北京市六十六中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析

北京市六十六中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）

一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）

1．（4分）若p，q是两个简单命题，且“p或q”是假命题，则必有（）

A．p真q真B．p真q假C．p假q假D．p假q真

2．（4分）设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=﹣2，则抛物线的方程是（）

A．y2=﹣8x B．y2=﹣4x C．y2=8x D．y2=4x

3．（4分）命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的逆否命题为（）

A．若a＜b，则a+c＜b+c B．若a≤b，则a+c≤b+c

C．若a+c＜b+c，则a＜b D．若a+c≤b+c，则a≤b

4．（4分）以﹣=1的顶点为焦点，长半轴长为4的椭圆方程为（）

A．+=1 B．+=1

C．+=1 D．+=1

5．（4分）双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=（）

A．B．﹣4 C．4D．

6．（4分）双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为（）

A．6B．5C．4D．3

7．（4分）已知△ABC的顶点B，C在椭圆+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（）

A．B．6C．D．12

8．（4分）的一个充分不必要条件是（）

A．x＞y B．x＞y＞0 C．x＜y D．y＜x＜0

9．（4分）已知P是双曲线右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为y=3x，设

F1、F2分别是双曲线的左、右焦点．若|PF2|=3，则|PF1|=（）

A．5B．4C．3D．2

10．（4分）已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，﹣1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（）

A．B．C．（1，2）D．（1，﹣2）

二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）

11．（4分）已知圆C的圆心是直线x﹣y+1=0与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切．则圆C的方程为．

12．（4分）已知方程表示椭圆，则k的取值范围是．

13．（4分）“若x=y，则x2=y2”的逆命题是命题（填“真”或“假”）．

14．（4分）若双曲线的离心率e∈（1，2），则k的取值范围是．

15．（4分）“?x∈N，x2≤0”的否定是（写出命题）．

三、计算题（本题共3小题，共40分）

16．（12分）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣6y+12=0，求过点A（3，5）的圆的切线方程．17．（14分）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为

．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线y=x+1与椭圆C交于A，B两点，求A，B两点间的距离．

18．（14分）如图，椭圆=1（a＞b＞0）与过点A（2，0）B（0，1）的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=．

（Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，求证：．

北京市六十六中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）

1．（4分）若p，q是两个简单命题，且“p或q”是假命题，则必有（）

A．p真q真B．p真q假C．p假q假D．p假q真

考点：复合命题的真假．

专题：常规题型．

分析：“p或q”是假命题说明p，q两个命题都为假，分析选项可得答案．

解答：解：根据复合命题的真假判断表：

p q pvq

真真真

真假真

假真真

假假假

“p或q”是假命题，

说明：p假q假

故选C．

点评：本题考查了复合命题的真假，考试中属于送分题．

2．（4分）设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=﹣2，则抛物线的方程是（）

A．y2=﹣8x B．y2=﹣4x C．y2=8x D．y2=4x

考点：抛物线的简单性质．

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：根据抛物线的顶点在原点，准线方程为x=﹣2，可设抛物线的方程为y2=2px（p＞0），从而可求抛物线的方程．

解答：解：∵抛物线的顶点在原点，准线方程为x=﹣2

∴可设抛物线的方程为y2=2px（p＞0）

∵=2

∴2p=8

∴抛物线的方程为y2=8x

故选C．

点评：本题重点考查抛物线的方程，解题的关键是根据抛物线的性质，设出抛物线的方程．

3．（4分）命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的逆否命题为（）

A．若a＜b，则a+c＜b+c B．若a≤b，则a+c≤b+c

C．若a+c＜b+c，则a＜b D．若a+c≤b+c，则a≤b

考点：四种命题间的逆否关系．

专题：阅读型．

分析：把所给的命题看做一个原命题，写出这个命题的逆否命题是题设和结论否定并且要交换位置，得到结果．

解答：解：把“若a＞b，则a+c＞b+c”看做原命题，

它的逆否命题是题设和结论否定并且要交换位置，

∴它的逆否命题是：“若a+c≤b+c，则a≤b”，

故选D．

点评：本题考查求一个命题的逆否命题，实际上把一个命题看做原命题是根据需要来确定的，所有的命题都可以看做原命题，写出它的其他三个命题．属基础题．

4．（4分）以﹣=1的顶点为焦点，长半轴长为4的椭圆方程为（）

A．+=1 B．+=1

C．+=1 D．+=1

考点：圆锥曲线的共同特征；椭圆的标准方程；双曲线的简单性质．

专题：计算题．

分析：根据双曲线的顶点写出椭圆的焦点，看出椭圆的长轴在y轴上，根据条件得到的a

和c的值写出椭圆的方程．

解答：解：∵双曲线的焦点为（0，4），（0，﹣4）

顶点为（0，2 ）（0，﹣2 ）

∴以双曲线的顶点为焦点，长半轴长为4的椭圆a=4，c=2

∴b=2

∴椭圆的方程是，

故选D．

点评：本题考查圆锥曲线的共同特征，本题解题的关键是写出要用的关键点的坐标，即知道了椭圆的位置和大小，这是一个基础题．

5．（4分）双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=（）

A．B．﹣4 C．4D．

考点：双曲线的简单性质．

专题：计算题．

分析：由双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，可求出该双曲线的方程，从而求出m 的值．

解答：解：双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，

∴m＜0，且双曲线方程为，

∴m=，

故选A．

点评：本题考查双曲线性质的灵活运用，比较简单，需要注意的是m＜0．

6．（4分）双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为（）

A．6B．5C．4D．3

考点：双曲线的简单性质．

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：根据双曲线方程即可求出右焦点坐标，渐近线方程，而根据点到直线的距离公式即可求得焦点到渐近线的距离．

解答：解：双曲线的右焦点为（5，0），渐近线方程为y=；

∴（5，0）到y=的距离为：．

故选C．

点评：考查双曲线的标准方程，双曲线的焦点，以及渐近线方程的概念及求法，点到直线的距离公式．

7．（4分）已知△ABC的顶点B，C在椭圆+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（）

A．B．6C．D．12

考点：椭圆的简单性质．

专题：计算题．

分析：由椭圆的定义：椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，可得△ABC的周长．解答：解：由椭圆的定义：椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，

可得△ABC的周长为4a=，

故选C

点评：本题主要考查数形结合的思想和椭圆的基本性质，难度中等

8．（4分）的一个充分不必要条件是（）

A．x＞y B．x＞y＞0 C．x＜y D．y＜x＜0

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．

专题：计算题．

分析：由x＞y＞0?，?x＞y＞0或x＜y＜0，知的一个充分不必要条件是x＞y＞0．

解答：解：∵x＞y＞0?，

?x＞y＞0或x＜y＜0．

故选B．

点评：本题考查必要条件、充分条件、充要条件的判断，解题时要注意不等式的合理运用．9．（4分）已知P是双曲线右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为y=3x，设

F1、F2分别是双曲线的左、右焦点．若|PF2|=3，则|PF1|=（）

A．5B．4C．3D．2

考点：双曲线的简单性质．

专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：由双曲线的一条渐近线方程为3x﹣y=0可得：a=1，又双曲线的定义知|PF1|﹣|PF2|=2a，计算可得答案．

解答：解：∵双曲线的一条渐近线方程为3x﹣y=0，

∴a=1，

由双曲线的定义知|PF1|﹣|PF2|=2a=2，

∴|PF1|﹣3=2，

∴|PF1|=5．

故选A．

点评：本题考查双曲线的定义和方程、性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．

10．（4分）已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，﹣1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（）

A．B．C．（1，2）D．（1，﹣2）

考点：抛物线的简单性质．

专题：综合题；压轴题．

分析：先判断点Q与抛物线的位置，即点Q在抛物线内，再由点P到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，根据图象知最小值在S，P，Q三点共线时取得，可得到答案．

解答：解：点P到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，如图PF+PQ=PS+PQ，故最小值在S，P，Q三点共线时取得，此时P，Q的纵坐标都是﹣1，

故选A．

点评：本题主要考查抛物线的定义，即抛物线是到定点的距离等于定直线的距离的点的集合．

二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）

11．（4分）已知圆C的圆心是直线x﹣y+1=0与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切．则圆C的方程为（x+1）2+y2=2．

考点：圆的标准方程．

专题：直线与圆．

分析：直线与圆的位置关系通常利用圆心到直线的距离或数形结合的方法求解，欲求圆的方程则先求出圆心和半径，根据圆与直线相切建立等量关系，解之即可．

解答：解：令y=0得x=﹣1，所以直线x﹣y+1=0，与x轴的交点为（﹣1，0）

因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，

即，所以圆C的方程为（x+1）2+y2=2；

故答案为（x+1）2+y2=2

点评：本题主要考查直线与圆的位置关系，以及圆的标准方程等基础知识，属于容易题．12．（4分）已知方程表示椭圆，则k的取值范围是（3，5）．

考点：椭圆的标准方程．

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：利用椭圆的性质求解．

解答：解：∵表示椭圆，

∴，

解得3＜k＜5，

∴k的取值范围是（3，5）．

故答案为：（3，5）．

点评：本题考查椭圆的性质的应用，是基础题，解题时要认真审题．

13．（4分）“若x=y，则x2=y2”的逆命题是假命题（填“真”或“假”）．

考点：四种命题．

专题：简易逻辑．

分析：先写出逆命题，然后举反例说明为假．

解答：解：“若x=y，则x2=y2”的逆命题是“若x2=y2，则x=y”，举反例：x=﹣2，y=2时不成立，则为假命题，

故答案为：假．

点评：本题考查四种命题，注意其概念，属于概念题，较基础．

14．（4分）若双曲线的离心率e∈（1，2），则k的取值范围是﹣12＜k＜0．

考点：双曲线的简单性质．

专题：计算题；压轴题．

分析：由双曲线的离心率e∈（1，2），知1＜，由此能求出k的取值范围．

解答：解：∵双曲线的离心率e∈（1，2），

∴1＜，

解得﹣12＜k＜0．

故答案为：﹣12＜k＜0．

点评：本题考查双曲线的性质和应用，解题时要注意公式的合理运用．

15．（4分）“?x∈N，x2≤0”的否定是?x∈N，x2＞0（写出命题）．

考点：命题的否定．

专题：简易逻辑．

分析：直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．

解答：解：因为特称命题的否定是全称命题，所以：“?x∈N，x2≤0”的否定是：?x∈N，x2＞0．

故答案为：?x∈N，x2＞0．

点评：本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定故选，基本知识的考查．

三、计算题（本题共3小题，共40分）

16．（12分）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣6y+12=0，求过点A（3，5）的圆的切线方程．

考点：直线与圆的位置关系．

专题：直线与圆．

分析：由圆的方程求出圆心和半径，易得点A在圆外，当切线的斜率不存在时，切线方程为x=3．当切线的斜率存在时，设切线的斜率为k，写出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，解出k，可得切线方程．

解答：解：圆C：x2+y2﹣4x﹣6y+12=0，即（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，表示以（2，3）为圆心，半径等于1的圆．

由于点A（3，5）到圆心的距离等于=，大于半径1，故点A在

圆的外部．

当切线的斜率不存在时，切线方程为x=3符合题意．

当切线的斜率存在时，设切线斜率为k，则切线方程为y﹣5=k（x﹣3），即kx﹣y﹣3k+5=0，

所以，圆心到切线的距离等于半径，即=1，解得k=，此时，切线为3x﹣4y+11=0．

综上可得，圆的切线方程为x=3，或3x﹣4y+11=0．

点评：本题考查求圆的切线方程得方法，注意切线的斜率不存在的情况，属于中档题．

17．（14分）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为

．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线y=x+1与椭圆C交于A，B两点，求A，B两点间的距离．

考点：椭圆的简单性质．

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：（1）根据题意先求出a，由离心率求出c、b，代入椭圆方程即可；

（2）联立直线方程和椭圆方程消去y求出交点A、B的横坐标，代入直线方程求出对应的纵坐标，代入两点间的距离公式求出|AB|．

解答：解：（1）因为短轴一个端点到右焦点的距离为，则，

由得，则b2=a2﹣c2=1，

所以椭圆的方程为；

（2）由消去y得，2x2+3x=0，

解得x1=0或x2=，所以y1=1、y2=，

所以两个交点为：A（0，1）、B（，），

则．

点评：本题考查椭圆的简单几何性质、标准方程，两点间的距离公式，以及直线与椭圆相交问题，属于中档题．

18．（14分）如图，椭圆=1（a＞b＞0）与过点A（2，0）B（0，1）的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=．

（Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，求证：．

考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的应用．

专题：计算题；证明题；压轴题．

分析：（Ⅰ）先写出过A、B的直线方程，因为由题意得有惟一解．消去y得：

有惟一解，

利用其根的判别式等于0，即可求得a，b的值，从而得到椭圆方程；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，所以由解得

x1=x2=1，接下来利用距离公式求得线段的长，从而证得．

解答：解：（Ⅰ）过A、B的直线方程为

因为由题意得有惟一解．

即有惟一解，

所以△=a2b2（a2+4b2﹣4）=0（ab≠0），

故（a2+4b2﹣4）=0

又因为，即，

所以a2=4b2

从而得，

故所求的椭圆方程为．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，

所以

由解得x1=x2=1，

因此．

从而，

因为，

所以

点评：本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题、直线方程、椭圆方程等基础知识，考查运算求解能力、方程思想．属于中档题．