用Matlab仿真探究摆角对单摆周期影响

用Matlab 仿真探究摆角对单摆周期影响

摘要：本文通过Matlab 仿真验证小角摆动是简谐振动，并利用数值法求解微分方程，画出不同摆角下单摆的振动图像，定性分析，得出大角摆动时单摆周期随角度的变化情况。

关键字：单摆周期 摆角大小 0.引言

单摆是生活中常见的一种简单物理模型，物理学中所讨论的单摆是一种理想化的模型,也称数学摆。它由一根不可伸缩的细线(质量不计),一端固定,另一端悬挂一质量为m 的小球(视为质点)，且摆角小于5度的振动系统。对于这种理想单摆的周期，不随摆角大小的改变而改变。但当单摆摆角大于5度时，理想单摆的周期公式不再适用，本文通过建立物理模型，在忽略空气阻力的前提下，用Matlab 进行大角摆动的模拟，画出震动图像，研究大角摆动时摆角对周期的影响。

1.建立物理模型

根据单摆的理想条件，摆线不可伸长且质量忽略不计，空气阻力忽略不计.设摆线长度为l,摆球质量为m ，重力加速度为g,摆球离开平衡位置的角度为θ，对摆球做受力分析如有图所示。由牛顿第二定律，有

2

2d dt θ

=-

θωθsin sin 2-=l

g

（1-1

其中

l

g =

ω 假定位移很小，θθ=sin ，即小角摆动。则式1-10l

g

d 2

2

=+

θθ

dt （1-2） 大角摆动时，仍为1-1式，该式为非线性方程，为方便起见，将θ用y 来表示，该式又可以写为下列一阶微分方程组

21y dt dy = ；()12y sin l

g

-dt dy = （1-3） 2.用Matlab 方程求解 2.1小角摆动

用Matlab 求解式1-1，其结果为

y =theta0*cos(1/l^(1/2)*g^(1/2)*t) （2-1）

即

???

?

??=t t g cos 0θθ （2-2）

由式2-1可以看出，当小角摆动时为简谐振动。其周期为：

T 0=

g

l

22π

ω

π

=? （2-3）

取摆长l=1，重力加速度g=9.8，摆角οθ5=，利用Matlab 求解式1-1，取步长为0.1的点作图，与应用式1-2求出解析解并绘图，将两图象放在一起比较如下图1所示

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

图1 小角摆动

图1中曲线为求解式1-2所得图像，而离散点为求解式1-1所得，观察图像可得两方程的解几乎吻合，可以说明当θ较小时（οθ5≤ ），两方程的解几乎相等，故周期公式此时较为准确，即单摆周期不随摆角变化而变化。

上述结论仅仅适用于摆角 很小时（οθ5≤），当摆角很大时， θθ=sin 不再成立，式1-1与式1-2的解不再相近，故周期公式（2-3）不再成立。下面我们继续讨论摆角比较大时的单摆运动规律。

2.2大角摆动

用Matlab 求解式1-1，前面已经提到为方便起见用式1-3表示。利用数值法求解微分方程，用Matlab 分别绘制12πθ=，6πθ=，3

πθ=时的振动图像，如下图2所示

12345678910

-1.5-1

-0.5

0.5

1

1.5

图2 大角摆动

观察图2中不同摆角的振动图像，可以看出摆角12

π

θ=时，周期最小，

摆角3

πθ=时，周期最大。从而得出大角摆动时，单摆周期并不像小角摆动时

一样，不随摆角变化，而是大角摆动周期随着摆角的增大而增大。

结语：对于类似单摆的运动问题，我们需要求解非线性微分方程，然而对于非线性微分方程又很难求出解析解，所以可以应用Matlab求出数值解，再加以分析，从而得出单摆的运动规律。本文通过计算、作图验证了小角摆动是时单摆的振动周期公式是正确的，得出小角摆动周期不随摆角的改变而改变；对于大角摆动，本文则通过数值解并绘图，定性得到大角摆动时，单摆周期随着摆角的增大而增大。

参考文献：

[1]钞曦旭，MATLAB及其在大学物理课程中的应用[M]，西安：陕西师范大学出版社，2006

[2]陈怀琛，MATLAB及其在理工课程中的应用指南（第三版）[M]，西安：陕西电子科技大学出版社，2007

附录

clear,clc

y=dsolve('D2y+g/l*y=0','y(0)=theta0,Dy(0)=0','t') l=1;g=9.8;theta0=5/180*pi;t=(0:0.01:2)*pi;

y=eval(y);

plot(t,y,t,0)

clear,clc

y=dsolve('D2y+g/l*y=0','y(0)=theta0,Dy(0)=0','t') l=1;g=9.8;theta0=5/180*pi;t=(0:0.1:10);

y=eval(y);

[t,u1]=ode45('fangcheng',[0:0.1:10],[5/180*pi,0],[]);

plot(t,u1(:,1),'r*',t,y,'b-',t,0,'k-');

hold on

l=1;g=9.8;

[t1,u1]=ode45('fangcheng',[0:0.01:10],[pi/12,0],[]);

[t2,u2]=ode45('fangcheng',[0:0.01:10],[pi/6,0],[]);

[t3,u3]=ode45('fangcheng',[0:0.01:10],[pi/3,0],[]);

plot(t1,u1(:,1),'r-',t2,u2(:,1),'b:',t3,u3(:,1),'k--'); hold on

function dydt=fangcheng(t,y,flag);

dydt=[y(2);-9.8*sin(y(1))]

大摆角下单摆周期变化的实验分析

大摆角下单摆周期变化的实验分析 摘要：详细讨论了单摆运动情况，指出柔性摆在大摆角的情况下运动情况，并与小摆角的情况做了对比，从而对单摆的运动规律有了一个更加完美的认识。 关键词：单摆，大摆角，单摆周期 单摆的运动方程 单摆就是挂在长为λ的一根质量可以忽略的杆和弦线下端的一个质点m，它的上端在支点上可以自由的转动，整个摆在竖直平面内作运动，如图1所示。（忽略空气阻力与摩擦力）设任意时刻t，弦与竖直线成θ角，质点对它的平衡位置的 弧位移S=λθ，所受合力的切向分量为其中负号表示这个分力 的指向恒与弧位移的指向相反。根据牛顿第二定律，可以建立单摆运动的微分方程是 （1） 在θ很小的情况下，（如θ不大于5°） sinθ近似等于θ（以弧度为单位），于是方程（1）可化为 这是简谐振动方程。对方程（2）求解，得单摆的振动周期为 以上结果是一般教科书中对单摆的解。但是，必须注意到只有在振幅很小的情况下，单摆的运动才能近似看作是简谐振动，一般情况下单摆远远比上述结果复杂。单摆的一般运动规律 在方程（1）中，令v=dθ/dt,于是(1)式化为等价的方程组是： dθ/dt=v, dv/dt=-g/λsinθ, 将方程组中第二式乘以vdt，第一式乘以sinθdt，然后相加，得vdv+g/λ·sin θdθ=0,即 由此得出的一个首次积分是（其中C是积

分常数，称C为“约化的总能量”，C=E/mλ，E为总能量，m是质量，λ是摆长），于是 对于柔线摆（即弦线构成的摆），由于弦线只产生张力，二不产生支持力。设平衡位置（θ=0）为时能零点这时摆绕轴转动的最小能量为E=5/2·mgλ，即方程中的C≥5g/2λ时，角度θ在全部运动时间内是单调增加或单调减小的，摆将绕轴转动。如果C<5g/2λ，将不能达到最高点，由于其动能减小（而弦线又不能提供支持力），已经不能维持圆周运动了，摆会“落下来”。当g/λ

单摆周期公式的推导与应用

单摆周期公式的推导与特殊应用 新课程考试大纲与2003年理科综合考试说明（物理部分）相比，有了很大的调整。知识点由原来的92个增加到了131个，并删去了许多限制性的内容。如在振动和波这一章，删去了“不要求推导单摆的周期公式”这一限制性的内容。这就说明，新课程考试大纲要求学生会推导单摆的周期公式。而查看《全日制普通高级中学教科书（试验修订本）物理第一册（必修）》，在关于单摆周期公式的推导中也仅仅讲到单摆受到的回复力F 与其位移x 大小成正比，方向与位移x 的方向相反为止。最后还是通过物理学家的研究才得出了单摆的周期公式。这样一来，前面的推导似乎只是为了想证明单摆的运动是简谐运动。 一．简谐运动物体的运动学特征 作简谐运动的物体要受到回复力的作用，而且这个回复力F 与物体相对于平衡位置的位移x 成正比，方向与位移x 相反，用公式表示可以写成kx F -=，其中k 是比例系数。对于质量为m 的小球，假设t 时刻（位移是x ）的加速度为a ，根据牛顿第二运动定律有： kx ma F -==，即x m k a - = 因此小球的加速度a 与它相对平衡位置的位移x 成正比，方向与位移x 相反。因为x （或F ）是变 量，所以a 也是变量，小球作变加速运动。把加速度a 写成22dt x d ，并把常数m k 写成2 ω得到 x dt x d 2 2 2ω-=。对此微分方程式，利用高等数学方法，可求得其解为)sin(?ω+=t A x 。这说明小球的位移x 是按正弦曲线的规律随着时间作周期性变化的，其变化的角速度为T m k π ω2= = ，从而得到作简谐运动物体的周期为k m T π 2=。 二．单摆周期公式的推导 单摆是一种理想化的模型，实际的摆只要悬挂小球的摆线不会伸缩，悬线的长度又比球的直径大很多，都可以认为是一个单摆。 当摆球静止在O 点时，摆球受到的重力G 和摆线的拉力T 平衡，如图1所示，这个O 点就是单摆的平衡位置。让摆球偏离平衡位置，此时，摆球受到的重力G 和摆线的拉力T 就不再平衡。在这两个力的作用下，摆球将在平衡位置O 附近来回往复运动。当摆球运动到任一点P 时，重力G 沿着圆弧 切线方向的分力θsin 1mg G =提供给摆球作为来回振动的回复力θsin 1mg G F ==，当偏角θ很 小﹝如θ＜0 10﹞时，l x ≈ ≈θθsin ，所以单摆受到的回复力x l mg F - =，式中的l 为摆长，x 是摆球偏离平衡位置的位移，负号表示回复力F 与位移x 的方向相反，由于m 、g 、L 都是确定的常数， 所以l mg 可以用常数k 来表示，于是上式可写成kx F -=。因此，在偏角θ很小时，单摆受到的回 复力与位移成正比，方向与位移方向相反，单摆作的是简谐运动。把l mg k =代入到简谐运动物体 B G G 图 1

高中物理实验探究单摆的摆长与周期的关系学案

实验十三 探究单摆的摆长与周期的关系 考纲解读1.知道把单摆的运动看做简谐运动的条件.2.会探究与单摆的周期有关的因素.3.会用单摆测定重力加速度． 基本实验要求 1．实验原理 当偏角很小时，单摆做简谐运动，其运动周期为T ＝2π l g ，它与偏角的大小及摆球的质量无关，由此得到g ＝4π2 l T 2.因此，只要测出摆长l 和振动周期T ，就可以求出当地的重力加速度g 的值． 2．实验器材 带有铁夹的铁架台、中心有小孔的金属小球，不易伸长的细线(约1米)、秒表、毫米刻度尺和游标卡尺． 3．实验步骤 (1)让细线的一端穿过金属小球的小孔，然后打一个比小孔大一些的线结，做成单摆． (2)把细线的上端用铁夹固定在铁架台上，把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂，在单摆平衡位置处作上标记，如实验原理图所示． (3)用毫米刻度尺量出摆线长度l ′，用游标卡尺测出摆球的直径，即得出金属小球半径r ，计算出摆长l ＝l ′＋r. (4)把单摆从平衡位置处拉开一个很小的角度(不超过5°)，然后放开金属小球，让金属小球摆动，待摆动平稳后测出单摆完成30～50次全振动所用的时间t ，计算出金属小球完成一次全振动所用时间，这个时间就是单摆的振动周期，即T ＝t N (N 为全振动的次数)，反复测3次，再算出周期T ＝T 1＋T 2＋T 33. (5)根据单摆周期公式T ＝2π l g 计算当地的重力加速度g ＝4π2 l T 2. (6)改变摆长，重做几次实验，计算出每次实验的重力加速度值，求出它们的平均值，该平均值即为当地的重力加速度值． (7)将测得的重力加速度值与当地的重力加速度值相比较，分析产生误差的可能原因． 规律方法总结 1．注意事项 (1)构成单摆的条件：细线的质量要小、弹性要小，选用体积小、密度大的小球，摆角不超过5°.

单摆受力与摆角关系的研究

一、实验目的 1．研究不同起始摆角单摆的受力情况 2．研究大角度下阻尼对单摆摆动周期的影响 二、实验原理 1，绳的张力 如图１，从小球受力分析中可知, 小球受两个力的作用:重力mg 和绳的拉力T。设单摆初始释放角度为θ０，摆动过程中某一角度为θ．根据牛顿第二定律，可知: （１） 由机械能守恒关系得： （２） 式中ｈ０为初始摆角θ０时摆球离最 低点高度，ｈ为摆角θ处的高度，又: 图（一）ｈ＝Ｌ（１－ｃｏｓθ） ｈ０＝Ｌ（１－ｃｏｓθ０） 代入式（２）可得: （3） 联立式（１）可得 Ｔ＝ｍｇｃｏｓθ＋２ｍｇ（ｃｏｓθ－ｃｏｓθ０） ＝ｍｇ（３ｃｏｓθ－２ｃｏｓθ０）（4）

当θ＝θ０，即单摆位于最高点时，由式（4）知 Ｔ０最小＝ｍｇｃｏｓθ０，此时绳中张力最小。 当θ＝０，即单摆位于最低点时，由式（4）知 Ｔ０最大＝ｍｇ（３－２ｃｏｓθ０），此时绳中张力最大。 单摆绳中张力与绳子长度Ｌ无关，无论摆球的初始角度如何， 张力表达式都相同。ma= - mg sinθ 即, 2，大角度下阻尼对单摆张力的影响 在大角度情况下摆动周期做，会引起了多次摆动后阻尼累积带来的影响。在多次摆动中，可以把第一次摆动近似为无阻尼摆动。此后单摆的摆动角度会逐渐减小，摆动情况会接近越来越接近小角度。由于数学推导多次摆动后的单摆所受的张力较难。可通过拉力传感器直接测量、观察。 三、实验装置 1，铁架台，绳子，摆球，力传感器

四、实验步骤 1，按实验装置图连接实验装置，调节铜管口方向，和拉力传感器的位置，使静止时单摆线成一直线。 2，测量用螺旋测微计小球直径，用米尺测量摆长，用力传感器测量小球重力。 3，打开力传感器，把摆球拉高到一定角度，静止释放小球，记录力传感器受到的拉力。比较测量值与理论值的误差。画出 θ０—T最高图及θ０—T最低图。 4，把摆球拉高到不同的角度，重复步骤2.比较不同角度下落的摆球对力传感器的拉力大小。观察多次摆动后单摆受力的改变 五、数据处理 1，把第一次摆动当作是无阻尼摆动，测量不同起始摆角条件下第一

《实验：探究单摆周期与摆长的关系》参考教案

实验：探究单摆周期与摆长的关系 一、教学目标 1、知识与技能： （1）探究摆长对单摆周期的影响及其定量关系 （2）理解单摆周期与摆长的定量关系 （3）学会借助计算机处理实验数据 2、过程和方法： 体验用计算机辅助系统进行科学探究的过程，学会科学探究的基本思想和基本方法 3、情感、态度和价值观：科学研究的浓厚兴趣，培养科学探究能力，培养团队合作精神 二、教学重点与难点 重点：实验探究单摆周期与摆长的定量关系 难点：精确测量摆长 三、教学结构 四、教学过程 （一）情景导入，提出问题 复习单摆理想模型，分析描述单摆作简谐振动的条件。 （二）观察实验，做出猜测 1.两摆的振幅不同 2.两摆的质量不同 3.两摆的摆长不同 （三）设计方案与讨论 1：利用米尺和游标卡尺分别测量出细线长度和小球的半径，算出摆长。 2；让单摆做简谐运动，用秒表测出振动周期。（课件出示注意事项） 注意事项 1.为减小误差，测量时间时从摆球经过平衡位置计时，此处摆球速度最大，计时误差相对较小。 2.为提高测量准确度，采取叠加测量，即测量30个周期时间，再除以次数，也

可减小测量误差。 （四）学生实验，教师辅导 每个小组改变摆长测量10组摆长和周期的数据。（直接记录到电脑的Excel 表格中） 学生进行实验，老师辅导，约10分钟 （五）实验总结，数据分析 1、原始数据定性分析大致规律 学生观察采集到的原始数据，根据数据定性分析。 学生观察采集的数据，可以从数据中看到：随着摆长逐渐减小，单摆的周期也在逐渐减小。 2、作图并拟合曲线分析定量关系 从数据的变化我们已经可以看出，摆长的确是影响单摆周期的因素之一，而且他们的大致关系是摆长越小周期也越小。excell 中，提供了对表格数据的绘图功能，利用这个功能，可以用计算机快捷地把原始数据绘制成图象。 学生活动:在计算机上画出图象，用各种函数进行拟合一次函数、二次函数、三次函数、平方根函数、三次方根函数等，观察哪条函数图线拟合得最好。 学生观察结果：平方根函数拟合得最好。 3、转化参量提高定量分析精度 师：曲线的拟合程度高低看起来还不是非常直观，最好能把图线转化成直线，这样更能说明问题。可以把周期的数据平方，当然也可以选择把摆长的数据开平方根，都可以更加精确地证明我们的猜想。而且利用软件提供的功能，可以非常快捷地完成这个过程。 学生活动，分两大组分别用两种方法处理数据，重新绘制图线。 4、找到规律总结思想方法 学生分析：从重新绘制的拟合图线中可以看出，将周期平方或者将摆长开平方根以后得到的拟合图线与正比例函数拟合得非常好，从而表示出了周期与摆长的定量关系，那就是L T ∝2，或L T ∝。 （六）讨论摆长与其他因素的关系 1、设计实验讨论细节

单摆周期公式及影响单摆周期的因素研究

单摆周期公式及影响单摆周期的因素研究 摘要：结合理论知识，基础物理实验，构建线性数学模型。对单摆运动进行分析。其中，理论部分主要依据高等数学及数学物理方法的知识，对单摆运动周期公式进行论证；实验部分主要通过改变单摆摆线长度进行实验；观察、分析单摆运动规律。从而验证单摆周期公式。并对影响单摆周期的因素展开研究。最后总结出影响单摆周期的因素。 关键词：数学模型；单摆运动；周期公式 单摆运动问题是一个古老的问题，无论是中学物理还是大学物理，我们都在学习研究单摆。作为一个重要的理想物理模型，单摆的运动周期规律和实验研究在生产生活中意义重大。单摆问题是物理学中经典问题。从阅读物理学史并可知道，早在1583 年，十九岁的伽利略（1564—1642）在比萨教堂祈祷时注意到因被风吹而摆动的大灯，他利用自己的脉搏来测定大灯的摆动周期，发现了摆的等时性。但现在这个故事的真实性受到怀疑,因为比萨大教堂所保留的许多相关历史文献都表明该吊灯是在伽利略二十三岁那年才首次安装的。专家指出，伽利略是于1602 年注意到单摆运动的等时性，不过伽利略误认为在大摆动条件下等时性也成立，他说：“物体从直立圆环上任一点落到最低位置的时间相同。”随后吉多彼得做实验发现这个结论与实验不符，伽利略解释说可能是由于摩擦力。伽利略从实验中得出单摆周期与摆长的平方根成正比。他还指出周期与摆球质量无关。他说：“因此我取两个球，一个是铅的而另一个是软木的，前者比后者重100 多倍，用两根等长细线把它们悬挂起来、把每一个球从铅直位置拉到旁边，我在同一时刻放开它们，它们就沿着以这些等长线为半径的圆周下落，穿过铅垂位置，并且沿同一路径返回。”最早系统地研究单摆的是惠根斯（ChristiaanH uygens）。由于当时实验技术条件的落后，重力加速度在惠根斯之前是很难精确测出来的，所以惠更斯不可能从实验中总结出或猜出单摆周期公式的系数π2。事实上，反过来重力加速度是1659 年惠更斯根据单摆周期公式首次精确测出来的。他在巴黎用一个周惠更斯期为2s的单摆(即秒摆)，测出摆长为 3.0565英尺，从而计算出2 /2.9s g=。惠更斯于1657 年取得了关于摆钟的专利权。惠更斯最伟大的著作《摆式时钟或用于时钟上的摆的运动的几何证明》于1673 年在巴黎问世。这本书共分5部分，第一与或第五部分讨论时钟，第二部分讨论质点在重力作用下的自由落体运动以及沿光滑平面或曲面所作的约束运动，并证明了在大摆动下约束在旋轮线上的物体等时降落的性质，第三部分建立渐屈线理论，第四部分解决了复摆问题。这是人类第一次系统地研究约束运动的论著。1659 年，在对单摆的研究中，他导出了摆动周期和沿着摆的长从静止开始的自由落体时间之间

实验：探究单摆的摆长和周期的关系 (2)

实验十四 探究单摆的摆长与周期的关系 1.实验原理 当偏角很小时，单摆做简谐运动，其运动周期为T ＝2π l g ，它与偏角的大小及摆球的质量无关，由此得到g ＝4π2l T 2.因此，只要测出摆长l 和振动周期T ，就可以求出当地的重力加速度 g 的值. 2.实验器材 带有铁夹的铁架台、中心有小孔的金属小球、不易伸长的细线(约1 m)、秒表、毫米刻度尺和游标卡尺. 3.实验步骤 (1)让细线的一端穿过金属小球的小孔，然后打一个比小孔大一些的线结，做成单摆. (2)把细线的上端用铁夹固定在铁架台上，把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂，在单摆平衡位置处做上标记，如图1所示. 图1 (3)用毫米刻度尺量出摆线长度l ′，用游标卡尺测出摆球的直径，即得出金属小球半径r ，计算出摆长l ＝l ′＋r . (4)把单摆从平衡位置处拉开一个很小的角度(不超过5°)，然后放开金属小球，让金属小球摆动，待摆动平稳后测出单摆完成30～50次全振动所用的时间t ，计算出金属小球完成一次全振动所用时间，这个时间就是单摆的振动周期，即T ＝t N (N 为全振动的次数)，反复测3次， 再算出周期的平均值T ＝T 1＋T 2＋T 3 3 .

(5)根据单摆周期公式T ＝2π l g ，计算当地的重力加速度g ＝4π2l T 2. (6)改变摆长，重做几次实验，计算出每次实验的重力加速度值，求出它们的平均值，该平均值即为当地的重力加速度值. (7)将测得的重力加速度值与当地的重力加速度值相比较，分析产生误差的可能原因. 1.注意事项 (1)构成单摆的条件：细线的质量要小、弹性要小，选用体积小、密度大的小球，摆角不超过5°. (2)要使摆球在同一竖直面内摆动，不能形成圆锥摆，方法是将摆球拉到一定位置后由静止释放. (3)测周期的方法：①要从摆球过平衡位置时开始计时.因为此处速度大、计时误差小，而最高点速度小、计时误差大. ②要测多次全振动的时间来计算周期.如在摆球过平衡位置时开始计时，且在数“零”的同时按下秒表，以后每当摆球从同一方向通过平衡位置时计数1次. (4)本实验可以采用图象法来处理数据.即用纵轴表示摆长l ，用横轴表示T 2，将实验所得数据在坐标平面上标出，应该得到一条倾斜直线，直线的斜率k ＝g 4π2.这是在众多的实验中经常采 用的科学处理数据的重要方法. 2.数据处理 处理数据有两种方法： (1)公式法：测出30次或50次全振动的时间t ，利用T ＝t N 求出周期；不改变摆长，反复测量 三次，算出三次测得的周期的平均值T ，然后利用公式g ＝4π2l T 2求重力加速度. (2)图象法：由单摆周期公式不难推出：l ＝g 4π2T 2，因此，分别测出一系列摆长l 对应的周期T ， 作l －T 2的图象，图象应是一条通过原点的直线，如图2所示，求出图线的斜率k ＝Δl ΔT 2，即 可利用g ＝4π2k 求重力加速度. 图2

经典课件：2020年高考物理总复习课时作业五十三实验十一单摆的周期与摆长的关系

课时作业五十三实验十一：单摆的周期与摆长的关系 受迫振动和共振 (限时：45分钟) (班级________ 姓名________) 1．关于单摆摆球在运动过程中的受力，下列结论正确的是 ( ) A．摆球受重力、摆线的张力、回复力、向心力作用 B．摆球的回复力最大时，向心力为零；回复力为零时，向心力最大 C．摆球的回复力最大时，摆线中的张力大小比摆球的重力大 D．摆球的向心力最大时，摆球的加速度方向沿摆球的运动方向 2．某同学做“用单摆测定重力加速度”的实验时，测得的重力加速度数值明显大于当地的重力加速度的实际值．造成这一情况的可能原因是( ) A．测量摆长时，把悬挂状态的摆线长当成了摆长 B．测量周期时，当摆球通过平衡位置时启动秒表，记为第0次，此后摆球第30次通 过平衡位置时制动秒表，读出经历的时间为t，并由计算式T＝t 30 求得周期 C．开始摆动时振幅过小 D．所用摆球的质量过大 3．(多选)在“用单摆测定重力加速度”的实验中，由于摆球形状不规则，无法准确测量摆长l，但摆线的长度l′可以准确测量．现使用同一摆球，多次改变摆线长度l′并测得每一次相应的摆动周期T.对于数据的处理方法，下列说法中正确的是( ) A．l′与T2不是直线关系 B．摆长l可以利用l′-T2图线求出 C. l′与T2是直线关系，在理论上，l′-T2直线的斜率与 l-T2直线的斜率相同 D．l′与T2是直线关系，在理论上，l′-T2直线的斜率与 l-T2直线的斜率不同 4．在飞机的发展史中有一个阶段，飞机上天后不久，飞机的机翼很快就抖动起来，而且越抖越厉害，后来人们经过了艰苦地探索，利用在飞机机翼前缘处装置一个配重杆的方法解决了这一问题，在飞机机翼前装置配重杆的主要目的是 ( ) A．加大飞机的惯性 B．使机体更加平衡 C．使机翼更加牢固 D．改变机翼的固有频率 5．(多选)一个单摆做受迫振动，其共振曲线(振幅A与驱动力的频率f的关系)如图所示，则( )

单摆周期 (2)

单摆周期实验教学设计 单摆是高中物理教学中的一个重要实验,它揭示了一个重要规律──单摆的等时性原理,即在摆角很小(小于10°),忽略空气阻力对摆球运动影响的情况下,单摆的振动周期跟振幅(A)、摆球的质量(m)无关,只与摆长(l)及摆球所处位置的重力加速度(g)有关。单摆的周期公式为:。 课本上安排了改变单摆的摆长对单摆周期影响的实验,取摆长不同的单摆,让学生观察、感受单摆振动快慢的变化,并分别测出它们的周期。实验表明:摆长变长,周期变大;摆长变短,周期变小。 至于加速度g的变化对单摆周期的影响,课本上未做这方面的实验安排。为了让学生更形象直观地感受加速度g对单摆周期的影响,进一步加深对单摆周期公式的理解,我们对单摆实验进行了研究和实践。 单摆在振动过程中,摆球无论运动到什么位置,始终受到竖直向下的重力(G)的作用(地球吸引结果)。而周期公式中的加速度g就是摆球在所在位置受到的重力G产生的。我们知道,力是产生加速度改变物体运动状态的,那么只要想办法改变单摆在振动过程中竖直方向上的受力情况,就相当于改变了摆球所在位置的加速度g。为此,我们设计了如下两个实验。 实验1 在演示用的圆形电磁铁(教学用电磁铁起重机模型)正上方悬挂1个单摆(摆长约为1m,摆球为小铁球),静止时,摆球与电磁铁相距1cm,图1a所示。 (1)拉开摆球使其偏离平衡位置很小的角度(小于10°)释放,让摆球在空气中自由振动(忽略空气阻力,只在重力、拉力作用下),观察单摆振动的快慢,并测出周期。 (2)在单摆自由振动过程中,接通电磁铁电源,观察单摆振动快慢的变化(忽略空气阻力,在重力、拉力、磁力作用下),并测出周期。 由(1)到(2)的过程中,摆长保持不变,我们看到单摆在通电后的电磁铁上方振动比在空气中自由振动明显变快(周期变小)。这是由于摆球受到了电磁铁强磁场的作用(吸引),改变了摆

关于单摆的周期

关于单摆的周期 (1)非线性摆的振动周期 一根不可伸长、不计质量的绳长为l，一端固定于O点，另一端系质量为m的小球，就可组成一个摆，如图9－27所示，竖直线OP为摆以O点为轴摆动的平衡位置． 为了研究摆动的一般规律，把摆看作是个绕O点转动的刚体，摆对O轴的转动惯量I=ml2．当角位移为θ时，作用于小球的重力对O点的力矩M=－mglsinθ．(其中的负号表示力矩的方向与角位移θ的方向相反．)根据定轴转动的定律 Iβ=M， 有 整理后可得 这是一个非线性微分方程，与简谐运动的微分方程 不同． 因此，一般情况下的摆，角位移对时间的变化规律不是余弦式，所作的摆动，不是简谐运动，而是一种非线性振动．这种摆的周期表达式为 可见，一般情况下的摆的周期随摆幅(由θ0表示)的变化而变化，不是等时摆． (2)单摆和它的周期 当摆动过程中，摆线对平衡位置的角位移θ的绝对值都很小，以致

θ=θ0cos(ωt＋a)， 其中θ0为最大摆角，为角振幅，周期 通常所说的单摆是指一般的非线性摆在摆角振幅很小时的情形．这是一种等时摆，周期与振幅的大小无关，是一种理想模型． 在实际应用中，在摆角足够小的条件下，就可以使用单摆的周期公式进行计算． (3)怎样认识“摆角足够小”的条件 由摆的周期T′的公式以及单摆的周期T的公式的比较中，可知误差 θ0为最大摆角．为了有一个定量的概念，在θ0为不同角度时周期的误差如下表所示． 从以上数字可以看到：当最大摆角在15°以内时，误差在0.5％以内；当最大摆角在5°以内时，误差在0.05％以内． 实验中还会有测量误差，如摆长测量误差，计时误差，等等．由于中学物理实验对精度要求不很高，同时，系统误差的精度与测量误差的精度应该协调．因此可以认为，θ0＜15°时，可以满足中学物理实验对误差的要求．做演示实验时，为了增加可见度，单摆的摆角不必过于拘泥小于5°这个角度．

用Matlab仿真探究摆角对单摆周期影响

用Matlab 仿真探究摆角对单摆周期影响 摘要：本文通过Matlab 仿真验证小角摆动是简谐振动，并利用数值法求解微分方程，画出不同摆角下单摆的振动图像，定性分析，得出大角摆动时单摆周期随角度的变化情况。 关键字：单摆周期 摆角大小 0.引言 单摆是生活中常见的一种简单物理模型，物理学中所讨论的单摆是一种理想化的模型,也称数学摆。它由一根不可伸缩的细线(质量不计),一端固定,另一端悬挂一质量为m 的小球(视为质点)，且摆角小于5度的振动系统。对于这种理想单摆的周期，不随摆角大小的改变而改变。但当单摆摆角大于5度时，理想单摆的周期公式不再适用，本文通过建立物理模型，在忽略空气阻力的前提下，用Matlab 进行大角摆动的模拟，画出震动图像，研究大角摆动时摆角对周期的影响。 1.建立物理模型 根据单摆的理想条件，摆线不可伸长且质量忽略不计，空气阻力忽略不计.设摆线长度为l,摆球质量为m ，重力加速度为g,摆球离开平衡位置的角度为θ，对摆球做受力分析如有图所示。由牛顿第二定律，有 2 2d dt θ =- θωθsin sin 2-=l g （1-1 其中 l g = ω 假定位移很小，θθ=sin ，即小角摆动。则式1-10l g d 2 2 =+ θθ dt （1-2） 大角摆动时，仍为1-1式，该式为非线性方程，为方便起见，将θ用y 来表示，该式又可以写为下列一阶微分方程组

21y dt dy = ；()12y sin l g -dt dy = （1-3） 2.用Matlab 方程求解 2.1小角摆动 用Matlab 求解式1-1，其结果为 y =theta0*cos(1/l^(1/2)*g^(1/2)*t) （2-1） 即 ??? ? ??=t t g cos 0θθ （2-2） 由式2-1可以看出，当小角摆动时为简谐振动。其周期为： T 0= g l 22π ω π =? （2-3） 取摆长l=1，重力加速度g=9.8，摆角οθ5=，利用Matlab 求解式1-1，取步长为0.1的点作图，与应用式1-2求出解析解并绘图，将两图象放在一起比较如下图1所示 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

高考物理一轮复习 专题55 探究单摆的周期与摆长的关系 用单摆测定重力加速度(测)(含解析)1

专题55 探究单摆的周期与摆长的关系 用单摆测定重力加速度（测） 【满分：110分 时间：90分钟】 实验题（共10小题，每题11分） 1．某同学在“用单摆测重力加速度”的实验中进行了如下的操作；（1）某同学用秒表测得单摆完成40次全振动的时间如图所示，则该单摆的周期T =______s （结果保留三位有效数字）、 （2）测量出多组周期T 、摆长L 数值后，画出T 2 ﹣L 图象，此图线斜率的物理意义是 A ．g B ．g 1C 、g 24π D ．24πg （3）该小组的另一同学没有使用游标卡尺也测出了重力加速度、他采用的方法是：先测出一摆线较长的单摆的振动周期T 1，然后把摆线缩短适当的长度△L ，再测出其振动周期T 2、用该同学测出的物理量表达重力加速度为g=_____________ 【答案】（1）1、89 （2）C ；（3）222124T T L -??π （3）先测出一摆线较长的单摆的振动周期T 1，则g L T π21=，然后把摆线缩短适当的长度△L ，再测出其振动周期T 2，则g L L T ?-=π 22 考点：用单摆测定重力加速度。 【名师点睛】常用仪器的读数要掌握，这是物理实验的基础、掌握单摆的周期公式，从而求解加速度，摆长、周期等物理量之间的关系。

2．甲乙两个学习小组分别利用单摆测量重力加速度。 （1）甲组同学采用图甲所示的实验装置。 ①为比较准确地测量出当地重力加速度的数值，除秒表外，在下列器材中，还应该选用；（用器材前的字母表示） a ．长度接近1m 的细绳 b ．长度为30cm 左右的细绳 c ．直径为1．8cm 的塑料球 d ．直径为1．8cm 的铁球 e ．最小刻度为1cm 的米尺 f ．最小刻度为1mm 的米尺 ②该组同学先测出悬点到小球球心的距离L ，然后用秒表测出单摆完成n 次全振动所用的时间t 。请写出重力加速度的表达式g=。（用所测物理量表示） ③在测量摆长后，测量周期时，摆球振动过程中悬点O 处摆线的固定出现松动，摆长略微变长，这将会导致所测重力加速度的数值。（选填“偏大”、“偏小”或“不变”） （2）乙组同学在图甲所示装置的基础上再增加一个速度传感器，如图乙所示。将摆球拉开一小角度使其做简谐运动，速度传感器记录了摆球振动过程中速度随时间变化的关系，如图丙所示的v ―t 图线。 ①由图丙可知，该单摆的周期T =s ； ②更换摆线长度后，多次测量，根据实验数据，利用计算机作出T 2―L （周期平方―摆长）图线，并根据图线拟合得到方程2 4.040.035L T =+。由此可以得出当地的重力加速度g ＝m/s 2。（取π2 ＝9．86，结果保留3位有效数字） 【答案】（1）① adf ；②2224n L t π；③偏小；（2）① 2.0；②9．76

大幅角单摆振动周期的研究

大幅角单摆振动周期研究的综述 周越赵诚嘉刘汉发王丽丽张文贤张桢阚健等（B机制091） 摘要：运用插值法、Jacobi椭圆函数法、微分方程的数值解法，研究了大幅度单摆的周期公式。由插值法计算出的单摆周期与精确周期相比其相对误差较小，与其他文献得到的周期公式相对误差相比是最小的，具有较强的实用性。采用Jacobi椭圆函数分析单摆的运动，结果的误差也是较小的。运用经典4阶Runge-kutta的方法来研究周期公式，并结合Matlab作图。 一、任意摆角下单摆周期公式的推导 如图，摆长为L的单摆从一较大起摆角θ 开始摆动，某时刻运动到摆角为θ 处。忽略摩擦力和空气阻力的作用，其运动遵循机械能守恒定律。取运动最低点为势能零点，则有： ⑴其中 代入⑴式整理得 两侧积分

t = 由单摆振动的对称性知 4T =⑵ ⑵式中θ的积分上界为θ0，但被积表达式 C 限制θ≠θ0，又θ=θ 处存在一条渐近线，则⑵式为反常积分，无法用数值模拟求解。 考虑换元积分法，令 则⑵式化为 4T =* 其中 k Si = *式为第一类完全椭圆积分，可将其展开成无穷级数形式 ⑶ 二、插值法 1、线性内插法 *式中令（π上为单值函数）。 取点 , π，其中，得相应直线解析式： 则 其中 即

1T =⑷ 其中 2T = 其相对误差表示为 2、抛物线内插法 *式中令 f(,k ?（π上为单值函数）。 取点 , (,π, (,π，得相应抛物线解析式： 8 则 其中 即 ⑸ 其中 其相对误差表示为 （T 由⑶式得出） 3、四点曲线内插法

*式中令 f(,k ?（ 2π上为单值函数）。 取点 , (,4π, (,6π, (,2π，得相应三次曲线解析式： 2y = 则 34T = 其中 即 ⑹ 其中 其相对误差表示为 （T 由⑶式得出） 4、猜想 通过比较T 1,T 2,T 3 相对误差的大小，猜想T 3比T 2精确，T 2比T 1精确。 二、Jacobi 椭圆函数法 具体方法：为了便于理解，先给出以下Jacobi 椭圆函数的定义，列出本文用到的几个基本公式与微分方程。 Jacobi 椭圆函数：一般的，正弦函数也可以用它的反函数来定义。如： ，

浙江高考物理总复习 第11章 实验十二探究单摆周期与摆长的关系知能优化演练 大纲人教版

探究单摆周期与摆长的关系 1．(2011年北京海淀区测试)某同学做“探究单摆的周期与摆长的关系”的实验时，测得的重力加速度数值明显大于当地的重力加速度的实际值．造成这一情况的可能原因是( ) A ．测量摆长时，把悬挂状态的摆线长当成摆长 B ．测量周期时，当摆球通过平衡位置时启动秒表，此后摆球第30次通过平衡位置时制动秒表，读出经历的时间为t ，并由计算式T ＝t 30 求得周期 C ．开始摆动时振幅过小 D ．所用摆球的质量过大 解析：选B.由T ＝2π l g 得g ＝4π2 L T 2，造成g 偏大的原因一是L 偏大，二是T 偏小， 因此A 错B 对．振幅小和摆球质量过大对实验结果没有影响． 2．用单摆测定重力加速度的实验中，下列说法正确的是( ) A ．用单摆能够比较准确地测出当地的重力加速度，公式为g ＝4π2l T 2 B ．公式是在小偏角下对单摆模型总结出来的，实验中要注意这些条件 C ．设测量摆长时的绝对误差是Δl ，相对误差Δl l ，由此可知应该选择摆长很长的单摆进 行实验，越长越好 D ．设测n 次全振动时间的绝对误差为Δt ，周期的绝对误差ΔT ＝Δt n ，由此可知应增大 单摆的摆动次数，越多越好 答案：AB 3．在“探究单摆周期与摆长的关系”的实验中： (1)下面所给器材中，选用哪些器材较好，请把所选用器材前的字母依次填写在题后的横线上． A ．长1 m 左右的细线 B ．长30 cm 左右的细线 C ．直径2 cm 的铅球 D ．直径2 cm 的铝球 E ．秒表 F ．时钟 G ．最小刻度是厘米的直尺 H ．最小刻度是毫米的直尺 所选用的器材是________________． (2)实验时对摆线偏离竖直线的偏角要求是____________． 答案：(1)ACEH (2)小于10° 4.某同学利用单摆测定当地重力加速度，发现单摆静止时摆球重心在球心的正下方，他仍将从悬点到球心的距离当作摆长L ，通过改变摆线的长度，测得6组L 和对应的周期T ，画 出L －T 2 图线，然后在图线上选取A 、B 两个点，坐标如图11－3－4所示．他采用恰当的数据处理方法，则计算重力加速度的表达式应为g ＝________.请你判断该同学得到的实验结果与摆球重心就在球心处的情况相比，将________(填“偏大”、“偏小”或“相同”)．

单摆大摆角的振动规律

单摆大摆角的振动规律 中文摘要: 研究单摆不同大摆角对周期和重力加速度的影响 外文摘要: Research different big pendulum swinging Angle's influence on the cycle and the acceleration of gravity 关键词：单摆、大摆角、周期、重力加速度 Keywords:single pendulum、Large angular、 cycle、Acceleration of gravity 单摆问题是高中物理及大学普通物理实验教学中的一个基础问题。单摆在摆角比较小时, 其运动规律近似为准简谐振动。但是当摆角比较大时, 即单摆在大摆角情况下运动时, 这种近似已不在成立, 其运动方程满足非线性微分方程。因此,对摆角大小的限制成为该实验中必满足的条件。不同的实验条件下, 最大摆角的取值不同, 其中包括3, 5, 10, 10. 7515??至20??[ 15] 。因此, 这就为在实验过程中对摆角的统一取值造成困难, 给实验带来较大的误差。同时, 学生对单摆在大摆角情况下运动时其运动周期及运动规律的理解也存在困难。MAT LAB 是用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言本文将借助于MAT LAB 这个强大的数学软件, 计算了任意摆角下单摆运动周期的精确解, 消除了摆角问题带来的误差。同时利用该软件, 仿真出大摆角时单摆的运动情况, 为单摆测重力加速度实验中大摆角问题的讲解提供了较好的手段。大学物理实验中的很多问题都可以借助MAT LAB 解决 一、单摆模型 单摆是一种理想化的模型。在一根不会伸长，忽略质量的悬线下系一质点，质点绕某个位置来回往复运动。 在实验中单摆要满足三个条件： 1）线度条件 摆线的长度必须远远大于摆球的直径 2）质量条件

任意角度单摆的周期近似公式

在任意角度下单摆的周期公式.但在此之前提出两个概念:第一类不完全椭圆积分:F(φ,x)=∫[0,φ]dθ/√(1-x2sin2θ),第一类完全椭圆积分 K(x)=F(π/2,x)=∫[0,π/2]dθ/√(1-x2sin2θ)(∫[a,b]f(x)dx表示对f(x)在区间[a,b]上的定积分) 设摆长为l,摆线与竖直方向的夹角为θ,那么单摆的运动公式为: d2θ/dt2+g/l*sinθ=0 令ω=dθ/dt,上式改写成: ωdω/dθ+g/l*sinθ=0 ω2=2g/l*cosθ+c 给定初始条件θ=α(0≤α≤π),ω=0,则其特解为: ω2=2g/l*(cosθ-cosα)=4g/l*(sin2(α/2)-sin2(θ/2)) 所以t=∫dθ/ω=1/2*√(g/l)*∫[0,θ]dθ/√(sin2(α/2)-sin2(θ/2)) 做变换sin(θ/2)=sin(α/2)sinφ,则 t=√(l/g)*∫[0,φ]dφ/√(1-sin2(α/2)*sin2φ)=√(l/g)*F(φ,sin(α/2)) 以上是单摆从任意位置摆动任意角的公式,当单摆从任意位置开始摆动到竖直位置时,θ=α,此时φ=π/2 那么T=4t=4√(l此处的α就 是常说的摆角,现在看一下不同的摆角对周期的影响 单摆的近似公式为T=2π√(l/g),精确公式为T=4√(l/g)*K(sin(α/2)),记相对误差为e(α) 那么e(α)=(2K(sin(α/2))-π)/(2K(sin(α/2)) 用Maple计算得到: e(1)=0.0019% e(2)=0.0076% e(3)=0.0171% e(4)=0.0305% e(5)=0.0476% e(6)=0.0685% e(7)=0.0933% e(8)=0.1218% e(9)=0.1542% e(10)=0.1903% e(11)=0.2303% e(12)=0.2741% e(13)=0.3217% e(14)=0.3730% e(15)=0.4282% e(16)=0.4872% e(17)=0.5500%

实验14 探究单摆周期与摆长的关系

实验14 探究单摆周期与摆长的关系 一、实验原理 单摆在偏角θ＜5°时，摆球的运动可看做简谐运动，用累积法测出n 次全振动的 时间t ，则算得T ＝t n ，同时量得悬点到小球上端和下端距离l 1和l 2，则单摆的摆 长l ＝l 1＋l 22，然后用图象法寻找周期T 与摆长l 的定量关系。 二、实验装置图及器材 带有铁夹的铁架台、中心有小孔的金属小球，不易伸长的细线(约1米)、停表、毫米刻度尺和三角板。 三、实验步骤 1.让细线的一端穿过金属小球的小孔，然后打一个比小孔大一些的线结，做成单摆。 2.把细线的上端用铁夹固定在铁架台上，把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂，在单摆平衡位置处作上标记，如图所示。 3.用毫米刻度尺量出悬点到小球上端和下端距离l 1、l 2，计算出摆长l ＝l 1＋l 22。 4.把单摆从平衡位置处拉开一个很小的角度(不超过5°)，然后放开金属小球，让金属小球摆动，待摆动平稳后测出单摆完成30～50次全振动所用的时间t ，计算 出金属小球完成一次全振动所用时间，这个时间就是单摆的振动周期，即T ＝t N (N 为全振动的次数)，反复测3次，再计算出周期的平均值T － ＝ T 1＋T 2＋T 33 。 5.改变摆长、重做几次实验。

6.用图象法探究周期和摆长的关系。 四、数据处理 图象法 由单摆周期公式不难推出：l＝ g 4π2T 2，因此，分别测出一系列摆长l对应的周期T， 作l－T2图象，图象应是一条通过原点的直线，如图所示，求出图线的斜率k＝Δl ΔT2，即可利用g＝4π2k求得重力加速度值。 注意事项 1.构成单摆的条件：细线的质量要小、弹性要小，选用体积小、密度大的小球，摆角不超过5°。 2.要使摆球在同一竖直面内摆动，不能形成圆锥摆，方法是将摆球拉到一定位置后由静止释放。 3.用毫米刻度尺量出摆线长度l′，用游标卡尺测出摆球的直径，即得出金属小球半径r，计算出摆长l＝l′＋r。 4.测周期的方法 (1)要从摆球过平衡位置时开始计时。因为此处速度大、计时误差小，而最高点速度小、计时误差大。 (2)要测多次全振动的时间来计算周期。如在摆球平衡位置时开始计时，且在数“零”的同时按下秒表，以后每当摆球从同一方向通过平衡位置时计数1次。 【例】某同学用实验的方法探究影响单摆周期的因素。 图1 (1)他组装单摆时，在摆线上端的悬点处，用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线，再