线性代数习题解答第一二三章
β
（图1）
总习题一 一、问答题
1. 试解释二、三阶行列式的几何意义.
解 在平面解析几何中，已知两向量),(),,(2121b b a a ==βα如图，以βα,为邻边的平行四边形的面积为
><=βαβα,sin ||||S 平行四边形，而|
|||,cos βαβαβα?>=< ，
故
|-1|2
><=βαβα,sin ||||S 平行四边形 ||
||2
1
211221b b a a b a b a =-=
这就是说，二阶行列式
2
1
21b b a a 表示平面上以),(),,(2121b b a a ==βα为邻边的平
行四边形的有向面积，这里符号规定是当这个平行四边形由向量α沿逆时针方向转到向量β而得到时面积取正值；当这个平行四边形由向量α沿顺时针方向转到向量
β而得到时面积取负值．
空间三向量),,(),,,(),,,(321321321c c c b b b a a a ===γβα的混合积)(γβα??的绝对值等于这三个向量张成的平行六面体的体积，即
=平行六面体V |||)(3
2
1
321
321
c c c b b b a a a |=??γβα 三阶行列式3
2
1321
3
21
c c c b b b a a a 表示以γβα，，为相邻棱的平行六面体的有向体积，当γβα，，构成右手系时，体积取正值；当γβα，，构成左手系时，体积取负值．实际上改变任意两向量次序，取值符号改变．
类比二、三阶行列式，n 阶行列式|,,,|D n n ααα 21=是由n 维向量n
,,,ααα 21张成的n 维平行多面体的有向体积．尽管我们不能看见n 维平行多面体，但是有2，3维空间做蓝本，我们却能够通过现象抓住行列式概念的本质，进行想象．行列式的性质均可以通过几何直观解释，这就是了解几何背景的优势． 2. 行列式中元素的余子式、代数余子式与行列式有什么关系？
- 2 - 习 题 解 答
解 由定义知，在行列式ij
n n
D a ?=中，去掉元素ij a 所在的第i 行和第j 列后，保持
相对位置不变得到的1n -阶行列式称为该元素的余子式，记为ij M ．而把(1)i j ij M +-称为元素ij a 的代数余子式，记为ij A ．由定义可知，元素的余子式及代数余子式与该元素的位置有关，而与该元素本身是什么数无关．因此，如果只改变行列式的某行（列）的各元素数值，并不会改变该行（列）原来的各元素对应的余子式和代数余
子式．例如：在行列式1D =12
3
451789-中，将第二行元素都换成1，得2D =123
111789，
那么2D 的第二行各元素的代数余子式与1D 的第二行各元素的代数余子式是分别对应相同的．利用此性质可以方便地计算行列式某些元素的代数余子式的某些线性组
合．它们与行列式的关系主要表现在行列式按行（列）展开定理及其推论中，即
???≠==∑=)(,0)(,1s i s i D A a sk n
k ik ， ???≠==∑=)(,0)
(,1t j t j D A a kt n
k kj ． 3. 试从几何的角度解释三元线性方程组有唯一解的意义.
解 线性方程组的解可以借助于子空间的概念来阐明，这样可以使线性方程组的解有了几何意义．设三元一次线性方程组
???
??=++=++=++)
()()(33333
2222211111πππ d z c y b x a d z c y b x a d z c y b x a , 三个方程在空间分别表示三个平面123,,πππ，该方程组
有唯一解，就是说它们有唯一一个交点（如右图）．这样
以直观方式去理解三元线性方程组的解，就会比较顺利
地迁移到对n 元线性方程组的解地理解上去。如果我们利用几何直观来理解线性代数课程，就能为抽象思维提供形象模型，提高应用线性代数理论去解决实际问题的能力．
4. 范德蒙（Van der monde ）行列式的结构特点及结论是什么？请运用范德蒙行列式
证明：2
22123122331133
33
12
3
1
1
1
()()j i i j D x x x x x x x x x x x x x x ≤<≤==++-∏.
解 范德蒙行列式
1
2
3
2
22212
3
1
11112
31111n
n n n n n n n
x x x x V x x x x x x x x ----=
线 性 代 数 - 3 -
它的结构特点是：每一列都构成等比数列，首项是1，公比分别是12,,,n x x x ，末项分别是12,,,n x x x 的1n -次幂．若将此行列式转置，则各行元素具有此特点.解题时若发现某行列式有此特点，则可以利用范德蒙行列式的结果写出答案．
根据待求行列式的特点，构造四阶范德蒙行列式：
12
3
422221233
333
12
3
1111x x x y V x x x y x x x y =
一方面，利用范德蒙行列式结论有412313
()()()
()j i i j V y x y x y x x x ≤<≤=----∏
，另
一方面，按第四列展开有23414243444V A A y A y A y =++++，比较y 的系数得结论成立．
二、单项选择题
1．n 级行列式=0
1
0010
1001
（ ）．
（A ）1- （B ）2
)1()1(--n n （C ）2
)1()
1(+-n n （D ）1
解 应选（B ），本题宜直接计算，采用直选法．由行列式的定义，该行列式只有一项不为零，(1)((1)21)
2
(1)
111=(1)n n n n n
τ---???-
．
2．设()2
131
234
10231722
x f x =
------，那么()x f 的一次项系数为（ ）．
（A ） 1 （B ） 2 （C ） -1 （D ） -2
解 应选（C ），本题宜直接计算，采用直选法．由行列式展开定理，()f x 的一次项
系数为代数余子式121
3
4
134
134
11230110111122012001
1+2
()A =----=-=-=----，故选（C ）． 3．如果行列式111213111213
2122
233132
333132
3321
22
23
222,333a a a a a a a a a d a a a a a a a a a ==---那么（ ）
．
- 4 - 习 题 解 答
（A ） 2d （B ）3d （C ）6d （D ）-6d 解 应选（C ），本题直接计算．利用行列式的性质
22
111213
11
1213
31323331323321
22
2321
22
23
22233366r r a a a a a a a a a a a a d a a a a a a ?=-=---，故选（C ）．
4．如果(2)n n ≥级行列式中每个元素都是1或-1,那么该行列式的值为( )． （A ）偶数 （B ）奇数 （C ）1 （D ）-1 解 应选（A ）．因为行列式中每个元素都是1或-1,将行列式的第二行元素的一倍加到第一行，行列式的值不变，此时行列式第一行元素只可能是220,-或,即2是第一行元素的公因数，也是行列式的一个因数，从而行列式的值一定是偶数．
说明：读者可以考虑所有满足该题条件的三阶行列式的最大取值是多少？它是一个很有趣的问题．
5．行列式n 000
20001的主对角线上每个元素与其代数余子式乘积之和为
( ) ．
（A ）!n （B ）(1)2n n + （C ） !n n ? （D ） 2(1)
2
n n +
解 应选（C ），本题思路是根据行列式的特点，将“主对角线上每个元素与其代数
余子式乘积之和”转化为“每行元素与其代数余子式乘积之和”，再利用行列式展开定理解题．由于行列式每行只有一个元素不为零，故
11111212221222121100202000n n nn n n nn A A A A D n!A A A A D n!n A A A n A D n!
?=?+?++?==?=?+?++?==?=?+?++?==
从而112212nn A A n A n n!?+?++?=? ．
6．四阶行列式
11
223344
00000
00a b a b b a b a 的值等于（ ）．
(A) 12341234a a a a b b b b - (B) 12341234a a a a b b b b +
(C) 12123434()()a a bb a a b b -- (D) 23231414()()a a b b a a bb -- 解 应选 (D)，本题可以直接计算，采用直选法．计算过程可以用行列式的定义，
行列式按行展开定理，也可以用拉普拉斯定理解答．使用拉普拉斯定理更快捷．本
线 性 代 数 - 5 -
题更好的方法是采用排除法，令40b =，可得此时行列式的值为142323(-)a a a a b b ，经比较，可知 (A)、(B)和(C)都不对，故本题应选 (D)． 7．行列式n D 为零的充分条件是（ ）．
(A) 零元素的个数大于n 个 (B) n D 中各行元素的和为零 (C) 次对角线上元素全为零 (D) 主对角线上元素全为零
解 应选(B)．因为n D 中各行元素的和为零，根据行列式的倍加不变性质，将其它各列的一倍加到第一列，第一列元素都化为零，故(B)是n D 为零的充分条件． 说明：建议初学者分别举例说明其它三种情况都不是充分条件．
8．方程
0881441221
1111
3
2=--x x x
的根为（ ）
． (A) 1，2，2- (B) 1，2，3 (C) 1，1-，2 (D) 0，1，2 解 应选（A ）．可以将行列式视为关于122,,,x -的四阶范德蒙行列式，立刻得到结论．也可以将x 分别取值1,2,1-后，第4列分别与1,2，3列对比观察，得到结论．
9．当≠a （ ）时，方程组02020ax
z x ay z ax y z +=??
++=??-+=?
只有零解．
(A)1- (B) 0 (C)2- (D) 2 解 应选 (D)，本题直接计算方程组的系数行列式．
1
212(2)21
a
D a a a ==--
由克莱姆法则知，当2a ≠时，齐次线性方程组只有零解．
10．设1
12
3
2
102
3
3
λλλ--=-，则λ的值可能为（ ）． (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D)2- 解 应选(D)，本题直接计算行列式：
- 6 - 习 题 解 答
3221
12
()32
1634(2)(817)2
3
3
f λλλλλλλλλλ-=
-=-++=+-+- 则()0f λ=有三个根24,i -±，故选(D)．
三、解答题
1. 计算行列式
112231000000000
00001
1
1
1
1
n n n a a a a a a a a -----
．
解 该行列式的阶为1n +，从第1n +列开始，逐列乘以1加到前一列，
112231000000000000011111n n n a a a a a a a a ----- 1210000000000000
00001121n n a a a a n n n -=+-
按第一列展开得
原式12
210000
(1)(1)0000
0n n n
a a n a a +-=+-=
12(1)(1)n n n a a a -+ ．
2. 计算下列行列式
（1）
x
y x y y x y x x y
x
y
+++； （2）1100
010001
x y z x y z ；
（3）520003520003520003520
0035； （4）1200025000
9
8123764565
4789
．
线 性 代 数 - 7 -
解 （1）
1213
112()12()2()12()1c c c c x y x y x y y x y y x y y x y x x y x y x x y x y
x x y x y x y x y
x
y
+?+?+++++=++=++++
21
31
111
2()02()0r r r r y
x y
x y
x y x
y x y x y x
x y
x
-?-?+-=+-=+=----)(233y x +-；
（2）
1213
14
222
22211100
010010100010001
001
c x c c y c c z c x y z
x y z x y z
x x y z y z
-?-?-?---==---=)(1222z y x ++-；
（3）由习题 1.4第5题结论，b a b a D n n n --=++1
1，当235a ,b ,n ===，
66
52366523
D -==-；或直接用展开定理：
原式5300230
30
2
5300530
5
355302530253
25
00250025
5302305[5253-3053]-620250250=-= 5565338665665[]=??-?-?=；
（4）由拉普拉斯定理可得：
121212000
12312325000
12
(1)456133309812325
78933376456
54789
+++=
?-=?= ． 3. 用加边法计算行列式
111
1222212(0)n n
n
n n
x y x x x x y x y y y x x x y ++≠+
．
解 利用行列式展开定理，构造一个等值的1n +行列式，其中第一列元素根据行列
式的特点确定，即
原式1
1111111(1)2
2222222,3,,1
10001111000000j c c j n n n n n n n n
x x y x x x y x x x y x x y x x x x y x y +-?=+---+=+=+
- 8 - 习 题 解 答
111
1
11122,3,,1
122100000(1)00
i y i n
i i i
r c n
i
n i n i i
n
n
x y x y x y y y x y y x y -=+?=+=+=
=+∑
∑
． 4. 证明：2100012100012001000210
1
2
n D n =
=+
．
证明 用数学归纳法证明． 因为12D =，221
312
D =
=，所以当12n ,=时命题成立． 现在假设行列式阶小于n 时，结论成立，下证对n 阶行列式结论成立．将n 阶行列式按第1行展开后再展开，有
11211000210
21221101210012()n n n n D D D D n n -n ---=-?=-=-=+
故结论成立．
5. 设z y x ,,是互异的实数，证明：01
11
3
3
3
=z y x z y
x
的充要条件是0=++z y x ． 证明 行列式33
3
1
11
x
y z x y z 中元素及其排列接近范德蒙行列式的形式，因此，构造四阶范德蒙行列式：
42
2223333
1111x y z t
V x y z t x y z t = 一方面，利用范德蒙行列式结论有4()()()()()()V t x t y t z z x z y y x =------，另一方
线 性 代 数 - 9 -
面，按第四列展开有23414243444V A A t A t A t =+++，比较2t 的系数得：
343
3
3111
()()()()x y z A x y z z -x z y y x x y z -==-++-- 又z y x ,,是互异的实数，故01
11
3
3
3
=z y x z y x
的充要条件是0=++z y x ． 6. 证明：33()ax by
ay bz
az bx
x
y z ay bz az bx ax by a b y
z x az bx ax by ay bz z x
y
++++++=++++． 证明
左边ax ay bz
az bx
by ay bz
az bx
ay az bx ax by bz az bx ax by az ax by ay bz bx ax by ay bz
++++=+++++++++ 22x ay bz
az
y bz
az bx
x ay bz
z
y
z az bx
a y az bx ax
b z bx ax by a y az bx
x b z x ax by z ax by ay x by ay bz z ax by
y x
y ay bz
++++=+++=+++++++
22[][]x ay z
x bz
z
y
z az
y
z bx
a y az x y bx x
b z x ax z
x by z ax
y z by y x
y ay x y bz
=+++ 33()x
y z a b y
z x z
x
y
=+ 7. 当λ为何值时，方程组1231232
12
3(1)1(1)(1)x x x x x x x x x λλλλλ+++=??
+++=??+++=?有唯一解？并用克莱姆法则求解．
解 因为方程组的系数行列式21111
11(3)1
1
1D λ
λ
λλλ
+=
+=++，
所以当03λλ≠≠-且时，方程组有唯一解．又
- 10 - 习 题 解 答
312
22243232
111112;
1111
1
112;1
1111
1121
1
1D D D λ
λλλλλλλλλλλ
λλ
λλλλλλ=+=-+++=
=-++=+=+--+
所以232312123221
21;;(3)(3)(3)
D D D x x x D D D λλλλλλλλλλλ-+-+--========
+++． 8.设4阶行列式的第1行元素依次为2,,,3m k ，第1行元素的余子式为全为1，第3行元素的代数余子式依次为3,1,4,2，且行列式的值为1，求,m k 的值. 解 由题设
111213142,,,3a a m a k a ====； 111213141,1,1,1M M M M ====； 313233343,1,4,2A A A A ====，
则有111213141,1,1,1A A A A ==-==-．据行列式展开定理及其推论有
111112121313141411311232133314341
a A a A a A a A a A a A a A a A +++=??
+++=?， 即
21(1)13(1)1
2314320
m k m k ?+?-+?+?-=??
?+?+?+?=?． 解得 42m k =-??=-?
．
9．设4
32232114
31
13151-=
A ，计算44434241A A A A +++的值，其中)4,3,2,1(4=i A i 是对应元素的代数余子式．
解 由行列式按行展开定理41424344414243441111A A A A A A A A +++=?+?+?+?
线 性 代 数 - 11 -
15131513
621621
1134062111
610011661123061023
602023
11110602
----=
=
==--==------ 10. 设行列式,||(,)ij ij n D a a i j i j ==-?，求D 的值． 解 由题设
01221
1
013221
43234011231
ij n
n n n n n n D a n n n n n n ------==
------
依次将第i 行的（-1）倍加到第1i -行23()i ,,,n = ，得
111111111111
1
1
11
1
111
12310
D n n n ------=
-------
再将第一列分别加到其余各列，得
100001200012
2
01
2
2
20123241
D n n n n n ------=
=--------
12(1)(1)2n n n ----．
注：用同样的方法，可以求得行列式
1212312122
1321
32
(1)(1)212312122
1
n n n n n n n n n D n n n n n
n n +------=
=-+-----
- 12 - 习 题 解 答
11．设,,a b c 为三角形的三边边长，证明：0000a b c a
c b
D b c a c
b a =
0<． 证明 将2，3，4列的1倍加到第一列，提取公因式，得
01010()01001
a b c a b c a c b c b D a b c b c a c a c
b a
b
a
=
=++ 将第1行的1()-倍，加到利用2，3，4行，按第一列展开，得
10()()00a b c
a c
b b c
a c
b b c
D a b c a b c c a b a c c a b a c
b a a b c
b a a b c
------=++=++------------
继续计算
12
11()()()100c c c a b c b b c c b b c
D a b c c a b b a c a b c c a b b a c a b c a b c
+?------=++----=++--------
21
11()()0()()0r r c b b c
c a b
a b c c a b c a b a b c c a b a b c
a b c -?----=++----=++------
()()()()a b c c a b a b c b c a =++------
由三角形的性质，上式四个因式中有三项小于零，故0D <．
12．设多项式2012()n
n f x a a x a x a x =++++ ，用克莱姆法则证明：如果()f x 存在1
n +个互不相同的根，则()0f x ≡．
解 设121,,,,n n x x x x + 为互不相同的根，则()0(1,2,,1)i f x i n ==+ ，于是有
20112112012222201121
1000n n n
n n n n n n a a x a x a x a a x a x a x a a x a x a x +++?++++=?++++=???
?++++=?
该方程组的系数行列式（视012,,,,n a a a a 为未知元）
线 性 代 数 - 13 -
21112
2
2211
2111
11()01n
n
j i i j n n n n n x x x x x x D x x x x x ≤<≤++++=
=-≠∏
故该齐次线性方程组只有零解：0120n a a a a ===== ，从而()0f x ≡．
第二章总习题一、问答题
1．n 阶矩阵可以表示成一个对称矩阵和一个反对称矩阵的和，这种表示是否惟一？ 解 这种表示是惟一的．事实上，若存在对称矩阵12,B B 和反对称矩阵12,C C 使得1122,A B C A B C =+=+．则1122
B C A B C
+==+，即1221B B C C -=-，等式左边12
B B -是对称矩阵，右边21
C C -是反对称矩阵，故它们只能是零矩阵，即1212,B B C C ==．
- 14 - 习 题 解 答
2．请利用矩阵的乘法表示线性方程组??
?????=+++=+++=+++n
n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112
222212*********，并借助于可逆
矩阵和伴随矩阵，理解克莱姆（Cramer ）法则．
解 记??????
? ? ?
? ? ?=== ? ? ? ? ? ?
??????
11
1211121
222221
2
,, n n m m mn n m a a a x b a
a a x b
A X b a a a x b ，则线性方程组有矩阵形式
AX b =．如果A 可逆矩阵可逆（即系数行列式0|A|≠），则克莱姆法则告诉我们方
程组有唯一解，解可用矩阵形式表示11*
X A b A b |A|
-==
，从分块矩阵角度理解，对应元素相等，这就是克莱姆法则给出的解的形式． 3．设,A B 分别为n 阶矩阵，举反例说明下列运算不正确． (1) 222()2A B A AB B +=++； (2) 若2A O =,则A O =； (3) 若2A A =,则A O =或A E =； (4) 若AX AY =,则A O =或X Y =； (5) ||||||A B A B +=+.
解 (1) 如-????== ? ?
--????
2120,1212A B ，2
2
01()00A B O ??+== ???，而 22343240102243444401A AB B --????????
++=++= ? ? ? ?----????????，它们不相等；
(2) 如0100A O ??=≠ ???
，但2
A O =；
(3) 如1000A ??= ?
??
，2
A A =,但A O ≠且A E ≠； (4) 如--??????=== ? ? ?-??????121371,,242112A X Y ，有-??
== ?-??
551010AX AY ，但
A O ≠且X Y ≠；
线 性 代 数 - 15 -
(5) 以（1）中矩阵为例-????
== ? ?
--????2120,1212A B ，行列式01||000A B +==，而2120
||||5491212
A B -+=+=+=--，它们不相等.
4．设矩阵A 的秩为r ，则是否在A 中只有一个r 阶非零子式？存在2r +阶非零子式
吗？若310211211344A ??
?
=-- ? ?-??
，求A 的秩，并求A 的最高阶非零子式.
解 设矩阵A 的秩为r ，则A 中至少有一个r 阶非零子式（即可能有多个）．因为A
的1r +阶子式已经全为零，故A 的2r +阶子式一定全为零．
3212
2121
(1)(3)(1)112111211121310204650465134404650000r r r r r r r r A +-?+-+-------?????? ? ? ????→????→-????→- ? ? ? ? ? ?--??????
矩阵A 的秩为2，二阶子式
3110
40201112
,=-≠=≠--，三阶子式一定全为零．说明：这些结论对于第三章利用“初等行变换不改变列向量组的线性相关性”讨论向
量组的性质很重要．
5．阅读矩阵密码法材料，回答下列问题．现有一段明码（中文汉语拼音字母），若
利用矩阵???
?
?
??=232352121P 加密，发出的“密文”编码：41，97，81，33，92，66，
59，154，103．请破译这段密文，完成李白脍炙人口的千古绝唱：“故人西辞黄鹤
楼，烟花三月下＊＊”．品味古城名邑的无限风韵，细思加密矩阵的性质要求． 解 首先将“密文”编码：41，97，81，33，92，66，59，154，103排成矩阵
41335997921548166103B ??
?
= ? ?
??，由于“密文”是通过????? ??=232352121P 加密的，故破译这段密文
的方法是11114133592578201979215410154118166103142621A P B --??????
??? ?
==-= ??? ? ??? ?-??????
，对应中文汉语拼
音字母yang-zhou (扬州)．
关于加密矩阵的性质要求，为了计算方便加密矩阵的行列式以1±为好，根据电文的长度确定矩阵的阶，当阶较大时可以考虑用分块矩阵加密．为了增加破译难度，密文数据可以用模26同余数．
二、单项选择题
1．若A ，B 为同阶方阵，且满足AB =O ，则有（ ）.
- 16 - 习 题 解 答
（A ）A ＝O 或B ＝O （B ）|A |＝0或|B |＝0
（C ）(A ＋B )2＝A 2＋B 2 （D ）A 与B 均可逆
解 应选（B ），本题可采用直选法．利用行列式乘法规则，若AB =O ，则0|AB ||A ||B |=?=，从而|A |＝0或 |B |＝0，故选（B ）．当然也可采用排除法． 2．若对任意方阵B ，C ，由AB =AC （A ，B ，C 为同阶方阵）能推出B =C ，则A 满足（ ）.
（A ）A ≠0 （B ）A ＝0 （C ）|A |≠0 （D ）|AB |≠0
解 应选（C ）．由于矩阵的乘法运算不满足消去律，当矩阵A 可逆（即|A |≠0）时，用1A -左乘AB =AC 能推出B =C ．本题也可以借助克莱姆法则理解，将等式AB AC =变形为()A B C O -=，考虑齐次线性方程组AX O =只有零解的条件．
3．设A 是3阶矩阵，???
?
?
??=????? ??=010100001,100001010Q P ，若A AQ P =n m ，则有（ ）．
(A) 2008,2006==n m (B) 2008,2007==n m (C) 2007,2006==n m (D) 2007,2005==n
m 解 应选（A ）．(1,2),(2,3)E E ==P Q 都是交换两行（或列）对应的初等矩阵，它们有一个性质
(2)(,)(,)(21)
m E
m k E i j E i j m k =?=?
=+? 由A AQ P =n m 知，分别用,m n P Q 左乘、右乘A ，没有改变，故,m n 均为偶数，选（A ）．
4．设???
?
?
??=b a a a b a a a b A ，若秩1)(*=A ，则有（ ）．
(A) b a =或02=+b a (B) b a =或02≠+b a (C) b a ≠且02=+b a (D) b a ≠且02≠+b a 解 应选（C ），解题依据是2||(2)()A b a b a =+-和*,A A 之间秩的关系：
*,()()1,()10,()1n R n
R R n R n =??
==-??<-?
A A A A ．
5．设同阶方阵,,,A B C E 满足关系式ABC E =，则必有（ ）.
线 性 代 数 - 17 -
（A ）ACB =E （B ）CBA =E （C ）BAC =E （D ）BCA =E
解 应选 (D)，采用直选法．对于任意方阵,X Y 我们有“若XY E =，则Y X E =”，由ABC E =，将AB 或BC 作为一个“整体”与另一个矩阵交换寻找答案． 6．若A ，B ，B +A 为同阶可逆方阵，则(B 1-+A 1-)1-＝（ ）.
（A ）B 1-+A 1- （B ）B ＋A （C ）(B +A )1- （D ）B (B +A )1-A
解 应选 (D)，本题采用“和化积”的思路求逆矩阵．在矩阵11B A --+的左边乘A ，右边乘B ，得
1111()()A B A B AB AA B A B B A ----+=+=+=+
从而1111()B A A B A B ----+=+，所以1111()()B A B B A A ----+=+，故选 (D)． 注意：111()B A ---+也可以写成1()A B A B -+．由逆矩阵的唯一性有
1()A B A B -+1()B B A A -=+．
7．设,A B 均为n 阶方阵，则必有( ).
（A ）B A B A +=+ （B ）BA AB =
（C ）BA AB = （D ）()111
---+=+B A B A
解 应选（C ），本题可以用排除法，题目中（A ）、（B ）和（D ）都有反例说明不一定成立，它们都是应该知道的．当然，也可以用行列式乘法规则直接计算
||||||||||||AB A B B A BA =?=?=．
8．已知2阶矩阵a b A c d ??= ???的行列式||1A =-，则*1
()A -=（ ）.
（A ）a b c d --?? ?--?? （B ）d b c a -?? ?-?? （C ）d
b c
a -??
?-?? （D ）a b c d ??
???
解 应选（A ）．考察重要等式**AA A A |A|E ==，根据可逆矩阵的定义，当||0A ≠时，我们观察可知*11
()||
A A A -=
，所以*1()A A -=-，选（A ）． 9．设A 是3阶矩阵，若|3|3A =，则|2|A =（ ）.
（A ） 1 （B ） 2 （C ）
23 （D ） 89
解 应选 (D)，本题可以直接计算，采用直选法．计算如下：
- 18 - 习 题 解 答
1|3|3||9A A =?=
，38|2|2||9
A A ∴== 说明：本题检查的知识点是“对于n 阶矩阵A ，有||||n kA k A =”．
10．设423323312,322532531A B ????
? ?
=--=-- ? ? ? ?????
，则22A B AB BA +--=（ ）.
（A ）A （B ） B (C) E （D ） O
解 应选（C ），本题可以直接计算，采用直选法．当然计算前应注意观察矩阵,A B 的特点和矩阵运算式22A B AB BA +--的特点，这会简化计算．事实上，,A B 主对角线外的元素对应相等，考虑A B -有
111A B E ?? ?
-== ? ???
，222()()()A B AB BA A B A B A B +--=--=-
由此选（C ）显然．
三、解答题
1．设121132a b ????
? ?-????
A=,B=,若矩阵A 与B 可交换，求,a b 的值.
解 两矩阵相乘得 423254a b b a b a b AB BA a b +++-????
== ? ?--????,，比较对应位置元素，
有3524a b -=-=,，所以8,6a b ==．
2．设,A B 均为n 阶对称矩阵，证明：AB BA +是n 阶对称矩阵. 证明 因为,A B 均为n 阶对称矩阵，即,T T A A B B ==，所以
()()()T T T T T T T AB BA AB BA B A A B BA AB AB BA +=+=+=+=+ 从而AB BA +是n 阶对称矩阵.
3．设实矩阵33()ij A a ?=，且011≠a ，ij ij A a =（ij A 为ij a 的代数余子式），求行列式||A ． 解 因为(,1,2,3)i j i j a A i j =?=，所以*T A A =．由等式**AA A A |A|E ==，得
*T AA AA |A|E ==，两边取行列式得T |A||A |||A|E|?=，即23|A||A|=，所以||0A =或
||1A =．又由011≠a ，ij ij A a =，故222
111112121313111213||0A a A a A a A a a a =++=++>，
线 性 代 数 - 19 -
从而||1A =．
4．设A 为二阶方阵，B 为三阶方阵，且│A │＝
1
B
＝21，求1
(2)O B A O --． 解 因为│A │＝
1
B
＝21，所以||2B =，又111(2)2A A --=，从而 2313
13111(1)|||(2)|(1)||||22()21(2)22
O B B A B A A O ?----=--?=-?=-???=-．
5．设A 为4阶可逆方阵，且1||2A -=，求*1|3()2|A A --． 解 先将行列式中的矩阵化为同名矩阵，*11
()2||
A -=
A=A A ，再代入，可得 *1441
|3()2||322||4|4||41282
A A A A --=?-==?=?
=A A ． 6．设12468A -??= ?
??，求11
,|4|,()T A A A --． 解 因为12468A -??= ???
，所以1
||8A -=-，故
11844211()()623184A A ----????
==-= ? ?--????，
121|4|4||16(8)128A A --==?-=-；
1
126()()48T T
A A --??
== ???
．
7．已知2
101
2101
2A ??
?= ? ??
?，1223B ??= ???，123421C ??
?
= ? ???
，求解下列矩阵方程：
（1） AX X C =+ ;(2) AXB C =.
解 （1）由AX X C =+，得1()()A E X C X A E C --=?=-，所以
1011()111110A E --?? ?-=- ? ?-??，1()X A E C -=-130122??
?
=- ? ???
;
- 20 - 习 题 解 答
(2) 因为1321321242,214123A B --??
-?? ?
=--= ? ?-?? ?-??
，所以
11111132116102221443951X A CB --??---??- ??? ?=== ? ? ?-?? ? ?--????
．
8．设111111111A -??
?
=- ? ?-??
，三阶方阵X 满足关系式*12A X A X -=+，求X ．
解 因为1
1
1
1
1
1
11
||11
1020241111111
1
A ---=-===---，所以**4AA A A E ==．用A
左乘表达式*12A X A X -=+的两边，得42X E A =+，从而
1
11111110111(42)(2)111011224111101X E A E A ----????
? ?
=-=-=-= ? ? ? ?-????．
9．设矩阵300050,003?? ?
- ? ???
A=且满足**180ABA BA E O ++=,求矩阵B .
解 因为||45A =-，所以**45AA A A E ==-．用A 右乘**180ABA BA E O ++=的两
边，得()4A E B A +=，从而1
14003004()4040050004003B A E A A --????
? ?
=+=-= ? ? ? ?????
．
10．设A 为n 阶方阵，*A 为A 的伴随矩阵，证明：(1) 若0=A ，则||0A *=；
(2)
1||||n A A *-=．
证明 (1) 设0=A ，若A O =，则*A O =，当然有|
|0A *=；若A O ≠，则可以利
用等式*T AA AA |A|E ==得到*A A O =，考虑齐次线性方程组*A X O =，由于
*A A O =，且A O ≠，故方程组*A X O =有非零解，从而有|
|0A *=．
(2) 由（1）只要证明0A ≠的情形．事实上，当0A ≠时，由*T AA AA |A|E ==可得*n |A||A ||A|?=，两边同除以||A ，则有结论1|
|||n A A *-=成立．
线性代数习题3答案(高等教育出版社)
习题3 1.11101134032αβγαβαβγ ===-+-设（，，），（，，），（，，），求和 1110111003231112011340015αβαβγ-=-=+-=+-=解：（，，）（，，）（，，） （，，）（，，）（，，）（，，） 1231232.32525131015104111αααααααααα -++=+===-设（）（）（），其中（，，，） （，，，），（，，，），求1231233251 32561 [32513210151054111] 6 1234ααααααααααα-++=+=+-=+--=解：因为（）（）（），所以（）， 所以（，，，）（，，，）（，，，）（，，，） 123412343.12111111111111111111,,,βααααβαααα===--=--=--设有（，，，），（，，，），（，，，）， （，，，），（，，，）试将表示成的线性组合。 123412341234123412341234 1211 5111 ,,,; 4444 5111 4444 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x βαααα+++=??+--=? ?-+-=??--+=?===-=-=+--解：因为线性方程组的解为 所以得： 1234.111112313) t ααα===设讨论下面向量组的线性的相关性 （）（，，），（，，），（，， 111 1235, 1355t t t t =-=≠解：因为所以，当时，向量组线性相关，当时线性无关。 . 323232.5213132321321的线性相关性， ，线性无关，讨论，，设αααααααααααα++++++ . 0)23()32()23(.0)32()32()32(332123211321213313223211=++++++++=++++++++ααααααααααααx x x x x x x x x x x x 整理得：解：设
(完整版)线性代数行列式第一章练习题答案
《线性代数》(工)单元练习题 一、填空题 1、设矩阵A 为4阶方阵，且|A |=5，则|A*|=__125____，|2A |=__80___，|1-A |= 1/5 2、若方程组?? ? ??=+=+=+a bz cy b az cx ay bx 0 有唯一解，则abc ≠ 0 3、把行列式的某一列的元素乘以同一数后加到另一列的对应元素上，行列式 0 . 4、当a 为 1 or 2 时，方程组??? ??=++=++=++0 40203221321321x a x x ax x x x x x 有非零解. 5、设=-+----=31211142,4 101322 13A A A D 则 .0 二、单项选择题 1．设） （则=---===33 3231312322212113 1211113332312322 211312 11324324324,1a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a D B （A)0 ； （B)―12 ； （C ）12 ； （D ）1 2．设齐次线性方程组??? ??=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx 有非零解，则k = （ A ） （A ）2 （B ）0 （C ）-1 （D ）-2 3．设A=7 925138 02-，则代数余子式 =12A ( B ) (A) 31- (B) 31 (C) 0 (D) 11- 4．已知四阶行列式D 中第三列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次分别为5，3，-7,4， 则D= ( A ) （A ） -15 （B ） 15 （C ） 0 （D ） 1 三、计算行列式
线性代数第五章 课后习题及解答
第五章课后习题及解答 1. 求下列矩阵的特征值和特征向量： (1) ;1332??? ? ??-- 解：,0731332 2=--=--=-λλλλλA I 2 373,237321-=+=λλ ,00133637123712137 1??? ? ??→→???? ??=-++- A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T - 因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()371,6(11≠-k k T ,001336371237123712??? ? ??→→???? ??-=---+ A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T +
因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()371,6(22≠+k k T (2) ;211102113???? ? ??-- 解：2)2)(1(2 111211 3--==------=-λλλλ λλ A I 所以，特征值为：11=λ(单根)，22=λ(二重根) ???? ? ??-→→????? ??------=-0001100011111121121 A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,1,0(T 因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()1,1,0(11≠k k T ???? ? ??-→→????? ??-----=-0001000110111221112 A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)0,1,1(T 因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()0,1,1(22≠k k T
《线性代数》习题集(含答案)
《线性代数》习题集（含答案） 第一章 【1】填空题 （1） 二阶行列式 2a ab b b =___________。 （2） 二阶行列式 cos sin sin cos αα α α -=___________。 （3） 二阶行列式 2a bi b a a bi +-=___________。 （4） 三阶行列式x y z z x y y z x =___________。 （5） 三阶行列式 a b c c a b c a b b c a +++=___________。 答案：1.ab(a-b)；2.1；3.()2 a b -；4.3 3 3 3x y z xyz ++-；5.4abc 。 【2】选择题 （1）若行列式12 5 1 3225x -=0，则x=（）。 A -3； B -2； C 2； D 3。 （2）若行列式11 1 1011x x x =，则x=（）。 A -1 ， B 0 ， C 1 ， D 2 ，
（3）三阶行列式2 31 503 2012985 23 -=（）。 A -70； B -63； C 70； D 82。 （4）行列式 000 000 a b a b b a b a =()。 A 4 4 a b -；B () 2 2 2a b -；C 4 4 b a -；D 44 a b 。 （5）n 阶行列式0100 0020 0001000 n n - =（）。 A 0； B n ！； C （-1）·n ！； D () 1 1!n n +-?。 答案：1.D ；2.C ；3.A ；4.B ；5.D 。 【3】证明 33()by az bz ax bx ay x y z bx ay by az bz ax a b z x y bz ax bx ay by az y z x ++++++=++++ 答案：提示利用行列式性质将左边行列式“拆项”成八个三阶行列式之和，即得结果。 【4】计算下列9级排列的逆序数，从而确定他们的奇偶性： （1）134782695；（2）217986354；（3）987654321。 答案：（1）τ（134782695）=10，此排列为偶排列。 （2）τ（217986354）=18，此排列为偶排列。 （3）τ（987654321）=36，此排列为偶排列。 【5】计算下列的逆序数： （1）135 （2n-1）246 （2n ）；（2）246 （2n ）135 （2n-1）。 答案：（1） 12n （n-1）；（2）1 2 n （n+1） 【6】确定六阶行列式中，下列各项的符号：
居于马线性代数第一章答案
1、2222 0a ab a b ab ab ab b =?-?= 2、 22cos sin cos cos (sin )sin cos sin 1sin cos αααααααααα-=?--?=+= 3、 222()()22()2a bi b a bi a bi ab a b ab a b a a bi +=+--=+-=-- 4、3 24 2 123*1*(3)2*(2)*5(4)*4*23*(2)*22*4*(3)(4)*1*5423--=-+-+--------- 5、123 4 561*5*92*6*73*4*81*6*82*4*93*5*7789=++--- 6、2 21 4 1 12*1*1012*(1)*2021*4*1992*(1)*1992*4*1011*1*202202199101-=+-+---- 7、22 22 343222222 11101(1)(1)(1)01001w w w w w w w w w w w w w w w w w w +?---=-=-++=-?--第2行第1行()第3行第1行() 8、33222321 21*2*3322663 x x x x x x x x x x x x x =++---=-+ 9、 1430004 004 00431(1)04342560432432 4321 +-=-=-按第行展开 10、公式： 解： 10100 00 10 010 02000020 10(1)10 080000 800900009 10 +-?按第行展开
11、 31 111111********* 00311*(2)811110020411 1 1 1 2 ----=-=------第行第行第行第行第行第行 12、该行列式中各行元素之和均为10，所以吧第2，3，4列加到第1列，然后再把第1列后三个元素化为零，再对第1列展开，即 13、 5 04211111111210 1121112102 1 143247412041200324153 1 1 11 5 42 0153 ----- =- =----=----------第，行交换 14、先将第1行与第5行对换，第3行与第4行对换（反号两次，其值不变） 根据课本20页公式（1.21），原式012 11 2003*41203 022 = -=-=-（） 15、 12 00340012132*160013 345 1 00 5 1-= =---（）（）=32 16、1234512345 123678910678910 21 3567810*220000********* 0100002400024 01011 00013 -=-=-=-第，行对换 17、根据课本20页公式（1.22） 18、100 12 01*2*33!123 A ===， 所以 3*5*(1)||||3!5!0 A A B B =-=- 19、证： 20、111111112111110 031111100 411 1 1 10 0x x x x x y x y y x y ++----= -+-----第行第行左第行第行第行第行
线性代数复习题及答案
《 线性代数复习提纲及复习题 》 理解或掌握如下内容： 第一章 n 阶行列式 .行列式的定义，排列的逆系数，行列式性质，代数余子式， 行列式的计算，三角化法及降阶法，克莱姆法则。 第二章 矩阵及其运算 矩阵的线性运算，初等变换与初等矩阵的定义，方阵的逆矩阵定义及性质 方阵的逆矩阵存在的充要条件，用初等变换求逆矩阵，矩阵方程的解法，矩阵的秩的定义及求法；齐次线性方程组只有零解、有非零解的充要条件，；非齐次线性方程组有解的充要条件，解的判定。 第三章 线性方程组 ｎ维向量的线性运算，向量组线性相关性的定义及证明，向量空间，向量组的极大线性无关组、秩； 齐次线性方程组的基础解系，解的结构，方程组求解；非齐次线性方程组解的结构，用初等变换解方程组，增广矩阵含有字母元素的方程组的求解。 复习题： 一、填空 （1）五阶行列式的项5441352213a a a a a 前的符号为 负 ； （2）设)3,3,2(2),3,3,1(-=+-=-βαβα，则α= （1，0，0） ； （3）设向量组γβα,,线性无关，则向量组γβαβα2,,+-线性 无关 ； （4）设* A 为四阶方阵A 的伴随矩阵，且*A =8，则12)(2-A = 4 ； （5）线性方程组054321=++++x x x x x 的解空间的维数是 4 ； （6）设???? ? ??=k k A 4702031，且0=T A 则k = 0或6 ； （7）n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩r(A)秩是r,则其解空间的维数是 n-r ； （8）的解的情况是：方程组b Ax b A R A R 2),,()3(== 有解 ； （9）方阵A 的行向量组线性无关是A 可逆的 充要 条件；
线性代数第一章行列式试题及答案
如何复习线形代数 线性代数这门课的特点主要有两个：一是试题的计算量偏大，无论是行列式、矩阵、线性方程组的求解，还是特征值、特征向量和二次型的讨论都涉及到大量的数值运算，稍有不慎，即会出错；二是前后内容紧密相连，纵横交织，既相对独立又密不可分，形成了一个完整、独特的知识体系. 在掌握好基本概念、基本原理和基本方法的前提下，下面谈谈在复习过程中应注意的一些问题. 一、加强计算能力训练，切实提高计算的准确性 二、扩展公式结论蕴涵，努力探索灵活解题途径 三、注重前后知识联系，努力培养综合思维能力 线性代数不仅概念多，公式结论多，而且前后知识联系紧密，环环相扣，几乎从任何一个知识点都可切入将前后知识联系起来考查 四、加强综合题型训练，全面系统地掌握好知识 计算能力的提高不是一朝一夕的事，除了要不断归纳总结一些重要公式和结论并加以巧妙、适当的应用外，还要靠平时的积累，要养成踏踏实实、有始有终将最后结果计算出来的习惯，只要持之以恒、坚持练习，计算准确性的提高并不是一件困难的事. 而对整个知识的融会贯通、综合应用也有赖于适当地多做这方面的练习， 第一章行列式 一.概念复习 1. 形式和意义 形式:用n2个数排列成的一个n行n列的表格,两边界以竖线,就成为一个n阶行列式: a11 a12 (1) a21 a22 (2) ………. a n1 a n2…a nn 如果行列式的列向量组为1,2, …,n,则此行列式可表示为|1,2, …,n|. 意义:是一个算式,把这n2个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为这个行列式的值. 请注意行列式和矩阵在形式上和意义上的区别. 当两个行列式的值相等时,就可以在它们之间写等号! (不必形式一样,甚至阶数可不同.) 每个n阶矩阵A对应一个n阶行列式,记作|A|. 行列式这一讲的的核心问题是值的计算,以及判断一个行列式的值是否为0. 2. 定义(完全展开式) 一般地,一个n阶行列式 a11 a12 (1) a21 a22 (2) ……… a n1 a n2…a nn 的值是许多项的代数和,每一项都是取自不同行,不同列的n个元素的乘积,其一般形式为: n nj j j a a a 2 1 2 1 ,这里把相乘的n个元素的行标按自然顺序排列,它们的列标j1j2…j n构成1,2, …,n的一个全排列(称为一个n元排列), 一个n元排列的总项数共有n!个,因此n阶行列式的值是n!项的代数和。 所谓代数和是在求总和时每项先要乘+1或-1.规定(j1j2…j n)为全排列j1j2…j n的逆序数,全排列的逆序数即小数排列在大数右面的现象出现的个数. 逆序数可如下计算:标出每个数右面比它小的数的个数,它们的和就是逆序数.例如求436512的逆序数: 2 3 2 3 215 6 3 4,(436512)=3+2+3+2+0+0=10. 则项 n nj j j a a a 2 1 2 1 所乘的是. )1 () (2 1n j j j τ -即逆序数是偶数时，该项为正；逆序数是奇数时，该项为负；在一个n元排列的n!项中，奇排列和偶排列各有n!/2个。至此我们可以写出n阶行列式的值: a11 a12 (1) a21 a22…a2n =. )1 ( 2 1 2 1 2 1 2 1 ) ( n n n nj j j j j j j j j a a a τ - ∑ ……… a n1 a n2…a nn
线性代数机械工业出版社第一章答案
线性代数第一章行列式 一、填空题 1.排列631254的逆序数τ(631254)= 8 . 解: τ(631254)=5+2+1=8 2.行列式2 13132 3 21= -18 . 解:D=1?3?2+2×1×3+2×1×3-3?3?3-1?1?1-2?2?2=-18 3、4阶行列式中含1224a a 且带正号的项为_______ 答案：12243341a a a a 分析：4阶行列式中含1224a a 的项有12243341a a a a 和12243143a a a a 而 12243341a a a a 的系数：() (1234)(2431) 41(1)1ττ+-=-= 1224314 a a a a 的系数：()(1234)(2413) 31(1)1ττ+-=-=- 因此，符合条件的项是12243341a a a a 4、2 2 2 111a a b b c c （,,a b c 互不相等）=_______ 答案：()()()b a c a c b --- 分析：2 22 111a a b b c c =222222 ()()()bc ab a c b c ac ba b a c a c b ++---=--- 5.行列式 1 13 6 104 204 710501 λ --中元素λ的代数余子式的值为 42 解析: 元素λ的代数余子式的值为6 42 071 01-3 41+-?）（=(－1) ×7×6×(－1)=42 6.设3 1-2031 2 22 3=D ,则代数余子式之和232221A A A ++=0
解析：232221A A A ++=1×21A +1×22A +1×23A =3 121112 22 -=0 二、 单项选择题 1、设x x x x x x f 1111231 11 2 12)(-= ，则x 3 的系数为（C ） A. 1 B. 0 C. -1 D. 2 解： x 3 的系数为 ） （） （）（1-21341234 +=-1 2、 设333231232221 131211 a a a a a a a a a =m ≠0,则33 3231312322 212113 121111423423423a a a a a a a a a a a a ---=（B ） A.12m B. -12m C.24m D. -24m 解：3332 31 232221 131211 a a a a a a a a a )4(2-?j →33 32 31 23222113 12114-4-4-a a a a a a a a a =-4m 212j j +?→33 32 3131 23222121 13 1211114-24-24-2a a a a a a a a a a a a =-4m 31?j →33 32 3131 23222121 13 121111 4-234-234-23a a a a a a a a a a a a =-12m 3.行列式 k-12 2k-1 ≠0的充分必要条件是（C ） (A.)k ≠-1 (B)k ≠3 (C)k ≠-1且k ≠3(D)k ≠-1或k ≠3 因为原式=(k-1)(k-1)-4≠0 所以k-1≠2且k-1≠-2 所以k ≠-1且k ≠3 所以答案为C 4.行列式 0000 00 a b c d e f g h 中元素g 的代数余子式的值为（B ） （A ）bcf-bde (B)bde-bcf (C)acf-ade (D)ade-acf
线性代数习题及解答
线性代数习题一 说明：本卷中，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r (A )表示矩阵A 的秩，||α||表示向量α的长度，αT 表示向量α的转置，E 表示单位矩 阵，|A |表示方阵A 的行列式. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设行列式11 121321 222331 3233a a a a a a a a a =2，则1112 13 31323321312232 2333 333a a a a a a a a a a a a ------=（ ） A ．-6 B ．-3 C ．3 D ．6 2．设矩阵A ，X 为同阶方阵，且A 可逆，若A （X -E ）=E ，则矩阵X =（ ） A ．E +A -1 B ．E -A C ．E +A D ． E -A -1 3．设矩阵A ，B 均为可逆方阵，则以下结论正确的是（ ） A ．?? ? ??A B 可逆，且其逆为-1-1?? ???A B B ．?? ??? A B 不可逆 C ．?? ? ??A B 可逆，且其逆为-1-1?? ??? B A D ．?? ???A B 可逆，且其逆为-1-1?? ?? ? A B 4．设α1，α2，…，αk 是n 维列向量，则α1，α2，…，αk 线性无关的充分必要条件是 （ ） A ．向量组α1，α2，…，αk 中任意两个向量线性无关 B ．存在一组不全为0的数l 1，l 2，…，l k ，使得l 1α1+l 2α2+…+l k αk ≠0 C ．向量组α1，α2，…，αk 中存在一个向量不能由其余向量线性表示 D ．向量组α1，α2，…，αk 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示 5．已知向量2(1,2,2,1),32(1,4,3,0),T T +=---+=--αβαβ则+αβ=（ ） A ．（0，-2，-1，1）T B ．（-2，0，-1，1）T C ．（1，-1，-2，0）T D ．（2，-6，-5，-1）T 6．实数向量空间V ={(x , y , z )|3x +2y +5z =0}的维数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7．设α是非齐次线性方程组Ax =b 的解，β是其导出组Ax =0的解，则以下结论正确的是 （ ）
线性代数习题集(带答案)
第一部分专项同步练习 第一章行列式 一、单项选择题 1．下列排列是 5 阶偶排列的是( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列j1 j2 j n 的逆序数是k , 则排列j n j2 j1的逆序数是( ). n! (A) k (B) n k (C) k 2 n(n 1) (D) k 2 3. n 阶行列式的展开式中含a11a12 的项共有( )项. (A) 0 (B) n 2 (C) (n 2)! (D) (n 1)! 0 0 0 1 4． 1 1 ( ). 1 0 0 0 (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2 0 0 1 0 5.0 1 1 ( ). 1 0 0 0 (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2 2x x 1 1 6．在函数 1 x 1 2 f (x) 中 3 2 x 3 3 x 项的系数是( ). 0 0 0 1 (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2 1
7. 若 a a a 11 12 13 1 D a a a ，则 21 22 23 2 a a a 31 32 33 2a a 13 a 33 a 11 a 31 2a 12 2a 32 11 D 2a a a 2a ( ). 1 21 23 21 22 2a 31 (A) 4 (B) 4 (C) 2 (D) 2 a a 11 ，则 12 8．若 a a a 21 22 a 12 a 11 ka 22 ka 21 ( ). 2 (D) k2a (A) ka (B) ka (C) k a 9．已知 4 阶行列式中第 1 行元依次是4, 0, 1, 3, 第 3 行元的余子式依次为2, 5,1, x, 则x ( ). (A) 0 (B) 3 (C) 3 (D) 2 8 7 4 3 10. 若 6 2 3 1 D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). 1 1 1 1
线性代数练习题答案三
线性代数练习题答案三 一、温习巩固 ?x1?2x2?x3?x4?0? 1. 求解齐次线性方程组?3x1?6x2?x3?3x4?0 ?5x?10x?x?5x?0 234?1 解：化系数矩阵为行最简式 ?121?1??120-1? ??行变换??A??36?1?3??????0010? ?5101?5??0000????? 因此原方程同解于? ?x1??2x2?x4 令x2?k1,x4?k2，可求得原方程的解为 x3?0? ??2??1?????1???0? x?k1???k2??，其中k1,k2为任意常数。 00?????0??1????? ?4x1?2x2?x3?2 ? 2. 求解非齐次线性方程组?3x1?x2?2x3?10 ?11x?3x?8 12?
解：把增广矩阵化为阶梯形 ?42?12??13?3?8??13-3-8? ??r1?r2??行变换?? ??3?1210??????3?1210??????0-101134? ?113?113?0008?08?0-6??????? 因此R?2?R?3，所以原方程组无解。 3. 设??,??。求向量?，使2??3???。 解：?? 151?? ???3,,0,??33?? 4. 求向量组 ?1?T,?2?T,?3?T,?4?T,?5?T的 秩和一个极大线性无关组。 解：将?1,??5作为列向量构成矩阵，做初等行变换 ?1???1A?? 2??4? 二、练习提高⒈ 判断题 03130?11722140 2??1??1??0???50?? ?6???0 312 312??1
303??0 ???1010?? ?2?4?2???0 100 312? ? 101? ?000? 0?4?4?? 所以向量组的秩为3，?1,?2,?4是一个极大线性无关组。 ⑴ 初等变换总是把方程组变成同解方程组，这也是消元法的理论基础。⑵ 设A为m?n矩阵，Ax?0是非齐次线性方程组Ax?b的导出组，则 若Ax?0仅有零解，则Ax?b有唯一解。若Ax?0有非零解，则Ax?b有无穷多解。若Ax?b有无穷多解，则Ax?0有非零解。 ?A ⑶ 设A为n阶矩阵，?是n维列向量，若R???T ? ?A???T?
北大版 线性代数第一章部分课后答案详解
习题1.2： 1 .写出四阶行列式中 11121314212223243132333441 42 43 44 a a a a a a a a a a a a a a a a 含有因子1123a a 的项 解：由行列式的定义可知，第三行只能从32a 、34a 中选，第四行只能从42a 、44a 中选，所以所有的组合只有() () 13241τ-11233244a a a a 或() () 13421τ-11233442a a a a ，即含有因子1123a a 的项 为11233244a a a a 和11233442a a a a 2. 用行列式的定义证明111213141521 22232425 31 3241425152 000000000 a a a a a a a a a a a a a a a a =0 证明：第五行只有取51a 、52a 整个因式才能有可能不为0，同理，第四行取41a 、42a ，第三行取31a 、32a ，由于每一列只能取一个，则在第三第四第五行中，必有一行只能取0.以第五行为参考，含有51a 的因式必含有0，同理，含有52a 的因式也必含有0。故所有因式都为0.原命题得证.。 3.求下列行列式的值： （1）01000020;0001000 n n -L L M M M O M L L （2）00100200100000 n n -L L M O M O M L L ； 解：（1）0100 0020 0001 000 n n -L L M M M O M L L =()()23411n τ-L 123n ????L =()1 1!n n --
线性代数练习题及答案精编
线性代数练习题 一 选择题 1B A ,都是n 阶矩阵，且0=AB , 则必有:（ ） (A) 0A =或0=B . (B) 0A B == . (C) 0=A 或.0=B (D) 0A B == 2设1011,1101a b c d -??????= ??? ?-?????? 则a b c d ?? = ???（ ） (A)01. 11?? ?-?? (B)11. 10-?? ??? (C)11. 11-?? ??? (D)11. 01?? ?-?? 3若 A 为n m ?矩阵,且n m r A R <<=)(则( )必成立. （A ）A 中每一个阶数大于r 的子式全为零。 （B ）A 是满秩矩阵。 （C ）A 经初等变换可化为??? ? ??000r E （D ）A 中r 阶子式不全为零。 4 向量组 s ααα ,,21,线性无关的充分条件是( ) （A ） s ααα ,,21均不是零向量. （B ） s ααα ,,21中任一部分组线性无关. （C ） s ααα ,,21中任意两个向量的对应分量都不成比例. （D ） s ααα ,,21中任一向量均不能由其余S-1个向量线性表示. 5 齐次线性方程组0AX =是非齐次线性方程组AX B =的导出组,则( )必定成立. （A ）0AX =只有零解时, AX B =有唯一解. （B ）0AX =有非零解时, AX B =有无穷多解. （C ）α是θ=AX 的任意解,0γ 是AX B =的特解时,0γα+是AX B =的全部解. （D ）12γγ，是AX B =的解时, 21γγ+ 是0AX =的解. 6若θ≠B ,方程组B AX =中, 方程个数少于未知量个数，则有( )
线性代数习题集(带答案)
第一部分 专项同步练习 第一章 行列式 一、单项选择题 1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4． =0 00100100 1001 000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 00110000 0100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6．在函数1 3232 111 12)(x x x x x f ----= 中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2
7. 若2 1 33 32 31 232221 131211==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若5 7341111 1 326 3 478 ----= D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23 5 001 01 11 10 403 --= D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题
线性代数习题参考答案
第一章 行列式 §1 行列式的概念 1． 填空 (1) 排列6427531的逆序数为 ，该排列为 排列。 (2) i = ，j = 时， 排列1274i 56j 9为偶排列。 (3) n 阶行列式由 项的代数和组成，其中每一项为行列式中位于不同行不同列的 n 个元素的乘积，若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列，那么列标构 成一个n 元排列。若该排列为奇排列，则该项的符号为 号；若为偶排列，该项的符号为 号。 (4) 在6阶行列式中， 含152332445166a a a a a a 的项的符号为 ，含 324314516625a a a a a a 的项的符号为 。 2． 用行列式的定义计算下列行列式的值 (1) 11 222332 33 000 a a a a a 解： 该行列式的3!项展开式中，有 项不为零，它们分别为 ，所以行列式的值为 。 (2) 12,121,21,11,12 ,100000 0n n n n n n n n n n n n nn a a a a a a a a a a ------L L M M M M L L 解：该行列式展开式中唯一不可能为0的项是 ，而它的逆序数是 ，故行列式值为 。 3． 证明：在全部n 元排列中，奇排列数与偶排列数相等。 证明：n 元排列共有!n 个，设其中奇排列数有1n 个，偶排列数为2n 个。对于任意奇排 列，交换其任意两个元的位置，就变成偶排列，故一个奇排列与许多偶排列对应，所以有1n 2n ，同理得2n 1n ，所以1n 2n 。
4． 若一个n 阶行列式中等于0的元素个数比n n -2 多，则此行列式为0，为什么？ 5． n 阶行列式中，若负项的个数为偶数，则n 至少为多少？ （提示：利用3题的结果） 6． 利用对角线法则计算下列三阶行列式 （1）2 011 411 8 3 --- （2）2 2 2 1 11a b c a b c
线性代数习题及答案(复旦版)
线性代数习题及答案 习题一 1. 求下列各排列的逆序数. (1) 341782659； (2) 987654321； (3) n (n 1)…321； (4) 13…(2n 1)(2n )(2n 2)…2. 【解】 (1) τ(341782659)=11; (2) τ(987654321)=36; (3) τ(n (n 1)…3·2·1)= 0+1+2 +…+(n 1)= (1) 2 n n -; (4) τ(13 (2) 1)(2n )(2n 2)…2)=0+1+…+(n 1)+(n 1)+(n 2)+…+1+0=n (n 1). 2. 略.见教材习题参考答案. 3. 略.见教材习题参考答案. 4. 本行列式4512 312 1 23 122x x x D x x x = 的展开式中包含3 x 和4 x 的项. 解： 设 123412341234() 4 1234(1)i i i i i i i i i i i i D a a a a τ = -∑ ， 其中1234,,,i i i i 分别为不同列中对应元素的行下标，则4D 展开式中含3 x 项有 (2134)(4231)333(1)12(1)32(3)5x x x x x x x x x ττ-????+-????=-+-=- 4D 展开式中含4x 项有 (1234)4(1)2210x x x x x τ-????=. 5. 用定义计算下列各行列式. (1) 0200 0010 30000004 ； (2) 1230 002030450001 . 【解】(1) D =(1)τ(2314) 4!=24; (2) D =12. 6. 计算下列各行列式.
线性代数详细答案
第一章 行列式 习题1.1 1. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。 因为)3(Q Q ?，所以)3(Q 中至少含有两个复数。 任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有 3 )()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。 因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以 ) 3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。 如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。 又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以 )3(33) (3)3() 3)(3()3)(3(3 32 2 22212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--= -+-+= ++。 综上所述，我们有)3(Q 是数域。 （2）类似可证明)(p Q 是数域，这儿p 是一个素数。 （3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ?。 （反证法）如果)()(q Q p Q ?，则q b a p Q b a +=? ∈?,，从而有 q ab qb a p p 2)()(222++==。 由于上式左端是有理数，而q 是无理数，所以必有02=q ab 。 所以有0=a 或0=b 。 如果0=a ，则2 qb p =，这与q p ,是互异素数矛盾。
线性代数二次型习题及答案
·107· 第六章 二次型 1．设方阵1A 与1B 合同，2A 与2B 合同，证明1 2A ?? ?? ?A 与12?? ???B B 合同. 证：因为1A 与1B 合同，所以存在可逆矩1C ，使T 1111=B C A C ， 因为2A 与2B 合同，所以存在可逆矩2C ，使T 2222=B C A C . 令 12?? = ??? C C C ，则C 可逆，于是有 T T 1111111 T 2222222??????????== ? ? ? ?????????????B C A C C AC B C A C C A C 1T 2?? = ??? A C C A 即 12A ?? ???A 与12?? ??? B B 合同. 2．设A 对称，B 与A 合同，则B 对称 证：由A 对称，故T =A A . 因B 与A 合同，所以存在可逆矩阵C ，使T =B C AC ，于是 T T T T T T ()====B C AC C A C C AC B 即B 为对称矩阵. 3．设A 是n 阶正定矩阵，B 为n 阶实对称矩阵，证明：存在n 阶可逆矩阵P ，使 BP P AP P T T 与均为对角阵. 证：因为A 是正定矩阵，所以存在可逆矩阵M ，使 E AM M =T 记T 1=B M BM ，则显然1B 是实对称矩阵，于是存在正交矩阵Q ，使 T 11diag(,,)n D μμ==Q B Q L T 11,,. n μμ=B M BM L 其中为的特征值 令P=MQ ，则有 D BP P E AP P ==T T , ,A B 同时合同对角阵. 4．设二次型211 1 ()m i in n i f a x a x == ++∑L ，令()ij m n a ?=A ，则二次型f 的秩等于()r A . 证：方法一 将二次型f 写成如下形式： 2111 ()m i ij j in n i f a x a x a x ==++++∑L L 设A i = 1(,,,,)i ij in a a a L L ),,1(m i Λ=
线性代数二次型习题及答案
第六章 二次型 1．设方阵1A 与1B 合同，2A 与2B 合同，证明1 2A ?? ?? ?A 与12?? ???B B 合同. 证：因为1A 与1B 合同，所以存在可逆矩1C ，使T 1111=B C A C ， 因为2A 与2B 合同，所以存在可逆矩2C ，使T 2222=B C A C . 令 12?? = ??? C C C ，则C 可逆，于是有 T T 1111111 T 2222222??????????== ? ? ? ?????????????B C A C C AC B C A C C A C 1T 2?? = ??? A C C A 即 12A ?? ???A 与12?? ??? B B 合同. 2．设A 对称，B 与A 合同，则B 对称 证：由A 对称，故T =A A . 因B 与A 合同，所以存在可逆矩阵C ，使T =B C AC ，于是 T T T T T T ()====B C AC C A C C AC B 即B 为对称矩阵. 3．设A 是n 阶正定矩阵，B 为n 阶实对称矩阵，证明：存在n 阶可逆矩阵P ，使 BP P AP P T T 与均为对角阵. 证：因为A 是正定矩阵，所以存在可逆矩阵M ，使 E AM M =T 记T 1=B M BM ，则显然1B 是实对称矩阵，于是存在正交矩阵Q ，使 T 11diag(, ,)n D μμ==Q B Q T 11, ,. n μμ=B M BM 其中为的特征值 令P=MQ ，则有 D BP P E AP P ==T T , ,A B 同时合同对角阵. 4．设二次型211 1 ()m i in n i f a x a x == + +∑，令()ij m n a ?=A ，则二次型f 的秩等于()r A . 证：方法一 将二次型f 写成如下形式： 2111 ()m i ij j in n i f a x a x a x ==+ ++ +∑ 设A i = 1(,,,,)i ij in a a a ),,1(m i =
线性代数第1章行列式试卷及答案
第一章 行列式 一、单项选择题 1.行列式D 非零的充分条件是( D ) (A) D 的所有元素非零 (B) D 至少有n 个元素非零 (C) D 的任何两行元素不成比例 (D)以D 为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解 2．二阶行列式 1 2 21--k k ≠0的充分必要条件是（ C ） A ．k ≠-1 B ．k ≠3 C ．k ≠-1且k ≠3 D ．k ≠-1或≠3 3．已知2阶行列式 2 21 1b a b a =m , 2 21 1c b c b =n ,则 2 22 111c a b c a b ++=（ B ） +n （m+n ） 4.设行列式==1 11103 4 222,1111304z y x z y x 则行列式（ A ） A.32 D.3 8 5．下列行列式等于零的是(D ) A .100123123- B. 031010300- C ． 100003010- D ． 2 61422613- 6．行列式 1 1 1 101111011110------第二行第一列元素的代数余子式21A =（ B ） A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．2 8．如果方程组?? ? ??=+=-=-+0404033232321kx x x x x kx x 有非零解,则 k =（ B ） 9．（考研题）行列式 0000000 a b a b c d c d =（ B ） A.()2ad bc - B.() 2ad bc -- C.2222a d b c - D.2222 b c a d - 二、填空题 1.四阶行列式中带负号且含有因子12a 和21a 的项为 44332112a a a a 。 2. 行列式11 1 2 3 44916 中（3，2）元素的代数余子式A 32=___-2___. 3. 设7 3 43690211 1 1 8751----= D ，则5A 14 + A 24+A 44=_______。 解答：5A 14+A 24+A 44= 1501 3430 90211 1 1 5751-=--- 4．已知行列式01 110321 2=-a ，则数a =____3______. 5．若a ,b 是实数，则当a =___且b =___时，有=---10100 a b b a 0。 解答：0)(1 0100 22=+-=--=---b a a b b a a b b a a =0, b =0 6. 设1 31 2 4321322 )(+--+-+= x x x x f ，则2x 的系数为 23 。 7. 五阶行列式=6 200357020381002 300031000___________。 解答：4232 1 2 331)1(6 200357020381002 30003100032=?? -=? 8. （考研题）多项式2 1 1111 )(32 1 3213 21321+++++= x a a a a x a a a a x a a a a x f 的所有零 点为 01=x ，12-=x ，23-=x 。 9、（考研题）设x d c b d x c b d c x b d c b x x f = )(，则方程0)(=x f 的根为=x 。 【分析】 )(x f 是关于x 的四次多项式，故方程0)(=x f 应有四根，利用行列式的性质知，当d c b x ,,=时，分别会出现两行相等的情况，所以行列式为零，故d c b x ,,=是方程的三个根。 再将后三列均加到第一列上去可以提取一个公因子为 d c b x +++，所以当)(d c b x ++-=时，满足0)(=x f ，所以得方程的 第四根)(d c b x ++-=。 故方程的四个根分别是：)(,,,d c b d c b ++-。 二、计算题 1、计算000100 0200020120002013000 002014 D = 。 【分析】方法一：此行列式刚好只有n 个非零元素 nn n n n a a a a ,,,,112211--- ，故非零项只有一项： nn n n n t a a a a 112211)1(---- ，其中2 ) 2)(1(--= n n t ， 因此 (20141)(20142) 2 (1) 2014!2014!D --=-= 方法二：按行列展开的方法也行。 2、计算行列式 3 214214314324 321= D 。 分析：如果行列式的各行（列）数的和相同时，一般首先采用的是将各列（行）加到第一列（行），提取第一列（行）的公因子(简称列（行)加