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小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)

小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)
小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)

模型三 蝴蝶模型(任意四边形模型)

任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”):

S 4

S 3

S 2

S 1O D

C

B

A

①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=?

②()()1243::AO OC S S S S =++

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型,一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系;另一方面,也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图,某公园的外轮廓是四边形ABCD ,被对角线AC 、BD 分成四个部分,△

AOB 面积为1平方千米,△BOC 面积为2平方千米,△COD 的面积为3平方千米,公园由陆地面积是6.92平方千米和人工湖组成,求人工湖的面积是多少平方千米?

A

【分析】 根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =?÷=△平方千米,公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5+++=平

方千米,所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米

【巩固】如图,四边形被两条对角线分成4个三角形,其中三个三角形的面积已知,

求:⑴三角形BGC 的面积;⑵:AG GC =?

B

【解析】 ⑴根据蝴蝶定理,123BGC

S ?=?,那么6BGC

S

=;

⑵根据蝴蝶定理,()():12:361:3AG GC =++=. (???)

任意四边形、梯形与相似模型

【例 2】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的

面积的1

3

,且2AO =,3DO =,那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。

A

B C D

O

H G

A B

C D O

【解析】 在本题中,四边形ABCD 为任意四边形,对于这种”不良四边形”,无外乎两种处理方法:⑴利用已

知条件,向已有模型靠拢,从而快速解决;⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件:1:3ABD

BCD

S

S

=,这可以向模型一蝴蝶定理靠拢,于是得出一种解法。又观察题目中给出的已

知条件是面积的关系,转化为边的关系,可以得到第二种解法,但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”,于是可以作AH 垂直BD 于H ,CG 垂直BD 于G ,面积比转化为高之比。再应用结论:三角形高相同,则面积之比等于底边之比,得出结果。请老师注意比较两种解法,使学生体会到蝴蝶定理的优势,从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。 解法一:∵::1:3ABD BDC AO OC S S ??==, ∴236OC =?=, ∴:6:32:1OC OD ==.

解法二:作AH BD ⊥于H ,CG BD ⊥于G .

∵1

3ABD BCD S S ??=,

∴1

3AH CG =,

∴1

3AOD DOC S S ??=,

∴1

3

AO CO =,

∴236OC =?=, ∴:6:32:1OC OD ==.

【例 3】 如图,平行四边形ABCD 的对角线交于O 点,CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次是2、

4、4和6。求:⑴求OCF △的面积;⑵求GCE △的面积。

O

G

F E

D

C

B

A

【解析】 ⑴根据题意可知,BCD △的面积为244616+++=,那么BCO △和CDO ?的面积都是1628÷=,

所以OCF △的面积为844-=;

⑵由于BCO △的面积为8,BOE △的面积为6,所以OCE △的面积为862-=, 根据蝴蝶定理,::2:41:2COE COF EG FG S S ??===,所以::1:2GCE GCF S S EG FG ??==,

那么112

21233

GCE CEF S S ??==?=+.

【例 4】 图中的四边形土地的总面积是52公顷,两条对角线把它分成了4个小三角形,其中2个小三角形的

面积分别是6公顷和7公顷。那么最大的一个三角形的面积是多少公顷?

7

67

6

E

D

C

B

A

【解析】 在ABE ,CDE 中有AEB CED ∠=∠,所以ABE ,CDE 的面积比为()AE EB ?:()CE DE ?。同

理有ADE ,BCE 的面积比为():()AE DE BE EC ??。所以有ABE

S

×CDE

S

=ADE

S

×BCE

S

,也就是

说在所有凸四边形中,连接顶点得到2条对角线,有图形分成上、下、左、右4个部分,有:上、下部分的面积之积等于左右部分的面积之积。 即6ABE S ?=7ADE S ?,所以有ABE 与ADE 的面积

比为7:6,ABE S =7392167?=+公顷,ADE S =6

391867

?=+公顷。

显然,最大的三角形的面积为21公顷。

【例 5】 (2008年清华附中入学测试题)如图相邻两个格点间的距离是1,则图中阴影三角形的面积

为 。

B

D

B

D

【解析】 连接AD 、CD 、BC 。

则可根据格点面积公式,可以得到ABC ?的面积为:41122+

-=,ACD ?的面积为:3

31 3.52

+-=,ABD ?的面积为:4

2132

+

-=. 所以::2:3.54:7ABC ACD BO OD S S ??===,所以44123471111

ABO ABD S S ??=

?=?=+.

【巩固】如图,每个小方格的边长都是1,求三角形ABC 的面积。

D

【解析】 因为:2:5BD CE =,且BD ∥CE ,所以:2:5DA AC =,525ABC S ?=

+,510

277

DBC S ?=?=.

【例 6】 (2007年人大附中考题)如图,边长为1的正方形ABCD 中,2BE EC =,CF FD =,求三角形AEG

的面积.

A

B

C

D

E

F G

A

B

C

D

E

F

G

【解析】 连接EF .

因为2BE EC =,CF FD =,所以1111

()23212

DEF ABCD ABCD

S S S

?=??=.

因为12AED ABCD S S ?=,根据蝴蝶定理,11

::6:1212

AG GF ==,

所以6613

677414

AGD GDF ADF ABCD ABCD S S S S S ???===?=.

所以1322

21477AGE AED AGD ABCD ABCD ABCD S S S S S S ???=-=-==,

即三角形AEG 的面积是2

7

【例 7】 如图,长方形ABCD 中,:2:3BE EC =,:1:2DF FC =,三角形DFG 的面积为2平方厘米,求长

方形ABCD 的面积.

A

B

C

D E

F G

A

B

C

D E

F G

【解析】 连接AE ,FE .

因为:2:3BE EC =,:1:2DF FC =,所以3111

()53210

DEF

ABCD ABCD S S S =??=长方形长方形. 因为12AED

ABCD S

S =长方形,11

::5:1210

AG GF ==,所以510AGD GDF S S ==平方厘米,所以12AFD

S =平

方厘米.因为1

6

AFD ABCD S S =长方形,所以长方形ABCD 的面积是72平方厘米.

【例 8】 如图,已知正方形ABCD

的边长为10厘米,E 为AD 中点,F 为CE 中点,G 为BF 中点,求三角

形BDG 的面积.

A

B

A

B

【解析】 设BD 与CE 的交点为O ,连接BE 、DF .

由蝴蝶定理可知::BED BCD EO OC S

S

=,而1

4

BED

ABCD S

S =,12

BCD

ABCD

S

S =,

所以::1:2BED BCD

EO OC S

S

==,故1

3

EO EC =. 由于F 为CE 中点,所以1

2

EF EC =,故:2:3EO EF =,:1:2FO EO =.

由蝴蝶定理可知::1:2BFD BED S S FO EO ==,所以11

28

BFD BED ABCD S S S ==,

那么111

1010 6.2521616

BGD BFD ABCD S S S ===??=(平方厘米).

【例 9】 如图,在ABC ?中,已知M 、N 分别在边AC 、BC 上,BM 与AN 相交于O ,若AOM ?、ABO ?和

BON ?的面积分别是3、2、1,则MNC ?的面积是 .

N

M O

C

B

A

【解析】 这道题给出的条件较少,需要运用共边定理和蝴蝶定理来求解.

根据蝴蝶定理得 313

22

AOM BON MON AOB S S S S ??????=

==

设MON S x ?=,根据共边定理我们可以得 ANM ABM

MNC MBC

S S S S ????=

,3332

2312

x

x ++=

++,解得22.5x =.

【例 10】 (2009年迎春杯初赛六年级)正六边形123456A A A A A A 的面积是2009平方厘米,

123456B B B B B B 分别是正六边形各边的中点;那么图中阴影六边形的面积是 平方厘米.

B 4

B A 6

5

4

A 3

A A

B 4

B A 6

5

4

A 3

A A

【解析】 如图,设62B A 与13B A 的交点为O ,则图中空白部分由6个与23A OA ?一样大小的三角形组成,只要求

出了23A OA ?的面积,就可以求出空白部分面积,进而求出阴影部分面积. 连接63A A 、61B B 、63B A .

设116A B B ?的面积为”1“,则126BAB ?面积为”1“,126A A B ?面积为”2“,那么636A A B ?面积为126A A B ?的2倍,为”4“,梯形1236A A A A 的面积为224212?+?=,263A B A ?的面积为”6“,123B A A ?的面积为2.

根据蝴蝶定理,12632613:1:6B A B A A B B O A O S S ??===,故23616A OA S ?=

+,123127

B A A S ?=, 所以23123612::12:1:77A OA A A A A S S ?=梯形,即23A OA ?的面积为梯形1236A A A A 面积的1

7,故为六边形

123456A A A A A A 面积的114,那么空白部分的面积为正六边形面积的13

6147

?=,所以阴影部分面积为

32009111487??

?-= ???(平方厘米).

板块二 梯形模型的应用

梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”):

A B

C

D

O b

a S 3

S 2

S 1S 4

①2213::S S a b =

②221324::::::S S S S a b ab ab =; ③S 的对应份数为()2

a b +.

梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道,通过构造模型,直接应用结论,往往在题目中有事半功倍的效果.(具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明)

【例 11】 如图,22S =,34S =,求梯形的面积.

【解析】 设1S 为2

a 份,3S 为2

b 份,根据梯形蝴蝶定理,234S b ==,所以2b =;又因为22S a b ==?,所以

1a =;那么211S a ==,42S a b =?=,所以梯形面积123412429S S S S S =+++=+++=,或者根

据梯形蝴蝶定理,()()2

2

129S a b =+=+=.

【巩固】(2006年南京智力数学冬令营)如下图,梯形ABCD 的AB 平行于CD ,对角线AC ,BD 交于O ,已

知AOB △与BOC △的面积分别为25 平方厘米与35平方厘米,那么梯形ABCD 的面积是________平方厘米.

35

25O

A

B

C

D

【解析】 根据梯形蝴蝶定理,2::25:35AOB

BOC

S

S a ab ==,可得:5:7a b =,再根据梯形蝴蝶定理,

2222::5:725:49AOB

DOC

S

S

a b ===,所以49DOC

S =(平方厘米).那么梯形ABCD 的面积为

25353549144

+++=(平方厘米).

【例 12】 梯形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ,已知梯形上底为2,且三角形ABO 的面积等于三角

形BOC 面积的2

3

,求三角形AOD 与三角形BOC 的面积之比.

O

A B

C D 【解析】 根据梯形蝴蝶定理,2::2:3AOB

BOC

S

S

ab b ==,可以求出:2:3a b =, 再根据梯形蝴蝶定理,2222::2:34:9AOD

BOC

S

S

a b ===.

通过利用已有几何模型,我们轻松解决了这个问题,而没有像以前一样,为了某个条件的缺乏而千辛万苦进行构造假设,所以,请同学们一定要牢记几何模型的结论.

【例 13】 (第十届华杯赛)如下图,四边形ABCD 中,对角线AC 和BD 交于O 点,已知1AO =,并且

3

5

ABD CBD =三角形的面积三角形的面积,那么OC 的长是多少?

A

B

C

D

O

【解析】 根据蝴蝶定理,ABD AO CBD CO =三角形的面积三角形的面积,所以35AO CO =,又1AO =,所以5

3

CO =.

【例 14】 梯形的下底是上底的1.5倍,三角形OBC 的面积是29cm ,问三角形AOD 的面积是多少?

A B

C

D

O

【解析】 根据梯形蝴蝶定理,:1:1.52:3a b ==,2222::2:34:9AOD BOC S S a b ??===,

所以()

24cm AOD S ?=.

【巩固】如图,梯形ABCD 中,AOB ?、COD ?的面积分别为1.2和2.7,求梯形ABCD 的面积.

O

D

C

B

A

【解析】 根据梯形蝴蝶定理,22::4:9AOB

ACOD

S

S

a b ==,所以:2:3a b =,

2:::3:2AOD AOB S S ab a b a ===,3

1.2 1.82

AOD COB S S ==?=,

1.2 1.8 1.8

2.77.5ABCD S =+++=梯形.

【例 15】 如下图,一个长方形被一些直线分成了若干个小块,已知三角形ADG 的面积是11,三角形BCH

的面积是23,求四边形EGFH 的面积.

H

G F

E D

C

B A

H

G F

E

D

C

B A

【解析】 如图,连结EF ,显然四边形ADEF 和四边形BCEF 都是梯形,于是我们可以得到三角形EFG 的面

积等于三角形ADG 的面积;三角形BCH 的面积等于三角形EFH 的面积,所以四边形EGFH 的面积是112334+=.

【巩固】(人大附中入学测试题)如图,长方形中,若三角形1的面积与三角形3的面积比为4比5,四边形2

的面积为36,则三角形1的面积为________.

321 3

21

【解析】 做辅助线如下:利用梯形模型,这样发现四边形2分成左右两边,其面积正好等于三角形1和三角

形3,所以1的面积就是4361645?=+,3的面积就是5

362045

?=+.

【例 16】 如图,正方形ABCD 面积为3平方厘米,M 是AD 边上的中点.求图中阴影部分的面积.

B

A

【解析】 因为M 是AD 边上的中点,所以:1:2AM BC =,根据梯形蝴蝶定理可以知道

22:::1:12:12:21:2:2:4AMG ABG MCG BCG S S S S =??=△△△△()(),设1AGM S =△份,则123MCD S =+=△ 份,

所以正方形的面积为1224312++++=份,224S =+=阴影份,所以:1:3S S =阴影正方形,所以1S =阴影平方厘米.

【巩固】在下图的正方形ABCD 中,E 是BC 边的中点,AE 与BD 相交于F 点,三角形BEF 的面积为1平

方厘米,那么正方形ABCD 面积是 平方厘米.

A B

C

D

E

F

【解析】 连接DE ,根据题意可知:1:2BE AD =,根据蝴蝶定理得2

129S =

+=梯形()(平方厘米),3ECD S =△(平方厘米),那么12S

=(平方厘米).

【例 17】 如图面积为12平方厘米的正方形ABCD 中,,E F 是DC 边上的三等分点,求阴影部分的面积.

D

A

【解析】 因为,E F 是DC 边上的三等分点,所以:1:3EF AB =,设1OEF S =△份,根据梯形蝴蝶定理可以知道

3AOE OFB S S ==△△份,9AOB S =△份,(13)ADE BCF S S ==+△△份,因此正方形的面积为244(13)24+++=份,6S =阴影,所以:6:241:4S S ==阴影正方形,所以3S =阴影平方厘米.

【例 18】 如图,在长方形ABCD 中,6AB =厘米,2AD =厘米,AE EF FB ==,求阴影部分的面积.

D

D

【解析】 方法一:如图,连接DE ,DE 将阴影部分的面积分为两个部分,其中三角形AED 的面积为

26322?÷÷=平方厘米.

由于:1:3EF DC =,根据梯形蝴蝶定理,:3:1DEO EFO

S S

=,

所以3

4

DEO

DEF

S S =,而2

D E F

A D E

S

S ==平方厘米,所以3

2 1.54

DEO

S

=?=平方厘米,阴影部分的面积为2 1.5 3.5+=平方厘米. 方法二:如图,连接DE ,FC ,由于:1:3EF DC =,设1O E F S =△份,根据梯形蝴蝶定理,3OED S =△

份,2(13)16EFCD S =+=梯形份,134ADE BCF S S ==+=△△份,因此416424ABCD S =++=长方形份,437S =+=阴影份,而6212ABCD S =?=长方形平方厘米,所以 3.5S =阴影平方厘米

【例 19】 (2008年”奥数网杯”六年级试题)已知ABCD 是平行四边形,:3:2BC CE =,三角形ODE 的

面积为6平方厘米.则阴影部分的面积是 平方厘米.

B

B

【解析】 连接AC .

由于ABCD 是平行四边形,:3:2BC CE =,所以:2:3CE AD =, 根据梯形蝴蝶定理,22:::2:23:23:34:6:6:9COE

AOC

DOE

AOD

S S

S

S

=??=,所以6AOC

S

=(平方厘

米),9AOD

S

=(平方厘米),又6915ABC

ACD

S

S

==+=(平方厘米),阴影部分面积为61521+=(平

方厘米).

【巩固】右图中ABCD 是梯形,ABED 是平行四边形,已知三角形面积如图所示(单位:平方厘米),阴影部

分的面积是 平方厘米.

B

B

【分析】 连接AE .

由于AD 与BC 是平行的,所以AECD 也是梯形,那么OCD OAE S S ??=. 根据蝴蝶定理,4936OCD OAE OCE OAD S S S S ?????=?=?=,故236OCD S ?=, 所以6OCD S ?=(平方厘米).

【巩固】(2008年三帆中学考题)右图中ABCD 是梯形,ABED 是平行四边形,已知三角形面积如图所示(单

位:平方厘米),阴影部分的面积是 平方厘米.

B

B

【解析】 连接AE .

由于AD 与BC 是平行的,所以AECD 也是梯形,那么OCD OAE S S ??=.

根据蝴蝶定理,2816OCD OAE OCE OAD S S S S ?????=?=?=,故216OCD S ?=,所以4OCD S ?=(平方厘米).

另解:在平行四边形ABED 中,()11

1681222

ADE ABED S S ?==?+=(平方厘米),

所以1284AOE ADE AOD S S S ???=-=-=(平方厘米),

根据蝴蝶定理,阴影部分的面积为8244?÷=(平方厘米).

【例 20】 如图所示,BD 、CF 将长方形ABCD 分成4块,DEF ?的面积是5平方厘米,CED ?的面积是

10平方厘米.问:四边形ABEF 的面积是多少平方厘米?

F

A

B

C

D E

10

5 F

A

B C

D

E

10

5

【分析】 连接BF ,根据梯形模型,可知三角形BEF 的面积和三角形DEC 的面积相等,即其面积也是10平

方厘米,再根据蝴蝶定理,三角形BCE 的面积为1010520?÷=(平方厘米),所以长方形的面积为

()2010260+?=(平方厘米).四边形ABEF 的面积为605102025---=(平方厘米).

【巩固】如图所示,BD 、CF 将长方形ABCD 分成4块,DEF ?的面积是4平方厘米,CED ?的面积是6平

方厘米.问:四边形ABEF 的面积是多少平方厘米?

6

4A

B C

D

E

F

6

4A

B C D

E

F

【解析】 (法1)连接BF ,根据面积比例模型或梯形蝴蝶定理,可知三角形BEF 的面积和三角形DEC 的面积

相等,即其面积也是6平方厘米,再根据蝴蝶定理,三角形BCE 的面积为6649?÷=(平方厘米),所以长方形的面积为()96230+?=(平方厘米).四边形ABEF 的面积为3046911---=(平方厘米).

(法2)由题意可知,

4263EF EC ==,根据相似三角形性质,2

3

ED EF EB EC ==,所以三角形BCE 的面积为:2

693

÷

=(平方厘米).则三角形CBD 面积为15平方厘米,长方形面积为15230?=(平方厘米).四边形ABEF 的面积为3046911---=(平方厘米).

【巩固】(98迎春杯初赛)如图,ABCD 长方形中,阴影部分是直角三角形且面积为54,OD 的长是16,OB

的长是9.那么四边形OECD 的面积是多少?

B

【解析】 因为连接ED 知道ABO △和EDO △的面积相等即为54,又因为169OD OB ∶=∶,所以AOD △的面积

为5491696÷?=,根据四边形的对角线性质知道:BEO △的面积为:54549630.375?÷=,所以四边形OECD 的面积为:549630.375119.625+-=(平方厘米).

【例 21】 (2007年”迎春杯”高年级初赛)如图,长方形ABCD 被CE 、DF 分成四块,已知其中3块的

面积分别为2、5、8平方厘米,那么余下的四边形OFBC 的面积为___________平方厘米.

?

8

5

2O A B C D

E

F

?

8

5

2O A B

C

D

E

F

【解析】 连接DE 、CF .四边形EDCF 为梯形,所以EOD FOC S S

?=,又根据蝴蝶定理,

EOD FOC EOF COD S S S S ?????=?,所以2816EOD FOC EOF COD S S S S ?????=?=?=,所以4EOD S ?=(平方厘米),

4812ECD S ?=+=(平方厘米).那么长方形ABCD 的面积为12224?=平方厘米,四边形OFBC 的面

积为245289---=(平方厘米).

【例 22】 (98迎春杯初赛)如图,长方形ABCD 中,AOB 是直角三角形且面积为54,OD 的长是16,OB

的长是9.那么四边形OECD 的面积是 .

A

B

C

D

E

O

A

B

C

D

E

O

【解析】 解法一:连接DE ,依题意11

95422

AOB

S

BO AO AO =??=??=,所以12AO =, 则11

16129622

AOD

S

DO AO =??=??=. 又因为154162AOB DOE S S OE ===??,所以3

64

OE =,

得1133

96302248

BOE S BO EO =??=??=,

所以()35

54963011988

OECD BDC BOE ABD BOE S S S S S =-=-=+-=.

解法二:由于::16:9AOD AOB S S OD OB ==,所以16

54969

AOD S =?=,而54DOE AOB S S ==,根据

蝴蝶定理,BOE AOD AOB DOE S S S S ?=?,所以3

545496308

BOE S =?÷=,

所以()35

54963011988

OECD BDC BOE ABD BOE S S S S S =-=-=+-=.

【例 23】 如图,ABC ?是等腰直角三角形,DEFG 是正方形,线段AB 与CD 相交于K 点.已知正方形

DEFG 的面积48,:1:3AK KB =,则BKD ?的面积是多少?

B

B

【解析】 由于DEFG 是正方形,所以DA 与BC 平行,那么四边形ADBC 是梯形.在梯形ADBC 中,BDK ?和

ACK ?的面积是相等的.而:1:3AK KB =,所以ACK ?的面积是ABC ?面积的11

134

=+,

那么BDK ?的面积也是ABC ?面积的1

4

由于ABC ?是等腰直角三角形,如果过A 作BC 的垂线,M 为垂足,那么M 是BC 的中点,而且

AM DE =,可见ABM ?和ACM ?的面积都等于正方形DEFG 面积的一半,所以ABC ?的面积与正

方形DEFG 的面积相等,为48.

那么BDK ?的面积为1

48124

?=.

【例 24】 如图所示,ABCD 是梯形,ADE ?面积是1.8,ABF ?的面积是9,BCF ?的面积是27.那么阴

影AEC ?面积是多少?

【解析】 根据梯形蝴蝶定理,可以得到AFB DFC AFD BFC S S S S ?????=?,而AFB DFC S S ??=(等积变换),所以可得

99

327

AFB CDF AFD BFC S S S S ??????===,

并且3 1.8 1.2AEF ADF AED S S S ???=-=-=,而::9:271:3AFB BFC S S AF FC ??===, 所以阴影AEC ?的面积是:4 1.24 4.8AEC AEF S S ??=?=?=.

【例 25】 如图,正六边形面积为6,那么阴影部分面积为多少?

【解析】 连接阴影图形的长对角线,此时六边形被平分为两半,根据六边形的特殊性质,和梯形蝴蝶定理把

六边形分为十八份,阴影部分占了其中八份,所以阴影部分的面积88

6183

?=.

【例 26】 如图,已知D 是BC 中点,E 是CD 的中点,F 是AC 的中点.三角形ABC 由①~⑥这6部分

组成,其中②比⑤多6平方厘米.那么三角形ABC 的面积是多少平方厘米?

②①

B

F

E

D C

A

【解析】 因为E 是DC 中点,F 为AC 中点,有2AD FE =且平行于AD ,则四边形ADEF 为梯形.在梯形

ADEF 中有③=④,

②×⑤=③×④,②:⑤=2AD : 2FE =4.又已知②-⑤=6,所以⑤=6(41)2÷-=,②=⑤48?=,所以②×⑤=④×④=16,而③=④,所以③=④=4,梯形ADEF 的面积为②、③、④、⑤四块图形的面积和,为844218+++=.有CEF 与ADC 的面积比为CE 平方与CD 平方的比,

即为1:4.所以ADC 面积为梯形ADEF 面积的44-1=43,即为4

18243

?=.因为D 是BC 中点,所以

ABD 与ADC 的面积相等,而ABC 的面积为ABD 、ADC 的面积和,即为242448+=平方厘米.三角形ABC 的面积为48平方厘米.

【例 27】 如图,在一个边长为6的正方形中,放入一个边长为2的正方形,保持与原正方形的边平行,

现在分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点,形成了图中的阴影图形,那么阴影部分的面积为 .

【解析】 本题中小正方形的位置不确定,所以可以通过取特殊值的方法来快速求解,也可以采用梯形蝴蝶定

理来解决一般情况.

解法一:取特殊值,使得两个正方形的中心相重合,如右图所示,图中四个空白三角形的高均为1.5,因此空白处的总面积为6 1.5242222?÷?+?=,阴影部分的面积为662214?-=.

解法二:连接两个正方形的对应顶点,可以得到四个梯形,这四个梯形的上底都为2,下底都为6,上底、下底之比为2:61:3=,根据梯形蝴蝶定理,这四个梯形每个梯形中的四个小三角形的面积之

比为221:13:13:31:3:3:9??=,所以每个梯形中的空白三角形占该梯形面积的9

16

,阴影部分的面

积占该梯形面积的716,所以阴影部分的总面积是四个梯形面积之和的7

16

,那么阴影部分的面积为

227

(62)1416

?-=.

【例 28】 如图,在正方形ABCD 中,E 、F 分别在BC 与CD 上,且2CE BE =,2CF DF =,连接BF 、

DE ,相交于点G ,过G 作MN 、PQ 得到两个正方形MGQA 和PCNG ,设正方形MGQA 的面积为

1S ,正方形PCNG 的面积为2S ,则12:S S =___________.

Q

P

N M

A

B

C D E F

G

Q

P

N

M

A

B

C

D E F

G

【解析】 连接BD 、EF .设正方形ABCD 边长为3,则2C E C F ==,1BE DF ==,所以,222228EF =+=,

2223318BD =+=.因为22281814412EF BD ?=?==,所以12EF BD ?=.由梯形蝴蝶定理,得22::::::8:18:12:124:9:6:6GEF GBD DGF nBGE S S S S EF BD EF BD EF BD =??==△△△,

所以,66496625BGE BDFE BDFE S S S =

=+++△梯形梯形.因为9

3322

BCD S =?÷=△,2222CEF S =?÷=△,

所以52BCD CEF BDFE S S S =-=△△梯形,所以,653

2525

BGE S =?=△.

由于BGE △底边BE 上的高即为正方形PCNG 的边长,所以362155CN =?÷=,69

355

ND =-=,

所以::3:2AM CN DN CN ==,则2212::9:4S S AM CN ==.

【例 29】 如下图,在梯形ABCD 中,AB 与CD 平行,且2CD AB =,点E 、F 分别是AD 和BC 的中点,

已知阴影四边形EMFN 的面积是54平方厘米,则梯形ABCD 的面积是 平方厘米.

D

D

【解析】 连接EF ,可以把大梯形看成是两个小梯形叠放在一起,应用梯形蝴蝶定理,可以确定其中各个小

三角形之间的比例关系,应用比例即可求出梯形ABCD 面积.

设梯形ABCD 的上底为a ,总面积为S .则下底为2a ,()13

222

EF a a a =+=.

所以3::2:32AB EF a a ==,3

::23:42

EF DC a a ==.

由于梯形ABFE 和梯形EFCD 的高相等,所以

()()33:::25:722ABFE EFCD S S AB EF EF DC a a a a ????

=++=++= ? ?????

梯形梯形,

故512ABFE S S =梯形,7

12

EFCD S S =梯形.

根据梯形蝴蝶定理,梯形ABFE 内各三角形的面积之比为222:23:23:34:6:6:9??=,所以

9953

4669251220

E M

F ABFE S S S S ==?=+++梯形;

同理可得9973

9121216491228

ENF S S S S ==?=+++梯形EFCD ,

所以339

202835

EMFN EMF ENF S S S S S S =+=+=,由于54EMFN S =平方厘米,

所以9

5421035

S =÷=(平方厘米).

【例 30】 (2006年“迎春杯”高年级组决赛)下图中,四边形ABCD 都是边长为1的正方形,E 、F 、G 、

H 分别是AB ,BC ,CD ,DA 的中点,如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简

分数m

n

,那么,()m n +的值等于 .

B

E

E

【解析】 左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形,不方便直接求面积,观察发现两个图中的空白部分面

积都比较好求,所以可以先求出空白部分的面积,再求阴影部分的面积. 如下图所示,在左图中连接EG .设AG 与DE 的交点为M . 左图中AEGD 为长方形,可知AMD ?的面积为长方形AEGD 面积的

1

4

,所以三角形AMD 的面积为2111

1248

??=.又左图中四个空白三角形的面积是相等的,所以左图中阴影部分的面积为

111482

-?=.

B

E

E

如上图所示,在右图中连接AC 、EF .设AF 、EC 的交点为N . 可知EF ∥AC 且2AC EF =.那么三角形BEF 的面积为三角形ABC 面积的

1

4

,所以三角形BEF 的面积为21111248??=,梯形AEFC 的面积为113

288

-=.

在梯形AEFC 中,由于:1:2

E F A C =,根据梯形蝴蝶定理,其四部分的面积比为:221:12:12:21:2:2:4??=,所以三角形EFN 的面积为311

8122424

?=

+++,那么四边形BENF 的面积为111

8246+=.而右图中四个空白四边形的面积是相等的,所以右图中阴影部分的面积为

111463

-?=. 那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为11:3:223=,即3

2

m n =,

那么325m n +=+=。

小学奥数之几何五大模型精编版

一、等积变换模型 ⑴等底等高的两个三角形面积相等; 其它常见的面积相等的情况 ⑵两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比; 两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比。 如上图12::S S a b = ⑶夹在一组平行线之间的等积变形,如下图ACD BCD S S =△△; 反之,如果ACD BCD S S =△△,则可知直线AB 平行于CD 。 ⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半; ⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半; 五大模型 1S 2 S

二、鸟头定理(共角定理)模型 两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形。 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。 如图,在ABC △中,,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上,E 在AC 上(如图2),则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△ 图1 图2 三、蝴蝶定理模型 任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”): ①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=?②()()1243::AO OC S S S S =++ 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造模型,一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系;另一方面,也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。 梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”) ①2213::S S a b = ②221324::::::S S S S a b ab ab =; ③梯形S 的对应份数为()2 a b +。

小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)整理版

任意四边形、梯形与相似模型 卜亠\ 模型三蝴蝶模型(任意四边形模型) 任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”): D S1: S2 = S4: S3或者S S3 =S2 S4 ② AO : OC =[S S2 : S4 S3 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型,一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系;另一方面,也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。 【例1】(小数报竞赛活动试题)如图,某公园的外轮廓是四边形ABCD被对角线AC BD分成四个部分,△ AOB面积为1平方千米,△ BOC面积为2平方千米,△ COD勺面积为3平方千米,公园由陆地面积是 6. 92平方千米和人工湖组成,求人工湖的面积是多少平方千米? 【分析】根据蝴蝶定理求得S^AOD=3 1-'2=1.5平方千米,公园四边形ABCD的面积是12 3 45 = 7.5平方千米,所以人工湖的面积是7.5-6.92=0.58平方千米 【巩固】如图,四边形被两条对角线分成4个三角形,其中三个三角形的面积已知, 求:⑴三角形BGC的面积:⑵AG:GC= ? 【解析】⑴根据蝴蝶定理,S BGC 1=2 3,那么S BGC=6 ; ⑵根据蝴蝶定理,AG:G^ 1 2 : 3 6 =1:3 . (? ??) 【例2】四边形ABCD的对角线AC与BD交于点0(如图所示)。如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的

面积的 1 ,且AO =2 , DO =3,那么CO的长度是DO的长度的_____________ 倍。 3 【解析】在本题中,四边形ABCD为任意四边形,对于这种”不良四边形”,无外乎两种处理方法:⑴利用已知条件,向已有模型靠拢,从而快速解决;⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件S A BD : S BCD =1:3,这可以向模型一蝴蝶定理靠拢,于是得出一种解法。又观察题目中给出的已知条件是面积的关系,转化为边的关系,可以得到第二种解法,但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”,于是可以作AH垂直BD于H , CG垂直BD于G,面积比转化为高之比。再应用结论:三角形高相同,则面积之比等于底边之比,得出结果。请老师注意比较两种解法,使学生体会到蝴蝶定理的优势,从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。 解法一:T AO :OC = S ABD: S BDC =1 : 3 , 二OC =2 3 =6 , ??? OC:OD =6:3 2:1 . 解法二:作AH _BD 于H , CG_BD 于G . ?- AH」CG , 3 1 ?- AO CO , 3 ?OC =2 3=6 , ?OC:OD =6:3 =2:1 ? 【例3】如图,平行四边形ABCD的对角线交于O点,A CEF、△OEF、△ODF、△BOE的面积依次是2、 4、4和6。求:⑴求A OCF的面积;⑵求A GCE的面积。 【解析】⑴根据题意可知,△BCD的面积为2 4 4 ^16,那么△BCO和:CDO的面积都是16亠2=8 , 所以A OCF 的面积为8—4=4; ⑵由于△ BCO的面积为8, △BOE的面积为6,所以A OCE的面积为8-6=2 , 根据蝴蝶定理,EG:FG 二 Sg E:S.COF =2:4 =1:2,所以S.GCE:S.GCF = EG : FG =1:2 , 1 1 2 那么S GCE S CEF 2 ~~? 1+2 3 3 【例4】图中的四边形土地的总面积是52公顷,两条对角线把它分成了4个小三角形,其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷。那么最大的一个三角形的面积是多少公顷? S 'ABD S BCD 3审 S AOD =—S DOC 3

六年级奥数——蝴蝶模型 燕尾定理练习题 教案

蝴蝶模型和燕尾定理练习题 1、如图,已知BD DC =,2EC AE =,三角形ABC 的面积是30,求阴影部分面积. D E F C B A D E F C B A D E F C B A 【解析】 题中条件只有三角形面积给出具体数值,其他条件给出的实际上是比例的关系,由此我们可以 初步判断这道题不应该通过面积公式求面积. 又因为阴影部分是一个不规则四边形,所以我们需要对它进行改造,那么我们需要连一条辅助线, (法一)连接CF ,因为,2EC AE =,三角形ABC 的面积是30, 所以1103ABE ABC S S ==△△,1 152 ABD ABC S S ==△△. 根据燕尾定理,12ABF CBF S AE S EC = =△△,BD DC =1ABF ACF S BD S CD ==△△, 所以1 7.54 ABF ABC S S ==△△,157.57.5BFD S =-=△, 所以阴影部分面积是30107.512.5--=. (法二)连接DE ,由题目条件可得到1 103 ABE ABC S S ==△△, 112 10223 BDE BEC ABC S S S ==?=△△△,所以 11ABE BDE S AF FD S ==△△, 111111 2.5223232DEF DEA ADC ABC S S S S =?=??=???=△△△△, 而21 1032 CDE ABC S S =??=△△.所以阴影部分的面积为12.5. 2、(2007年香港圣公会数学竞赛)如图所示,在ABC △中,12CP CB =,1 3 CQ CA =,BQ 与AP 相交于 点X ,若ABC △的面积为6,则ABX △的面积等于 . X Q P A B C X Q P A B C 4 4 11 X Q P C B A 【解析】 方法一:连接PQ . 由于12CP CB =,13CQ CA =,所以23ABQ ABC S S = ,11 26 BPQ BCQ ABC S S S == . 由蝴蝶定理知,21 :::4:136 ABQ BPQ ABC ABC AX XP S S S S === , 所以44122 6 2.455255 ABX ABP ABC ABC S S S S ==?==?= . 方法二:连接CX 设1CPX S =△份,根据燕尾定理标出其他部分面积, 所以6(1144)4 2.4ABX S =÷+++?=△

小学奥数-几何五大模型(鸟头模型)-精选.

模型二 鸟头模型 两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形. 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比. 如图在ABC △中,,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上,E 在AC 上如图 2), 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△ E D C B A E D C B A 图⑴ 图⑵ 【例 1】 如图在ABC △中,,D E 分别是,AB AC 上的点,且:2:5AD AB =,:4:7AE AC =, 16ADE S =△平方厘米,求ABC △的面积. 三角形等高模型与鸟头模型

E D C B A E D C B A 【解析】 连接BE ,::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===??△△, ::4:7(45):(75) ABE ABC S S AE AC ===??△△,所以:(24):(75)ADE ABC S S =??△△,设 8ADE S =△份,则35ABC S =△份,16ADE S =△平方厘米,所以1份是2平方厘米,35份就是70平方厘米,ABC △的面积是70平方厘米.由此我们得到一个重要的定理,共角定理:共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 . 【巩固】如图,三角形ABC 中,AB 是AD 的5倍,AC 是AE 的3倍,如果三角 形ADE 的面积等于1,那么三角形ABC 的面积是多少? E D C B A A B C D E 【解析】 连接BE . ∵3EC AE = ∴3ABC ABE S S =V V 又∵5AB AD = ∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷V V V ,∴1515ABC ADE S S ==V V . 【巩固】如图,三角形被分成了甲(阴影部分)、乙两部分,4BD DC ==,3BE =, 6AE =,乙部分面积是甲部分面积的几倍? 乙 甲 E D C B A A B C D E 甲 乙 【解析】 连接AD . ∵3BE =,6AE = ∴3AB BE =,3ABD BDE S S =V V 又∵4BD DC ==, ∴2ABC ABD S S =V V ,∴6ABC BDE S S =V V ,5S S =乙甲.

小学奥数-几何五大模型(鸟头模型).

模型二鸟头模型 两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形. 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比. 如图在 △ABC中,D,E分别是AB,AC上的点如图(1)(或D在BA的延长线上,E在AC上如图2),则ABC : ADE -(AB AC): (AD AE) 厘米,求△ ABC的面积. 【解析】连接BE , S A ADE : S A ABE= AD : AB =2 :5 =(2 4): (5 4), S A ABE : S A ABC = AE : AC = 4 : 7 = (4 5) : (7 5),所以S^ADE: S^ ABC= (2 4) : (7 5),设S A ADE= 8 份, 则S A ABC =35份,S A ADE =16平方厘米,所以1份是2平方厘米,35份就是70平方厘米,△ ABC的面积是70平方厘米.由此我们得到一个重要的定理,共角定理:共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 三角形等高模型与鸟头模型 【例1】如图在△ ABC中, D,E分别是AB,AC上的点,且AD: AB =2:5 ,AE:AC =4:7 , S^ADE =16 平方 图⑵

【巩固】如图,三角形ABC中,AB是AD的5倍,AC是AE的 3 倍,如果三角形么三 角形ABC的面积是多少? ?/ EC =3AE --S A BC = 3S ABE 又??? AB =5AD --S|_ADE = S_ABE 5 = S_ ABC 15 ,??? S ABC 如图,三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分,BD=DC=4 , BE=3 , AE=6,乙部分面积是甲部分面积的几倍? ?/ BE =3 , AE =6 --AB = 3BE , S ABD=3S BDE 又T BD =DC =4 , --S ABC =2S ABD,…S ABC - 6S BDE , 【例2】如图在△ ABC中,D在BA的延长线上,E在AC上,且AB: AD =5: 2 , AE:EC=3:2 , S A ADE =12平方厘米,求△ ABC的面积. 【解析】连接BE , S A ADE : S A ABE= AD: AB =2:5 =(2 3): (5 3) S A ABE : S A ABC=AE: AC =3:(3 2)=(3 5): 1(3 2) 5】, 所以S A ADE : S A ABC - (3 2) : 5 (3 2^ - 6 : 25,设S A ADE = 6 份,贝V S A ABC = 25 份,S A ADE =12 平方厘 米,所以1份是2平方厘米,25份就是50平方厘米,△ ABC的面积是50平方厘米.由此我们得到一个重要的定理,共角定理:共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 【例3】如图所示,在平行四边形ABCD中,E为AB的中点,AF =2CF,三角形AFE(图中阴影部分)的面积为8平方厘米.平行四边形的面积是多少平方厘米? ADE的面积等于1,那 = 15S ADE =15 . 【巩固】 【解析】连接AD . 【解 析】

六年级数学奥数培优教案(下册)图形问题之蝴蝶模型

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型,一 方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系;另一方面,也可以得到 与面积对应的对角线的比例关系。 类型 1:任意四边形中的蝴蝶模型 ① S 1 ? S 3 = S 2 ? S 4 (上、下两部分面积的积等于左、右两部分面积的积); ② S 1 : S 4 = S 2 : S 3 = (S 1 + S 2 ): (S 4 + S 3 )= AO : OC (左:右 = 左和:右和) 类型 2:梯形中的蝴蝶模型 ① S 2 = S 4 ; ② S 1 ? S 3 = S 2 ? S 4 ; ③OC AO s s s s s s s s :)(:)(::34213241=++== ④)(::::::224231ab ab ab b a s s s s 上下平方,左右= ⑤梯形 S 的对应份数为 (a + b ) 2 【例1】如图,某公园的外轮廓是四边形 ABCD ,被对角线 AC 、BD 分成四个部分,△ AOB 面积为 1 平方千米,△BOC 面积为 2 平方千米,△COD 的面积为 3 平方千米,公园由 陆地面积是 6.92 平方千米和人工湖组成,求人工湖的面积是多少平方千米? 【例2】如图,边长为 1 的正方形 ABCD 中,BE=2EC ,CF=FD ,求△AEG 的面积. 【例3】梯形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O ,已知梯形上底为 2,且△ABO 的面积 等于△BOC 面积的32 ,求△AOD 与△BOC 的面积之比. 专题:图形问题之蝴蝶模型

六年级奥数专题几何五大模型鸟头模型

六年级奥数专题几何五大 模型鸟头模型 The latest revision on November 22, 2020

几何五大模型——鸟头模型 本讲要点 一两点都在边上:鸟头定理: (现出“鸟头模型”。然后按一下出现一个鸟头,勾勒出鸟头的轮廓,出现如图的鸟头几何模型。最后真实的鸟头隐去,只留下几何模型。最后按一下,出公式。) 二一点在边上,一点在边的延长线上:

例1 如图,AD=DB ,AE=EF=FC ,已知阴影部分面积为5平方厘米,△ABC的面积是平方厘米. 例2 例2 (1)如图在△ABC中,D、E分别是AB,AC上的点,且AD:AB=2:5, AE:AC=4:7,△ABC的面积是16平方厘米,求△ABC的面积。 (2)如图在△ABC中,D在BA的延长线上,E在AC上,且AB:AD=5:2,AE:EC=3:2,△ADE 的面积是12平方厘米,求△ABC的面积。 例3 已知△DEF的面积为12平方厘米,BE=CE,AD=2BD,CF=3AF,求△ABC的面积。 例4 三角形ABC面积为1,AB边延长一倍到D,BC延长2倍到E,CA延长3倍到F,问三角形DEF的面积为多少 例5 长方形ABCD面积为120,EF为AD上的三等分点,G、H、I为DC上的四等分点,阴影面积是多大

如图,过平行四边形ABCD 内的一点P 作边AD 、BC 的平行线EF 、GH ,若PBD ?的面积为8平方分米,求平行四边形PHCF 的面积比平行四边形PGAE 的面积大多少平方分米 1. 如下左图,在ABC △中,D 、E 分别是BC 、AB 的三等分点,且ABC △的面积是54,求 CDE △的面积。 2. 如图,长方形ABCD 的面积是1,M 是AD 边的中点,N 在AB 边上,且12AN BN =.那么,阴影部分的面积等 于 . 3. 如图以ABC △的三边分别向外做三个正方形ABIH 、ACFG 、BCED ,连接HG 、EF 、 ID ,又得到三个三角形,已知六边形DEFGHI 的面积是77平方厘米,三个正方形的面积分别是9、16、36平方厘米,则三角形ABC 的面积是多少 4. 如图,已知三角形ABC 面积为1,延长AB 至D ,使BD AB =;延长BC 至E ,使 2CE BC =;延长CA 至F ,使3AF AC =,求三角形DEF 的面积。 5. 把四边形ABCD 的各边都延长2倍,得到一个新的四边形EFGH 。如果ABCD 的面积是5 平方厘米,则EFGH 的面积是多少 家庭作业 例6 A C E

几何五大模型汇总

小学平面几何五大模型 一、 共角定理 两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形. 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比.如图在ABC △中,,D E分别是, AB AC上的点如图⑴(或D在BA的延长线上,E在AC上),则:():() S S AB AC AD AE =?? △△ 证明:由三角形面积公式S=1/2*a*b*sinC可推导出 若△ABC和△ADE中, ∠BAC=∠DAE 或∠BAC+∠DAE=180°, 则 ADE ABC S S ? ? = AE AD AC AB ? ? 二、等积模型 ①等底等高的两个三角形面积相等; ②两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比; 两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比; 如下图 12 :: S S a b = ③夹在一组平行线之间的等积变形,如右图 ACD BCD S S= △△ ; 反之,如果 ACD BCD S S = △△ ,则可知直线AB平行于CD. ④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形); ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半; ⑥两个平行四边形高相等,面积比等于它们的底之比;两个平行四边形底相等,面积比等于它们的高之比. b a S2 S1 D C B A

三、蝶形定理 1、任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”): ①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=? ②()()1243::AO OC S S S S =++ 速记:上×下=左×右 蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造模型,一方面 可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系;另一方面,也可以得到与面积对应的对角线的比例关系. 2、梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”): ①2213::S S a b = ②221324::::::S S S S a b ab ab =; ③S 的对应份数为()2a b +. 四、相似模型 (一)金字塔模型 (二) 沙漏模型 G F E A B C D A B C D E F G ①AD AE DE AF AB AC BC AG ===; ②22:ADE ABC S S AF AG =△△:. 相似三角形,就是形状相同,大小不同的三角形(只要其形状不改变,不论大小怎样改变它们都相似),与相似三角形相关的常用的性质及定理如下: ⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例,并且这个比例等于它们的相似比; ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方; A B C D O b a S 3 S 2 S 1S 4 S 4 S 3 S 2 S 1O D C B A

小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)

小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

模型三 蝴蝶模型(任意四边形模型) 任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”): S 4 S 3 S 2 S 1O D C B A ①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=? ②()()1243::AO OC S S S S =++ 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型,一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系;另一方面,也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。 【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图,某公园的外轮廓是四边形ABCD ,被对角线AC 、BD 分成四 个部分,△AOB 面积为1平方千米,△BOC 面积为2平方千米,△COD 的面积为3平方千米,公园由陆地面积是6.92平方千米和人工湖组成,求人工湖的面积是多少平方千米? 【例 2】 O D C B A 【分析】 根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =?÷=△平方千米,公园四边形ABCD 的面积是 123 1.57.5+++=平方千米,所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米 【巩固】如图,四边形被两条对角线分成4个三角形,其中三个三角形的面积已知, 求:⑴三角形BGC 的面积;⑵:AG GC = 任意四边形、梯形与相似模 型

B 【解析】 ⑴根据蝴蝶定理,123BGC S ?=?,那么6BGC S =; ⑵根据蝴蝶定理,()():12:361:3AG GC =++=. () 【例 3】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。如果三角形ABD 的面积等于三角 形BCD 的面积的1 3 ,且2AO =,3DO =,那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。 A B C D O H G A B C D O 【解析】 在本题中,四边形ABCD 为任意四边形,对于这种”不良四边形”,无外乎两种处理方 法:⑴利用已知条件,向已有模型靠拢,从而快速解决;⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件:1:3ABD BCD S S =,这可以向模型一蝴蝶定理靠拢,于是得 出一种解法。又观察题目中给出的已知条件是面积的关系,转化为边的关系,可以得到第二种解法,但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”,于是可以作AH 垂直BD 于H ,CG 垂直BD 于G ,面积比转化为高之比。再应用结论:三角形高相同,则面积之比等于底边之比,得出结果。请老师注意比较两种解法,使学生体会到蝴蝶定理的优势,从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。 解法一:∵::1:3ABD BDC AO OC S S ??==, ∴236OC =?=, ∴:6:32:1OC OD ==. 解法二:作AH BD ⊥于H ,CG BD ⊥于G . ∵1 3 ABD BCD S S ??=, ∴13 AH CG =, ∴13 AOD DOC S S ??=, ∴13 AO CO =, ∴236OC =?=, ∴:6:32:1OC OD ==. 【例 4】 如图,平行四边形ABCD 的对角线交于O 点,CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积 依次是2、4、4和6。求:⑴求OCF △的面积;⑵求GCE △的面积。

小学奥数几何五大模型

几何五大模型 一、五大模型简介 (1)等积变换模型 1、等底等高的两个三角形面积相等; 2、两个三角形高相等,面积之比等于底之比,如图①所示, S[sub]1[/sub]:S[sub]2[/sub]=a:b; 3、两个三角形底相等,面积在之比等于高之比,如图②所示,S[sub]1[/sub]:S[sub]2[/sub]=a:b; 4、在一组平行线之间的等积变形,如图③所示, S[sub]△ACD[/sub]=S[sub]△BCD[/sub];反之,如果 S[sub]△ACD[/sub]=S[sub]△BCD[/sub], 则可知直线AB平行于CD。 例、如图,三角形ABC的面积是24,D、E、F分别是BC、AC、AD的中点,求三角形DEF的面积。

(2)鸟头(共角)定理模型 1、两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫共角三角形; 2、共角三角形的面积之比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。 如图下图三角形ABC中,D、E分别是AB、AC上或AB、AC延长线上的点 则有:S[sub]△ABC[/sub]:S[sub]△ADE[/sub]=(AB×AC):(AD×AE) 我们现在以互补为例来简单证明一下共角定理!

如图连接BE,根据等积变化模型知,S[sub]△ADE[/sub]: S[sub]△ABE[/sub]=AD:AB、S[sub]△ABE[/sub]: S[sub]△CBE[/sub]=AE:CE,所以S[sub]△ABE[/sub]: S[sub]△ABC[/sub]=S[sub]△ABE[/sub]: (S[sub]△ABE[/sub]+S[sub]△CBE[/sub])=AE:AC ,因此S[sub]△ADE[/sub]:S[sub]△ABC[/su b]=(S[sub]△ADE[/sub]:S[sub]△ABE[/sub])×(S[sub]△ABE[/sub]:S[sub]△ABC[/sub])=(AD:AB)×(AE:AC)。 例、如图在ΔABC中,D在BA的延长线上,E在AC上,且AB:AD=5:2,AE:EC=3:2, △ADE的面积为12平方厘米,求ΔABC的面积。

六年级奥数蝴蝶模型(供参考)

蝴蝶模型 一、蝴蝶模型与任意四边形 在任意四边形中,两对角线将四边形分成四个三角形,两组相对三角形面积之积相等。 推导:由等积变形模型可知: 二、蝴蝶模型与梯形 ① ② 推导:① 同上 ② 过点A 作三角形ABC 的高1h ,过点D 作 △BCD 的高2h 21h h =∴(两平行线之间高相 等) 三、蝴蝶模型与平行四边形 (一) ① ② 推导:① 同上 ② BCD ABC S S ??= ACD BCD S S ??= (同底等高) 即:对角平行四边形面积乘积相等 (在平行四边形ABCD 内作两条分别平行于两组相对边的线段GH 、EF ) 推导:连接GE 、EH 、HF 、FG ,过点E 作EM 垂直于GH 于点M 同理可得:321S S OGF =∴? 221S S OFH =? 421 S S EOH =? 由蝴蝶定理可知:EOH OGF OFH OGE S S S S ?????=? 四、蝴蝶模型与长方形 (一) ① ②

即:对角长方形面积乘积相等 五、蝴蝶模型与正方形 “子母图”——两共线相邻的正方形 在上面两个图形中,每组正方形的对角线均互相平行,即a//b 、c//d 重要结论:两共线相邻的正方形对角线互相平行。 例1:如下图所示,在梯形ABCD 中,对角线BD ,AC 相交于点O ,△AOD 的面积是6,△AOB 的面积是4,那么梯形ABCD 的面积是多少? 分析:梯形ABCD 是四个三角形面积的总和,现已经知道两个三角形的面积,由蝴蝶定理容易求出三角形BOC 和三角形DOC 的面积,进而可以求出梯形ABCD 的面积。 解:由蝴蝶定理可知:S ?BOC =S ?AOD =6 ∴S ?DOC =6×6÷4=9 ∴梯形ABCD 的面积是9+6+4+6=25 答:梯形ABCD 的面积是25。 例2:如图,求阴影部分的面积。(单位cm 2) 分析:由长方形中的蝴蝶定理“对角长方形面积乘积相等”,可直接求出阴影部分的面积。 解:S 阴影=28×6÷12=14(cm 2) 答:阴影部分的面积为14平方厘米。 例3:下图是两个正方形,大正方形边长是8,小正方形边长是6,求图中阴影部分的面积。(单位:厘米) 分析:图中阴影部分的面积不能通过面积公式直接得出,因此要将其转化为容易算的部分。由“子母图中对角线互相平行”这一重要结论可知,连接AC ,所以AC 平行于GE ,由梯形的蝴蝶定理可知,三角形AOG 和三角形COE 面积相等,因此,阴影部分的面积就等于三角形GCE 的面积,即小正方形面积的一半。 解:连接AC D F

小学奥数-几何五大模型

模型四 相似三角形模型 (一)金字塔模型 (二) 沙漏模型 ①AD AE DE AF AB AC BC AG ===; ②22:ADE ABC S S AF AG =△△:。 所谓的相似三角形,就是形状相同,大小不同的三角形(只要其形状不改变,不论大小怎样改变它们都相似),与相似三角形相关的常用的性质及定理如下: ⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例,并且这个比例等于它们的相似比; ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方; ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 三角形中位线定理:三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半。 相似三角形模型,给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具。 在小学奥数里,出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形。 【例 1】 如图,已知在平行四边形ABCD 中,16AB =,10AD =,4BE =,那么FC 的长 度是多少? 【解析】 图中有一个沙漏,也有金字塔,但我们用沙漏就能解决问题,因为AB 平行于CD , 所以::4:161:4BF FC BE CD ===,所以4 10814 FC =?=+. 【例 2】 如图,测量小玻璃管口径的量具ABC ,AB 的长为15厘米,AC 被分为60等份。 如果小玻璃管口DE 正好对着量具上20等份处(DE 平行AB ),那么小玻璃管口径DE 是多大? 【解析】 有一个金字塔模型,所以::DE AB DC AC =,:1540:60DE =,所以10DE =厘米。 【例 3】 如图,DE 平行BC ,若:2:3AD DB =,那么:ADE ECB S S =△△________。 【解析】 根据金字塔模型:::2:(23)2:5AD AB AE AC DE BC ===+=, 22:2:54:25ADE ABC S S ==△△, 任意四边形、梯形与相似模型

小学奥数平面几何五大模型

小学奥数平面几何五大定律 一、等积模型 图(1) 图(2) 图(3) 图(4) ① 等底等高的两个三角形面积相等 如图(1):D 为BC 中点,则S△ABD=S△ACD 如图(4):l1平行于l2,则S△ACD=S△BCD ② 两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比 如图(2): S △ABDS △ACD=BDCD ③ 两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比 如图(3):BC=EF ,则 S △ABCS △DEF=h1h2 ④ 夹在一组平行线之间的等积变形 如图(4):l1平行于l2 ,则 S△ABD=S△ACD 反之如果S△ABD=S△ACD,则可知直线l1平行于l2 ⑤ 等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平 行四边形) ⑥ 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半 ⑦ 两个平行四边形高相等,面积比等于它们的底之比;两个平行四边形底 相等,面积比等于它们的高之比 二、共角定理(鸟头定理) 两个三角形中有一个角相等或互补(两个角之和=180O ),这两个三角形叫做共角三角形. D B h A B D C h1 h2 l2 l2 B C h1 F E D h2 B C D h

共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比. 共角 互补角 图(1) 图(2) 如图(1):在△ABC 中,D 、E 分别是AB 、AC 上的点,△ABC 与△ADE 共∠A 如图(2):D 在BA 的延长线上,E 在AC 上;∠BAC+∠BAC =180O (互补), 则: S △ABC :S △ADE =(AB ×AC):(AD ×AE);或 S △ABCS △ADE=AB × ACAD × AE 三、相似模型 数学上,相似指两个图形的形状完全相同,其中一个图形能通过放大、缩小、平移、旋转、镜像等方式变成另一个。 相似比:是指两个相似图形的对应边的比值。 相似符号:“∽” 相似三角形:三角分别相等,三边成比例的两个三角形叫做相似三角形 相似三角形传递性:如果图A 相似于图B ,图B 相似于C ,则 A 相似C 即:图A ∽图B ,图B ∽图C ;则,图A ∽图B ∽图C a 顺时针旋转90度 a 翻转 a 缩小 图(1) 图(2) 图(3) 图(4) c a d b A B C D E A D E F C B D E O B A

小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)-精选.

模型三 蝴蝶模型(任意四边形模型) 任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”): S 4 S 3 S 2 S 1O D C B A ①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=? ②()()1243::AO OC S S S S =++ 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型,一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系;另一方面,也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。 【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图,某公园的外轮廓是四边形,被对角线、 分成四个部分,△面积为1平方千米,△面积为2平方千米,△的面积为3平方千米,公园由陆地面积是6.92平方千米和人工湖组成,求人工湖的面积是多少平方千米? O D C B A 【分析】 根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =?÷=△平方千米,公园四边形ABCD 的面积是 123 1.57.5+++=平方千米,所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米 任意四边形、梯形与相似模型

【巩固】如图,四边形被两条对角线分成4个三角形,其中三个三角形的面 积已知, 求:⑴三角形BGC 的面积;⑵:AG GC =? B 【解析】 ⑴根据蝴蝶定理,123BGC S ?=?V ,那么6BGC S =V ; ⑵根据蝴蝶定理,()():12:361:3AG GC =++=. (???) 【例 2】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。如果三角形ABD 的 面积等于三角形BCD 的面积的13 ,且2AO =,3DO =,那么CO 的长度是DO 的长度的倍。 A B C D O H G A B C D O 【解析】 在本题中,四边形ABCD 为任意四边形,对于这种”不良四边形”,无外 乎两种处理方法:⑴利用已知条件,向已有模型靠拢,从而快速解决;⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件:1:3ABD BCD S S =V V ,这可以向模型一蝴蝶定理靠拢,于是得出一种解法。又观察题目中给出的已知条件是面积的关系,转化为边的关系,可以得到第二种解法,但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”,于是可以作AH 垂直BD 于H ,CG 垂直BD 于G ,面积比转化为高之比。再应用结论:三角形高相同,则面积之比等于底边之比,得出结果。请老师注意比较两种解法,使学生体会到蝴蝶定理的优势,从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。 解法一:∵::1:3ABD BDC AO OC S S ??==, ∴236OC =?=, ∴:6:32:1OC OD ==. 解法二:作AH BD ⊥于H ,CG BD ⊥于G . ∵13 ABD BCD S S ??=, ∴13 AH CG =, ∴13 AOD DOC S S ??=,

小学奥数几何五大模型(蝴蝶模型)

模型三蝴蝶模型(任意四边形模型) 任意四边形中的比例关系 (“蝴蝶定理”):S 4S 3 S 2S 1O D C B A ①12 43::S S S S 或者1324S S S S ②124 3::AO OC S S S S 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型,一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系;另一方面,也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。 【例1】(小数报竞赛活动试题)如图,某公园的外轮廓是四边形ABCD ,被对角线AC 、BD 分成四个部分,△ AOB 面积为1平方千米,△BOC 面积为2平方千米,△COD 的面积为3平方千米,公园由陆地面积是 6.92平方千米和人工湖组成,求人工湖的面积是多少平方千米? O D C B A 根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S △平方千米,公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5平方千米,所以人工湖的面积是7.5 6.920.58平方千米 【巩固】如图,四边形被两条对角线分成4个三角形,其中三个三角形的面积已知, 求:⑴三角形BGC 的面积;⑵ :AG GC ?A B C D G 321 ⑴根据蝴蝶定理,123BGC S ,那么6BGC S ;⑵根据蝴蝶定理,:12:361:3AG GC .(???)任意四边形、梯形与相似模型

【例2】四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。如果三角形ABD 的面积等于三角形 BCD 的面积的1 3,且2AO ,3DO ,那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。A B C D O H G A B C D O 在本题中,四边形ABCD 为任意四边形,对于这种”不良四边形” ,无外乎两种处理方法:⑴利用已知条件,向已有模型靠拢,从而快速解决;⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件 :1:3ABD BCD S S ,这可以向模型一蝴蝶定理靠拢,于是得出一种解法。又观察题目中给出的已知 条件是面积的关系,转化为边的关系,可以得到第二种解法,但是第二种解法需要一个中介来改造 这个”不良四边形”,于是可以作AH 垂直BD 于H ,CG 垂直BD 于G ,面积比转化为高之比。再应用结论:三角形高相同,则面积之比等于底边之比,得出结果。请老师注意比较两种解法,使学 生体会到蝴蝶定理的优势,从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。 解法一:∵::1:3ABD BDC AO OC S S ,∴236OC , ∴:6:32:1OC OD . 解法二:作AH BD 于H ,CG BD 于G .∵1 3 ABD BCD S S ,∴1 3AH CG ,∴13AOD DOC S S ,∴13AO CO ,∴236OC , ∴:6:32:1OC OD . 【例3】如图,平行四边形ABCD 的对角线交于O 点,CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次是 2、4、4和6。求:⑴求OCF △的面积;⑵求GCE △的面积。 O G F E D C B A ⑴根据题意可知,BCD △的面积为244616,那么BCO △和CDO 的面积都是162 8,所以OCF △的面积为844;⑵由于BCO △的面积为8,BOE △的面积为6,所以OCE △的面积为862, 根据蝴蝶定理, ::2:41:2COE COF EG FG S S ,所以::1:2GCE GCF S S EG FG ,那么1 1 2 21233 GCE CEF S S .【例4】图中的四边形土地的总面积是52公顷,两条对角线把它分成了4个小三角形,其中2个小三角形的

六年级奥数蝴蝶模型

型蝶模蝴一、蝴蝶模型与任意四边形两组相对三角形面积之积相等。在任意四边形中,两对角线将四边形分成四个三角形,由等积变形模型可知:推导: 二、蝴蝶模型与梯形SS??S?S①4123SS? ②21同上推导:①h DABC的高作,过点②过点A作三角形1h的高△BCD2hh??相等)(两平行线之间高21三、蝴蝶模型与平 行四边形S?S?S?S(一)①4321 S?SS??S②4213:①同上推导SS? S?S ②(同底等高)ACD?BCDBCD?ABC??SS?S?S?即:对角平行四边形面积乘积相等(二)4231 )内作两条分别平行于两组相对边的线段GH、EF(在平行四边形ABCD M垂直于GH于点HF、FG,过点E作EMGE推导:连接、EH、111SS???S?SSS同理可得:4EOH?OGF?OFH?32222S??S?SS由蝴蝶定理可知: SS??SS?①(一)4213 EOH?OFHOGE??OGF?四、蝴蝶模型与长方形 S?S?SS?②4132 ?S?S?SS即:对角长方形面积(二)4123 乘积相等 五、蝴蝶模型与正方形 “子母图”——两共线相邻的正方形 在上面两个图形中,每组正方形的对角线均互相平行,即a//b、c//d 重要结论:两共线相邻的正方形对角线互相平行。 例1:如下图所示,在梯形ABCD中,对角线BD,AC相交于点O,△AOD的面积是6,△AOB的面积是4,那么梯形ABCD的面积是多少? 分析:梯形ABCD是四个三角形面积的总和,现已经知道两个三角形的面积,由蝴蝶定理容易求出三角形BOC和三角形DOC的面积,进而可以求出梯形ABCD的面积。

解:由蝴蝶定理可知:6 B A O 4 C D 的面积是梯形 答:梯形ABCD的面积是25。2cm)2:如图,求阴影部分的面积。(单位例,可直接求出阴影部分的分析:由长方形中的蝴蝶定理“对角长方形面积乘积相等” 面积。12 28 cm(2)解:阴影6 答:阴影部分的面积为14平方厘米。求图中阴影部分的面积。,小正方形边长是6下图是两个正方形,3:大正方形边长是8,例(单位:厘米)分析:图中阴影部分的面积不能通过面积公式直接得出,因此要将其转化为容易算的,GEAC平行于部分。由“子母图中对角线互相平行”这一重要结论可知,连接AC,所以面积相等,因此,阴影部分的面积就等和三角形COE由梯形的蝴蝶定理可知,三角形AOG GCE的面积,即小正方形面积的一半。于三角形D A AC 解:连接G F GE ∵AC∥O ∴由梯形的蝴蝶定理可知: B E C cm(2)∴阴 平方厘米。18答:阴影部分的面积为

小学奥数几何五大模型蝴蝶模型

任意四边形、 梯形与相似模型 模型三 蝴蝶模型 (任意四边形模型) 任意四边形中的比例关系 ( “蝴蝶定理” ): ①S 1:S 2 S 4 : S 3或者 S 1 S 3 S 2 S 4 ② AO :OC S 1 S 2 : S 4 S 3 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型,一方面可以使不规则四边 形的面积关系与四边形内的三角形相联系;另一方面,也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。 例 1】 ( 小数报竞赛活动试题 ) 如图,某公园的外轮廓是四边形 ABCD ,被对角线 AC 、BD 分成四个部分, △ AOB 面积为 1 平方千米, △BOC 面积为 2 平方千米 ,△COD 的面积为 3 平方千米,公园由陆地面积是 6.92平方千米和人工湖组成,求人工湖的面积是多少平方千米? 分析】 根据蝴蝶定理求得 S △AOD 3 1 2 1.5 平方千米,公园四边形 ABCD 的面积是 1 2 3 1.5 7.5平 求:⑴三角形 BGC 的面积;⑵ AG:GC ? 方千米,所以人工湖的面积是 7.5 6.92 0.58平方千米 巩固】如图,四边形被两条对角线分成 4个三角形,其中三个三角形的面积已知, D

⑵根据蝴蝶定理, AG:GC 1 2 : 3 6 1:3. (??? ) 四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O (如图所示 ) 。如果三角形 ABD 的面积等于三角形 BCD 的 面积的 1 ,且 AO 2, DO 3,那么 CO 的长度是 DO 的长度的 ___________ 倍。 3 在本题中,四边形 ABCD 为任意四边形,对于这种”不良四边形” ,无外乎两种处理方法:⑴利用已 知条件,向已有模型靠拢,从而快速解决;⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条 件 S VABD : S VBCD 1:3 ,这可以向模型一蝴蝶定理靠拢,于是得出一种解法。又观察题目中给出的已 知条件是面 积的关系,转化为边的关系,可以得到第二种解法,但是第二种解法需要一个中介来改 造这个”不良四边形” ,于是可以作 AH 垂直 BD 于H ,CG 垂直 BD 于G ,面积比转化为高之比。 再应用结论:三角形高相同,则面积之比等于底边之比,得出结果。请老师注意比较两种解法,使 学生体会到蝴蝶定理的优势,从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。 解法一:∵ AO :OC S ABD :S BDC 1:3 , ∴OC 2 3 6 , 如图,平行四边形 ABCD 的对角线交于 O 点, △CEF 、△OEF 、△ODF 、 △BOE 的面积依次是 2、 4、4和6。求:⑴求 △OCF 的面积;⑵求 △GCE 的面积 。 ⑴根据题意可知, △BCD 的面积为 2 4 4 6 16,那么 △BCO 和 CDO 的面积都是 16 2 8, 所以 △OCF 的面积为 8 4 4; ⑵由于 △BCO 的面积为 8,△BOE 的面积为 6,所以 △OCE 的面积为 8 6 2, 根据蝴蝶定理, EG:FG S COE : S COF 2:4 1: 2 ,所以 S GCE :S GCF EG:FG 1:2 , 解析】 ∴OC :OD 6:3 2:1 . 解法二:作 AH BD 于H ,CG BD 于G . ∵ S ABD ∴AH ∴ S AOD ∴AO 1 S , S BCD , 3 BCD 1 CG , 3 1 S , S DOC , 3 1 CO , 3 ∴OC 2 3 6, ∴OC :OD 6:3 2:1 . 解析】

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