了时滞独立型线性不确定性中立时滞系统的鲁棒H∞控制[8],并得出一些可解性的充分条件,然而上述结果都是基于时滞独立的.
一般来说,时滞独立的稳定性条件是比较保守的.因为,若系统满足时滞独立的稳定性条件,则对任意大的滞后时间,系统都是稳定的.显然,这样的要求是很强的,特别是对小时滞系统,这样的条件是很保守的.通常系统中的时滞都有一个上界,不会是无穷大,故与时滞无关的镇定条件显得较为保守.
本文研究了一类参数不确定中立系统的时滞依赖型鲁棒H∞控制问题,给出了无记忆鲁棒H∞控[收稿日期] 2004211220
[基金项目] 国家自然科学基金资助项目(60274009);教育部博士点基金资助项目(20020145007);东北师范大学自然科学青年基金资助项目(20050104)
[作者简介] 张友(1971-),男,博士,副教授,主要从事随机系统、时滞系统的稳定性分析与综合研究;张嗣瀛(1925-),男,教授,博士研究生导师,中国科学院院士,主要从事复杂性科学研究.
2东北师大学报自然科学版第37卷
制存在的充分条件及相应的设计方案,所得结果均基于LM I技术.
文中R n表示n维欧氏空间,C([-τ,0],R n)表示在[-τ,0]中处处连续可微函数x(t)全体所成
‖x(t+θ)‖.R n×m是n×m阶实矩阵集的Banach空间,C([-τ,0],R n)上的范数为‖x t‖c=sup
-τ≤θ≤0
合,I n是n×n阶单位阵,diag{…}代表分块对角阵,‖?‖表示向量的欧氏范数或相应的导出2-范数, L2[0,∞]是定义在[0,∞)上的平方可积函数,且‖?‖2表示L2-范数.对任意X∈R n×n,X>0(X≥0), X为一个对称正定(半正定)矩阵,λM(A)和λm(A)分别表示矩阵A的最大和最小特征值.
1 预备知识
考虑系统
x?(t)=(A+ΔA)x(t)+(A1+ΔA1)x(t-h)+(A2+ΔA2)x?(t-h)+(B+ΔB)u((t)+B1ω(t));(111)
x(t)=<(t),t∈[-τ,0];(112)
z(t)=(C+ΔC)x(t)+Dω(t).(113)其中x(t)∈R n是状态向量,u(t)∈R m是控制输入向量,ω(t)∈R P为属于L2[0,+∞)空间的干扰输入向量,z(t)∈R q是被控输出向量.标量τ>0表示状态及其导数的时滞.<(t)∈R n是一个连续初始向量值函数.A,A1,A2,B,B1,C和D是已知具有适当维数的常量矩阵,它们描述了方程(211)的标称系统.ΔA,ΔA1,ΔA2,ΔB,ΔC是描述系统不确定性的时变矩阵函数,假定所有容许的不确定性矩阵具有如下形式:
[ΔA,ΔA1,ΔA2,ΔB,ΔC]=M F(t)[E,E1,E2,E b,E c],(114)其中M,E,E1,E2,E b,E c为已知常量矩阵,未知的实时变矩阵F(t)∈R i×j,满足
F T(t)F(t)≤I,Πt∈R.
下面的定义给出了系统(111)—(113)的鲁棒稳定和鲁棒性能的概念.
定义111 系统(111)与(112)是鲁棒稳定的,如果当u(t)≡0和ω(t)≡0时,系统(111)与(112)所确定的泛函微分方程的平衡解x(t)≡0对所有容许的不确定性ΔA,ΔA1,ΔA2是渐近稳定的.
定义112 对于给定常数γ>0,系统(111)—(113)的非受迫系统(u(t)=0)是鲁棒稳定的,且具有H∞干扰抑制度γ,如果此系统在定义111意义下是鲁棒稳定的,且在零初始条件下,对任意的非零ω(t)∈L
和所有容许的不确定性ΔA,ΔA1,ΔA2,ΔC,有‖z‖2<γ‖ω‖2.
2
本文将研究下面的鲁棒H∞控制问题:对系统(111)—(113)给定常数γ>0,寻找状态反馈控制律u(t)=K(x)(t),使得闭环系统是鲁棒稳定的,且具有H∞干扰抑制度γ,此时我们称系统(111)—(113)是鲁棒可镇定的,且具有H∞干扰抑制度γ.
下一节将利用LM I技术来解决上面的问题,为了便于后面结果的证明先给出下面几个引理.
引理111 对任意的<(t)∈C([-τ,0],R n),下面的不等式成立:
‖<(θ)‖2≤2‖<(0)‖2+2τ∫0θ‖
‖<(θ)‖≤‖<(0)‖+∫0θ‖
从而
‖<(θ)‖2≤(‖<(0)‖+∫0θ‖
(∫0θ‖
2‖<(0)‖2+2∫2θ‖
2‖<(0)‖2-2θ∫
2
θ
‖
(s )‖2d s ≤2‖<(0)‖2+2τ∫
θ
‖
(s )‖2
d s.
引理112 设D ,E 是具有适当维数的实矩阵,则对任意正数δ,有如下不等式:
D E +(D E )T ≤δDD T
+
1δE T E .
把不等式(δD T -1δE )T (δD T
-1δ
E )≥0展开即得命题结论.
引理113(Schur complement ) 设Ω1,Ω2,Ω3是常量矩阵,且Ω1=ΩT 1,0<Ω2=ΩT
2,则Ω1+
ΩT 3Ω-1
2Ω3<0成立当且仅当下列矩阵不等式成立.
Ω1Ω
T
3
Ω3
-Ω2
<0或
-Ω2
Ω3ΩT 3
Ω1
<0.
2 主要结果
本节给出时滞依赖型鲁棒H ∞控制的主要结果.首先考虑系统(111)与(112)的非受迫标称系统的稳定性分析问题.
定理211 考虑系统(111)与(112)非受迫标称系统,即
x ?(t )=Ax (t )+A 1x (t -τ)+A 2x ?
(t -τ),(211)
x (t )=<(t ),t ∈[-τ,0].
(212)对于给定常数τ3,对所有的0<τ≤τ3,系统(211)是渐近稳定的,如果存在矩阵X >0,T >0,
Y >0使得如下的LM I 成立
G (X;A ,A 1)
0A d Y
XA T
X A 1Y
3-T
0TA T
1
033-Y
YA T 2
0333-
1
1+τ
3
Y 003333-T
3
3
3
3
3
-1
τ3
Y
<0.
(213)
其中G (X ;A ,A 1)=(A +A 1)X +X (A +A 1)T .
证明 令x (t )是系统(211)—(212)的状态轨线,由Newton -Lebuniz 公式,对任意的t ≥τ有
x (t -τ
)=x (t )-∫
-τx ?
(t +α
)d α.把x (t -τ
)代入方程(211),得到x ?
(t )=(A +A 1)x (t )-A 1
∫
-τ
x ?
(t +α
)d α+A 2x ?
(t -τ).根据上面的讨论,考虑如下系统
ξ?
(t )=(A +A 1)ξ(t )-A 1
∫
-τ
ξ?(t +α)d α+A 2ξ?
(t -τ),
(214)
ξ(t )=ψ(t ),t ∈[-2τ,0],(215)其中ψ(?
)是初始条件,τ为系统(211)的时滞.注意方程(214)需要区间[-2τ,0]上的初始条件.注意到系统(211)—(212)是系统(214)—(215)的一个特例,这样非受迫标称系统(211)—(212)的解也是系统(214)—(215)的解.因此,系统(214)—(215)的全局一致渐近稳定性将保证系统(211)—(212)的全局一致渐近稳定性.判断系统(211)—(212)的稳定性,只需研究系统(214)—(215)的稳定性.
对于系统(214)—(215),定义如下Lyapunov 泛函:
3
第2期张 友等:不确定线性中立时滞系统的时滞相关鲁棒H ∞控制
V (ξt ,t )=ξT
(t )P
ξ(t )+W (ξ,t ),(216)
其中P >0是正定对称阵,而
W (ξ,t )=
∫
t
t -τ
ξT (s )S ξ(s )d s +
∫
t
t -τ
ξ?T (s )H ξ?
(s )d s +
∫0
-τ
(
∫
t
t +α
ξ?
T (s )H ξ?
(s )d s )d α
(217)
其中S ,H 为特定正定对称阵.
首先证明,对于给定Lyapunov 泛函(216)的系统(211),存在常数α1>0和α2>0使得
α1‖<(0)‖2≤V (<(θ),t )≤α2‖<(θ)‖2
W ,
其中
‖<(θ)‖W =(‖<(0)‖2
+
∫
-τ
‖
d θ
)1
2.由(216)式可得V (<(θ),t )≥λm (P )‖<(0)‖2
,因而,对左边不等式可以取α1=λm (P ).
另一方面,
V (<(θ
),t )= (0)P <(0)+∫ -τ (θ )S <(θ)d θ+∫ -τ θ)H (θ)d θ+∫0 -τ(∫0α (θ )H (θ)d θ)d α≤λM (P )‖<(0)‖2 +λM (S )∫0 -τ ‖<(θ)‖2 d θ+ λM (H )∫0 -τ ‖ (θ)‖2 d θ+λM (H )∫0-τ(∫ α ‖ (θ )‖2 d θ)d α≤λM (P )‖<(0)‖2 +λM (S ) ∫0 -τ ‖<(θ)‖2 d θ+[(1+h )λM (H )]∫0 -τ ‖ (θ)‖2 d θ. (218) 把(115)式代入(218)式,得 V (φ(θ),t )≤(λM (P )+2h λM (S ))‖φ(0)‖2+[2h 2 λM (S )+(1+h )λM (H )]× ∫ -h ‖ φ(θ)‖2d θ≤α2(‖φ(0)‖2 + ∫ -h ‖ φ(θ)‖2 d θ ).其中α2=max {λM (P )+2h λM (S ),2h 2 λM (S )+(1+h )λM (H )}>0. 为方便起见,在下面的证明里记ξ(t )=ξ,ξ(t -τ)=ξτ,ξ?(t -τ)=ξ? τ. 对于Lyapunov 泛函(216),取P =X -1,S =T -1和H =Y -1,那么V 沿着系统(314)的导数为 V ? (ξt ,t )=2ξ? T P ξ+ξT S ξ-ξT τS ξτ+ξ? T H ξ? -ξ? T τH ξ? τ+∫ -τ [ξ?T (t )H ξ?(t )-ξ?T (t +α)H ξ? (t +α)]d α=2ξ? T P ξ+ξT S ξ-ξT τS ξτ+(1+τ)ξ? T H ξ? -ξ? T τH ξ? τ-∫ -τ ξ?T (t +α)H ξ? (t +α)d α= ξT [P (A +A 1)+(A +A 1 )T P +S ]ξ-2ξT P ∫ -τ A 1 ξ? (t +α)d α+ 2ξT PA 2ξ?τ -ξ? T τ S ξτ +(1+τ)ξ? T H ξ?-ξ? T τ H ξ?τ -∫ -τ ξ? T (t +α)H ξ? (t +α)d α.(219) 利用不等式 -2u T v ≤u T θu +v T θ-1 v , 其中u ,v 是具有相同维数的向量,θ>0为具有相应维数的矩阵,有 -2ξT P ∫ -τ A 1ξ? (t +α )d a ≤τξT PA 1H -1 A T 1P ξ+∫ -τ ξ?T (t +α)H ξ? (t +α)d α. (2110) 另外, (1+τ)ξ? T H ξ? =(1+τ)[ξ? T A T HA ξ+2ξT A T HA 1ξτ+2ξT A T HA 2ξ? τ+ 2ξT τA T 1HA 2ξ? τ+ξT τA T 1HA 1ξτ+ξ? T τA T 2HA 2ξ? τ]. (2111)把(2110)和(2111)式代入(219)式得到 V (ξt ,t )≤ ξT Ω(P ,S ,H ,τ) ξ,(2112) 4 东北师大学报自然科学版 第37卷 其中矩阵函数 Ω(P,S,H,τ)=Φ(1+τ)A T HA 1PA2+(1+τ)A T HA2 3(1+τ)A T1HA1-S(1+τ)A T1HA2 33(1+τ)A T2HA2-H ,ξT=ξTξTξ ? T τ, Φ=P(A+A 1 )+(A+A1)T P+S+(1+τ)A T HA+τPA1H-1A T1P. 显然,不等式(2112)蕴含着V?(ξt,t)<0,如果Ω(P,S,H,τ)<0.注意到Ω(P,S,H,τ)关于τ是单调递增的(在半正定意义下).从而,对于0<τ≤τ3,如果Ω(P,S,H,τ3)<0成立,那么(2112)式<0成立.由Schur补引理,Ω(P,S,H,τ3)<0成立当且仅当 P(A+A1)+(A+A1)T P+S 0PA d A T PA1 3-S0A T10 33-H A T20 333-1 1+τ3 H-10 3333-1 τ3H <0,(2113) (2113)式两边同乘diag(X,T,Y,I,Y),再应用Schur补引理,得到 (A+A1)X+X(A+A1)T0A2Y XA T X A1Y 3-T0TA T100 33-Y YA T200 333-1 1+τ3 Y00 3333-T0 33333-1 τ3Y <0,(2114)当定理1的条件满足时(2114)式成立.从而不等式(2112)<0成立,进而有 V(ξt,t)<0.S对任意的0<τ≤τ3,令 w1(‖<(0)‖)=α1‖<(0)‖2,w2(‖<(θ)‖w)=α2‖<(θ)‖2W. 其中‖<(θ)‖W如引理111中所定义.因为系统(214)—(215)是渐近稳定的,进而系统(211)—(212)也是渐近稳定的. 在定理211的基础上,考虑系统(111)—(113)的标称系统的H∞性能分析问题. 定理212 考虑系统(111)—(113)的标称系统,当u(t)=0时,标称系统变为 x?(t)=Ax(t)+A1x(t-h)+A2x?(t-h)+B1ω(t);(2115) x(t)=<(t),t ∈[-τ,0];(2116) z(t)=Cx(t)+Dω(t).(2117)对给定常数γ,如果存在对称正定矩阵X,Y和T,使得 G(X;A,A1)0A2Y B1XA T XC T X A1Y 0-T00TA T1000 YA T20-Y0YA T2000 B T100-γ2I0D T00 AX A1T A2Y0- 1 1+τ Y000 CX00D0-I00 X00000-T0 YA T1000000- 1 τ3Y <0,(2118) 5 第2期张 友等:不确定线性中立时滞系统的时滞相关鲁棒H∞控制 则系统(2115)—(2117)是渐近稳定的,且具有H ∞干扰抑制度γ,其中X ,T ,Y,G (X;A ,A 1)如定理211中所定义. 证明 首先由不等式(2118)可得(213)成立,由定理211得,系统(2115)—(2117)是渐近稳定的,因而只需考虑系统的H ∞性能问题. 为了建立系统(2115)—(2117)的鲁棒H ∞性能,假设方程(2115)的初始条件为零,并定义Lyapunov 泛函 V 1(x t ,t )=x T (t )Px (t )+W 1(x ,t ), (2119) 其中P <0是正定对称阵,而W 1(x ,t )由下式给定: W 1(x ,t )= ∫ t t -τ x T (s )Sx (s )d s + ∫ t t -τ x ?T (s )Hx ? d s + ∫0 -τ ( ∫ t t +α x ?T (s )H (x ? (s )d s )d α, (2120) 这里S ,H 为待定的正定对称阵. 注意到,在零初始条件下,方程(2115)的状态轨线满足 x ? (t )=(A +A 1)x (t )-A 1 ∫ -τ x ?(t +α )d α+A 2x ? (t -τ)+B 1ω(t ).(2121) 用与定理211相同的证明方法,容易算得V 1(x t ,t )沿方程(2121)的解的导数为 V ? 1(x t ,t )≤x T [P (A +A 1)+(A +A 1) T P +S +(1+τ)A T HA +τPA 1H -1A T 1P ]x + 2(1+τ)x T A T HA τx τ+2x T [PA 2+(1+τ )A T HA 2]x ? τ+x T τ[(1+τ)A T 1HA 1-S ]x τ+2(1+τ )x T τA T τHA 2x ? τ+x ?T τ[(1+τ )A T 2HA 2-H ]x ? τ+2x T PB 1ω(t ),(2122) 其中x (t )=x ,x (t -τ)=x τ,x ? (t -τ )=x ? τ,ω(t )=ω.在零初始条件(x (t )=0,t ∈[-τ,0])下,考虑 J α= ∫ α (z T (t )z (t )-γ2 ωT (t )ω(t ))dt , 则对任意的非零外部扰动ω(t )∈L 2[0,∞ ),利用Lyapunov 泛函(2119)和零初始条件,可以导出J α= ∫a (z T (t )z (t )-γ2 ωT (t )ω(t )+ V 1(x t ,t )- V 1(x t ,t ))d t ≤ ∫ α0 (z T (t )z (t )-γ2 ωT (t )ω(t )+ V 1(x t ,t ))d t. 由于 z T (t )z (t )-γ2 ωT (t )ω(t )+V ? 1(x t ,t )= x T Ω1(P ,S ,H ,τ) x ≤ x T Ω1(P ,S ,H ,τ3) x , (2123) 其中矩阵函数 Ω1(P ,S ,H ,τ)= <+C T C (1+τ)A T HA 1 PA 2+(1+τ )A T HA 2PB 1+C T D 3(1+τ)A T 1HA 1-S (1+τ)A T 1HA 2033(1+τ)A T 2HA 2-H 3 3 3 D T D -γ2 I , x T =[x T x T τ x ? T τ ωT ],<如定理211中所定义.应用引理113,不等式(2118)等价于Ω1(P ,S ,H ,τ3)<0,于是由(2123)式得 J a ≤ ∫ a (z T (t )z (t )-γ2 ωT (t )ω(t )+ V 1(x t ,t ))d t <0, 即 ∫ a z T (t )z (t )d t <γ 2 ∫ a ωT (t )ω(t )d t ≤γ2 ∫ ∞ ωT (t )ω(t )d t ,6 东北师大学报自然科学版第37卷 对所有的α>0都成立.因此被控输出z (t )∈L 2[0,∞],且满足‖z ‖2≤γ‖ω‖2,定理212得证.基于前面标称系统H ∞性能分析,下面给出系统(111)—(113)的标称系统的H ∞控制器的设计方 案.考虑系统(111)—(113)的标称系统,对于给定的正常数γ,设无记忆状态反馈控制律 u (t )=Kx (t ), (2124) 其中K ∈R m ×n 是定常反馈增益矩阵,将控制律(2124)应用到系统(111)—(113)的标称系统中,则得闭环系统 x ? (t )=(A +B K )x (t )+A 1x (t -h )+A 2x ? (t -h )+B 1ω(t ), (2125)z (t )=Cx (t )+D ω(t ). (2126) 如果闭环系统(2125)—(2126)渐近稳定且具有H ∞干扰抑制度γ,则将控制律(2124)称为系统(111)—(113)的标称系统的一个γ-次优状态反馈H ∞控制律. 下面的定理给出了系统(111)—(113)的标称系统存在γ-次优状态反馈H ∞控制律的条件和设计方法. 定理213 对系统(111)—(113)的标称系统和给定的正常数γ,如果存在对称正定阵X ,T ,Y 及矩阵Q ,使得 G (X;A ,A 1)+BQ +Q T B T 0A 2Y B 1XA T Q T B T XC T A 1Y -T 00TA T 1000YA T 2 0-Y 0 YA T 2 00B T 1 -γ2I 0D T 00AX + BQ A 1T A 2Y -1 1+τ3 Y 000CX 00D 0-I 00X 00000-T 0YA T 1 - 1 τ3 Y <0, (2127) 则系统存在无记忆γ-次优状态反馈H ∞控制律.进而,u (t )=QX -1x (t )是所考虑系统的一个γ-次优状态反馈H ∞控制律. 证明 根据定理212,系统存在γ-次优状态反馈H ∞控制律(2124)的一个充分条件是存在对称正定矩阵X ,T 和Y,使得 G (X;A ,+B K,A 1) 0A 2Y B 1X (A +B K ) T XC T X A 1Y -T 00T A T 1 000Y A T 0-Y 0 Y A T 2 00B T 1 -γ2 I 0D T 00(A +B K )X A 1T A 2Y -1 1+τY 000CX 00D 0-I 00X 00000-T 0Y A T 1 - 1 τY <0. (2128) 在(2128)式取Q =KX ,则有不等式(2127),定理214得证. 下面将在定理213的基础上讨论具有参数不确定中立时滞系统(111)—(113)的鲁棒H ∞控制问题. 定理214 对系统(111)—(113)和给定的常数γ>0,如果存在对称正定阵X ,T ,Y 及矩阵Q ,使得 7 第2期张 友等:不确定线性中立时滞系统的时滞相关鲁棒H ∞控制 W 1 0A 2Y B 1W T 4 XC T X A 1Y L 100000 -W 2 00T A T 1000000 00Y A T 20-W 30 Y A T 2 0000YE T 2 00B T 1 -γ2 I 0D T 0000 000W 4A 1T A 2Y -1 1+τ3Y 0000L 2 00 0CX 00D 0-I 00000XE T c 0X 00000-T 00 0000 Y A T 1000000-1 τ3 Y 0000 YE T 1 L T 1 0000 000-J 10000000 0L T 2 0000-J 20 0000E 2Y 000 0000-ε-14I 000000E c X 00 000-ε-1 7I 00 E 1Y 0 ε-1 8I <0. (3129) 其中W 1=G (X;A ,A 2)+BQ +Q T B T +(∑8 i =1 ε-1i )M M T ,W 2=T -ε-19M M T ,W 3=Y -ε-110M M T , W 4=AX +BQ ,L 1=[XE T XE T 1(E b Q )T ],J 1=diag[ε-11I ε-12ε-13I ],L 2=[XE T Q T E T b TE T 1YE T 2],J 2=diag[ε-16I ε -19I ε-110I ].那么,对于所有容许的不确定性(114),无记忆状态反馈控制律u (t )=QX -1x (t ),使系统(111)鲁棒渐近稳定,且具有H ∞干扰抑制度γ. 应用定理213和Shur 补引理即可证得 .注1 当系统(111)—(113)无不确定性时,定理 214即为定理213.注2 定理214分别给出了不确定线性中立时滞系统(11 1)—(113)的时滞依赖型鲁棒 H ∞性能分析和鲁棒H ∞控制器的设计方案.应用这个定理,可求出时滞τ的最大值τ 3(当γ给定),或求解性能指标γ的最小值( 当τ3给定),而无需做任何参数的调整. 3 数值例子 考虑下面的中立时滞系统,其中: A =-1 1 1-1,A 1=01150105 0 011 ,A 2=-01050102 01010 , B =0151,B 1=-0101 0103, C =11-1 0,M =011 -1 ,D =[015 0101],E =[-011 -0105],E 1=[011 -0104], E 2=[012 -0103],E b =011,E c =[011 -0101], F (t )=sin t.设γ=1,取ε1=015,ε2=1,ε3=0.8,ε4=0.5,ε5=0.6,ε6=0.8,ε7=1,ε8=0.8,ε9= 1,ε10=0.5,通过应用MA TLAB 中的LM I 工具箱,根据定理214,保持系统鲁棒渐近稳定且具有H ∞干扰抑制度 γ的最大允许时滞为τ3=318250.对于[0,τ3]中任一时滞,如取τ=315 ,应用LM I 工具箱中的求解器mincx 解线性矩阵不等式(2129)得H ∞性能指标的最优值γopt =015085,相应不等式的解为: X = 010984-010809-010809 010682,Y = 111030-111038-111038 313710,T = 017032-015804-015804 014894 , Q =010040 -014986,K =[-24118392 -29411618]. 从而可得所求的无记忆状态反馈H ∞控制器为 8 东北师大学报自然科学版第37卷 u (t )=-[24118392 29411618]x (t ). 4 结论 本文研究了一类不确定线性中立时滞系统的鲁棒H ∞控制问题.通过LM I 方法,给出了相应的标 称系统的鲁棒稳定性准则,设计了一个鲁棒H ∞控制器使得闭环系统渐近稳定且具有H ∞干扰抑制度γ,最后的数值例子说明了本文所得结论是有效的. [参 考 文 献] [1] Lee J H.Memoryless H ∞controller for state delayed systems[J ].IEEE Trans Automat Cotrol ,1994,39(1):159-162.[2] 佟守愚,杨吉.不确定变时滞系统的强稳定鲁棒控制器设计[J ].东北师大学报(自然科学版),2000,32(4):6-101 [3] 孙希明,张友,齐丽.一类线性不确定系统H ∞鲁棒可靠观测器、控制器的设计[J ].东北师大学报(自然科学版),2004,36(2): 1-6. [4] Park J H ,Won S.Asymptotic stability of neutral systems with multiple delays[J ].Journal of Optimization Theory and Applications , 1999,103:187-200. [5] K olmanovskil V ,Myshkis A.Applieol theory of functional differential equations [M ].Dordrencht :K luwere Acacemic Publishers , 1992.129. [6] Park J H ,Won S.A note on stability of neutral delay -differential systems[J ].Journal of the Franklin Institute ,1999,336:543-548. [7] Xu S Y ,Lam J Yang C W.H ∞and positive -real cotrol for linear neutral delay systems[J ].IEEE Transactions on Automatic Con 2 trol ,2001,46(8):1321-1326. [8] Mahmoud M S.Robust H ∞control of linear neutral systems[J ]1Automatica ,2000,36:757-764. Pelay -dependent robust H ∞control for a class of uncertain neutral systems ZHAN G Y ou 1,L I Xiao 2yue 1,ZHAN G Si 2ying 2 (1.College of Mathematics and Statistics ,Northeast Normal Universit y ,Changchun 130024,China ;21School of Information Science and Engineering ,Northeast University ,Shenyang 110004,China ) Abstract :This paper is concerned with the robust H ∞control problem for linear neutral delay systems sub 2ject to parameter uncertainty.The methods of robust stabilization and robust H ∞control which are depen 2dent on the size of the delay and are based on the solution of linear matrix inequalities.First ,are developed a delay -dependent stability criterion is presental.Then ,a sufficient condition for the existence of the desired controller for the robust H ∞control problem is provided.At last ,a scheme of robust H ∞controller to the uncertainty systems is given. K eyw ords :H ∞control ;neutral delay systems ;linear matrix inequality ;memoryless state feedback stability (责任编辑:陶 理) 9 第2期张 友等:不确定线性中立时滞系统的时滞相关鲁棒H ∞控制 时变时滞非线性系统的间歇控制 ?フ? 要:时变时滞广泛存在于各种非线性系统中，研 究了时变时滞非线性系统的间歇控制及其在保密通信中的 应用问题,提出了一种间歇控制策略，理论上分析了其正确性，并且给出一个定理来确定控制器的相关参数。根据提出的定理，设计出间歇控制器使得两个含有时变时滞的Chua电路 指数达到同步。将该方法应用到混沌保密通信中，在两个系统达到同步的基础上，发送端的信号能够在接收端很好地恢复出来，表明了该方法的可行性。 ?ス丶?词:间歇控制；时变时滞；指数同步；保密通信；Chua电路 ?ブ型挤掷嗪?: TP309.2 文献标志码:A Abstract: Time??varying delay widely exists in nonlinear systems. This paper investigated the intermittent control problem of nonlinear systems with time??varying delay and its applications in chaotic secure communications. The authors proposed an intermittent control scheme, and analyzed its correctness theoretically. Moreover, a theorem was also given to determine the corresponding parameters in the controller. According to the proposed theorem, the synchronization of two chaotic Chua’s circuits can be achieved by designing intermittent controller. The method was applied to chaotic secure communications, and the sender’s signal could be recovered well at the receiving end after the synchronization was achieved. This also shows that the proposed method has some engineering applications. ??Key words: intermittent control; time??varying delay; exponential synchronization; secure communications; Chua’s circuit ?? 0 引言?? 混沌是非线性动力系统固有的一种行为，是服从某种确定规律，但同时又具有一定随机性的一种运动形式。由于混沌时间序列具有非周期性、连续宽频谱、类似噪声、高度类随机性、对初值的敏感依赖性等诸多性质，使得混沌在保密通信和扩频通信中展现出了很好的应用价值。自从1990年Pecora等人????［1］??提出了混沌同步的原理, 并在电路中得以实现以来, 各国学者们掀起了一股将混沌应用包括保密通信、扩频通信在内的信息安全领域的热潮。近年来，各 线性时滞系统稳定性分析综述 摘要：时滞在工程领域广泛存在，对此综述了线性时滞系统的稳定性研究方法。从频域和时域两个角度详细介绍了各种方法的特点，着重讨论基于线性矩阵不等式(LMI)的分析方法，指出保守性是分析的重点。对现有结果的保守性进行比较 和评述，并提出了改进的思路。 关键词：时滞系统；稳定性；保守性，线性矩阵不等式；时滞依赖 Survey on the stability analysis of linear time—delay systems Abstract：As time-delays are extensively encounted in many fields of engineering,the stability analysis method of linear time-delay systems is outlined.The characters of frequency domain method and time domain method are illustrated in detail.The linear matrix inequality(LMI)-based stability analysis approach is mainly discussed.It is pointed out that the conservatism is important for the stability https://www.sodocs.net/doc/b013985251.html,parison and discussion are given on some existing results.FinalIy,some improvement directions are discussed. Key words：Time-delay systems；Stability；Conservatism；Linear matrix inequality；Delay-dependent l引言 从系统理论的观点看，任何实际系统的过去状态不可避免地要对当前的状态产生影响，即系统的演化趋势不仅依赖于系统当前的状态，也依赖于过去某一时刻或若干时刻的状态，这类系统称为时滞系统。时滞产生的原因有很多，如：系统变量的测量(复杂的在线分析仪)、长管道进料或皮带传输、缓慢的化学反应过程等都会产生时滞。时滞常见于电路、光学、神经网络、生物环境及医学、建筑结构、机械等领域，由于应用背景广泛，受到很多学者的关注。从理论分析的角度来看，在连续域中，时滞系统是一个无穷维的系统，特征方程是超越方程，有无穷多个特征根，而在离散域中，时滞系统的维数随时滞的增加按几何规律增长，这给系统的稳定性分析和控制器设计带来了很大的困难。因此，对于时滞系统的控制问题，无论在理论还是在工程实践方面都具有极大的挑战性。 常见的时滞系统包括奇异时滞微分系统、脉冲时滞微分系统、Lurie时滞系统、中立型时滞系统和随机时滞系统等。其基本理论建立于20世纪五、六十年代，迄今为止，研究的成果相当丰富，本文作者限于水平及阅读范围，提到的只是极其有限的一部分结果。 2 时滞系统稳定性分析基本方法 从工程实践的角度来看，时滞的存在往往导致系统的性能指标下降，甚至使系统失去稳定性。例如系统 ()0.5() x t x t =- (1) Vol.32,No.2ACTA AUTOMATICA SINICA March,2006 Robust Stabilization of Nonlinear Time Delay Discrete-time Systems Based on T-S Model1) MI Yang1JING Yuan-Wei2 1(Shanghai University of Electric Power,Shanghai200090) 2(School of Information Science and Engineering,Northeastern University,Shenyang110004) (E-mail:miyangmi@https://www.sodocs.net/doc/b013985251.html,) Abstract A robust stabilization problem is considered for time delay nonlinear discrete-time sys- tems based on T-S fuzzy model.A necessary and su?cient condition for the existence of such controllers is given through Lyapunov stability theorem.And it is further shown that this condition is equivalent to the solvability of a certain linear matrix inequality,which can be solved easily by using the LMI toolbox of Matlab.At last,an illustrative example of truck-trailer is presented to show the feasibility and e?ectiveness of the proposed method. Key words Discrete-time systems,fuzzy control,linear matrix inequality,T-S fuzzy model 1Introduction Recently,fuzzy control has been one of the useful control techniques for uncertain and nonlinear complicated systems.The conventional fuzzy control is composed of some if-then linguistic rules.The property of it makes the control algorithm easily understood.Its main drawback,however,comes from the lack of a systematic control design methodology.Particularly,the stability analysis and robustness are not easy.To solve these problems,the idea that a linear system is adopted as the consequent part of a fuzzy rule has evolved into the T-S model[1],which becomes quite popular today. Time delays are common in engineering?eld and are a source of instability and poor performance even in a nonlinear mode,so there are many results to deal with time delay problem[2,3].With de-velopment of computer,the discrete system has attracted great attention[4～7],and the fuzzy control has been extended to nonlinear time delay discrete system,but research results are too limited for reference.The robust stabilization of linear system in[4]is discussed by using LMI techniques.The stability of nonlinear system is considered by using fuzzy control[2,8,9],in which the consequent part of T-S model is linear normal system without uncertainties.In[2]the analysis and synthesis problem is investigated including continuous and discrete time delay systems,but there is only time delay part in the T-S model.The fuzzy robust tracking control is discussed in[10]for uncertain nonlinear system, the parametric uncertainty is employed to the consequent part of the T-S model,and so the T-S model can represent the original system exactly.However,it does not apply the method to the discrete time delay system.In[11],the stabilization problem is discussed for a class of nonlinear discrete systems with parameter uncertainty,without considering the time delay term. So far the class of nonlinear time delay discrete systems have not yet been discussed by using the T-S fuzzy control method,but time delay and uncertainty occur in practical engineering?eld.Based on these intentions,in this paper,the robust stabilization problem will be considered for nonlinear time delay discrete systems.And it will be shown that this stabilization problem is equivalent to the solvability of a certain linear matrix inequality.Finally,an illustrative example of truck-trailer will show the feasibility of the proposed method. 2Problem formulation The consequent part of T-S model has exact mathematics description,so the fuzzy T-S model as in[12]is used in this paper.The i th rule of the fuzzy model for the nonlinear discrete system is of the following form: Plant Rule i:If z1(k)is F i1,···,and z n(k)is F i n then x(k+1)=(A i+?A i)x(k)+A1i x(k?τ)+(B i+?B i)u(k) y(k)=C i x(k),i=1,···,q(1) 切换系统来源于实际控制系统,所以对其研究不但是现代控制理论发展的需要,更是试图解决大量实际问题的迫切需求.不同于一般系统,切换系统在运行过程中,切换规则起着重要作用,不同的切换规则将导致完全不同的动态特征:若干个稳定的子系统在某一切换规则下可导致整个系统不稳定.而若干个不稳定的子系统在适当的切换下可使整个系统稳定,即其子系统的稳定性不等价于整个系统的稳定性. 1999年Daniel Liberzon和A. Stephen Morse发表了一篇切换系统稳定性分析的综述文章,并归结为如下三个基本问题: 问题1:切换系统在任意切换下渐近稳定的条件; 问题2:切换系统在受限切换下是否渐近稳定; 问题3:如何设计切换信号,使得切换系统在该切换信号下渐近稳定. 以上三个问题是在研究切换系统稳定时密不可分的。 我们在研究切换系统稳定性的时候，大多围绕这三个问题展开.在对控制系统进行分析的过程中，已经有了很多的研究方法，在研究切换系统的稳定性时，我们经常用到的方法有：单Lyapunov 函数方法，共同Lyapunov 函数方法，多Lyapunov 函数方法，共同控制Lyapunov 函数方法，backstepping 方法，LMI等。 切换系统基本知识 定义1一个切换系统被描述成以下微分方程的形式 （）（1）其中这里：是一族的充分正则函数，：是关于时间的分段.常值函数，称为切换新号。有可能取决于时间t或状态 ，或 （） 两者都有。P是某个指标集。以下非特别指明假设P都是有限集。如果这里所有的子系统都是线性的，我们就得到一个线性切换系统， （2） 1任意切换下稳定 很明显，为了研究切换系统在任意切换下的稳定性，我们必须假设所有系统都是稳定的，这点对于切换系统的稳定只是必要条件。我们要研究的是为了使切换系统在任意切换下稳定还需要什么条件。 存在共同Lyapunov函数是系统在任意切换下渐近稳定的充要条件，因而寻求共同Lyapunov函数存在的条件是解决稳定性问题的一个途径。共同Lyapunov 函数法与传统的Lapunov直接法基本是一致的。其主要思想是:对于切换系统，如果各子系统存在共同Lyapunov函数，那么系统对于任意的切换序列都是稳定的。 定理1 Lapunov稳定性定理为研究切换系统的稳定性提供了一个基本工具，具体如下: 对于切换系统（1），如果存在正定连续可微的函数V：，正定连续的函数W：，满足 ， 项目名称：复杂时滞系统控制基础理论与方法推荐单位：工业和信息化部 项目简介： 代表性论文专著目 录（不超过8篇）: 主要完成人： 1. 姓名：夏元清 技术职称：正高级 工作单位：北京理工大学 对本项目主要学术贡献： 提出了利用多面体描述不确定性时滞系统模型以及扩维切换方法，证明了该类系统稳定和镇定的充分必要条件（属于发现点1）；提出 了网络化预测补偿控制思想，给出了网络化控制系统的稳定性分析和控制器设计方法（属于发现点2）；建立了复杂时滞系统马氏跳变模型及变结构控制方法； 提出了复杂时滞系统分步控制方法，满足了多性能指标要求（属于发现点3）。占本人工作量的70%。(代表性论著[1,2,5,7,8]) 曾获国家科技奖励情况：项目“多源信息环境下自主地面移动平台导航、控制及应用”获2011年度国家科技进步二等奖，排名第2；项目“多源信息复杂系统控 制基础理论与方法”获 2010年度北京市科学技术奖二等奖，排名第 1；项目“网络化控制系统分析与综合”获2012年度教育部自然科学二等奖，排名第 1。 2. 姓名：付梦印 技术职称：正高级 工作单位：北京理工大学 对本项目主要学术贡献： 系统地给出了具有时滞、异步、丢包等非完整性信息融合方法，提高了非完整信息条件下状态估计精度；给出了基于预测的网络化控 制器设计方法，保证了预测优化的收敛性和闭环系统的稳定性（属于发现点2）; 提出了分步控制方法，应用在陆用武器系统网络控制中，较好地解决了这类复 杂时滞系统的控制问题（属于发现点3）。占本人工作量的60%。(代表性论著[1,6]) 曾获国家科技奖励情况：项目“多源信息环境下自主地面移动平台导航、控制及应用”获2011年度国家科技进步二等奖，排名第1；项目“多源信息复杂系统控 制基础理论与方法”获 2010年度北京市科学技术奖二等奖，排名第 2；项目“网络化控制系统分析与综合”获2012年度教育部自然科学二等奖，排名第 2。 3. 姓名：任雪梅 技术职称：正高级 工作单位：北京理工大学 对本项目主要学术贡献： 提出了带有时滞和输入输出信号滤波的复杂时滞系统辨识模型，采用具有时滞估计能力的非线性最小二乘算法实现了时滞和系统参数 的在线估计；对于具有非高斯噪声下的非结构网络化控制系统，提出了动态自学习自优化的神经网络辨识方法；将时滞引入到神经网络中，提出了复杂时滞系统 的时滞估计及非线性时滞神经网络建模辨识方法（属于发现点1）。占本人工作量的50%。(代表性论文[3,4]) 曾获国家科技奖励情况： 项目“网络化控制系统分析与综合”获2012年度教育部自然科学二等奖，排名第3。 4. 姓名：邓志红 技术职称：正高级 工作单位：北京理工大学 对本项目主要学术贡献： 提出了利用有限步长信息进行预测与补偿的数据融合方法，克服了时滞、数据丢失等因素影响，提高了估计精度；提出了基于修正卡 尔曼滤波和状态扩维方法，解决了不同网络传输通道数据包到达概率不一致时的数据融合问题，提高了网络化数据融合方法的适应性，应用在陆用武器网络控制 系统中（属于发现点2）。占本人工作量的45%。(代表性论著[6]) 曾获国家科技奖励情况：项目“多源信息环境下自主地面移动平台导航、控制及应用”获2011年度国家科技进步二等奖，排名第4；项目“多源信息复杂系统控 制基础理论与方法”获 2010年度北京市科学技术奖二等奖，排名第 4； 项目“网络化控制系统分析与综合”获2012年度教育部自然科学二等奖，排名第4。 国家科学技术奖励工作办公室 非线性级联系统论文：不确定非线性级联系统的输出反馈控制 【中文摘要】不确定非线性系统的控制问题是目前控制界研究的一个重要课题。总的来说,我们在有关不确定非线性系统的状态反馈控制方面已经取得了一定的研究成果,但是相比较而言,在不确定非线性系统的输出反馈控制方面所取得的成果却甚微,许多问题还有待于进一步研究。特别是带有未知控制方向的不确定非线性级联系统的输出反馈自适应控制和带有未知控制方向的不确定非线性时滞系统的输出反馈自适应控制,我们更需要深一步的加以讨论与研究。本篇论文主要研究的就是这两种非线性系统的输出反馈控制问题。论文按照以下结构组织：第一章：介绍所研究课题的背景知识,国内外相关研究状况和本课题研究的理论意义和实际应用,并说明本文的主要工作。第二章：介绍了本篇论文所涉及到的相关基础理论知识。主要包括一些基本的概念,相关的理论以及引理。具体来讲主要介绍了控制Lyapunov函数的定义,Back-stepping设计方法在非线性系统中的应用,Nussbaum函数的定义,Barbalat引理的内容以及相关引理。其中,重点介绍了Back-stepping设计方法在非线性系统中的应用。第三章：研究了一类带有未知控制方向的不确定非线性级联系统的输出反馈... 【英文摘要】Uncertain nonlinear system control is an important topic in control theory. In all, we have got a lot of results in the area of state-feedback adaptive control for a class of uncertain nonlinear systems. But comparatively speaking, we have got fewer in the area of output-feedback adaptive control for a class of uncertain nonlinear systems, moreover, there are still many problems to be solved. Specially, the problem of output-feedback adaptive control for a class of uncertain nonlinear cascade systems with u... 【关键词】非线性级联系统时滞非线性级联系统未知控制方向输出反馈 Back-stepping设计方法 Nussbaum函数 【英文关键词】nonlinear cascade system time-delay nonlinear cascade systems unknown control directions output-feedback Back-stepping design Nussbaum function 【索购全文】联系Q1：138113721 Q2：139938848 【目录】不确定非线性级联系统的输出反馈控制摘要 3-4Abstract4目录6-8第一章绪论 8-12 1.1 课题的研究背景8-9 1.2 自适应控制产生背景和发展概述9 1.3 非线性系统控制概述9-12 1.3.1 非线性系统9-10 1.3.2 非线性级联系统10-11 1.3.3 不确定非线性系统11 1.3.4 不确定时滞非线性系统 11-12第二章基础理论介绍12-18 2.1 控制LYAPUNOV 函数12-13 2.2 BACK-STEPPING设计方法13-16 2.2.1时变时滞非线性系统的间歇控制
线性时滞系统稳定性综述
基于T-S模型的非线性时滞离散系统的鲁棒镇定
切换系统知识总结
17 复杂时滞系统控制基础理论与方法
非线性级联系统 时滞非线性级联系统 未知控制方向 输出反馈 Back-stepping设计方法 Nussbaum函数