3．1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
[新知初探]
1．空间向量基本定理：
如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝xa ＋yb ＋zc .其中{a ，b ，c }叫做空间的一个基底，a ，b ，c 都叫做基向量．
2．空间向量的正交分解及其坐标表示 (1)单位正交基底：
三个有公共起点O 的两两垂直的单位向量e 1，e 2，e 3称为单位正交基底． (2)空间直角坐标系：
以e 1，e 2，e 3的公共起点O 为原点，分别以e 1，e 2，e 3的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系O -xyz .
(3)空间向量的坐标表示：
对于空间任意一个向量p ，一定可以把它平移，使它的起点与原点O 重合，得到向量OP
＝p ，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝xe 1＋ye 2＋ze 3.把x ，y ，z 称作向量p 在单位正交基底e 1，e 2，e 3下的坐标，记作p ＝(x ，y ，z )，即点P 的坐标为(x ，y ，z )．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底( )
(2)向量AP
的坐标与点P 的坐标一致( )
(3)对于三个不共面向量a 1，a 2，a 3，不存在实数组{λ1，λ2，λ3}使0＝λ1a 1＋λ2a 2＋λ3a 3( ) 2．已知A (2,3－μ，－1＋ν)关于x 轴的对称点是A ′(λ，7，－6)，则λ，μ，ν的值为( ) A ．λ＝－2，μ＝－4，ν＝－5
B ．λ＝2，μ＝－4，ν＝－5
C ．λ＝－2，μ＝10，ν＝8
D ．λ＝2，μ＝10，ν＝7
3．已知向量a ，b ，c 是空间的一个基底，下列向量中可以与p ＝2a －b ，q ＝a ＋b 构成空间的另一个基底的是______(填序号)．
①2a ；②－b ；③c ；④a ＋c
[典例] 已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，且OA ＝e 1＋2e 2－e 3，OB
＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC ＝e 1＋e 2－e 3，试判断{OA ，OB ，OC
}能否作为空间的一个基底？
[活学活用]
设x ＝a ＋b ，y ＝b ＋c ，z ＝c ＋a ，且{a ，b ，c }是空间的一个基底．给出下列向量组： ①{a ，b ，x }；②{x ，y ，z }；③{b ，c ，z }；④{x ，y ，a ＋b ＋c }． 其中可以作为空间的基底的向量组有________个．
[典例] 如图，四棱锥P -OABC 的底面为一矩形，PO ⊥平面OABC ，设
OA ＝a ，OC ＝b ，OP
＝c ，E ，F 分别是PC 和PB 的中点，试用a ，b ，c 表
示：BF ，BE ，AE ，EF .
[活学活用]
如图，在正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，点E 是上底面A ′B ′C ′D ′的中心，求下列各式中x ，y ，z 的值．
(1)BD ' ＝x AD ＋y AB ＋z AA ' ； (2)AE ＝x AD ＋y AB ＋z AA ' .
[典例] 如图所示，P A 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，
并且P A ＝AB ＝1.试建立适当的空间直角坐标系，求向量MN
的坐标．
[活学活用]
在直三棱柱ABO -A 1B 1O 1中，∠AOB ＝π
2
，AO ＝4，BO ＝2，AA 1＝4，D 为A 1B 1的中点．在
如图所示的空间直角坐标系中，求DO ，A B 1
的坐标．
层级一 学业水平达标
1．已知A (3,2，－3)，则点A 关于y 轴的对称点的坐标是( ) A ．(－3，－2,3) B ．(－3,2，－3) C ．(－3,2,3)
D ．(－3，－2，－3)
2．设p ：a ，b ，c 是三个非零向量；q ：{a ，b ，c }为空间的一个基底，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．在空间直角坐标系O -xyz 中，下列说法正确的是( )
A ．向量AB
的坐标与点B 的坐标相同
B ．向量AB
的坐标与点A 的坐标相同
C ．向量AB
与向量OB 的坐标相同
D ．向量AB
与向量OB －OA 的坐标相同
4．已知空间四边形OABC ，其对角线为AC ，OB ，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，点G
是MN 的中点，则OG
等于( )
A.16OA
＋13OB ＋13OC B.14
(OA ＋OB ＋OC ) C.13(OA ＋OB ＋OC ) D.16OB
＋13OA ＋13
OC 5．空间四边形OABC 中，OA ＝a ，OB ＝b ，OC
＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 中点，则MN
为( )
A.12a －23b ＋12c B ．－23a ＋12b ＋12c
C.12a ＋12b －23
c
D.23a ＋23b －12
c 6．设{e 1，e 2，e 3}是空间向量的一个单位正交基底，a ＝4e 1－8e 2＋3e 3，b ＝－2e 1－3e 2
＋7e 3，则a ，b 的坐标分别为________．
7．已知空间的一个基底{a ，b ，c }，m ＝a －b ＋c ，n ＝xa ＋yb ＋2c ，若m 与n 共线，则x ＝________，y ＝________.
8．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是底面A 1C 1和侧面CD 1的中心，若EF
＋λA D 1
＝0(λ∈R)，则λ＝________.
9．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AB ＝a ，AD
＝b ，AA 1 ＝c ，E ，F 分别是
AD 1，BD 的中点．
(1)用向量a ，b ，c 表示D B 1 ，EF
；
(2)若D F 1
＝xa ＋yb ＋zc ，求实数x ，y ，z 的值．
10．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，D 1B 1的中点，求证：EF ⊥AB 1.
层级二 应试能力达标
1．已知M ，A ，B ，C 四点互不重合且无三点共线，则能使向量MA ，MB ，MC
成
为空间的一个基底的关系是( )
A ．OM ＝13OA ＋13O
B ＋13O
C B ．MA ＝MB ＋MC
C ．OM ＝OA ＋OB ＋OC
D ．MA ＝2MB －MC
2．给出下列命题：
①若{a ，b ，c }可以作为空间的一个基底，d 与c 共线，d ≠0，则{a ，b ，d }也可以作为空间的一个基底；
②已知向量a ∥b ，则a ，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底；
③A ，B ，M ，N 是空间四点，若BA ，BM ，BN
不能构成空间的一个基底，则A ，B ，
M ，N 四点共面；
④已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，若m ＝a ＋c ，则{a ，b ，m }也是空间的一个基底． 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
3．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，若AB ＝3i ，AD ＝2j ，AA 1 ＝5k ，则向量AC 1 在基
底{i ，j ，k }下的坐标是( )
A ．(1,1,1) B.????13，12，15 C ．(3,2,5)
D ．(3,2，－5)
4．已知向量OA 和OB 在基底{a ，b ，c }下的坐标分别为(3,4,5)和(0,2,1)，若OC ＝25
AB
，
则向量OC
在基底{a ，b ，c }下的坐标是( )
A.????－65
，－45，－85 B.????65，－45，－8
5 C.????－65
，－45，85 D.????65，45，85
5．若{a ，b ，c }是空间的一个基底，且存在实数x ，y ，z ，使得xa ＋yb ＋zc ＝0，则x ，y ，z 满足的条件是________．
6．若a ＝e 1＋e 2，b ＝e 2＋e 3，c ＝e 1＋e 3，d ＝e 1＋2e 2＋3e 3，若e 1，e 2，e 3不共面，当d ＝αa ＋βb ＋γc 时，α＋β＋γ＝________.
7．设A ，B ，C 及A 1，B 1，C 1分别是异面直线l 1，l 2上的三点，且M ，N ，P ，Q 分别是线段AA 1，BA 1，BB 1，CC 1的中点．求证：M ，N ，P ，Q 四点共面．
8．已知空间四边形OABC 中，M 为BC 的中点，N 为AC 的中点，P 为OA 的中点，Q 为OB 的中点，若AB ＝OC ，求证：PM ⊥QN .