几何复习题doc

步步高暑假几何复习题

中考数学压轴题分类汇编：图形变换

中考数学分类汇：几何综合——图形变换 某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题： ①如图1，在正三角形△ABC 中，M 、N 分别是AC 、AB 上的点，BM 与CN 相交于点O ，若∠BON ＝60o，则BM ＝CN ； ②如图2，在正方形ABCD 中，M 、N 分别是CD 、AD 上的点，BM 与CN 相交于点O ，若∠BON ＝90o，则BM ＝CN ； 然后运用类比的思想提出了如下命题： ③如图3，在正五边形ABCDE 中，M 、N 分别是CD 、DE 上的点，BM 与CN 相交于点O ，若∠BON ＝108o，则BM ＝CN 。 任务要求： （1）请你从①、②、③三个命题中选择一个进行证明；（说明：选①做对得4分，选②做对得3分，选③做对得5分） (2)请你继续完成下列探索： ①请在图3中画出一条与CN 相等的线段DH ，使点H 在正五边形的边上，且与CN 相交所成的一个角是108o，这样的线段有几条？（不必写出画法，不要求证明） ②如图4，在正五边形ABCDE 中，M 、N 分别是DE 、EA 上的点，BM 与CN 相交于点O ，若∠BON ＝108o，请问结论BM ＝CN 是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由。 [解] （1）以下答案供参考： （1） 如选命题① 证明：在图1中，∵∠BON=60°∴∠1+∠2=60° ∵∠3+∠2=60°，∴∠1=∠3 又∵BC=CA ，∠BCM=∠CAN=60°∴ΔBCM ≌ΔCAN ∴BM=CN （2）如选命题② 证明：在图2中，∵∵∠BON=90°∴∠1+∠2=90° ∵∠3+∠2=90°，∴∠1=∠3 又∵BC=CD ，∠BCM=∠CDN=90°∴ΔBCM ≌ΔCDN ∴BM=CN （3）如选命题③ 证明；在图3中，∵∠BON=108°∴∠1+∠2=108° ∵∠2+∠3=108°∴∠1=∠3 又∵BC=CD ，∠BCM=∠CDN=108° ∴ΔBCM ≌ΔCDN O C M N A 图1 A C M N O D 图2 图4 N M O E D C B A

微分几何试题库

微分几何 一、判断题 1 、两个向量函数之和的极限等于极限的和（√） 2、二阶微分方程22 u v du u v dudv u v dv ++=总表示曲面上两族曲A(,)2B(,)B(,)0 线. （?） 3、若() s t均在[a,b]连续，则他们的和也在该区间连续（√）r t和() 4、向量函数() s t具有固定长的充要条件是对于t的每一个值， s t平行（×） s t的微商与() () 5、等距变换一定是保角变换.（√） 6、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的.（?） 7、常向量的微商不等于零（×） 8、螺旋线x=cost,y=sint,z=t在点（1，0，0）的切线为X=Y=Z（×） 9、对于曲线s=() s t上一点（t=t0）,若其微商是零，则这一点为曲线的正常点（×） 10、曲线上的正常点的切向量是存在的（√） 11、曲线的法面垂直于过切点的切线（√） 12、单位切向量的模是1（√） 13、每一个保角变换一定是等距变换（×） 14、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定.（√） F=，这里F是第一基本量.（√）15、坐标曲线网是正交网的充要条件是0

二、填空题 16、曲面上的一个坐标网，其中一族是测地线 17、螺旋线x=2cost,y=2sint,z=2t,在点（1，0，0）的法平面是___ y+z=0, . 18.设给出1 c 类曲线:)(t r r =,.b t a ≤≤则其弧长可表示为?'b a dt t r )( 19、已知33{cos ,sin ,cos 2}r x x x =，02x π << ，则α=1 {3cos ,3sin ,4}5 x x --， β= {sin ,cos ,0}x x ，γ=1{4cos ,4sin ,3}5x x --，κ= 625sin 2x ，τ=8 25sin 2x 。 20、曲面的在曲线，如果它上面每一点的切点方向都是渐近方向，则称为渐进曲线。 21、旋转面r ={()cos ,()sin ,()t t t ?θ?θψ},他的坐标网是否为正交的?____是_____(填“是”或“不是”). 22、过点平行于法方向的直线叫做曲面在该点的_____法线_____线. 23.任何两个向量q p ,的数量积=?q p )cos(～ pq q p 24、保持曲面上任意曲线的长度不便的变称为____等距(保长)变换__. 25、圆柱螺线的曲率和挠率都是_____常数____数(填“常数”或“非常数”). 26.若曲线(c)用自然参数表示)(t r r =,则曲线(c)在)(0s P 点的密切平面的方程是 0))(),(),((000=-s r s r s r R 27.曲线的基本三棱形由三个基本向量和密切平面、法平面、从切平面 28.杜邦指标线的方程为1222±=++Ny Mxy Lx 29、已知曲面{cos ,sin ,6}r u v u v v =，0u >，02 v π ≤<，则它的第一基本形式 为 222(36)du u dv ++ ，第二基本形式为 dv ，高斯曲率

高等几何试卷及答案

《高等几何》考试试题A 卷(120分钟) 一、填空题(2分?12=24分) 1 平行四边形 ;2、直线0521=+x x 上无穷远点坐标为: (5,-1,0) 3、已知3),(4321=l l l l ,则=),(1234l l l l 3 =),(4231l l l l -2 4、过点A(1,i - ,2)的实直线的齐次方程为: 0231=-x x 5、方程0652 2 2121=+-u u u u 表示的图形坐标 (1,2,0) (1,3,0) 6、已知OX 轴上的射影变换式为312'+-= x x x ,则原点的对应点 -3 1 7、求点)0,1,1(-关于二阶曲线0547533231212 322 21=+++++x x x x x x x x x 的极线方程063321=++x x x 8、ABCD 为平行四边形,过A 引AE 与对角线BD 平行,则),(DE BC A = -1 9、一点列到自身的两射影变换a):21→,32→,43→; b):10→,32→,01→ 其中为对合的就是: b 10、求射影变换012'=+-λλλ的自对应元素的参数 1 11、两个线束点列成透视的充要条件就是 底的交点自对应 12、直线02321=+-x x x 上的三点)1,3,1(A ,)1,5,2(B ,)0,2,1(C 的单比)(ABC = 1 二、求二阶曲线的方程,它就是由下列两个射影线束所决定的: 130x x λ-=与23'0x x λ-= 且 '2'10λλλλ-++=。 解:射影对应式为'2'10λλλλ-++=。 由两线束的方程有:1233 ,'x x x x λλ= =。 将它们代入射影对应式并化简得, 2 122313320x x x x x x x +-+= 此即为所求二阶曲线的方程。

几何的变换压轴题(含答案)

图形的变换压轴题 1．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC 重合放置，其中∠C =90°，∠B =∠E=30°． （1）操作发现 如图2，固定△ABC ，使△DEC 绕点C 旋转．当点D 恰好落在AB 边上时，填空： ①线段DE 与AC 的位置关系是 ； ②设△BDC 的面积为1S ，△AEC 的面积为2S ，则1S 与2S 的数量关系是 ． （2）猜想论证 当△DEC 绕点C 旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中1S 与2S 的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC 和△AEC 中BC 、CE 边上的高DM 和AN ，请你证明小明的猜想． （3）拓展探究 已知∠ABC =60°，点D 是其角平分线上一点，BD =CD =4，DE ∥AB 交BC 于点E （如图4）．若在射线BA 上存在点F ，使DCF BDE S S =，请求出相应的 BF 的长． 【答案】（1）DE AC ①； 12S S =②．（2）证明见解析；（3）BF ． 【解析】（1）DE AC ①； 12S S =②． （2）证明： 90DCE ACB ∠=∠=?， 180DCM ACE ∴∠+∠=?． 又180ACN ACE ∠+∠=?， ACN DCM ∴∠=∠． 又 90CNA CMD ∠=∠=?， AC CD =， ANC DMC ∴≌． AN DM ∴=． 又 CE CB =， 12S S ∴=． （3）如图，延长CD 交AB 于点P ，

则有 ∠ABD =30°，PD =2，由BD =CD =4可得∠BCD =30°， ∴∠BPD =90°，BP = 同理可求DE =BE ，故BDE S = ， 当DCF BDE S S =时， 1423DCF S PF = ??=，∴3 PF =， ∴BF =，即BF ． 2．已知，正方形ABCD 的边长为4，点E 是对角线BD 延长线上一点，AE=BD ．将△ABE 绕点 A 顺时针旋转α度（0°＜α＜360°）得到△A B ′E ′，点B 、E 的对应点分别为B ′、E ′． （1）如图1，当α=30°时，求证：B ′C=DE ； （2）连接B ′E 、DE ′，当B ′E=DE ′时，请用图2求α的值； （3）如图3，点P 为AB 的中点，点Q 为线段B ′E ′上任意一点，试探究，在此旋转过程中，线段PQ 长度的取值范围为 ． 【答案】（1）证明见解析（2）45°（3） ≤PQ≤4 +2

微分几何期终试题

《微分几何》 期终考试题（A） 班级：____ 学号：______ 姓名：_______ 成绩：_____ 一、 填空题（每空1分, 共20分） 1. 半径为R 的球面的高斯曲率为 ；平面的平均曲率为 . 2. 若的曲率为，挠率为)(t r )(t k )(t τ，则关于原点的对称曲线的曲率为 )(t r ；挠率为 . 3. 法曲率的最大值和最小值正好是曲面的 曲率, 使法曲率达到最大值和最小值的方向是曲面的 方向. 4. 距离单位球面球心距离为)10(<

二、 单项选择题（每题2分，共20分） 1. 等距等价的两曲面上，对应曲线在对应点具有相同的 【 】 A. 曲率 B. 挠率 C. 法曲率 D. 测地曲率 2. 下面各对曲面中，能建立局部等距对应的是 【 】 A. 球面与柱面 B. 柱面与平面 C. 平面与伪球面 D. 伪球面与可展曲面 3. 过空间曲线C 上点P （非逗留点）的切线和P 点的邻近点Q 的平面π，当Q 沿曲线趋于点C P 时，平面π的极限位置称为曲线C 在P 点的 【 】 A. 法平面 B. 密切平面 C. 从切平面 D. 不存在 4. 曲率和挠率均为非零常数的曲线是 【 】 A. 直线 B. 圆 C. 圆柱螺线 D. 平面曲线 5. 下列关于测地线，不正确的说法是 【 】 A. 测地线一定是连接其上两点的最短曲线 B. 测地线具有等距不变性 C. 通过曲面上一点，且具有相同切线的一切曲线中，测地线的曲率最小 D. 平面上测地线必是直线 6. 设曲面的第一、第二基本型分别是,则曲面的两个主曲率分别是 【 】 2222,Ndv Ldu II Gdv Edu I +=+= A．G N k E L k ==21, B. N G k L E k ==21, C. v E G k k ???==ln 21 21 D. u G E k k ??==ln 2121 7. 曲面上曲线的曲率，测地曲率，法曲率之间的关系是 【 】 k g k n k

上海市北初级中学数学几何模型压轴题单元测试卷附答案

上海市北初级中学数学几何模型压轴题单元测试卷附答案 一、初三数学旋转易错题压轴题（难） 1．在Rt△ACB和Rt△AEF中，∠ACB＝∠AEF＝90°，若点P是BF的中点，连接PC，PE． (1) 如图1，若点E，F分别落在边AB，AC上，求证：PC＝PE； (2) 如图2，把图1中的△AEF绕着点A顺时针旋转，当点E落在边CA的延长线上时，探索PC与PE的数量关系，并说明理由． (3) 如图3，把图2中的△AEF绕着点A顺时针旋转，点F落在边AB上．其他条件不变，问题(2)中的结论是否发生变化？如果不变，请加以证明；如果变化，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）PC＝PE，理由见解析；（3）成立，理由见解析 【解析】 【分析】 （1）利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可； （2）先判断△CBP≌△HPF，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半； （3）先判断△DAF≌△EAF，再判断△DAP≌△EAP，然后用比例式即可； 【详解】 解：（1）证明：如图： ∵∠ACB＝∠AEF＝90°， ∴△FCB和△BEF都为直角三角形． ∵点P是BF的中点， ∴CP＝1 2BF，EP＝ 1 2 BF， ∴PC＝PE． （2）PC＝PE理由如下： 如图2，延长CP，EF交于点H，

∵∠ACB＝∠AEF＝90°， ∴EH//CB， ∴∠CBP＝∠PFH，∠H＝∠BCP， ∵点P是BF的中点， ∴PF＝PB， ∴△CBP≌△HFP(AAS)， ∴PC＝PH， ∵∠AEF＝90°， ∴在Rt△CEH中，EP＝1 2 CH， ∴PC＝PE． （3）(2)中的结论，仍然成立，即PC＝PE，理由如下： 如图3，过点F作FD⊥AC于点D，过点P作PM⊥AC于点M，连接PD， ∵∠DAF＝∠EAF，∠FDA＝∠FEA＝90°， 在△DAF和△EAF中， DAF, , , EAF FDA FEA AF AF ∠=∠ ? ? ∠=∠ ? ?= ? ∴△DAF≌△EAF(AAS)， ∴AD＝AE， 在△DAP≌△EAP中， , , , AD AE DAP EAP AP AP = ? ? ∠=∠ ? ?= ? ∴△DAP≌△EAP (SAS)， ∴PD＝PF， ∵FD⊥AC，BC⊥AC，PM⊥AC， ∴FD//BC//PM， ∴DM FP MC PB =，

微分几何期末复习题

微分几何复 习题 一、填空题 1. 向量具有固 ()(,3,)r t t t a =定方向，则a = 。 2. 非零向量满 ()r t 足的充要条 (),,0r r r '''=件是 。 3. 若向量函数 ()r t 满足()()0r t r t '?=，则具有固定 ()r t 。 4. 曲线的正常 ()r r t =点是指满足 的点. 5. 曲线在任意 3()(2,,)t r t t t e =点的切向量 为 。 6. 曲线在点的 ()(cosh ,sinh ,)r t a t a t at =0t =切向量为 。 7. 曲线在点的 ()(cos ,sin ,)r t a t a t bt =0t =切向量为 。 8. 设曲线在P 点的切向量 为α，主法向量为 β，则过P 由确 ,αβ定的平面 是曲线在P 点的 。 9. 若是曲线的 0()r t ()r r t =正则点，则曲线在的 ()r r t =0()r t 密切平面方 程是 。 10. 曲线在点的 ()r r t =0()r t 单位切向量 是α，则曲线在点 0()r t 的法平面方 程是 。 11. 一曲线的副 法向量是常 向量，则这曲线的 挠率τ= 。 12. 曲线()r r t =在t = 1点处有2γβ=，则曲线在 t = 1对应的点 处其挠率 (1)τ= 。 13. 曲线x =cos t ，y =sin t , z =t 在t =0处的切线 方程是 。 14. 曲线的主法 向量的正向 总是指向 。 15. 空间曲线为 一般螺线的 充要条件是 它的副法向 量 。 16. 曲线()r t ={t 3-t 2-t , t 2-2t +2, 2}上的点不是 正常点的是 t = 。 17. 曲线的曲率 ()r r t =是 。 18. 曲线的挠率 ()r r t =是 。 19. 一般螺线的 曲率和挠率 的关系是 。 20. 曲率为0的 曲线是 , 挠率为0的 曲线是 。 21. 设有曲线2:,,t t C x e y e z t -===，当时的切线 1t =方程为 。

微分几何试题库

二.单项选择题 1.0()P t 就是曲线r r =()r t r 上一点,1P 就是曲线上P 点附近的一点,S ?为弧?1PP 的长,??为曲线在P 点与1P 点的切向量的夹角,k(s) 就是曲线在P 点的曲率。则下面 不等于0 lim | |s s ? ?→??。 ① 0()k t ② |0()r t r &&| ③ 0|()|t αr & ④ 0()t τ 2.曲线r r =()r s r 在P 点的基本向量为αr ,βr ,γr 。 在P 点的曲率 k(s),挠率为()s τ,则βr & = 。 ① k(s)αr ② -k(s)αr +()s τγr ③ -()s ταr ④ k(s)αr -()s τγr 3.曲线r r =()r s r 在P(s)点的基本向量为αr ,βr ,γr 。 在P 点的曲率k(s),挠率为()s τ,则γr &= 、 ① k(s)βr ② ()s τβr ③-k(s)αr +()s τγr ④ -()s τβr 4、 曲线r r =()r s r 在P(s)点的基本向量为αr ,βr ,γr 。 在P 点的曲率k(s),挠率为()s τ,则下式 不正确。 ①αr &=- k(s) βr ②βr &= -k(s)αr +()s τγr ③αr &= k(s)βr ④γr &=-()s τβr 5.曲线r r =()r s r 在P(s)点的基本向量为αr ,βr ,γr 。 在P 点的曲率k(s),挠率为()s τ,则k(s)= 。 ① αr &βr & ② βr &αr ③ α r &βr ④ γr &βr 6.曲线r r =()r s r 在P(s)点的基本向量为αr ,βr ,γr 。则下式 不正确。 ① αr &=2βr ② βr &= 3αr -2γr ③βr &= -3αr +2γr ④γr & =2βr

12-13(二)微分几何期末复习题

一， 填空 1. 若曲线C 能与另一条曲线1C 的点之间建立一一对应关系, 而且在对应点, C 的主法线与1C 的副法线重合, 则曲线C 称为 孟恩哈姆曲线 . 2. 曲线C 在正则点邻近的近似曲线*C 为x ¤(s ) = s; y ¤(s ) = k (0)2 s 2; z ¤(s ) = k (0)?(0)6 s 3; 3. 曲线在一点邻近和它的近似曲线有相同的 曲率和挠率 . 4.“采柴罗"不动条件是 dx ¤ds = ky ¤ ? 1, dy ¤ds = ?kx ¤ + ?z¤ dz ¤= ??y¤ . 5.空间曲线C : r = r (s ) 是球面曲线的充要条件是: 曲率k (s ) 和挠率? (s ) 满 足 . 6. 设C : r = r (s ) 是一条曲率处处不为零的一般柱面螺线, 则C 的曲率与挠率有 固定比值 . 7.半径为R 的圆的曲率为_____ R 1 ______. 8. 圆柱螺线x = 3a cos t; y = 3a sin t; z = 4at 从它与xy 平面的交点到意点M (t ) 的弧长是 5at . 9. 曲率和挠率均为非零常数的曲线是 圆柱螺线 。 10，曲面的坐标曲线网正交的充要条件是__F=0___________, 坐标曲线网成为曲率线网的充要条件是___F=M=0________________. 11，距离单位球面球心距离为()01d d <<的平面与球面的交线的法曲率为 1± ， 12. 距离单位球面球心距离为()01d d <<的平面与球面的交线的测地曲率为 . 13.全脐点曲面（即曲面上的点全部是脐点）只有两个，它们是 平面，球面 . 14，沿渐近曲线的切方向，法曲率=____0___________；沿曲率线的切方向，法曲率=_________N/G_____________；沿测地线的切方向，法曲率=_______K ±______________. 15．曲面上非脐点处的两个主方向之间的夹角θ为 2π ． 16．曲面上曲线的曲率K ，测地曲率K g ，法曲率K n 之间的关系是 K 2=K 2g +K 2n 。

几何图形变换中考数学压轴题整顿

几何图形变换压轴题中考整理 1（黑龙江省哈尔滨市）已知：△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F．（1）如图l，若△ABC为锐角三角形，且∠ABC＝45°，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G，求证：FG＋DC＝AD； （2）如图2，若∠ABC＝135°，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G，则FG、DC、AD之间满足的数量关系是____________________________________； （3）在（2）的条件下，若AG＝2 5，DC＝3，将一个45°角的顶点与点B重合并绕点B旋转，这个角的两边分别交线段FG于M、N两点（如图3），连接CF，线段CF分别 3，求线段PQ的长． 与线段BM、线段BN相交于P、Q两点，若NG＝ 2 （湖北省随州市）如图①，已知△ABC是等腰三直角角形，∠BAC＝90°，点D是BC 的中点．作正方形DEFG，使点A，C分别在DG和DE上，连接AE，BG．（1）试猜想线段BG和AE的数量关系，请直接写出你得到的结论． （2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0°，小于或等于360°），如图②，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由． （3）若BC＝DE＝2，在（2）的旋转过程中，当AE为最大值时，求AF的值．

3、如图13－1，一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD 保持不动，将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O （点O 也是BD 中点）按顺时针方向旋转． （1）如图13－2，当EF 与AB 相交于点M ，GF 与BD 相交于点N 时，通过观察或测 量BM ，FN 的长度，猜想BM ，FN 满足的数量关系，并证明你的猜想； （2）若三角尺GEF 旋转到如图13－3所示的位置时，线段FE 的延长线与AB 的延长 线相交于点M ，线段BD 的延长线与GF 的延长线相交于点N ，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 3．在△ABC 中，点P 为BC 的中点． （1）如图1，求证：AP ＜ 2 1 （AB +BC ）； （2）延长AB 到D ，使得BD =AC ，延长AC 到E ，使得CE =AB ，连结DE ． ①如图2，连结BE ，若∠BAC =60°，请你探究线段BE 与线段AP 之间的数量关系．写出你的结论，并加以证明； ②请在图3中证明：BC ≥ 2 1 DE ． 图13－2 E A B D G F O M N C 图13－3 A B D G E F O M N C 图13－ 1 A ( G ) B ( E ) C O D ( F )

(整理)《微分几何》陈维桓第六章习题及答案.

§ 6.1 测地曲率 1. 证明：旋转面上纬线的测地曲率是常数。 证明： 设旋转面方程为{()cos ,()sin ,()} r f v u f v u g v =， 22222 ()()(()())()f v du f v g v dv ''I =++， 222(),()() E f v G f v g v ''==+ 纬线即u —曲线：0 v v =（常数）， 其测地曲率为2 u g k == =为常数。 2、 证明：在球面S (cos cos ,cos sin ,sin )r a u v a u v a u =， ,0222 u v ππ π- <<<< 上，曲线 C 的测地曲率可表示成 ()()sin(())g d s dv s k u s ds ds θ=- ， 其中((),())u s v s 是球面S 上曲线C 的参数方程， s 是曲线C 的弧长参数， ()s θ是曲线C 与球面上经线（即u -曲

线）之间的夹角。 证明 易求出2 E a =, 0 F =,2 2 cos G a u =, 因此 g d k ds θθθ= 221ln(cos )sin 2d a u ds a u θθ?=+? sin sin cos d u ds a u θθ= -， 而1sin cos dv ds a u θθ ==， 故 sin g d dv k u ds ds θ= -。 3、证明：在曲面S 的一般参数系(,)u v 下，曲线:(),()C u u s v v s ==的测地曲率是 ()()()()()())g k Bu s Av s u s v s v s u s ''''''''=-+-， 其中s 是曲线C 的弧长参数，2 g EG F =-， 并且 12 112 11 12 22 (())2()()(())A u s u s v s v s ''''=Γ+Γ+Γ， 2222 2111222(())2()()(())B u s u s v s v s ''''=Γ+Γ+Γ 特别是，参数曲线的测地曲率分别为 2 3 11(())u g k u s '，1322(()) v g k v s '= 。 证明 设曲面S 参数方程为12(,)r r u u =，1122:(),()C u u s u u s ==

中考数学复习专题四几何变换压轴题试题

2019-2020 年中考数学复习专题四几何变换压轴题试题 类型一图形的旋转变换 几何图形的旋转变换是近年来中考中的常考点，多与三角形、四边形相结合．解决旋转变换问题，首先要明确旋转中心、旋转方向和旋转角，关键是找出旋转前后的对应点，利用旋转前后两图形全等等性质解题．如图，在菱形 ABCD 中，AB＝2，∠BAD＝60°，过点 D 作DE⊥AB 于点 E，DF⊥BC 于点 F. 1 (1)如图 1，连接 AC 分别交 DE，DF 于点M，N，求证：MN＝AC； 3 (2)如图2，将∠EDF以点D 为旋转中心旋转，其两边DE′，DF′分别与直线AB，BC 相交于点G，P.连接GP，当△DGP的面积等于3 3时，求旋转角的大小并指明旋转方向． 【分析】(1)连接 BD，由∠BAD＝60°，得到△ABD为等边三角形，进而证明点 E 是AB 的中点，再根据相似三角形的性质解答；(2)分∠EDF 顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，然后根据旋转的性质解题． 1．(xx·潍坊)边长为 6 的等边△ABC 中，点 D，E 分别在 AC，BC 边上，DE∥AB，EC＝2 3. (1)如图1，将△DEC沿射线EC方向平移，得到△D′E′C′，边D′E′与AC的交点为M，边C′D′与∠ACC′的角平分线交于点 N.当 CC′多大时，四边形MCND′为菱形？并说明理由． (2)如图 2，将△DEC绕点C 旋转∠α(0°<α<360°)，得到△D′E′C，连接AD′，BE′.边D′E′的中点为 P. ①在旋转过程中，AD′和BE′有怎样的数量关系？并说明理由； ②连接 AP，当 AP 最大时，求AD′的值．(结果保留根号) 图1 图2 2．(xx·成都)如图 1，△ABC中，∠ABC＝45°，AH⊥BC于点H，点 D 在AH 上，且 DH＝CH，连接 BD. (1)求证：BD＝AC； (2)将△BHD 绕点 H 旋转，得到△EHF(点 B，D 分别与点 E，F 对应)，连接 AE. ①如图 2，当点 F 落在 AC 上时(F 不与 C 重合)，若 BC＝4，tan C＝3，求 AE 的长； ②如图 3，当△EHF 是由△BHD 绕点H 逆时针旋转 30°得到时，设射线 CF 与AE 相交于点 G，连接 GH，试探究线段 GH 与EF 之间满足的等量关系，并说明理由．

7月浙江自考高等几何试题及答案解析

1 浙江省2018年7月自学考试高等几何试题 课程代码：10027 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.在三角形的以下性质中是仿射性质的是( ) A.垂心 B.重心 C.内心 D.外心 2.以下四条直线中所含的无穷远点与其他三条不同的是( ) A.x y x y 121)1(2+=++ B.11)(2=++x x y C.x +2y =0 D.过点(1,3),(3,2)的直线 3.已知A ,B ,C ,D 四点是调和点列，任意调整它们次序后所得交比不会出现的是( ) A.1 B.2 C.-1 D. 2 1 4.椭圆型射影对应的自对应元素是( ) A.两个互异的实元素 B.两个互异的虚元素 C.两个重合的实元素 D.两个重合的虚元素 5.唯一决定一条二阶曲线需无三点共线的( ) A.3点 B.4点 C.5点 D.6点 二、填空题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 6.两点-3u 1+u 2+2u 3=0,2u 1-u 2+3u 3=0连线的坐标是_________. 7.若对合a μμ′+b (μ+μ′)+c =0是椭圆型的,则系数满足_________. 8.完全四线形的每一条对角线上有一组调和点列,即这直线上的两个顶点和_________. 9.椭圆上四定点与其上任意第五点所联四直线的交比为_________.

2 10.平面上任一圆通过的两个固定点称为_________. 三、计算题(本大题共6小题，每小题6分，共36分) 11.求使三点A (0,0),B (1,1),C (1,-1)变到三点A ′(1,1),B ′(3,1),C (1,-1)的仿射变换. 12.已知平面上有点A (2,1),B (4,2),C (6,-3),D (-3,2),E (-5,1),求A (BC ,DE ). 13.求射影变换式,使它的不变元素的参数是λ1=-1,λ2=3,并且使λ3=1变为3 λ'=0. 14.求射影变换??? ??--='-='-='3213 212 211 36 4 x x x x x x x x x x ρρρ的二重直线. 15.求两个成射影对应的线束x 1-λx 2=0，x 2-λ′x 3=0,(λ′= λ λ +1)所构成的二阶曲线的方程. 16.求二次曲线x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3=0的中心. 四、作图题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）（第18题写出作法） 17.作出下列图形的对偶图形: 题17图 18.已知二阶曲线上五点A ,B ,C ,D ,E ,求作该曲线上点A 处的切线. 题18图 五、证明题(本大题共3小题，第19小题和第20小题各10分，第21小题8分，共28分)

微分几何练习题库及参考答案(已修改)

> 《微分几何》复习题与参考答案 一、填空题 1．极限232 lim[(31)i j k]t t t →+-+=138i j k -+． 2．设f ()(sin )i j t t t =+，2g()(1)i j t t t e =++，求0 lim(()())t f t g t →?= 0 ． 3．已知{}42 r()d =1,2,3t t -?， {}6 4 r()d =2,1,2t t -?，{}2,1,1a =，{}1,1,0b =-，则 4 6 2 2 ()()a r t dt+b a r t dt=???? ?{}3,9,5-. 4．已知()r t a '=（a 为常向量），则()r t =ta c +． 5．已知()r t ta '=，（a 为常向量），则()r t = 212 t a c +． 6. 最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___ 切线___和 密切平面____. 【 7. 曲率恒等于零的曲线是_____ 直线____________ . 8. 挠率恒等于零的曲线是_____ 平面曲线________ . 9. 切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为 一般螺线 . 10. 曲线()r r t =在t = 2处有3αβ=，则曲线在t = 2处的曲率k = 3 . 11. 若在点00(,)u v 处v 0u r r ?≠，则00(,)u v 为曲面的_ 正常______点. 12． 已知()(2)(ln )f t t j t k =++，()(sin )(cos )g t t i t j =-，0t >，则4 ()d f g dt dt ?=?4cos 62-． 13．曲线{}3()2,,t r t t t e =在任意点的切向量为{}22,3,t t e ． 14．曲线{}()cosh ,sinh ,r t a t a t at =在0t =点的切向量为{}0,,a a ． \ 15．曲线{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =在0t =点的切向量为{}0,,a b ． 16．设曲线2:,,t t C x e y e z t -===，当1t =时的切线方程为 2111 -=-- =-z e e y e e x ． 17．设曲线t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos ，当0t =时的切线方程为11-==-z y x . 18. 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是____F =M =0_ ______________. 19. u －曲线（v －曲线）的正交轨线的微分方程是 _____ E d u +F d v ＝0（F d u +G d v ＝0）__. 20. 在欧拉公式2212cos sin n k k k θθ=+中，θ是 方向(d) 与u －曲线 的夹角. 21. 曲面的三个基本形式,,I II III 、高斯曲率K 、平均曲率H 之间的关系是20H K III -II +I = . 22．已知{}r(,),,u v u v u v uv =+-，其中2,sin u t v t ==，则 dr d t ={}2cos ,2cos ,2cos t t t t vt u t +-+．

几何变换综合题2018版中考数学压轴题

一、选择题 1．（2017四川省达州市，第9题，3分）如图，将矩形ABCD绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图②位置，以此类推，这样连续旋转2017次．若AB=4，AD=3，则顶点A在整个旋转过程中所经过的路径总长为（） A．2017πB．2034πC．3024πD．3026π 2．（2017临沂，第14题，3分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 k y x =（x＞0）的图象与边长是 6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N两点，△OMN的面积为10．若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是（） A．62B．10C．226D．229 3．（2017新疆乌鲁木齐市，第10题，4分）如图，点A（a，3），B（b，1）都在双曲线 3 y x =上，点C， D，分别是x轴，y轴上的动点，则四边形ABCD周长的最小值为（） A．52B．62C．21022 +D．82 4．（2017湖北省恩施州，第12题，3分）如图，在平面直角坐标系中2条直线为l1：y=﹣3x+3，l2：y=﹣3x+9，

直线l1交x轴于点A，交y轴于点B，直线l2交x轴于点D，过点B作x轴的平行线交l2于点C，点A、E 关于y轴对称，抛物线2 y ax bx c =++过E、B、C三点，下列判断中： ①a﹣b+c=0；②2a+b+c=5；③抛物线关于直线x=1对称；④抛物线过点（b，c）；⑤S四边形ABCD=5，其中正确的个数有（） A．5B．4C．3D．2 5．（2017湖北省咸宁市，第8题，3分）在平面直角坐标系xOy中，将一块含有45°角的直角三角板如图放置，直角顶点C的坐标为（1，0），顶点A的坐标为（0，2），顶点B恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿x轴正方向平移，当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点C的对应点C′的坐标为（） A．（3 2 ，0）B．（2，0）C．（ 5 2 ，0）D．（3，0） 6．（2017辽宁省营口市，第8题，3分）如图，在菱形ABOC中，∠A=60°，它的一个顶点C在反比例函 数 k y x 的图象上，若将菱形向下平移2个单位，点A恰好落在函数图象上，则反比例函数解析式为（）

微分几何练习题库及答案

《微积分几何》复习题 本科 第一部分:练习题库及答案 一、填空题(每题后面附有关键词;难易度;答题时长) 第一章 1.已知(1,1,1),(1,0,1)=-=-a b ,则这两个向量的夹角的余弦θcos = 3 6 2.已知(0,1,1),(1,0,1)=-=-a b ,求这两个向量的向量积?=a b (-1,-1,-1). 3.过点)1,1,1(P 且与向量(1,0,1)=-a 垂直的平面方程为X-Z=0 4.求两平面0:1=++z y x π与12:2=+-z y x π的交线的对称式方程为2 1 131--= -=+z y x 5.计算2 3 2 lim[(31)]t t t →+-+=i j k 138-+i j k . 6.设()(sin )t t t =+f i j ,2()(1)t t t e =++g i j ,求0 lim(()())t t t →?=f g 0 . 7.已知(,)(,,)u v u v u v uv =+-r ,其中2 t u =,t v sin =,则d d t =r (2cos ,2cos ,2cos )t t t t vt u t +-+ 8.已知t =?,2 t =θ,则 d (,) d t ?θ=r (sin cos 2cos sin ,sin sin 2cos cos ,cos )a at a at a ?θ?θ?θ?θ?---+ 9.已知4 2 ()d (1,2,3)t t =-?r ,6 4 ()d (2,1,2)t t =-? r ,求 4 6 2 2 ()d ()d t t t t ?+??=??a r b a r )5,9,3(-,其中(2,1,1)=a ,(1,1,0)=-b 10.已知()t '=r a (a 为常向量),求()t =r t +a c 11.已知()t t '=r a ,(a 为常向量),求()t =r 2 12 t +a c 12.已知()(2)(log )t t t =++f j k ,()(sin )(cos )t t t =-g i j ,0t >,则4 d ()d d t t ?=?f g 4cos 62-. 第二章 13.曲线3 ()(2,,)t t t t e =r 在任意点的切向量为2 (2,3,)t t e 14.曲线()(cosh ,sinh ,)t a t a t at =r 在0t =点的切向量为(0,,)a a 15.曲线()(cos ,sin ,)t a t a t bt =r 在0t =点的切向量为(0,,)a b

微分几何试题库(选择题)

二．单项选择题 1．0()P t 是曲线r r =()r t r 上一点， 1P 是曲线上P 点附近的一点，S ?为弧?1PP 的长，??为曲线在P 点和1P 点的切向量的夹角，k(s) 是曲线在P 点的曲率。则下面 不等于0 lim | |s s ? ?→??。 ① 0()k t ② |0()r t r &&| ③ 0|()|t αr & ④ 0()t τ 2．曲线r r =()r s r 在P 点的基本向量为αr ，βr ，γr 。 在P 点的 曲率k(s)，挠率为()s τ，则βr & = 。 ① k(s)αr ② -k(s)αr +()s τγr ③ -()s ταr ④ k(s)αr -()s τγr 3．曲线r r =()r s r 在P （s ）点的基本向量为αr ，βr ，γr 。 在P 点的曲率k(s)，挠率为()s τ，则γr &= . ① k(s)βr ② ()s τβr ③-k(s)αr +()s τγr ④ -()s τβr 4. 曲线r r =()r s r 在P （s ）点的基本向量为αr ，βr ，γr 。 在P 点的曲率k(s)，挠率为()s τ，则下式 不正确。 ①αr &=- k(s) βr ②βr &= -k(s)αr +()s τγr ③αr &= k(s)βr ④γr &=-()s τβr 5．曲线r r =()r s r 在P （s ）点的基本向量为αr ，βr ，γr 。 在P 点的曲率k(s)，挠率为()s τ，则k(s)= 。 ① αr &βr & ② βr &αr ③ αr &βr ④ γr &βr 6．曲线r r =()r s r 在P （s ）点的基本向量为αr ，βr ，γr 。 则下式 不正确。 ① αr &=2βr ② βr &= 3αr -2γr ③βr &= -3αr +2γr ④γr & =2βr 7．曲线r r =()r s r 在P （s ）点的基本向量为αr ，βr ，γr 。 在P 点的曲率k(s)，挠率为()s τ，则()s τ= 。

2020江苏省中考数学选择填空压轴题专题：《几何变换问题》(含答案)

专题: 几何变换问题 例1．如图，斜边长12cm，∠A＝30°的直角三角尺ABC绕点C顺时针方向旋转90°至△A′B′C的位置，再沿CB向左平移使点B′落在原三角尺ABC的斜边AB上，则三角尺向左平移的距离为______________．（结果保留根号） 同类题型1.1 把图中的一个三角形先横向平移x格，再纵向平移y格，就能与另一个三角形拼合成一个四边形，那么x＋y（） A．是一个确定的值B．有两个不同的值 C．有三个不同的值D．有三个以上不同的值 同类题型1.2 已知：如图△ABC的顶点坐标分别为A（－4，－3），B（0，－3），C（－2，1），如将B点向右平移2个单位后再向上平移4个单位到达B1点，若设△ABC的面积为S1，△AB1C的面积为S2，则S1，S2的大小关系为（） A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．不能确定 例2．如图，P是等边△ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转60°到BP′，已知∠AP′B＝150°，P′A：P′C＝2：3，则PB：P′A是（） A． 2 ：1 B．2：1 C． 5 ：2 D． 3 ：1 同类题型2.1 如图，△ABC为等边三角形，以AB为边向形外作△ABD，使∠ADB＝120°，再以点C为旋转中心把△CBD旋转到△CAE，则下列结论：①D、A、E三点共线；②DC平分∠BDA；③∠E＝∠BAC；④DC＝

DB＋DA，其中正确的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 同类题型2.2 如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B，C 重合），CN⊥DM，CN与AB交于点N，连接OM，ON，MN．下列五个结论：①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM； ③△OMN∽△OAD；④AN 2 ＋CM 2 ＝MN 2 ；⑤若AB＝2，则S△OMN的最小值是 1 2 ，其中正确结论的个数是（） A．2 B．3 C．4 D．5 同类题型2.3 在平面直角坐标系中，已知点A（3，0），B（0，4），将△BOA绕点A按顺时针方向旋转得△CDA，使点B在直线CD上，连接OD交AB于点M，直线CD的解析式为__________． 同类题型2.4 如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF，点A落在矩形ABCD的边CD上，连结CE，CF，若∠CEF＝α，∠CFE＝β，则tanα﹒tanβ＝___________． 同类题型2.5 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC 的中点，P是A′B′的中点，连接PM，若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是_____．