3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示

[新知初探]

1.空间向量基本定理:

如果三个向量a ,b ,c 不共面,那么对空间任一向量p ,存在有序实数组{x ,y ,z },使得p =xa +yb +zc .其中{a ,b ,c }叫做空间的一个基底,a ,b ,c 都叫做基向量.

2.空间向量的正交分解及其坐标表示 (1)单位正交基底:

三个有公共起点O 的两两垂直的单位向量e 1,e 2,e 3称为单位正交基底. (2)空间直角坐标系:

以e 1,e 2,e 3的公共起点O 为原点,分别以e 1,e 2,e 3的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系O -xyz .

(3)空间向量的坐标表示:

对于空间任意一个向量p ,一定可以把它平移,使它的起点与原点O 重合,得到向量OP

=p ,由空间向量基本定理可知,存在有序实数组{x ,y ,z },使得p =xe 1+ye 2+ze 3.把x ,y ,z 称作向量p 在单位正交基底e 1,e 2,e 3下的坐标,记作p =(x ,y ,z ),即点P 的坐标为(x ,y ,z ).

[小试身手]

1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底( )

(2)向量AP

的坐标与点P 的坐标一致( )

(3)对于三个不共面向量a 1,a 2,a 3,不存在实数组{λ1,λ2,λ3}使0=λ1a 1+λ2a 2+λ3a 3( ) 2.已知A (2,3-μ,-1+ν)关于x 轴的对称点是A ′(λ,7,-6),则λ,μ,ν的值为( ) A .λ=-2,μ=-4,ν=-5

B .λ=2,μ=-4,ν=-5

C .λ=-2,μ=10,ν=8

D .λ=2,μ=10,ν=7

3.已知向量a ,b ,c 是空间的一个基底,下列向量中可以与p =2a -b ,q =a +b 构成空间的另一个基底的是______(填序号).

①2a ;②-b ;③c ;④a +c

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示

[典例] 已知{e 1,e 2,e 3}是空间的一个基底,且OA =e 1+2e 2-e 3,OB

=-3e 1+e 2+2e 3,OC =e 1+e 2-e 3,试判断{OA ,OB ,OC

}能否作为空间的一个基底?

[活学活用]

设x =a +b ,y =b +c ,z =c +a ,且{a ,b ,c }是空间的一个基底.给出下列向量组: ①{a ,b ,x };②{x ,y ,z };③{b ,c ,z };④{x ,y ,a +b +c }. 其中可以作为空间的基底的向量组有________个.

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示

[典例] 如图,四棱锥P -OABC 的底面为一矩形,PO ⊥平面OABC ,设

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示

OA =a ,OC =b ,OP

=c ,E ,F 分别是PC 和PB 的中点,试用a ,b ,c 表

示:BF ,BE ,AE ,EF .

[活学活用]

如图,在正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中,点E 是上底面A ′B ′C ′D ′的中心,求下列各式中x ,y ,z 的值.

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示

(1)BD ' =x AD +y AB +z AA ' ; (2)AE =x AD +y AB +z AA ' .

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示

[典例] 如图所示,P A 垂直于正方形ABCD 所在的平面,M ,N 分别是AB ,PC 的中点,

并且P A =AB =1.试建立适当的空间直角坐标系,求向量MN

的坐标.

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示

[活学活用]

在直三棱柱ABO -A 1B 1O 1中,∠AOB =π

2

,AO =4,BO =2,AA 1=4,D 为A 1B 1的中点.在

如图所示的空间直角坐标系中,求DO ,A B 1

的坐标.

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示

层级一 学业水平达标

1.已知A (3,2,-3),则点A 关于y 轴的对称点的坐标是( ) A .(-3,-2,3) B .(-3,2,-3) C .(-3,2,3)

D .(-3,-2,-3)

2.设p :a ,b ,c 是三个非零向量;q :{a ,b ,c }为空间的一个基底,则p 是q 的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件

D .既不充分也不必要条件

3.在空间直角坐标系O -xyz 中,下列说法正确的是( )

A .向量AB

的坐标与点B 的坐标相同

B .向量AB

的坐标与点A 的坐标相同

C .向量AB

与向量OB 的坐标相同

D .向量AB

与向量OB -OA 的坐标相同

4.已知空间四边形OABC ,其对角线为AC ,OB ,M ,N 分别是OA ,BC 的中点,点G

是MN 的中点,则OG

等于( )

A.16OA

+13OB +13OC B.14

(OA +OB +OC ) C.13(OA +OB +OC ) D.16OB

+13OA +13

OC 5.空间四边形OABC 中,OA =a ,OB =b ,OC

=c ,点M 在OA 上,且OM =2MA ,N 为BC 中点,则MN

为( )

A.12a -23b +12c B .-23a +12b +12c

C.12a +12b -23

c

D.23a +23b -12

c 6.设{e 1,e 2,e 3}是空间向量的一个单位正交基底,a =4e 1-8e 2+3e 3,b =-2e 1-3e 2

+7e 3,则a ,b 的坐标分别为________.

7.已知空间的一个基底{a ,b ,c },m =a -b +c ,n =xa +yb +2c ,若m 与n 共线,则x =________,y =________.

8.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,点E ,F 分别是底面A 1C 1和侧面CD 1的中心,若EF

+λA D 1

=0(λ∈R),则λ=________.

9.在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,设AB =a ,AD

=b ,AA 1 =c ,E ,F 分别是

AD 1,BD 的中点.

(1)用向量a ,b ,c 表示D B 1 ,EF

(2)若D F 1

=xa +yb +zc ,求实数x ,y ,z 的值.

10.如图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别是BB 1,D 1B 1的中点,求证:EF ⊥AB 1.

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示

层级二 应试能力达标

1.已知M ,A ,B ,C 四点互不重合且无三点共线,则能使向量MA ,MB ,MC

为空间的一个基底的关系是( )

A .OM =13OA +13O

B +13O

C B .MA =MB +MC

C .OM =OA +OB +OC

D .MA =2MB -MC

2.给出下列命题:

①若{a ,b ,c }可以作为空间的一个基底,d 与c 共线,d ≠0,则{a ,b ,d }也可以作为空间的一个基底;

②已知向量a ∥b ,则a ,b 与任何向量都不能构成空间的一个基底;

③A ,B ,M ,N 是空间四点,若BA ,BM ,BN

不能构成空间的一个基底,则A ,B ,

M ,N 四点共面;

④已知{a ,b ,c }是空间的一个基底,若m =a +c ,则{a ,b ,m }也是空间的一个基底. 其中正确命题的个数是( ) A .1 B .2 C .3

D .4

3.在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,若AB =3i ,AD =2j ,AA 1 =5k ,则向量AC 1 在基

底{i ,j ,k }下的坐标是( )

A .(1,1,1) B.????13,12,15 C .(3,2,5)

D .(3,2,-5)

4.已知向量OA 和OB 在基底{a ,b ,c }下的坐标分别为(3,4,5)和(0,2,1),若OC =25

AB

则向量OC

在基底{a ,b ,c }下的坐标是( )

A.????-65

,-45,-85 B.????65,-45,-8

5 C.????-65

,-45,85 D.????65,45,85

5.若{a ,b ,c }是空间的一个基底,且存在实数x ,y ,z ,使得xa +yb +zc =0,则x ,y ,z 满足的条件是________.

6.若a =e 1+e 2,b =e 2+e 3,c =e 1+e 3,d =e 1+2e 2+3e 3,若e 1,e 2,e 3不共面,当d =αa +βb +γc 时,α+β+γ=________.

7.设A ,B ,C 及A 1,B 1,C 1分别是异面直线l 1,l 2上的三点,且M ,N ,P ,Q 分别是线段AA 1,BA 1,BB 1,CC 1的中点.求证:M ,N ,P ,Q 四点共面.

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示

8.已知空间四边形OABC 中,M 为BC 的中点,N 为AC 的中点,P 为OA 的中点,Q 为OB 的中点,若AB =OC ,求证:PM ⊥QN .

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